Funções Inversas Objectivo: Descobrir quais as funções que possuem inversa. Relacionar os domínios e os contradomínios de uma função e da sua inversa.

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1 Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática A º Ano ACTIVIDADE INVESTIGATIVA Tema: Funções inversas Nome: Turma: Data: / / Funções Inversas Objectivo: Descobrir quais as funções que possuem inversa. Relacionar os domínios e os contradomínios de uma função e da sua inversa. Material: Lápis, régua e borracha; Calculadora gráfica; Representação gráfica das funções: y = x +, y = + x e y = x. Para resolver esta actividade, leia com atenção as indicações correspondentes a cada parte. Deverá recorrer à respectiva representação gráfica para responder às questões.. Preencha os espaços em branco: Parte A Uma função f diz-se num intervalo I do seu domínio, quando para dois valores quaisquer a e b de I: Ou, Se a! b " Se f ( a) = f ( b)! a = b. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte A.. Classifique a função f ( x) = x + quanto à injectividade. Justifique.

2 .. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo alguma pressão) a reflexão do gráfico da função f ( x) = x + em relação à recta y = x.3. Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente..4. Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, f ( x) = x + e a sua reflexão ao longo da recta de equação y = x..5. A recta obtida pela reflexão do gráfico de f relativamente à recta y = x é o gráfico de uma função. Denotemos essa função por f!. Relacione os domínios e contradomínios das duas funções..6. Determine a expressão analítica da função f! resolvendo a equação y = x + em ordem a x. Parte B 3. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte B 3.. Classifique a função g ( x) = + quanto à injectividade. Justifique. x 3.. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo alguma pressão) a reflexão do gráfico da função g ( x) = + em relação à recta y = x. x 3.3. Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, g ( x) reflexão ao longo da recta de equação y = x. = + e a sua x

3 3.5. A reflexão do gráfico de g relativamente à recta y = x é o gráfico de uma função. Denotemos essa função por g!. Relacione os domínios e contradomínios das duas funções Determine a expressão analítica da função g! resolvendo a equação y = + x em ordem a x. Parte C 4. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte C 4.. Classifique a função h( x) x = quanto à injectividade. Justifique. 4.. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo alguma pressão) a reflexão do gráfico da função h( x) x = em relação à recta y = x Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, h( x) x ao longo da recta de equação y = x. = e a sua reflexão 4.5. A reflexão do gráfico de h relativamente à recta y = x não é o gráfico de uma função. Porquê? Confirme a afirmação anterior resolvendo a equação y = x em ordem a x A função h não admite função inversa, será que o facto de a função h não ser injectiva condicionou essa situação? Justifique a sua resposta. 3

4 Conclusões: Quando dados dois quaisquer objectos diferentes do domínio da função f as suas imagens são diferentes, isto é,!a, b "D f, diz-se que a função f é injectiva, então é possível definir a função inversa de f; Uma função f admite função inversa se e só se f é ; Quando as representações gráficas de duas funções são em relação à recta de equação y = x, dizemos que as funções são inversas uma em relação à outra e podemos dizer que se uma é a função f a outra pode-se representar por Que relação existe entre os domínios e contradomínios de uma função ( f ) e da sua inversa ( f )!? A função reflexão é obtida trocando as e as da função inicial. 4

5 Parte A 5

6 Parte B 6

7 Parte C 7