Funções Quadráticas. Josefa Bastos. Ano Lectivo 2010/2011

Transcrição

1 Funções Quadráticas Josefa Bastos Ano Lectivo 2010/ No dia 15 de Julho, no escritório onde trabalha o António, foi ligado um puricador de ar e desligado algum tempo depois. Admita que o puricador foi ligado às zero horas e que a poluição do ar diminui enquanto o puricador esteve ligado e que começou a aumentar logo que aquele foi desligado. O modelo matemático que descreve a poluição, P, do ar (em mg/l), às t horas desse dia, é dado por: (a) Determine P (0) e P (24). P (t) = 0, 003t 2 0, 06t + 0, 5, t [0, 24] Interprete os resultados obtidos no contexto da situação descrita. (b) Qual é o nível de poluição às 15h15min? Apresente o resultado em mg/l com três casas decimais. (c) Quando tempo esteve o puricador ligado? (d) No escritório do Pedro, também é usado um puricador do ar que se liga às zero horas e se desliga algum tempo depois. O modelo matemático que descreve a poluição do ar no escritório do Pedro (em mg/l), às t horas do dia, é dado por P 1, sendo: P 1 (t) = 0, 005t 2 0, 08t + 0, 45, 0 t 24 Admita que a poluição do ar começa a aumentar logo que se desliga o puricador. 1

2 Numa pequena composição matemática responda às seguintes questões: "Em qual dos escritórios é menor a poluição do ar durante o dia?" "Os puricadores de ar foram desligados à mesma hora?" Inclua na sua resposta os grácos das funções P e P 1 bem como as coordenadas dos pontos que considere relevantes para dar resposta às questões apresentadas. 2. A gura representa dois terrenos anexos, com a forma de quadrados, vedados com 240m de rede e com área de 2900m 2. Represente por x a medida, em metros, do lado do quadrado maior e por y a medida, em metros, do lado do quadrado menor. (a) Mostre que se verica a condição: (b) Determine os zeros da função: (120 2x) 2 + x 2 = 2900 f(x) = (120 2x) 2 + x (c) Numa pequena composição, responda à seguinte questão: "Haverá apenas uma solução para x e para y de modo a serem satisfeitas as condições enunciadas?" 3. Na gura está representado um rectângulo [ABCD] Este rectângulo é um esboço de uma placa decorativa de 20cm de comprimento por 16cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a cor laranja). A parte em metal é formada por dois quadrados iguais e por um triângulo. 2

3 O triângulo tem um vértice no lado [BC] do rectângulo. Seja x o lado de cada quadrado medido em centímetros. Sem recorrer à calculadora, resolva os três itens seguintes. (a) Mostre que a área, em cm 2, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de x, por A(x) = 3x 2 28x (b) Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa área. (c) Sabendo que a área da parte em metal é igual a 100cm 2, determine a área do triângulo. 4. Pretende-se construir uma cerca para animais vedando-se parte de um terreno, junto a um muro, conforme a gura ilustra. Três lados da cerca connam com um muro e os outros três cam denidos por uma rede. Pretende-se que os lados consecutivos da cerca sejam sempre perpendiculares. As dimensões indicadas na gura são expressas em metros. Tal como a gura mostra, x é a medida, em metros, de um dos lados da cerca. Vão ser utilizados, na sua totalidade, 110m de rede. 3

4 (a) Mostre que a área (em m 2 ), da cerca é dada, em função de x, por: A(x) = 2x x (b) Sem recorrer à calculadora, determine o valor de x para o qual é máxima a área da cerca e determine essa área máxima. (c) Quais devem ser as dimensões da cerca para que a sua área seja igual a 1300m 2. Se achar conveniente, faça acompanhar a sua resposta de um ou mais desenhos que ajudem a claricá-la. 5. Dena uma função quadrática f tal que: (a) o gráco de f é simétrico relativamente ao eixo Oy; 1 é o zero de f; 2 é o máximo absoluto de f. (b) 1 + f(x 1) = x 2 (c) a recta de equação x = 3 é um eixo de simetria do gráco de f; a recta de equação y = 1 intersecta o gráco de f no ponto de abcissa 2; a função f tem um único zero. 6. Um terreno triangular, apresentado em esquema na gura, tem as dimensões que se indicam: (a) Mostre que, tomando para base do triângulo o lado que mede 39m, a sua altura é igual a 40m. (b) Pretende-se construir uma cerca rectangular inscrita no terreno tal como é sugerido na gura. i. Mostre que, designando por x a altura do rectângulo, o seu comprimento y é dado por: y = x 4

5 ii. Mostre que a área do rectângulo é dada, em metros quadrados, por: A(x) = 39x x2 iii. Quais deve ser as dimensões do terreno rectângular para que a sua área seja igual a 300m 2 (apresente o resultado em metros com aproximação às centésimas)? iv. Determine as dimensões do rectângulo de área máxima. 7. Considere um quadrado [ABCD] com 10cm de lado. O ponto P desloca-se ao longo do lado [AB] de tal modo que AP = x cm O rectângulo [P QRS] tem os vértices sobre os lados do quadrado de tal modo que [P S] é perpendicular à diagonal [AC]. (a) Determine a área do rectângulo [P QRS] se AP = 4 cm. (b) Mostre que a área do rectângulo [P QRS] é dada, em centímetros quadrados, por: A(x) = 20x 2x 2 (c) Determine P S e P Q, sabendo que o rectângulo [P QRS] tem a área máxima possível. 5