Modelagem no Domínio da Frequência Carlos Alexandre Mello 1
Transformada de Laplace O que são Transformadas? Quais as mais comuns: Laplace Fourier Cosseno Wavelet... 2
Transformada de Laplace A transf. de Laplace representa entrada, saída e sistema como entidades separadas A relação entre elas é algébrica Transformada de Laplace: onde s = σ + jω é uma variável complexa F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t) 3
Transformada de Laplace O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, podemos começar a integração apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da função impulso Transformada Inversa de Laplace onde: 4
Transformada de Laplace Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante custoso, pois envolve o cálculo de integrais complexas Mas o conjunto de funções importantes para a área de controle é pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funções e de suas transformadas Vamos ver, a seguir, o cálculo de algumas transformadas mais comuns: 5
Transformada de Laplace Algumas transformadas conhecidas 6
Transformada de Laplace Propriedades 7
Transformada de Laplace Exemplo 1: 8
Transformada de Laplace Exemplo 2: Transformada Inversa Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t): Se: F(s) = 1/s 2 f(t) = t.u(t) e: F(s + a) = 1/(s + a) 2 f(t) = e -at t.u(t) Então: F 1 (s) = 1/(s + 3) 2 f(t) = e -3t t.u(t) 9
Transformada de Laplace Transformada Inversa: Expansão em Frações Parciais Por exemplo, calcule a transformada inversa de: Nesse caso, podemos re-escrever a expressão como: que, por linearidade, leva à transf. inversa: 10
Transformada de Laplace Assim, a Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace Objetivo matemático: Simplificar uma função, expandindo-a em funções de menor grau Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de Laplace Métodos: Clearing Fractions Heaviside Cover-Up (ou Resíduos) 11
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais (Clearing Fractions) Exemplo: Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluízio Ribeiro. 12
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover- Up ou Resíduos) Exemplo: Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluízio Ribeiro. 13
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois métodos) Exemplo: Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluízio Ribeiro. 14
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas Caso 3: Raízes do denominador são complexas 15
Transformada de Laplace Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a seguinte equação diferencial para y(t) com todas as condições iniciais nulas A transformada de Laplace para y(t) é: que leva a: 16
Transformada de Laplace Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais (cont): Por expansão em frações parciais: ou 17
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais MatLab Exemplo: -4s + 8 s 2 + 6s + 8 = r1 + r2 +... + rn + ks s - p1 s - p2 s - pn 18
Transformada de Laplace Expansão em Frações Parciais MatLab Exemplo (cont): Volta ao polinômio original -4s + 8 s 2 + 6s + 8 19
Função de Transferência A função de transferência retrata a relação entre a saída e a entrada de um sistema Tal relação pode ser expressa em função da transf. de Laplace Geralmente, as funções de entrada e saída se relacionam através de uma equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem: onde y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema 20
Função de Transferência Dada a equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem: Calculando a transf. de Laplace: Se as condições iniciais forem nulas: Ou seja: G(s) é a Função de Transferência 21
Função de Transferência Função de Transferência como diagrama de bloco: X(s) Y(s) E podemos encontrar a saída de um sistema dada a entrada e sua função de transferência: Y(s) = G(s).X(s) 22
Função de Transferência A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido que constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a entrada à saída do sistema A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema, independentemente da magnitude e da natureza do sinal de entrada A função de transferência relaciona a entrada à saída, mas não fornece qualquer informação quanto à estrutura física do sistema diferentes sistemas podem ter a mesma função de transferência 23
Função de Transferência Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída pode ser estudada para várias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema Se a função de transferência for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindose sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de saída Uma vez estabelecida, a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema 24
Função de Transferência Quando a entrada é a função impulso, temos: Y(s) = G(s).X(s) X(s) = 1 Y(s) = G(s) cuja transformada inversa daria g(t) Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e também sua função de transferência Portanto, é possível obter informação completa sobre as características de um sistema excitando-o com um impulso unitário e medindo a sua resposta Na prática, seria um pulso de duração bastante curta 25
Função de Transferência Diagrama de blocos Representação gráfica das funções desempenhadas por cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles Todas as variáveis são ligadas umas às outras através de blocos funcionais O bloco traz a representação matemática da operação aplicada sobre a entrada que leva à saída O diagrama de bloco de um sistema não é único 26
Função de Transferência Diagrama de blocos Elementos: Ponto de Soma Ponto de Ramificação X(s) E(s) Y(s) X+ - G(s) Sistema de malha fechada 27
Função de Transferência Diagrama de blocos Outros tipos: X(s) E(s) Y(s) B(s) X+ - G(s) H(s) Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) B(s)]G(s) = [X(s) Y(s)H(s)]G(s) Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s) Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema) 28
Função de Transferência Diagrama de blocos Outros tipos: Perturbação D(s) X(s) X+ - G 1 (s) X+ + G 2 (s) Y(s) B(s) H(s) Se D(s) = 0: Y(s)/X(s) = G 1 (s)g 2 (s)/[1 + G 1 (s)g 2 (s)h(s)] (Função de Transferência do sistema) 29
Função de Transferência Exemplo 1: Ache a função de transferência do sistema representado por: dy(t)/dt +2y(t) = x(t) Solução: Tomando a transf. de Laplace: sy(s) + 2Y(s) = X(s) (s + 2)Y(s) = X(s) G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2) 30
Função de Transferência Exemplo 2: Dada a função de transferência anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitário; considere nulas as condições iniciais: x(t) = u(t) G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2) X(t) = u(t) X(s) = 1/s Logo: Y(s) = G(s).X(s) Y(s) = 1/[s.(s + 2)] Y(s) = 0,5/s 0,5/(s + 2) Expansão em Frações Parciais y(t) = 0,5 0,5e -2t 31
Função de Transferência Exemplo 2 (cont.): Solução total pelo MatLab 32
Função de Transferência Exercício 1: Ache a função de transferência da equação diferencial: Solução: Tomando a transf. de Laplace: Y(s)(s 3 + 3s 2 + 7s + 5) = X(s)(s 2 + 4s + 3) Logo: G(s) = Y(s)/X(s) = (s 2 + 4s + 3)/(s 3 + 3s 2 + 7s + 5) 33
Função de Transferência Exercício 2: Ache a equação diferencial correspondente à seguinte função de transferência: G(s) = (2s + 1)/(s 2 + 6s + 2) Solução: G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s 2 + 6s + 2) Logo: Y(s)(s 2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1) s 2 Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s) d 2 y/dt 2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x 34
Função de Transferência Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja função de transferência é: G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)] Solução: Logo: 35
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Modelagem matemática de circuitos elétricos Resistores, capacitores e indutores Componentes são combinados em circuitos e encontramos a função de transferência 36
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC Problema: Encontrar a função de transferência que relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s)) 37
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC Somando as voltagens no laço e considerando nulas as condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial para essa rede: Considerando: Temos: 38
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC A voltagem de um capacitor é dada por: Temos assim: Ou seja: Calculando a Transformada de Laplace: 39
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC Ou: 40
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equações de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais): Capacitor: Resistor: Indutor: Definimos, assim, a seguinte função de transferência: Impedância 41
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC: Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias e V(s) como a soma das voltagens. Assim: [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens] Circuito transformado 42
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC: Resolvendo o problema anterior usando impedâncias: Temos: Logo: Como: Assim: 43
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Rede RLC: Ou: Como encontrado anteriormente... 44
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Substitua elementos passivos por funções de impedância Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace Assuma uma corrente transformada e uma direção de corrente em cada malha Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha Resolva as equações simultâneas para a saída Forme a função de transferência 45
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Exemplo: Malha 1 Malha 2 G(s) = I 2 (s)/v(s) =? 46
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias Malha 1 Malha 2 Malha 1: Malha 2: 47
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Exemplo (cont.): Temos: De (2): Substituindo em (1): 48
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Exemplo (cont.): Ou: 49
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Malha Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado anteriormente. Ou seja: Soma das Soma das Malha 1: Impedâncias I 1 (s) - Impedâncias I 2 (s) = da Malha 1 comuns Soma das Voltagens da Malha 1 Soma das Soma das Malha 2: Impedâncias I 1 (s) + Impedâncias I 2 (s) = comuns da Malha 2 Soma das Voltagens da Malha 2 50
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Nós: Exemplo: Encontrar a função de transferência V c (s)/v(s) para o circuito abaixo, usando análise de nós: Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao invés da soma das voltagens nas malhas 51
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Nós: Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das correntes nos nós V L (s) e V C (s) são, respectivamente: Expressando as resistências em termos de condutância G 1 = 1/R 1 e G 2 = 1/R 2 52
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Nós: Exemplo (cont.): Assim: 53
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Nós: Substitua elementos passivos por funções de admitância Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitância = inverso da impedância) Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó Resolva as equações simultâneas para a saída Forme a função de transferência 54
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Análise de Nós: Exemplo (cont.): Como antes, também temos um padrão: Soma das Soma das Nó 1: Admitâncias V L (s) - Admitâncias V C (s) = conectadas comuns aos no Nó 1 Nós Soma das Correntes aplicadas no Nó 1 Soma das Soma das Nó 2: Admitâncias V L (s) + Admitâncias V C (s) = comuns aos conectadas Nós ao Nó 2 Soma das Correntes aplicadas no Nó 2 55
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo: Malha 3 Malha 1 Malha 2 56
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo (cont.): Malha 1: Soma das Impedâncias na Malha 1 Soma das Impedâncias comuns às Malhas 1 e 2 Soma das Impedâncias comuns às Malhas 1 e 3 I 1 (s) - I 2 (s) - I 3 (s) = Soma das voltagens aplicadas à Malha 1 Malha 2: Soma das Impedâncias comuns às Malhas 1 e 2 Soma das - I 1 (s) + Impedâncias I 2 (s) - I 3 (s) = na Malha 2 Soma das Impedâncias comuns às Malhas 2 e 3 Soma das voltagens aplicadas à Malha 2 Malha 3: Soma das Impedâncias comuns às Malhas 1 e 3 Soma das Impedâncias comuns às Malhas 2 e 3 Soma das - I 1 (s) - I 2 (s) + Impedâncias I 3 (s) = na Malha 3 Soma das voltagens aplicadas à Malha 3 57
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo (cont.): Malha 1: (2s + 2)I 1 (s) (2s + 1)I 2 (s) I 3 (s) = V(s) Malha 2: -(2s + 1)I 1 (s) + (9s + 1)I 2 (s) 4sI 3 (s) = 0 Malha 3: -I 1 (s) 4sI 2 (s) + (4s + 1 + 1/s)I 3 (s) = 0 As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funções de transferência desejadas (como I 3 (s)/v(s), por exemplo) 58
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo (cont.): (2s + 2)I 1 (2s + 1)I 2 I 3 = V (1) -(2s + 1)I 1 + (9s + 1)I 2 4sI 3 = 0 (2) -I 1 4sI 2 + (4s + 1 + 1/s)I 3 = 0 (3) De (3): I 1 = -4sI 2 + (4s + 1 + 1/s)I 3 (4) Substituindo (4) em (2): (2s + 1)[4sI 2 - (4s + 1 + 1/s)I 3 ] + (9s + 1)I 2 4sI 3 = 0 I 2 = -I 3 (8s 2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s 2 + 13s + 1) (5) Substituindo (5) em (4), achamos I 1 em função apenas de I 3. Assim, temos em (1), I 1 e I 2 em função de I 3 e podemos isolar I 3 e calcular a função de transferência I 3 /V. 59
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo (cont.): No MatLab (2s + 2)I 1 (2s + 1)I 2 I 3 = V -(2s + 1)I 1 + (9s + 1)I 2 4sI 3 = 0 -I 1 4sI 2 + (4s + 1 + 1/s)I 3 = 0 MatLab Symbolic Toolbox 60
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Os amplificadores operacionais são amplificadores de acoplamento direto, de alto ganho, que usam realimentação para controle de suas características 61
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Amplificador operacional Amplificador operacional inversor Amplificador operacional como função de transferência 62
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Características: Entrada diferencial: v 2 (t) v 1 (t) Alta impedância de entrada: Z i (ideal) Baixa impedância de saída: Z o 0 (ideal) Alta constante de ganho de amplificação: A (ideal) A saída é dada por: v o (t) = A(v 2 (t) v 1 (t)) 63
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Inversor Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de inversor porque passamos a ter: v o (t) = -Av 1 (t) Na configuração da figura c anterior, a função de transferência do amplificador operacional inversor é: 64
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo: Ache a função de transferência V o (s)/v i (s) para o circuito abaixo: 65
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo (cont.): Como a admitância de componentes paralelos se somam, Z 1 (s) é o inverso da soma das admitâncias ou: Para Z 2 (s) as impedâncias se somam: Assim: Compensador PID 66
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Não Inversor 67
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo: Ache V o (s)/v i (s) 68
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional 69
Função de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacional 70
Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 2, Problemas: 1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a No MatLab: 5, 6, 14, 20b 71
A Seguir... Modelagem no Domínio do Tempo 72