Algorito genético para o balanceaento de linhas de produção Sérgio Fernando Mayerle (EPS / UFSC ayerle@eps.ufsc.br) Rodrigo Nereu dos Santos (EPS / UFSC rodns@eps.ufsc.br) Resuo Neste artigo é discutido o problea de balanceaento de linhas de produção siples (produto único), o qual consiste na obtenção de ua alocação de u conjunto de tarefas aos postos (ou estações) de trabalho, respeitando a relação de precedência na execução destas tarefas. Duas situações distintas são consideradas: reduzir o núero de postos de trabalho, considerando o tepo de ciclo que satisfaça a deanda e/ou reduzir o tepo de ciclo, dado o núero de postos de trabalho. Para cada u destes probleas é apresentado u odelo de Prograação Linear Binária, os quais caracteriza a solução ótia do problea. U algorito genético é proposto para a solução destes probleas, e aplicado na solução de u problea de 70 tarefas proposto por Tonge (1961), considerando distintos postos de trabalho. Os resultados obtidos são coparados co u liite inferior, deonstrando a eficiência do étodo proposto. Palavras Chave: assebly line balancing; genetic algorithic; cobinatorial optiization. 1. Introdução O problea de balanceaento de linhas de produção (LBP) refere-se à alocação das atividades de transforação e postos de trabalho, de odo que se obtenha o enor núero de postos capaz de satisfazer a deanda e, ainda, que o tepo de ciclo seja o enor possível, de odo a auentar a produtividade. Este problea é forulado a partir de u conjunto de tarefas a sere alocadas, para as quais são conhecidos os tepos padrões de execução. O balanceaento de linhas tabé propicia, dentre outras vantagens, a recuperação ais rápida do investiento inicial e o auento da capacidade de atendiento à deanda. Considerando n tarefas a sere executadas, existe n! possíveis perutações entre as esas, de odo que a busca da solução por étodos de enueração explícita torna-se ipossível para a aioria dos casos práticos, reetendo a solução deste problea ao uso de eta-heurísticas tais coo: tabu search, siulated annealing e genetic algorith (GA). Diversos trabalhos já fora desenvolvidos na otiização de probleas cobinatoriais co a utilização destas eta-heurísticas, incluindo variações dos probleas clássicos de job shop e flow shop, be coo outros probleas de igual coplexidade. Mais especificaente, o problea de balanceaento de linhas de produção foi discutido por Tonge (1961 e 1965), Moodie e Young (1965), Nevins (1972), Talbot et ali (1986), que copara diversas técnicas heurísticas, e Baybars (1986), que apresenta ua revisão dos principais algoritos exatos disponíveis. Mais recenteente Anderson & Ferris (1994) apresenta u GA para este eso problea. 2. Caracterização do problea e forulação ateática Considere ua linha de produção siples (produto único) contendo u conjunto de postos de trabalho, denotado por I = { 1,2,..., }, aos quais deve ser alocadas tarefas de u conjunto J = { 1,2,..., n }. Para o produto e questão, considere que para cada tarefa k J existe u ENEGEP 2003 ABEPRO 1
subconjunto de tarefas predecessoras, J k J e u tepo de execução t k. Considere, ainda, que seja conhecido o aior tepo de ciclo T o co o qual é possível atender a deanda existente. Então, o enor núero de postos de trabalho que contenha todas as tarefas do conjunto J, pode ser deterinado pela solução do seguinte odelo de prograação linear binária: LBP-1 Min z 1 = P i x (2.1) s.a: i I j J i I x x t j i I j J = 1 j J (2.2) x i x T i I o i x ik i I k (2.3) k J ; j J (2.4) { 01, } i I; j J (2.5) onde: x = 1 caso a tarefa j seja alocada ao posto i, e x = 0 e caso contrário; e i P i = n é ua penalidade associada à ativação do i -ésio posto de trabalho. No odelo acia, a equação (2.2) garante que cada tarefa seja atribuída a exataente u posto de trabalho, e as inequações (2.3) e (2.4) garante, respectivaente, que nenhu posto de trabalho receba u subconjunto de tarefas cujo tepo de execução exceda o tepo de o ciclo T e que as relações de precedência entre tarefas seja obedecidas. Neste odelo, coo se pode observar, a função objetivo (2.1) é construída de odo a penalizar o increento do núero de postos de trabalho. Para a forulação do odelo acia, o núero ínio de postos de trabalho,, poderá ser estiado a partir da construção de ua solução inicial usando u étodo heurístico qualquer. No pior caso poderá ser adotado = n, ou seja, que e cada posto seja alocado exataente ua tarefa e, ainda, que o tepo de ciclo total seja estabelecido pela tarefa de aior duração. Para o problea (2.1)-(2.5), te-se coo resultado ua solução viável, isto é, que obedece a relação de precedência entre as atividades e o tepo de ciclo que garante o atendiento da deanda, co o enor núero de postos de trabalho. Este núero ínio de postos de trabalho poderá ser deterinado por: = i, j ( i x ) ax (2.6) e a partir desta solução, u segundo problea de prograação linear binária poderá ser forulado para a obtenção do enor tepo de ciclo T, considerando que as tarefas serão alocadas e postos: ENEGEP 2003 ABEPRO 2
LBP-2 Min z 2 = T (2.7) s.a: i = 1 j J x = 1 j J t j x T i = 1,..., (2.8) (2.9) i = 1 x i x i = 1 i x ik k J ; j J k (2.10) { 01, } i I; j J (2.11) Pode-se observar que os odelos apresentados acia se diferencia, basicaente, quanto à função objetivo. Enquanto o prieiro trata de obter o enor núero de postos de trabalho para u tepo áxio de ciclo definido pelo problea, o segundo busca deterinar o enor tepo de ciclo, dado o núero de postos obtidos através da solução do prieiro odelo. Apesar da relativa siplicidade dos odelos acia apresentados, as soluções destes são de difícil obtenção através da utilização de algoritos clássicos de prograação linear inteira, especialente para o caso de probleas que apresenta grande núero de tarefas. 3. Algorito proposto Para solução dos probleas LBP-1 e LBP-2, fora desenvolvidos dois GA s, diferenciados quanto à avaliação do fitness, cujos aspectos serão tratados posteriorente. Os GA s são procedientos heurísticos baseados no princípio da evolução das espécies enunciado por Darwin e 1879. A idéia de utilizar tal princípio na solução de probleas ateáticos, notadaente os de otiização, foi desenvolvida inicialente por John Holland, no início da década de 70. Apesar deste processo de evolução não ser totalente conhecido pelos biólogos, alguns aspectos referentes ao eso são be aceitos. E prieiro lugar, sabe-se que a evolução se processa por eio de dispositivos biológicos denoinados de croossoos, os quais arazena as características dos indivíduos. Através de u processo de seleção natural, indivíduos ais be adaptados ao eio (aior fitness) consegue se reproduzir co aior freqüência, transitindo suas características genéticas aos descendentes. A reprodução é a chave pela qual a evolução se processa. Através da cobinação dos ateriais genéticos dos ancestrais, novos croossoos são produzidos, os quais, eventualente passa por u processo denoinado de utação. Através deste processo, os descendentes poderão vir a apresentar características distintas de seus ancestrais. Eventualente, tais características perite que o indivíduo gerado venha a ter ua aior capacidade de adaptação ao eio. Os GA s apresenta ua estrutura siilar ao que se observa na natureza, confore descrito, e seus passos principais pode ser assi delineados: Gerar ua população inicial Avaliar o fitness dos indivíduos da população Repetir Selecionar ancestrais da população Gerar descendentes através do cruzaento genético entre os ancestrais selecionados Realizar ua eventual utação nos descendentes gerados Avaliar o fitness dos descendentes gerados Substituir alguns indivíduos da população (ou todos) pelos descendentes gerados Até que ua solução satisfatória tenha sido encontrada Dentro desta perspectiva, os aspectos relevantes, que passarão a ser discutidos, são: a estrutura do croossoo, a avaliação do fitness e os processos de seleção natural, de cruzaento e de utação. ENEGEP 2003 ABEPRO 3
3.1. Estrutura do croossoo e geração da população inicial Ua solução viável para o problea de balanceaento de linhas de produção siples corresponde a ua perutação das tarefas a sere alocadas, de odo a satisfazer as relações de precedência e o tepo de ciclo estabelecido. Neste contexto, a caracterização de ua solução e particular pode ser realizada por eio de u vetor de inteiros, onde cada eleento corresponde ao índice de ua tarefa. Neste vetor não pode haver repetição de índices de tarefa, já que cada tarefa deve ser alocada a u e soente u posto. Na figura 1, pode-se observar a representação gráfica desta estrutura para u problea co 10 tarefas, na qual a prieira tarefa a ser realizada é a de índice 3, a segunda de índice 4, e assi sucessivaente, até a últia tarefa (índice 10). 3 4 2 6 1 7 9 8 5 10 Figura 1 - Esquea de representação do croossoo, para o problea de balanceaento de linhas de produção. Para foração de ua população inicial contendo K soluções aleatórias, denotada por π = { S1,..., S r,..., SK }, pode-se toar inicialente, para cada ua destas soluções, a seqüência de tarefas S = ( 1,2,..., n), e realizar sucessivas trocas de posições (aleatória) entre pares de eleentos. Seja S r = ( sr1, sr 2,..., srn ) o vetor resultante deste procediento de trocas. Note-se que a aplicação deste procediento não garante que as relações de precedência entre tarefas seja satisfeitas. Contudo este aspecto poderá ser devidaente considerado através de funções de penalidade apropriadas, quando da avaliação do fitness de cada indivíduo, coo será visto ais à frente. Para caracterização copleta da solução, é necessário identificar e qual posto encontra-se cada tarefa, coo poderá ser visto e ais detalhes no algorito que será apresentado posteriorente. 3.2. Avaliação do fitness O fitness de u croossoo representa a capacidade do indivíduo adaptar-se ao eio. No caso dos algoritos genéticos, quando aplicados sobre probleas de otiização cobinatorial, a edida de fitness costua relacionar-se co o valor da função objetivo. Para u indivíduo S r = ( sr1, sr 2,..., srn ), o núero de inviabilidades NI r na relação de precedência entre tarefas e o valor da função objetivo z r, poderão ser calculados, considerando o tepo de ciclo T o e as notações tα t(α ) e Jα J(α ), através do procediento CalculaParaetrosFitness apresentado no Quadro I. Após a aplicação deste procediento, o valor de fitness poderá ser calculado usando qualquer função f ( S r ) que satisfaça as seguintes condições: i) Se NI r < NI q, então f ( Sr ) > f ( Sq ); ii) Se NI r = NI q e r zq z <, então f S ) > f ( S ). ( r q Assi, co base nos valores f ( S r ), calculados para todo S r pode-se ordenar os indivíduos de π, de odo que f S ) f ( S )... f ( S ). ( 1 2 K ENEGEP 2003 ABEPRO 4
procediento CalculaParaetrosFitness ( S r ); início i 1; // inicializar núero do posto NI r 0 ; // inicializar núero de inviabilidades T ac 0 ; // inicializar tepo acuulado z r 0 ; // inicializar a função objetivo v 0; // inicializar índice da tarefa repetir v v +1; k 1; // inicializar índice tarefas predecessoras enquanto k < v faça início se s rv J ( s ) então NI r NI r + 1; // increentar núero de inviabilidades k k +1; // toar a próxia tarefa fi; 0 se t( srv ) + Tac T então T ac T ac + t( s rv ) // increentar tepo acuulado senão início i i +1; // increentar núero do posto T ac t( s rv ) ; // redefinir o tepo acuulado fi; z r zr + P // increentar a função objetivo i Posto ( srv ) = i ; // alocar tarefa s rv ao posto i até que v = n ; Retornar NI, r z e a lista de tarefas co os respectivos postos; r fi. Quadro I Procediento utilizado para cálculo dos parâetros da função de fitness 3.3. Seleção natural e cruzaento (crossover) No GA proposto para a solução do problea de balanceaento de linhas de produção siples, a operação de cruzaento realiza-se entre dois indivíduos, denotados por S r = ( sr1, sr 2,..., srn ) e S q = ( sq1, sq2,..., sqn ), escolhidos aleatoriaente e co igual probabilidade na população π, a fi de gerar u novo descendente S d = ( sd1, sd2,..., sdn ), a ser incluído na população, e substituição a S K, caso f ( Sd ) > f ( SK ). O procediento de cruzaento proposto ocorre de odo que as restrições de precedência, denotadas por α a β (leia-se α precede β ), seja privilegiadas, confore apresentado no Quadro II. Note-se que na seleção realizada, apesar de ser utilizada ua distribuição unifore, os indivíduos ais proissores acaba peranecendo por ais tepo na população e, consequenteente, sendo escolhidos co aior freqüência para a realização da operação de cruzaento. 3.4. Mutação A utação nos seres vivos é u fenôeno raro no processo de reprodução, e consiste e odificar de fora aleatória algu gene no croossoo do indivíduo descendente gerado. Entretanto, no algorito proposto ela está presente na concepção de qualquer novo indivíduo. Assi, ocorre que neste algorito a utação é projetada a dar preferência ao preenchiento dos postos de trabalho, antida a orde de precedência entre tarefas, e observadas as disponibilidades de tepo para execução da tarefa no posto, confore apresentado no Quadro III. E outras palavras, na geração de cada indivíduo é considerada a possibilidade de trocar a orde das tarefas, desde que isto possibilite a elhor utilização de ociosidades existentes e postos de trabalho de enor índice, desde que esta troca não viole algua restrição adicional de precedêcia já satisfeita. ENEGEP 2003 ABEPRO 5
procediento Cruzaento ( S, S ); r q início para k = 1 até n faça // para todos os genes do croossoo se s = s então s dk = s ; // se fore iguais, anter descendente se s a s então início // se s precede s dk = s ; // executar antes s Trocar ( S, s, s ); // perutar posição dos genes e q fi; se s a s então início // se s precede s s dk = s ; // executar antes Trocar ( S r, s, s ); // perutar posição dos genes e S r fi; se Not ( s a s ) e Not ( s a s ) // se s e s não se precede então início p = Rando ( q, r ); // escolha aleatória entre q e r s dk = s pk ; // executar antes s (aleatório) pk se p = q então Trocar ( S, s, s ) // perutar posição dos genes e S r r senão Trocar ( S, s, s ); // perutar posição dos genes e q fi; fi; Retornar S ; d fi. Quadro II Procediento utilizado para realização da operação de cruzaento entre dois indivíduos. s s S q S q procediento Mutação ( S ); r Início = 0 ; // inicializar o núero de postos o para i = 1 até n faça Slack () i = T ; // inicializar folga do posto para k = 1 até n faça First ( k ) = 1; // inicializar prieiro posto para tarefa para k = 1 até n faça Posto ( k ) = 0 ; // inicializar prieiro posto para tarefa para k = 1 até n faça // para todos genes do croossoo início i = First (k) ; // coeçando pela 1 a. possibilidade enquanto Slack () i < t( s ) faça i = i +1; // increentar posto até encontrar folga Posto ( s ) i; s ao posto i se i > então = i; // corrigir núero de postos, se necessário Slack () i = Slack () i t( s ); // descontar o tepo de s na folga de i para j = 1 até n faça se Posto ( ) = 0 e s a e First ( srj ) < i // revisar a 1 a. possibilidade de alocação s rj s rj então First ( srj ) = i ; // das atividades sucessoras de s fi; Reordenar os eleentos de S r = ( sr1, sr 2,..., srn ) por orde crescente de Posto ( s ) ; Retornar S r ; fi. Quadro III Procediento utilizado para realização da utação e u indivíduo. 4. Resultados nuéricos Dos diversos probleas de balanceaento de linhas de produção já consagrados na literatura toou-se coo exeplo nuérico, para fins de coparação, o clássico problea de balanceaento de linhas elaborado por Tonge (1961), apresentado no anexo. Este exeplo foi escolhido devido a dois otivos: é u problea real proveniente da industria eletrônica; e nuerosos autores o solucionara por diferentes étodos e heurísticas (Tonge e 1965, ENEGEP 2003 ABEPRO 6
Moodie e Young tabé e 1965, Nevins e 1972 e Baybars e 1981). Neste contexto, para avaliar o algorito proposto, coparou-se o valor do tepo de ciclo obtido pela aplicação do GA, co o liite inferior calculado coo se o balanceaento da carga de trabalho fosse ideal, isto é: t j LI = (2.12) Assi, para distintos postos de trabalho, obteve-se os seguintes resultados: Tepos de Ciclo (seg.) LI T % 11 334,82 341 1,85 10 368,30 373 1,28 9 409,22 414 1,17 8 460,38 464 0,79 7 526,14 532 1,11 6 613,83 617 0,52 Desvio édio e relação ao liite inferior (%) 1,12 Tabela 1 Resultados obtidos co a aplicação do algorito proposto ao problea de Tonge (1961). Ressalta-se, todavia, que o liite inferior calculado pela expressão 2.12 é u valor teórico, dificilente alcançável, tendo e vista as restrições de precedência entre tarefas, e as dificuldades de se realizar o epacotaento perfeito das tarefas alocadas aos postos de trabalho, dentro do tepo de ciclo estabelecido por este liite. 5. Conclusões e recoendações Ebora, não se tenha realizado testes exaustivos co o algorito proposto, seu desepenho ficou uito próxio da otialidade, quando aplicado ao problea de Tonge, inclusive co perforance razoável de tepo de processaento. Portanto, ua vez que o algorito não se restringe à busca do enor núero de postos de trabalho, as, tabé, introduz a procura pelo enor tepo de ciclo para u dado núero de postos de trabalho, verifica-se que o algorito apresenta grande potencial de aplicabilidade nas linhas de produção reais. Por outro lado, quanto às recoendações, sugere-se, e prieiro lugar, que seja apliado o núero de testes realizados co o algorito, incluindo outros probleas que tenha soluções por outros étodos heurísticos encontrados na literatura. Sugere-se, tabé, conteplar, no algorito proposto, o problea de balanceaento de linhas de produção para ulti-produtos, nos quais considera-se que a linha sirva diversos odelos do eso tipo de produto ou, até eso, diferentes produtos. Por fi, poder-se-ia tabé desenvolver ua interface gráfica ao algorito, que de fora didática seria utilizada coo ferraenta de ensino de engenharia. 6. Bibliografia ANDERSON, E. J. & FERRIS, M. C. (1994). Genetic Algoriths for Cobinatorial Optiization: The Assebly Line Balancing Proble. ORSA Journal of Coputing. Vol. 6, No. 2, p.161-173. ENEGEP 2003 ABEPRO 7
BAYBARS, I. (1986). A Survey of Exact Algoriths for the Siple Assebly Line Balancing Proble. Manageent Science. No. 32, p.909-932. McMULLEN, P.R. & FRAZIER, G. V. (1998). Using Siulated Annealing to Solve a Multiobjective Assebly Line Balancing Proble With Parallel Wo Stations. International Journal of Productions Research 31 (10), 2717-2741. MOODIE, C. L. & YOUNG, H. H. (1965). A Heuristic Method of Assebly Line Balancing for Assuptions of Constant of or Variable Wo Eleent Ties. Journal of Industrial Engineering 16, 23-29. NEVINS, A. J. (1972). Assebly Line Balancing Using Best Bud Search. Manageent Science 18, 9, p.530. TALBOT, F. B.; PATTERSON, J. H. & GEHRLEIN, W. V. (1986). A Coparison of Heuristic Line Balancing Techniques. Manageent Science 32, 430-454. TONGE, F. M. (1961). A Heuristic Progra of Assebly Line Balancing. Manageent Science 7, 21-42. TONGE, F. M. (1965). Assebly Line Balancing Using Probabilistic Cobinations of Heuristics. Manageent Science 11, 727-735. 7. Anexo 41 16 05 6 30 11 24 12 31 31 33 102 32 50 34 46 51 11 56 68 52 26 48 56 53 44 49 59 54 121 55 38 68 72 06 88 13 134 26 42 44 43 45 30 46 83 47 89 01 17 02 66 70 27 69 23 tarefa tepo 03 54 09 68 04 52 10 70 15 94 07 21 08 128 11 85 16 90 12 21 18 319 17 59 14 135 23 73 22 40 19 19 21 50 20 54 25 152 27 45 28 74 29 26 57 22 35 35 58 7 36 40 59 16 37 2 60 32 62 27 38 1 61 25 63 156 39 3 64 28 40 13 66 26 42 25 65 15 43 21 67 18 50 43 Figura 2 Diagraa de precedência do problea proposto por Tonge (1961). ENEGEP 2003 ABEPRO 8