AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY

APOSTILA EDIÇÃO: 2-2011 AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY www.mauriciocury.com

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 3 2. JUROS SIMPLES 5 2.1 Coceitos e Cálculos 5 2.2 Descoto Simples 8 2.2.1 Descoto Simples Bacário 8 2.2.2 Descoto Simples Racioal 10 3. JUROS COMPOSTOS 12 3.1 Coceitos e Cálculos 12 3.2 Cálculo do motate para período fracioário 16 3.2.1 Coveção Expoecial 16 3.2.2 Coveção Liear 17 3.3 Descoto Composto 18 3.3.1 Descoto Composto Racioal, ou Por Detro 18 3.3.2 Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora 19 4. TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 22 5. INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA 24 6. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 28 6 ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES 31 6.1 Auidade com Parcelas Postecipadas 31 6.1.1 Valor Futuro ou Motate 33 6.2 Auidade com Parcelas Atecipadas 35 6.2.1 Valor Futuro ou Motate 36 6.3 Reda Perpétua 36 7. AMORTIZAÇÕES 39 7.1 Sistema Fracês de Amortização SFA - (Sistema Price) 39 7.1.1 Caso com Período de Carêcia: 40 7.2 Sistema de Amortização Costate SAC (Sistema Hamburguês) 41 8. FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 44 8.1 Fluxo de Caixa 44 8.2 Taxa Míima de Atratividade 45 8.3 Método do Valor Presete Líquido (VPL) 46 8.3.1 Método do Valor Presete Líquido para Períodos Diferetes de Ivestimetos 49 8.4 Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) 51 Maurício R. Cury Edição 2-2011 1

8.5 Comparação etre os Métodos da TIR e do VPL 53 8.6 TIR Modificada (TIRM) 57 9. DEPRECIAÇÃO 62 APÊNDICE A RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 67 Maurício R. Cury Edição 2-2011 2

1. Itrodução A Matemática Fiaceira tem como poto fudametal o cálculo de valores moetários em diversas datas trasportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remueração pelo capital emprestado ou aplicado. A partir daí é possível desevolver várias aplicações tais como cálculo de motate, de descoto de títulos, de fiaciametos, aplicações, redas, aálise de ivestimetos, depreciação e etc. Basicamete existem dois tipos de capitalização: [Capitalização é a soma dos juros devidos ao pricipal, ampliado-se o mesmo e formado o motate] Capitalização Simples e Capitalização Composta. A Capitalização Simples (ou Juros Simples) cosiste o cálculo de juros de maeira que seu crescimeto, ao logo do tempo, ocorre liearmete. Os juros são calculados sobre o Capital Iicial. Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são calculados sobre o motate do período aterior, que já possui juros capitalizados. O crescimeto dos juros, ao logo do tempo, ocorre expoecialmete. Na capitalização composta, portato, paga-se mais juros que a capitalização simples (cosiderado mesma taxa de juros e mesmo período), exceto o caso do primeiro período de capitalização ode os juros são iguais. O Período de Capitalização é o período o qual os juros são capitalizados ou icorporados ao pricipal. Exemplo: se o período de capitalização é mesal etão os juros são icorporados ao capital a cada trita dias. A taxa de juros é o ídice que permite calcular os juros. Ela é geralmete expressa em percetual e deve, obrigatoriamete, refereciar o período de capitalização. Exemplos: 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ao. Serão abordados, esta apostila, os seguites tópicos: cálculo de capital, juros, períodos, motate e taxa de juros para os regimes de capitalizações simples e composta. Descotos simples e compostos (bacários e racioais). Taxas de juros omiais, proporcioais, efetivas e equivaletes. Equivalêcia de capitais. Auidade ou série de pagametos uiformes. Amortizações: Sistema Price e Sistema de Amortização Costate (SAC), e aida é desevolvido um modelo de amortização o regime de capitalização simples. Aálise de Ivestimetos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor Presete Líquido e pela Taxa Itera de Retoro. Maurício R. Cury Edição 2-2011 3

Em cada tópico estudado serão resolvidos algus exercícios e propostos outros com seus respectivos resultados. Nomeclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os cohecidos uiversalmete e utilizados as calculadoras fiaceiras e plailhas eletrôicas. Os pricipais símbolos são: Símbolo Símbolo Defiição Alterativo C [Preset Value] Valor Presete, Capital Iicial M [Future Value] Valor Futuro, Motate J INT {Iterest] Juros i t Taxa de Juros Tempo, Período, Número de Prestações PMT [Paymet] Pagameto, Prestação VPL N [Net Preset Value] Valor Presete Líquido TIR IRR [Iteral Rate of Retur] Taxa Itera de Retoro Maurício R. Cury Edição 2-2011 4

2. Juros Simples 2.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor pricipal (ou capital iicial). Os juros acumulados crescem, ao logo do tempo, de maeira liear coforme uma progressão aritmética. Observe o seguite diagrama, ode o capital iicial aplicado é 1.000, a taxa de juros simples é i1% por período (O período poderá estar em qualquer uidade de tempo: dia, semaa, mês, semestre, ao, etc.). 1 1.000+10 2 1.010+10 3 1.020+10 4 1.030+10 INT 1 10 INT 2 10 INT 3 10 INT 4 10 0 1 2 3 4 Períodos 1.000 Em qualquer período (1 ou 2 ou 3 ou 4) o juro é sempre calculado sobre o capital iicial (valor presete), 1% de 1.000, INT j 10. Cosiderado : capital iicial ou valor presete motate ou valor futuro i taxa de juros úmero de períodos que os juros serão capitalizados INT juros calculados o período Fórmulas para capitalização simples: j j1 INT j j + j 1 INTj i No exemplo acima, os valores para cada período são: Maurício R. Cury Edição 2-2011 5

Período Juros Juros Capital Acumulados 0 1.000 1 10 10 1.010 2 10 20 1.020 3 10 30 1.030 4 10 40 1.040 Note que o capital cresce segudo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e motate correspodetes à uma aplicação de um capital de R$ 150.000 durate 55 dias à uma taxa de 15% ao ao? Pela fórmula: INT 55 150.000 0,15 3.437,50 360 150.000 + 3.437,50 153.437,50 Observações: - foi cosiderado ao comercial (de 360 dias). Note que o uso da fórmula, e i tem a mesma periodicidade. No caso de ao exato (de 365 dias): 55 INT 150.000 0,15 3.390,41 365 150.000 + 3.390,41 153.90,41 Caso esteja omisso, adota-se o ao comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias).. As fórmulas utilizadas para o regime de capitalização simples são: 1 ( + i ) 1 ( + i ) 1 i Maurício R. Cury Edição 2-2011 6

1 i Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade coforme a uidade de. Por exemplo: se estiver em meses, a taxa deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ao etão deve estar em aos. Exercícios: 1. Um capital de $720.000 foi aplicado durate 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Motate após este período. 2. Quato tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000 para formar um motate de $38.500 se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ao? 3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durate 14 meses, e formou um motate de $6.697,60. Calcular este capital. 4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de $8.000.000, durate 28 bimestres, gera um motate de $15.840.000. 5. Um capital de $65.000 foi aplicado durate 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o motate foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o motate após este período. 6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado para que, após dois aos, ele triplique de valor? 7. Um certo capital foi aplicado durate 6 trimestres à uma taxa de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o motate foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultado um motate de $195.000. Perguta-se qual foi o capital iicialmete aplicado? 8. Quato tempo será ecessário para que um capital quituplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês? 9. O que rede mais: Alterativa I: aplicar um capital durate dois aos, à uma taxa de juros de simples de 3,2% ao mês; Alterativa II: aplicar, durate dois aos, 30% deste capital à uma taxa de 5% ao mês e o restate à uma taxa de 2,8% ao mês Maurício R. Cury Edição 2-2011 7

10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de $5.000 durate um ao forma um motate de $5.900? Repetir o cálculo cosiderado taxa de juros mesal. 2.2 Descoto Simples Por muitas vezes as empresas ecessitam de recursos fiaceiros de terceiros. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação cohecida como descoto de título de crédito. O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de alguém com a empresa para o pagameto em uma determiada data. A empresa ecessitado da atecipação deste diheiro recorre à uma istituição fiaceira que aplica um descoto o valor do título. Este descoto é o juro cobrado pela istituição fiaceira pela atecipação do diheiro. Chama-se Valor de Face, ou Valor Nomial do título, o valor omialmete expresso este título. O Valor de Resgate é o valor atecipado pelo Baco após ser aplicado o descoto. A Taxa de Descoto é o ídice usado para calcular o descoto e o Período de Atecipação é em quato (tempo) o título foi atecipado. Chama-se Descoto Simples por ser calculado detro do regime de capitalização simples. O Descoto pode ser de dois tipos : (I) Descoto Simples Bacário, ou Comercial ou Por Fora e (II) Descoto Simples Racioal, ou Por Detro. A omeclatura utilizada é: Valor de Resgate (ou Valor Presete, pois ocorre ates de ) Valor de Face ou Valor Nomial i Taxa de Descoto (taxa de juros e deve ser expressa com um determiada periodicidade). Período de atecipação D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal 2.2.1 Descoto Simples Bacário Também chamado de Descoto Por Fora, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o Valor de Face do título. Db i Maurício R. Cury Edição 2-2011 8

Db Destas duas fórmulas vem: i i 1 ( i ) ou 1 ( i ) i 1 1 i Exercícios: 11. Qual o valor do descoto de um título de $22.500 descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples bacário de 2,8% ao mês? 12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples bacário utilizada foi de 3,2% ao mês? 13. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $9.550. Calcular a taxa de descoto simples bacário utilizada. 14. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sedo aplicada uma taxa de descoto simples bacário de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 16. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por Maurício R. Cury Edição 2-2011 9

descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples bacário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Valor Vecimeto Nomial Título 1 $12.500 150 dias Título 2 $10.360 135 dias Título 3 $ 9.990 125 dias Título 4 $ 7.500 97 dias Título 5 $21.000 90 dias Título 6 $ 2.340 55 dias 2.2.2 Descoto Simples Racioal Também chamado de Descoto Por Detro, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate. Dr Dr i i 1 1 ( + i ) ( + i ) 1 i 1 i Exercícios: 17. Qual o valor do descoto de um título de $22.500 descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples racioal de 2,8% ao mês? Maurício R. Cury Edição 2-2011 10

18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples racioal utilizada foi de 3,2% ao mês? 19. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $9.550. Calcular a taxa de descoto simples racioal utilizada. 20. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sedo aplicada uma taxa de descoto simples racioal de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $28.200 e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 22. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples racioal de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Valor Vecimeto Nomial Título 1 $12.500 150 dias Título 2 $10.360 135 dias Título 3 $ 9.990 125 dias Título 4 $ 7.500 97 dias Título 5 $21.000 90 dias Título 6 $ 2.340 55 dias Maurício R. Cury Edição 2-2011 11

3. Juros Compostos 3.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros compostos os juros calculados um período serão acrescidos ao capital pricipal para o cálculo dos juros o próximo período. Por esta razão diz-se, o caso de regime de capitalização composta, juros sobre juros. Observe o diagrama abaixo, ode é aplicado um capital de $ 1.000 durate períodos à uma taxa de 1% por período. 1 1.000+10 2 1.010+10,10 3 1.020,10+10,20 4 1.030,30+10,30 INT 1 10 INT 2 10,10 INT 3 10,20 INT 4 10,30 0 1 2 3 4 Períodos 1.000 No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital 1.000 gerado juros INT 1 10 e formado o motate (1), 1 1.010. No segudo período a taxa de juros foi aplicada sobre o motate do período aterior (1), 1 1.010, gerado juros de INT 2 10,10 e formado o motate 2 1.020,10. E assim sucessivamete a cada período. Revedo : de Valor Presete ou Capital Iicial de Valor Futuro ou Motate INT de Juros i de taxa de juros de período ou tempo O Motate pode ser calculado pela seguite fórmula: + j 1 j INTj j ou i) i) i)... ( i) 14444244444 1+ 3 vezes Maurício R. Cury Edição 2-2011 12

( i) 1 + Da mesma maeira, para calcular o Valor Presete: 1 ( + i) Os Juros são calculados pela fórmula: INT- No exemplo acima, para cada período: Período Juro Capital 0 1.000,00 1 10,00 1.010,00 2 10,10 1.020,10 3 10,20 1.030,30 4 10,30 1.040,60 Note que o capital e os juros crescem segudo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa: i) 1+ i i) 1 i 1 1 Para o cálculo do úmero de períodos: Maurício R. Cury Edição 2-2011 13

i) i) ( + i) l ou log i) l 1 l 1 log ( + i) l ou log i) log l l i) ou log log 1 ( + i) Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $35.000 aplicado durate 4 aos à uma taxa de 12% ao ao? 35.000 (1 + 0,12) 4 35.000 1,573519 55.073,18 2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 10 meses para produzir um motate de $5.800? 5.800 0,03) 5.800 1,343916 10 4.315,74 3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durate 3 aos? Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar 3 aos para 6 semestres. +INT6.000+1.813,567.813,56 Maurício R. Cury Edição 2-2011 14

i 1 1 6 7.813,56 1 6.000 1 1,045 1 0,045 4,5% a. s. 4. Durate quato tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mesalmete, para obter um motate de $1.240.959,51? 1.240.959,51 l l 1.000.000 0,21588488 14, 50 ( + i) l 0,015) l 1 0,01488861 meses Exercícios: 23. Calcular o motate de um capital de $7.800.000 aplicado durate 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 24. Um capital de $66.200 foi aplicado durate 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmete. Após este período, o capital resultate foi aplicado por mais 3 aos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmete. Calcular o valor do motate após este período. 25. Quato de capital é ecessário aplicar hoje, para que daqui a 16 bimestres forme um motate de $3.950,67 sabedo-se que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao bimestre, capitalizável bimestralmete? 26. Qual a taxa de juros compostos ecessária para que um capital de $100.000 forme um motate de $185.000 durate 7 meses? 27. Em quato tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determiado capital? 28. Numa determiada data foram aplicados dois capitais: um de $100.000 à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de 150.000 à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quato tempo os motates das duas aplicações ficaram iguais? 29. Qual ivestimeto é mais retável: aplicar $50.000 e resgatar $75.000 após 7 meses ou, aplicar $25.000 e resgatar $50.000 após 12 meses? 30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2 aos? Maurício R. Cury Edição 2-2011 15

31. Se a cadereta de poupaça rede 0,5% ao mês, quato deverei aplicar para que ela reda juros de $20.000 após 6 semestres? 32. Uma loja está vededo um televisor por $1.500 a vista ou em duas parcelas mesais de $766,50 cada, sedo a primeira de etrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabedo que daqui a um mês esta aplicação me rederá $75,00 de juros, qual a maeira mais vatajosa para mim se eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacado todo o diheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacado o suficiete para dar a etrada e deixar o restate aplicado durate um mês para depois pagar a seguda prestação? 3.2 Cálculo do motate para período fracioário Quado o úmero de períodos de capitalização for um úmero fracioário, existem dois critérios para se calcular o motate. 3.2.1 Coveção Expoecial Neste caso são usados juros compostos tato para a parte iteira como para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: 1 k + ( + i) m ode é a parte iteira do úmero de períodos e k/m é parte fracioária do úmero de períodos. Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização mesal, temos 7 e k/m15/300,5. Ou para um período de 1 ao e 20 dias e capitalização aual temos 1 e k/m20/3600,0555... Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $5.000.000 aplicado à uma taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmete, durate 310 dias? Para passar o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias 5,16666.+k/m.. 5.000.000 60 310 0,03) 5.000.000 1,1649993 5.824.996, 46 2. Qual o motate gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? Maurício R. Cury Edição 2-2011 16

Neste caso 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias). 1.500.000 30 10 6+ ( 1 + 0,02) 1.500.000 1,13362067 1.700.431, 00 3.2.2 Coveção Liear Neste segudo critério são usados juros compostos para a parte iteira e juros simples para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: i) 1+ i k m Utilizado os dados do exemplo 2 aterior: 2. Qual o motate gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias). 1.500.000 Exercícios: 10 30 6 0,02) 1+ 0,02 1.500.000 1,126162 1,006666 1.700.505, 25 Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados: 33. Calcular o motate de um capital de $12.200.000 aplicado durate 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 34. Um capital de $15.234 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 18,4% ao ao, capitalizável aualmete, durate 6 aos e 3 trimestres. Calcular o motate. 35. Um capital de $9.990.420 foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmete, durate 2 aos e 2 trimestres. Calcular o motate. Maurício R. Cury Edição 2-2011 17

3.3 Descoto Composto Os coceitos de descoto composto são os mesmos que os de descoto simples, vistos ateriormete. A difereça é que o descoto composto está o regime de capitalização composta. Ele pode ser Descoto Composto Bacário (ou por Fora) ou Descoto Composto Racioal (ou por Detro), sedo este segudo o mais utilizado pelas istituições fiaceiras. Os termos utilizados esta operação são os mesmos do descoto simples. Relembrado: - Valor Nomial ou Valor de Face do título () é o valor do título a data do seu vecimeto; - Valor de Resgate do título () é o valor atecipado recebido pelo credor; - Descoto (D) é o valor cobrado pela istituição que realizou a operação; D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal - Período de Atecipação () é em quato tempo o baco adiatou o pagameto; - Taxa de Descoto (i) é a taxa de juros, com determiada periodicidade, cobrada pela istituição fiaceira. 3.3.1 Descoto Composto Racioal, ou Por Detro Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate do título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas o item sobre Juros Compostos, exceto a primeira: Dr ( i) 1 + 1 ( + i) i 1 1 Maurício R. Cury Edição 2-2011 18

l l i) Exemplos: 1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto racioal composto de 3,5% ao mês? Qual o valor do descoto? 4.800 i) 0,035) 4.800 1,071225 2 4.480,85 D r 4.800-4.480,85319,15 O valor de resgate é de R$4.480,85 e o descoto é de R$319,15 2. Qual a taxa de descoto racioal composto foi aplicada a uma duplicata de R$2.100 resgatada 90 dias ates do seu vecimeto por R$1.924,60? i 1 1 2.100 1.924,60 1 3 1 0,0295 2,95% a. m. 3.3.2 Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de face do título. As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir: Db 1 1 ( i) ( i) Maurício R. Cury Edição 2-2011 19

i 1 1 l l 1 ( i) Exemplos: 1. Quato tempo foi atecipado um título de R$15.000 resgatado por R$12.507,53, sabedo que o baco aplica uma taxa de descoto composto comercial de 3,25% ao mês? a) pela fórmula: l l 1 12.507,53 l 15.000 ( i) l( 1 0,0325) 0,181719 0,033040 5,5 Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias. 2. Qual o valor do descoto que o Baco aplicou sobre um título de R$3.050, descotado 45 dias ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto bacário composto de 4% ao mês? 1,5 ( 1 i) 3.050 ( 1 0,04) 3.050 0,940604 2.868, 84 D b 3.050-2.868,84181,16 O valor do descoto é de R$181,16 Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Descoto Racioal e Descoto Bacário): 36. Um título de $34.000 foi resgatado 130 dias ates do seu vecimeto. Se o baco utiliza uma taxa de descoto composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do título e o valor do descoto. Maurício R. Cury Edição 2-2011 20

37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses ates do seu vecimeto. Calcular o valor de face deste título sabedo-se que a taxa de descoto composto utilizada foi de 6,2% ao bimestre. Calcule também o valor do descoto. 38. Quato tempo foi atecipado um título de $40.000, resgatado por $38.451, se a taxa de descoto composto é de 9% ao trimestre? 39. Se um título de $100.000 é resgatado 85 dias ates do seu vecimeto por $92.145, calcule qual a taxa de descoto composto utilizada. 40. Uma empresa descotou um título de $45.000, 45 dias ates do seu vecimeto, por $38.376,94. A empresa aplicou este valor o mercado fiaceiro e após 30 dias redeu juros de $1.074,55. Aalisar se esta operação foi vatajosa para a empresa levado-se em cota que o diheiro cotiuou aplicado após os 30 dias. 41. Uma empresa realizou o descoto de vários títulos em vários bacos que praticam taxas de descoto composto diferetes, coforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total obtido o mercado fiaceiro à uma taxa de juros compostos de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrado a evolução dos juros e do motate desta aplicação, a cada mês, até o sexto mês. Baco Valor do Título Vecimeto Taxa de Descoto Baco 1 $120.000 240 dias 6,38% ao bimestre Baco 2 $ 75.500 160 dias 8,87% ao trimestre Baco 3 $ 82.800 125 dias 3,74% ao mês Baco 4 $210.000 92 dias 3,01% ao mês Baco 5 $102.550 60 dias 0,15% ao dia Maurício R. Cury Edição 2-2011 21

4. Taxa de Juros omial, proporcioal, efetiva e equivalete Taxa de Juros omial é aquela cujo valor é uma referêcia. Geralmete é expressa para periodicidade aual e trasformada para periodicidade meor de forma proporcioal. Taxa de Juros proporcioal é aquela calculada proporcioalmete ao juro omial (como o juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros mesal proporcioal à 12% ao ao? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1% ao mês. Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamete é aplicada o cálculo. Taxas de juros equivaletes, quado duas ou mais taxas com periodicidades diferetes são aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo tempo e produzem o mesmo motate, diz-se que elas são equivaletes. No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivaletes utiliza-se a seguite fórmula: ( 1 + ) 2 1 1 ieq i ode 2/1 é a relação etre a periodicidade das taxas equivaletes. Exemplos: cosiderado uma taxa omial de 24% ao ao o regime de capitalização composta: São taxas proporcioais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao semestre, etc Se a capitalização é mesal, etão 2% ao mês é a taxa efetiva. As taxas a seguir são equivaletes à 2% ao mês: i i i i eq eq eq eq 0,02) 0,02) 3 1 0,02) 2 1 6 1 1 0,0404 4,04% a. b. 1 0,0612 6,12% a. t. 1 0,1262 12,62% a. s. 0,02) 12 1 1 0,2682 26,82% a. a. Ou seja, se aplicar um capital a 2% a.m. durate meses, produzirá o mesmo motate se for aplicado este capital a 4,04% a.b. durate /2 bimestres ou a 6,12% a.t. durate /3 trimestres ou a 12,62% a.s. durate /6 semestres ou a 26,82% a.a. durate /12 aos. Maurício R. Cury Edição 2-2011 22

Observação: Apesar de ão ser muito aplicado, pode-se dizer que uma taxa equivalete o regime de juros simples, é a taxa proporcioal. Por exemplo, uma taxa omial de 12% ao ao, o regime de juros simples, 1% ao mês é uma taxa proporcioal e é também a taxa efetiva (é efetivamete usada o cálculo dos juros) e a taxa equivalete (produz o mesmo motate que 12% ao ao, se aplicada ao mesmo capital, durate o mesmo período). Exercícios: 42. Calcular as taxas equivaletes mesais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais e auais cosiderado: (a) Taxa omial de 18,24% ao ao e capitalização composta mesal; (b) Taxa omial de 26% ao ao e capitalização composta semestral; (c) Taxa omial de 8,9% ao ao e capitalização composta trimestral 43. Calcular as seguites taxas equivaletes (capitalização composta): (a) 14% ao ao em taxa mesal (b) 4% ao trimestre em taxa aual (c) 8% ao semestre em taxa aual (d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral (e) 1,2% ao mês em taxa diária (f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral 44. Qual das seguites taxas de juros compostos apreseta maior retabilidade? (a) 1,90% ao mês (b) 3,75% ao bimestre (c) 5,75% ao trimestre (d) 12,00% ao semestre (e) 24,00% ao ao Maurício R. Cury Edição 2-2011 23

5. Iflação e correção moetária Iflação sigifica simplesmete aumeto de preços durate um período. Em maior ou meor grau ela está presete a ecoomia de todos os países. A iflação pode ter diversas causas como aumeto da demada dos produtos e desvalorização da moeda acioal por emissão exagerada de diheiro. Se um determiado período houver retração os preços, a deomiação dada é deflação. A correção moetária visa corrigir a perda moetária causada pela iflação. No Brasil existem diversos ídices para correção moetária, cada um com uma base de cálculo e uso específicos. Algus dos ídices de iflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M, INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC. Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Ídice Nacioal de Preço ao Cosumidor), que é um ídice calculado pelo IBGE. A variação dos preços, o caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de cada mês e tem, como uidade de coleta, estabelecimetos comerciais e de prestação de serviços, cocessioária de serviços públicos e domicílios (aluguel e codomíio). A população-objetivo do INPC abrage as famílias com redimetos mesais compreedidos etre 1 e 6 saláriosmíimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação pricipal e residete as áreas urbaas das regiões qualquer que seja a fote de redimetos, e residetes as áreas urbaas das regiões. A tabela a seguir mostra todos os ídices do INPC o ao de 2010. Mês de 2010 INPC INPC acumulado o ao Mês de 2010 INPC INPC acumulado o ao Jaeiro 0,88% 0,8800% Julho -0,07% 3,3112% Fevereiro 0,70% 1,5861% Agosto -0,07% 3,2389% Março 0,71% 2,3074% Setembro 0,54% 3,7963% Abril 0,73% 3,0543% Outubro 0,92% 4,7513% Maio 0,43% 3,4974% Novembro 1,03% 5,8302% Juho -0,11% 3,3836% Dezembro 0,60% 6,4652% Observe que os ídices egativos dos meses juho, julho e agosto, idicam uma deflação este período e, os demais meses, iflação. Maurício R. Cury Edição 2-2011 24

Para eteder estes úmeros, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 o dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de jaeiro de 2010 ela teria que dispor de R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 R$ 100,88 e teria que dispor de R$ 100,88 x 1,007 R$ 101,58 em 28 de fevereiro de 2010. O objetivo pricipal deste módulo é o cálculo da correção moetária com ou sem juros agregados. Primeiramete trataremos do cálculo da iflação acumulada um determiado período. c ( + c ) ( 1 + c ) c )... ( 1 + c ) 1 ac 1 1 2 3 Ode c ac iflação acumulada o período de 1 a. C j iflação o período j (j1,2,3...) Como exemplo, qual o INPC acumulado o primeiro semestre de 2010? c 1,0088 1,007 1,0071 1,0073 1,0043 0,9989 1 3,3836% ac Para o cálculo da correção moetária um determiado período: 1 + ( ) c ac Para fazer a correção moetária de um valor de R$ 500 em 31 de dezembro de 2009 para 30 de juho de 2010: 500 1,0033836 516,91 5.1 Taxa de juros omial e taxa de juros real No item aterior foi tratada apeas a correção moetária. Em muitos cálculos a ecoomia, além da correção moetária há a adição de juros, como por exemplo o cálculo da cadereta de poupaça e do FGTS. Os juros represetam o redimeto real obtido, sedo deomiados juros reais. Os juros reais mais a correção moetária são os juros omiais. Para o cálculo da taxa de juros omial, um determiado período, temse: i i ) c ) 1 N ac ac Ode i N taxa de juros omial do período i ac taxa de juros real o período Exemplos: Maurício R. Cury Edição 2-2011 25

1. Se determiada aplicação rede juros reais de 0,5% ao mês mais correção moetária segudo o INPC: - Taxa de juros omial em setembro de 2010: i N 1,005 1,0054 1 1,043% - Taxa de juros real acumulada o ao de 2010: i ac 1,005 12 1 6,168% - Taxa de juros omial acumulada o ao de 2010: i N 1,06168 1,064652 1 13,03% - se foi aplicado um valor de R$ 1.000 em 31/12/2009, o motate em 31/12/2010 seria de 1000 1,1303 1.130,30 2. Qual o INPC acumulado o 2º semestre de 2010? c 0,9993 0,993 1,0054 1,0092 1,0103 1,006 1 2,98% ac 3. Se um valor de R$ 3.400 foi aplicado em 30/06/2010, um fudo que rede juros reais de 0,25% ao mês mais correção moetária pelo INPC, calcular a taxa de juros real, a taxa de juros omial e o valor do motate em 31/12/2010. Taxa de juros real: i ac 1,0025 6 1 1,5094% Taxa de juros omial: i N 1,015094 1,0298 1 4,5344% Motate em 31/12/2010: 3400 1,045344 3.554,17 Exercícios: Cosidere a tabela a seguir do IPC (Ídice de Preços ao Cosumidor) de 2009 e 2010, para a resolução dos exercícios. O IPC/FIPE mede a variação de preços para o cosumidor a cidade de São Paulo com base os gastos de quem gaha de um a vite salários míimos. Maurício R. Cury Edição 2-2011 26