PME 00 MECÂNIC B Teceia Pova de junho de 0 Duação da Pova: 0 minutos (não é pemitido o uso de calculadoas) ª Questão (,0 ponto) Na palesta do dia de maio foi dada intepetação consistente à aplicação da seunda Lei de Newton a uma patícula de massa vaiável, a qual, em um efeencial inecial, é escita na foma de Mechesky: mv F + m ( u v) () Em (), F é a foça atuante sobe a patícula, v é sua velocidade e u é a velocidade da massa que é anha (ou pedida) imediatamente antes (ou depois) do pocesso de anho (ou peda). Considee aoa um bloco de massa m(t), deslocando-se sem atito, ao lono de uma uia, po onde é suspenso. bloco, em tanslação etilínea, pode se modelado como se fosse uma patícula. uia é eta e paalela a uma esteia, que po sua vez se move com velocidade constante U. bloco absove massa paticulada da esteia, de foma que a taa de aumento de a U sua massa é dada pela lei m Ce ; C > 0; a > 0. Considee que as patículas ataídas, no momento da adesão, têm velocidade u Ui + Wj. É conhecida a massa do bloco, m 0, antes do início do pocesso de tansfeência de massa. Pede-se: (a) Detemine a foça eativa nomal N F j Nj, aplicada pela uia ao bloco, decoente do pocesso de tansfeência y de massa. Intepete o esultado. (b) Deduza a lei que deve ee a intensidade de uma foça F, a se aplicada ao bloco, de foma a fazê-lo movimenta-se ao lono da uia com velocidade constante v V. (c) que acontece se v V U? Intepete o esultado. ϕ ª Questão (,0 pontos) pêndulo esféico da fiua é composto po uma baa de compimento L e peso despezível e uma patícula P de massa m. pêndulo está aticulado po uma ótula esféica, sem atito. Consideando as y L coodenadas enealizadas e, pede-se: (a) detemina a eneia cinética T do pêndulo esféico (use o tiedo otonomal u, t, b, onde t petence ao plano Pz e b u t ); P t z T V (b) detemine, e a foca enealizada não consevativa Q ; b u ϕ ϕ (c) deduzi as equações de movimento do pêndulo esféico, usando o fomalismo de Laane; (d) tendo em vista os valoes do ítem (c) e a equacao de Laane, moste que a quantidade de movimento anula j i F U enealizada na coodenada, T, é invaiante. ϕ ª Questão (,5 pontos) No sistema plano mostado na fiua, a peça em foma de T, aticulada no ponto, é fomada po duas baas homoêneas de massa m e compimento L. peça está acoplada no ponto B a um conjunto composto po mola de iidez k e po amotecedo viscoso linea de constante c. Este conjunto mola-amotecedo não tem estições de movimento na hoizontal e pemanece na vetical paa qualque valo de, sem pede o contato com o solo. mola tem defomação nula quando 0. Uma foça vetical F(t) é aplicada ao ponto D, confome ilustado na fiua. Usando como coodenada enealizada, pede-se: (a) equação de movimento usando o método de Laane (b) Fazendo F(t) 0, detemina a posição de equilíbio (c) Lineaiza a equação de movimento em tono da posição de equilíbio do item (b) D L F L k B c
4ª Questão (,5 pontos) - Baseada no EMSC# sistema mostado na fiua é composto pela baa, de massa despezível, e pela baa cilíndica B, de aio, massa m e compimento L. s sistemas de coodenadas yz (solidáio à baa B) e XYZ são tais que é o ânulo ente os eios y e Z e ψ é o ânulo ente o eio X e a pojeção do eio y sobe o plano XY. vínculo no ponto, ente as baas e B, só pemite a otação elativa da baa B em tono do eio, que, po sua vez, está sempe no plano XY. No vínculo em há uma mola, que fonece um momento π M mola k i na baa B. sistema é iualmente solicitado 4 po um toque de acionamento M ac M b K e po um ψ + tol toque esistivo c i M es X Z ψ M ac B M es y z Y Dados Momentos de inécia em elação ao baicento de cilindo de aio, compimento L e massa m m m( + L ) com eio lonitudinal paalelo a y: J y, J J z Tabela : Condições analisadas no EMSC# Condição c (Nms/ad) M (Nm) b (Nmad/s) Pede-se: (0) (ad) ( 0) ψ (0) (ad) (ad/s) (ad/s) 0 0 0 π/ 0 0 0 0 0 0 π/ 0 0 40 0 40 π/ 0 0 0 4 0. 40 π/ 0 0 0 5 0 4 π/ 0 0 -.7 a) Calcula a eneia cinética do sistema usando e ψ como coodenadas enealizadas. b) Detemina as equações do movimento paa as coodenadas e ψ, usando o método de Laane. c) bsevando-se a Fiua, identifique a coodenada enealizada epesentada no áfico, bem como a condição na Tabela coespondente a esta fiua. Eplique o poquê deste compotamento. d) bsevando-se a Fiua, identifique a coodenada enealizada epesentada no áfico, bem como a condição na Tabela coespondente a esta fiua. Eplique o poquê deste compotamento. ψ ( 0) Fiua Fiua
RESLUÇÃ ª Questão (,0 ponto) Na palesta do dia de maio foi dada intepetação consistente à aplicação da seunda Lei de Newton a uma patícula de massa vaiável, a qual, em um efeencial inecial, é escita na foma de Mechesky: mv F + m ( u v) () Em (), F é a foça atuante sobe a patícula, v é sua velocidade e u é a velocidade da massa que é anha (ou pedida) imediatamente antes (ou depois) do pocesso de anho (ou peda). Considee aoa um bloco de massa m(t), deslocando-se sem atito, ao lono de uma uia, po onde é suspenso. bloco, em tanslação etilínea, pode se modelado como se fosse uma patícula. uia é eta e paalela a uma esteia, que po sua vez se move com velocidade constante U. bloco absove massa paticulada da esteia, de foma que a taa de aumento de a U sua massa é dada pela lei m Ce ; C > 0; a > 0. Considee que as patículas ataídas, no momento da adesão, têm velocidade u Ui + Wj. É conhecida a massa do bloco, m 0, antes do início do pocesso de tansfeência de massa. Pede-se: (a) Detemine a foça eativa nomal N F j Nj, aplicada pela uia ao bloco, decoente do pocesso de y tansfeência de massa. Intepete o esultado. (b) Deduza a lei que deve ee a intensidade de uma foça F, a se aplicada ao bloco, de foma a fazê-lo movimentase ao lono da uia com velocidade constante v V. (c) que acontece se v V U? Intepete o esultado. Solução: (a) Da Eq. (), com v i + y j e sabendo que y 0 e y 0, seue, na dieção j, que F y t N m( t) mw m0 + m ( t) dt mw m0 + Ce dt WCe ; C > 0; a > 0 t 0 a U a U 0. u seja, a uia aplicaá ao bloco uma foça a ela pependicula, composta po uma pacela eativa à foça peso (que vaia no tempo devido ao aumento de massa) e uma seunda pacela, de intensidade iual ao poduto ente a taa de tansfeência de massa e a componente vetical de velocidade das patículas tansfeidas. Esta seunda pacela tem o sentido oposto ao da componente vetical de velocidade das patículas que são tansfeidas atavés de um pocesso de impacto contínuo. (b) Também da Eq. (), consideando a tanslação na dieção, tal que v, a espectiva equação de movimento fica dada po m + m ( U ) F. ssim, a foça a se aplicada ao bloco, de foma a mante sua velocidade constante, v V, seá dada po F m ( V U ). Esta foça é iual ao poduto ente a taa de tansfeência de massa e a velocidade elativa. Se o bloco tive velocidade supeio à velocidade da esteia, a foça a se a ele aplicada deveá se positiva (consideando acéscimo de massa). Sob a paticula lei de tansfeência de massa aqui consideada, a a V U foça a se aplicada toma a foma F Ce ( V U ). Note que tal foça teá então intensidade eponencialmente decescente com a velocidade elativa. (c) taa de tansfeência de massa seá máima quando a velocidade elativa fo nula, i.e., v V U. Po outo lado, nesse caso, o bloco mante-se-á com velocidade constante, aumentando sua quantidade de movimento, via aumento de massa, sem que foça aluma pecise a ele se aplicada, na dieção da tanslação etilínea. Isso ocoe poque, nesse caso, as patículas tansfeidas ao bloco são tanspotadas pela esteia com velocidade hoizontal idêntica à do bloco, U V v, a qual se deseja mante constante. (*) Cabeia ainda discuti a lei de aplicação de toque ao eio de tação da esteia, de foma a mante sua velocidade constante duante o pocesso de alimentação e de tansfeência de massa ao bloco. estudo de um poblema industial, envolvendo um conjunto seiado de blocos, seia analoamente abodado. poblema de contole a ele associado estaia então bem posto, como o de um eulado de velocidades. j i F U
ª Questão (,0 pontos) ϕ pêndulo esféico da fiua é composto po uma baa de compimento L e peso despezível e uma patícula P de massa m. pêndulo está aticulado po uma ótula esféica, sem atito. Consideando as y coodenadas enealizadas e, pede-se: L (a) detemina a eneia cinética T do pêndulo esféico (use o tiedo otonomal u, t, b, onde t petence ao plano Pz e b u t ); P t z T V (b) detemine, e a foca enealizada não consevativa Q ; b ϕ ϕ u (c) deduzi as equações de movimento do pêndulo esféico, usando o fomalismo de Laane; (d) tendo em vista os valoes do ítem (c) e a equacao de Laane, moste que a quantidade de movimento anula T enealizada na coodenada,, é invaiante. ϕ Solução: (a) P Lu, () e a velocidade de P é a deivada da posição Lu L b + K () v P ( ) u Entetanto, o veso K pecisa se descito na base especificada, K cos u sen t () o substitui K da eq. na eq. esulta L b + sen t (4) v P ( ) eneia cinética pode se calculada, T ml ( + sen ) (5) (b) eneia potencial depende apenas da foça avitacional V ml( cos ) (6) e a deivada pacial com espeito a, V 0 (7)
Da eneia cinética, T 0 (8) e do tabalho vitual não consevativo δw 0 Q 0 (9) (c) T ml ( sen ) (0) e, potanto, a deivada da quantidade de movimento tona-se d dt T ml ( sen ) + sen cos V T Lembando aluns esultados do item (b), 0 e 0, a equação de Laane na coodenada enealizada esulta () sen + sen cos 0 () Inicia-se, aoa, a montaem da equação de Laane na coodenada enealizada. quantidade de movimento anula enealizada é T ml () e a deivada tempoal da quantidade de movimento tona-se d dt T ml (4) seui, detemina-se a deivada pacial de T com espeito a, T ml sen cos (5) e a deivada pacial de V com espeito a, V mlsen (6)
Pode se escita a equação se Laane na coodenada enealizada, 0 cos + sen L sen (7) (d) equação de Laane na coodenada é Q V T V T dt d (8) Uma vez que, 0 Q V T V (9) esulta, cte T T dt d 0 (0) ou seja, é invaiante.
L ª Questão (,5 pontos) No sistema plano mostado na fiua, a peça em foma de T, aticulada no ponto, é fomada po duas baas homoêneas de massa m e compimento L. peça está acoplada no ponto B a um conjunto composto po mola de iidez k e po amotecedo viscoso linea de constante c. Este conjunto mola-amotecedo não tem estições de movimento na hoizontal e pemanece na vetical paa qualque valo de, sem pede o contato com o solo. mola tem defomação nula quando 0. Uma foça vetical F(t) é aplicada ao ponto D, confome ilustado na fiua. Usando como coodenada enealizada, pede-se: (a) equação de movimento usando o método de Laane (b) Fazendo F(t) 0, detemina a posição de equilíbio (c) Lineaiza a equação de movimento em tono da posição de equilíbio do item (b) D L F k B c Resolução (a) Eneia cinética: T ( 4m) V. V + ( 4m) V. k ( G ) t [ ] + { k } [ I ]{ k } m4l m4l 5mL T J + T (0,5) Eneia potencial: ( ) V VGav + VElástica mlcos + k Lsen (0,5) 5mL L T V + mlcos k Lsen Função Laaneana: ( ) Função de dissipação de Rayleih: ( ) R c y B, onde y B Lsen R c( Lcos ) (0,5) Foça enealizada: yd Q F, onde y D Lsen Q FLcos (0,5) Equação de Laane: L 0 d L 0 ml L R ml ; mlsen kl sen cos ; dt cl cos 0 ml + mlsen + kl sen cos + cl cos FLcos (0,5) (b) Fazendo-se F(t) 0, a posição de equilíbio é 0, pois o baicento do conjunto enconta-se ao lono do semento e a mola tem defomação nula nesta condição. mesmo esultado seia obtido fazendo-se V 0 mlsen + klsen cos 0 uma solução possível é sen 0 0 (0,5)
(c) Lineaizando-se dietamente, e lembando que nas condições do item (b) F(t) 0, tem-se: 0 ml + ml + kl + cl 0 (0,5) ltenativamente, pode-se esceve a + b + cl 0 onde ( 0) a ; T α α 0 a ml e b V 0 b ml cos + kl cos kl sen 0 b ml + kl
4ª Questão - Baseada no EMSC# t (a) Eneia cinética: T mv. V + mv.[ ω ( G ) ] + { ω } [ I ]{ ω } abs onde V 0, ω i + ψ K e K cos j + sen k ω i ψ cos j + ψ sen k abs abs abs abs e J 0 I 0 I 0 0 0 0 J, com m I e L J J Gz + m m ml J + 4 T J + Iψ cos + Jψ sen T m ml m m ml ψ cos ψ sen + 4 + + + 4 (,0) (b) (,5) L Eneia potencial: V VGav m cos Função Laaneana: L L T V J + Iψ cos + Jψ sen + m cos Foças enealizadas: Q M mola + M es π c k e 4 Q ψ M ac M b ψ + tol Equação de Laane: Coodenada : L d L J L L J ; Iψ cos sen + Jψ cos sen m sen dt L π J + Iψ cos sen Jψ cos sen + m sen c k 4
Coodenada ψ : L Iψ cos + Jψ sen ψ L 0 ψ ( I cos + Jsen ) ψ + ψ sen cos ( J I ) d dt L ψ ψ I cos I cos sen + J ψ sen + Jψ cos sen ψ M b ψ + tol (c) (0,5) temo Iψ cos sen + Jψ cos sen, doavante chamado Mc, na equação da coodenada enealizada está associado ao momento da foça centípeta. Se este momento estivesse defasado em elação à velocidade anula de 80 aus, ele dissipaia eneia, como faz a foça de um amotecedo viscoso. Se fizemos um áfico do momento Mc e da velocidade anula em função do tempo, confome a fiua abaio, obsevaemos que há uma defasaem ente o momento e a velocidade. amplitude de foi dividida po tês e um valo constante foi adicionado (offset) paa que a defasaem pudesse se facilmente obsevada. poduto do momento Mc pela velocidade é uma potência. inteal no tempo de uma potência é tabalho ealizado W. Se o tabalho ealizado fo neativo, então o momento Mc dissipa eneia, cofome obsevado na fiua abaio.
Como e ψ paam de oscila simultaneamente, não se tata de uma tansfeência de eneia de um movimento em paa um movimento em ψ. Tata-se de dissipa eneia associada a ψ, atavés do temo -b/(ψ +tol), que constitui uma ealimentação neativa do sinal ψ. Este tipo de contole ativo e indieto (atua-se em ψ paa afeta ) atavés de ealimentação neativa é assunto abodado na Teoia de Contole. áfico apesentado epesenta a coodenada enealizada no tempo e a condição simulada é a condição 5 da tabela de condições. foça peso, a foça elástica e a foça centípeta definem o valo de no tempo elevado. d) (0,5) áfico apesentado epesenta a coodenada enealizada no tempo e a condição simulada é a condição da tabela de condições. Não há amotecimento viscoso, o momento centípeto é elevado e pemite que o sistema oscile em tono de um valo elevado de.