Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 (entregar no dia 04-02-20). Um corpo suspenso de uma mola elástica, colocada verticalmente, oscila continuamente para cima e para baio da posição de equilíbrio. No instante t (em segundos), o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio é dada, em cm, por: d(t) = 2sen t.. Com o auílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante segundo..2. Determine o valor eacto da distância do corpo à posição de equilíbrio no instante inicial da contagem do tempo. Nesse instante, o corpo encontrava-se acima ou abaio da posição de equilíbrio?.. Determine os instantes em que o corpo cruzou a posição de equilíbrio durante o primeiro segundo da contagem do tempo..4. Qual é o período desta função? Como eplicaria esse facto a alguém que não saiba matemática. 2. Num referencial o.n. considere a recta r e o plano α definidos por: α : + 2z =. Determine z + r : 2 = = e 2.. o ponto de intersecção de r com α. 2.2. as coordenadas dos pontos de intersecção da recta r com os planos coordenados. 2.. as coordenadas dos pontos de intersecção do plano α com os eios coordenados.. Na figura está representada uma circunferência de centro O e P raio. Os pontos A e B são etremos de um diâmetro da circunferência. Considera que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B. Para B O A cada posição de P seja a amplitude, em radianos do ângulo Professora: Rosa Canelas
AOP. Seja f a função que a cada valor de [ 0,] OA OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? faz corresponder o valor do produto escalar (D) A (A) B - - (B) C D (C) Faça uma pequena composição eplicando porque escolheu esse gráfico e porque é que os outros três não podem representar a situação descrita. 4. Seja g a função racional definida por g( ) + = + 2 4.. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de g com os eios coordenados. 4.2. Escreva g( ) na forma ( ) b g = a +,a,b R. + 2 4.. Escreva equações das assímptotas do gráfico de g. 4.4. Indique o domínio e o contradomínio de g. 4.5. A partir do esboço do gráfico de g indique o valor dos seguintes limites: 4.5.. lim g ( ) + 4.5.2. lim g ( ) 4.5.. lim g( ) + 2 4.5.4. lim g( ) 2 Professora: Rosa Canelas 2
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 Proposta de resolução. Um corpo suspenso de uma mola elástica, colocada verticalmente, oscila continuamente para cima e para baio da posição de equilíbrio. No instante t (em segundos), o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio é dada, em cm, por: d(t) = 2sen t.. Com o auílio da calculadora gráfica, esbocemos o gráfico da função, durante segundo..2. Determinemos o valor eacto da distância do corpo à posição de equilíbrio no instante inicial da contagem do tempo, calculando d(0) = 2sen = 2 =. Nesse 2 instante, o corpo encontrava-se abaio da posição de equilíbrio... Determinemos os instantes em que o corpo cruzou a posição de equilíbrio durante o primeiro segundo da contagem do tempo resolvendo a equação 2sen t = 0 k sen t = 0 t = k,k Z t = + k,k Z t = +,k Z 9 Vamos agora encontrar as soluções no primeiro segundo substituindo o k por valores 4 2 7 0,,2, Se k = 0 t =, se k = t = + =, se k = 2 t = + =. AO 9 9 9 9 9 substituirmos k por obtínhamos uma solução maior que, pelo que há momentos em que o corpo cruza a posição de equilíbrio em instantes como se verifica também por observação do gráfico. Professora: Rosa Canelas
.4. O período desta função é 7 = 6 = 2. O período significa o intervalo de tempo que 9 9 9 demora um ponto da mola a repetir as mesmas posições. 2. Num referencial o.n. considere a recta r e o plano α definidos por: α : + 2z =. Determinemos z + r : 2 = = e 2.. o ponto de intersecção de r com α. z + 2 = 6 = z + = 2z 2 = 2z 2 = = ( 2z 2) 6 = z + 6z 6 6 = z + + 2z = 2z 2 = = = 26 = 2 6 5 = = 2z 2 5 5z = z = = O ponto de intersecção da recta com o plano é o 5 = = z = 5 ponto de coordenadas 6,, 5 5. 2.2. as coordenadas dos pontos de intersecção da recta r com os planos coordenados. Comecemos por calcular o ponto de intersecção da recta com O fazendo z = 0 na equação da recta: 0 + 7 2 = = z = 0 = = z = 0. As coordenadas do ponto de intersecção da recta com O são 7,,0. Para calcularmos o ponto de intersecção com Oz fazemos = 0 na equação da recta: z + 0 2 = = = 0 = 0 = z = 7. As coordenadas do ponto de intersecção da recta com Oz são ( 0,, 7). A recta não intersecta o plano Oz pois é sempre e por isso não podemos fazer = 0. 2.. as coordenadas dos pontos de intersecção do plano α com os eios coordenados. Comecemos por calcular a intersecção com O fazendo = 0 z = 0 + 2z = = As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com O são (,0,0 ). A intersecção com O obtém-se fazendo: = 0 z = 0 + 2z = = = As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com O são 0,,0. Professora: Rosa Canelas 4
A intersecção com Oz obtém-se fazendo: = 0 = 0 + 2z = 2 = z = 2 As coordenadas do ponto de intersecção do plano α com Oz são 0,0, 2.. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio. Os pontos A e B são etremos de um diâmetro da circunferência. Considera que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B. Para cada posição de P seja a amplitude, em radianos do ângulo AOP. B O Seja f a função que a cada valor de [ 0,] faz corresponder o valor do produto escalar P A OA OP. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f? (D) A (A) B - - (B) C D (C) O gráfico B é o que traduz a situação pois no instante inicial o produto escalar é por o ângulo ser 0 e OA OP = cos0 =, por esta razão ecluímos os gráficos C e D. Além disso no primeiro quadrante o produto escalar é positivo e no segundo é negativo, razão pela qual ecluímos o gráfico A. Só mesmo o gráfico B pode descrever o valor do produto escalar em função do ângulo. Professora: Rosa Canelas 5
4. Seja g a função racional definida por g( ) + = + 2 4.. Determinemos as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de g com os eios coordenados. Intersecção com O: g( 0) Intersecção com O: ( ) coordenadas,0. 4.2. Vamos escrever g( ) na forma ( ) a regra de Ruffini: Então ( ) 5 g = + + 2 0 + = = o ponto tem coordenadas 0 + 2 2 0, 2 + g = 0 = 0 + = 0 + 2 0 = + 2 o ponto tem b g = a +,a,b R, começando por dividir utilizando + 2-2 -6-5 4.. As equações das assímptotas do gráfico de g são = 2 (assímptota vertical) e = (assímptota horizontal) 4.4. O domínio de g é R \ { 2} e o contradomínio de g é \ { } R. 4.5. A partir do esboço do gráfico de g indique o valor dos seguintes limites: 4.5.. ( ) lim g = + 4.5.2. ( ) lim g = 4.5.. lim g( ) + 2 4.5.4. lim g( ) 2 = = + Professora: Rosa Canelas 6
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taa de Variação e Derivada TPC nº 7 Critérios de classificação. 0.. 5.2. 0.. 0.4. 5 2. 0 2.. 0 2.2. 0 Calcular a intersecção com O 4 Calcular a intersecção com Oz 4 Justificar que não intersecta Oz 2 2.. 0 Calcular a intersecção com O 2 Calcular a intersecção com O 4 Calcular a intersecção com Oz 4. 0 4. 0 4.. 0 4.2. 6 4.. 4 4.4. 4 4.5. 6 4.5... 4.5.2.. 4.5... 2 4.5.4.. 2 Total 00 Professora: Rosa Canelas 7