Estatístca: uma defção Coleção de úmeros estatístcas O úmero de aumetou em 30%. carros veddos o país A taa de desemprego atge, este mês, 7,5%. As ações da Telebrás subram R$,5, hoje. Resultados do Caraval o trâsto: 45 mortos, 430 ferdos. A cêca de coletar, orgazar, apresetar, aalsar e terpretar dados umércos com o objetvo de tomar melhores decsões. Estatístca (dvsão) População Descrtva Idutva Os procedmetos usados para orgazar, resumr e apresetar dados umércos. A coleção de métodos e téccas utlzados para estudar uma população baseado em amostras probablístcas desta população. Uma coleção de todos os possíves elemetos, objetos ou meddas de teresse.
Ceso Amostra Um levatameto efetuado sobre toda uma população é deomado de levatameto cestáro ou smplesmete ceso. Uma porção ou parte de uma população de teresse. Amostragem O processo de escolha de uma amostra da população é deomado de amostragem. PROBABILIDADE (Matemátca) ESTATÍSTICA (Matemátca Aplcada) Uvarada Multvarada P R O B A B I L I D A D E POPULAÇÃO (Ceso) Erro AMOSTRA (Amostragem) Iferêca Estatístca Descrtva Probabldade Amostragem Estatístca Idutva
Estatístca Probabldade Arredodameto Faces Probabldades Faces Frequêcas /6 5 /6 8 3 /6 3 3 4 /6 4 5 5 /6 5 6 /6 6 7 Total Total 0 Todo arredodameto é um erro. O erro deve ser evtado ou etão mmzado. Eemplos: Regra básca: Arredodar sempre para o mas prómo.,456,46,454,45,475,48,485,48 V A R I Á V E I S QUALITATIVAS QUANTITATIVAS NOMINAL ORDINAL DISCRETA CONTÍNUA Varável Qualtatva NOMINAL ORDINAL Seo Relgão Estado cvl Curso Coceto Grau de Istrução Mês Da da semaa 3
Varável Quattatva DISCRETA CONTÍNUA Número de faltas Número de rmãos Número de acertos Altura Área Peso Volume Estatístca Descrtva Orgazação; Resumo; Apresetação. Cojuto de dados: Amostra ou População Um cojuto de dados é resumdo de acordo com as segutes característcas: Amostra ou População Tedêca ou posção cetral Dspersão ou varabldade Assmetra (dstorção) Achatameto ou curtose Tedêca ou Posção Cetral A méda Artmétca (mea) (a) As médas S m p l e s Artmétca Geométrca Harmôca Quadrátca Itera + +... + 4
A méda Geométrca A méda Harmôca m g..... m h + +... + + +... + A méda Quadrátca A méda Itera (trmmed mea) m q + +... É a mesma méda artmétca só que aplcada sobre o cojuto ode uma parte dos dados (etremos) é descartada. Eemplo Médas Cojutos m g m h 4 6 5 4,9 4,8 9 5 3,8 Relação etre as médas Dado um cojuto de dados qualquer, as médas artmétca, geométrca e harmôca matém a segute relação: m g m h 5
Tedêca ou Posção Cetral A méda Artmétca Poderada (a) As médas P o d e r a d a s Artmétca Geométrca Harmôca Quadrátca m ap. w +. w w + w. w w +... + +... + w k k. w k A méda Geométrca Poderada A méda Harmôca Poderada w m w. w gp. w w... w k k m h P w w + w w + w w + w +... + k w k k A méda Quadrátca Poderada Eemplo: m qp w +w+...+w w +w +...+w k k k w w Produtos p 0 p 0 q Care 4,80 5,5 5 kg Caa 5,0 4,94 l Ceva 0,80 0,9 lt Pão,50,0 u Total -- -- -- 6
Produtos p 0 p 0 α p(0,t) 4,80 5,5 0,58,5 5,0 4,94 0, 0,95 3 0,80 0,9 0,3,5 4,50,0 0,07,40 Total -- --,00 -- Méda artmétca poderada dos relatvos (aumetos) será:,5.0,58 + 0,95.0, +,5.0,3 +,40.0,07 m ap 0,57 + 0, + 0,3 + 0,07,43 4,3% Por esse crtéro o aumeto fo de 4,3%. Méda geométrca poderada dos relatvos (aumetos) será: m gp,5 0,58 0,95 0,,5 0,3,40 0, 07,5 0,58 0,95 0,,5 0,3,40 0,07,390 3,90 % Por esse crtéro o aumeto fo de 3,90%. Méda harmôca poderada dos relatvos (aumetos) será: m h P 0,58 0, 0, 3 + + +,5 0,95,5,348 3, 48 % 0,07, 40 Por esse crtéro o aumeto fo de 3,48%. Tedêca ou Posção Cetral (b) A medaa (meda) É o valor que separa o cojuto em dos subcojutos do mesmo tamaho. m e [ (/) + (/)+ ]/ se é par m e (+)/ se é ímpar Separatrzes A déa de repartr o cojuto de dados pode ser levada adate. Se ele for repartdo em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 0 os DECIS e se em 00 os PERCENTIS. 7
Eemplo Cosdere o segute cojuto: - 0 4 5 3 Como 7 (ímpar), etão (+)/ 4 Ordeado o cojuto, tem-se: - 0 4 3 5 Etão: m e 4 Se o cojuto for: - 0 4 5 3 - Tem-se: 8 (par) Etão m e [ / + /+) ]/ ( 4 + 5 )/ Ordeado o cojuto, tem-se: - - 0 3 4 5 m e ( 4 + 5 )/ ( + )/,50 Tedêca ou Posção Cetral (c) A moda (mode) É o(s) valor(es) do cojuto que mas se repete(m). Eemplo Cosdere o cojuto 0 3 5 Etão: m o Pos, o dos é o que mas se repete (três vezes). Cosdere o cojuto: 0 3 5 Etão: m o e m o O cojuto é bmodal. Cosdere o cojuto: 0 3 4 5 7 Este cojuto é amodal, pos todos os valores apresetam a mesma frequêca. 8
Dspersão ou Varabldade (a) A ampltude (h) (b) O Desvo Médo (dma) (c) A Varâca (s ) (d) O Desvo Padrão (s) (e) A Varâca Relatva (g ) (f) O Coefcete de Varação (s) A Ampltude (rage) h má - mí Cosdere o cojuto: - - 0 3 5 h 5 (-) 7 O dma (average devato) Cosdere o cojuto: - - 0 3 5 A méda é: + 0 + 3 + 5 5 5 5 Calculado os desvos: Tem-se: d - -3 d - - d 3 0 - d 4 3 d 5 5 4 A varâca (varace) Como pode ser vsto a soma é gual a zero. Tomado o módulo vem: dma 3 + + + + + + 4 5,40 5 Se ao vés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se: s ( ) ( 3) + ( ) + ( ) + + 4 5 9 + 4 + + 4 + 6 34 6, 80 5 5 9
O Desvo Padrão (stadard devato) A varâca de um cojuto de dados será: ( ) + ( ) +... + ( ) s ( ) s É a raz quadrada da varâca. ( ) s Se etrarmos a raz quadrada teremos do resultado ateror teremos o desvo padrão: A Varâca Relatva g s / s ( ) 6,80,6 O Coefcete de Varação g s / O coefcete de varação do eemplo ateror, será: s,6077 g 60,77% 0
Defetos em uma lha de produção Lascado Meor Deseho Maor Torto Lascado Deseho Esmalte Torto Esmalte Lascado Lascado Torto Deseho Maor Meor Meor Maor Deseho Torto...... Dstrbução de frequêcas Defeto Frequêca % Deseho 7 4,0 Esmalte 95 9,00 Lascado 97 9,40 Maor 70 4,00 Meor 83 6,60 Torto 57,40 Trcado 7 5,40 TOTAL 500 00
Apresetação Frequêcas: represetação F R E Q Ü Ê N C I A S Absoluta SIMPLES Relatva Absoluta ACUMULADAS Relatva Decmal Percetual Decmal Percetual Valores f F fr fr Fr 0 60 60 0,30 30 30 50 0 0,5 5 55 40 50 0,0 0 75 3 30 80 0,5 5 90 4 0 90 0,05 5 95 5 6 96 0,03 3 98 6 4 00 0,0 00 Total 00,00 00 Defetos em uma lha de produção % 5% 4% 0% 7% Deseho Esm alte Lascado 4% 9% Maor Meor Torto Trcado Número de rmãos dos aluos da turma G Estatístca Aplcada - PUCRS - 0/0 0 6 3 3 0 4 5 0 4 3 5 5 6 4 0 4 3 0 3 0 0
Dstrbução de frequêcas por poto ou valores da varável: Número de rmãos dos aluos da turma G da dscpla: Estatístca Aplcada - PUCRS - 0/0. N 0 de rmãos N 0 de aluos 0 7 8 3 5 4 4 5 3 6 50 Dagrama de coluas smples da varável: Número de rmãos dos aluos da turma G Dscpla: Estatístca Aplcada, PUCRS - 0/0 5 0 5 0 5 0 0 3 4 5 6 3
A méda Artmétca Neste caso, a méda a dada por: f + f. +... + f k. k f + f +... + f k f. Eemplo: f f 0 7 0 8 6 3 5 5 4 4 6 5 3 5 6 50 95 A Medaa A méda será, etão: Como 50 é par, tem-se: f. 95,90 50 rmãos me / + ( / ) + 50 / + ( 50 / ) + 5 + 6 + rmão 4
Eemplo: f F 0 7 7 8 8 36 3 5 4 4 4 45 5 3 48 6 50 50 Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 A Moda m o valor(es) que mas se repete(m) Eemplo f 0 7 8 3 5 4 4 5 3 6 50 Pos A moda ele se repete é gual mas a vezes (um) A Ampltude O Desvo Médo h má - mí h 6-0 6 rmãos. Neste caso, o dma será dado por: f +... f + + f k dma f + f +... + f k f. k 5
Eemplo: f f - 0 7 7. 0,90 3,30.,90 8,90 8 8.,90 0,80 3 5 5. 3,90 5,50 4 4 4. 4,90 8,40 5 3 3. 5,90 9,30 6. 6,90 8,0 50 64,40 O dma será, etão: dma f. 64,40,9 rmãos 50 A Varâca Neste caso, a varâca será: f( ) + f ( ) +... + f k (k ) s f ( ) f Eemplo: f f 0 7 0.7 0. 8.8 3 3 5 3.5 45 4 4 4.4 64 5 3 5.3 75 6 6. 7 50 99 O Desvo Padrão A varâca será, etão: s f 99,90 50,3700 rmãos O desvo padrão será dado por: s f,3700,5395,54 rmãos 6
O Coefcete de Varação Dvddo o desvo padrão pela méda pelo, tem-se o coefcete de varação:,539480 g,90 8,03% Idade (em meses) dos aluos da turma G da dscpla: Probabldade e Estatístca - PUCRS - 0/0 76 45 345 40 70 30 368 334 68 88 336 99 36 39 355 330 87 344 300 44 303 48 5 65 46 40 30 308 99 3 34 89 30 64 5 98 35 55 74 64 63 30 303 369 47 66 75 8 30 34 Dstrbução por classes ou tervalos da varável dade dos aluos da turma G da dscpla: Probabldade e Estatístca da PURCRS - 0/0. 7
Idades Número de aluos 30 --- 50 50 --- 70 9 70 --- 90 8 90 --- 30 7 30 --- 330 6 330 --- 350 5 350 --- 370 3 Total 50 Hstograma de frequêcas da varável Idade dos aluos da turma G de Probabldade e Estatístca da PUCRS - 0/0. f / h 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 3 0 - - - 50 50 - - - 70 70 - - - 90 90 - - - 30 3 0 - - - 33 0 33 0 - - - 3 50 350 - - - 370 Ates de apresetar as meddas,. é, represetates do cojuto, é ecessáro estabelecer uma otação para algus elemetos da dstrbução. 8
poto médo da classe; f frequêca smples da classe; l lmte feror da classe; ls lmte superor da classe; h ampltude da classe. O Poto Médo da Classe f 30 --- 50 40 50 --- 70 9 60 70 --- 90 8 80 90 --- 30 7 300 30 --- 330 6 30 330 --- 350 5 340 350 --- 370 3 360 50 A Méda da Dstrbução Eemplo: f f. 40 880 60 9 340 80 8 40 300 7 00 30 6 90 340 5 700 360 3 080 50 460 A méda será: f. 460 85,0 50 meses 9
A Medaa Neste caso, utlzam-se as frequêcas acumuladas para detfcar a classe medaa,. é, a que cotém o(s) valor(es) cetral(s). Eemplo: f F 30 --- 50 50 --- 70 9 70 --- 90 8 9 90 --- 30 7 36 30 --- 330 6 4 330 --- 350 5 47 350 --- 370 3 50 50 Total de dados 50 (par) Metade dos dados / 5 Portato, a classe medaa é a tercera. Assm 3. A medaa será obtda através da segute epressão: 50 F 70 0 me l + h + f 8 50 4 70 + 0 70 + 0 80 meses 8 8 A Moda Eemplo Neste caso é precso calmete apotar a classe modal,. é, a de maor freqüêca. Neste eemplo é a prmera com f. Assm. f 30 --- 50 50 --- 70 9 3 70 --- 90 8 4 90 --- 30 7 5 30 --- 330 6 6 330 --- 350 5 7 350 --- 370 3 50 Classe modal, pos f. 0
Crtéro de Kg: Portato a moda poderá ser obtda através de uma das segutes epressões: f + mo l + h f + f + 9 30 + 0. 50 meses 9 9 30 + 0. 0 + 9 Crtéro de Czuber: m o f f l + h.f (f + f + ) 0 30 + 0.. (0 9) + 30 + 0. 4 9 30 + 6 46 meses A Ampltude O Desvo Médo Absoluto Neste caso, o dma será dado por: h má - mí h 370-30 40 meses f +... f + + f k dma f + f +... + f k f. k
Eemplo f f. - 40. 40 85,0 54,40 60 9 9. 60 85,0 6,80 80 8 8. 80 85,0 4,60 300 7 7. 300 85,0 03,60 30 6 6. 30 85,0 08,80 340 5 5. 340 85,0 74,00 360 3 3. 360 85,0 4,40 50 6,60 O dma será, etão: dma f. 3,43 meses 6,60 50 A Varâca Neste caso, a varâca será: f ( ) + f ( ) +... + f k ( s f ( ) f ) k Eemplo f f. 40.40 6900 60 9 9.46 608400 80 8 8.80 6700 300 7 7.300 630000 30 6 6.30 64400 340 5 5.340 578000 360 3 3.360 388800 50 4 38 000 A varâca será, etão: s f 438000 85,0 50 40,96 meses O Desvo Padrão O desvo padrão será dado por: s f 40,96 37,6956 37,70 meses
O Coefcete de Varação Dvddo o desvo padrão pela méda, tem-se o coefcete de varação: 37,69563 g 3,% 85,0 Skewess Prmero Coefcete ( de Pearso) a (Méda - Moda) / Desvo Padrão Segudo Coefcete ( de Pearso) a 3.(Méda - Medaa) / Desvo Padrão Coefcete Quartílco CQA [(Q 3 - Q ) - (Q - Q )]/(Q 3 - Q ) Coefcete do Mometo a 3 m 3 /s 3, ode m 3 Σ(X - ) 3 / Coefcete 0 Cojuto Smétrco Provão 000 Curso: Odoto Coefcete < 0 Cojuto: Negatvamete Assmétrco Provão 000 Curso: Joralsmo 3
Coefcete > 0 Cojuto: Postvamete Assmétrco Provão 000 Curso: Eg. Elétrca (Kurtoss) Coefcete de Curtose (mometos) a 4 m 4 /s 4, ode m 4 Σ(X - ) 4 / Provão 000 Curso: Odoto Coefcete 3 ou 0 Cojuto: Mesocúrtco Coefcete > 3 ou (> 0) Cojuto: Leptocúrtco Provão 000 Curso: Matemátca Coefcete < 3 ou (< 0) Cojuto: Platcúrtco Provão 999 Curso: Eg. Cvl 4
Se y a +b Etão: y a + b s s y y a s a s Aálse Eploratóra de Dados As téccas de aálse eploratóra de dados cosstem em gráfcos, smples de desehar, que podem ser utlzados para resumr rapdamete um cojuto de dados. Uma destas téccas é uma forma de apresetação de dados cohecda como Caule e Folha. Apresetação Caule e Folha Para lustrar esta forma de apresetação vamos supor que o cojuto a segur é o resultado de um teste do tpo Pscotécco de 00 questões aplcados a 40 caddatos a um emprego em uma grade orgazação dustral. Eemplo Resultado de um teste, do tpo Pscotécco de 00 questões, aplcado a 40 caddatos. 44 53 67 89 98 37 60 55 48 88 47 65 8 85 90 74 4 6 7 73 77 8 60 89 5 90 6 64 66 59 50 65 50 40 93 79 55 49 56 73 5
Ramo e Folhas 3 7 4 0 4 7 8 9 9 5 0 0 3 5 5 6 9 6 0 0 4 5 5 6 7 7 3 3 3 4 7 9 8 5 5 8 8 9 9 0 0 3 8 Grado a represetação 90 graus temse um dagrama semelhate a um hstograma. Esta represetação possu duas vatages sobre o hstograma: É mas fácl de costrur; Apreseta os dados reas. Eercíco Faça um represetação utlzado a dezea como udade de folha. 565 790 644 679 008 675 900 83 756 766 580 945 733 9 854 975 870 8 954 888 634 785 855 044 965 Caa e Bgodes (Boplot) Outra forma de ter uma dea do cojuto de dados é utlzar a regra dos cco tes. Nem sempre a méda e o desvo padrão são as melhores alteratvas para resumr um cojuto de dados. A méda e o desvo padrão podem sofrer forte fluêca de valores etremos e além dsso ão forecem uma déa da assmetra do cojuto de dados. Como alteratva as segutes cco meddas são sugerdas (Tukey, 977): () A medaa; () Os etremos (mámo e mímo); () Os quarts. Estas cco meddas são deomadas de estatístcas de ordem. 6
Represetação A formação forecda por estes cco úmeros pode ser represetada em um dagrama deomado de Dagrama Caa e Bgode (BoPlot). O deseho forece uma déa da posção, dspersão, assmetra e dados dscrepates do cojuto (outlers). Traçar um retâgulo tedo como etremos os quarts e eglobado a medaa. Calcular a dstâca terquartl, sto é: D Q Q 3 Q Determar os lmtes dos potos dscrepates: Q,5 D Q Q 3 +,5 D Q BoPlot Qualquer valor abao de Q,5DQ ou acma de Q3 +,5DQ será cosderado um Q -,5D Q D Q Q +,5 D 3 Q valor dscrepate (outler). Para obter o dagrama caa e bgode (boplot) traçar duas lhas a partr do cetro do retâgulo e em Q Q Q 3 lados opostos até o últmo poto do cojuto que ão seja um poto dscrepate. Eemplo: Solução: Obteha o dagrama Caa e Bgode para o úmero de paradas semaas para mauteção de uma máqua. 3 5 7 5 3 6 8 5 4 5 5 6 9 8 6 8 7 4 8 7 4 6 Os cco valores são: Mímo Quartl um 4 Medaa 6 Quartl três 7 Mámo Os demas são: D 7 4 3 Q -,5D -0,5 Q 3 +,5D,5 Outler 7
BoPlot -0,5Q -,5D Q D Q 3 9 Q 4 Q 6 7 Q 3 Q +,5D 3 Q,5 Wlfredo Pareto O Dagrama de Pareto é uma homeagem ao egehero, flósofo, socólogo e ecoomsta talao Vlfredo Frederco Samaso Pareto (848-93). Pareto fo um dos poeros a aplcação de aálses matemátcas ao estudo dos feômeos sócoecoômcos. Dagrama Wlfredo eucou, em 897, o que passou a ser cohecdo como Prcpo de Pareto que afrma: 80% das dfculdades tem orgem em 0% dos problemas. Este prcípo podera ser colocado como estem mutos tes trvas mas poucos vtas. O Dagrama de Pareto é um gráfco de coluas smples, ode a varável está em ordem de mportâca frequêca de ocorrêca ou custo) dos problemas ou defetos. Eercíco: Normalmete o dagrama evolve a frequêca smples combada com a frequêca acumulada em um úco gráfco. É, também, comum a colocação de um sstemas de eos X Y aulares. Cosderado os dados sobre o Número de defetos uma lha de produção de azulejos, costrua o Dagrama de Pareto para a dstrbução dada. 8
Solução: Defetos Número de Azulejos Deseho 7 Esmalte 95 Lascado 97 Maor 70 Meor 83 Torto 57 Trcado 7 Total 500 Ordeado as frequêcas dadas e calculado as frequêcas relatvas e relatvas acumuladas, tem-se: Calculado as frequêcas acumuladas: Defetos Número de Azulejos Lascado 97 Esmalte 95 Meor 83 Deseho 7 Maor 70 Torto 57 Trcado 7 Total 500 Defetos % de azulejos Freq. acumulada Lascado 9,4 9,4 Esmalte 9,0 38,4 Meor 6,6 55,0 Deseho 4, 69, Maor 4,0 83, Torto,4 94,6 Trcado 5,4 00,0 Total 00 ---- Dagrama de Pareto Posções Relatvas 0 8 6 4 0 80% 0% 00 90 80 70 60 50 A méda e o desvo padrão são as duas prcpas meddas utlzadas para descrever um cojuto de dados. Elas, também, podem 8 6 40 30 ser utlzadas para comparações, sto é, para 4 0 0 forecer a posção relatva de um valor em 0 Lascado Esmalte Meor Deseho Maor Torto Trcado 0 relação ao cojuto como um todo. 9
O escore z Seja (,,..., ) uma amostra de observações. Sejam e s a méda e o desvo padrão da amostra. Etão o escore z é o valor que forece a posção relatva de cada da amostra, tedo como poto de referêca a méda e como medda de afastameto o desvo padrão. - z s O escore z forece o úmero de desvos padrão que cada valor está acma ou abao da méda. O escore,5, sgfca que este valor está um desvo e meo abao da méda. Eemplo O escore Z é também uma varável, que é obtda pela trasformação da amostra orgal. Ela apreseta méda gual a zero e desvo padrão gual a um. Cosdere o segute amostra: 36 39 38 4 45 44 35 48 35 40 40 40 36 4 37 38 37 39 39 44 4 4 39 43 4 4 39 4 35 40 44 36 40 37 40 36 39 47 40 43 34 45 38 4 46 4 43 37 38 38 7 6 5 4 3 0 Assmetra 0,33 Curtose - 0,37 34 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 46 47 48 Calcular os escores z para cada valor da amostra. Represetar os valores da amostras e os escores em dagramas para verfcar se houve alteração o formato da dstrbução dos dados. 30
Solução: A méda e o desvo padrão da amostra são: 40 e 3,69. Etão os escores padrozados serão: 0,3066 0,997-0,997-0,63-0,63 -,63-0,3066-0,63 0,3066,538,63 -,538,456 -,538 0,0000 0,0000 0,0000 -,63 0,3066-0,997-0,63-0,997-0,3066-0,3066,63 0,63 0,63-0,3066 0,997 0,63 0,3066-0,3066 0,3066 -,538 0,0000,63 -,63 0,0000-0,997 0,0000 -,63-0,3066,460 0,0000 0,997 -,8394,538-0,63 0,63,8394 7 6 Assmetra 0,37 Curtose -0,3 5 4 3 0 -,84 -,3-0,6 0,00 0,6,3,84,45 Propredades: A méda do escore padrozado é zero; O desvo padrão do escore padrozado é um. A forma da dstrbução do escore padrozado é a mesma dos dados orgas. Escalas: O escore Z ão é utlzado ormalmete da forma como é calculado. É comum a utlzação de uma escala lear de trasformação. As duas mas utlzadas são: Teorema de Chebyshev A escala T que é obtda através da segute trasformação T 0.Z + 50 A escala A que é utlzada os vestbulares é obtda por: O teorema de Chebyshev permte verfcar qual é o percetual mímo de valores de um cojuto de dados que deve estar um certo úmero de desvos em toro da méda. A 00.Z + 500 3
Eemplos: Em qualquer cojuto de dados com desvo padrão s, pelo meos ( /z ) dos valores do cojuto devem estar etre z desvos em toro da méda, ode z é um valor tal que z >. Assm pelo meos: 75% dos valores estão detro de z desvos a partr da méda; 89% dos valores estão detro de z 3 desvos a cotar da méda; 94% dos valores estão detro de z 4 desvos a cotar da méda. X - X < S - /4 75%. 3