Tipos de Modelos Determinístico Sistema Real Probabilístico
Modelo determinístico Causas Efeito
Exemplos Gravitação F GM 1 M 2 /r 2 Aceleração clássica v at Aceleração relativística v 1 + at a 2 c t 2 2
Modelo probabilístico X Causas Efeito
Exemplos Binomial n. p f ( x) x 0 x.(1 p) n x x {0,1,..., n} c. c. Poisson f ( x) x λ 0. e x! λ x N c. c. Normal f 1 x 2 µ 1. 2. σ ( x) e 2π. σ, x R
Experimento Aleatório Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado.
Exemplos E 1 : Joga-se um dado e observa-se o número da face superior. E 2 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;
E 3 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a sequência de caras e coroas; E 4 : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar;
E 5 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 6 : Uma carta de um baralho comum de 52 cartas é retirada e seu naipe registrado; E 7 : Jogam-se dois dados e par de valores obtido; observa-se o
Espaço amostra(l) É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória.
Exemplos S 1 {1, 2, 3, 4, 5, 6} S 2 {0, 1, 2, 3, 4} S 3 { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk}
S 4 { t R / t 0 } S 5 {1, 2, 3,...} S 6 {,,, }
S 7 { (1, 1), (1, 2),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
Eventos Um evento é um subconjunto de um espaço amostra.
Exemplo: Se S {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um espaço amostra, então são eventos: A { 1, 3, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S
Ocorrência de um evento Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A.
Combinação de eventos Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostra S. Diremos que ocorre o evento:
A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B
A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B
A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A B
Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A
Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos.
Conceitos de probabilidade CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO
Clássico (número de casos favoráveis) P(A) ------------------------------------ (número de casos possíveis)
Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar na Loto Fácil?
Solução: Casos favoráveis 1 Casos possíveis: 25 15 3268760
P(Loto Fácil) Número de favoráveis Número de possíveis 1 25 15 1 3268760 0,000031%
Frequência relativa de um evento (número de vezes que A ocorre) fr A ------------------------------------------ (número de vezes que E é repetido)
Exemplo: Um dado é lançado 120 vezes e apresenta FACE SEIS 18 vezes. seis é: Então, a freqüência relativa de face
fr6 númerode vezesque"f_seis"ocorre númerode vezesqueo dadoé jogado 18 0,15 15%. 120
Conceito frequencial de probabilidade A probabilidade de um evento A é o limite para o qual tende a frequência relativa de A, quando o número de repetições do experimento tende ao infinito, isto é: P(A) lim fra n
Conceito axiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: (1) 0 P(A) 1 (2) P(S) 1 (3) P(AUB) P(A) + P(B) se A B
Consequências dos axiomas (Teoremas)
(1) P( ) 0 A (2) P( ) 1 - P(A) (3) P(A - B) P(A) - P(A B)
(4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C)- - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)
Probabilidade condicionada
Motivação Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 10 são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição:
Sejam os eventos: A {a primeira ficha é branca} B {a segunda ficha é branca} Então: P(A) 10/50 0,20 20% P(B)?/49
Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isso é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada.
Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B A) 9/49 0,1837 18,37%. Observe a notação.
Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado que A ocorreu; P de B condicionada a A.
Definição: P(A B) P(A B) / P(B)
Mas: Se P(A B) P(A B) / P(B) então: P(A B) P(A B).P(B) E também: Se P(B A) P(A B) / P(A) então: P(A B) P(A).P(B A)
Assim: P(A B) P(A).P(B A) P(A B).P(B) Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação.
Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é:
Se: (1) P(A B) P(A) ou (2) P(B A) P(B) ou ainda (3) P(A B) P(A).P(B)
Partição de um espaço amostra Diz-se que os conjuntos: A 1, A 2,..., A n eventos de um mesmo espaço amostra S, formam uma partição deste espaço se:
(1) A i A j, para todo i j (2) A 1 A 2... A n S (3) P(A i ) > 0, para todo i
Teorema da probabilidade total
B
B pode ser escrito como: B (B A 1 ) (B A 2 )... (B A n )
B A 1 B A 3 B A 2 B
P(B) será então: P(B) P[(B A 1 ) (B A 1 )... (B A n )] P(B A 1 ) + P(B A 2 ) +... + P(B A n ) P(B A i ) P(A i ).P(B/A i ) Assim: P(B) P(A i ).P(B/A i )
Exemplo: Uma peça é fabricada por três máquinas diferentes. A máquina A participa com 20% da produção, a B com 30% e a C com 50%.
Das peças produzidas por A, 5% são defeituosas, das de B 3% e das de C 1%. Selecionada uma peça ao acaso da produção global qual a probabilidade de ela ser defeituosa.
Solução: Tem-se: P(A) 20% P(D A) 5% P(B) 30% P(D B) 3% P(C) 50% P(D C) 1% P(D) P(A i ).P(D A i )
Então: P(D) P(A).P(D A) + P(B).P(D B) + P(C).P(D C) 0,20.0,05 + 0,30.0,03 + 0,50.0,01 0,01 + 0,009 + 0,005 0,024 2,40 %
Teorema de Bayes B A4
Calcula a probabilidade de ocorrência de um dos A i (que formam a partição) dado que ocorreu um evento qualquer B.
Aplicando a expressão da probabilidade condicionada vem: P(A i B) P(A i B)/ P(B) P(A i ).P(B A i )/ P(B)
Na expressão: P(A i B) P(A i ).P(B A i ) / P(B) o valor de P(B) (denominador) é obtido por meio do Teorema da Probabilidade Total.
Exemplo: Considerando o exercício anterior, suponha que uma peça seja selecionada e se verifique que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A?
Solução: Tem-se: P(A) 20% P(D A) 5% P(B) 30% P(D B) 3% P(C) 50% P(D C) 1% P(D) 2,40%
Então: P(A D) P(A).P(D A) P(A).P(D A) + P(B).P(D B) + P(C).P(D C) 0, 20.0,05 0, 20.0,05 + 0,30.0,03 + 0,50.0, 01 0,01 41, 67% 0,024
s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC X 0 1 2 3 R x X(s) X(S) S
Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória.
O conjunto de valores O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R X(s) x }
Tipos de variáveis Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.
Variável Discreta (VAD) Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta.
Variável Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.
A função de probabilidade (fp) A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ) 0, para todo i f(x i ) 1
A distribuição de probabilidade A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i 1, 2, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X.
Exemplo: Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é:
KKK X f CKK 0 0 KKC KCK CCK CKC 1 2 3 0 0 1 KCC CCC S x(s) R f (x) [0;1]
X f KKK CKK 0 1/8 KKC KCK CCK CKC KCC CCC S x(s) 1 2 3 R f (x) 3/8 3/8 1/8 [0;1]
Exemplo: Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores:
Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A função de probabilidade f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [0; 1] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x})
Desta forma: f(2) P(X 2) P{(1,1)} 1/36 f(3) P(X 3) P{(1,2), (2, 1)} 2/36... f(11) P(X11) P{(6, 5), (5, 6)} 2/36 f(12) P(X 12) P{(6, 6)} 1/36 A distribuição de probabilidade será:
A distribuição de probabilidade de X será então: x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ f(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Representação de uma distribuição de probabilidade: Poderá ser feita por meio de: uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama
Tabela Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a da tabela ao lado. x f(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 Σ 1
Expressão analítica Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - 1)/36 se x 7 (12 - x + 1)/36 se x > 7
Diagrama 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
VAD - Caracterização (a) Expectância, valor esperado (Expectation) µ E(X) x.f(x) x.p(x x) (b) Variância (Variance) σ 2 2 2 2 f(x) (x µ ) x f(x) µ 2 E( X )-E(X) 2
(iii) Desvio Padrão (Standard Deviation) 2 2 2 2 2 σ f (x)(x µ ) x f (x) µ E( X )-E(X) (iv) O Coeficiente de Variação (Variation Coeficient) γ σ/µ
Exemplo Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas.
Cálculos x f(x) x.f(x) x 2 f(x) 0 1/16 0 0 1 4/16 4/16 4/16 2 6/16 12/16 24/16 3 4/16 12/16 36/16 4 1/16 4/16 16/16 Σ 1 2 5
Tem-se: Assim: (i) E(X) 2 caras (ii) σ 2 5 4 1 cara (iii) γ 1/2 0,5 50%
A Função de Distribuição (FD) Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). A função de distribuição (acumulada) ou simplesmente função de repartição é definida por: F(x) P(X x).
Propriedades da FD (a) 0 F(x) 1; (b) F(x 1 ) F(x 1 ) se x 1 < x 2 (c) lim F(x) 0 x (d) lim F(x) 1 x +
Determinação de probabilidades a partir da FD (i) P(a < X b) F(b) F(a); (ii) P(X < a) F(a) e (iii) P(X > a) 1 - F(a)
Bernoulli Binomial Poisson
Experimento Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e 1 ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q 1 p.
Conjunto de Valores X(S) { 0, 1} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) 1 p p se se x 0 x 1
A Função de Probabilidade (fp) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1
Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) 0.q + 1.p p Variância V(X) E(X 2 ) - E(X) 2 (0 2.q + 1 2.p) p 2 p p 2 p(1 p) pq
Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade 0,10. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X.
Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p 10%, assim a distribuição é: f (x) P(X x) 0,9 0,1 se se x 0 x 1
Experimento Como existem apenas duas situações: A ocorre ou não, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q 1 p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL.
Conjunto de Valores X(S) {0, 1, 2, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) n x p x q n x
A Função de Probabilidade (fp) 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) Variância n x n x x. p q x np V(X) E(X 2 ) - E(X) n 2 2 x n x 2 E(X ) x. p q n(n -1)p + x 2 np
V(X) E(X 2 ) - E(X) 2 n(n 1) p 2 + np (np) 2 n p 2 + np np(1 p) npq Assim: E (X) np σ X npq
Exemplo Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.
Então: Tem-se: n 10 e p 5/100 5% f (0) P(X 0) 10.(0,5) 0 0.(0,95) 10 59,87%
Experimento Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n repetições de um experimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o tempo, área, superfície, etc.
Para determinar a f(x) de uma distribuição deste tipo, será suposto que: (i) Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes; (ii) Em intervalos de mesmo tamanho as probabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais;
(iii) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de mais de um sucesso é desprezível. (iv) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de um sucesso é proporcional ao tamanho do intervalo.
Definição: Se uma variável satisfaz estas quatro propriedades ela é dita VAD de POISSON. Se X é uma VAD de POISSON, então a função de probabilidade de X é dada por:
A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) e λ. λ x! x para x 0,1, 2,... λ é denominada de taxa de sucessos.
A Função de Probabilidade (fp) - P(10) 0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Características: Expectância ou Valor Esperado E(X) λ Desvio Padrão σx λ
Exemplo: O número de consultas a uma base de dados computacional é uma VAD de Poisson com λ 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique?
A taxa de consultas é de seis em dez segundos em cinco segundos teremos uma taxa de λ 3 consultas. Então: f (0) P(X 0) e -3.3 0! 0 e -3 4,98%
Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.
A Função Densidade de Probabilidade É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f(x)dx 1
A Distribuição de Probabilidade A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X.
Exemplo Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). f (x) c.x 0 2 se 1 c. c. x 1
Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: 1-1 f(x)dx 1 1-1 2 c.x dx 1
Tem-se: 1 2 c.x dx -1 1 2 c x dx -1 3 1 x c 3-1 2 c 1 3 c c 3 1 3 3 2-1 3 3 1-1
Representação Gráfica 1,5 f (x) 3x 2 2 1,0 0,5 0,0-1,5-1,3-1,0-0,8-0,5-0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5-1 X 1
Cálculo da Probabilidade P(a < X < b) b a f (x) dx y a b x a < X < b
P(a < X < b) b a f (x) dx Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b.
Observações: Se X é uma VAC, então: P(X a) a a f (x)dx 0 P(a < X < b) P(a P(a < P(a X < X X b) b) b).
Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f(x) 3x 2 0 2 se 1 c. c. x 1
A probabilidade solicitada é dada por: P( 0,5 < X < 0,5) 0,5-0,5 3 2 3x 2 0,5-0,5 2 dx 2 x dx 1 [(0,5) 2 12,50% 3 3 2 (-0,5) x 3 3 ] 3 0,5-05
VAC Caracterização (a) Expectância, valor esperado µ E(X) xf (x) dx (b) Variância σ 2 V(X) x x 2 2 f (x)dx f(x)dx (x µ) µ f (x)dx ( xf (x)dx) 2 2 2 2 E(X ) E(X) 2
(iii) Desvio Padrão σ (x µ) 2 f (x)dx x 2 f (x)dx µ 2 2 E(X ) E(X) 2 (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ
Exemplo: Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por: f (x) 3x 2 0 2 se 1 c. c. x 1
µ E(X) 1-1 3 2 x. 3x 2 4 1 4 x.f(x)dx 2 1-1.dx -1 4 4 1-1 1-1 3x 2 3 2 3 dx 1 4 1 4 1 3 2-1 x 4 0 4 1-1
0,60 5 3 5 1 5 1 2 3 5-1 5 1 2 3 5 x 2 3 dx x 2 3 dx 2 3x. x ) E(X E(X) ) E(X 5 5 5 1-1 1-1 1-1 4 1-1 2 2 2 2 2 + σ
O desvio padrão de X será, então: σ E(X 2 ) E(X) 2 0,60 0 0,77
A Função de Distribuição É a função F(x) definida por: F(x) P(X x) x f (u)du A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x.
Exemplo: Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar a F(x). f (x) 3x 2 0 2 se 1 c. c. x 1
A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F(x) 0 x 3u 1 2 1 2 du se x < se 1 se x > 1-1 x 1
Vamos determinar o valor da integral em u : 2 1 x ] [u 2 1 3 u 2 3 du u 2 3 du 2 3u F(x) 3 x 1 x 1 x 1 2 x 2 3 3 +
Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: F(x) 0 3 x + 1 2 1 se se se x < -1 1 x x > 1 1
Representação Gráfica F(x) x 3 + 2 1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral.
Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) 1 F(x) P(x < X < x ) F(x ) 1 2 2 F(x 1 )
Normal t (de Student) χ 2 (Qui-Quadrado) F de Snedecor
A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) 1.e 1. 2 x µ σ 2, x R 2π. σ com - < µ < e σ > 0
Representação gráfica 0,8 0,6 N(0; 1) N(0; 0,5) N(0; 2) N(2; 1) 0,4 0,2 0,0-6 -5-4 - 3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Cálculo de probabilidades P(X x) x 1 2π. σ.e 1. 2 u µ σ 2 du? A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) f(x).
Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente).
A normal padrão A curva escolhida é a N(0, 1), isto é, com µ 0 e σ 1. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; 1).
A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z) 1 2π.e z 2 2., z R uma vez que µ 0 e σ 1.
A distribuição N(0, 1) 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-4,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Tabela (ou planilha): O que é tabelado ou obtido na planilha é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) z - ϕ(u)du u 2 1 z..e 2 du - 2π Φ(z)
A FDA da N(0; 1) Φ(z) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-4,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 z
Uso da tabela ou Planilha Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) 1- P(Z z) 1- Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z ) Φ(z ) Φ(z ) 1 2 2 1
Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 62)
(a) P(X 40) P(X 40) P( X µ σ 40 8 50 ) P(Z 1,25) 10,56%
(b) P(X > 65) P(X > 65) P( X µ σ > 65 8 50 ) P(Z > 1,88) 1 P(Z < 1,88) 1 Φ(1,88) Φ( 1,88) 3,01%
(c) P(45 < X < 62) P(45 < X < 62) 45 50 P( 8 P( 0,62 < < Z X µ 62 < σ < 1,50) 8 50 ) Φ(1,50) Φ( 0,62) 93,32% 27,67% 65,65%
A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) 1%
Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito utilizando a função Invnorm da planilha.
Graficamente 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 5% P(X x) 5% x 26 34 42 50 58 66 74
Em (a) temos P(X x) 5% P(X x) P( X µ σ x 50 ) 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde z x 8 50
Se Φ(z) 5%, então Φ 1 [ Φ(z)] Φ 1 (5%) z Φ 1 (0,05) O valor acima pode ser obtido diretamente da planilha.
Assim z 1,645 x 50 Como z, tem 8 x 50 1,645 z 8 x 50 1,645.8 36,84 se:
Em (b) temos P(X > x) 1% P(X > x) X µ P( σ P(Z > z) x 50 > ) 8 1 Φ(z) 1% 0,01 Mas 1 Φ(z) Φ( z) Logo z Φ 1 (0,01)
0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01 P(X > x) 1% 1% 0,00 0,00 26 34 42 50 58 66 74 x
Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f (x) 2 υ + 1 1 x Γ + 2 υ υ πυ. Γ 2 para x υ+ 1 2 R
0,40 0,30 0,20 fdp de t(1) t(5) t(25) 0,10 0,00-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Expectância ou Valor esperado µ E (X) 0 Variância υ Var(X) υ - 2 O valor υ é denominado de Grau de liberdade
A planilha fornece a função direta e inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) ou da soma das caudas (bilateral) de cada curva, isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α.
Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: x 2 f (x) 2 2 0 υ 1 υ e υ Γ 2 x 2 sex sex > 0 0
Expectância ou Valor esperado E(X) υ Variância Var(X) 2υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade
1,00 0,80 Q(1) Q(2) Q(3) 0,60 0,40 0,20 0,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
A planilha fornece a função direta e inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ 2 x) α
Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: ( ) 0 sex 0 0 x se 2 n 2 m mx n x n m 2 n m f(x) 2 n m 1 2 m 2 n 2 m > Γ Γ + + Γ +
Expectância ou Valor esperado m E(X) m Variância 2 m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador 2(m + n - 2) Var(X) m 2 m(n - 2)(n - 4)
1,0 0,8 0,6 0,4 fdp de F(1, 3) F(2, 5) F(5, 10) F(20, 20) 0,2 0,0 0 3 6 9 12 15
A planilha fornece a função direta e inversa da área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador).
A desiguldade de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev (1821 1894), é dada por: P( X - µ kσ) < 1/k 2 P( X - µ < kσ) 1-1/k 2
Esta desigualdade fornece a probabilidade de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a k desvios padrões.
Assim se k 2, por exemplo, a desigualdade de Tchebycheff estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo µ ± 2σ é de pelo menos 1-1/4 75%. Na normal este percentual vale exatamente 95,44%.
X - µ < 2σ 1-1/4 75%.