UCP Gstão/Economia Matmática II 9 d Abril d 00 ª frquência h30m GRUPO (.5). Sja f ( x, ) x com x u uv, u sn t, v log( t ). Calcul df dt. z4 x (.0). Dtrmin a drivada da função f x no ponto P (,,) na dircção qu z faz ângulos obtusos iguais com os ixos, sabndo qu é drivávl plo mnos uma vz qu () () 5. (3.5) 3. Sja z x x, sndo função homogéna d grau. (.5) 3.. Dtrmin o grau d homognidad d z. (.0) 3.. Mostr qu z vrifica a igualdad d Eulr. GRUPO (.0) 4. S f ( u, v ) é homogéna d grau k u( x, ) v( x, ) são homogénas d grau p, vrifiqu s f ( x, ) é homogéna m caso afirmativo qual o su grau? (.5) 5. Dtrmin os xtrmos da função. f ( x, ) ( x ) x GRUPO 3 (3.0) 6. Sja f ( x,, z) 8x 6a 3az 3 com x z a. Utiliz o método dos multiplicadors d Lagrang para discutir os xtrmos da função f fac aos valors d 0 ar \. (5.5) 7. Sja f x ( ) ( 5). (.0) 7.. Escrva as condiçõs d Kuhn-Tuckr para o problma min f com x 3 x 4 x 0 0 (.0) 7.. Rsolva graficamnt o problma d 7.. (.5) 7.3. Rsolva o problma d 7..,utilizando as condiçõs d Kuhn-Tuckr considrando qu a rstrição x 4 é não activa qu x 0.
Rsolução (9 Abril 00) (algumas qustõs admitm rsoluçõs altrnativas). df f x du x dv f d du dt x u dt v t du dt uv uv u x v cos t 4u x log x cos t t. f z4 z4 x m P 0 x z f x x m P 30 z 4 4 z z f x z z z4 z4 x x m P 0 cos (ângulos obtusos) portanto 0 30 0 3 f 50. 3 3 P 3. 3.. S fizrmos x f ( x, ) qu é homogéna d grau, a função z é z f ( f ) com homogéna d grau. Como é homogéna d grau a função z é o produto d duas funçõs homogénas, f d grau d grau, ntão z x f x f x f x f x f x x z x (, ) (, ) ( (, )) (, ) ( (, )) (, ) (, ) (, ) z é homogéna d grau. 3.. S ( f ) é homogéna d grau, ntão f f. f z f f f x x x x x Como ( f ( f )) f f z f f f ( f ( f )) f f
z z ntão x z x fica: z z f f x x ( f ) f ( ) f z x x z f C.Q.D. 4. Sab-s qu f f u v kf u v, u u x pu x v v x pv x ntão f f f u f v f u f v x x x u x v x u v portanto f ( x, ) é homogéna d grau pk. u f u f v f v f x x x u u x v v u u f v v f x x x u x v f f f f p u pv p u v pk f u v u v 5. f ( x, ) ( x ) x f x( 4x 4 3) x f 4( x ) x(4x 4 3) 0 x ( ) 0 tmos 4 sistmas (I) (II) (III) (IV) x 0 0 A(0,0) x 0 B(0,) C(0, ) 4x 3 D( 3 /, 0) 0 E( 3 /, 0) x 4x 3 4 0 0... impossívl 3
f x x 4 3 A B C D E -3 6 6 f 4x 4-4 8 8 - - f 8x x 0 0 0 0 0 MAX MIN MIN PSla PSla fmax m A, fmin 0 m B, fmin 0 m C 6. f ( x,, z) 8x 6a 3az 3 com x z a. L x z x a az x z a 3 (,,, ) 8 6 3 ( ) L 4, L, L x a 6 az, L a x z x z 4x 0 a 0 6az 0 a x z 0 4x 0 6a 0 6az 0 x z a 4x 0 6a 6az x z a 6a z x 3 a 4x 0 4x 6a 4 x / a 6a z x 3 a 4 x / a 6a z x x a a x ax a a0 / 0 x 4 4 a a x x 3 4 a a 48a a 7a 4
obtém-s xa/3 a 4a 4a A,, 4 a/ 9 3 9 9 z 4 a/ 9 8a 8 a / 3 3 x a/4 a a a B,, a/4 4 4 4 z a/4 3a 3 a / A matriz H L é: H L 0 48x 0 0 0 a 0 0 0 6a 0 ntão ( ) 48x 0 a 9x 0 a 0 48x 0 0 ( ) 48x 0 0 6a 7x 78ax 0 a 0 0 a 0 0 0 6a Em A, a a a a 9 5 a, 7 78a 568a 3 3 3 portanto 0, a0, qualqur qu sja o sinal d tmos smpr um Ponto d Sla. Em B, a a a 9 a 9 60 a, 7 78a a 43a 0, a0 4 4 4 a 0 0 tmos um mínimo a 0 0 tmos um máximo portanto s: f a, a, a a 4 4 4 6 3 7. f ( x ) ( 5) 7.. min f Rsolv-s o problma max( ) ( ) ( 5) f x. Sja F x x x ( ) ( 5) ( 3 ) ( 4) 5
Condiçõs: F x x( x ) 0 x F ( 5) 3 0 F ( x 3) 0 F (x4) 0 F F,,,, x, 0 F F, 0 x 7.. As rctas prpndiculars a 3x trão dcliv m 3 quaçõs 3x b, dstas a qu passa no ponto (,5) é tal qu 5 3b b, portanto trá quação 3x a intrscção com 3x é a solução do sistma 3 x x 3 / 5 3x 9 / 5 tm-s min f m P 3 9, 5 5. 3 9 8 min f 5 5 5 5 6
7.3. S x 4 é não activa x 0 tm-s ( x ) 0 ( 5) 3 0 ( x 3) 0 0 tmos 4 sistmas i) x x 0 0 0 0 0 0 F não vrifica a condição 0 ii) x 0 x 3 0 0 x 0 x 3 0 0 não vrifica 0 x 0 iii) x x 0 3 5 0 0 0 0 não vrifica a condição x3 iv) x 0 3 x 3 0 x x x 0 6x 6 3x 3x x 3 x / 3 4 x / 3 4 0 0 0 Vrifica as condiçõs d KT. 0 x 3 / 5 9 / 5 0 Tmos ntão um mínimo d f m P 3 9, 5 5, 3 9 8 min f f,. 5 5 5 FIM 7