FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste.º Ao de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tioco /0/08 Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato, a sua forma mais simples. Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é costituído por duas partes Cadero : 50 miutos (é permitido o uso de calculadora) Cadero : 0 miutos (ão é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /8 Versão
Cadero : 50 miutos (é permitido o uso de calculadora). Na figura ao lado estão represetados, um referecial ortoormado xoy: a circuferêcia de cetro C, os potos B, e 5 circuferêcia; ; D, pertecetes à as retas r e s tagetes à circuferêcia em D e em B, respetivamete, e que se itersetam o poto A; o quadrado [ABCD]. (5).. Mostre que a equação reduzida da reta s é y x 0. Como a reta tagete é perpedicular ao raio o poto de tagêcia B, sedo Px, y um poto qualquer da reta s, temos BP BC. BP P B x, y, x, y Temos, e BC C B,,, Assim, BP BC 0 x,y, 0 x y8 0 x0 y y x 0 c.q.m. Outro processo: m BC e s BC, portato, ms mbc ms B, s b 6 b b 0 Logo a equação de s é y x 0 c.q.m. (5).. Determie a icliação da reta r, com aproximação à décima do grau. Sedo 0º, 80º a icliação da reta r, sabemos que ta mr. Como [ABCD] é um quadrado, temos r Assim, m m, ou seja, r s mr s. mr Portato, ta 0º, 80º Logo a reta r tem icliação 6,º. Outro processo: Sedo 0º, 80º Assim, ta º, º arcta arcta 80º 6, 09... a icliação da reta s, sabemos que ta ms. 0 80 56, 09... Como o triâgulo [EFA] é retâgulo temos E F A 80º 90º 56, º, 7º Assim, a icliação da reta r é 80º, 7º 6, º 6, 09... ms Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /8 Versão
(5).. Qual dos valores seguites represeta a área da região sombreada? (A) (B) (C) (D) Temos, Área sombreada Área quadrado Área círculo Área quadrado BC, Área círculo BC e Assim, Área sombreada BC 9 OPÇÃO C. Fixado um referecial ortoormado Oxyz do espaço, cosidere: - o poto A de coordeadas,, ; - a reta r de equação vetorial x,y,z,,,,, ; - a família de plaos defiidos por x y z 0,. (5).. Para que valor real de o plao passa o poto A? (A) (B) 0 (C) A,, 0 (D) 0 0 0 OPÇÃO C (0).. Determie o valor real de para o qual um dos plaos desta família é paralelo à reta r. r r r 0 ormal do plao,,,., isto é, o vetor diretor da reta,, r,,,, 0 0 r é perpedicular ao vetor (5).. Existe uma ifiidade de plaos perpediculares a e que passam o poto A. Para 0, determie as equações gerais de dois plaos, e, perpediculares a. Para 0 o plao tem equação x z 0. Sedo, temos m ormal de,,0, m m 0, isto é, o vetor ormal de,,, abc,,,0, 0 ac 0 a c m a b c, é perpedicular ao vetor Assim, o vetor ormal de qualquer plao perpedicular a é da forma m c, b, c, com bc, Para c e 0 b temos,0, m, pelo que o plao é da forma x z d 0 A,, d 0 d. Portato, o plao tem equação x z 0 Para c 0 e b temos 0,,0 m, pelo que o plao é da forma yd 0 A,, d 0 d, e o plao tem equação y 0 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /8 Versão
. Na figura do lado está represetado, em referecial ortoormado Oxyz, o triagulo [ABC], ode A, 0, 0, e 0 0 B 0,, 0 C,,. (5).. Uma equação vetorial do plao ABC é (A) 0 0 0 x,y,z,,,,, (B) 0 0 0 0 0 0 x,y,z,,,,,,,, (C) 0 0 0 0 x,y,z,,,,,,,, (D) 0 0 0 0 0 x,y,z,,,,,,,, Precisamos de dois vetores paralelos ao plao. Por exemplo, os vetores AB e AC. Temos, AB B A 0,, 0, 0, 0,, 0 e AC C A 0, 0,, 0, 0, 0, Assim, 0 0 0 0 x,y,z,,,,,,,, é uma equação vetorial de ABC, tal como x,y,z, 0, 0,, 0, 0,,,, pois 0 BA,, AB OPÇÃO C (5).. Mostre que o plao ABC tem equação geral 6x y z 6 0. Precisamos de um vetor perpedicular a dois vetores do plao ABC. Seja a,b,c um vetor ormal do plao, tal que AB 0 AC 0 a,b,c,, a,b,c,, AB e AC. Assim, 0 0 a b 0 ab 0 0 a c 0 bc0 ab cb Portato, qualquer vetor perpedicular a AB e AC é da forma b,b, b. Por exemplo, para b, para evitar frações, temos 6,,. ab c b Já sabemos que o plao ABC tem equação da forma 6x y z d 0. Como A, 0, 0 é um poto do plao, substituido a equação aterior descobrimos d. Temos 6 00 d 0 d 6 Logo a equação de ABC é 6x y z 6 0 6x y z 6 0 c.q.m. (5).. Seja s a superfície esférica de cetro a origem e tagete ao plao ABC. Determie o raio dessa superfície. O raio da superfície é r OT, em que T é o poto de tagêcia da superfície com o plao. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /8 Versão
Como o plao tagete é perpedicular ao raio o poto de tagêcia, o poto T está a reta perpedicular ao plao e que passa a origem (cetro da superfície). Seja OT tal reta. Sedo OT ABC, temos OT, isto é, o vetor diretor da reta é coliear como o vetor ormal do plao. Em particular, para, temos OT 6,,. Assim, os potos de OT são da forma 0 0 0 6 6 x,y,z,,, x,y,z,,,,,, isto é, Como T também está o plao ABC, é uma solução da equação do plao, portato: 6 6 6 0 6 9 6 Logo o poto T tem coordeadas 6,, Assim, 6 9 6 6 6 = 6, 8, 9 9 9 9 9 9 6 8 6 8 76 6 9 9 9 9 0 9 7 r OT. Cosidere a sucessão a de termo geral a (0).. Verifique se é termo da sucessão e, caso afirmativo, idique a sua ordem. é termo de a se existir tal que a Temos 6 8 5 Como 5, ão é termo da sucessão. 5 (5).. Estude a quato à mootoia. a = a = = = 6 6 Portato,, a a 0, pelo que = a é moótoa crescete. 0, pois 0 e 0 (5).. Prove que a é uma sucessão limitada. Pela alíea aterior, sabemos que a é um miorate, pois a é crescete. Vamos recorrer ao algoritmo da divisão para fazermos um equadrameto do termo geral. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 5/8 Versão
Temos a Como,, ivertedo temos, Dado que Multiplicado por -: ou seja, a Portato,, a Algoritmo: + + - - -, defie uma sucessão decrescete de termos positivos, temos 0, e somado : 0, pelo que a é limitada 0 Cadero : 0 miutos (ão é permitido o uso de calculadora) 5. Cosidere os vetores u e v tais que u 5, v 7, u v 8 u, u v. e (5) 5.. Mostre que uv 5. u, u v cos u, u v cos Sedo, temos Portato, u u v u u v u u u v 58 u u v 0 5 uv 0 uv 5 (5) 5.. Calcule o valor de v u v. Temos v u v v v u v v 5 7 0 57 (5) 5.. Qual é o valor de u v? (A) 8 (B) 7 (C) (D) u v u v u v u u u v vu vv u u v u Como Temos u v 5 5 7 5 0 9 8 OPÇÃO A Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 6/8 Versão
6. Cosidere a sucessão b defiida por recorrêcia: (5) 6.. O valor de b00 b96 é (A) (B) (C) b b b, (D) Como b b, temos b b,, isto é, a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos é Outro processo: b b. Assim, a difereça etre 5 termos cosecutivos é = b = b = 00 99 98 Assim, b b b00 b96 00 96 97 D b 96 (5) 6.. Usado o método de idução matemática, prove que o termo geral de b é b 5. 5 Sedo B a codição b, temos de mostrar que: 5 B é verdadeira: temos b que é verdade pela defiição por recorrêcia; 5 B B, isto é, sabedo que b (hipótese de idução), etão tem-se 5 b Da defiição por recorrêcia sabemos que b b, e por hipótese temos 5 b. 5 5 Portato, b c.q.m. 5 Logo, pelo método de idução cocluímos que, b (0) 6.. Seja c a sucessão cujo termo geral é c se ímpar. b se par Idique, caso existam, o máximo, o míimo, o cojuto dos majorates e o cojuto dos miorate de c. se é ímpar Temos c 5 se é par Os primeiro termos de c : c ; c ; c ; c ; Todos os termos de ordem ímpar valem, equato os termos de ordem par decrescem de em. Portato, o cojuto dos termos de Assim, é o máximo de Mas ão tem miorate, em míimo. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 7/8 Versão c é,,,,.. c e o cojuto dos majorates é, sedo majorado e ão miorado.,.
(5) 7. Sejam u e v vetores de orma que verificam a codição Para que valor de x os vetores u e v formam um âgulo agudo? (A) x (B) u v u v x, x. x (C) x 0 (D) u e v formam um âgulo agudo se e só se uv 0 e u v u v Temos u v u v x u u u v u v v v x u v x u v x u v x Portato, uv 0 x 0 x x u u v v x Por outro lado, como são dois vetores uitários temos u v cos u,v Assim, uv x x 0 Logo x 0,, pelo que x OPÇÃO B Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 8/8 Versão