Físic III - 4320301 Escol Politécnic - 2013 GABARITO DA PS 27 de junho de 2013 Questão 1 Um crg pontul Q > 0 se encontr no centro de um esfer dielétric mciç de rio R e constnte dielétric κ. Não há crgs livres n esfer dielétric. R Q κ () (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico um distânci r do centro tnto for (r > R) qunto dentro (r < R) d esfer dielétric. (b) (0,5 pontos) Clcule o potencil elétrico for d esfer dielétric um distânci r > R do centro. Adote potencil nulo no infinito. (c) (1,0 ponto) Idem, no interior d esfer dielétric um distânci r < R do centro. 1
Solução d questão 1 () Devido à simetri esféric o cmpo elétrico deve ter form E = E(r) r. Aplicndo lei de Guss em meios dielétricos pr um superfície gussin esféric de rio r obtemos S ǫe da = ǫe(r)(4πr 2 ) = Q livre = Q. Logo E(r) = Q 1 4πǫr 2. Como ǫ = ǫ 0 pr r > R e ǫ = κǫ 0 pr r < R, (b) Potencil elétrico pr r > R E = Q r 4πǫ 0 r 2, (r > R) e E Q r = 4πκǫ 0 r2, (r < R). r V(r) = E(r)dr = Q r dr 4πǫ 0 r = Q 1 2 4πǫ 0 r. (c) Potencil elétrico pr r < R r V(r) = E(r)dr = Q R dr 4πǫ 0 r Q r dr 2 4πκǫ 0 R r = Q ( 1 2 4πǫ 0 R + 1 κr 1 ). κr 2
Questão 2 Um espir qudrd de ldo onde circul um corrente I no sentido indicdo n figur está imers num cmpo mgnético externo B. y 3 4 2 I 1 x () (1,0 ponto) Pr o cmpo mgnético externo ddo por B = B 0 ĵ clcule o momento mgnético d espir e o torque tundo sobre el. (b) (1,5 pontos) Pr o cmpo mgnético externo ddo por ( B = B 0 1 2y ) ĵ, clcule s forçs resultntes em cd um dos ldos d espir e o torque produzido por els em relção o centro d espir. 3
Solução d questão 2 () Momento mgnético d espir µ = I A = I 2 k. Torque sobre espir τ = µ B = I 2 B 0 î. (b) Forç resultnte em cd um dos ldos d espir F 1 = I(î) (B 0 ĵ) = IB 0 k, F 2 = 0 I(dyĵ) [B(y)ĵ] = 0, F 3 = I( î) ( B 0 ĵ) = IB 0 k, F 4 = 0 Torque em relção o centro d espir I(dyĵ) [B(y)ĵ] = 0. τ = 4 r i F i = i=1 ( ) F 2ĵ ) 1 +( F 2ĵ 3 = 0. 4
Questão 3 Um espir retngulr de resistênci R e ldos 2 e 2b encontr-se entre dois fios prlelos muito longos seprdos de um distânci 2d com d >, conforme figur. Os fios são percorridos por correntes iguis I em sentidos opostos. y I 2b I x d () (1,0 ponto) Os dois fios prlelos muito longos estão conectdos entre si ns extremiddes formndo um circuito fechdo. Clcule mútu indutânci entre espir e o circuito dos dois fios prlelos. Ddo: o cmpo mgnético um distânci r de um fio infinito percorrido por um corrente I é µ 0 I/(2πr). (b) (0,5 pontos) Determine corrente induzid n espir supondo que corrente nos fios oscil no tempo de cordo com I = I(t) = I 0 cosωt, sendo I 0 e ω constntes. (c) (1,0 ponto) Suponh gor que corrente I nos fios é constnte no tempo, ms que espir se move pr direit com velocidde constnte v. Determine corrente induzid n espir qundo o seu centro está um distânci s do fio esquerdo (supor espir inteirmente entre os dois fios, ou sej, < s < 2d ). 5
Solução d questão 3 () Cmpo mgnético dos fios B = µ 0I µ 0 I + = 2πx k 2π(2d x) k µ ( 0I 1 2π x + 1 ) k. 2d x Fluxo mgnético trvés d espir (norml n = k) Φ = S B d A = d+ x=d µ 0 I 2π ( 1 x + 1 ) (2bdx) = 2µ 0Ib ln 2d x π ( ) d+. d Mútu indutânci M = Φ I = 2µ 0b π ln ( ) d+. d (b) Corrente induzid n espir i = E R = M R (c) Fluxo mgnético trvés d espir Φ = s+ x=s µ 0 I 2π di dt = 2µ 0b πr ln ( 1 x + 1 ) (2bdx) = µ [ 0Ib ln 2d x π ( ) d+ I 0 ωsenωt. d ( ) s+ +ln s ( )] 2d s+. 2d s Fem induzid E = dφ ( dt = µ 0Ib 1 π s+ 1 ) s 1 2d s+ + 1 ds 2d s dt. Corrente induzid n espir i = E R = 2µ 0Ib πr [ ] 1 s 2 1 v. 2 (2d s) 2 2 6
Questão 4 Um solenóide é construído enrolndo-se de form uniforme N volts de fio em torno de um núcleo de ferro cilíndrico de comprimento l e rio ( l ). O fio present um resistênci por unidde de comprimento igul k, e permebilidde do ferro é 5000 µ 0. () (0,5 pontos) Clcule resistênci do enrolmento. (b) (1,0 ponto) Usndo lei de Ampère clcule o cmpo mgnético n região centrl do núcleo qundo o fio é percorrido por um corrente I. (c) (1,0 ponto) Clcule uto-indutânci do solenóide. 7
Solução d questão 4 () Resistênci do fio R = kn(2π) = 2πkN. (b) N região centrl o cmpo H pode ser considerdo uniforme e prlelo o núcleo. Escolhendo-se um circuito mperino retngulr com um dos ldos de comprimento l dentro do núcleo e o ldo oposto for obtemos H d l = H l = I livre = N l li. Logo, H = N l I. Cmpo mgnético B = µh = 5000µ 0 N l I. (c) Fluxo trvés do solenóide Φ = BN(π 2 ) = 5000π 2 N 2 µ 0 I. l Auto-indutânci L = Φ I = N 2 5000π2 µ 0. l 8
Formulário F = qe, E q( r r ) = 4πǫ 0 r r 3, E 1 dq = 4πǫ 0 r 2ˆr, p = qd, τ = p E, U = p E, Φ E = E d A, V = 1 dq 4πǫ 0 E d A = q int ǫ 0, V = r, E = V, V = 1 4πǫ 0 i q B 4πǫ 0 r r, V B V A = q i, U = 1 r i 4πǫ 0 i<j q i q j r ij, A E d l, ǫ ǫ 0 = κ, u = ǫ 0 2 E2, E = E 0 κ, u = ǫ 2 E2, ǫ 0 κe d A = q int liv, I = dq dt = n q v da, J = n q vd, V = RI, P = VI = I 2 R = V 2 R, F = qe+q v B, ΦB = B d A, B d A = 0, df = Id l B, µ = I A, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0I 4π d l ˆr r 2, B d l = µ 0 I int, E = dφ m dt, B0 = µ 0H, Bm = µ 0M, M = χmh B0 = χm, B = B0 + B µ m, 0 B = µ 0 (1+χ m ) H = (1+χ m ) B 0, µ = K m µ 0 = (1+χ m )µ 0, E d l = d B d A, dt Φ totl = Nφ espir = LI, Φ totl 21 = N 2 φ espir = M 21 I 1, u = B2 2µ 0, U = LI2 2, u = B2 2µ. 9