FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ao Versão /4 Nome: Nº Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato Cosidere a sucessão a de termo geral a 4 (0) Verifique se é termo da sucessão, e, caso afirmativo, idique a sua ordem é termo da sucessão se : a Resolvamos a equação a 4 4 Como podemos cocluir que (5) Estude a quato à mootoia ão é termo de a Calculemos a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos de a a a 4 4 5 4 5 4 5 4 4 4 Portato, a é estritamete decrescete 0, (0) Prove que a é uma sucessão limitada, fazedo um equadrameto do seu termo geral, e idique um miorate e um majorate do cojuto dos seus termos Como a sucessão é decrescete, já saemos que Para equadrar o termo geral comecemos por simplificá-lo 5 a a é majorate de Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia /6 Versão
4 4 Temos, a Saemos que 0, Portato, multiplicado por temos, 0, Adicioado a cada memro vem,,, ou seja, a 5, Portato, a tem miorate e majorate 5, o que prova que é uma sucessão limitada No referecial da figura seguite está represetada parte do gráfico de uma fução f, poliomial do terceiro grau, que passa o poto A, 6 e cujos zeros são e (0) Seja g a fução defiida por g x f x Temos Diga, justificado, qual dos seguites cojutos pode ser o domíio da fução g (A), (B), (C), / (D), g 0 x : f x 0 x : x, D x : f x OPÇÃO A (V) D(V4) (5) Mostre, aaliticamete, que a fução f é defiida por f x x x 4 Vamos usar os zeros e o poto A, 6 para escrever uma factorização da expressão algérica de f Como - é zero duplo (porque a fução ão muda de sial) e é um zero simples, a expressão de f é da forma f x ax x, para algum a 0 (coeficiete do moómio de maior grau) Cálculo de a : f 6 a 6 a6 6 a Portato, f x x x x 4x 4x x x x x x 4 4 4 4 x x 4 Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia /6 Versão
(0) Usado a defiição de derivada, determie f' Temos f ' f x f lim x x e f 6 Portato, f ' x x 4 6 lim x x x x 0 lim x x 8 0 0 0 Idetermiação Para levatar a idetermiação vamos usar a Regra de Ruffii para simplificar a expressão 0-0 0 0 Outro processo: Algoritmo da divisão 5 0 0 Resto f ' lim x x x 5x 0 x lim x 5x 0 x 4 0 0 4 (0) 4 Sedo a, Df, com a Para relacioar f ' a com Cálculo a fução derivada: 4 temos f ' a f ' a a, mostre que: f ' a f ' a f ' precisamos da fução derivada de f f ' x x x ' x 6x a 6a 6 a 6a 6 0 6 0 a a 6a 0 a a a a Portato, como 0 6 6 a a a a a, temos f ' a f ' a cqm 6 0 Outro processo: sedo a a e f ' a a 6a f ' a 6 a 4 4a a 6a a a 6a a 6a f ' a No referecial Oxy da figura ao lado ecotra: parte da represetação gráfica de uma fução ijetiva f, que tem um úico zero o poto C, da acissa egativa; uma reta t tagete ao gráfico de f o poto B 0, ; dois potos, Aa, 0 e 0 B,, da reta t Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia /6 Versão
(0) Idique, justificado, qual das expressões seguites represeta f' 0 (A) a (B) a (C) a Como o declive da reta tagete é igual à derivada o poto de tagêcia, temos f' 0 yb ya 0 x x 0 a a B A OPÇÃO D(V) C(V4) (D) a f ' m 0 t (0) Saedo que t 0 0, determie a equação reduzida da reta t A equação de t é da forma y mx, com e Ora, Ou: t t t 0 0 0 a (ojeto que tem imagem ula) Portato 0 m a reta t tem equação yx m (de acordo com a alíea aterior) a t 0 t 0 a, pois t 0 0 a é o zero de t (0) Dos gráficos seguites, idetifique, justificado adequadamete, o que pode represetar a fução f Seja f x Temos, g g x 0 f 0 o gráfico de g pode estas as opções B e C Como a fução f tem um zero para x xc, saemos que a fução g tem uma assítota vertical para f x 0, isto é, para x xc Portato, apeas a OPÇÃO B represeta a fução g Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia 4/6 Versão
(5) 4 Sae-se que f é uma fução racioal do tipo f x a x c, com a,,c Supodo que x e y são as equações das assítotas do gráfico de f, determie a expressão algérica da fução f Quado a fução racioal está escrita a forma f x a x c, com a, e c costates, o valor de a correspode à assítota horizotal a Como as assitotas verticais são os zeros do deomiador da fução temos c 0, ou seja, c Já saemos que a fução é da forma f x x Para calcular o valor de vamos usar o poto B 0,, pois Temos: 0 Portato, da forma f x x x f 0 4 Na figura seguite está represetado o círculo trigoométrico Sae-se que: A reta r é tagete ao círculo o poto A O poto C desloca-se sore a circuferêcia, apeas o primeiro quadrate A semirreta OC iterseta r o poto B O poto D pertece ao eixo Ox e o segmetos AB e DC são paralelos é a amplitude, em radiaos, do âgulo COE, com 0, (0) 4 Idetifique, justificado, as coordeadas dos potos C e B (A) C cos, se (C) C se, cos e e e B, ta C se, cos e B, ta B, ta (B) C cos, se B, ta (D) Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia 5/6 Versão
Como CO E temos AOC o poto C tem coordeadas cos, se se, cos Para descorir a ordeada de B (a sua acissa é raio do círculo) podemos recorrer à semelhaça dos triâgulos [ODC] e [OAB] Temos BA AO yb ya xa xo, portato CD DO y y x x C D D O y B x cos se Outro processo: O poto B tem coordeadas, ta B, ta OPÇÃO D(V) B(V4), B cos se ta ta ou, cot a se (0) 4 Mostre que a área do polígoo [ABCD], em fução de, é dada por ta De acordo com os dados, o polígoo [ABCD] é um trapézio, pois tem dois lados paralelos AABCD Temos: BASE ase altura AB DC DA AB yb ya ; DC yc yd cos ; DA xa xd se ta cos ta se Portato, AABCD se se cos se cos se se cos cos cos cos se se se se se se se ta se cqm ta (5) 4 Determie o valor exato da área do polígoo [ABCD] quado B tem coordeadas, Quado a ordeada de B vale temos ta, ou seja, ta Agora, para calcular a área do trapézio precisamos de cohecer se, mais precisamete, Como cos se, dividido amos os memros por 4 se se se 4 ta se se temos: se Outro processo: como ta e º Q saemos que 0º ou 6 Portato, AABCD se se 0º e 4 4 8 se 4 uidades quadradas BOM TRABALHO! Prof José Tioco Ficha de avaliação de Matemática A º Ao Págia 6/6 Versão