Capitulo 3 Resolução de Exercícios

S C J J C i FORMULÁRIO Regime de Juros Compostos S C i C S i S i C S LN C LN i 3.7 Exercícios Propostos ) Qual o motate de uma aplicação de R$ 00.000,00 aplicados por um prazo de meses, a uma taxa de 5% a.a? S C i S R ( ) 00000 ( 0,05) $05.000,00 ) Qual o capital iicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao fial de ao e meio gerar R$ 00.000,00? S 00000 C C R$ 9.43,6 i 0, 005 8 3) Qual o prazo de uma aplicação a 5% a.m. que dora seu capital iicial? S C LN LN C C LN 0,6935 4,067 meses LN LN 0,05 LN,05 0,04879 i Oserve-se que, caso houvesse sido explicitado a adoção da coveção liear, a parte fracioária f do prazo deveria ser tal que 4 4 0,05 C C 0, 05 0, 05 f f 0, 07 0,05 etão 4 0, 07 4, 07meses Na resolução dos prolemas propostos cosiderar aos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo meção em cotrário. Cosiderar este capítulo o Regime de Juros Compostos, com a adesão à coveção expoecial, salvo meção explicita de adesão à coveção liear. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

4) Qual a taxa de juros aual, a que devemos aplicar um capital iicial para que ele dore o seu valor um prazo de 0 aos? 0 S C i i 0, 0777 7,77% a. a. C C 5) Qual o total de juros acumulado, ao fial de 7aos, de uma aplicação de R$ 0.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.? 7 J C i 0000 0, 05 R$ 8,4, 0 6) Um ivestidor aplicou o mercado fiaceiro a quatia de R$ 750.000,00 e após 83 dias resgatou R$.033.650,00 rutos. a) Qual foi a taxa mesal de juros composto auferida pelo ivestidor? ) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 0% de imposto sore operações fiaceiras for aplicada sore o redimeto auferido, atecipadamete e postecipadamete? a) S 30 83 033650 i i 0, 053994 ou 5,3994% a. m. C 750000 ) IOF Atecipada S C J J S C 033650 750000 83650 T t J 0,0 83650 8365 Desemolso iicial C T 750000 8365 R$ 778.365, 00 S líquido S 033650 83 líquido S 033650 i i 0, 0055ou 0,55% a. d. CT 778365 Deve-se otar que, está sedo admitido que o redimeto é prefixado; sedo, pois, cohecido a data da aplicação. IOF Postecipada S C J J S C 033650 750000 83650 T t J 0,0 83650 8365 líquido S S T 033650 8365 00585 83 líquido S 00585 il i 0, 0060 ou 0,60% a. d. C 750000 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

7) Qual é o motate líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, à taxa de juros compostos de % a.a., se for pago imposto de reda, com a alíquota de 0% icidido sore os juros, o resgate da aplicação, cosiderado: a) a Coveção Expoecial? ) a Coveção Liear? a) Cosiderado a Coveção Expoecial S C ( i) e J C i S S T S t J 5/ 5/ 5/ 5/ 5 J 5/ C i J5/ 8000 0, 69, 07 S C J 8000 69, 07 869, 07 S S t J 869, 07 0, 69, 07 855,86 ) Cosiderado a Coveção Liear S C ( i) e J C i S S T S t J 5 J5/ C i 80000, 733,33 S C J 8000 733,33 8733,33 5/ 5/ S S t J 8733,33 0, 733,33 8586, 66 5/ 5/ 5/ a parte fracioária 8) Aa colocou R$ 00.000,00 à taxa de juros composto de % a.m. pelo prazo de 50 meses. Etretato, ates do térmio do prazo, coseguiu um aumeto da taxa para,5% a.m. referete ao restate do prazo. Sae-se que, o fial do período, receeu um motate de R$ 90.75,49. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das taxas, cosiderado a Coveção Expoecial? S C ( i), J C i, 50 J C i 00000 0, 0 50 50 00000 0, 0 0, 05 J50 S i Alterativa Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9

50 50 Capitulo 3 Resolução de Exercícios S 00000 J J 9075, 49 50 9075, 49 00000 00000 0, 0 00000 0, 0 0, 05 50 9075, 49 00000 00000, 0 00000 00000, 0 0, 05 50 50 9075, 49 00000, 0, 05 00000, 0, 05 Alterativa S50 00000 i i 9075, 49 i i 9075, 49 00000 00000, 0, 05 Logo 50 50 50 50,907549, 0, 05 LN,907549 LN, 0, 05 LN,907549 LN, 0 50 LN, 05 0, 64566 0, 00995 500, 0489 0, 0489 0, 64566 0, 00494 0, 74450 0, 09884 0, 00494 0, 09884 0 meses 30 meses 0, 00494 9) Uma pessoa realizou dois ivestimetos com o mesmo capital iicial de R$ 3.000,00, em duas istituições fiaceiras, o mesmo dia, otedo taxas de juros idêticas. Saedo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; que a difereça etre os prazos é de 0 dias; e que uma redeu de juros R$ 806,0 a mais que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros diária otida. J 3000 i ; J 3000 i ; 0 0 60 0 60 40 0 40 i i 40 0 J J 806, 0 3000 i 3000 i 806, 0 40 0 3000 806, 0 40 0 806, 0 i i 0, 6867 3000 40 0 0 0 i i i i 0, 6867 0 0, 6867 0 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 0

0 fazedo y i temos 40, 6867 y, 09 y y 0, 6867 0 y y 0, 09 Como y é um úmero elevado a uma potêcia iteira par, ele uca pode ser egativo. Logo, a seguda raíz deve ser desprezada. 0 0 y i, 09 i, 09 0, 0 % a. d. 0) Uma aplicação rede 5% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Fiaceiras (IOF), o receimeto do redimeto, a uma alíquota fixa de,5% aplicada sore o mesmo. Se você aplicou R$ 00.000,00 pelo prazo de um ao, qual a taxa líquida semestral otida, cosiderado que o redimeto líquido otido o fim do º semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restate do período? O redimeto líquido em cada semestre, do ivestimeto iicial, é dado por: Jl C i t 00000 0,5 0,05 4775 O redimeto líquido o º semestre, do juros líquidos reivestidos, é dado por: J l Jl i t 4775 0,5 0,05 83,0 Logo, o resgate, o aplicador recee: S E J J 00000 4775 83,0 3733,0 O esquema aaixo represeta o fluxo de caixa do ivestimeto. Logo a taxa líquida semestral é dada por: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

S 3733, 0 il 0,4775 4, 775 a. s. C 00000 ou Juros 4775 83,0 il 0,3733 3,733 a. a Capital 00000 Lógico que estas taxas são equivaletes, já que: i i 0,4775 0,3733, 3733 s a ) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções: i. R$.800,00 à vista. ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mesais e sucessivas de R$ 600,00. iii. R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mesais e sucessivas de R$ 500,00. iv. 8 prestações mesais e sucessivas de R$ 75,00, com carêcia de 3 meses. Pede-se: a) qual é a melhor opção para você, comprador, cosiderado uma taxa de juros composto de 4% a.m. e data focal a data da compra? ) qual a taxa de juros compostos, que está emutida em cada um dos 3 plaos de compra à prazo? A melhor opção para o comprador é a que tem o meor valor presete; isto é, a data da compra (data focal 0). Calculado os valores atuais das opções, temos: a) qual é a melhor opção para você, comprador, cosiderado uma taxa de juros composto de 4% a.m. e data focal a data da compra? i. Como o valor é a vista, VPa 800 ii. 600 600 600 VP 300 965, 05 0,04 0,04 0,04 3 iii. 500 500 500 VP 500 887,55 c 0,04 0,04 0,04 3 iv. 75 75 75 75 75 VP d 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 3 4 5 6 7 75 75 75 7,8 0,04 0,04 0,04 8 9 0 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

Logo a melhor opção para o comprador é a opção iv. ) qual a taxa de juros compostos, que está emutida em cada um dos 3 plaos de compra à prazo? i. Como o valor é à vista, VPa 800 ii. 600 600 600 Valor à Vista 300 800 i 9,70% a. m. i i i 3 Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 500[CHS][g][CF 0 ] 600[g][CF j ]3[g][N j ] [f][irr]9,70 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel iii. 500 500 500 Valor à Vista 500 800 i 7,5% a. m. i i i 3 Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 300[CHS][g][CF 0 ] 500[g][CF j ]3[g][N j ] [f][irr]7,5 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 3

iv. 75 75 75 75 75 Valor à Vista i i i i i i i i 3 4 5 6 7 75 75 75 800 i 3,76% a. m. 8 9 0 Usado a fução IRR da HP C, temos os seguites comados: [f] [REG] 800[CHS][g][CF 0 ]0[g][CF j ] [g][n j ]75[g][CF j ]8[g][N j ] [f][irr]3,76 A plailha aaixo mostra o cálculo utilizado a fução TIR do Excel ) Pesado as festas de fim de ao, Faio pretede depositar R$.000,00 em 05/06 e R$ 3.000,00 em 05/09. Se o aco usado lhe pagará juros compostos à taxa de 0% ao trimestre, qual será o valor que Faio poderá retirar em 05/? S 000 0,0 3000 0,0 R$ 5.70,00 3) João faz uma aplicação de R$ 500,00, pelo prazo de um ao, à taxa de 8% a.s.. Qual a taxa de juros ao ao que resultaria o mesmo motate o mesmo período? S C i S 500 0,8 696, 0 etão s 696, 0 696, 0 C ia 696, 0 500 ia ia 0,3940 39, 4% a. a. 500 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 4

4) O fluxo de caixa da Idústria Zé Boliha apreseta os pagametos de R$ 0.000,00 e R$ 80.000,00, respectivamete, de hoje a 3 e 9 meses. Atevedo dificuldades, o gerete fiaceiro, Dr. Araújo, teta egociar juto à istituição credora essa dívida, a forma de dois pagametos iguais vecíveis de hoje a e 5 meses. Supodo que essa reegociação se faça à taxa de 5%a.t., qual o valor dos ovos pagametos? A soma dos valores atuais dos pagametos origiais deve ser igual à soma dos valores atuais dos pagametos propostos. 0000 80000 P 0,05 0,05 0,05 0,05 3 4 5 P 485, 7 6907, 0 0,87P 0, 78353P 8339, 7, 6063P 8339, 7 P R$ 4.75,88, 6063 5) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a meses, R$00.000,00 daqui a 3 meses e R$0.000,00 daqui a 4 meses. Desejado liquidar esses déitos com um úico pagameto daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, cosiderado uma taxa de juros compostos de 0% ao ao, com coveção expoecial? A soma dos valores atuais dos pagametos origiais deve ser igual ao valor atual do pagameto proposto. 50000 00000 0000 3 4 0, 0, 0, 0, P 49, 0 97645, 49374,59 0,9909P 663, 0 0,9909P 663, 0 P R$ 67.557, 40 0,9909 6) Imagie-se o caso de um título de reda fixa, com valor de emissão R$.000,00, com prazo de vecimeto igual a dois aos, taxa de redimeto ruta i 0% a. a., e triuto corado à alíquota de 0%, sore cada redimeto; com o título sedo egociado com deságio de 7%. a) Cosiderado que os redimetos são pagos aualmete, pede-se determiar a taxa aual de retailidade líquida se o triuto ão levar em cota o deságio. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 5

) O triuto levar em cota o deságio, com o redimeto só sedo pago o resgate do título; ocasião ode é apurado o lucro cotáil e corado o triuto. a) Não sedo cosiderado o deságio, para fis do cálculo do triuto, o fluxo de caixa é: ) Data 0: CF E 0 000 0,07 60 Data : CF JT E i E i 000 0,000 0,0, R$.080,00 Data : CF E J T E E i E i R$3.080,00 Sedo que a taxa aual líquida de retailidade, i e, é tal que: 080 3080 60 0 60 ie 080 ie 3080 0 i i e se y i y y e e 60 080 3080 0 y 60 080 080 4 60 3080 y 60 60 080 080 4 60 3080 080 487,964,3 os : só a raiz positiva tem sigificado fiaceiro. y i,3 i 0,3 ou 3, % a. a. e N E i T e R E i 000 0, 50 LC E i E( ) E i 000, 0, 07 3360 T t LC 0,3360 336 E N E i T 000 0, 336 484 V 0,93000 60 N il V 484 0,74 ou, 74% a. a 60 7) Seja uma istituição fiaceira que esteja emitido títulos com prazo de aos e taxas rutas de retailidade de 8% ao ao. a) Em sedo corado imposto de reda o resgate à uma alíquota de 5%, qual será a taxa aual de retailidade líquida para o ivestidor? ) Supodo que o ivestidor demade uma taxa líquida de retailidade de 7 % a.a., quato deverá ser cocedido de deságio se o deságio for ou ão cosiderado para fis de imposto de reda? Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 6

a) N E i T ; V E R E i E 0,8 0,394E T t R 0,50,394E 0, 05886E N E i T E 0,8 0, 05886E,33354E N,33354E il 0,5479 5, 479% a. a V E ) Deságio ão cosiderado para fis imposto de reda ; N E i T V E R E i E 0,8 0,394E T t R 0,50,394E 0, 05886E N E i T E 0,8 0, 05886E,33354E N,33354E il V E,33354,33354,33354 0,7,7,7,3689,33354,3689,3689,33354 0, 03536 0, 0583,583%,3689 Deságio cosiderado para fis imposto de reda ; N E i T V E R E i E 0,8 0,394E ( ),8 0,394 LC E i E E i E E T t LC 0,5E 0,394 0, 05886 0,5 E l,8 0, 05886 0,5,33354 0,5 N E i T E E E i N E,33354 0,5 V E Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

E,33354 0,5,33354 0,5 0,7,7 E,3689,33354 0,5, 89 0, 03536 0, 03536 0, 090 ou,90%, 89 8) Certo idivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, corado juros compostos, possui em sua Carteira de Ivestimetos as seguites quatro otas promissórias: a) A primeira, com valor de face de R$.000,00, termo de 8 meses a juros compostos de 5% ao mês, sedo datada de meses ates da data de hoje. ) A seguda, com valor de face de R$.000,00, termo de 0 meses a juros compostos de 80% ao ao, sedo datada de 3 meses ates da data de hoje. c) A terceira com valor omial de R$.500,00, vecedo-se de hoje a 3 meses. d) A quarta com valor omial de R$ 3.000,00, vecedo-se de hoje a 6 meses. Tedo o idivíduo receido a proposta de veder as quatro otas promissórias em questão, por R$ 6.400,00, pagáveis à vista, deve ou ão aceitar a proposta se, a data de hoje, cosegue fazer empréstimos corado a taxa de juros compostos de: i. 6% ao mês ii. 8% ao mês Calculado o valor omial das otas promissórias N N N N a c d 8 000 0, 05 477, 46, seis meses após a data de hoje (0) 0 000 0,8 364, 05, sete meses após a data de hoje (0) 500, três meses após a data de hoje (0) 3000, seis meses após a data de hoje (0) I. Taxa de 6% ao mês, a data de hoje O valor atual das otas promissória é: 477, 46 364, 05 500 3000 VP 6586, 64 0,06 6 0,06 7 0,06 3 0,06 6 Logo, como R$ 6.586,64 é maior que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se recusar a oferta. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

II. Taxa de 8% ao mês, a data de hoje O valor atual das otas promissória é: 477, 46 364, 05 500 3000 VP 0,08 6 0,08 7 0,08 3 0,08 6 596,85 Logo, como R$ 5,96,85 é meor que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se aceitar a oferta. 9) Determiada pessoa, ao comprar um carro ovo cujo preço é R$ 0.000,00, teve seu carro usado aceito como etrada. O saldo do preço de veda será pago em cico prestações mesais de R$.600,00, a primeira vecedo um mês após a compra. Saedo-se que a taxa de juros compostos do fiaciameto é de % a.m., qual o valor da avaliação do carro usado? Na data de hoje, a equação de valor é: 600 600 600 600 600 0000 Vusado 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3 4 5 0000 V 549, 0 499, 04 450, 04 40, 00 354,90 55, 00 usado V usado 0000 55, 00 R$ 7.745, 00 0) Uma aplicação o regime de juros compostos durate o prazo de 5 meses, rede juros à taxa de % a.a. e paga imposto de reda igual a 0% dos juros. O imposto é pago o resgate. Qual o motate líquido de uma aplicação de R$8.000,00? 5 J 5/ C i 8000 0, 69, 07 T t J 0, 69,07 38, S C J T 8000 69, 07 38, 855,86 l Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9