UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Priscilla Bieites de Souza Macedo DIFERENTES DEMONSTRAÇÕES PARA O LIMITE: 0 Belo Horizonte 00
Priscilla Bieites de Souza Macedo DIFERENTES DEMONSTRAÇÕES PARA O LIMITE: 0 Monografia apresentada ao Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Eatas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Cálculo Professor Orientador: Jorge Sabatucci Belo Horizonte 00
Priscilla Bieites de Souza Macedo DIFERENTES DEMONSTRAÇÕES PARA O LIMITE: 0 BANCA EXAMINADORA Prof Jorge Sabatucci (Orientador) UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Prof UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Prof UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Belo Horizonte, 0 de setembro de 00
RESUMO Este trabalo tem como objetivo demonstrar de três maneiras diferentes que 0 Em duas das demonstrações utilizaremos desigualdades entre áreas de figuras planas e na terceira compararemos os centróides de figuras planas Finalizaremos esboçando o gráfico da função sen ( ), se 0 ( ), se 0 f Palavras-cave: área, ite, centróide
ABSTRACT Tis work intends to demonstrate by tree different ways tat 0 In two of te statements we use inequality between areas of plane figures and te tird will compare te centroids of plane figures We conclude by sketcing te grap of te function sen ( ), se 0 ( ), se 0 f Keywords: area, it, centroid
SUMÁRIO INTRODUÇÃO 6 CAPÍTULO PRELIMINARES 7 CAPÍTULO DEMONSTRAÇÕES 9 Primeira demonstração geométrica (Clássica) 9 Cálculo do Cálculo do 9 0 0 0 Segunda demonstração geométrica Demonstração utilizando o centróide Cálculo do centróide do triângulo AOB Cálculo do centróide da região R 4 Cálculo da abscissa do centróide 5 Cálculo da ordenada do centróide 5 Cálculo do centróide do triângulo OCD 6 4 Comparação das coordenadas dos centróides das três figuras 6 sen ( ), se 0 CAPÍTULO - GRÁFICO DA FUNÇÃO f ( ) 8, se 0 Estudo do sinal de f '( ) 9 Estudo do sinal de f ''( ) 4 ), se 0 Esboço do gráfico da função f ( ) 4, se 0 CONCLUSÃO 6 BIBLIOGRAFIA 7
6 INTRODUÇÃO Este trabalo foi desenvolvido com o intuito de demonstrar de diferentes maneiras que 0 Para tanto, o teto foi dividido em três capítulos: No Capítulo são apresentados conceitos, definições e resultados que serão utilizados nos capítulos posteriores O Capítulo é composto por três seções Cada uma delas contém uma demonstração de que 0 Na primeira seção é apresentada a demonstração frequentemente encontrada nos livros de Cálculo Diferencial e Integral, baseada em desigualdades entre as áreas de três regiões Na segunda seção é apresentada uma demonstração a partir de um polígono de n lados inscrito em uma circunferência Por fim, a terceira seção apresenta uma demonstração que também é feita através de desigualdades, no entanto, entre os centróides de três regiões diferentes O Capítulo apresenta o estudo do comportamento da função sen ( ), se 0 f ( ), se 0, culminando com o esboço de seu gráfico
7 CAPÍTULO PRELIMINARES Neste capítulo listaremos alguns resultados de cálculo e de geometria, sem demonstrá-los, que serão utilizados em capítulos posteriores Teorema do confronto Sejam f (), g () e () um domínio funções reais definidas em D e seja um ponto de acumulação* deste domínio tais que: Eistem f ( ) e g( ) ; f ( ) g( ) L ; e f ( ) ( ) g ( ) Então eiste o ite ( ) e ( ) L Sejam f () e g () funções definidas no domínio D Supona que represente um ponto de acumulação de D, ou Se g () é uma função itada e f ( ) 0, então f ( ) g ( ) 0 Sejam f () e g () funções reais definidas em um domínio D e seja um ponto de acumulação deste domínio Se eistem os ites f ( ) e g( ), então eistem ( f g)( ) e ( f g)( ) Além disso, ( f g)( ) f ( ) g ( ) e ( f g)( ) f ( ) g ( ) 4 Sejam f () e g () duas funções contínuas e deriváveis em um intervalo I, tais que g '( ) 0 para todo I Seja, ainda, a um ponto de acumulação de I Se *Dizemos que 0 é ponto de acumulação de um conjunto intersecta D em um ponto diferente de 0 D se cada intervalo aberto contendo 0
8 f a ( ) g ( ) 0 a e eiste f '( ) a g '( ) ou é infinito Então eiste a f ( ) g ( ) e f ( ) f '( ) a g ( ) a g '( ) 5 Seja P n um polígono conveo de n lados inscrito em um círculo de raio r, tal que as medidas de seus lados tendem a zero se, e somente se, A P r, em que P A é a área de P n n Então 6 A área de um setor circular de raio r e ângulo central, é dada por com real, entre 0 e r, a b sen ( ) 7 A área de um triângulo qualquer pode ser calculada por, onde a e b são dois lados conecidos e o ângulo formado entre eles
9 CAPÍTULO DEMONSTRAÇÕES Nesse capítulo apresentaremos três maneiras diferentes para calcular o, em que é um número real 0 Primeira demonstração Geométrica (Clássica) A demonstração que será apresentada é frequentemente encontrada nos livros de Cálculo Para demonstrá-la precisaremos calcular os ites laterais: e 0 0 Cálculo do 0 sen ( Neste caso, interessa-nos estudar o comportamento de para valores de positivos e próimos de zero Podemos então considerar valores de no primeiro quadrante, ou seja, 0 Na figura tem-se uma circunferência de centro na origem e raio igual a, uma semi-reta r de origem O que forma um ângulo com raio OC, em que C é o ponto de coordenadas (,0) A semirreta r intersecta a circunferência em um ponto que representaremos por A A reta t tangencia a circunferência no ponto C e intersecta r no ponto D
0 Sabemos então, que CD tg ( e que as coordenadas de A são (cos ( ), sen ( ) Sejam: S AOC, a área do triângulo isósceles de vértices A, O e C; S COD, a área do triângulo retângulo de vértices C, O e D; S OAC, a área do setor circular de vértice O e ângulo central igual a Analisando a figura, temos que: S AOC = OCAB = S OAC = (II); = (I); S COD = OCCD tg( = = S AOC < S OAC < S COD (IV) tg( (III); e que tg ( De I, II, III e IV, temos Utilizando o fato que 0, podemos concluir que essas desigualdades são equivalentes às seguintes cos ( ) Como cos( e, pelo Teorema do Confronto, concluímos que o 0 0 0 Cálculo do 0 sen ( Agora, vamos estudar o comportamento de para valores de negativos e próimos de zero Podemos então considerar valores de no quarto quadrante, ou seja, 0 Vamos relacionar o ite à esquerda de 0 com o ite à direita de 0 Para tanto, seja, então 0, se e somente se, 0
) ) Então, 0 = =, pois ) ) 0 0 ) Dessa forma, concluímos que 0 = = 0 De e, concluímos que, para real 0 Segunda demonstração Utilizaremos o seguinte fato para essa demonstração: dado com eiste um número natural n e um número real, com 0, 0, tais que n ( é o resto da divisão de por ) Essa epressão nos fornece n (I) Esse fato nos permite inscrever em um círculo um polígono P n composto de n triângulos isósceles, sendo que n deles possuem ângulo no vértice igual a e um deles igual a, conforme figura Considerando um círculo de raio e representando a área do polígono por A P ; a área do triângulo isósceles de ângulo no vértice igual a por A ; e a área do triângulo isósceles de ângulo no vértice igual a por A, podemos escrever AP n na A (II) Temos que: sen sen A (III); sen sen A (IV)
De I, II, III e IV obtemos AP n sen sen n sen sen sen sen (V) Da geometria plana, como registrado no Capítulo, temos que A (VI) P n sen Sabemos que 0, quando 0, pois De V, VI e VII, concluímos que eiste o ite de 0 (VII) sen, quando 0 Esse fato nos permite escrever: 0 sen sen 0 AP n sen sen 0 0 Como eistem os ites de sen e de, então: 0 0 0 0 0 sen sen 0 sen sen
sen Com o mesmo argumento utilizado em, concluímos que 0 Portanto, o sen 0 Demonstração utilizando o centróide Para essa demonstração compararemos os centróides das seguintes regiões: O setor circular R de raio e ângulo central ; O triângulo OAB em que os lados OA e OB são os prolongamentos dos raios OC e OD até a reta tangente ao arco CD no ponto E; e O triângulo OCD de lados iguais a Para tanto, vamos dispor essas regiões em um plano cartesiano de forma que fiquem simétricas em relação ao eio das ordenadas e tenam vértice na origem, conforme figura Cálculo do centróide do triângulo AOB A abscissa X OAB do centróide do triângulo isósceles OAB é zero, pois esse triângulo é simétrico em relação ao eio das ordenadas
4 A ordenada Y OAB do centróide do triângulo OAB é igual a da altura desse triângulo relativa ao lado AB Como essa altura é igual a, temos que Y OAB Portanto, as coordenadas do centróide do triângulo OAB são 0, Cálculo do centróide da região R Tracemos um segmento perpendicular ao eio das abscissas pelo ponto de abscissa, interceptando o setor circular nos pontos E e F, conforme figura 4 Temos que: O ponto E tem coordenadas (, ), pois ele pertence à circunferência de equação y e tem abscissa O ponto C tem coordenadas ( sen,cos), da trigonometria O ponto F tem coordenadas (,cot g ( )), pois pertence à reta de equação y cot g( ) e tem abscissa O ponto D tem coordenadas ( sen,cos), pois ele é simétrico ao ponto C em relação ao eio das ordenadas
5 Do Cálculo Diferencial e Integral temos que as coordenadas do centróide de R são dadas por: R Área d dy X R e R Área d dy y Y R Cálculo da abscissa do centróide Observando que a região R e a função y g ), ( são simétricas e em relação ao eio das ordenadas, assim temos que R d dy 0 e, portanto, 0 X Cálculo da ordenada do centróide A ordenada Y do centróide é dada por: 0 0 cot cot sen sen g g d y dy d y dy Y = sen g d y dy 0 cot, pois a função y y f ), ( e a região R são simétricas em relação ao eio das ordenadas Portanto, sen d g Y 0 cot sen d g 0 cot
6 6 cot g 6 sen 0 sen sen sen cos sen sen sen sen sen sen Portanto, o centróide da região R tem coordenadas 0, ( ) sen Cálculo do centróide do triângulo OCD A abscissa X OCD do centróide do triângulo isósceles OCD é 0, pois esse triângulo é simétrico em relação ao eio das ordenadas A ordenada Y OCD do centróide do triângulo OCD é igual a da altura desse triângulo relativa ao lado CD Como essa altura é igual a cos( ), temos que Y OCD cos( ) Portanto, as coordenadas do centróide do triângulo OCD são 0, cos( ) 4 Comparação das coordenadas dos centróides das três figuras Da Física e do fato de uma figura plana ser considerada omogênea (portanto de densidade constante), podemos observar que as abscissas dos centróides dessas regiões são iguais a zero e, além disso, que as regiões OCD, R e OAB, dispostas
7 como na figura nos levam às seguintes relações entre as ordenadas de seus ) centróides: cos( ) Essas desigualdades são equivalentes às ) seguintes cos( ) Como cos( ) e, pelo Teorema do Confronto, concluímos que o 0 0 0 ) sen ( ) Com o mesmo argumento utilizado em, concluímos que 0 Portanto, o sen 0
8 CAPÍTULO - GRÁFICO DA FUNÇÃO sen ( ), se f ( ), se 0 0 Neste capítulo já supomos conecidas as derivadas das funções trigonométricas As etapas a seguir nos permitirão esboçar o gráfico dessa função O domínio da função é (, ) A função é par De fato, se 0, então sen ( ) f ( ) ) f ( ) Portanto, f ( ) f ( ) para 0 Vale observar também que f ( 0) f (0) Dessa forma concluímos que a função é par Interceptos com os eios coordenados Com o eio y : Para 0, temos que y Portanto o ponto ( 0,) ) Com o eio : Nesse caso devemos ter y 0 Isso nos leva aos pontos ( n, 0), com n inteiro Temos os seguintes ites: sen ( ) a) 0 ) b) 0, pois sen () é uma função itada e tende a zero, quando sen ( ) Como f () é par, concluímos também que o 0
9 Estudo do sinal da primeira derivada e o comportamento da função Derivada de f () : cos( ) ) Para 0 temos f '( ) O procedimento a seguir nos permite verificar a eistência de f '(0) Temos, f ( f (0) 0 0 sen ( 0 f ( f (0) Utilizando a regra de L Hôspital, duas vezes, obtemos que 0 0 Podemos concluir que f '(0) eiste e é igual a 0 Portanto cos( ) ), 0 f '( ) 0, 0 Estudo do sinal de f '( ) Para 0 temos cos( ) ) positivo e, portanto, o sinal de '( ) f será o sinal do numerador Considerando z cos( ) ), temos que: cos( ) ) 0, se e somente se, cos( ) 0 Isso mostra que cos( ) ) 0 tg ( ) 0 Analisando o sinal de tg() O gráfico a seguir das funções y e y tg() nos auiliaram no estudo de sinal
0 Para determinarmos as raízes de z cos( ) ) em,, consideremos w tg(), portanto w ' sec ( ) 0, ou seja, w é decrescente e como w ( 0) 0, o sinal de w em, é: Assim em, a função w tem somente 0 como raiz Agora, sejam,,, as abscissas das interseções de y e y tg(), que são as raízes de tg( ) 0, conforme figura 6
Analisando o estudo de sinal no intervalo, e a posição relativa da reta de equação y e da curva y tg(), obtemos os seguintes sinais de w tg() : Agora, para analisar o sinal de z wcos( ) cos( ) ), estudaremos o sinal de cos( )
Portanto, o sinal de ) ( ) cos( ) ( ) cos( tg sen z, para 0 ) cos( é: Desse estudo podemos observar que,,, n, são pontos de máimos locais de z Vejamos: 9 7 5 7 5 Portanto, temos: 4 4 n n n, com n n n n n n n n n sen sen n sen, com 0 n Como vimos que a função z é decrescente no intervalo, 0, o maior valor que ela admite é no ponto 0, que é igual, portanto este é o máimo local Podemos observar também que n 4,,,, são pontos de mínimo locais, pois estão nos intervalos especificados abaio e são os pontos em que z muda de sinal 9 7 5 6 4 Portanto, temos: 4 4 n n n, com 0 n
n n n Estudo do sinal da segunda derivada e o comportamento da função Segunda derivada de f () : Para 0 temos f ) cos( ) ) '' ( ) O procedimento a seguir nos permite verificar a eistência de f ''(0) Temos, f '( f 0 '(0) cos( sen 0 0 cos( 0 Utilizando a regra de L Hôspital, obtemos: cos( cos( sen ( cos( 0 0 0 Utilizando a regra de L Hôspital novamente, obtemos: 0 0 cos( E daí concluímos que 0 f '( f '(0) e podemos concluir que f ''(0) eiste e é igual a Portanto f ''( ) cos( ) ), ), 0 0
4 Estudo do sinal de f ''( ) Considerando u ) cos( ) ) e u' cos( ), temos que u ( 0) 0 e u' cos( ) 0 k, com k inteiro Dessa maneira temos: u ( ) 0 ; 4 9 u ( ) 0 ; 4 5 5 u ( ) 0 ; 4 7 49 u ( ) 0 ; 4 (n ) negativo se n é par Isto é, u ( ) positivo se n é ímpar Portanto o sinal de u' cos( ) é: Isso nos permite estudar as regiões em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baio Esboço do gráfico da função sen ( ), se f ( ), se 0 0 Cumprida as etapas propostas no início do Capítulo obtemos o seguinte esboço para o gráfico y f ()
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6 CONCLUSÃO Este trabalo tina como objetivo inicial demonstrar de diferentes maneiras que Todas essas demonstrações são simples de serem realizadas 0 e, na mina opinião, poderiam ser apresentadas para os alunos durante os cursos de cálculo Eu mesma só conecia a demonstração denominada como clássica, que é geralmente encontrada nos livros de cálculo Ao desenvolver o trabalo, surgiu a idéia de esboçar o gráfico da função ), se 0 f ( ), e então nos deparamos com algumas dificuldades, para, se 0 contorná-las, utilizamos vários artifícios, o que fez com que eu precisasse utilizar diversos conteúdos de cálculo Portanto, a elaboração desta monografia foi etremamente importante para rever e consolidar determinados conteúdos que foram vistos durante mina graduação e pós-graduação, além de ser uma nova eperiência Espero que esta possa ser utilizada por outros alunos, e possa também auiliá-los durante o processo de pesquisa e elaboração de seus trabalos
7 BIBLIOGRAFIA [] Gearart, WB; Sultz, HS Te Function Journal, Marc 990, Volume, Number, p 90-99 sin () Te College Matematics [] Simmons, G F, Cálculo com Geometria Analítica, vol, Makron Books do Brasil Editora Ltda, S P, 987, p