FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. No referencial ortogonal e monométrico da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de diâmetro [BD], com coordenadas B 4, e 0 Os vértices C e D pertencem ao eixo Ox. D,. (15) 1.1. Escreva a equação da circunferência representada. BD A circunferência tem centro no ponto médio, M, de [BD] e raio MD ( MB ou ). 4 0 0 Assim, o centro tem coordenadas M, 0, e o raio é r MD 0 0 4 4 8 A equação da circunferência é x y x y 0 8 8 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/6 Versão
(10) 1.. Escreva as coordenadas dos restantes vértices do quadrado e indique as coordenadas do simétrico de B em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. C é o simétrico de D em relação à origem do referencial, portanto C 0, Assim, o lado do quadrado mede 4 unidades, isto é, CD CB 4.. Logo, 4 A,. O simétrico de B em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y x) obtém-se trocando y por x e x por y. Assim, B' 4,. (18) 1.3. Escreva uma condição que defina a região sombreada e calcule a área dessa região. A região sombreada é a parte do círculo que está acima da reta y = 4, incluindo as linhas. Portanto, é definida por x y 8 y 4. 1 4 A A. A área desta região corresponde a um Temos: A 8 8 8 e A DB 4 16 Assim, A S A A 8 16 4 unidades de área. 4 4 (10) 1.4. Determine a equação da mediatriz de [BD], na forma y ax b. A mediatriz de [BD] é definida pela equação x y 4 x y 0 Simplificando, x 4x 4 y 8y 16 x 4x 4 y 4x 8y 16 4x 8y 8x 16 y x A equação da mediatriz é yx. 8. No referencial Oxyz, ortogonal e monométrico, da figura seguinte, está representado um poliedro composto por um cubo e uma pirâmide regular, tais que: a origem do referencial é o centro da face ABCD do cubo, que está no plano xoy. a base da pirâmide é comum à face ABCD do cubo; a aresta [AD] do cubo é perpendicular ao eixo Ox; o ponto A tem coordenadas 3, 3, 0. (1).1. Indique as coordenadas dos vértices C, D, F e H. 3 3 0 D 3, 3, 0 C,, 3 3 6 H 3, 3, 6 F,, Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão
(10).. Diga, justificando, qual dos pontos seguintes pertence ao plano ADH. (A) P 56,, (B) Q 5,, 6 (C) R 3, 6, (D) S 3, 6, Qualquer ponto do plano ADH tem abcissa 3, portanto x 3 é a equação do plano. Assim, só o ponto R pertence ao plano ADH. (10).3. Determine as coordenadas do vértice V da pirâmide sabendo que o volume da pirâmide é um terço do volume do cubo. O vértice da pirâmide tem coordenadas da forma 0, 0, c, isto é, pertence ao eixo Oz, pois trata-se de uma pirâmide regular. Assim, c corresponde à altura da pirâmide. Como V pirâmide Sendo 6 1 C 3 cubo, sabemos que 1 1 Ab h a 3 3 V 006,,. 3, ou seja, a a medida da aresta do cubo, temos (15).4. Defina por uma condição cada um dos seguintes conjuntos de pontos: (A) plano xoz y = 0 (B) reta DC y = -3 z = 0 (C) aresta [DH] x = 3 y = -3-6 z 0 3 a c a c a (13).5. Justifique que a equação do plano mediador do segmento [AC] é y x e indique as coordenadas de dois pontos desse plano que não sejam vértices do cubo. 1º processo: Descobrir a equação do plano mediador de [AC] usando a fórmula: x 3 y 3 z 0 x 3 y 3 z 0 x 6x 9 y 6y 9 z x 6x 9 y 6y 9 z 6x 6y 6x 6y 1 y 1x y x º processo: O plano mediador do segmento [AC] é o plano DHF. Trata-se do plano de simetria do cubo que contém os pontos cuja abcissa e ordenada são simétricas (plano bissetor dos octantes pares). Portanto, a equação desse plano é y x. Qualquer ponto deste plano tem ordenada e abcissa simétricas. Assim, dois pontos deste plano são, por exemplo, 1, 1, 1 e 11,,. (15).6. Calcule a área da secção obtida pela interseção do poliedro com o plano DHF. A secção obtida no poliedro pela interseção com o plano DHF é formada pelo retângulo [BDHF] e pelo triângulo [DBV]. Portanto, Área secção A A Temos: A DB DH 6 6 36 e c.a. DB OV 6 6 A 18 DB 3 3 3 3 0 0 36 36 36 6 ou DB diagonal facial a 6 Portanto, Área secção 36 18 54 unidades quadradas. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/6 Versão
3. Considere a condição seguinte, definida em por: x 3 y (10) 3.1. Diga, justificando, qual das condições seguintes não é equivalente à condição dada. (A) x 3 y (B) x 3 y (C) x 3 y y (D) x 3 y x 3 y Simplificando a condição dada, obtemos, sucessivamente: x 3 y x 3 y Lei de De Morgan x 3 y y Eliminar os módulos x 3 y x 3 y P. Distributiva de relati/ a. Portanto, apenas a condição (A) não é equivalente à dada. (10) 3.. Represente, num referencial de, o conjunto de pontos definido pela condição dada. A representação pode ser feita a partir de qualquer uma das condições equivalentes. Todavia, a mais simples de interpretar é a condição x 3 y x 3 y que diz que temos de reunir (símbolo de disjunção ) todos os pontos com abcissa menor ou igual a 3 e ordenada maior do que, x 3 y, com os pontos de abcissa menor ou igual a 3 e ordenada inferior a -, x 3 y. 4. A Mafalda tem um pequeno aquário com a forma de uma superfície esférica com 0 cm de raio, à qual se extrai uma parte superior para formar a abertura, tal como sugere a figura. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/6 Versão
(8) 4.1. Num referencial cartesiano Oxyz, ortogonal e monométrico, a superfície do aquário tem a forma de uma superfície esférica com centro na origem desse referencial. Escreva a equação dessa superfície esférica. Sendo O 000,, e r 0 o raio da superfície, a sua equação é x y z 400. (10) 4.. Estude a posição do ponto P 11, 10, 1 em relação à superfície esférica e indique as coordenadas do ponto P', simétrico de P em relação ao eixo Oy. 1.º processo: Substituir as coordenadas de P na equação da superfície 11 10 1 400 11 100 144 400 365 400 Proposição falsa Como 365 400, podemos concluir que o ponto P é interior à superfície esférica..º processo: Comparar PO com o raio (0). PO,... 11 10 1 11 100 144 365 19 105 0 O simétrico de P em relação ao eixo Oy, mantém a ordenada e as restantes coordenadas passam às suas simétricas. Assim, P' 11, 10, 1. (10) 4.3. Neste referencial, a superfície da água encontra-se no plano horizontal de equação z 10. Diga, justificando, qual das condições seguintes representa superfície da água no aquário. (A) x y z z 400 10 (B) x y z z 400 10 (C) x y 10 (D) x y 300 A superfície da água (dentro do aquário) tem a forma de um círculo. Tal círculo corresponde à interseção da esfera limitada pela superfície do aquário com o plano de equação z 10. Assim, essa condição só pode ser (B) x y z z 400 10 (14) 4.4. Sabe-se que a circunferência do bordo do aquário tem 175 cm de área. Determine a altura total do aquário (distância do ponto de menor cota até ao ponto C). A altura total do aquário corresponde ao raio do aquário (r = 0 cm) mais a distância do ponto O até ao plano que contém a circunferência da abertura, isto é, h r OC. Como a abertura do aquário é uma circunferência com 175 cm de área, comecemos por descobrir o raio r dessa circunferência. Temos r 175 r 175 r 175. A distância OC é um cateto do triângulo retângulo OCD. OC 175 0 OC 400 175 OC 5 OC 15 Assim, Como 0 OC 0, a altura do aquário é 0+15 = 35 cm. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/6 Versão
(10) 5. Responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A. Identifique o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição seguinte, num referencial cartesiano Oxy. x y x y 10 4 5 0 Possivelmente, trata-se do exterior de uma circunferência. Mas temos de determinar as coordenadas do centro e o raio, reconstruindo os quadrados até chegarmos a uma equação x a y b r do tipo 10 4 5 0 x 10x y 4y 5 x y x y x x y y 10 5 4 5 5 x y 5 Trata-se do exterior da circunferência de centro no ponto 5, e raio. 5.B. No cubo da figura abaixo, P e Q são os pontos médios das arestas [HG] e [EH], respetivamente. Construa e classifique a secção obtida no cubo pela interseção com o plano PQB. Comecemos por traçar a reta PQ, pois os pontos P e Q estão na mesma face. Ora, a reta PQ não interseta qualquer face que contém o ponto B. Prolongando a aresta FE até intersetar PQ, obtemos o ponto I que se encontra no plano que contém o ponto B. Assim, já podemos traçar a reta IB, que interseta a aresta AE no ponto R. Como Q e R estão na mesma face podemos traçar QR. Mas a seção corta a face oposta à que contém [QR], portanto traçamos uma paralela a QR pelo ponto B que interseta a aresta CG no ponto S. Finalmente, só temos de traçar a reta SP. Obtemos assim um pentágono irregular. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 6/6 Versão