Exercícios Triângulos (1) 1. Na figura dada, sabe-se que r // s. Calcule x. 2. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x. 5. (PUC-SP) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Encontre os ângulos a, b, c e d. 6. (FUVEST) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo  mede 40º calcule o ângulo XYZ. 3. O triângulo ABC da figura seguinte é: a) acutângulo e escaleno b) retângulo e escaleno c) obtusângulo e escaleno d) acutângulo e eqüilátero e) retângulo e isóceles 7. (PUC-MG) Na figura seguinte, o ângulo ADC é reto. Calcule o valor em graus do ângulo CBD. 4. Um triângulo retângulo é tal que um de seus ângulos mede 20º. Determinar o ângulo entre a altura e a mediana relativa à hipotenusa do triângulo, sabendo.
8. Na figura sabe-se que a semi-reta OX é bissetriz do ângulo AOB. Além disso, BOC é o triplo de AOB. 12. Na figura, AB = BD, AC = CE e BÂC=40º. Quanto mede o ângulo DÂE. Se AOC = 112º, encontre COX. 9. Na figura a seguir as semi-retas AO e OB são opostas e x - 2y = 21º. Então podemos concluir que os ângulos AOC e BOC são... e que x é igual... C y x 13. ABC é um triângulo retângulo em A, no qual traçam-se a bissetriz (interna) e a altura relativas ao vértice A. Calcule a medida do ângulo formado por essas duas cevianas. A O B 10. Nas figuras, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Calcule o valor de α. 14. Na figura seguinte I é o incentro do triângulo ABC. Calcule AÎB. 11. Se AB = AC = AD, o número de triângulos isóceles da figura a seguir é: 15. Na figura a seguir, M, N e P são pontos médios de AC, BC e AD, respectivamente. Se BD = 21 cm, EF mede quanto?
16. ABCD é um trapézio de bases AB e CD, em que AB = 5 cm, CD = 16 cm. Calcule BC. 21. Nesta figura, ABC é um triângulo eqüilátero, R e r são os raios das circunferências circunscritas e inscrita e h é sua altura. 17. No triângulo ABC desta figura, BÂC = 80º, B = 60º, AK é uma altura e CS é uma bissetriz interna. Calcule α. Calcule: a) R e r se h = 21 cm b) R e h se r = 5 cm c) r e h se R = 8 cm 18. Num triângulo ABC, em que  = 100º, as bissetrizes internas relativas aos vértices B e C interceptam-se em I. Calcule BÎC. 19. Seja I o incentro de um triângulo isóceles ABC, de base BC. Se BÎC é o quíntuplo de Â, calcule Â. 20. No triângulo ABC a seguir, M e N são os pontos médios de BC e de AC. Gabarito: 1) 18º 2. a) 70º 2. b) 40º 2. c) 100º 3) B 4) 50º 5) 70º, 30º, 80º e 70º 6) 70º 7) 100º 8) 98º 9) Suplementares; 127º 10) 70º 11) 6 12) 110º 13) 13º 14) 110º 15) 7 cm 16) 11 cm 17) 110º 18) 140º 19) 20º Se AM = 12 cm e BN = 15 cm, conclui-se corretamente que AG + GN vale... cm. 20) 13 cm 21. a) R = 14 cm e r = 7 cm 21. b) R = 10 cm e h = 15 cm 21. c) r = 4 cm e h = 12 cm.
Exercícios Triângulos (2) 1. Do alto de dois postes, um com 10 m e outro de 12 m, duas corujas espreitam um camundongo que se encontra em algum ponto do chão, entre as bases dos postes e alinhados com elas. Voando em linha reta e com velocidades idênticas, as corujas saem no mesmo instante ao encalço da presa e agarram-na simultaneamente. Se a distância entre os postes é de 11 m, a distância do camundongo ao poste mais baixo, quando o pequeno ser dá o seu último suspiro, é de... m. 2. O triângulo ABC a seguir é retângulo e isóceles, com AB = AC = α. O triângulo APQ é equilátero de lado x. Encontre o valor de x em função de a. 3. ABC é um triângulo retângulo em A, AB = 6 cm e AC = 8 cm. O ponto P, situado no interior do triângulo, dista 1 cm de AC e 2 cm de BC. Qual a distância de P a Ab? 4. (Mackenzie-SP) No terreno ABC da figura, uma pessoa pretende construir uma residência preservando a área verde da região assinalada. Se BC = 80 m, AC = 120 m e MN = 40 m, encontre a área livre para a construção, em metros quadrados.
Área verde Área livre 5. Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm. Calcular, desse triângulo: a) a área b) a maior altura c) o raio da circunferência inscrita 6. (FATEC) A altura de um triângulo eqüilátero e a diagonal de um quadrado tem medidas iguais. Se a área do triângulo eqüilátero é 16 3 m², encontre a área do quadrado. 7. (UNI. ESTADUAL DO PARÁ) Se os lados de um triângulo medem, respectivamente, 10 cm, 12 cm e 18 cm, encontre a área desse triângulo. 8. Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área? Gabarito 1) 7,5 m 2) a 6/3 3) 10/3 cm 4) 1800 m² 5. a) 6 6 cm² b) 12 6/5 cm c) 2 6/3 cm 6) 24 m² 7) 40 2 cm² 8) 10,8 cm 9) 9 3 km²; (9 3 + 8 2 ) km²
Exercícios Triângulos (3) 1. Encontre o lado x dos triângulos abaixo. 2. Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indique, justificando, aqueles que são retângulos: 6. Pedro e João estavam se divertindo em uma gangorra. A altura máxima que cada um chega é de 60 cm. Se a distância entre eles é de 1,8 m, qual o comprimento da gangorra, em metros? a) a = 6; b = 7 e c = 13. b) a = 6; b = 10 e c = 8. 3. Calcule as áreas das figuras abaixo. 7. A figura abaixo representa um barco a vela. Encontre os valores aproximados de x e y. 4. Um motorista bateu seu carro em um poste de madeira, e o poste quebrou formando um triângulo com a parte que ficou presa ao chão e a que foi quebrada. Qual era a altura desse poste antes da batida? Gabarito 5. Uma bolinha foi solta de uma altura de 60 cm do chão, percorrendo o caminho indicado na figura. Qual a distância percorrida por ela em metros? 1. a) 5 b) 6 c) 5 3 2. a) Não é um triângulo retângulo 2. b) É um triângulo retângulo 3. a) 96 cm² b) 54 cm² 4. 18 m 5. 2,65 m 6. 3,6 m 7. x = 3,4 m; y = 1,6 m.
Exercícios Triângulos (4) 1. (Unesp) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso AO, é paralelo a BC, AO = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme a figura. 4. (UFG-GO) Um homem de altura H pretende adquirir um espelho no qual ele possa ver exatamente sua imagem total, como na figura abaixo. Calcular a altura h do espelho, em função da altura H do homem. 5. Calcule x na figura abaixo. Calcule a distância, em metros, do observador O até o ponto P. 2. Na figura a seguir, OPQR é um quadrado inscrito no triângulo ABC. 6. Um triângulo ABC tem lados AB = 10 e AC = 15. Uma reta paralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Se BD = 4, calcule AE. Calcular a medida do lado desse quadrado em função da base a e da altura h do triângulo. 7. (Unicamp-SP) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD mede 13 cm e as retas BB e CC são paralelas a DD. 3. Na figura seguinte, AB = AC, BC = BD = 12 e AD = 7. Encontre a medida de CD. Determine os comprimentos dos segmentos AB, B C e C D.
8. Na figura seguinte, AB = AC = 24 cm, AD = CD = 32 cm e AD // BC. Calcule BC. 9. Calcule x na figura abaixo. Gabarito 1. 50 m 2. x = ah/(h+a) 3. 9 4. h = H/2 5. 36 6. 9 7. 2,6 cm; 3,9 cm; 6,5cm 8. 18 cm 9. 15.
Exercícios Triângulos (5) 1. Calcule seno, cosseno e tangente de α e de β nas figuras abaixo. 4. Calcule x na figura a seguir. 2. (PUC-SP) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8 m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura abaixo. Qual é a distância x, percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A? 5. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5. 6. (UFC-CE) Parada a uma distância de 6 m de um prédio, uma pessoa observa os parapeitos de duas janelas, respectivamente sob os ângulos α = 30º e β = 45º, conforme ilustra a figura a seguir. 3. Na figura a seguir, no ponto B há um barco de pescadores atracado próximo à praia. Um observador, andando na praia, percorre a distância AC = 260 m e mede os ângulos BÂC = α e BCA = β. Considerando 3 = 1,7 calcule a distância entre os parapeitos das janelas. Gabarito Se tg α = 5/2 e tg β = ¾, qual é a distância do barco até a praia? 1. a) sen α = 15/17; cos α = 8/17; tg α = 15/8; sen β = 8/17; cos β = 15/17; tg β = 8/15 b) sen α = 7/25; cos α = 24/25; tg α = 7/24; sen β = 24/25; cos β = 7/25; tg β = 24/7 2. x = 5 tg θ 3. 150 m 4. 10 5. 24m 6. 2,6.