LEANDRO ROBERTO DE MACEDO

Transcrição

1 LEANDRO ROBERTO DE MACEDO ABORDAGENS FREQUENTISTA E BAYESIANA PARA DESCRIÇÃO DAS CURVAS DE ACÚMULO DE MATÉRIA SECA DE PLANTAS DE ALHO Tese apresentada à Unversdade Federal de Vçosa, como parte das exgêncas do Programa de Pós-Graduação em Estatístca Aplcada e Bometra, para obtenção do título de Doctor Scentae. VIÇOSA MINAS GERAIS - BRASIL 5

2

3

4 Aos meus pas, Tereza e Pedro À mnha esposa Jussara dedco.

5 AGRADECIMENTOS Prmeramente a Deus por ter me dado forças e perseverança ao longo dessa jornada. À Unversdade Federal de Vçosa, pela oportundade de realzar a graduação, mestrado e este curso de doutorado. À CAPES, pela concessão da bolsa de estudos. À FAPEMIG, pelo fnancamento do projeto de pesqusa. Ao Departamento de Estatístca Aplcada e Bometra pela oportundade em realzar este curso. Ao professor orentador e amgo, Paulo Roberto Cecon, pelas valosas orentações, pela confança e pela amzade. Aos coorentadores e amgos, professor Fabyano Fonseca e Slva e professor Moysés Nascmento pelos ensnamentos, sugestões e contrbuções para a realzação deste trabalho. Aos professores Maro Puatt e Wllerson, membros da banca, pelas sugestões para este trabalho. Aos professores do Departamento de Estatístca Aplcada e Bometra pelos conselhos e conhecmentos transmtdos durante o curso. À Carla e a Anta pela prontdão em ajudar sempre que precse. À mnha esposa Jussara que sempre acredtou em mm, e esteve ao meu lado me dando forças para enfrentar os desafos que a vda nos oferece. À mnha mãe Tereza, ao meu pa Pedro e meus rmãos José, Mara, Neuza e Valdec que com afeto, amor e dedcação estveram sempre ao meu lado torcendo por mm. Aos amgos do doutorado pelo companhersmo, pelos momentos de estudo, descontração e pelo apoo. Aos meus amgos do Departamento de Economa da Unversdade Federal de Juz de Fora, Campus Governador Valadares. A todos aqueles que dreta ou ndretamente contrbuíram para a realzação deste trabalho, muto obrgado.

6 BIOGRAFIA LEANDRO ROBERTO DE MACEDO, flho de Tereza Joana Macedo e Pedro Slvéro de Macedo, nasceu em Vçosa, Mnas Geras, em 7 de julho de 983. Em mao de 6, ngressou no curso de Matemátca na Unversdade Federal de Vçosa, graduando-se em julho de. Em feverero de, ncou no Programa de Pós-graduação, a nível de Mestrado em Estatístca Aplcada e Bometra, na Unversdade Federal de Vçosa, defendendo a dssertação em 3 de julho de 3. Em agosto de 3, ncou o curso de Doutorado em Estatístca Aplcada e Bometra, na Unversdade Federal de Vçosa, submetendo-se à defesa em 3 de dezembro de 5. Em de março de 3 fo aprovado no concurso para professor do ensno básco, na Rede Estadual de Educação de Mnas Geras, onde trabalhou até junho de 4. Em junho de 4 fo aprovado em concurso públco para professor do magstéro superor na Unversdade Federal de Juz de Fora, Campus Governador Valadares, no Departamento de Economa. No da 3 de dezembro de 5 defendeu a tese de Doutorado pelo Programa de Pós-graduação em Estatístca Aplcada e Bometra, na Unversdade Federal de Vçosa. v

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... v LISTA DE TABELAS... v RESUMO... x ABSTRACT... x INTRODUÇÃO... REFERENCIAL TEÓRICO.... Modelos de regressão não lnear.... Abordagem Bayesana Métodos de Monte Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) Algortmo de Metropols-Hastngs Amostrador de Gbbs Dagnóstcos de convergênca Abordagem Frequentsta Método dos quadrados mínmos ordnáros Processos teratvos e método dos quadrados mínmos....4 Avaladores da qualdade de ajuste Percentual de convergênca (C%) Quadrado médo do erro (QME) Coefcente de determnação (R ) Crtéro de nformação de Akake (AIC) Crtéro de Informação Bayesano (BIC) Desvo médo absoluto (DMA) Devance Informaton Crteron (DIC) Análse de agrupamento Meddas de dssmlardades Determnação do número ótmo de grupos... 7 v

8 3 MATERIAL E MÉTODOS Descrção do expermento Abordagem Bayesana Abordagem Frequetsta Avaladores da qualdade de ajuste Análse de agrupamento Dssmlardade entre os acessos Determnação do número ótmo de grupos Identdade de modelos RESULTADOS E DISCUSSÃO CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A- Scrpt das análses no software R... 5 B- Scrpt das análses de agrupamento C- Fgura A- Gráfco da densdade a posteror para as estmatvas βˆ, ˆ, ˆ 3 e ˆ para os parâmetros do modelo Logístco v

9 LISTA DE FIGURAS Fgura. Dendrograma obtdo com o agrupamento das estmatvas dos parâmetros e 3 do modelo Logístco para a abordagem Frequentsta com os 3 acessos de alho avalados... 3 Fgura. Curvas de acúmulo de matéra seca total de planta do alho ajustada pelo modelo Logístco para a abordagem Frequentsta para cada um dos dos grupos consderados Fgura 3. Dendrograma obtdo com o agrupamento das estmatvas do parâmetro e 3 do modelo Logístco para a abordagem Bayesana com os 3 acessos de alho avalados... 4 Fgura 4. Curvas de acúmulo de matéra seca total de planta do alho ajustada pelo modelo Logístco para a abordagem Bayesana para cada um dos três grupos consderados v

10 LISTA DE TABELAS Tabela. Modelos de regressão não lnear para descrever curvas de crescmento... 3 Tabela. Relação dos 3 acessos de alho regstrados no Banco de Germoplasma de Hortalças da Unversdade Federal de Vçosa (BGH/UFV)... 9 Tabela 3. Estmatvas dos parâmetros e soma de quadrados resduas nas terações do algortmo de Gauss-Newton para ajuste do modelo Logístco... 4 Tabela 4. Médas do coefcente de determnação ( R ), quadrado médo do resíduo (QMR), crtéro de nformação de Akake (AIC), crtéro de nformação Bayesano (BIC) e desvo médo absoluto dos resíduos (DMA) dos modelos apresentados na Tabela, para as médas da matéra seca total da planta (MSTP) dos 3 acessos avalados, e a porcentagem de convergênca de cada modelo... 8 Tabela 5. Méda, erro padrão e coefcente de varação das estmatvas ˆ, ˆ e ˆ 3 dos parâmetros para os modelos apresentados na Tabela... 3 Tabela 6. Estmatvas dos parâmetros, e 3 para o modelo Logístco para cada um dos 3 acessos consderados... 3 Tabela 7. Estmatvas dos parâmetros, e 3 para o modelo Logístco para cada um dos três grupos de acessos... 3 Tabela 8. Estmatvas dos parâmetros do modelo completo ( ) e dos modelos reduzdos ( ω, ω e ω 3) Tabela 9. Hpóteses avaladas, valores da estatístca do teste F, número de graus de lberdade e nível descrtvo do teste (p-valor) para a estmatva ˆ Tabela. Hpóteses avaladas, valores da estatístca do teste F, número de graus de lberdade e nível descrtvo do teste (p-valor) Tabela. Estmatvas dos parâmetros do modelo completo ( ) e do modelo reduzdo ( ω ) para os grupos I e II Tabela. Crtéros de Geweke (p-valor) e Raftery & Lews (fator de dependênca-fd ) v

11 Tabela 3. Valores do DIC para cada um dos sete modelos apresentados na Tabela Tabela 4. Méda, desvo padrão, coefcente de varação, Erro de Monte Carlo e ntervalo de máxma densdade a posteror (HPD) para as estmatvas dos parâmetros dos modelos ajustado aos 3 acessos de alho avalados Tabela 5. Estmatvas dos parâmetros, e 3 para o modelo Logístco para cada um dos 3 acessos avalados... 4 Tabela 6. Estmatvas dos parâmetros, e 3 para o modelo Logístco para cada um dos quatro grupos de acessos... 4 Tabela 7. Méda, desvo padrão e ntervalo de máxma densdade a posteror (HPD) para as dferenças entre as estmatvas dos parâmetros e 3 para cada grupo... 4 x

12 RESUMO MACEDO, Leandro Roberto de, D.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, dezembro de 5. Abordagens Frequentsta e Bayesana para descrção das curvas de acúmulo de matéra seca de plantas de alho. Orentador: Paulo Roberto Cecon. Coorentadores: Fabyano Fonseca e Slva e Moysés Nascmento. Este trabalho teve como objetvo dentfcar modelos de regressão não lnear que melhor descrevem as curvas de acúmulo de matéra seca em acessos de alho ao longo do tempo (6, 9, e 5 das após o planto) utlzando as abordagens Frequentsta e Bayesana. Objetvou-se também agrupar os acessos smlares em cada abordagem com relação às estmatvas dos parâmetros e valdar este agrupamento va nferênca para a gualdade desses parâmetros entre os grupos formados. Para tal estudo foram utlzados 3 acessos de alho regstrados no Banco de Germoplasma de Hortalças da Unversdade Federal de Vçosa (BGH/UFV). Os modelos Logístco, Gompertz e Von Bertalanffy mostraram-se bons representantes para este tpo de estudo, sendo o modelo Logístco o que melhor se ajustou aos dados. Após a escolha do melhor modelo em cada uma das abordagens, as estmatvas dos parâmetros das curvas provenentes do ajuste deste modelo foram submetdas a análse de agrupamento, em que as estmatvas foram consderadas como varáves. Para o agrupamento fo utlzando o algortmo de Ward e a dstânca generalzada de Mahalanobs como medda de proxmdade. O número ótmo de grupos, segundo o método de Mojena, fo de três para a abordagem Frequentsta e quatro para a Bayesana. A nferênca sobre gualdade de parâmetros das curvas entre os grupos formados ndcou que o método Bayesano mostrou-se efcente e caracterzou-se como uma ferramenta útl para o estudo das curvas de acúmulo de matéra seca em plantas de alho vsto que não apresentou problemas de convergênca e reportou estmatvas com baxos desvos padrão a posteror, além de determnar de forma mas efetva o número de grupos. x

13 ABSTRACT MACEDO, Leandro Roberto de, D.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, December, 5. Frequentst and Bayesan approaches for descrpton of the accumulaton curves of dry garlc plants. Advser: Paulo Roberto Cecon. Co-advsers: Fabyano Fonseca e Slva and Moysés Nascmento. Ths thess amed to dentfy nonlnear regresson models that best descrbe dry matter accumulaton curves n garlc accessons over tme (6, 9,, and 5 days after plantng). When dong so, frequentst and Bayesan techncs of estmaton were analyzed. It was also ntended to cluster smlar garlc accessons accordng to ther estmated parameters n each estmaton approach, and to valdate such clusterng by means of tests for the equalty of parameters. Dataset comprsed 3 garlc accessons belongng to the Vegetable Germplasm Bank of Unversdade Federal de Vçosa (BGH/UFV). Our results showed that Logstc, Gompertz, and Von Bertalanffy models are well-suted for studes n ths research area, whle the Logstc model presented the best goodness-of-ft ndcators n both approaches. Next, we appled Ward s clusterng algorthm, wth Mahalanobs generalzed dstances, n order to group Logstc curve estmated parameters for each garlc accessons. The optmal number of groups, accordng to Mojenas method, was three for the frequentst method, and four, when consderng the Bayesan method. Fnally, we were able to conclude that the Bayesan technc of estmaton s well-suted for studes related to ths one, snce t has not presented convergence problems, has reported estmates wth lower posteror standard devatons, and has dscrmnated n the most effectve way the groups of garlc plants. x

14 INTRODUÇÃO A espéce Allum satvum L., conhecda popularmente como alho, é a quarta hortalça mas mportante do Brasl, sendo cultvada em grande parte das regões brasleras e muto usada como condmento no preparo das refeções, devdo ao aroma e sabor que confere aos almentos (Mota et al., 6; Lucn, 8). O alho destaca-se quanto aos valores culnáros, medcnas, econômcos e nutrconas, apresentando as seguntes propredades medcnas: analgésco, antnflamatóro, antsséptco, antbacterano, antmcótco, antvral, durétco, antoxdante, estmulante do sstema munológco, controle da hpertensão, reduz o colesterol, vermífugo (contra amebas), e antcoagulante (Tran, 9). A planta exge baxas temperaturas para que ocorra a formação do bulbo, e fotoperíodos longos aceleram o processo. Geralmente, as temperaturas médas de,8 a 3,9 o C favorecem o desenvolvmento normal do alho, mas os cultvares apresentam respostas dferentes quanto à temperatura e fotoperíodo, com varação de resposta destes às regões de cultvo e épocas de planto (Mueller et al., 99). O estudo da trajetóra das curvas de crescmento de plantas é de grande mportânca para a realzação de manejos mas adequados, onde as estmatvas dos parâmetros das curvas provenentes de modelos de regressão não lnear podem ser nterpretadas como varáves bológcas tas como peso assntótco e velocdade de crescmento e utlzadas prncpalmente na dentfcação de plantas com as qualdades mas desejadas. Segundo Pôrto et al. (7), curvas de acúmulo de matéra seca e de nutrentes servem como base para a ndcação da demanda e dos cudados em cada etapa do desenvolvmento da planta. Os modelos de regressão não lnear têm se mostrado adequados para descrever estas curvas, tanto pelo enfoque Frequentsta quanto Bayesano, pos apresentam parâmetros que podem ser nterpretados bologcamente, tas como peso assntótco e velocdade de crescmento (Flho et al. 8). Em recentes trabalhos envolvendo ajustes de modelos de regressão não lnear a acessos de alho, Puatt et al. (3) e Res et al. (4), encontraram ótmos ajustes para os modelos Logístco, Gompertz e Von Bertalanffy utlzando a abordagem Frequentsta, porém estudos envolvendo ajustes de modelos de regressão não lnear a acessos de alho va abordagem Bayesana anda são escassos. Dante dos dferentes modelos de regressão não lnear presentes na lteratura, a escolha do modelo mas aproprado para descrever o comportamento das curvas de acúmulo de matéra seca em plantas de alho pode ser feta medante nformações

15 provenentes de avaladores de qualdade de ajuste, os quas permtem ndcar estatstcamente o melhor modelo. Geralmente, em estudos de curvas de crescmento, o pesqusador tem nteresse em comparar as estmatvas dos parâmetros das curvas entre as dferentes populações, a fm de ndcar para qual delas o processo de crescmento fo mas efcente (Slvera et al., 9). Uma manera de se obter grupos homogêneos, de forma a reunr os ndvíduos em um determnado número de grupos tas que exsta grande homogenedade dentro de cada grupo e heterogenedade entre eles é através da técnca da análse de agrupamento (Johnson; Wchern, 99). Assm, pode-se agrupar as varedades de alho de acordo com as característcas desejadas, como por exemplo taxa de crescmento e acúmulo de matéra seca e, posterormente, valdar este agrupamento va nferênca para a gualdade de parâmetros entre os grupos formados. Dante do exposto, este trabalho teve como objetvo dentfcar modelos de regressão não lnear que melhor descrevem o acúmulo de matéra seca em acessos de alho, utlzando as abordagens Frequentsta e Bayesana e, também agrupar os acessos mas semelhantes em cada abordagem com relação às estmatvas dos parâmetros dos modelos. REFERENCIAL TEÓRICO. Modelos de regressão não lnear O estudo das curvas de crescmento de espéces vegetas, geralmente, é feto através de modelos de regressão não lnear, os quas conseguem resumr em um pequeno conjunto de parâmetros com nterpretação bológca, uma sére de nformações sobre todo o período de desenvolvmento da planta, (Flho et al., 8). Um modelo é dto não lnear se pelo menos uma das dervadas parcas da função esperança em relação ao parâmetro é função de parâmetros desconhecdos (Prudente, 9). Segundo Souza (998), os modelos de regressão não lnear podem ser escrtos da segunte forma: y x, ε,..., n f, () em que x representa a -ésma observação da varável ndependente x; y representa a -ésma observação da varável dependente f é a função resposta; y, x, t é um vetor de parâmetros p dmensonal desconhecdo e p

16 representa o efeto do erro aleatóro, supondo erros ndependentes com méda zero e ε. varânca constante, tal que ~ N, Os modelos de regressão não lnear aplcados às curvas de crescmento têm por objetvo descrever uma trajetóra assntótca da varável dependente peso, em função da varável ndependente tempo. Dentre os modelos mas utlzados para descrever curvas de crescmento de plantas ou de anmas estão os modelos apresentados na Tabela. Nesses modelos (Tabela ), o parâmetro representa a estmatva do peso assntótco; o parâmetro não tem nterpretação bológca (é uma constante matemátca cuja função é ajustar o peso ncal em relação à orgem) e o parâmetro 3 representa a velocdade de crescmento. Tabela. Modelos de regressão não lnear para descrever curvas de crescmento Modelos de Curvas de Referênca Crescmento y y y y e y e e x Gompertz 3 e (Gompertz, 85) Logístco x e 3 (Ratkowsk, 983) Meloun I 3 x (Meloun e Mltky, 996) Meloun II 3x (Meloun e Mltky, 996) x e 3 Brody (945) y y x 3 3 e Von Bertalanffy (957) x e 3 3 Mtscherlch (99) Em recentes trabalhos, como os realzados por Puatt et al. (3) e Res et al. (4), ao ajustarem modelos de regressão não lnear a acessos de alho, dentre eles os modelos Logístco, Gompertz e Von Bertalanffy, verfcaram que todos estes se ajustaram bem aos dados, sendo o modelo Logístco o de melhor ajuste. Segundo Res (4), os modelos mas usados para descrção de crescmento de plantas e anmas são: Brody, Gompertz, Logístco, Rchards, Mtscherlch, Webull e 3

17 Von Bertalanffy. Maa et al. (9) utlzaram os modelos de regressão não lnear Brody, Gompertz, Logístco e Von Bertalanffy em estudo envolvendo bananeras, encontrando ótmos ajustes. Geralmente, a estmação dos parâmetros dos modelos de regressão não lnear para descrção de curvas de crescmento tem sdo realzada por meo de uma abordagem Frequentsta. A estmação é fundamentada em processos teratvos, cujo procedmento vsa a mnmzação da soma de quadrados dos resíduos. Porém, segundo Flho et al. (8), quando se trata de ajustes ndvduas, os métodos teratvos, mutas vezes, produzem estmatvas rreas para os parâmetros. Além dsso, quando se trata de comparações de curvas provenentes de tratamentos dferentes, as dstrbuções dos estmadores dos parâmetros dos modelos de regressão não lnear não seguem dstrbuções gaussanas. Assm, segundo Slva et al. (5), torna-se complexo o processo de formulação de testes estatístcos, pos não serão atenddas pressuposções relaconadas à utlzação da teora assntótca. Em alguns estudos envolvendo ajuste de modelos de regressão não lnear (Blasco et al., 3; Slva et al., 5), a nferênca Bayesana fo utlzada com sucesso, pos reduzu o número de estmatvas vesadas, mesmo na presença de poucas nformações.. Abordagem Bayesana Um dos prncpas objetvos da estatístca é realzar nferênca sobre os parâmetros de um modelo. Na abordagem Frequentsta, os parâmetros desconhecdos são consderados fxos e toda a análse é baseada nas nformações contdas na amostra dos dados. Segundo Paulno et al. (3), esta abordagem fo adotada de forma quase unânme pelos estatístcos durante a prmera metade do século XX. Ao realzar nferênca sobre os parâmetros de um modelo, a nformação que se tem do parâmetro de nteresse é de grande mportânca na estatístca, porém o verdadero valor do parâmetro é desconhecdo. Segundo Paulno et al. (3), o que é desconhecdo, neste caso o parâmetro, é ncerto, e toda a ncerteza deve ser quantfcada em termos de probabldade. A nferênca Bayesana consste de uma nformação a pror dos dados amostras e do cálculo da densdade a posteror dos parâmetros. A nformação a pror é dada pela densdade de probabldade P( ), a qual expressa o conhecmento do pesqusador sobre os parâmetros a serem estmados. A nferênca Bayesana trata o vetor de parâmetros desconhecdos como quantdades aleatóras e qualquer nformação ncal sobre elas pode ser representada por 4

18 modelos probablístcos para. Assm, a abordagem Bayesana permte ncorporar algum conhecmento sobre esses parâmetros antes que os dados tenham sdo coletados, atrbundo assm dstrbuções de probabldade. Essas dstrbuções podem ser obtdas por meo de análses anterores, experênca do pesqusador na área em questão ou em revsões de lteratura sobre o assunto que se deseja tratar. Deste modo, para se realzar uma nferênca Bayesana, é necessáro modelar uma função densdade de probabldade a pror P( ), que combnada com a função de verossmlhança y,..., 5 L y n, por meo do teorema de Bayes, gera a função densdade de probabldade a posteror Y n P. A nferênca Bayesana consste no cálculo da densdade a posteror dos parâmetros a partr uma nformação a pror dos dados amostras. Quando se tem pouca ou nenhuma nformação para ncorporar a pror consdera-se uma pror nãonformatva, como por exemplo, a pror de Jeffreys (Jeffreys, 96). A partr do momento que uma dstrbução a pror é consderada, seja ela L nformatva ou não, e obtém-se a função de verossmlhança y,..., y n, que é a densdade conjunta dos dados, por meo do Teorema de Bayes, obtém-se a dstrbução densdade a posteror de, de forma que qualquer conclusão a respeto do parâmetro é realzada a partr da dstrbução densdade a posteror, Y n y n. Sendo y,..., L( Yn ) P( ) P( Yn ) () L( Y ) P( ) d n Em geral omtmos o denomnador, uma vez que não depende de, e escrevemos a densdade a posteror como: P Y LY P (3) ou seja, Posteror Verossmlhança x Pror, onde representa proporconaldade. n Deste modo, toda a nferênca sobre o parâmetro é realzada por meo da dstrbução densdade a posteror P qualquer elemento de parâmetros, P Y n Y n. Segundo Rosa (998) para se nferr em relação a, deve-se ntegrar a dstrbução a posteror conjunta dos, em relação a todos os outros parâmetros. Assm, se o nteresse do pesqusador se concentra sobre determnado conjunto de, por exemplo,, necesstase a obtenção da dstrbução Y P, denomnada de dstrbução margnal, dada por:

19 P Y P Yd A ntegração da dstrbução conjunta a posteror para a obtenção das margnas geralmente não é analítca, sendo necessáro o uso de algortmos teratvos especalzados como o Gbbs Sampler e o Metropols-Hastngs. Estes algortmos são denomnados de algortmos MCMC (Markov Chan - Monte Carlo). Para a utlzação desses algortmos, é necessáro que se obtenha as dstrbuções condconas completas para cada parâmetro, que são obtdas a partr das dstrbuções a posteror. (4).. Métodos de Monte Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) Os Métodos de Monte Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) são de grande mportânca para a estatístca Bayesana. Estes métodos MCMC consstem em obter uma amostra das dstrbuções margnas a posteror dos parâmetros de nteresse por meo de um processo teratvo utlzando as dstrbuções de cada parâmetro condconada aos demas parâmetros do modelo, que são denomnadas dstrbuções condconas completas a posteror P,...,,...,,...,,y p. Assm os valores gerados são consderados amostras aleatóras de uma determnada dstrbução de probabldade, caracterzando o método de smulação Monte Carlo. Dessa forma, tem-se uma ação conjunta dos métodos MCMC que fazem uma assocação entre os algortmos para smulação de dstrbuções e o método de Monte Carlo para aproxmações de ntegras, cujos prncpas algortmos são o Metropols-Hastngs e o amostrador de Gbbs... Algortmo de Metropols-Hastngs Este algortmo permte gerar uma amostra da dstrbução conjunta a posteror, P,,..., k x, a partr das dstrbuções condconas completas. Tal algortmo, é utlzado prncpalmente quando as dstrbuções condconas completas a posteror dos parâmetros não possuem forma fechada, ou seja não é possível amostrar de seus elementos. Para a mplementação deste algortmo, é necessáro consderar uma dstrbução de nteresse,φ k q. Seja t o estado atual da cadea de Markov,,...,,... algortmo de Metropols-Hastngs gera um valor canddato φ para o próxmo estado (t+), o 6

20 da cadea, utlzando a dstrbução proposta q,φ; e este canddato pode ser aceto t,φ com uma probabldade Se o valor φ se moverá, ou seja,, em que: t P,φ mn,. (5) P for aceto, o próxmo estado t t. t φ yq φ t t yq φ t será gual a φ, caso contráro a cadea não Uma apresentação descrtva deste algortmo é mostrada a segur. Descrção do algortmo de Metropols-Hastngs: I Incalze o contador de terações (,..., d ), onde d () () () II Gere um novo valor φ representa o número de parâmetros; t e especfque os valores ncas,φ a partr da dstrbução proposta e gere ~ U, III Calcule a probabldade de acetação t,φ q u ; IV - Se u, acete o novo valor e faça t φ. Caso contráro, rejete e faça ; t t ; V Incremente o contador de t para t e volte ao passo II...3 Amostrador de Gbbs É um caso partcular do Metropols-Hastngs que permte gerar uma amostra da dstrbução conjunta a posteror,,..., y P a partr das dstrbuções k condconas completas a posteror P,...,,...,,...,,y p, desde que as dstrbuções condconas completas possuam forma fechada de forma que seja fácl amostrar de seus elementos (Gelfand, ). Descrção do algortmo Gbbs Sampler (Amostrador de Gbbs): I Incalze o contador de terações da cadea t ; II Especfque os valores ncas,,..., p t t t t III Obtenha um novo valor de,,..., geração sucessva de valores ; t a partr de através da p 7

21 convergênca. ~ P ~ P ~ P IV - Incremente o contador de..4 Dagnóstcos de convergênca t t t p p t- t t t,,, t- 3 t- 3 t para,...,,...,,..., t- p t p- t- p,, y, y y t e retorne ao passo II até obter Como os algortmos MCMC são processos teratvos, são necessáros métodos para a avalação de suas convergêncas. Estes métodos podem ser classfcados como formas e nformas. Propostos por Gelfand & Smth (99), os métodos nformas são baseados em análses gráfcas para a verfcação da convergênca. Tas métodos consstem em observar a trajetóra da cadea ao longo das terações, assm, se após um período ncal a trajetóra da cadea apresentar certa estaconaredade, é possível conclur que a convergênca fo atngda. Porém, a utlzação apenas destes métodos nformas não é recomendada, sendo necessára a utlzação de alguns métodos formas. Dentre os métodos formas estão os propostos por Hedelberger & Welch (983), Geweke (99) e Raftery & Lews (99). O crtéro proposto por Hedelberger & Welch (983) é baseado em testes estatístcos para avalar a estaconaredade da amostra gerada (hpótese nula). Se a hpótese nula for rejetada para um determnado valor, o teste é repetdo depos de descartar os prmeros % das terações. Se a hpótese for rejetada novamente, descartase outros % após o descarte dos prmeros %. Deste modo, este processo repete-se até serem descartadas 5% das prmeras terações. Se a hpótese nula for rejetada novamente, é um ndíco de que será necessáro maor número de terações. Se a hpótese nula não for rejetada, o número de terações descartadas é ndcado como o tamanho do burn-n (número de terações descartadas a fm de evtar a nfluênca dos valores ncas). O crtéro proposto por Geweke (99), baseado em técncas de análse espectral, fornece um dagnóstco para ausênca de convergênca. Este crtéro é baseado no teste de gualdade de méda das prmeras na terações e as últmas nb terações restantes. O autor sugere que sejam consderados na=,n e nb=,5n, em que n é o tamanho da cadea. Se a dferença padronzada entre as médas for sgnfcatva, exste evdênca de ausênca de convergênca. Se o valor p do crtéro de Geweke for menor que um nível de sgnfcânca pré-estabelecdo, conclu-se que a cadea não atngu a convergênca. 8

22 O crtéro proposto por Raftery & Lews (99) fornece estmatvas para o número de terações necessáro para se obter a convergênca. Tal método dsponblza, também, estmatvas do número de terações ncas que devem ser descartadas (burn-n) e da dstânca mínma de uma teração à outra (thn). Outra saída mportante deste método é o fator de dependênca (FD), que é responsável pelo acréscmo multplcatvo ao número de terações necessáro para se atngr a convergênca. Se este fator for maor que cnco, pode-se dzer que a convergênca não fo obtda (Raftery & Lews, 99). Noguera et al. (4) sugere o segunte procedmento de forma combnada para o montoramento da convergênca: - aplcar Raftery & Lews em uma amostra-ploto e determnar o tamanho deal da sequênca; - montorar a convergênca das sequêncas nas proxmdades do tamanho deal pelo crtéro de Raftery & Lews e por meo dos crtéros de Gelman & Rubn e Geweke; - determnar o tamanho do burn-n pelo crtéro de Hedelberger & Welch..3 Abordagem Frequentsta A abordagem Frequentsta tradconal é fundamentada em processos teratvos, como o Algorítmo de Gauss-Newton, DUD e Algorítmo de Marquardt, devdo à nãolneardade das varáves (Flho et al., 8). Tas procedmentos baseam-se na mnmzação da soma de quadrados dos resíduos, que consste em encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando mnmzar a soma de quadrados dos resíduos entre a curva ajustada e os valores observados (Gallant, 987)..3. Método dos quadrados mínmos ordnáros Matrcalmente, o modelo de regressão não lnear y f ε, é dado por: y f x, y y, f x, f e ε. y n f x, n n (6) A soma dos quadrados dos erros aleatóros (SQE) deverá ser mnmzada por. Deste que, em notação vetoral, pode ser escrta como: 9 modo, a função de mínmos quadrados para um modelo não lnear é escrta da segunte forma: SQE n y x, f, (7)

23 em que y f y f SQE, (8) y f ' y f SQE, é a norma eucldana de y f. (9) Segundo Souza (998), em modelos de regressão não lnear não se pode fazer afrmações geras sobre as propredades dos estmadores de quadrados mínmos, tas como não tendencosdade e varânca mínma, exceto para grandes amostras, os chamados resultados assntótcos. Para uma melhor compreensão do processo de obtenção destes estmadores, utlzou-se a segunte notação de dferencação matrcal: f f f f f f () f n f f f f F () ' f n f n f n p p p em que: dmensão f quadrados, ˆ é uma função vetor de dmensão n do vetor de parâmetros p e F é a matrz Jacobana de deve satsfazer a equação: SQE ' f ' ' ˆ, de. Dessa forma, o estmador de mínmos () a qual representa a mnmzação de nteresse. Sendo, SQE ' ˆ y f' y f ' (3) y f ' F (4)

24 tem-se: f y F' ˆ ˆ (5) Portanto, o sstema de equações normas (SEN) para regressão não lnear é dado por: ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n p n p p n n f f f y y y f f f f f f f f f (6) Geralmente, para estas equações que são não lneares em relação aos parâmetros, não exste uma solução explícta, sendo necessáro processos teratvos para obter as estmatvas dos parâmetros..3. Processos teratvos e método dos quadrados mínmos Segundo Regazz (3), um método amplamente usado em algortmos computaconas para regressão não lnear é a lnearzação da função não lnear, conhecdo por método de Gauss-Newton, o qual se resume ao segunte procedmento: supondo uma aproxmação ncal ˆ para ˆ e, aproxmando f pelo ponto ˆ por uma expansão de Taylor de ª ordem, tem-se: ' ˆ,ˆ x f,ˆ x f, x f (7) que produzem a aproxmação lnear: F f f ˆ ˆ ˆ (8) em que: ' ' ' f F ˆ ˆ (9) Deste modo, o problema de mnmzar a função (8) do tem.3. da soma dos quadrados dos erros aleatóros SQE, torna-se mnmzar a função f assocada à aproxmação (8), dada por:

25 Fazendo y f ˆ F ˆ ˆ SQE () y f ˆ E e - ˆ Δˆ em (5), tem-se que: SQE SQE E F ˆ SQE ˆ () ' E F ˆ ˆ E F ˆ ˆ () ' ' ' ' EE EF ˆ Δ ˆ Δˆ F' ˆ E Δˆ F' ˆ F ˆ Δ ˆ SQE ' ' ' EE Δˆ F' ˆ E Δˆ F' ˆ F ˆ Δ ˆ (3) (4) Dervando SQE em relação a ˆ tem-se: SQE Δˆ F' ˆ E F' ˆ F ˆ Δ ˆ (5) ˆ F ˆ Δˆ F' E F' ˆ (6) Agora, gualando a dervada a zero, temos o Sstema de Equações Normas onde E F' ˆ F ˆ Δˆ F' ˆ E (7) desempenha o papel de varável dependente y e F' ˆ desempenha o papel da matrz X dos modelos lneares. Assm, o valor de ˆ que mnmza a SQE é dado por: Δˆ F t t ˆ F ˆ Fˆ E Desde que F ˆ possua posto coluna completo. Como - ˆ Δˆ, pode-se defnr um vetor ˆ ˆ Δˆ como estmatvas atualzadas de (8). A partr deste procedmento, pode-se obter um outro conjunto de estmatvas atualzadas ˆ utlzando-se Deste modo uma k-ésma teração será: em que: ˆ k k ˆ ˆ k, e assm por dante. ˆ k Δˆ F' ˆ k F ˆ k F' ˆ k Ek k (9) ˆ (3) f ˆ F k ' ˆ E (3) y f ˆ k k k (3)

26 k k ' pk ˆ ˆ ˆ ˆ (33) k Este processo teratvo prossegue até que a convergênca seja atngda, sto é, quando: ˆ ˆ ˆ j k jk jk, para j=,,..., p,. (34) em que é algum valor fxo bem pequeno..4 Avaladores da qualdade de ajuste Devdo às dferenças entre alguns modelos de regressão não lnear, quando estes são ajustados a um mesmo conjunto de dados, torna-se necessáro utlzar metodologas estatístcas com o ntuto de compará-los e ndcar o melhor modelo (Slvera et al., 9). Dentre os dversos avaladores da qualdade de ajuste presentes nas lteraturas para a abordagem Frequentsta temos o percentual de convergênca (C%), quadrado médo do erro (QME), coefcente de determnação (R ), crtéro de nformação de Akake (AIC), crtéro de nformação Bayesano (BIC) e Desvo Médo absoluto (DMA). Já para a abordagem Bayesana, um avalador muto utlzado é o Devance Informaton Crteron (DIC)..4. Percentual de convergênca (C%) É usado quando se tem ajustes ndvduas, ou seja, quando se ajusta uma curva para dados de cada planta. Deste modo, é possível verfcar qual modelo apresenta uma maor facldade de convergênca, que é dado pela porcentagem de ajustes que convergram..4. Quadrado médo do erro (QME) Um dos crtéros mas efcentes para testar a qualdade de ajuste de um modelo de regressão é o erro quadrátco médo de predção (Chrobok et al., 4). Representa a estmatva da varânca resdual e quanto menor o valor do QME, melhor será consderado o modelo. Sua expressão é dada por: QME n Y Yˆ n p (35) 3

27 em que: n é o número de observações utlzadas para ajustar a curva; p é o número de parâmetros na função, Y é o valor observado da matéra seca total da observação e Ŷ é o valor estmado da matéra seca total da observação para o modelo analsado..4.3 Coefcente de determnação (R ) Quanto ao coefcente de determnação para modelos de regressão não lnear, exstem dversas dúvdas. Por exemplo, segundo Ratkowsky (99), o R não tem nenhum sgnfcado óbvo e, portanto, não precsa ser calculado. Por outro lado, Souza (998), afrma que a qualdade do ajustamento para o caso de regressão não lnear pode ser medda pelo quadrado do coefcente de correlação entre os valores observados e predtos. O coefcente de determnação pode ser calculado por: R SQR SQT onde SQRé a soma dos quadrados resduas; e SQT é a soma de quadrados total. Quanto maor é o coefcente de determnação calculado, melhor a qualdade do modelo ajustado. (36).4.4 Crtéro de nformação de Akake (AIC) O Crtéro de nformação de Akake (Akake, 974) é uma estatístca para comparação da qualdade de ajuste do modelo baseado no máxmo da função de verossmlhança, e depende do número de observações e do número de parâmetros do modelo em questão. Este crtéro admte a exstênca de um modelo real, mas desconhecdo, que descreve os dados. Assm, ele tenta escolher dentre um grupo de modelos avalados aquele que mnmza a dvergênca de Kull-Leber, que está relaconada à nformação perdda por se usar o modelo aproxmado ao nvés do real (Sousa, ). Sua expressão é dada por: em que: p é o número de parâmetros e L (ˆ ) AIC = ( p ) - log L (ˆ ) (37) é o máxmo da função de verossmlhança. Menores valores de AIC ndcam um melhor ajuste (Akake, 974)..4.5 Crtéro de Informação Bayesano (BIC) Assm como no crtéro de nformação de Akake, o crtéro de nformação Bayesano (BIC), proposto por Schwarz (978), é uma estatístca para comparação da qualdade de ajuste do modelo baseado no máxmo da função de verossmlhança, e 4

28 depende do número de observações e parâmetros do modelo analsado. Este crtéro maxmza a probabldade de se dentfcar o verdadero modelo dentre os modelos avalados (Sousa, ). Sua expressão é dada por: BIC = p log ( n ) - log L (ˆ ) em que: p é o número de parâmetros; n é o número de observações e L (ˆ ) (38) é o máxmo da função de verossmlhança. Menores valores de BIC ndcam um melhor ajuste (Akake, 974)..4.6 Desvo médo absoluto (DMA) Proposto por Sarmento et al. (6), o desvo médo absoluto dos resíduos (DMA), é calculado como o somatóro dos desvos entre os valores observados e estmados, dvddo pelo número de observações. Sua expressão é dada por: n Y Ŷ (39) DMA n em que: n é o número de observações utlzadas para ajustar a curva; Y é o valor observado da matéra seca total da observação e Ŷ é o valor estmado da matéra seca total da observação para o modelo analsado. Segundo Sarmento et al. (6), quanto menor o desvo médo absoluto dos resíduos, melhor o modelo ajustado..4.7 Devance Informaton Crteron (DIC) O DIC (Devance Informaton Crteron) é usual nos problemas bayesanos de seleção de modelos para os quas as amostras da dstrbução a posteror dos parâmetros dos modelos são obtdas por smulação de Monte Carlo va Cadea de Markov (MCMC). em que: Defne-se o desvo como: D( ) log L( ˆ ) C é o vetor de parâmetros desconhecdos do modelo; L (ˆ ) 5 (4) é a função de verossmlhança e C é uma constante que anula em todos os cálculos que comparam dferentes modelos, portanto não precsa ser conhecda na comparação de dos modelos. O crtéro DIC é dado por: DIC D( ˆ) (4) p D

29 em que: D(ˆ ) é o desvo avalado na méda a posteror e parâmetros no modelo, que é dado por D D(ˆ ) p D p D é o número efetvo de, em que ED(ˆ) D é o desvo médo a posteror que mede a qualdade do ajuste do modelo aos dados. Quanto menor o valor para o DIC, melhor será o modelo..5 Análse de agrupamento A análse de agrupamento é uma técnca utlzada para obtenção de grupos semelhantes por meo de um esquema que permta classfcar os ndvíduos em determnado número de grupos, sendo que deve exstr grande homogenedade entre os ndvíduos do mesmo grupo e heterogenedade entre os grupos (Ferrera, ). De acordo com Cruz et al. (), os métodos de agrupamento mas utlzados são os de otmzação e os herárqucos. Os métodos de otmzação vsam uma partção dos ndvíduos de forma a otmzar (mnmzar ou maxmzar) alguma medda predefnda. Já os métodos herárqucos agrupam os ndvíduos por um processo que se repete em város níves, até que seja estabelecdo um dendrograma (dagrama bdmensonal com formato de árvore), lustrando as partções ou fusões efetuadas em cada nível sucessvo do processo de agrupamento (Cruz et al., 4). Os métodos herárqucos são dvddos em métodos aglomeratvos e dvsvos. Nos métodos aglomeratvos, através de sucessvas fusões das n undades, formam-se n-, n-,..., n-k grupos, até que todas as undades estejam reundas em um únco grupo. Nos métodos dvsvos, a déa é partr de um únco grupo e, através de dvsões sucessvas, obter outros sub-grupos. Dentre os herárqucos, ctam-se o do vznho mas próxmo (Sngle Lnkage Method); o do vznho mas dstante (Complete Lnkage Method); o da lgação méda (Average Lnkage), ponderado ou não; e o proposto por Ward (963)..6 Meddas de dssmlardades As meddas de dssmlardades são de extrema mportânca em estudos de dvergênca genétca para defnção de progentores a serem utlzados em programas de hbrdações (Cruz et al., ) e podem ser defndas como crtéros que quantfcam a dstânca entre dos objetos. Quanto maor o valor mensurado, menos semelhantes são os objetos e quanto menor, mas semelhantes eles são (Ferrera, ). De acordo com Cruz et al. (4), dentre as dstâncas mas utlzadas em estudos genétcos tem-se a dstânca eucldana quadrátca, dstânca eucldana padronzada quadrátca e a dstânca generalzada de Mahalanobs. 6

30 De acordo com Ferrera (), a maor parte dos métodos de agrupamento requer a obtenção de uma matrz de proxmdades entre os ndvíduos. O termo proxmdade é utlzado para ndcar ou smlardade ou dssmlardade, que é medda pelas dstâncas. A defnção de qual medda de proxmdade a ser adotada está dretamente lgada à natureza das varáves a serem utlzadas na análse de agrupamento. Sejam e ys vetores p-dmensonas de observações dos objetos r e s, para r, s =,,..., n. A dstânca quadrátca entre os dos objetos r e s é dada por: y r d rs sendo uma métrca de nteresse dstâncas. y r y s T y y y y r s r s, (4) Segundo Ferrera (), de acordo com a métrca utlzada são defndas dferentes ) Se for a matrz dentdade, a dstânca quadrátca em questão é a eucldana. Essa dstânca é mas aproprada para casos em que as varáves mensuradas possuem escalas smlares, pos caso contráro, varáves com maor varabldade rão ter um grande peso no cálculo das dstâncas. ) Se a matrz for dada por D dag S kk denotada por dstânca eucldana padronzada quadrátca, sedo, então a dstânca quadrátca é S kk a estmatva da varânca da k-ésma varável ao longo da amostra de n objetos. Tal dstânca, conhecda também como dstânca de Karl Pearson, é ndcada para varáves mensuradas em dferentes escalas, porém não correlaconadas. Segundo Cruz et al. () as razões para a padronzação dos dados são: evtar que as undades escolhdas para medr as varáves afetem arbtraramente a smlardade entre os ndvíduos e, a padronzação faz com que as varáves contrbuam gualmente na avalação da smlardade entre ndvíduos. 3) Se for dada por S, a dstânca quadrátca corresponde à dstânca generalzada de Mahalanobs, a qual contorna tanto o problema de escala quanto leva em consderação a correlação entre as varáves..7 Determnação do número ótmo de grupos A análse de agrupamento consttu uma das mas mportantes técncas de classfcação multvarada, uma vez que permte classfcar váras undades amostras em 7

31 um número reduzdo de grupos contendo undades semelhantes (Slvera, ). Porém, a determnação do número ótmo de grupos não é tão smples. Segundo Fara (9) não há um crtéro objetvo que determne o ponto de corte do dendrograma. O número de grupos nos métodos herárqucos podem ser defndos por: razões nerentes ao pesqusador; análse vsual das ramfcações do dendrograma e crtéros estatístcos, como: BBS (Between-group Sum of Squares) que é a soma de quadrados entre grupos para dos agrupamentos, e mede a homogenedade de grupos undos; a RSQ (Root-mean-square), que é a razão entre a soma de quadrados entre grupos e a soma de quadrados total, e mede a heterogenedade do agrupamento; SPRSQ (Sem-partal R- Square) que mede a perda de homogenedade por juntar dos grupos (Khattree & Nak, ), além do método de Mojena, baseado na maor ampltude das dstâncas de junção dos grupos formados com o objetvo de determnar um número de grupos k que otmza a qualdade do agrupamento dos dados (Mojena, 977). 3 MATERIAL E MÉTODOS 3. Descrção do expermento O expermento fo realzado a campo, no período de março a novembro de, em área expermental pertencente ao Setor de Olercultura do Departamento de Ftotecna da Unversdade Federal de Vçosa (UFV), no muncípo de Vçosa, Zona da Mata de Mnas Geras, cujas coordenadas geográfcas são: º 45 de lattude Sul e 4º 5 de longtude Oeste, com alttude méda de 65 m. Foram avalados 3 acessos de alho, regstrados no Banco de Germoplasma de Hortalças (BGH/UFV) (Tabela ). O delneamento expermental utlzado fo o de blocos completos casualzados, com quatro repetções. As parcelas (undades expermentas) foram consttuídas por quatro fleras transversas de, m de comprmento, com plantas no espaçamento de,5 x, m, totalzando 4 plantas e foram consderadas como útes as plantas das duas fleras centras. As plantas colhdas foram submetdas ao processo de cura de campo e de galpão, por 3 e 6 das, respectvamente. A avalação de matéra seca total das plantas desses acessos fo realzada em quatro períodos, sendo: 6, 9, e 5 das após o planto (DAP). 8

32 A relação dos 3 acessos de alho regstrados no Banco de Germoplasma de Hortalças da Unversdade Federal de Vçosa (BGH/UFV), utlzados neste trabalho, com os respectvos nomes e orgem, estão apresentados na Tabela. Tabela. Relação dos 3 acessos de alho regstrados no Banco de Germoplasma de Hortalças da Unversdade Federal de Vçosa (BGH/UFV) com respectvos nomes e orgem n Acesso Nome comum / varedade Orgem 49 - Goanra - GO 4493 Cateto Roxo Florestal MG Cateto Roxo Gouvea MG Santa Tereza MG S. Leopoldna - ES Santa Tereza MG Santa Tereza S. Leopoldna - ES 485 Sapé Ro Pantojas - ES 483 Sapé Ro Pasmoser 483 Sapé Ro Pasmoser Ro Pasmoser Cedrolânda N. Venéca -ES Itarana - ES Cultura de tecdos Brasíla - DF Amarante Amorés Vçosa - MG Amarante Novo Cruzero Vçosa - MG Branco Mnero Vçosa - MG 5944 Cateto Amarantna Vçosa - MG 595 Chnês - Vçosa - MG 5959 Ggante Roxão EMCAPA Juréa Smonésa Araponga - MG Amarante EPAMIG Esprto Santo ES 8 76 Amarante EPAMIG Esprto Santo ES 9 76 Amarante EPAMIG Esprto Santo ES Amarante EPAMIG Esprto Santo ES 9

33 3. Abordagem Bayesana Na abordagem Bayesana, as estmatvas dos parâmetros das curvas de crescmento foram obtdas por meo de um método herárquco Bayesano (Macedo et al., 4), o qual fo ajustado separadamente para cada um dos sete modelos consderados na Tabela. O prmero estágo fo representado pela modelagem ndvdual da forma da curva de crescmento de cada acesso, sendo este descrto por cada um dos modelos de crescmento consderados. No segundo estágo da herarqua, foram consderadas dstrbuções a pror para os parâmetros das dstrbuções assumdas no prmero estágo, e no tercero e últmo estágo, foram especfcadas as dstrbuções a pror para os parâmetros das dstrbuções assumdas no segundo estágo (os hperparâmetros). A função de verossmlhança (dstrbução conjunta dos dados amostras) fo obtda, separadamente para cada modelo. Como exemplo, para o modelo Logístco, a metodologa Bayesana fo empregada medante as seguntes especfcações. A dstrbução dos dados amostras fo dada por: Em que A, b y, ~ N j e K e A b exp K t,, A, b, K (43) representam, respectvamente, os parâmetros Portanto, a função de verossmlhança é: j e, e 3. N n yj A b exp K tj Ly, e exp (44) j e As dstrbuções a pror utlzadas foram: Em que e, sendo e A b k e e ~ N ~ N ~ N μ μ, A A, b b k, ~ G k (45) (46) (47) μ e, e (48) e a varânca do erro. E no últmo estágo foram especfcados os valores dos hperparâmetros (parâmetros das dstrbuções assumdas nas dstrbuções anterores)

34 A A ~ N, (49) A b, ~ N (5) b k, b ~ N (5) k k A ~ G A, A (5) ~ G b b, b (53) Os valores para os hperparâmetros foram escolhdos com base em análses prévas e em revsões de lteratura como Puatt et al. (3) e Res et al. (4). A modelagem apresentada fo mplementada no software R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 4) através do pacote ROpenBUGS, no qual fo mplementado o algortmo para o Amostrador de Gbbs e o Metropols-Hastngs. Para todos os modelos foram utlzadas. terações, das quas as. prmeras terações foram descartadas a fm de evtar os efetos devdo aos valores ncas. Consderou-se, também, para assegurar a ndependênca da amostra, um espaçamento entre os pontos amostras (thn) de tamanho 4. Deste modo, obteve-se uma cadea fnal com 4. observações para cada parâmetro. Para avalar a convergênca fo utlzado o teste de Geweke e o teste de Raftery & Lews (99) medante o pacote Bayesan Output Analyss (BOA) do software R. 3.3 Abordagem Frequetsta Para a abordagem Frequentsta tradconal os parâmetros dos modelos consderados na Tabela, utlzados para descrever o acúmulo de matéra seca para os 3 acessos de alho utlzados neste trabalho foram estmados por meo do método dos quadrados mínmos ordnáros, com soluções obtdas por meo do processo teratvo de Gauss-Newton, cujo procedmento basea-se na mnmzação da soma de quadrados dos resíduos. Como exemplo, consderando o acesso de número 9, o modelo Logístco e utlzando o método de Gauss-Newton com os seguntes valores ncas ˆ, ˆ 5 e 8, temos: ; ˆ 3 ;, ; 6 9 x, 5,88 6,6375 y e,5 4,5 ' ˆ 5 (54), 8

35 A partr desses valores e utlzando a equação (7), temos: em que: x, n ˆ y f x, SQE 67, 58 (55), 4745, 57 f (56) 4945, 9, 439 Precsamos, agora, calcular as dervadas parcas do modelo Logístco em relação a cada parâmetro. Como apresentado na Tabela, a equação do modelo Logístco é dada por: f x (57) 3x e Calculando as dervadas parcas em relação a cada parâmetro temos: Assm, para x=6 temos: f x,,, f x,,, 3 f x,,, e e x 3x e 3x x e 3x e 3 3x (58) (59) (6) F F ; F e 5 e ; 3x, 86 e 3x e,86 3x,86 e 5e x e 6 5e 3x, 86 ; 3 3x 8 6 e 5e,, 376,965 7, 7953 (6) (6) (63) para x=9 temos: F ; e x 3 5e,89,86 (64) F e e 3x, 89 ; 3x 8 9 e 5e,, 6666 (65)

36 F x e 6 5e 3x, 89 ; 3 3x 8 9 e 5e, 99, 9593 (66) para x= temos: F F e 5e 3; 3x, 8 e e 3x, 8 3; F 3x 8 e 5e, x e 6 5e 3x, 8 3; 3 3x 8 e 5e,, 7475, , (67) (68) (69) para x=5 temos: F F e 5e F 4; 3x, 85 e e 3x, 85 4; 3x 85 e 5e, x e 6 5e 3x, 86 4; 3 A partr da matrz dado por Δˆ 3x 8 6 e 5e,, 9795, 57 86, 754 F ˆ das dervadas, calculamos o vetor de ncrementos Δ ˆ F t t ˆ F ˆ F ˆ E 4, , 338, 8975 (7) (7) (7), que é (73) Portanto, a nova estmatva atualzada ˆ é dada por: ˆ ˆ Δˆ 4, , , , (74), 8, 8975, SQE ˆ, Como a soma de quadrados resdual 584 ˆ 67, 58 é menor que SQE, consdera-se o vetor ˆ como sendo a estmatva atualzada de ˆ. A partr daí, uma nova teração é efetuada consderando ˆ ˆ e assm até que o modelo atnja a convergênca. 3

37 A Tabela 3 apresenta as estmatvas atualzadas após algumas terações: Tabela 3. Estmatvas dos parâmetros e soma de quadrados resduas nas terações do algortmo de Gauss-Newton para ajuste do modelo Logístco k ˆ ˆ ˆ 3 S ˆ k 5,8 67,58 4, ,338,8896,58 4, ,3,933, , ,,933,8 4 4, ,38,95, , ,59,954, , ,44,954, , ,44,954, , ,454,954, , ,455,954, Avaladores da qualdade de ajuste Os avaladores da qualdade de ajuste de modelos de regressão não lnear que foram utlzados no presente trabalho para a abordagem Frequentsta foram: percentual de convergênca (C %), quadrado médo do erro (QME), coefcente de determnação (R ), crtéro de nformação de Akake (AIC), crtéro de nformação Bayesano (BIC) e desvo médo absoluto (DMA). Já para a abordagem Bayesana, fo utlzado o DIC (Devance Informaton Crteron). 3.5 Análse de agrupamento Depos de escolher um melhor modelo em cada abordagem, com o objetvo de agrupar os acessos mas semelhantes, as estmatvas dos parâmetros foram agrupadas por meo do algortmo de Ward. Proposto por Ward (963), o método basea-se na mudança de varação dentro dos grupos em formação e entre eles a cada passo do processo de agrupamento. Tal método tem como objetvo a mnmzação da soma de quadrados dentro dos grupos. 3.6 Dssmlardade entre os acessos A medda utlzada fo a Dstânca Generalzada de Mahalanobs, pelo fato de levar em consderação a exstênca de correlações entre os caracteres analsados e também devdo às dferenças de escala entre as varáves. As dstâncas de Mahalanobs foram obtdas por meo da expressão 4

38 d rs yr ys T y y y y r s r s (75) 3.7 Determnação do número ótmo de grupos Para determnar o número de grupos na análse de agrupamento fo utlzado o procedmento sugerdo por Mojena (977). Tal método basea-se no tamanho relatvo dos níves de fusões no dendrograma para determnar o ponto de corte dos dendrogramas gerados pelos métodos herárqucos, para defnr o número de grupos. A proposta é seleconar o número de grupos no passo j que, prmeramente, satsfzer a segunte nequação: j k (76) Em que j é o valor de dstânca do nível de fusão correspondente ao passo j (j=,,..., g-), e k é o valor referencal de corte, dado por: em que e ˆ k k ˆ (77) são respectvamente a méda e o desvo padrão dos valores de ; k é uma constante cujo valor adotado, conforme sugerdo por Mllgan e Cooper (985) fo de k =,5 como regra de parada na defnção do número de grupos. 3.8 Identdade de modelos Tendo em vsta a classfcação dos acessos em grupos pela análse de agrupamento, foram estmadas equações para representar as curvas referentes a cada grupo de acesso. Dessa forma, o próxmo passo consstu em testar as hpóteses referentes a gualdade dos parâmetros destes modelos em relação aos grupos formados e, para a abordagem Frequentsta, utlzou-se o método de dentdade de modelos de regressão nãolnear apresentado por Regazz (). Para lustração de tal método, consderou-se o modelo Logístco ndcado na Tabela acrescdo de uma varável ndcadora (dummy) cujo objetvo é representar cada um dos grupos em estudo, e consderemos =3 grupos. Tal modelo, denomnado a partr de agora de completo, é o segunte: y k 3 k D k β 3β k k β x, (78) 3 e em que: 5