Ponto 5 Optimização em R n

Transcrição

1 Cálculo, Optimização Abril 009 Ponto Optimização em R n Os conceitos básicos Parte

2 Cálculo, Optimização Abril 009 Optimização para economistas quer dizer, grosso modo, encontrar máimos e mínimos de certas funções!

3 Cálculo, Optimização Abril 009 Os economistas gostam de MAXIMIZAR lucros MINIMIZAR custos Maimizar a produção em relação a recursos disponíveis Minimizar impactos ambientais Maimizar a eficiência Este capítulo não é, pois, uma mania dos professores de matemática!!

4 Cálculo, Optimização Abril 009 Optimização Formalização do problema: quero maimizar uma produção? quero minimizar custos? quero um cabaz que maimiza uma função de utilidade? que restrições deverei encarar? Solução do problema: estes valores são os que cumprem o objectivo estabelecidos na formalização 4

5 Cálculo, Optimização Abril 009 A formulação matemática de um problema de optimização é feita da seguinte forma enutinha: onde ma f() s.a. ε X f:r n R ε R n f() é a função objectivo (função real de variável vectorial) é um vector de variáveis de decisão X é o conjunto de oportunidades

6 Cálculo, Optimização Abril 009 f é a função objectivo é um vector de variáveis de decisão X é o conjunto de oportunidades Objectivo : preparar um ecelente cappuccino é o bom vector de leite, café e açúcar X é o vector de quantidades de leite, café e açúcar que tenho em casa 6

7 Cálculo, Optimização Abril 009 Três tipos de optimização com métodos de resolução bastante distintos: Optimização livre ma f ( ) s. a. R n Não há restrições sobre as variáveis! O bom capuccino só depende do que eu escolha! 7

8 Cálculo, Optimização Abril 009 Três tipos de optimização com soluções bastante distintas: Optimização com restrições de igualdade ma f ( ) s. a. g( ) b Há restrições de igualdade sobre as variáveis! A mais popular é a restrição orçamental: o bom capuccino não pode ser arbitrariamente caro nem infiitamente atravancado! 8

9 Cálculo, Optimização Abril 009 Três tipos de optimização com soluções bastante distintas: Optimização com restrições de desigualdade ma f ( ) s. a. g( ) b 0 Há restrições de desigualdade sobre as variáveis! A mais popular é a restrição orçamental: o bom capuccino não pode ser arbitrariamente caro e até pode ser que nem se gaste o dinheiro todo!! 9

10 g ( ) b Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns reparos globais Quem diz maimizar diz minimizar pois ma f()-min-f() O número de restrições deve ser menor que o número de variáveis para não se cair em conjunções impossíveis As restrições de desigualdade podem sempre escrever-se g( ) b pois, por eemplo, f ( ) c f ( ) c g ( ) b 0

11 Cálculo, Optimização Abril 009 Ele há picos e picos!!!

12 Cálculo, Optimização Abril 009 Ele há planaltos e picos

13 Cálculo, Optimização Abril 009 Formalizando os diferentes tipos de etremos A Se f Máimo global e mínimo global ( * a função tem um ) f ( ), X máimo global em * Se f ( * a função tem um mínimo ) f ( ), X global em * Atenção, pode ser um planalto no cimo da Serra da Estrela!!!

14 Cálculo, Optimização Abril 009 Formalizando os diferentes tipos de etremos B Se f Máimo global e mínimo global estritos ( * a função tem um ) > f ( ), X máimo global estrito em * Se f ( * a função tem um mínimo ) < f ( ), X global estrito em * Atenção, tem de ser o ponto mais alto da Serra da Estrela!!! 4

15 Cálculo, Optimização Abril 009 Formalizando os diferentes tipos de etremos A Máimo local e mínimo local Se f * ( ) f ( ), Vε ( * ) X a função tem um máimo local em * Se f * ( ) f ( ), Vε ( * ) X a função tem um mínimo local em * Atenção, pode haver planaltozinhos!!

16 Cálculo, Optimização Abril 009 Formalizando os diferentes tipos de etremos B Máimo local e mínimo local estritos Se f * ( ) > f ( ), Vε ( * ) X a função tem um máimo local estrito em * Se f * ( ) < f ( ), Vε ( * ) X a função tem um mínimo local estrito em * Atenção, NÃO pode haver planaltozinhos!! 6

17 Cálculo, Optimização Abril 009 Depois destes conceitos, aliás intuitivos, vamos recapitular algumas resultados necessários para detectarmos os etremos de funções. 7

18 Cálculo, Optimização Abril 009 Recapitulando: resultado A imagem de um conjunto compacto por uma função contínua é um conjunto compacto Lembrar: conjunto compacto é limitado e fechado! Notar bem que ao falarmos neste cenário de imagem de um conjunto compacto estamos a falar de um conjunto em R n cuja imagem está em R X compacto em R n f contínua f(x) compacto 8

19 Cálculo, Optimização Abril 009 Recapitulando: resultado Um conjunto limitado e fechado de R tem MÁXIMO e mínimo 9

20 Cálculo, Optimização Abril 009 Recapitulando: resultado Teorema de Weierstrass Seja a função contínua f f : D R n R definida num compacto X de R n Então f(), que eiste em R, tem máimo e mínimo em X. Cá para nós, em linguagem de optimização: se a função objectivo for contínua e se o conjunto de oportunidades for fechado e limitado, a função tem máimo e mínimo. A nossa missão é 0 encontrá-lo!

21 Cálculo, Optimização Abril 009 Algumas questões para desenvolvermos a nossa estrutura matemática:. Estes etremos serão únicos?. Haverá outros etremos locais?. E se o conjunto não for compacto, poderemos dizer algo sobre a eistência de etremos sem outra informação?

22 Cálculo, Optimização Abril 009 E já agora, a propósito de etremos Cuidado Máimo local Máimo local Máimo local e global Máimo local Mínimo local Mínimo local e global Ponto de infleão Mínimo local Em directo: onde pode haver etremos? Lembram-se de Cálculo? Em pontos onde a derivada se anula ou

23 Cálculo, Optimização Abril 009 Os etremos de que nos vamos ocupar são aqueles que podem ser detectados pelo anulamento das derivadas. Os pontos onde a derivada se anula são os chamados pontos de estacionaridade, PE. Cuidado, um ponto de estacionaridade pode não ser etremante!

24 Cálculo, Optimização Abril 009 Como se confirmava se os pontos de estacionaridade em R eram etremos ou não? Eacto, pelo estudo da segunda derivada! Mas em R n precisamos de estudar uma matriz de segundas derivadas! E para isso precisamos de uma digressão por matrizes!!! 4

25 Cálculo, Optimização Abril 009 Uma digressão por matrizes!!! Formas quadráticas, o que são? Lembram-se? Uma forma quadrática é um polinómio em várias variáveis em que todos os termos são do segundo grau! Uma forma quadrática é sempre representável por um vector linha, uma matriz simétrica e o vector transposto

26 Cálculo, Optimização Abril 009 Uma forma quadrática é um polinómio em várias variáveis em que todos os termos são do segundo grau! Uma forma quadrática é sempre representável por um vector linha, uma matriz real simétrica e o vector transposto Q ( ) A T A 6

27 7 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] AX X y ' 4 A Q T A ) ( [ ] AX X y y y y z ' 4

28 8 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

29 9 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

30 0 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

31 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

32 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

33 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y [ ] y

34 Cálculo, Optimização Abril 009 T Q ( ) A A Classificação das formas quadráticas Q ( A ) > Q ( A ) < Q ( A ) Q ( A ) Se, então é definida positiva (DP) Se, então é definida negativa (DN) Se, então é semi-definida positiva (SDP) Se, então é semi-definida negativa (SDN) QA( ) Se o sinal de depende de, então é indefinida (I) 4//009 4

35 Cálculo, Optimização Abril 009 Infelizmente a classificação das formas quadráticas não se pode fazer a olho. Eemplos fáceis mas vagamente inúteis A forma y [ ] 0 é definida positiva pois é positiva para todos os pares de valores não simultaneamente nulos

36 6 Cálculo, Optimização Abril 009 [ ] y A forma quadrática é semidefinida positiva pois é equivalente a.. ( ) 4 4 y que pode ser zero se -!!!

37 Cálculo, Optimização Abril 009 Mas que dizer de y π Eu não sei!!! Parece que precisamos de uma ferramenta de álgebra linear!! 7

38 Cálculo, Optimização Abril 009 Há varias maneiras de caracterizar uma forma quadrática indirectamente Indirectamente quer dizer sem estar a fazer tentativas que só por milagre seriam conclusivas!! Vamos recordar dois Através do sinal dos valores próprios da matriz da forma Através dos sinais da cadeia de menores principais da matriz da forma 8

39 Estudo do sinal de uma Forma Quadrática 7 Método Através do sinal dos valores próprios da matriz da forma A λi 0 (Polinómio característico) λ i > QA( ) QA( ) i i j QA( ) QA( ) i j QA( ) Se 0, i, então é definida positiva (DP) Se λ < 0, i, então é definida negativa (DN) Se λ 0, i e j: λ 0, então é semi-definida positiva (SDP) Se λ 0, i e j: λ 0, então é semi-definida negativa (SDN) Se i, j: λ > 0 e λ < 0, então é indefinida a (I) i j 4//009 9

40 4// Estudo do sinal de uma Forma Quadrática 4 A Através do sinal dos valores próprios da matriz da forma. Lembram-se como se faz? Tomemos a matriz do eemplo : ( )( ) λ λ λ λ λi A

41 4// Estudo do sinal de uma Forma Quadrática 4 A A matriz dada é semidefinida positiva Continuação: ( )( ) λ λ λ λ λi A ( )( ) λ λ λ λ 0 λ λ

42 Estudo do sinal de uma Forma Quadrática Método Através dos sinais da cadeia de menores principais da matriz da forma 8 ou seja, 4//009 4

43 Estudo do sinal de uma Forma Quadrática Através dos sinais da cadeia de menores principais da matriz da forma QA( ) Se A, então é definida positiva (DP) > 0,..., A n > 0 k Se A tiver o mesmo sinal de, k,..., n k ( ) QA( ) então é definida negativa (DN) 9 Para se poder concluir que a matriz A é semidefinida por este meio, não basta analisar os sinais dos menores principais, é preciso analisar todos os determinantes de ordem k que se podem obter por eliminação de n-k colunas e das correspondentes linhas. Se todos os determinantes de ordem k forem 0, k, QA( ) então é semi-definida positiva (SDP) Se todos os determinantes de ordem k tiverem o mesmo sinal de QA( ) QA( ) ou forem nulos, então é semi-definida negativa (SDN) Nas restantes situações, é indefinida (I) 4//009 4 ( ) k, k

44 Estudo do sinal de uma Forma Quadrática Através dos sinais da cadeia de menores principais da matriz da forma 9 Trabalho para casa Verifique que a matriz do eemplo anterior (aquela que classificámos pelos valores próprios) é semidefinida positiva recorrendo a este critério 4//009 44

45 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Conjunto conveo: dados dois pontos do conjunto, consigo uni-los por um segmento TODO contido no conjunto! A A B B

46 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Conjunto conveo: dados dois pontos quaisquer do conjunto, consigo uni-los por um segmento TODO contido no conjunto! A A B B Eu sou conveo! Eu não sou conveo!

47 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Atenção, tem de ser para todos, não vale dizer que às vezes dá.. B A A B Eu sou conveo! Eu não sou conveo! 4

48 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Como é que isto se diz em matemática? Querem ver o que isto dá com um segmento de recta?

49 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Querem ver o que isto dá com um segmento de recta? λ * * 8 6

50 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Querem ver o que isto dá com um segmento de recta? λ 0 * 0 *

51 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Querem ver o que isto dá com um segmento de recta? λ * 00 * Façam mais em casa e convençam-se! Não esquecer os casos de lambda 0 e lambda. 8

52 Cálculo, Optimização Abril 009 Conjuntos conveos e funções conveas Eemplo corriqueiro de um conjunto conveo: Hiperplano { n R a a a b}... : n n A demonstração é bastante sugestiva Sejam dois pontos e y do hiperplano; será que também pertence ao hiperplano? z λ ( λ ) y Ou ainda, será que { n z R a z a z... a z b } : n n 9

53 Cálculo, Optimização Abril 009 n n a z a z az ) n n i i i i a z n i a i a ( ( y ) i i i... λ λ ( λ ( λ) y ) λ a ( λ ) i i i i n i n i Isto é b! Porquê? Isto também é b! Porquê? a i y i λ b ( λ) b b 0

54 Cálculo, Optimização Abril 009 Funçao côncava e função convea ambas definidas em conjuntos conveos, note bem!!

55 Cálculo, Optimização Abril 009 Funcao côncava e função convea y O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está abaio da função (eventualmente ao mesmo nível) Deia-me ver melhor.

56 Cálculo, Optimização Abril 009 Função côncava O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está abaio da função (eventualmente ao mesmo nível) y λ ( λ ) y

57 Cálculo, Optimização Abril 009 Função côncava λ f f(y) ( ) ( λ ) f ( y ) f() y O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está abaio da função (eventualmente ao mesmo nível) λ ( λ ) y 4

58 Cálculo, Optimização Abril 009 Função côncava f ( λ ( ) ( λ )( y )) λ f f(y) ( ) ( λ ) f ( y ) f() O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está abaio da função (eventualmente ao mesmo nível) y λ ( λ ) y f ( λ ( ) ( λ )( y )) λ f ( ) ( λ ) f ( y )

59 Cálculo, Optimização Abril 009 Função côncava f(y) f() Atenção: função côncava y mas não estritamente côncava O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) pode coincidir com a função 6

60 Cálculo, Optimização Abril 009 Função convea y O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está acima da função (eventualmente ao mesmo nível) Deia-me ver melhor. 7

61 Cálculo, Optimização Função convea Abril 009 f ( λ ( ) ( λ )( y )) λ f ( ) ( λ ) f ( y ) y O segmento que une (,f()) a (y,f(y)) está acima da função (eventualmente ao mesmo nível) λ ( λ ) y É só inverter o que se disse sobre função côncava! 8

62 Cálculo, Optimização Abril 009 Outro modo de verificar que uma função definida num conjunto conveo é convea Seja uma função definida em certo domínio conveo S; a função é convea sse o conjunto {(, y ): S f ( ) y} for um conjunto conveo! f ( ) y 9

63 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. Estes resultados indicam operações que preservam a conveidade ou a concavidade de funções. São úteis para identificarmos se uma certa função é convea ou côncava. Se f é convea, então f é côncava Se f é linear, então f é convea e côncava 0

64 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. Sendo f e g funções reais definidas num conjunto conveo (de R n ) sendo α e β não negativos. f, g conveas, então é convea α f β g. f, g côncavas, então α f β g é côncava

65 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização (continuação) Sendo f e g funções reais definidas num conjunto conveo (de R n ) sendo α e β não negativos. f convea e F convea crescente, então F(f()) é convea.4 f côncava e F côncava crescente, então F(f()) é côncava Vamos demonstrar. para fazer mão!!!

66 Cálculo, Optimização Abril 009 Demonstremos. para fazer mão Sendo f e g funções reais definidas num conjunto conveo (de R n ) sendo α e β não negativos. f convea e F convea crescente, então F(f()) é convea Seja h ( ) F ( f ( )) Queremos, y 0 < λ < S mostrar que h ( λ ( λ ) y ) λ h ( ) ( λ ) h ( y )

67 Cálculo, Optimização Abril 009 Demonstremos. para fazer mão Sendo f e g funções reais definidas num conjunto conveo (de R n ) sendo α e β não negativos. f convea e F convea crescente, então F(f()) é convea Sendo f convea. f ( λ ( λ ) y ) λ f ( ) ( λ ) f ( y ) Sendo f crescente. F [ f ( λ ( λ ) y )] F [ λf ( ) ( λ ) f ( y )] h( λ ( λ ) y ) 4

68 Cálculo, Optimização Abril 009 Demonstremos. para fazer mão ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( y f f y f λ λ λ λ Sendo f convea. Sendo f crescente. [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( y f f F y f F λ λ λ λ Mas como F também é convea [ ] )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( y f F f F y f f F λ λ λ λ [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y h h y f f F λ λ λ λ

69 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. 4 Sendo f côncava definida num conjunto conveo de R n, qualquer máimo local é global A demonstração é muito formativa. É por absurdo! Seja * o tal máimo local. Suponhamos que não é global. Ou seja, admitamos que eiste y* tal que f(y*)>f(*) Pela própria definição de combinação linear convea sabemos que λf(*)(-λ)f(y*)>f(*) f(y*) f(*) 6

70 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. 4 Sendo f côncava definida num conjunto conveo de R n, qualquer máimo local é global Mas como f é côncava. f(λ*(-λ)y*)>λf(*)(-λ)f(y*) Juntando f(λ*(-λ)y*)>f(*) Agora o golpe de vista. λf(*)(-λ)f(y*)>f(*) 7

71 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. 4 Sendo f côncava definida num conjunto conveo de R n, qualquer máimo local é global f(λ*(-λ)y*)>f(*) Se λ for muito perto de, o argumento λ*(-λ)y* será muito próimo de *. Numa vizinhança de * acontece que f(λ*(-λ)y*)>f(*) E assim * não seria máimo local! Absurdo!!! 8

72 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. Seja f uma função diferenciável definida num conjunto conveo S. A função é convea SSE f ( ) f ( y ) f ( y )( y ), y S 9

73 Cálculo, Optimização Abril 009 Alguns resultados para o estudo da optimização. 6 Seja f uma função de classe C definida num conjunto conveo S. A função é convea SSE d u f for semidefinida positiva para todos os pontos do interior de S; se for definida positiva, a função será estritamente convea. 0