Física Nuclear ( ) Exame de Época Normal 24/Jun/2010 PARTE I

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1 Física Nuclear ( ) Exame de Época Normal 24/Ju/2010 PAE I 1. Um acelerador de partículas é usado para criar o isótopo A X por bombardeameto com protões em reacções 18 O + p A X Idetifique o úclido A X criado estas reacções a) 18 N b) 17 O c) 18 O d) 18 F e) 17 F.: as leis de coservação em particular a coservação dos úmeros barióico e leptóico, a coservação da carga eléctrica, etc. resultam a coservação do úmero de ucleões esta reacção. Assim ecessariamete A X é tal que A = = 18 mas Z = = = 9 pelo que A X é o F Se a eergia dos protões é de 2.32 MeV estas reacções a) Ocorrem sempre; b) ocorrem apeas para algus âgulos; c) uca ocorrem.: uca ocorrem porque Q < 0 e a eergia dos protões E p < Q : de facto Q m O m H m F m + + = MeV = = MeV 2.44 MeV A partir deste valor a resposta às duas questões seguites é imediata e ão ecessita de mais justificação A resposta à questão aterior justifica-se porque o valor-q da reacção, está compreedido o itervalo (em MeV) a) [0, 2.4[ b) ]0, 2.2 [ c)] 2.2, 2.4[ d) ]2.4, 2.6 [.: dado que Q 2.44 MeV, como calculado atrás, Q ]2.4, 2.6 [ Idique a meor das eergias dos protões (em MeV) que origia emissão de eutrões a) 0 b) 2.2 c) 2.4 d) 2.6 e) 2.8.: dado que Q 2.44 MeV, como calculado atrás, para que a reacção seja possível eergeticamete, e portato possa ocorrer, o projéctil p tem que forecer pelo meos essa eergia ao úcleo-alvo, i.e. a eergia ciética do protão p Q (esta seria a eergia ciética míima ecessária o referecial do cetro de massa do sistema, que é o referecial de mometo liear ulo, ode a coservação desta gradeza está automaticamete garatida). Mas (o referecial do laboratório, ode se pretede que a reacção se dê) a coservação do mometo liear obriga a que p > Q, i.e. p > 2.44 MeV. Sedo as massas em jogo ão muito diferetes a correcção é pequea e assim a eergia ciética do protão é pouco maior que Q. A resposta correcta é pois p 2.6 MeV. Efectuado os cálculos ciemáticos para este sistema ter-se-ia (veja-se a este propósito o cap.11, eq.(11.6), p.382 da ref. [1]): E 18 m( F) + m = ( Q ) m ( F) + m m p th 18 Itroduzido valores p 2.44 MeV MeV. p

2 2. O isótopo A X assim criado é radioactivo e tem 1/2 110 mi Idetifique, de etre os idicados, que declíios prevê possa sofrer: a) β b) β + c) CE d) e) p (Nota: CE Captura electróica ;, p emissão de eutrões, protões).: de acordo com o euciado o isótopo 18 F (idetificado em 1.1. do problema aterior) é radioactivo (e tem 1/2 110 mi). Assim sofrerá um dos declíios idicados (tratado-se de um úclido leve, i.e. com A = 18, portato pequeo, tem Z = 9 e N = 9, ão sofrerá certamete declíio α, que aliás em costa da lista de declíios possíveis. Esta hipótese pode facilmete afastar-se pelo cálculo do valor-q correspodete). Os declíios por emissão de ucleões, e p, coduziriam ao 17 F e 17 O respectivamete e só poderão ser excluídos pelo cálculo dos valores-q correspodetes: Q m( F) m( F) + m = ,502 MeV MeV Q p m( F) m( O) + m( H) = ,502 MeV MeV Ambos são egativos o que excluí essas possibilidades de declíio. estam como possíveis os declíios β. Avaliado os respectivos valores-q coclui-se que apeas são possíveis os declíios β + e C.E.: ( e e ) β F Ne + + ν : ( e e ) + + β F O + + ν : ( + e + νe ) C.E. F O : Q ( F) ( F) β = m m = , 502 MeV MeV Q + m( F) m( O) c Be F β K , 502 MeV MeV Q CE m( F) m( O) 2m e = , 502 MeV 2 0,511 MeV MeV Alterativamete poder-se-ia ter a expressão de Z mi derivada da fórmula semi-empírica de massa para prever o tipo de declíio: ( ) 1 2 M m H 1/3 m c + ac A + 4aA A 1 = 0 Zmi = 1/3 1 Z A 2aC A + 8aA A 2 1 a C 1+ A 4 aa 2/3

3 Obtedo-se (por substituição dos valores a expressão literal): 18 1 Zmi 8.54 < MeV / MeV Idicado que a tedêcia é a dimiuição de Z, logo um declíio do tipo beta positivo (e portato por emissão de um positrão ou por captura electróica) Idetifique os descedetes desses declíios a) 18 Ne b) 18 O c) 17 O d) 17 F e) 18 F.: sabedo pela resolução da alíea aterior que os declíios possíveis são apeas o declíio β + e a C.E., coclui-se imediatamete que o descedete é o 18 O: de facto, porque os declíios β + e C.E. se tem A = 0 e Z = 1, o descedete terá A = 18 e Z = Para o declíio que é importate para PE o valor-q é (em MeV) a) b) c) d) (Nota: PE omografia de emissão de positrões).: o declíio importate para PE é o que evolve a emissão de positrões e assim é o declíio β +. Para este o valor-q é MeV como calculado em 2.1. acima: Q CE m( F) m( O) 2m e = ,502 MeV 2 0, 511 MeV MeV 3. Quado a eergia dos protões é 4 MeV e a correte do feixe é 5 µa a taxa de emissão de eutrões é de s A actividade de A X após 1 hora de icidêcia do feixe de protões o alvo é a) 2 mci b) 25 µci c) 1.5 µci d) 1 kbq e) 500 Bq.: dado que em cada reacção de formação de 18 F há emissão de 1 eutrão por cada 18 F formado, a taxa de formação de 18 F é igual à taxa de emissão de eutrões, i.e. 176 kbq. É etão esta a taxa de produção. Mas como o 18 F é radioactivo e, a partir do mometo em que se formam, os úcleos deste úclido podem sofrer declíio para o 18 O, com uma taxa determiada pela sua costate de declíio λ, ou o que é o mesmo, pela sua meia- -vida 1/2, tem-se, admitido que iicialmete ão existe 18 F, i.e. que a população iicial de 18 F é N(0) = 0, e expressado a meia-vida dn t dt Substituido valores obtem-se λt 1 = λn ( t) A( t) = ( 1 e ) = 1 2 t/ 1/2 1 A( 60 mi. ) 176 kbq kbq 1.5 µci 60/110 2

4 3.2. Desligado o acelerador após 1 hora de irradiação, mais outros 50 miutos passados a actividade devida ao A X era aproximadamete a) 1 mci b) 15 µci c) 1.1 µci d) 0,75 µci e) 100 Bq.: sedo de 1.5 µci a actividade de 18 F quado o acelerador foi desligado (e portato quado deixou de produzir 18 F), de acordo com o que se calculou em 3.1. acima, esta é a actividade que deve ser tomada como iicial para cálculo da evolução por declíio do 18 F. Dado que este tem 1/2 110 mi. ao fim de 50 mi. a actividade será dada por: 1.5 µci A( t = 50 mi. ) = 1.1 µci 50/ O primeiro estado excitado do 72 Ge tem eergia 0,691 MeV e spis e paridades 0 +. A trasição para o estado fudametal é: a) E0 b) M0 c) E0 + e de cov. d) M0 + e de cov. e) só e de coversão.: dado que o 72 Ge é um úclido par-par o seu estado fudametal tem I π = 0 +. Assim a trasição é e como tal ão pode ser uma trasição radiativa: I = 0 mas, porque o fotão tem spi 1, a emissão de um fotão obriga a I = 1 o que ão é possível.

5 Física Nuclear ( ) Exame de Época Normal 24/Ju/2010 PAE II Das duas questões seguites (5A e 5B) respoda a uma e uma só. 5A. Em grade parte dos declíios β a variação de spi I é 0, ±1. edo em cota que o spi do electrão é 1/2 explique como tal é possível o quadro da coservação do mometo agular..: tem que existir uma outra partícula de spi semi-iteiro, p.ex. 1/2 (como o eutrio): de facto e dado que (os estados de projecção d)o mometo agular orbital só pode(m) variar em múltiplos iteiros de ħ e que a variação total (da projecção) de spi uclear I estes declíios é (m f m i ) = I ħ = (0, ±1)ħ, tal ão é possível apeas pela emissão de uma partícula de spi 1/2; qualquer que seja o seu (estado de projecção de) mometo agular orbital (m l ), o mometo total por ela trasportado seria sempre determiado por (m l ± 1/2)ħ e portato semi-iteiro (0, ±1)ħ. ora-se pois ecessária a preseça de um outro spi semi-iteiro (p.ex. 1/2) que acople com o spi do electrão (ou positrão) emitido de forma a com ele garatir a variação iteira d(o estado de projecção d)o mometo agular. 5B. Se as eergias de ligação dos úcleos os úclidos espelho 41 Ca e 41 Sc são respectivamete MeV e MeV, faça um cálculo estimativo dos raios ucleares correspodetes. (Sugestão: use a expressão da eergia de ligação dada pela fórmula semi-empírica de massa)..: 5 fm. Seguido a sugestão expressa-se as eergias de ligação através da fórmula semi-empírica de massa, tedo em ateção que o termo de emparelhameto (em a P ) é ulo porque A = 41 é ímpar 41 ( Sc) ( 41, 21, 20) B B A = Z = N = = a A a A a Z( Z 1) A a ( A 2 Z) A 2/3 1/3 2 1 V S C A 41 ( Ca) ( 41, 20, 21) B B A = Z = N = = a A a A a Z( Z 1) A a ( A 2 Z) A 2/3 1/3 2 1 V S C A A= 41, Z = 21 A= 41, Z = 20 Porque A = 41 é igual para ambos os úclidos, os termos de volume e de superfície (que só depedem de A) são iguais. Porque se trata de úclidos espelho Z( 41 Sc) = N( 41 Ca) e N( 41 Sc) = Z( 41 Ca) os termos de assimetria são iguais, porque só depedem de (A 2Z) 2 e ( ) 2 = ( ) 2. Assim ao equacioar a difereça todos os termos se aulam excepto os termos de correcção relativos à eergia electrostática dos sistemas: /3 1/3 ( Ca) ( Sc ) ( C ( 1) ) ( C ( 1) ) B = B B = a Z Z A a Z Z A A= 41, Z = 21 A= 41, Z = 20

6 elembrado que, tratado-se de uma correcção à repulsão electrostática tem-se a C 2 3 e MeV fm = 5 4πε 0 (Note-se que usou-se aqui o valor e 2 /4πε 0 = 1.44 MeV fm) e escrevedo com base em Z (que toma o valor Z = 21 para o Sc, e portato toma o valor Z 1 = 20 para o Ca) obtém-se B = MeV MeV = MeV = MeV fm = ( Z ( Z 1) ( Z 1)( Z 2) ) = MeV fm = ( 2( Z 1) ) = Z = MeV fm MeV fm = 40 = MeV fm = = fm 5 fm MeV

7 6. Em Abril de 2003 apareceu a seguite otícia, proveiete dos meios cietíficos: O Bi quebra a barreira da mais loga meia-vida para declíio alfa (i P. de Marcillac et al., Nature 422 (2003) 876-8). A otícia refere-se ao 209 Bi que é o descedete de uma família radioactiva. a) Idetifique a família radioactiva e justifique com cálculos..: 237 Np, porque evolvedo as famílias radioactivas declíios α, cada um dos quais provoca uma variação de 4 uidades em A, e β, que ão alteram A, a variação total A etre dois quaisquer membros de uma qualquer destas famílias radioactivas tem que ser múltiplo de 4. Ivestigado-se para as 4 famílias radioactivas possíveis 238 U, 237 Np, 235 U e 232 h coclui-se que esta codição só é cumprida para a família do 237 Np: a variação total A etre o progeitor 237 Np e o descedete 209 Bi é múltiplo de 4, A = 28 = 7 (4). b) Idique o úmero de declíios radioactivos de cada tipo essa família, justificado com cálculos..: 7α + 4β, porque a sequêcia de declíios α e β etre o progeitor e o descedete 209 Bi tem-se A = 28 = 7 (4) devido aos declíios α, e Z = 10 = 7 (2) + 4 (+1)), devido aos declíios β. c) A ser verdadeira a afirmação costate da otícia idetifique o descedete do 209 Bi..: 205 l, pois o declíio α A = 4 e Z = 2, resultado para o descedete do 209Bi A = 205 e Z = 81. d) Mostre que ão há qualquer impedimeto de pricípio ao declíio α do 209 Bi..: Q = 3.14 MeV > 0. De facto: Qα m Bi m l m He = MeV = MeV 3.14 MeV e) Calcule a eergia ciética esperada para a eergia das partículas α, admitido que o declíio deixa o descedete o estado fudametal..: α = 3.08 MeV. De facto: Q MeV = = 3.08 MeV m He m α α ( l) α 3.14 MeV 3.08 MeV

8 f) Sabedo que os ivestigadores que testavam a teoria registaram 128 cotages de partículas α (com a eergia correcta) emitidas, em 5 dias, de uma amostra com 62 g de Bi, faça uma estimativa da meia-vida do 209 Bi..: 1/2 = a = s. A actividade média medida é de 128 declíios em 5 dias. Atededo a que a meia-vida é certamete de muitos milhares de milhões de aos esta actividade pode ser cosiderada istatâea a verdade, à escala de algus dias um úclido com uma meia-vida muito prologada tem uma actividade costate pelo que podemos escrever A(t) = 128/5 d 1 = 25.6 d 1. Ora a população actual do progeitor também pode cosiderar-se costate e igual (ao fim dos 5 dias) a 62 g 209 g mol mol N t Assim a meia vida 1/2 calcula-se de Iserido valores obtém-se 1 1/2 l 2 A( t) = λn ( t ) = N ( t) 1/2 = l 2 N t A t d /2 = l d s a 1 g) ete ecotrar uma justificação para uma tão baixa probabilidade de declíio α por parte do 209 Bi. (Sug.: use o resultado da alíea c), teha em cota que I π ( 209 Bi) = 9/2 e para o descedete I π = 1/2 +, e recorde os termos que itervêm o cálculo da costate de declíio a teoria simples do declíio α, factor de Gamow)..: a razão reside em dois factores: Q é pequeo i.e. tem um valor (3.14 MeV) que é sigificativamete meor que os valores mais prováveis em declíios α aturais (estes situam-se etre 4 MeV e 9 MeV) e L α é elevado (a mudaça de paridade impõe L α = 5), o que implica a existêcia de um termo cetrífugo elevado. De facto, qualquer um destes factores cotribui para uma acetuada dimiuição da probabilidade de declíio porque actua o expoete do termo domiate: a probabilidade é essecialmete determiada pelo factor de Gamow (i.e. é proporcioal a): 2 2mα λ e G com G = dr V r Q 2 h ( ) Claramete: 1) quato meor é Q maior é a itegrada, e portato maior é G, meor é a probabilidade de declíio λ e maior a meia-vida 1/2 ; 2) porque V(r) cotém o termo cetrífugo proporcioal a L α ( L α + 1) quato maior for este maior será a itegrada e portato maior é G, meor é a probabilidade de declíio λ e maior a meia-vida 1/2. h) Sabedo que I π ( 210 Bi) = 1 e I π ( 206 l) = 0 explique porque uca se observa o declíio α directo para o estado fudametal do 206 l..: porque um tal declíio obrigaria a L α = 1 sem mudaça de paridade. Mas isso a ão alteração da paridade exige L α par o que é icompatível com L α = 1, logo impossível!

9 Física Nuclear ( ) Exame de Época Normal 24/Ju./2010 Valores úteis 1 u = 931,502 MeV/c 2 2 Excesso de massa: = ( m A) c m e = 0,511 MeV/c 2 Prob. 1-3 Núclido M/u 18 N (Z = 7) O (Z = 8) O (Z = 8) F (Z = 9) F (Z = 9) Ne (Z = 10) α 4 He (Z = 2) p 1 H (Z = 1) Prob. 5B A 1 2 ( X ) (, ) = ( H ) + (, ) / = 2 = + V S C ( ) A ( ) + ( ± P ) M M A Z Zm Nm B A Z c av = 15,5 MeV as = 16,8 MeV ac = 0,72 MeV aa = 23 MeV ap = 34 MeV Zm H Nm a A a A a Z Z 1 A a A 2Z A 0, a A / c 1 2/3 1/3 1 3/4 2