PQI 2530 Controle Digital de Processos. 1. Introdução - Comparação entre Controle Analógico e Controle Digital

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1 PQI 53 Conrol Dgal d Proo. Inrodução - Comaração nr Conrol Analógo Conrol Dgal Para lurar a dfrnça nr a malha d onrol qu m ana omonn analógo a malha d onrol qu m omonn dga analógo, vamo ondrar o xmlo da malha d onrol do nívl d líqudo m um ambor. Ea malha é rrnada na Fgura. abaxo. Fgura. Equma do onrol do nívl d líqudo m um ambor Na Fgura., mo a rrnação do omonn da malha d onrol, nlundo obvamn o róro roo, qu é o ambor om líqudo, ara o ao d um onrolador analógo. Na Fgura.3, mo gráfo ío do omoramno do na qu rorrm a malha d onrol, m função do mo. Conform od r obrvado na fgura, o na qu rorrm a malha ão odo onínuo. No ao da malha d nívl d líqudo mo: -on do nívl L, rro na varávl onrolada, nal ara a válvula d onrol x, nívl ral d líqudo no ambor L, mdda do nívl L m Fgura. Equma da malha d onrol analógo do nívl d um ambor

2 Fgura.3 Sna da malha d onrol analógo No ao da malha om onrolador analógo, além do na onínuo, mo alguma oura araría ía d o d malha d onrol: O onrolador é um ruo analógo. E ruo é normalmn um ruo léro, om ror, aaor,. Na lana ma anga déada d 4 a 6, o onrolador ram numáo, ond m v d orrn léra nó ínhamo fluxo d ar. A funçõ d onrol ou oraçõ mamáa, qu odm r monada om o ruo analógo numáo ou léro ão baan lmada uma v monada, é baan dfíl alra-la. Am o onrolador analógo ão normalmn do o PID a funçõ mamáa qu odm r uada orrondm à oma d na mullação d um nal or uma onan. Na malha d onrol dgal, o rmo dgal urg dvdo à rnça d um onrolador dgal qu ubu o onrolador analógo. O dma lmno da malha analóga onnuam xndo, onform é morado na Fgura.4. O onrolador dgal é na vrdad um omuador qu rb o nal da mdda da varávl onrolada, onvrdo ara um valor dgal no onvror A/D. Dvdo à rnça d omuador na malha d onrol, algun do na qu rorrm a malha, aam a r dro no mo. A Fgura.5 mora, ara o ao do onrol do nívl do ambor, algun na da malha dgal. Fgura.4 Equma da malha d onrol dgal do nívl d um ambor

3 Fgura.5 Sna da malha d onrol dgal Am, ara o ao da malha dgal, mo alguma araría qu a dfrnam da malha analóga: mo na onínuo dro, na mma malha. Como o roo químo ão onínuo or naura, oda a varáv rlaonada om o roo onnuam ndo onnua, aar d uar um onrolador dgal. Am, a mdda da varávl onrolada é uma varávl onínua onform morado na Fgura.5 L m. Por ouro lado, o na qu nram ou aém do onrolador dgal, êm qu r dro. Aoado ao na dro, mo o ríodo d dração qu é hamado d ríodo d amoragm. odo o na amorado dnro d uma mma malha d onrol uam o mmo ríodo d amoragm. Na maora do ao, adm- qu o na amorado mannham valor onan nr o nan d amoragm. O algormo d onrol radu m um rograma m lnguagm C, Forran,. Conqunmn, não ramo no rrngr ao PID, m rnío, odmo mlanar rogramar no onrolador o algormo d onrol ma gra oív. Não há ma a lmação d monar famn um ruo léro ou numáo, qu rrodua o algormo rooo. O onrolador é um omuador. Como o onrolador dgal é, na vrdad, um rograma dnro d um omuador, rograma od r falmn alrado. Ou ja, odmo mudar o algormo d onrol ou a ruura d onrol or xmlo, onrolar oura varávl, m ndad d alrar famn o ruo. Amoragm d na Eolha do ríodo d amoragm Vamo agora drvr udar, a forma mamáa d rrnar o lmno da malha d onrol dgal. Vamo omçar lo onvror A/D Analógo/Dgal, qu m a função d rodamn olar o valor na varávl qu á ndo onrolada ranformar a lura m um valor dgal. O onvror A/D od r nrrado omo ndo do lmno: o amorador qu ola o nal orrondn à varávl o 3

4 rnor d nal holdr, uja função é manr o úlmo valor ldo, aé qu um novo valor lh ja nvado. E ma é qumaamn rrnado na Fgura. O amorador fha or um mo drívl m rlação ao ríodo d amoragm. Fgura. Convror A/D d na Na fgura ama, f odra r uma função onínua qualqur rrnando o omoramno no mo d uma varávl qu á ndo onrolada or x.: nívl d líqudo no ambor. Na Fgura. mo um xmlo da função. Podríamo nrrar f * omo uma função qu ó é dfnda no nan d amoragm,, 3,. qu aum valor gua ao valor d f n nan. Enrano, mamaamn é ma onvnn, nrrar f * omo um rm d mulo, qu oorrm no nan d amoragm êm nndad gual ao valor da função f n nan. Dmo qu a nndad d f * no nan n é fn. Io orrond a n * f df n n Fgura. Amoragm d uma função f onínua O nal f H na aída do rnor, m normalmn a forma d uma ada rnor d ordm ro, ujo dgrau m alura gual ao valor d f no nan d amoragm. Vamo udar agora o fo da amoragm d um nal onínuo, obr a nformação qu namo obr o nal. Rrnação Mamáa d f * Condrmo nalmn a qüêna nfna d mulo unáro I 3 I n. n 4

5 ond é a função dla d Dra. Ea função é nula ara qualqur xo ara = além do la m nndad unára, ou ja: d. A função I é rrnada na Fgura.3 abaxo. Fgura.3 Função rm d mulo unáro. Daí, odmo rrnar a função qüêna d mulo grada lo amorador omo: * f f I * f f f f * f f n n.3 n Porém, é óbvo qu I é róda m ríodo ou vlodad angular /. Daí odmo rrnar a função or uma ér d Fourr, ou ja, n I C n n om / n / /. n Cn I d /. d Am Cn n n I.4 n Porano, odmo ambém rrnar f * omo: * f n f.5 n Condrmo, or xmlo, a amoragm d uma nód om vlodad angular : f A n qu ambém od r oloada na forma 5

6 6 A f Paando a função lo amorador obmo a gun f * n n n A f f * n n n A f * A f o * n n n n n A f * Porano * f é uma omoção d nfna nód om frqüêna,, oda om amlud gual a A. Porano, amorando uma nód om vlodad angular, obmo um onjuno d nód om vlodad angular,,, ond /. Condrmo agora o ao d uma função f qu m omonn ao longo d uma faxa d frqüêna, ou ja, f é uma ombnação d nód qu m vlodad angular dnro d uma ra faxa: max max. A rlação nr a amlud da nód a vlodad angular é rrnada na Fgura.4. Fgura.4 Drbução d frqüêna d uma função f. Dndndo do ríodo d amoragm odmo r max ou max. Condrmo nalmn o ao m qu o ríodo d amoragm é al qu max. N ao, a função f * omõ- d nód uja amlud ão drbuída m função da vlodad angular ou frquêna onform rrnado na Fgura.5 abaxo. Vmo qu ondrarmo a faxa max max ongumo

7 rurar a forma da drbução f a arr da drbução d f *. Baa flrar f * ara lmnar o omonn d ala frquêna. O mmo aon max. Fgura.5 Drbução d frqüêna da função amorada f * om max. Condrmo agora o ao m qu o ríodo d amoragm é al qu max, ou ja, xm omonn nód m f om vlodad angular frqüêna maor qu a frqüêna d amoragm. O rulado á rrnado na Fgura.6 n ao o rfl da drbução da nód m f não aar no rfl d drbução d f * or aua da obroção da urva. Am, flrando f *, não ongumo rurar f. Io gnfa qu no rodmno d amoragm, nó rdmo nformação obr f. Fgura.6 Drbução d frqüêna da função amorada om max. Porano a olha do ríodo d amoragm uado no amorador dv r adquada m função do nívl d nformação qu qurmo abr obr o roo. Dvmo r max ond max orrond à máxma frquêna qu qurmo obrvar m f a arr d f *. E rulado é onhdo omo orma da Amoragm d Shannon. Por xmlo, ondrmo o ao m qu amoramo o nal d nívl d líqudo m um ambor rnn a um roo químo. Plo onhmno da dnâma do ma, mo uma déa da faxa d frqüêna qu odm ar onda n nal. Normalmn, o ambor é dmnonado ara um mo d rdêna do líqudo da ordm d mn. Porano, é laro qu no nal do nívl é ouo rovávl qu haja alguma nód om vlodad angular maor qu aqula orrondn a uma nód om ríodo d. Io gnfa adoar max / rd/, orano uar max 7

8 A maora do ma dga d onrol d roo químo m ríodo d amoragm da ordm d granda. Vamo udar agora uma forma mamáa d rabalhar om na do o d f H rrnada na Fg... Ea rrnação lança mão da ranformada Z qu aamo a dfnr. 3. ranformada Z Para uma função f qu é amorada om ríodo, dfnmo * 3 f f f f f3 n F f n 3. n Para xmlfar o rodmno, vamo morar o álulo da ranformada Z d alguma funçõ ml: f u ond é uma onan u é a função dgrau unáro: u ara u ara Uando a quação 3. mo F f f f 3 F 3 F ara ou F f função rama Analogamn uando a quação 3. mo 3 F 3 F 3 3 F 3 F F 8

9 F a f F an n n a a a 3 F F ara a a a f n F F n n F o o n F o n n n n a f! a f daí! F a n a! a n F! a a O rodmno gudo ara o álulo da ranformada da funçõ ama, od r rdo ara qualqur função, orém, m onrol d roo, a funçõ ma uada ão m númro baan lmado. A abla abaxo na a funçõ. 9

10 abla d ranformada f f F u a a a 3 3 n n o o o o a a a a a A obnção manulação da ranformada Z fa falada la gun rordad: Lnardad Sjam f f dua funçõ qu ão amorada om o mmo ríodo d amoragm. Daí ara a a dua onan quaqur, mo a f a f a F a F 3. Exmlo 3.: 5 f F F 3 5

11 Mudança d ala a f F ond F f a 3.3 Para dmonrar a rordad, alamo dramn a dfnção d ranformada Z quação 3. a an n f f n n n a a n a n no f f n f n F Exmlo 3.: f a F a F a Efo do mo moro ranlação no mo Condrmo o ao m qu uma função f ja araada or um mo moro qu é múllo do ríodo d amoragm nro Fgura 3. Função om mo moro Novamn, alando a dfnção, mo: f n f n n dfnndo m n ubundo n na quação ama, mo: f m f m m

12 m f f m orqu f m / m Daí f mo F 3.4 Porano, o fo da nrodução d um mo moro m uma função, od r rrnado la fgura abaxo: Fgura 3. Efo do mo moro na ranformada Z orma do valor fnal lm f lm F 3.5 Dm.: lm F lm F lm F lm f f f - lm f f f = f f f f n - f f f f n lm f n lm f ou n lm f lm F o lm xr orma do valor nal lm f lm F 3.6 Dm.: lm F lm f f f = f lm f 4. Invrão da ranformada Z Dado F, qurmo onhr f no nan d amoragm Z F f n n,,, 4. A ranformação d f rodu uma úna F, ma a nvrão d F rodu ana

13 3 valor n f dfndo no ono d amoragm. Fgura 4. ranformada nvra d uma dada F. Na fgura ama a funçõ f f êm a mma ranformada Z. Forma d obr a nvra Ingral omlxa ua ora d funçõ omlxa d F n f n 4. Ea forma é muo omlada raramn uada Exanão m fraçõ ara S F m a forma F P Q 4.3 Q - olnômo m d ordm m P - olnômo m d ordm n n>m P - od r faorado no ólo n,,, n Q F 4.4 n n A A A F 4.5 S a, não 4.5 fa a n a a n A A A F Daí

14 Z a a a F f A A A n n ou f A A An n Exmlo 4.:.8 F F Fando.638 a a F.45 Invrndo:.45 f.5 Subundo o valor d mo a gun abla f Qu orrond ao gráfo abaxo: 4

15 5. Rnor d Snal holdr Função d ranfrêna Como já vmo, no onvrador A/D mo o amorador o rnor d na. A dalação mamáa do rnor d na é a d um lmno qu ranforma um rm d mulo, m um nal o ada. Na Fg. 5., arnamo novamn ma, om o na nvolvdo. Fgura 5. Sna no rnor d nal. A função d ranfrêna do rnor é H 5. Obrv qu a nrada do rnor for um mulo unáro f a aída rá um ulo unáro, qu é rrnado qumaamn abaxo. Am H dfndo m 5., m a rordad d onvrr mulo no ulo qu formam a função f H. Fgura 5. Pulo unáro O holdr á rn m uma malha d onrol dgal, onform ndado na Fg

16 Fgura 5.3 Conrolador dgal o roo. Função d ranfrêna d Pulo A função d ranfrêna do ma ondrando o mo dro od r obda a arr da função d ranfrêna m mo onnuo ou a arr do modlo drado do ma. Parndo da Função d ranfrêna m Condrmo um roo ujo na d nrada aída ão amorado: Fgura 5.4 Proo om nrada aída amorada. Porano * é um rm d mulo om nndad. Admamo não qu o roo nha uma função d ranfrêna: uma orrondn roa ao mulo unáro rrnada or g, ou ja: g L 5. ond L - rrna a ranformada nvra d Lala. Condramo a roa d roo ao mulo *. Ea roa é rrnada na fgura abaxo Fgura 5.5 Roa do roo ao mulo Analamn a roa od r obda or: g 5.3 6

17 Para o rm d mulo *, o rulado rá a omaóra do fo d ada um do mulo, rulando na xrão abaxo g 5.4 Condrando o nan n, mo n g n 5.5 A função obda la quação 5.5 é amorada grando * ara a qual odmo alular a ranformada Z, uando a dfnção dada la quação 3.: * n Z n Y n Daí uando a quação 5.5, obmo n Y g n. 5.6 n Dfnndo =n- ondrando qu g= ara <, a quação 5.6 fa Y g Y g Y C ond. g 5.7 qu é dfnda omo a função d ranfrêna d ulo do ma. No ao da malha dgal o roo á aoado ao rnor H. Fgura 5.6 Proo om rnor holdr. 7

18 8 Porano, n ao. H 5.8 am, a função d ranfrêna d ulo aoada om o ma onuído do roo + holdr é alulada or }. { H L Normalmn a função d ranfrêna d ulo é dgnada or H am }. { H L H 5.9 No dagrama d bloo da malha dgal, o onjuno holdr +roo é rrnado lo lmno abaxo Fgura 5.7 Função d ranfrêna d ulo. Exmlo 5.: Drmnmo a função d ranfrêna d ulo do ma Nívl d líqudo m um ambor Alando a quação 5.9, mo. H L. L L H

19 9 Exmlo 5.: Sja o ma rrnado or Sma d a ordm Daí mo. L H L Z L Z H L H / L H / Z H / H / / H Porano / / C Y S C dgrau unáro / /. Y Daí / Y x n n

20 Fgura 5.8 Função d ranfrêna d ulo ara o ma d a ordm. Parndo do ma drado no mo N ao onhmo a rlação f,,..., u,.... Exmlo 5.3: Condrmo o ma rrnado la quação dfrnal d 5. d Admamo qu no nan, ond é nro é o ríodo d amoragm, m valor onhdo. Admamo ambém qu no nrvalo, é onan gual a. Daí, a ngração d 5. lva a / / qu no nan + fa / / qu od r oloada na forma a b 5. / ond a b ão onan dada or a / b. Daí, ondrando a ranformada Z d ambo o mmbro d 5. obmo ou a b b a Ob.: A quação d dfrnça é normalmn obda dramn d dado xrmna olado dramn do ma ndural. 6. O Algormo d Conrol Dgal Normalmn é xro omo uma quação d dfrnça qu rlaona o nal d aída n qu va ara a válvula d onrol, om o nal d nrada n qu é o rro nr o -on a varávl onrolada.

21 Fgura 6. Conrolador dgal Conrolador PID dgal A xrão do PID analógo é: D I d d d Drando a quação ama, obmo D I 6. E algormo d onrol od r oloado na forma nrmnal D I Condrando a ranformada Z do lmno da quação ama, obmo D I D I D I Porano a função d ranfrêna d ulo do onrolador PID dgal é D I Dnro da forma gral, mo não váro ao: Conrolador Prooronal P 6.

22 Conrolador Prooronal Ingral P I 6.3 I Conrolador Prooronal Ingral Drvavo P I D D 6.4 I Rrnação da Malha om Conrolador Dgal Na Fgura 6., mo uma rrnação mlfada da malha d onrol, nlundo ana o onrolador dgal o roo. Fgura 6.. Malha fhada om onrolador dgal. Obrvando o dagrama da malha, vmo qu: daí, é laro qu: ond H. d H. d

23 3 Porano.. d H H H 6.4 Obrvaçõ *. H Equação araría da malha fhada * Problma rvo d=... Z H H 6.5 * Problma rgulador. d H 6.6 * Inlundo odo o lmno da malha, o dagrama da malha fa Fgura 6.3. Malha fhada om odo o lmno. N ao dfnndo ~ m f mo. ~.. ~. ~ H d H H m

24 Exmlo 6.: Proo d a ordm om onrolador rooronal ond rooronal uro H L. Porano / H / Daí / / / / Cao rvo d= / / d b a a. b / ond b ; a b S dgrau unáro a a a a a 4

25 Daí: a a n n a a S a lm n n a a a a off a a Cao rgulador / d b b d a b d a b a b lm n lm n a Exmlo 6.: Proo d a ordm om onrolador P+I ond I om.3,, I 5 Qurmo abr a roa da malha numéra ara um dgrau unáro m. 5

26 6 Solução:. L L H / / H 5.3. I Pla quação H H Subundo a xrõ d H, obmo: Para ahar a roa ara um dado, or xmlo, dgrau unáro: - Subuímo Ahamo a nvra d drmnamo n ara n=,,,. E rodmno é m gral, muo rabalhoo. Uma forma numramn ma ml, é uar a quação d dfrnça orrondn à 6.7: Invrndo dramn, mo:

27 n.948 n.9733 n.579 n n.579 n3 Daí, ondrando qu n ara n, n ara n n ara n, obmo a gun roa: n n Uma oura forma d mular a malha é rvndo a quaçõ d dfrnça do lmno ndvdualmn. No ao d xmlo, mo: *Conrolador.36.3 ou.36.3 qu orrond a: n n.36 n.3 n 6.8 ma omo n n n a quação 6.8 fa n n.36 n n.3 n n 6.9 *Proo ou

28 uja nvra é: n.948 n.93 n 6. Am, dado,,... odmo uar qünalmn ara alular,,...,,... É laro qu o rulado d rodmno dv r o mmo qu o rulado do rodmno anror. 7. Eabldad d Sma Dro Condrmo a função d ranfrêna: m b... b b b m n a a... an Exandndo m fraçõ ara: m... n m n n ond,..., n ão a raí d + a a... a n 7. O émo rmo da xanão 36, dá orgm à função: n f n Z x ln n A ra m a forma: j j S n quando n S n ara qualqur n n quando n 8

29 Porano f n é lmada quando loala dnro do írulo unáro no lano omlxo. Am: Um ma dro é ávl, odo o u ólo raí da quação araría ão loalado dnro do írulo unáro no lano omlxo. Eabldad da Malha Fhada A quação araría da malha fhada é: H. 7. A malha é ávl oda a raí da quação ão dnro do írulo unáro. Exmlo 7. Condrmo a malha d onrol ond: 5 qu orrond a: 5 / / H / / 5 / H /. I Porano a quação 7. fa: / 5 / H.. / I Rarranjando mo / / 5/ I. I S, or xmlo =, a quação ama fa I.948I.948I.93 I.93I Para.38 I mo a gun raí: 9

30 r ond a rra ra m módulo max r3.4. Porano, o ma á no lm d abldad. Aumnando ou rdundo I o ma nabla. Por xmlo, ara.5; I mo max r.4. Analogamn, ara.38; I 5 mo max r.49 Condrmo agora =5, qu orrond à gun quação araría: 3 I.665 I.3934I I Para.38; mo a gun raí r I ond max r.3676, ou ja, a malha é návl. Para ablar a malha, mo qu or.xmlo rdur o ganho:.96; max r. I Ob.: Plo xmlo anror vmo qu, ara ma dro a abldad dnd do arâmro do onrolador do ríodo d amoragm. Snona do Conrolador PID Dgal Podmo uar a mma nona arâmro do PID analógo. O rulado rão bon o ríodo d amoragm é quno m rlação à onan d mo domnan do roo. Ajuamo o arâmro do onrolador uando um réro d rforman ngral. No ao gral mo o gun rodmno: -Idnfamo o roo drmnamo a função d ranfrêna d ulo do roo. Quando a função d ranfrêna onínua é onhda, arnamo o holdr ara obr a função d ranfrêna d ulo. Ex.: 3 qu rodu a gun a função d ranfrêna d ulo: H Convrmo a função d ranfrêna d ulo ara a orrondn orrlação no mo. 3

31 No ao ama mo: n.69 n.9 n.6 n 3 =.79 n n 4.39 n 5 3-Eolhmo o o do algormo d onrol. Ex.: d n n n n n n n n I ond é o mmo olhdo na dração do roo. 4-Exlamo o réro ngral na forma d omaóra. Por xmlo: ond N ISE ão o onvnn N é o horon d omação, olhdo m função da onan d mo do roo 5-Com um algormo d bua drmnamo:, d qu mnmm o ISE. I 8. Ouro Conrolador Dga Sja a malha d onrol, om um algormo d onrol dgal dgnado. Fgura 8. Malha dgal Já vmo qu, m malha fhada, mo H H Da xrão odmo xlar /. 8. H / 3

32 3 Conrolador dad-ba N ao momo qu a malha nha a gun função d ranfrêna 8. ou ja, a roa é xaamn gual ao -on, ana om um arao d nrvalo d amoragm. Daí, ubundo 8. m 8., mo:. H 8.3 Exmlo 8.: 5 / 5 / 5 H S adoarmo =, famo om: H H Cuja quação d dfrnça orrrondn é: , Obrvaçõ: E onrolador gra açõ muo volna. A malha fhada não m off-.

33 lm lm lm S lm lm. S H vr mo moro, ou ja, odmo rvr H H ond orrond ao mo moro do ma. Enão H H Qu ó é ralávl /. Para lurar ao, ondrmo o xmlo abaxo. Exmlo 8.:.83 H 5.89 Subundo na quação Como + não é onhdo no nan o onrolador é do não ralávl. Para ornar o onrolador ralávl odmo modfar a fação da roa ara n Daí, a quação 8.3, fa: 33

34 n n.. H n n H qu é ralávl n Exmlo 8.3: 5 S farmo 3.83 H.89 3 mo, la q. 8. o onrolador: ou qu é ralávl Conrolador d Dahln A roa da malha fhada é admda omo ndo um ma d a ordm om mo moro. Ou ja, admmo qu ond ão arâmro do onrolador. Porano, a orrondn função d ranfrêna d ulo da malha é: / m / om m / 8.4 Daí, ubundo 8.4 m 8., obmo o onrolador: / / m H / / / m H Ob: Para qu onrolador ja ralávl, o mo moro ondo m não od r maor qu m. é um arâmro d nona qu dfn a vlodad d roa da malha fhada 34

35 35 Fgura 8. Roa da malha fhada Exmlo 8.4: 3 / 3 / H Admamo qu 5 3 Obrv qu o ganho dv r ou 4 5 / 4 5 / Daí / / H

36 9. Comnação d mo Moro Roa Invra O omnador d mo moro dgal Para um roo om mo moro uja função d ranfrêna d ulo aum a forma H ond /, a nluão d um omnador od r fa onform morado na Fg. 9. Fgura 9. Malha dgal om omnador d mo moro Da fgura ama mo a gun rlaçõ H H H 7.3 H Hd d 7.4 Subundo 7.3 m 7.4 fando a mlfaçõ oív, hgamo a H H Hd d H H 7.5 A quação araría não dnd do mo moro o onrolador od r nonado omo o ma não v o mo moro. Inra no mo moro Sja / o mo moro do roo m m/ o mo moro uado no omnador. N ao, a quação 7.5 fara m H H Hd d m m H H Porano, o fo do mo moro não é oalmn lmnado. 36

37 Comnador d roa nvra Condrmo um roo uja função ranfrêna d ulo nha a gun forma H ond. N ao, o roo arna roa nvra. Para qu a malha fhada não ja afada or o d omoramno, ondrmo o dagrama da Fg. 9. Fgura 9. Comnador d roa nvra N ao o rro na varávl onrolada fa H H H Porano, o onrolador não vrá a roa nvra. Conrol Anaóro Fdforward Sja o ma rrnado abaxo, ond d é uma rurbação mdda ff é a função d ranfrêna d um lmno a r nrodudo na malha. Para lmnar o fo d d obr, ff dv r olhdo d al forma qu 37

38 ou H H ff d H / H ff d Exmlo: d d, d Daí mo d / / H / / d d / d Hd / d / / / / / d ff / d d / / d / d d / d Porano qu ara r ralávl mo qu r d. d 38