Álgebra de Números Complexos

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1 Álgr d Númro Comlo O númro comlo ão d grnd morânc m muo domíno d mmác ão rculrmn ú n nál d m dnâmco. E númro, qu ão um não do númro r, ão conuído or du comonn, um rl our mgnár, ndo qu undd mgnár,, corrond à r qudrd d -, orno, um qulqur númro mgnáro od r cro como, conqunmn R, Im Sndo númro qu ão dcro rcorrndo du comonn, rl mgnár, númro odm r rrndo num lno, com do o orogon, um corrondn à comonn rl o ouro corrondn à comonn mgnár. E rrnção, ulndo o do o orogon, od dgnr- or rrnção Crn. Tl como qulqur ouro m d coordnd crn, mém o corrondn o númro comlo od r vo d um orm olr, rrnndo- o númro l u dânc à orgm do o o módulo do númro lo ângulo qu o vcor qu lg orgm do o o ono com o o do, o ângulo d. Am, um númro mgnáro od r rrndo n orm olr d gun orm: co n, ond, n O dgrm gun mor o lno comlo, no qul r rl d á rrnd no o horonl. Um númro comlo rc como um vcor rr d orgm do o. O dgrm rlcon orm Crn olr do númro comlo. O ângulo d φ é mddo m ndo conráro o do onro do rlógo rr do o rl ovo.

2 Como rrnção lrnv od crvr- n co qu rcorr à órmul d Eulr, qul rlcon onncl coml com unçõ rgonomérc qu rá dmonrd d orm ml m dn vr cção or não m ér d Tylor: n co ± ± A orçõ nr númro comlo ão muo ác d dnr drvm drcmn d rgr convncon r orçõ m númro r. Am, om d do númro comlo rá um númro comlo cu r rl é om d r r do do númro r mgnár é, d orm mlhn, om d comonn mgnár: O roduo d do númro comlo mém od or com cldd: ou, n orm crn ond v m con qu φ rl mgnáro

3 D nor qu o roduo d númro comlo n u rrnção olr é rculrmn ml ddo qu o númro ruln m como mlud o roduo d mlud do rgumno, nquno qu o ângulo d é om do ângulo d do rgumno. Ao númro comlo, *, qu oém nvrndo o nl d comonn mgnár d um ddo númro chm- o comlo conugdo d : co n co * * n E do númro comlo conugdo êm o mmo módulo, ndo m con qu comonn mgnár êm n conráro o u roduo é um númro rl ddo or: * * Num quocn nvolvndo númro comlo no no numrdor como no dnomndor, mullcndo mo o rmo do quocn lo conugdo do dnomndor é oívl lmnr comonn mgnár no dnomndor, ondo- não o quocn o orm d um únco númro comlo:

4 Enão m Sér d Tylor Mu v, no mnumno d unçõ há vngn m r romçõ d o orm d unçõ olnom. Um d orm d o r é ulr nõ m ér d Tylor d! d E ér odm r uld r clculr vlor romdo d unçõ, rr d um ddo vlor conhcdo, ou romá-l loclmn, m orno do ono m qu o rld não, or olnómo d ordm dd. No co rculr do ono m orno do qul cu não r ér dgn- como ér d Mclurn. Um d nõ m ér m rlvn r o udo d dnâmc d m é d ér d Mclurn r unção onncl: d! d! Qu o od ndo m con qu... d d Tmém rlvn ão nõ m ér d Mclurn d unçõ rgnomérc n co : n d n! d d co co! d ! 5!! 4...! 4!! No co d onncl coml, não m ér m orno do ono, rm ddur um rlção nr unção onncl coml unçõ rgnomérc:

5 3 3! 4 4! 5 5! ! ! 5! Comrndo rão nror com rõ nrormn od r o dnvolvmno m ér d Tylor d unçõ n co, ndd m orno do ono, od conclur- qu: co n Do mmo modo: co n D orm dmonrámo órmul d Eulr, qu mnconou n cção or álgr d comlo. Prndo d du rõ oém- clmn gun rõ r unçõ rgnomérc: co n Pr unçõ com m d um vrávl,..., n : d,...,,..., n,..., n... m n k kn,,...,!...!... m k k k k d d n n..., n n k m O qu, ndo um romção d rmr ordm c d, y,...,..., n,..., n, d..., n n k Por mlo, r o co d unção C A,F C A.F qu rrn o roduo d um concnrção or um cudl, não m ér d Tylor ndd m orno do ono C A,F runcd como romção no rmo d rmr drvd é gun: C. F C A A. F F C A C A C A F F n kn n

6 Trnormd d lc A rnormd d lc ão um rrmn d grnd uldd r nál d m dcro or quçõ drnc, or movo qu vrmo gur. E rnormd ngrl, corrond um uução d vrávl, vrávl mo, or um nov vrávl, vrávl, cu rordd clm muo rolução d quçõ drnc. Dnção F d A Trnormd d lc é dnd or um ngrl mróro, do roduo d unção rnormr l unção -, m qu é o râmro d lc. E dnção mlc qu, r qu rnormd d lc d um dd unção, o ngrl mróro qu dn rnormd m d r r convrgn. E co não é lmvo r gnrldd d lcçõ qu rão r n cdr d Dnâmc d Sm, m mlc, d qulqur orm, lgum cuddo n u ulção. No- qu Trnormd d lc, o r dnd como o ngrl nr não dnd do vlor qu unção o omr r mo mnor qu ro. E co não é um lmção morn no cono m qu rndmo ulr rrmn, ddo qu odmo mr condrr o níco do mo d orm convnn, como vrá n ordgm do m dnâmco. Prordd É ácl vr, l dnção, qu o ordor Trnormd d lc é um ordor lnr. d d g g d d g d g

7 Trnormd d unçõ rrnv Vmo comçr or clculr, rvé d dnção, unçõ rnormd d lgum unçõ rrnv. Dl d Drc δ d F δ Conn < d d F Rm < d d d d F Eonncl d d F E rlção lc- mém r o co m qu é um númro mgnáro. Cono Pr clculrmo Trnormd d lc do cono, odmo ulr u rlção com unção onncl d rgumno mgnáro co Ulndo gor rlção ddud n,

8 F Sno D orm mlhn odmo or rnormd d unção no. n Ulndo rlção ddud n, F No- qu gnrldd d rnormd r qulqur vlor d ovo, m lgun do ngr não ão convrgn r. E é o co, or mlo, d rnormd do dgru d rm, orno, rnormd d lc não nconr dnd r unçõ r, m qu, rgr grl, o clculr o lm d F qundo. Um co m qu é ncár rculr nção é o co d unção onncl. No co qu vmo cm o ngrl é convrgn r qulqur vlor d ovo. No nno condrrmo gor onncl, o ngrl qu dn rnormd d lc não é convrgn não qundo >, o qu qur dr qu unção rnormd d lc não á dnd r vlor d mnor ou gu, não ndo, orno, dnd r, não odndo qur clculr o rcvo lm um v qu nconr or do domíno d unção. Rlçõ nr orçõ no mo no ço d lc D rnormd odmo á orvr um cro drão d rlção nr unçõ no mo d u corrondn rnormd no ço d lc. F δ

9 A unção conn, qu nnd como conn omn r mo mor qu ro cuo vlor nror od r omdo como ro, é um rmv d unção δ. Por ouro ldo, unção rm é um rmv d unção conn. Olhndo gor r colun corrondn à rcv rnormd d lc, vrcmo qu rnormd do dl d Drc é um conn, nquno qu rnormd d rmv do dl d Drc unção conn é conn dvdd or rnormd d rmv d conn unção rm é mm conn dvdd or o qudrdo. Am, nquno no mo mo d unção dl d Drc r conn, do r rm rvé d orçõ d rmvção, no ço d lc mo d rnormd do dl d Drc r rnormd d conn do d rm dvdndo lo râmro d lc,. O rvro od r orvdo n ordm nvr, qundo, no mo, mo d rm r u drvd, conn, d r u drvd, o dl d Drc, n corrondn unçõ no ço d lc mo d Trnormd d lc r our rnormd mullcndo or. E é rordd qu conr à Trnormd d lc u morânc: nquno no mo mo orçõ ngro-drnc, no ço d lc corrondn orçõ nvolvm mullcçõ dvõ or. Vmo vrcr ormlmn rlção. Trnormd d um Drvd Vmo clculr rlção nr Trnormd d lc d um unção drvd Trnormd d lc d corrondn unção orgnl. G d d d [ ] d F d Am, Trnormd d lc d um drvd é Trnormd d lc d unção ncl, mullcd or, mno d um conn, qu é o vlor d unção ncl r.

10 Torm d Vlor Incl Fnl Por v mo nr m, ndo unção Trnormd d lc d um cr unção, r lgun ono crcríco d unção morl m r qu rlr orção d Trnormd Invr. Em do orm ú r nldd. Torm do Vlor Incl Pr or o vlor d um unção no mo odmo ulr rlção ddud r Trnormd d um drvd. d d F d Condrmo qu nd r nno. N co, o rmo onncl no ngrl no ldo qurdo d qução nd r ro, umndo qu unção é conínu, odo o ngrl nd r ro. Am, lm F lm Ou, o vlor ncl d é o lm, qundo nd r nno, do roduo d u Trnormd d lc or. Torm do Vlor Fnl D orm mlhn odmo or um orm d clculr o vlor d qundo nd r nno. d d F d Condrmo gor qu nd r ro. N co, o rmo onncl no ngrl no ldo qurdo d qução nd r um, umndo qu unção é conínu, mo lm F lm lm F Ou, o vlor d qundo o mo nd r nno od r odo rvé do roduo d l u Trnormd d lc qundo nd r ro. Trnormd d um Função Dlocd no Tmo Um ouro co morn é o d clculr rnormd d lc d um unção dlocd no mo. E co é rlvn m mu uçõ, rác, nomdmn

11 qundo m uçõ d ro d rnor, or mlo qundo um corrn d ludo rv um ugm. Vmo, não, condrr qu mo um unção g qu é dnd como ndo gul um our,, m dlocd no mo: g Como od vr n gur gun g Podmo gor clculr rnormd d lc d unção g, rlconndo- com d unção. g g d d ond, no úlmo o, o rmo nror d ngrção o lrdo um v qu unção ngrnd é ro r <. Fndo gor um uução d vráv, l qu *-, mo qu g d * * d * d * * d * ou, rnormd d lc d um unção dlocd no mo é gul à rnormd d lc d unção orgnl, mullcd or g Rolução d Equçõ Drnc. O co d orçõ ngro-drnc convrrm m orçõ lgérc qundo lc Trnormd d lc rm qu uld r clr rolução d quçõ drnc.

12 Condrmo, or mlo, gun qução drncl dy y y d S lcrmo Trnormd d lc mo o ldo d qução, omo Y Y Qu od r rolvd r or Y Y Y é, orno, Trnormd d lc d unção qu é olução do rolm dcro. E unção, no ço d lc, od r uld r or normção or unção morl, or mlo rvé do orm do vlor nl lm y lm Y S lcrmo Trnormd d lc Invr odmo or unção y. Trnormd Invr A Trnormd d lc Invr não m um orm ml d cálculo, o conráro d Trnormd d lc, m od r od rvé d comrção d unção no ço d lc com unçõ conhcd ld. No- qu, dd dnção do ordor Trnormd d lc, unção od é ndnd r <, um v qu rnormd d lc não coném qulqur normção or o vlor d unção no mo r vlor d mo mnor qu ro. É rqun qu unçõ r qu rndm clculr Trnormd d lc Invr m unçõ rcon, corrondndo o quocn nr olnómo, l como n co nror. N co odmo ulr écnc d não m rcçõ ml, or orm rmr um cálculo m rádo d Trnormd Invr. Por mlo, no co cm, não m rcçõ ml corrondrá à onção do râmro α β n qução o. α β Y Pr or râmro odmo ulr o méodo do cocn ndrmndo ou écnc d não d Hvd, qul vmo mlcr r onção do râmro β.

13 O rmo corrondn o râmro β m um dnomndor qu é um olnómo d rmr ordm m com um ro gul -.5. Pr clculr β vmo comçr or mullcr mo o rmo d qução lo dnomndor do rmo conndo o β. α β α β S omrmo gor o vlor d como ndo o vlor qu nul o dnomndor do rmo conndo β, o rmo corrondn o râmro α, ou, no co grl, odo o rmo conndo dnomndor drn, nul-, lo oém β.5 D orm grl, écnc od r uld r odo o rmo, co r o qu corrondm rí múll, co m qu ó od r uldo r o rmo d ordm uror, ndo o ouro qu r odo or ouro méodo, nomdmn lo méodo do cocn ndrmndo.