MODELO MATEMÁTICO DE MOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA. Introdução. Modelo Eletromecânico

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1 MODEO MATEMÁTICO DE MOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA Inrodução O dínmo d corrn conínu báco, conndo d um rmdur, cov nrolmno d cmo m ér, m rllo, ou combnção d mbo, vm ndo udo or muo no como um convror báco d nr. T moor ão udo como moor rnc m lcçõ como: lmndor, lvdor lérco, und, vículo lérco lum bomb ond ão ncár vlocdd vráv. O moor d corrn conínu, juno com um m mlcdor d corrn conínu rordo um conrol rlmndo m oção ou vlocdd, ornc o lmno d oênc m mu lcçõ d um conrol. O vnço rcn n r d mr mnéco n mlcção do óldo oulrzrm o moor ímã-rmnn como lmno d conmno d muo m d conrol m mlh chd. O rojo comnção rordo d m rqurm um modlo mmáco dqudo r odo o comonn do m. N ol, dnvolvmo um modlo lnr r um moor d corrn conínu rdmn xcdo r um moor ímã-rmnn. O modlo lromcânco r o moor r não d rmdur d nrd o orqu d cr como vráv d nrd vlocdd ou oção do xo como vráv d íd. O modlo érmco do moor r oênc d nrd ou dção d oênc como um nrd vrávl o crécmo d mrur no dovo como vrávl d íd. Modlo Elromcânco O comonn ncvo d um moor d corrn conínu xcdo rdmn ão modldo como mor F.. A rmdur é modld como ndo um rênc conn R m ér com um nduânc conn, rrnndo nduânc do nrolmno d rmdur, um on d não v rrnndo não rd n rmdur. O nrolmno d cmo é rrndo or um rênc conn R um nduânc conn, com o luxo d cmo líqudo d nrrro ndo dndo or φ. A vlocdd do xo d rmdur é rrnd or ω o orqu rdo, orqu d ro do moor, orqu d nérc do moor, o orqu d cr (no xo do moor) é ndcdo or T, T, TJ T, rcvmn. A rmr d um ér d quçõ bác qu modlm o moor d corrn conínu é obd crvndo um qução d não n mlh d rmdur. v () R () () d v (). () d O rmo d não v () n Eq. () é um não rd, qu rul qundo o conduor d rmdur movm rvé do luxo d cmo blcdo l corrn d cmo. D cordo com Frdy, um não é nduzd no rmn d um r conduor qu r mr num cmo mnéco conn. E não é dd or

2 v () () dλ, () d ond λ () rrn o luxo mnéco concndo l r, é o mo. Em um máqun rov com comudor, cd rjo chdo d conduor do roor m, no u rmn, um não dd l Eq. () cm, ond dλ () / d é roorconl o luxo, ou mnéco no nrrro d r vlocdd nulr ω () v () φ() ω(). (3) F.. Modlo d um moor d corrn conínu xcdo rdmn. Fnlmn, uondo corrn d cmo como ndo conn norndo mudnç no luxo d cmo dvdo à rção d rmdur ouro o cundáro, o luxo d cmo orn- conn, Eq. (3) orn- v () ω(). (4) Um orç é xrcd no conduor ond lu corrn, no roor, n rnç d luxo d cmo rndculr r do conduor. O vlor d orç é roorconl o vlor d corrn no conduor, d nndd do cmo mnéco, do comrmno do conduor. Cd um do conduor no cmo mnéco conrbu com um comonn d orç ol, vor d orç mullcdo lo ro, drmndo l conrução do roor, roduz o orqu lromnéco líqudo dnvolvdo lo moor, qu, uondo qu o luxo d cmo rmnç conn, é roorconl à corrn d rmdur, ond () () T, (5) é conn do orqu do moor.

3 A oênc mcânc dnvolvd no roor é o roduo do orqu d vlocdd nulr dnvolvdo P () T () ω(). (6) Nurlmn, nm od oênc mcânc dnvolvd no roor é nru à cr mcânc concd o xo. Pr d oênc dnvolvd é rdd rvé d rênc do nrolmno do roor ro or hr rd or corrn d Focul no rro do roor, dqu or dn chmd d rd or ro, r d nr dnvolvd é rmznd como nr cnéc n m rn do roor. O orqu ncáro r urr rd or ro é dndo or T () o orqu ncáro r clrr nérc é T J (). Em odo nn d mo, o orqu dnvolvdo dv r ul ooo à om do orqu ncáro r urr o ro, nérc, o orqu d cr. Am, T () T () T () () dω J, (7) d ond o orqu nrcl é rrndo lo roduo do momno d nérc J clrção nulr dω () / d, J é o momno d nérc ol do roor d cr m rlção o xo do moor. O comonn do orqu ol d ro do xo do moor qu é um unção lnr d vlocdd nulr do roor é chmdo comonn vcoo do ro ou comonn d morcmno vcoo é, rlmn, rdo d odo o ouro rmo rn do ro, como mor un qução: T () T () T () () dω J Bω(), (8) d ond B é o cocn d ro vcoo qu rrn odo o ro vcoo do moor d cr m rlção o xo do moor, T () é om d odo ro do moor d cr, rro d nrolmno, d rmo d rd no rro m rlção o xo do moor, xclundo o ro vcoo. A quçõ (), (4), (5), (8) conum um conjuno báco d quçõ qu modlm o moor C.C. rr d qu ão obd unçõ d rnrênc r o moor C.C. orndo m váro modo. Tomndo rnormd d lc d mbo o ldo do conjuno báco d quçõ rrrnjndo-, m- V V () V () ( R ) I () () Ω( ) () I () () T () T () ( B J ) Ω(), (9), (0) T, () T. () F.. A rrnção d quçõ bác m drm d bloco é mord n 3

4 An d connur com unção d rnrênc r o moor C.C., é rordo dr um u r dvr obrvçõ. Prmrmn, vmo uor qu não lcd o crcuo d rmdur do moor é conn qu o moor nu um ono orção m rm rmnn com um cr conn lcd. A oênc mcânc dnvolvd lo roor é dd l vrão conn m rm rmnn d Eq. (6), condrndo Eq. (5), m- P Tω I ω, (3) ond odo o lmno d qução (3) ão conn dvdo à condção d rm rmnn. A oênc lérc borvd l rmdur é o roduo d não l corrn d rmdur. Am, P V I ωi. (4) F. - Drm d bloco d um modlo d moor C.C. Enão, um vz qu oênc mcânc dnvolvd dv r ul oênc lérc borvd no roor, no m d MS,. Aé o momno é rn qu o conjuno d quçõ bác não conm nnhum rrênc à corrn d cmo nm o râmro d bobn d cmo (rênc nduânc). A uoção d luxo conn d cmo é um conqüênc dr d uoção d corrn d cmo conn; m, o modlo r drvdo d conjuno báco mbém rrn um moor ímã-rmnn, ond o luxo d cmo é conn m vrud d ruur do cmo do ímã-rmnn. Funçõ d rnrênc r o moor C.C. O drm d bloco d F. rrn um m d du nrd com íd ndo vlocdd nulr ω ou oção nulr θ, ou mb. D F. vlocdd d íd do m é cr como ond [ ] () () V () () T () T () Ω, (5) 4

5 () () T ( ) T ( ) 0 Ω () (6) V () Ω() () T () V ( ) 0. (7) T A unção d rnrênc não-vlocdd () é () Ω V () () ( R )( J B) ond α m, R B J R B α, R J B R B β. m, (8) β A Eq. (8) dn unção d rnrênc d und ordm r não r o moor C.C. condrndo qu T T ão nulo. A Eq. (8) mbém od r xr como ond () R B( τ )( τ m), τ / R conn d mo lérc τ J / B conn d mo mcânc. m S nduânc d rmdur é muo qun, conn d mo lérc od r drzd rn conn d mo mcânc q. (8) orn- V () Ω V () () R ( J B) ond m, (9) τ 5

6 R J R B τ. N Eq. (9) conn m é chmd d conn do moor. A unção d rnrênc r o orqu d cr () é dd or Ω () () J B T () T () R J B ( )( ) qul, nduânc d rmdur é drzívl, rduz- R m R, (0) α β () T R Ω() () T () τ m. () Exmlo d unçõ d rnrênc Um quno moor DC (xmlo íco, Elcro-Cr Modlo E-576 Srvo Moor) m un ccçõ: V (mx) 30 vol I (mx) mr R 3 ohm 6 mlhnr 50 x 0-3 Nwon-mro/mr T(nomnl) 0, Nwon-mro J m 40 x 0-6 klorm-mro B m 40 x 0-6 klorm-mro / ω (nomnl) 300 rdno/. Condrndo qu nérc d cr ro rrncdo o xo do moor ão: J 60 x 0-6 klorm-mro B 65 x 0-6 klorm-mro /, não, unção d rnrênc não-vlocdd, d Eq. (8), orn- 7,9 (). 4, 0 0,07 6

7 orn- S nduânc d rmdur é drzd, unção d rnrênc, d Eq. (9), 7,9 V (). 0,07 S um dru d 0 vol é lcdo o moor m 0, vlocdd nulr como um unção do mo é clmn clculd 0 7,9 79 Ω() 0,07. ( 0,07 ) A rnormd nvr d lc d úlm qução lv 9,35 () 79( ) ω, qundo (rm rmnn), ω 79 rd/. Como xrcíco conru o ráco d ro do m. Obnh o vlor d ro, m orcnm do vlor nl, r kτ, k nro ndo d zro cnco. A unção d rnrênc orqu-vlocdd, d Eq. (0), orn () ( 0 ). 4, 0 0,07 orn- S nduânc d rmdur é drzd, unção d rnrênc, d Eq. (), 074 (). 0,07 Enão, um dru d 0,05 Nm é lcdo o moor m 0, vlocdd nulr como um unção do mo é 0, ,7 Ω() 0,07. ( 0,07 ) A rnormd nvr d lc d úlm qução lv 9,35 () 53,7( ) ω. No rm rmnn qud d vlocdd é 53,7 rd/ com um crécmo no orqu d cr d 0,05 Nm. 7

8 Dção d oênc N ção vmo rr o moor C.C. como um dovo d convrão d nr m qu nr lérc n nrd é convrd m nr mcânc n íd. A F. 3 mor o luxo rl d oênc rvé d l dovo d convrão d nr. Um rção d oênc lérc d nrd é convrd mdmn m clor no nrolmno d rmdur. O ro d oênc lérc é convrdo m oênc mcânc, r do qul é rddo rvé do ro rro, o qu obr é oênc roconl mcânc donívl no xo. F. 3 - Fluxo d oênc m um moor C.C. A oênc lérc ol d nrd é o roduo nnâno d não lcd corrn d rmdur. Am, oênc ol nnân d nrd é () v () (). () Combnndo Eq. () (4), obém- qução d não do crcuo d rmdur qu rlcon não lcd à corrn d rmdur. v () R () () d ω(). (3) d A ubução d Eq. (3) n Eq. () rul n xrão r oênc d nrd ol m rmo d corrn d rmdur d vlocdd nulr do xo. () R () () d d () () ω(). (4) A corrn d rmdur od r cr m rmo do râmro mcânco do moor do orqu no xo, combnndo Eq. (5) (8) () T () T () () dω J Bω() d, (5) 8

9 qu qundo ubuíd n Eq. (4) rul n un xrão r oênc: () R () Bω () () ω() T () ω() T () () dω d Jω () (). (6) d d O rmro rmo do ldo dro d Eq. (6) rrn rd R no nrolmno d rmdur m conqüênc do luxo d corrn d rmdur. O undo rmo rrn rd d oênc dvdo o ro vcoo, o rcro rmo rrn rd d oênc dvdo odo o orqu rn d ro. Juno, o undo rcro rmo rrnm rd mcânc do moor. O quro rmo rrn íd mcânc rl do moor. O úlmo do rmo rrnm luxo d oênc nnâno r dnro ou r or do dovo d rmznmno d nr (nérc nduânc). No qu o úlmo rmo é drvd com rlção o mo d qundd ( )/, como l, od r nrrdo como x d vrção d nr rmznd n nduânc. D mm orm, o núlmo rmo é nrrdo como x d vrção d nr cnéc. S, no comço no m d qulqur ríodo d mo no, nr rmznd no lmno nrcl nduvo é mm, não há roc líqud n nr rmznd nnhum oênc líqud é dd. Am, oênc méd dd lo lmno nrcl nduvo é zro. A cênc do moor, como um convror d nr, od r clculd l rlção nr oênc mcânc d íd oênc ol méd d nrd. T Ecênc (oênc) 00%, (7) R Bω T T ω ond odo o râmro ão condrdo conn. A cênc d convrão d oênc mcânc od r obd l rlção nr oênc mcânc d íd oênc mcânc dnvolvd. Ecênc n convrão mcânc T 00% B ω T T. (8) Tomndo um xmlo, um quno moor C.C. ímã-rmnn or com um não d rmdur d 6 vol conom A d corrn d rmdur o orncr um orqu d 0,08 Nm um cr qu r com um vlocdd d 00 rd/. Todo o ro é uoo r vcoo zndo T 0 B 00 x 0-6 Nm. A rênc d rmdur é 3 ohm. A ur clculr--á cênc ol d oênc cênc n convrão d oênc mcânc r l moor. 9

10 0,08 Ecênc (oênc) 00% , ,08 00% 0,06 0,0 0,08 50%. (9) 0,08 Ecênc n convrão mcânc 00% ,08 0,08 00% 0, 80%. (30) Obrv qu rcl rncl d oênc rdd é dvdo à rênc d rmdur. Modlo érmco r um moor C.C. Como mor o xmlo cm, md d oênc conumd or um quno moor orndo m rm rmnn é dd como clor no róro moor. Em m d movmno ncrmnl (como é o co d moor d o), mor r do orqu rdo é udo r clrr rr cr. E modo d orção rul num oênc d íd muo qun,, conqünmn, mor r d oênc d nrd é convrd m clor no róro moor. Enão, é morn comrndr modlr dção d clor, o mno roo modo, r rvr crécmo d mrur dnro do moor. A m d obr um modlo érmco ml r o moor, rrnmo o moor or do lmno n rmdur, com u xo ocdo rolmno como lmno roln, o or (vj F. 4). F. 4 - Elmno érmco d um moor d C.C. O modlo érmco qu rá dnvolvdo é bdo m um modlo mlcdo r o moor C.C. mordo n F. 4 uõ- o un: 0

11 . A drbuçõ d mrur n rmdur, no or, mbn o rdor ão unorm.. A rnrênc d clor nr uríc m mrur drn é roorconl o drncl d mrur nr uríc. 3. A oênc ol dd convrd m clor (rmro, undo rcro rmo do ldo dro d Eq. (6)) é od dd n rmdur no rolmno, é chmd d. A qundd d oênc (n orm d clor) qu é rnmd d rmdur o or é dd or () [ θ () θ () ], (3) ond θ () θ () ão mrur d rmdur do or, rcvmn, rlvmn o mbn é o conduânc érmc nr o rmdur o or. A oênc érmc rnrd nr o or o r mbn o rdor do or é o () θ () (3) o oênc érmc rnrd d rmdur o mbn é o () θ (). (33) o Em mb, rmdur or, vrção d mrur com rlção o mo é roorconl à oênc érmc ol dd no coro, m, dθ d () () () () o, (34) ond o ldo dro rrn oênc érmc líqud ol dd n rmdur. Pr o or, qução do clor é dθ d () () () o. (35) Subundo Eq. (3), (3) (33) n Eq. (34) (35) obém- du quçõ drnc com du ncón com qundd d nrd ndo oênc ol dd n rmdur,. dθ () d dθ d () () [ θ () θ () ] θ (), (36) [ θ () θ () ] θ () o. (37) o

12 A unçõ d rnrênc qu rlconm mrur d rmdur ou mrur do or à oênc d nrd ol dd,, odm r obd l rnormd d lc d Eq. (36) (37), não, rolvndo r θ ou θ como unçõ d. E unçõ d rnrênc ão dd ur: Θ P Θ P () o () [ ( o ) ( o )] o o oo (38) () () [ ( o ) ( o )] o o oo.(39) S oênc dd n rmdur or conhcd m unção do mo conn érmc d máqun orm conhcd é oívl, rvé d quçõ (38) (39), clculr orcmn mrur d rmdur do or como unçõ do mo. T cálculo ornm- nváv dção d oênc or um unção morl dmdmn comlcd. É ncáro orço modrdo r clculr θ θ r o co m qu oênc dd é conn. Dvr lrnv o cálculo comlo d hór morl r mrur d rmdur do or odm vr rm ú ond à ro roxmd ão ucn r nál d nnhr. Smlcção m rm conáro S oênc dd n rmdur n um vlor conn, mrur d rmdur do or roxmrão vnulmn um vlor d rm conáro, vlor d rm conáro, como um unção do vlor d oênc dd, é clmn clculdo uondo qu oênc lcd é um unção dru nvocndo o orm do vlor nl no domíno d lc. Am, mrur d rm conáro d rmdur m unção d oênc dd conn é ( ) o θ (40) o o oo qução r mrur d rm conáro do or é ( ) θ, (4) o o oo ond é o vlor do dru d oênc lcdo.

13 Rrrção r orçdo Em conqüênc d rrrção rvé d r orçdo xr do colmno érmco rduzdo nr rmdur o or, lum máqun m << o l qu oênc érmc rnrd o or od r drzd. Enão, Eq. (36) rduz- dθ d () () θ () (4) o unção d rnrênc nr mrur d rmdur oênc dd orn- Θ P () () / o, (43) o com / o ndo rênc érmc / o conn d mo érmc. No qu como o luxo d r é umndo, conduânc érmc, o, umnrá mbém. Io rul m um rênc érmc rduzd m um conn d mo érmc m lon. Ambo o ão voráv r orção do moor. Méodo d nál rllo Amb unçõ d rnrênc nr mrur d rmdur do or oênc dd conêm o mmo olnômo m no dnomndor [vj Eq. (38) (39)]. E olnômo qudráco od r ordo m u do or rdo unção d rnrênc od r cr num xnão m rção rcl d un orm: Θ P () o R R () C( τ )( τ ) τ τ, (44) ond C é conn o o oo. Am, r um dd dção d oênc, mrur d rmdur od r clculd como om d do comonn d mrur corrondn o rmo do ldo dro d Eq. (44). E orm d unção d rnrênc od conduzr cálculo mlcdo, uondo conhcdo R, R, τ τ. od r comudo. No co ond um conn d mo dr d our m lo mno um ordm d vlor, o cálculo odm r mlcdo roxmndo um rmo como um conn m comrção com o ouro. Um modlo rllo mlr od r crdo r unção d rnrênc d mrur do or. 3

14 Sumáro Ambo o moor C.C., ímã-rmnn com nrolmno d cmo com corrn d cmo conn, êm unçõ d rnrênc mlr nr vlocdd não lcd à rmdur, nr vlocdd mudnç do orqu d cr. Cd unção d rnrênc é mord com ndo d und ordm ndo o mmo dnomndor, mbor o numrdor não jm mlr. S, nrno, nduânc d rmdur é drzívl, mb unçõ d rnrênc rduzm- xrõ d rmr ordm qu drm nr n or um conn. A rd d nr m qun máqun C.C. ão lvd ndo comun cênc d oênc d ordm d 50%. Tod nr rdd é rnormd m clor od cur qucmno xcvo rculrmn n rmdur. A unçõ d rnrênc nr mrur do or ou d rmdur oênc dd n rmdur êm o dnomndor d und ordm, mbor ob cr crcunânc, or xmlo, lvd rrrção r orçdo, xrõ odm r mlcd r xrõ d rmr ordm. A crcríc d rnrênc drvd n ol ão od drmníc, lnr, nvrn no mo, rqurm o conhcmno do râmro d máqun. A écnc r mdr râmro ão dcr n R. [4], cíulo 9. Rrênc. DC Moor, Sd Conrol, Srvo Sym, 3rd d., Ennrn Hndbook, Elcro- Cr Cororon, A. E. FzrId, C. nly nd A. uko, Elcrc Mchnry, 3rd d., McrwHll Book Comny, Nw York, W. Mch, Elcromnc nd Elcromchncl Mchn, Inx Educonl Publhr, Coll Dvon o Inx, Sn Frncco, Clom, B. C. uo nd J. Tl (d.) DC Moor nd Conrol Sym, SR Publhn Co., Chmn, Illno,