Laplace para Problemas Setorialmente Homogêneos

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Maria Luiza Pais
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1 Trbho prdo o XXXVII CNMAC, S.J. do Cmpo - SP, 20 Prodg Sr of h Brz Soy of Compuo d Appd Mhm Té d Prção do Domío Apd Equção d Lp pr Probm Sorm Homogêo Cro Frdrh Loffr Progrm d Pó Grdução m Eghr M, PPGEM/UFES, Vór, ES João Puo Brbo 2 Iuo Fdr do Epro So, IFES, São Mu, ES Progrm d Pó Grdução m Eghr M, PPGEM/UFES, Vór, ES Hru d Mo Bro Progrm d Pó Grdução m Eghr M, PPGEM/UFES, Vór, ES Rumo. O Méodo do Emo d Cooro (MEC) m rohdo dmpho pçõ m qu o mpo d vráv é r, homogêo oáro. No o, há um gm d probm ê x ghr m qu o MEC ão p om fdd; r, ão o probm orm ão homogêo. Pr, formuçõ d domío, omo o Méodo d Emo Fo (MEF), Méodo d Voum Fo (MVF) ou Méodo d Dfrç F (MDF), prm vg odráv. E rbho pr um prodmo uméro mp fz do MEC pr modr domío om proprdd orm hrogê. Pr dmorr oê d é, ão f muçõ umér m probm d Lp om oformção gomér rrgur, do omo rfrê o rudo do MEF. Pvr-hv. Méodo do Emo d Cooro, Homogdd Sor, Equção d Lp. Irodução A oução d probm orm homogêo govrdo p Equção d Lp é f prfrm rvé d méodo uméro qu drzm o domío, po m d ubdomío roduz fm o vor d proprdd ouv orrpod. No MEC, rção pr rv dfudd ú bordgm f pr ução é é d ub-rgõ []. E rbho pr um rv pr rr gor d probm om rv mpdd. N é, o domío ompo é prodo m um domío homogêo rud o qu omm ubdomío ro om homogdd or. A rg d d ubdomío ou or é ompud o m omo um odo por uprpoção, mhm o qu fz om um fo ou ção d domío m rooffr@bo.om.br 2 jpbrbo@f.du.br gru@gm.om DOI: 40/ SBMAC

2 2 probm d Poo [4]. Todo o or ão gdo mmm por mo d of d fuê, qu ão grdo por grçõ rzd o ooro do ubdomío, om o poo fo ozdo m d poo od grdo p drzção. Aproxmção do MEC pr Equção d Lp A qução gr MEC vr pr probm d Lp é bm ohd [], do: [ ] K q(x)u (ξ; X)d u(x)q (ξ; X)d + u(x)u, (ξ; X)d = 0 () N qução (), u(x) é o po r q(x) u drvd orm, rprom, fuçõ uxr ão u (ξ; X) q (ξ; X) obd p fução d d Dr, uzdo proprdd d fução qução gr d ooro é qução (2). [ ] K q(x)u (ξ; X)d u(x)q (ξ; X)d + (ξ)u(ξ) = 0 (2) O of (ξ) dpd d poção do poo ξ m rção o domío fío (X) + (X). S ozdo o ooro (X), (ξ) mbém dpd d uvdd d [2]. Apdo o prodmo mmáo ípo do MEC, qu um um vrrdur obr grçõ d ooro om dfr poo od ozdo o ooro mbém o proo d drzção, mrz H G ão grd, form: K [H] { u } = K [G] { q } () 2 Té d Prção do Domío Codr um domío ouído por du rgõ om dfr proprdd fí, oform Fgur, od o domío ompo é ompoo p om do domío, do K K proprdd fí o. Fgur : Domío ompo or om proprdd homogé. Codr- qu o úo d gr é ompoo por fuçõ gráv dro d d ubdomío proprdd ão o. Supodo-, qu K = K + K : K(X)u(X), u (ξ; X)d(X) = K u(x), u (ξ; X)d(X) + K u (X), u (ξ; X)d (X) = 0 (4) DOI: 40/ SBMAC

3 Agor, proprdd K omprd odo o domío. Rrvdo qução (4) K u(x), u (ξ; X)d(X) = ( K K ) u (X), u (ξ; X)d (X) = 0 () No MEC, qução gr á rod om o quíbro d rg o m, o o, r rg dfuv o rbho do fuxo. No méodo propoo é ár p vção d qudd d rg dfuv pr o ubdomío, omo é fo pção do rbho dvdo um fo ou ção xr. Rrvdo- o do dro d qução () form gr d ooro, odrdo o poo od ozdo o domío (X) por mpdd: ( K K ) u (X), u (ξ; X)d (X) = [ ] ( K K ) q (X)u (ξ; X)d (X) u (X)q (ξ; X)d (X) (ξ)u (ξ) O vor d (ξ) qução (6) é dpd d form omo o or ro ( ) m rção o domío () [, 2]. Vê- qu prmr gr d ooro o do dro d qução (6) rpr o rbho d fuxo q (X), quo qu our rpr rg dfuv qu é xpr omo um fução do po d u (X). Codr- ão p um d form d rg, o qu é muo m fá d fzr odrdo rg dfuv, qu é dd m fução do po o poo ro u (X). Logo: u(x)q (ξ; X)d(X) q(x)u (ξ; X)d(X) + (ξ)u(ξ) = ( K K ) K u (X)q (ξ; X)d (X) () R- qu o rbho do fuxo o domío r ão é uo; ro, b ompur rg dfuv o d prção o bço d rg []. Todo o do qurdo d qução () é fdo p rg dfuv m roduzd. 2. Drzção Apo Mr Im, odrdo qu o (X) (X) ão h rção, o poo fo ξ ão ozdo xuvm o (X) grçõ ão rzd m (X). O poo ro gor dvm r ddo omo ó d ooro d prção omo mordo Fgur 2, o qu o po m vor dohdo u qu ão dd o m d mr do MEC oform qução (8). [H] { u } + [ H ] { u } = [G] { q } (8) (6) O po ro dvm r xpdo, d modo qu mrz H f: [ ] { } [ ] { } H H u G 0 = q H H u G 0 q (9) DOI: 40/ SBMAC

4 4 Fgur 2: Cooro (X): ) Não od om o (X); b) Cod om o (X). A oordd do poo fo ro u dfm o ooro (X) u q ão vor d grdz o poo od o ooro (X). A ubmrz H rpr of grdo por grção o ooro ro (X) om o poo m (X). Smução Numér Probm om gomr rrgur form ohdo pr omprção r o MEF é d prção do domío do MEC. A mdd d dfrç rv r o méodo é dd por: o móduo do vor máxmo obdo om o MEF ompõ o domdor; o móduo d dfrç r o vor do MEF o do MEC omprd o umrdor. A dfrç rv méd é om d dfrç dvdd po úmro d poo o ooro. To o MEC quo o MEF o mo êm rpoção r.. Exmpo Codr- um gomr rpzod om um íruo o u ror d proprdd d, oform mor Fgur, qu mbém pr odçõ d ooro. Pr d méodo form ud rê mh ujo ddo ão mordo Tb Fgur : Crrí gomér odçõ d ooro pr o xmpo N Fgur 4 m- rpvm o rudo do po drvd obdo om o MEF MEC, omo ddo o do dro d Fgur p r A B. Codrdo mh m rfd d d méodo, dfrç rv md do po r o méodo é d 0,0049% d drvd do po é d 0,084%. A dfrç rv drvd do po é mor, dvdo qu d gomr do rpézo mbém p mor bdd d grdz. Vrf- qu dfrç rv do po d drvd ão muo rduzdo, mmo o MEC do um úmro d poo od proxmdm 2 vz mor do qu o MEF. DOI: 40/ SBMAC

5 Tb : Qudd d o mh do MEF MEC do xmpo o ooro ro Po Po MEF MEF MEF MEC MEC MEC Emo m y= m y= D o 9 D o 2 2 D r v d Po D r v d Po Fgur 4: Rudo do Po do MEF MEC (xmpo ) D o D o Fgur : Rudo d Drvd Po do MEF MEC (xmpo )..2 Exmpo 2 A gud mu o mor um gomr om v r qu, m d um r guo b om proprdd dfr poo od od d pr o om o ooro xro. Tmb m form uzd mh, oform Tb 2, gomr om od o d ooro uzd o dd Fgur 6. DOI: 40/ SBMAC

6 6 Fgur 6: Crrí gomér odçõ d ooro pr o xmpo 2. N Fgur 8 form do, rpvm, o rudo do po drvd do po po MEF MEC. A drvd form ud r d p r B o po p r A, oform mor Fgur 6. Tb 2: Qudd d ó mh do MEF MEC do xmpo 2. Emo o ooro ro m y= m y=0 MEF MEF MEF MEC MEC MEC DrvdPo Do DrvdPo Do Fgur : Rudo do Po do MEF MEC m um pr do ooro (xmpo 2). Pr mh m r dfrç rv méd do po fo d 0,006% pr drvd do po fo d 0,48%. P mm rzõ pod o xmpo ror, dfrç rv méd d drvd do po é mor. A dfrç r o méodo form muo rduzd, mmo do o MEC um úmro d ó proxmdm DOI: 40/ SBMAC

7 DrvdPo DrvdPo Do -6 0 Do Fgur 8: Rudo d Drvd Po do MEF MEC (xmpo 2). 9 vz mor. 4 Couõ O rudo uméro obdo morrm um dmpho muo fvoráv d é d prção do domío, d qu podrá r ud om êxo m probm od proprdd fí do domío vrm orm. A prão d é do MEC fo quv à do MEF, mmo uzdo um úmro muo mor d poo od. Io pod r jufdo po fo d qu odo o poo od rgm r. O méodo mor mbém um vgm gfv m rmo d mpdd mpmção rd d ddo. Pr mpmr o modo propoo, é áro p grr um ovo po d mrz H, qu oém rg po rod o or ro, doá- o m áo do MEC. Rfrê [] C. A. Brbb, S. Wkr, Boudry Em Thqu Egrg, Nw- Burworh, Lodo, 98 [2] O. J. Kyh,A Iroduo o Boudry Em Mhod, CRC Pr, Bo Ro, 99. [] C. F. Loffr, A. J. C. Adrd. Compro Bw h Sub Rgo Thqu d w Approh wh Dom Suprpoo o ov Sor Ihomogou Lp Probm. I: XXXVII Ibro-L Amr Cogr o Compuo Mhod Egrg, 206, Br: Rv Irdpr d pqu m Eghr, 206. v. p. -4. [4] C. F. Loffr, W. J. Mur, Sub-rgo whou ubdom pro wh boudry m. Egrg Ay wh Boudry Em, v., p. 69-, 206. DOI: 40/ SBMAC

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