Análise de Estabilidade 113

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1 Análi d Etabilidad 6 Análi d Etabilidad 6. Etabilidad: A) Um itma é távl a ua rota ao imulo tnd ara zro à mdida qu o tmo tnd ara o infinito. B) Um itma é távl cada ntrada limitada roduz uma aída limitada. Um itma linar rá dfinido como távl, omnt, todo o ólo da função d tranfrência do itma tivrm art rai ngativa. Not qu ta dfinição é mai fort, uma vz qu la não admit ólo iml no ixo imaginário. Io rulta do fato d qu todo o comonnt da rota natural dcrcrão ntão com o tmo. 6. Grau d tabilidad: S o itma é távl, quão róximo tá d tornar intávl? Et é o concito d Etabilidad Rlativa (rtringir a oibilidad, a faixa d trabalho). 6. Sitma Marginalmnt Etávl: É aqul qu tm alguma raíz com art rai iguai a zro, ma nnhuma com art rai oitiva. 6.4 Critério d Etabilidad d Routh Hurwitz: O roblma mai imortant m itma d control linar invariant no tmo é o da tabilidad, ou ja, m qu condiçõ um itma tornará intávl? Ou ainda, l é intávl, como dvmo tabilizá-lo? Conform dito antriormnt, um itma d control é távl omnt todo o ólo d malha fchada tivrm ituado no mi-lano qurdo do lano. Como a maioria do itma linar d malha fchada R( G c ( C( Controlador Planta H( Elmnto d Mdida C( GC ( T ( R( + G ( H ( C Francico A. Lotufo

2 Análi d Etabilidad 4 arntam funçõ da tranfrência d malha fchada da forma: C( b0 T R( a + b b a m m ( m n n 0 + a n + b + a m n N( D( ond ai b j ão contant malha fchada. m n. Dv- ntão fatorar o olinômio D ( ara achar o ólo à Como xmlo, a rota ao dgrau unitário do itma távl da Figura 6.(a) é comarada com a d um itma intávl da Figura 6.(b). A rota, também motrada na Figura, vidnciam qu nquanto a ocilaçõ no itma távi diminum no intávi crcm m limit. Obrv também a rota m rgim rmannt. Figura 6.: Pólo a Malha Fchada Naturza da Rota Figura rtirada do livro: NISE, N. Control Sytm Enginring, Third Edition, John Wily & Son, 000. Francico A. Lotufo

3 Análi d Etabilidad 5 Um critério iml, conhcido como critério d tabilidad d Routh, rmit dtrminar o númro d ólo d malha fchada qu tão no mi-lano dirito do lano m tr qu fatorar o olinômio. O critério d tabilidad d Routh Hurwitz é um método ráido ara a vrificação da tabilidad aintótica d itma racionai; é na ralidad um algoritmo qu rmit uma contagm ráida do númro d raíz com art ral oitiva d uma quação olinomial, ou ja, do ólo com art ral oitiva do rctivo olinômio. O rocdimnto no critério d tabilidad é o guint: -) Ecrvr o olinômio D ( na guint forma: n n a + a + + an a Ond o coficint ão grandza rai. Admit- qu a n 0 ; ito é, qualqur raiz nula foi rmovida. -) S qualqur do coficint for zro ou ngativo na rnça d lo mno um coficint oitivo, ntão há uma raiz ou raíz qu ão imaginária ou qu têm art rai oitiva. Portanto, m um cao como t o itma não é aintoticamnt távl. É imortant notar qu a condição d qu todo o coficint jam oitivo não é uficint ara agurar a tabilidad. A condição ncária, ma não uficint, ara a tabilidad é qu o coficint d D( tjam todo rnt todo tnham inal oitivo. (S todo o a i ão ngativo, l odm r tornado oitivo multilicando- ambo o mmbro da quação or.) -) S todo o coficint ão oitivo, arranjar o coficint do olinômio m linha coluna d acordo com o guint adrão: n a 0 n + a n- + + a n- + a n 0 n a 0 a a 4 a 6 n- a a a 5 a 7 n- b b b n- c c c 0 (q. caractrítica) b a. a a. a 0 ; a b a. a a. a ; a b a. a 6 a. a a 0 7 c b. a a. b ; b c b. a a. b 5 ; b c b. a7 a. b4 b O arranjo comlto d coficint é triangular. Not qu, ao dnvolvr o arranjo, uma linha intira od r multilicada ou dividida or um númro oitivo viando imlificar o cálculo ubqünt m altrar a concluão d tabilidad. O critério d tabilidad d Routh diz qu o númro d raíz d D ( com art rai oitiva é igual ao númro d mudança d inal do coficint da rimira coluna do arranjo tabular. Dv- notar qu o valor xato do trmo da rimira coluna não rciam r Francico A. Lotufo

4 Análi d Etabilidad 6 conhcido; ana o inai ão ncário. A condição ncária uficint ara qu toda a raíz d D ( fiqum no mi-lano qurdo do lano, é qu todo o coficint d D ( jam oitivo qu todo o trmo da rimira coluna do arranjo tabular jam maior do qu zro (tnham inai oitivo. S ta condiçõ form atifita, o olinômio é dito r um olinômio d Hurwitz, cao a trcira art da condição não ja atifita, o númro d raíz no milano dirito rá igual ao númro d troca d inal do coficint na rimira coluna do arranjo acima. Exmlo: Ond: 5 4 a + b + c + d + + f 5 a c 4 b d f ( bc ad) / b ( b af ) / b 0 * f 0 f 0 bc ad b af d b b b * bc ad b b af b bc ad * f b * Exmlo: Vrificar o itma rrntado la função d tranfrência abaixo é távl: ( T Nt cao: - Ocorrm mudança d inal na a coluna; ortanto há ólo no mi-lano dirito. - Logo, há ólo no mi-lano qurdo. - Para havr ólo no ixo, dv- tr zro na a coluna. Rota: O itma é intávl, orqu a a coluna oui lmnto mnor qu zro, ou ja, tmo dua raíz no mi-lano dirito do lano (há dua troca d inal). Francico A. Lotufo

5 Análi d Etabilidad 7 Exmlo: Dtrminar o númro d raíz com art ral oitiva da guint quação: 5 4 Q ( ,6 40, O itma não é távl. A tabla oui dua troca d inal na a coluna; da linha d 4 ara a linha, da linha ara a linha. Portanto, o olinômio arnta dua raíz com art ral oitiva. O númro d troca d inai, é o númro d raíz no mi-lano dirito. Na vrdad, o olinômio Q( foi ré-fabricado ndo rultado do guint roduto: Q ( ( + )( + j )( + + j )( j4)( + j4) Ond a dua raíz qu rovocam a troca d inal ão: ± j4 Ob.: No MatLab odmo obtr a raíz a artir d: q [ ]; <ntr> root(q) <ntr> Cao Eciai: A) O rimiro trmo d uma linha (ou fila) é igual a zro o dmai não ão todo nulo: Exmlo : N ( 4 T ( D( D( Para roguirmo, dvmo fazr x m D (. S a art ral do númro comlxo x for oitiva, a art ral d também rá: D( x) 4 x + x + x + x x + x + x D( x) 4 x + 5x 4 Francico A. Lotufo

6 Análi d Etabilidad 8 4 Logo: D ( x) + x + x + x + 5x 0 4 5x + x + x + x + x 4 5 x x -/ x 5 x 0 Como D (x) oui dua raíz com art ral oitiva, o mmo ocorrrá com D (. O itma não é távl orqu contém dua raíz no mi-lano dirito do lano. Exmlo : Atravé do algoritmo d Routh, dja- dtrminar o númro d raíz com art ral oitiva do guint olinômio. 4 D ( Para t cao, é vidnt qu a mudança d variávl ( x ) não funciona, oi o coficint d D (x) D ( ão o mmo. Alica- ntão o guint rocdimnto: Para t cao: Multilica- D ( or ), ond é um ólo conhcido. ( + ) 0 ( D ( D( ( + ) A / - 5/ A tabla arntou dua troca d inal na a coluna; ortanto o olinômio dado, tm dua raíz (doi ólo com art rai oitiva, ou ja, dua raíz no mi-lano dirito do lano. Logo, não é távl. + Francico A. Lotufo

7 Análi d Etabilidad 9 B) Ocorrência d uma linha com todo o lmnto nulo: Dv- utilizar a linha antrior, àqula qu contém todo o lmnto nulo, dcrvê-la m olinômio drivá-la. E rultado imõ o novo coficint da linha qu ra nula. Exmlo: D ( /4 5/4 0/4 4 4 a ( da ( / d 4 + / -4 0 Ob.: A linha d zro é cauada la ocorrência d dua linha roorcionai antrior a la. 4 Nt cao, rtornamo ara a linha antrior à linha d zro formamo o olinômio + +, 4 qu é um fator do olinômio original D ( ; ara continuarmo, drivamo + + m rlação à ubtituímo o coficint na linha : 4 da( d( ) 4 d d A raíz ão, aroximadamnt: -,680+j0; -0,80+j0; -,0+j0; -0,676-j0,978; -0,676+j0,978; 0,676-j0,978; 0,676+j0,976 + Dua mudança d inal, dua raíz no mi-lano dirito: o itma é Intávl. Francico A. Lotufo

8 Análi d Etabilidad 0 A ocorrência d uma fila (ou linha) nula na Tabla d Routh é um cao cial muito imortant, com a guint culiaridad: a ) Uma fila nula na tabla ( arranjo ) d Routh indica a xitência d raíz imétrica com rlação à origm. Et tio d imtria od r d forma: (I) (II) (III) ar d raíz imaginária; ar d raíz rai; ar d raíz comlxa conjugada com art rai imaginária d inai ooto. a ) S o olinômio não tivr raíz nula, a fila qu anula mr rá d grau ímar. a ) A raíz imétrica ão zro (ou ólo do olinômio formado com o coficint da fila antrior a qu anula. Exmlo: Conidr o olinômio avali a tabilidad d Q( ara qual o arranjo d Routh é dado a guir: 5 4 Q ( ,4 5,6 6,4 5,6 0 6 a ( da ( / d 6 Não há troca d inal na a coluna, ma io não ignifica qu o itma ja aintoticamnt ESTÁVEL, oi uamo um artifício ( liminação do zro ) no arranjo d Routh. Na vrdad, o itma od r marginalmnt távl, cao u oívl maa d ólo ( raíz ), ja o númro I motrado acima, com dua raíz imétrica imaginária. O itma é Marginalmnt Etávl. Não há nnhuma mudança d inal na a coluna; ortanto toda a raíz têm art ral ngativa, EXCETO ara um ar d raíz imaginária ura no ixo imaginário, ond ta raíz ão obtida d: a ( + 0 ou: ± j Aim, a raíz d Q( ão: -, ± j, -, -. Francico A. Lotufo

9 Análi d Etabilidad Exrcício: Atravé do algoritmo d Routh, dtrmin o númro d raíz no mi-lano dirito do lano da guint quação: Rota: Não xit. Dica: Vão ficar raíz obr o ixo imaginário jw, o qu não é art ral oitiva. O método d Routh é também útil na dtrminação do RANGE d arâmtro ara o qual um itma ralimntado mantém- távl. Conidr o itma motrado na figura abaixo. A roridad d tabilidad do itma outra caractrítica d dmnho do itma ão uma função do ganho d ralimntação. A quação caractrítica do itma é dada or: Ou ainda: ( )( + 6) ( + ) + 0 ( )( + 6) ( ( + 6) ( 6) + 0 Condiçõ Ncária: 6 > 0 > 6 > 0 O arranjo d Routh corrondnt é: (-6) 5 5( 6) 5 0 [5( 6) ]/5 > > 0 > 7,5 4 > 0 O itma é távl m malha fchada omnt > 7, 5. Imortant: Toda fila qu tiv nvolvndo um trmo m originaria uma condição d rtrição, ndo qu toda dvm r dcrita a condição majoritária (no xmlo > 7,5 naltcida ara forncr a tabilidad do itma). Francico A. Lotufo

10 Análi d Etabilidad Exrcício: Dado o itma abaixo, dtrminar a faixa d valor d ara qual o itma é távl. Y ( R( ( + k) ( + )( + ) ( + k) + ( + )( + ) ( + k) ( + )( + ) + ( + k) ( + k) (9-) / > 0 < 9 > 0 O itma é távl m malha fchada omnt 0 < < 9. Ob.: ara 9, tmo: a ( ± j ou ja, itma marginalmnt távl, ortanto o itma não é aintoticamnt távl ara Erro Etacionário: O dmnho d muito itma d control od r cificado não ana com ba na ua rota tranitória, ma também lo rro tacionário m rlação a crto inai d rfrência, tai como dgrau, rama arábola. A t rito, um concito batant útil m toria d control é o d tio d itma, qu tá aociado a uma mdida qualitativa da xatidão com qu o itma é caaz d acomanhar, m rgim tacionário, a ntrada dcrita acima (inai d rfrência). Conidrmo o itma m malha fchada com ralimntação unitária rrntado or: Sja crita or: ( τ + )( τ + ) ( τ m + ) N ( T + )( T + ) ( T + ) Francico A. Lotufo

11 Análi d Etabilidad N ond o ólo na origm m malha abrta foram xlicitado atravé do trmo. O valor d N dfin o tio d itma. Uualmnt, fala- m itma tio Zro, Um ou Doi, rctivamnt, ara N 0, ou. À mdida qu crc o tio do itma, aumnta ua caacidad d guir ntrada, no ntido: Dgrau Rama Parábola Em comnação, itma d tio mai alto rqurm comnador mai comlxo ara ua tabilização. E( R( C( Ma: C ( E( Logo, E( R( E( E( [ + ] R( E( R( + Para o itma rrntado lo diagrama d bloco, obtém- a função d tranfrência qu rlaciona E( à R(: Admitimo qu o itma m malha fchada ja távl, o torma do valor final diz qu: lim ( t) lim E ( lim R ( t G ( O coficint d rro tacionário dfinido a guir ão figura d mérito do itma d control no ntido d qu, quanto maior coficint, tanto mnor o rro tacionário. E( R( + Entrada Dgrau Unitário: Quando R( lim 0 + G ( Dfini- coficint d rro d oição tacionário como: lim G ( 0 D manira qu: + a) Sitma d Tio Zro: ( τ + )( τ + ) ( τ m + ) lim 0 ( T + )( T + ) ( T + ) Francico A. Lotufo

12 Análi d Etabilidad 4, ortanto : + no itma Tio 0, c(t) não congu atingir o dgrau. b) Sitma d Tio Um: ( τ + )( τ + ) ( τ + ) m lim 0 ( T + )( T + ) ( T + ) 0 + c) Sitma d Tio Doi ou Maior: Da mma forma: 0 Entrada Rama Unitária: Nt cao: R ( E, conquntmnt, lim lim [ + ] 0. 0 ) Dfin- coficint d rro d vlocidad tacionário v como: v lim[. ] 0 Aim, o rro tacionário ara a ntrada rama unitária é dado or: v Francico A. Lotufo

13 Análi d Etabilidad 5 a) Sitma do Tio Zro: v ( τ + )( τ + ) ( τ + ) m lim 0 0 ( T + )( T + ) ( T + ) ortanto: 0 v b) Sitma do Tio Um: d ond rulta qu : ( τ + )( τ + ) ( τ m + ) lim 0 ( T + )( T + ) ( T + ) v c) Sitma do Tio Doi ou Maior: E da forma: v ( τ + )( τ + ) ( τ m + ) lim 0 ( T + )( T + ) ( T + ) ; 0 v Entrada Parábola Unitária: Para uma ntrada do tio: t r ( t) Francico A. Lotufo

14 Análi d Etabilidad 6 Tmo qu: R (. Nt cao, vm qu: lim lim 0 [ + ] 0 a a lim[ ] 0 RESUMO Tio d Entrada Tio d Sitma r ( t) ; R( / r ( t) t; R( / r ( t) t / ; R( / Zro /( + ) Um 0 / Doi 0 0 / Rota tmoral Exmlo: Um rvomcanimo utilizando um motor DC controlado la armadura od r rrntado lo diagrama d bloco abaixo. Nt cao, tmo: OBS: A artir da lanta do itma G (, contatamo qu t itma é d tio. Rcrvndo a função d tranfrência na forma d contant d tmo, forma ta qu é ncial ara a caractrização do itma, obtmo: E, ortanto: Sndo aim: G ( k / G ( ( + ) / k + k + ganhodc k - ara ntrada dgrau unitário: lim 0 0 k - ara ntrada rama unitária: v lim 0 - ara ntrada arábola unitária: G a lim ( ) 0 0 Francico A. Lotufo

15 Análi d Etabilidad 7 Comaração ntr o rro tacionário d itma à malha abrta itma à malha fchada: Rcordação Sjam o itma d control à malha abrta à malha fchada motrado na figura abaixo: c C( R( ou τ + C( R( τ + No itma à malha abrta, o ganho c é calibrado d modo a tr tranfrência do itma d control à malha abrta é: G0. τ + No itma d control à malha fchada, o ganho >>. c. Aim, a função d do controlador é ajutado d modo qu Admitindo- uma xcitação m dgrau unitário, vamo comarar o rro tacionário nt doi itma. Para o itma d control à malha abrta, o inal d rro é: ( t) r( t) c( t) ou E( R( C( E( R( E( [ Como C E( [ G C G G, tm qu : O C O O ( ] R( ( R( ( ] R( O rro tacionário a uma xcitação m dgrau unitário é: ( t) lim E( 0 ( t) lim [ G 0 O ( ] ( t) [ G O (0)] S G (0 0 ), o ganho tático do itma d control à malha abrta, for igual à unidad, ntão o rro m rgim rmannt rá nulo. Contudo, dvido à mudança no ambint ao nvlhcimnto do comonnt, o ganho tático G (0 0 ) afatará do valor unitário à mdida qu o tmo aa, o rro tacionário dixará d r nulo. Et rro rmancrá no itma à malha abrta até qu faça uma nova calibração do itma. Francico A. Lotufo

16 Análi d Etabilidad 8 Para o itma d control à malha fchada, o inal d rro é: E( R( C( P ond τ + E(. R( + O rro tacionário a uma xcitação dgrau unitário é: ( t) lim E( ( t) lim ( t) ( t) ) + Num itma d control à malha fchada, o ganho é ajutávl ara tr um valor grand m comaração com /. Aim, o rro tacionário od r fito muito quno, mbora não xatamnt igual à zro. Obrvação: Admita- a guint variação da função d tranfrência d um roco a controlar, uondo- c contant. P T ( τ + + τ + Por imlicidad, jam o guint valor: 0,, / 0,. Então, o rro tacionário na rota ao dgrau unitário torna, ara o itma d control à malha abrta: ( t) ( + ), 0, Erro ngativo: a aída tá um ouco acima da rfrência. Para o itma d control à malha fchada, for ajutado no valor rro d rgim tacionário da rota ao dgrau unitário torna: 00, ntão o 0, ) 00 + ( + ) + 0 Aim, o itma d control à malha fchada é urior ao itma d control à malha abrta, m rnça d mudança no ambint, nvlhcimnto do comonnt fito imilar qu aftam o dmnho m rgim rmannt. Exmlo : Sja o itma motrado na figura abaixo, motrar qu o valor d rgim rmannt do rro d acomanhamnto d um inal m rama unitária é B/. Et rro od r fito quno colhndo- B quno /ou grand. Contudo, rduzir o valor d B /ou aumntar o valor d tm como fito a rdução no coficint d amortcimnto, o qu normalmnt não é djávl. Dcrvr um método ou método ara rduzir a rlação B/ mantr um valor razoávl ara o coficint d amortcimnto: (0,5 < ζ < 0,7). Francico A. Lotufo

17 Análi d Etabilidad 9 J + B E( R( C( E( R( J + B + J + B B ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) 0 0 ζ t E t t J + B + ω B ond : ζ, ωn J J Para agurar qu uma rota tranitória um rro d rgim rmannt acitávi há uma xcitação m rama unitária, ζ não rcia r muito quno, nm ω n muito grand. É oívl tr o valor do rro tacionário bm quno fazndo- o valor d r grand. Um valor lvado ara, contudo, roduziria um valor quno ara ζ aumntaria o valor máximo d ultraaagm; o qu é indjávl. Torna- ncário, ortanto, tablcr um comromio ntr a magnitud do rro tacionário do valor máximo d ultraaagm a uma xcitação m rama. Para o itma dcrito, od não r muito fácil obtr uma olução d comromio; é ntão djávl qu conidrm outro tio d ação d control qu oam mlhorar, ao mmo tmo, a rota tranitória o comortamnto m rgim rmannt. Um dl conit m uar um controlador PID (Proorcional + Intgral + Drivativo), o outro diz rito ao uo d rtroação tacométrica (ou d vlocidad). n Exrcício : Um braço d motor uma câmara odriam r uado ara colhr fruta. A câmara é uada ara fchar a malha d rtroação com um microcomutador qu controla o braço. O roco é: G ( ( + ) a-) Calcul o rro d tado tacionário rado da garra ara um comando m dgrau d amlitud A, como uma função d. b-) Indicar um oívl inal d rturbação ara t itma: Figura rtirada do livro: Dorf, R.C.; Biho, R.H. Modrn Control Sytm, Addion Wly, Maachutt, 7 th Edition, 995 Francico A. Lotufo

18 Análi d Etabilidad 0 Solução: a-) E( R( Y ( A E( R( + + ( ) + A A 9A ( t) lim E( lim ( t) ( + ) 9 b-) Um oívl inal d rturbação ria o vnto, oi dá o fito d uma carga xtra. Exrcício : Um acionador d dico magnético rqur um motor ara oicionar uma cabça d litura/gravação ob trilha d dado na urfíci d um dico m rotação. O motor a cabça ão rrntado or: 0, ( τ + ) ond τ 0,00. O controlador ga a difrnça ntr a oiçõ atual a djada gra um rro. Et rro é multilicado or um amlificador d ganho. a-) Qual é o rro d oição tacionário ara uma mudança m dgrau na oição djada (ntrada djada)? b-) Calcul o valor rqurido ara afim d conduzir ao rro tacionário d 0, mm ara uma ntrada m rama d 0 cm. Figura rtirada do livro: Dorf, R.C.; Biho, R.H. Modrn Control Sytm, Addion Wly, Maachutt, 7 th dition, 995. Francico A. Lotufo