864 Cerqueira et al. Quim. Nova Quim. Nova, Vol. 24, No. 6, , 2001.

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1 864 Cerquera e a. Qum. Nova Qum. Nova, Vo. 4, No. 6, , 00. Dvugação REDES NEURAIS E SUAS APLICAÇÕES EM CALIBRAÇÃO MULTIVARIADA Eduardo O. de Cerquera, João C. de Andrade e Rone J. Po * Dearameno de Químca Anaíca, Insuo de Químca, UNICAMP, CP 654, Camnas - SP Cesar Meo Facudade de Farmáca, Unversdade de Franca, CP 8, Franca - SP Recebdo em 8/8/00; aceo em 3/3/0 NEURAL NETWORKS AND ITS APPLICATIONS IN MULTIVARIATE CALIBRATION. Neura Neworks are a se of mahemaca mehods and comuer rograms desgned o smuae he nformaon rocess and he knowedge acquson of he human bran. In as years s acaon n chemsry s ncreasng sgnfcany, due he seca characerscs for mode comex sysems. The basc rnces of wo yes of neura neworks, he mu-ayer ercerons and rada bass funcons, are nroduced, as we as, a runng aroach o archecure omzaon. Two anayca acaons based on near nfrared secroscoy are resened, he frs one for deermnaon of nrogen conen n whea eaves usng mu-ayer ercerons neworks and second one for deermnaon of BRIX n sugar cane uces usng rada bass funcons neworks. Keywords: neura neworks; backroagaon; rada bass funcons; muvarae cabraon. INTRODUÇÃO Auamene, em-se observado um grande aumeno na dsonbdade de nformação em nosso codano. A nformação crcua enre nós a uma veocdade que sera nconcebíve aé aguns anos arás e ende aumenar anda mas. Hoe em da o voume de nformação dobra a cada quaro anos e num fuuro róxmo assará a dobrar a cada dos anos. Assm, reamene vvemos no que se ode chamar de socedade da nformação. Grande are dese aumeno no voume de nformações se deve ao aarecmeno e uso dssemnados de mcrocomuadores equados com sofwares, como Wndows TM, que ornam o seu uso exremamene smes, aé mesmo ara cranças em fase de afabezação. Uma das avdades humanas que mas se benefcou com o uso de comuadores fo a róra cênca, em arcuar a químca anaíca. Aé agumas décadas arás o rnca robema enfrenado no desenvovmeno de um méodo anaíco era como se ober os dados. Gasava-se muo emo, dnhero e esforço ara se ober um equeno conuno de dados. Graças a comuadorzação dos nsrumenos o rnca robema não é mas como ober os dados, mas como raá-os de modo efcene. Tcamene as nsrumenos fornecem um grande conuno de dados e ara que as dados seam converdos em nformação ú deve-se usar méodos maemácos e esaíscos modernos e efcenes. Denre as méodos desaca-se os méodos neares e não neares de cabração muvarada e mas recenemene as redes neuras. Para uma mehor comreensão da ágebra envovda nos modeos de raameno de dados, fo uzada a segune noação: n Veores - eras mnúscuas em negro (ex: x); n Marzes - eras maúscuas em negro (ex: X); n Escaares - eras mnúscuas sem negro (ex: ); n Marzes dagonas - eras maúscuas sem negro (ex: S). Redes Neuras Recenes avanços em neurofsooga êm desvendado város mecansmos sobre o fuxo e o rocessameno de nformações * e-ma: rone@qm.uncam.br que ocorrem no cérebro humano. Aguns deses mecansmos foram modeados maemacamene ermndo a eaboração de agormos comuaconas que smuam, anda que de modo smfcado, a mas básca das esruuras cerebras: o neurôno. A caacdade de memenar comuaconamene versões smfcadas de neurônos boógcos deu orgem a uma subesecadade da negênca arfca, conhecda como redes neuras. Exsem váras defnções ara redes neuras, orano adoaremos aquea que nos arece mas gera e acáve a quaquer área da cênca. Redes neuras é o nome dado a um conuno de méodos maemácos e agormos comuaconas esecamene roeados ara smuar o rocessameno de nformações e aqusção de conhecmeno do cérebro humano. Oeraconamene odemos consderar uma rede neura como uma caxa de rocessameno que ode ser renada ara que, a arr de um conuno de dados de enrada (nus), ossa gerar uma ou mas saídas (ouus), conforme reresenado na Fgura. Enradas Processameno Saídas Fgura. Reresenação oeracona de uma rede neura. Por exemo, ode-se renar uma rede neura ara que a arr do esecro de RMN-H (nu) de um comoso orgânco ea aresene como saída (ouu) a esruura moecuar do mesmo, ou anda os nus odem ser dados cíncos de um acene e os ouus o dagnósco e o de evoução. Enfm, as acações são exremamene varadas e esão resenes em quase odas as áreas do conhecmeno humano.

2 Vo. 4, No. 6 Redes Neuras e suas Acações em Cabração Muvarada 865 Nese ono do exo, á emos uma vsão gera sobre redes neuras e, orano, esamos aos a arofundar nossos conhecmenos sobre o assuno. Como veremos, esa é uma arefa fác vso que as redes neuras são eaboradas a arr de cnco conceos báscos, exremamene smes. Eses eemenos são: Neurônos arfcas Snases e esos ƒ Funções de ransferênca Arqueura de redes neuras Trenameno de redes neuras. Neurônos arfcas Neurônos arfcas -3 são as undades báscas de rocessameno da nformação, roeadas ara smuar o comorameno de neurônos boógcos. Smfcadamene, um neurôno boógco ode ser descro como um coro ceuar conendo dos conunos de ramfcações: dendros e axôno (Fgura A). Anaogamene aos neurônos boógcos, os neurônos arfcas ossuem um coro de rocessameno de nformação com duas ramfcações: enradas (dendros) e saída (axôno), conforme reresenado na Fgura B. Neurônos ossuem um grande número de dendros e orano, odem esabeecer váras snases com ouros neurônos da rede neura, smuaneamene (Fgura 4). Assm, o cácuo do ne deve ser generazado ara n enradas (nus). Chamando os snas de enrada de x e os esos de w, o vaor do ne será dado or: n Ne = w x = E n ra d a (n u ) P o n d e r a ç ã o s a í d a ( o u u ) Fgura 3. Reresenação da snase arfca. () dendros x x x n axôno coro ceuar Ne (a) Enradas saída Fgura 4. Reresenação generazada da snase. Aé o momeno vmos como cacuar o sna que enra em um neurôno, mas qua será o sna de saída de um neurôno? Saída (b) Fgura. (A) Neurôno boógco ; (B) Neurôno arfca. Snases e esos: A ransmssão de snas eos neurônos Sem enrar na físco-químca do rocesso, a ransmssão de snas enre neurônos 4,5 ode ser enendda do segune modo: O sna enra no neurôno aravés dos dendros, assa eo coro ceuar e em seguda é ransmdo ara ouros neurônos, da rede neura, aravés do axôno. A assagem do sna de um neurôno ara os dendros de um ouro neurôno é chamada de snase. Snases reresenam barreras que moduam o sna que é rocado aravés deas e a quandade de sna rocado em uma snase deende de um arâmero chamado de nensdade da snase. Em um neurôno arfca a nensdade da snase é smuada or um faor de onderação chamado eso da snase ou smesmene eso, conforme usrado a Fgura 3. O sna oa que enra no coro de rocessameno de um neurôno arfca é cosumeramene chamado Ne, cuo vaor é cacuado aravés da smes mucação do sna que chega ao neurôno eo eso da snase em quesão Ne = Sna de enrada (nu) x Peso. Funções de ransferênca Como á oderíamos magnar, a saída de um neurôno (ouu) será obda em função do sna de enrada (nu), so é, a saída será função do ne saída = f (ne) () A função f (ne) deve ossur as roredades: A função de ransferênca,6 não deve ser negava, os ou o neurôno roca sna com ouro neurôno ou não roca, não há como rocar sna negavo. A função de ransferênca deve ser conínua, os um neurôno não ode rocar sna com ouro neurôno, ndefndamene. Denre as váras funções que reenchem os ré-requsos anerores, somene rês são roneramene usadas, as quas seam: ) Função sgmoda ou ogísca Com cereza esa é a função de ransferênca mas uzada em redes neuras. Esa função (Fgura 5) ambém é a que mas se aroxma da saída de um neurôno boógco. Maemacamene, escrevemos a função sgmoda como segue: saída = f ( ne) = ( ne ) (3) + e

3 866 Cerquera e a. Qum. Nova esecros de refecânca dfusa na regão do nfravermeho róxmo (NIRR) de fohas de rgo. A saída (ouu) fo a concenração de nrogêno nesas fohas. Fgura 5. Função sgmoda. ) Função degrau de Heavsde Como odemos observar na Fgura 6, a função de heavsde é muo smes e só ode assumr os vaores 0 ou. se ne > ou = f(ne) = 0 se ne vaor me vaor me (arbráro) Fgura 7. Reresenação de uma rede neura uzada ara deermnação do eor de nrogêno em fohas de rgo, aravés de esecroscoa de refecânca dfusa no nfravermeho róxmo (NIRR). Vae ressaar que o número de camadas nermedáras e número de neurônos nesas, é um arâmero ausáve conforme veremos adane. Cácuo do vaor do Ne em uma rede neura Fgura 6. Função degrau de Heavsde. 3) Função Lnear Esa função, nauramene, dsensa comenáros. A saída do neurôno será dada ôr: + saída = a(ne) + b a,b R (4) Arqueura de redes neuras Uma rede neura arfca ossu semre uma camada de enrada e uma camada de saída. Enre a camada de enrada e a de saída, exse um número varáve de camadas nermedáras. A esa dsosção das camadas e número de neurônos or camada, dá-se o nome de arqueura da rede neura. Na Fgura 7 odemos observar a arqueura de uma rede neura que fo uzada ara a deermnação de nrogêno em fohas de rgo a arr de esecroscoa de refecânca dfusa no nfravermeho róxmo (NIRR). Esa rede neura ossu a segune arqueura: camada de enrada com 77 neurônos, uma camada nermedára com 5 neurônos e uma camada de saída com neurôno. As funções de ransferênca uzadas esão ndcadas na róra Fgura 7. As enradas (nus) foram as nensdades, so é, vaores de (-og(r/ro)) dos em dferenes comrmenos de onda, em Demonsramos como cacuar o Ne e a saída (ouu) ara um neurôno. Veamos agora como generazar o cácuo do Ne ara uma rede neura. É fác magnar que em uma rede neura com váras camadas, a saída de uma camada será a enrada da camada segune. Porano, ara cacuar a saída fna de uma rede neura basa cacuar sequencamene as enradas e saídas or oda a rede neura. Ese cácuo que conceuamene é muo smes, ode se ornar edoso e comexo se a rede ossur váras camadas e muos neurônos nesas camadas. Uma manera mas smes e comuaconamene mas efcene de se fazer so, é escrever a rede neura de modo marca. Assm, uma camada com n neurônos, cada um com m esos, é reresenada or uma marz W com n nhas e m counas (W n,m ). Para uma rede neura com váras camadas, cada uma das camadas será reresenada or uma marz W (em que ndca a camada). Essa marz W é cacuada na eaa de renameno da rede neura mosrada a segur. Para a rede neura reresenada na Fgura 7, emos 5 3 W W e : 77 77, W 5 Camada de enrada: Camada nermedára:

4 Vo. 4, No. 6 Redes Neuras e suas Acações em Cabração Muvarada 867 ƒ Camada de saída: 3 5,,, 3, 4 w, W = [ w w w w 5 ] As enradas, so é, vaores de (-og(r/ro)) dos em dferenes comrmenos de onda, no esecro de refecânca dfusa no nfravermeho róxmo odem ser escras veoramene do segune modo: x = [ x x x3 x4 x5 L x77 O cácuo do ne ara cada um dos neurônos, da camada de enrada, or exemo, ode ser escro como: ] os esos, dado que não há ouros arâmeros. Exsem aguns méodos ara se fazer a correção, enreano somene dos são usados com freqüênca: a reroroagação de erros 8 e o méodo de Marquard-Levenberg 9. No méodo da reroroagação de erros, o rocesso de correção dos esos é ncado na úma camada e rossegue em dreção à rmera camada, daí o nome reroroagação. Ese rocesso ode ser vsuazado na Fgura 8. Sem enrar em deduções maemácas, a equação ara a correção dos esos ode ser escra como: W revo = η. δ ou + µ W (8) Enrada W Corrgdo W O cácuo do Ne ode ser generazado, ara quaquer camada, aravés da segune equação: Ne m = W x = Uma vez que oda enrada de uma camada ode ser reaconada com a saída da camada aneror, odemos rescrever a Equação 5 como segue: m = Ne = W ou Conhecdos o Ne e as funções de ransferênca ode-se roagar o sna ea rede, desde a enrada (nu) aé a saída (ouu). (5) (6) W W3 Saída (y) Vaor Rea (y) W Corrgdo W3 Corrgdo Correção Erro Trenameno de redes neuras Para que uma rede neura execue arefas como reconhecmeno de adrões ou modeagem de dados (cabração), devemos rená-a. Veamos como se faz so. Os esos w são escohdos ncamene de modo aeaóro, a fm de se er uma rede nca a ser renada, ou sea, omzada ara as enradas e saídas da eaa de renameno. Na eaa de renameno 7 váras enradas são aresenadas e roagadas ea rede neura. Para a rede neura uzada ara deermnação de nrogêno em fohas de rgo, aresenada na Fgura 7, os nus foram nensdades das em dferenes comrmenos de onda, ara város esecros de refecânca dfusa na regão do nfravermeho róxmo (NIRR). Uma vez roagados os nus aravés da rede neura, odemos cacuar a saída, so é, o vaor revso da concenração de nrogêno nesas fohas, ara o exemo reresenado na Fgura 7. Obdos os vaores revsos ea rede neura, odemos cacuar um erro de revsão (E), o qua ode ser defndo, em rncío, como o somaóro do quadrado da dferença enre o vaor revso ea rede (saída) e o vaor rea (arge), como segue: n E = ( y k yˆ k ) (7) k = em que é o vaor rea (arge) e ŷ o vaor revso (ouu) ea rede neura. Conhecdo o erro de revsão, quas arâmeros da rede neura devemos corrgr ara mnmzá-o? A resosa ara esa erguna é muo smes, os uma vez fxada a arqueura da rede neura, os úncos arâmeros assíves de correções são Fgura 8. Reresenação da reroroagação ara uma rede com uma camada de enrada (W), uma nermedára (W) e uma camada de saída (W3) De acordo com a equação aneror, a correção dos esos é comosa ea soma de dos ermos que auam conunamene ara mnmzar o erro de revsão. Veamos o que cada um reresena: Prmero ermo: ηδ ou O faor de correção δ é obdo uzando-se o méodo do gradene descendene, cua essênca é que o erro (E) deve aresenar um mínmo em função do arâmero que o causa, ou mehor, δ fornecerá os esos que mnmzam o erro (E). O arâmero η chamado de veocdade de renameno é nroduzdo ara onderar as correções, de modo a evar grandes correções rncamene no fna do rocesso eravo, quando boa are dos esos á fo corrgdo e uma correção muo acenuada ode comromeer odas as correções efeuadas. Segundo ermo: revo µ W A consane m desoca o eso ómo obdo eo rmero ermo, forçando que o erro sea reavaado nese novo eso. Ese rocesso eva convergêncas ara mínmos ocas, os um erro maor ndca que o mínmo obdo eo rmero

5 868 Cerquera e a. Qum. Nova ermo era reamene goba; caso conráro, o mínmo era oca e a busca eo mínmo rossegue. Resumndo, o segundo ermo aua como dsosvo de segurança do rmero ermo, evando mínmos ocas. No segundo méodo de renameno as correções dos esos são feas de acordo com uma varane do méodo de Gauss- Newon 9, conhecda como méodo de Marquard-Levenberg. Nese méodo as correções dos esos são cacuadas de acordo com a equação: W=(J τ J+λI)- J τ E (9) onde J é a marz acobana do erro ara cada um dos esos, λ é um escaar osvo, I é a marz dendade e E é o veor de erros dado ea Equação 7. Em ambos os casos, a eaa de renameno se encerra quando o erro angr o créro de convergênca revamene esabeecdo. Nese ono, a rede esá renada e odemos uzar um conuno de esecros de NIRR, dferene daquee uzado no renameno, ara avaar as roredades de generazação da rede neura arfca. As redes neuras geramene aresenam uma boa caacdade de generazação, ou sea, aresenam resuados sasfaóros quando acada em amosras que não arcaram do renameno, esecamene em suações em que os dados aresenem não neardades, vso que geramene se uzam funções e ransferênca não neares. Enreano, em aguns casos, as redes neuras arfcas, mesmo deos de erem sdo renadas, aresenam baxos erros de cabração e eevados erros de revsão, so é, sobreause (overfng), devdo ao número excessvo de neurônos uzados na camada nermedára. O número de neurônos na camada nermedára aua de modo anáogo ao número de comonenes rncas uzado na regressão de comonenes rncas 0, (PCR), ou à ordem do onômo uzado em regressão onoma, or exemo. Porano, um rocedmeno fundamena ara evar-se sobreause (overfng), so é, equenos erros de cabração e eevados erros de revsão, é a omzação do número de neurônos da camada nermedára. A omzação da Arqueura A seeção do número ómo de neurônos na camada nermedára ou omzação da arqueura é fea varando-se o número deses neurônos e reendo-se o rocesso de correção dos esos. Escohe-se enão a confguração que aresenar os menores erros de cabração (%SEC) e revsão (% SEP), dados eas equações 0 e c nc ( y yˆ ) = % SEC = c nc c n = % = SEC k ( y yˆ ) n (0) () em que c c e c são as concenrações médas da amosras uzadas no conuno de cabração e revsão resecvamene, n c e n reresenam, resecvamene, o número de amosras usadas na cabração e na revsão, y é o vaor rea e ŷ o vaor revso eo modeo e k é o número de arâmeros usados no modeo. Para redes neuras arfcas o número de arâmeros uzado no modeo não é conhecdo e é uzado como uma aroxmação, ara o denomnador da Equação 0. Acando-se o méodo das redes neuras anerormene descro ara a deermnação de nrogêno em fohas de rgo a arr de esecros de refeânca dfusa no nfravermeho róxmo (NIRR) fo ossíve ober modeos que aresenaram baxos erros em amosras de cabração e amosras de revsão. Ese fao ode ser verfcado observando-se a Fgura 9 onde esão reresenados os vaores ercenuas revsos conra os vaores reas obdos aravés do méodo Kedah. NIRR-REDES NEURAIS, % N Redes Neuras Cabração Prevsão KJELDAHL, % N Fgura 9. Vaor revso, ara o eor de nrogêno, eo modeo de cabração NIRR-RN versus o vaor obdo com o méodo Kedah. O eor aeno, a esa aura á deve er observado que ara consrur modeos com redes neuras o conuno de revsão ambém é uzado na escoha da arqueura óma. Porano, devemos er um ercero conuno de esecros ara reamene verfcar as caacdades de revsão da rede neura omzada. Afnado com ese o de robema semre uzamos nese rabaho, rês conunos de dados (cabração, vadação e revsão) como veremos adane no exo. Conforme descrevemos, a omzação da arqueura é bascamene uma arefa de enava e erro e um ano edosa, mas exse um modo de evá-a, como veremos no róxmo em. REDES NEURAIS COM APODIZAÇÃO A déa básca dese méodo é ncar a rede neura com um número razoáve de neurônos na camada nermedára e, durane a eaa de renameno corar as conexões (ou esos) dos neurônos que ossuem ouca nfuênca no erro E (Equação 7). Neurônos que verem odas as conexões coradas serão emnados e, orano, ao fna dos cores, sobrarão somene os neurônos reamene necessáros à modeagem. A écnca de aodzação 3,4 (runng) reduz a comexdade da rede neura, mehorando sua caacdade de revsão, os eva modeos sobre aramerzados (muos neurônos) em que a ossbdade de sobreause (overfng) é grande. Exsem bascamene dos méodos ara a aodzação de redes neuras: Oma Bran Damage 5 (OBD) e Oma Bran Surgeon 6-8 (OBS). Em ambos os méodos as conexões (ou esos) são coradas e a corresondene varação no erro E, chamada de saênca, é avaada. No méodo OBD as conexões são coradas durane a eaa de renameno e a rede neura não é rerenada aós os cores. No méodo OBS, as conexões são coradas e, aós o core de uma conexão, a rede é rerenada, ermndo que um número maor de cores sea efeuado. Aém dsso, no méodo OBS a rede neura é re-renada, aroxmando-se os erros de renameno or uma função quadráca, de modo a garanr a exsênca de um mínmo.

6 Vo. 4, No. 6 Redes Neuras e suas Acações em Cabração Muvarada 869 Resumdamene, o que se faz no méodo OBS é adconar um ermo, chamado ermo de reguarzação 9,0, à função erro (E) dada ea Equação 7, ara ober a função cuso : τ C( W ) = E( W ) + W DW () O ermo de reguarzação smesmene enaza esos com vaores reduzdos, sendo esa enazação, onderada eo faor D. O faor de reguarzação auxa no rocesso de runng e assegura a esabdade numérca do méodo. Em seguda, exande-se a função cuso em sére de Tayor aé ermos de segunda ordem, em orno de um ossíve mínmo W 0, como segue: τ C( W ) = C( W0 ) + δw HδW (3) em que δw=w-w 0 e H=(A+D), é a marz Hessana da função cuso, com ermo de reguarzação. A é a marz das dervadas segundas dos erros de renameno E conendo odas W os ermos de segunda ordem. Aós esa fase, esos devem ser emnados e a função cuso mnmzada. A emnação do -ésmo eso ode ser exressa como: τ T W e = W0 δ e (4) em que é o -ésmo veor unáro. O exremo vncuado ose ser obdo acando-se o méodo dos mucadores de Lagrange : ~ C τ ( W ) C( W) + λ ( δw + W0 ) e = (5) em que λ é o mucador de Lagrange. Resovendo-se a Equação 5 obém-se o exremo vncuado: δw=-λh - e (6) Nese ono é ossíve voar a Equação, excar E ( W ) E(W) ober a varação do erro em função dos esos, W subsur o vaor de δw eo vaor obdo na Equação 6 e ober a segune equação ara a saênca, so é, a varação no erro de renameno devdo a emnação de um deermnado eso W T δ E ( W ) = λw0 DH e + λ e H ( E + D) H e (7) A equação da saênca fornece um créro maemáco ara que o core de esos ossa ocorrer. Acando-se o méodo das redes neuras com runng ara a deermnação de nrogêno em fohas de rgo fo ossíve ober modeos com erros adrões de revsão (%SEP) de deermnação da ordem de 5%. Os gráfcos dos vaores revsos versus os vaores de referênca, obdos com o méodo kedah esão aresenados na Fgura 0. As écncas de aodzação de redes smfcam sgnfcavamene o rocesso de omzação da arqueura e nos erme ober modeos com equena ossbdade de sobreause (overfng). Ese fao ode ser observado comarando os resuados obdos na deermnação de nrogêno uzando-se redes neuras sem oda e com oda conforme mosrado na Tabea. NIRR-REDES NEURAIS com Aodzação, % N Redes Neuras com Aodzação (Prunng) Cabração Prevsão KJELDAHL, % N Fgura 0. Vaor revso, ara o eor de nrogêno, eo modeo de cabração NIRR-RNP versus o vaor obdo com o méodo Kedah. Tabea. Comaração enre os modeos de redes neuras uzados na deermnações de nrogêno em fohas de rgo. %RMSEC %RMSEP Redes neuras sem oda 4,78 6,53 Redes neuras com oda 4,8 6,9 o esecífco de rede que em do recene acação -4 é a rede com funções radas de base (RBFN). Na RBFN os neurônos geramene são funções radas muvaradas, com város argumenos de enrada, e com comorameno rada em reação a cada argumeno, ou sea, as funções radas decrescem (ou crescem) monooncamene a medda que se dsancam do ono cenra. Exse um grande número de funções radas que odem ser uzadas ara esse fm, sendo mas comuns as funções com fórmua gera do o: h(x)=φ((x-c) R - (x-c)) (8) onde φ é o o de função usada, c é a osção em que a função esá cenrada e R é a mérca uzada. O ermo z=((x-c) R - (x-c)) defne a dsânca enre o veor de enrada x e o veor de cenros c na mérca defnda or R (cada enrada corresonde a uma RBF, que or sua vez ossu um cenro e um rao em reação a cada enrada). Os os mas comuns de RBFs uzadas são: Gaussana: φ ( z) = e Muquádrca: φ( z ) = ( + z) Muquádrca nversa: φ( z) = ( + z) Cauchy: φ( z) = ( + z) Normamene o ssema mérco uzado é eucdano, e nesse caso, R=r I, onde r é o rao (dsersão) da RBF uzada e I é a marz dendade de ordem gua ao amanho de x. Isso smfca a RBF uzada: REDES COM FUNÇÕES RADIAIS DE BASE Adconamene às redes neuras com múas camadas, um h( x) φ ( )( ) x c x c ( x c ) = φ = r r (9)

7 870 Cerquera e a. Qum. Nova caso haa aenas uma varáve nos dados de enrada (cada amosra for um escaar, ao nvés de um veor) o somaóro se resrnge a um ermo. A Fgura mosra o erf das RBF mas comumene uzadas. Nesse caso, raa-se de RBFs unvaradas cenradas na orgem (c = 0) e com rao unáro (r = ). Fgura. Perf dos os de RBF mas uzados: gaussana( ); muquádrca (- ); muquádrca nversa (-+) e cauchy (-*). No caso mas comum, em que as RBFs são muvaradas, as mesmas aresenam um erf semehane ao descro na Fgura ara cada varáve do veor de enrada (x), odendo ossur raos e cenros guas ou dsnos em reação as mesmas. RBFs or s só, são aenas uma casse de funções, e odem ser uzadas em rede sob quaquer arrano. Porém, o ermo RBFN (Rada Bass Funcon Nework) ou rede de funções radas de base, geramene se refere a uma rede com uma camada, conforme mosrado na Fgura. h (x) w 0 w w w 3 w m Uma RBFN não é near se as RBFs uderem mudar de osção (varação de c) ou amanho (varação de r) ou caso a rede ossua mas de uma camada ocua. Caso conráro, embora a RBFN sea formada or funções não neares, ea é near em reação aos arâmeros (w), ou sea, a saída da rede é uma combnação near das saídas das funções. Em ouras aavras, desde que não haa RBFs com raos e cenros guas smuaneamene, eas formam uma base ara um esaço veora no qua serão modeadas as amosras em quesão. Devdo a neardade das RBFNs com aenas uma camada ocua, uma vez fxados o número, os raos e os cenros das RBFs, os esos (arâmeros de onderação w) odem ser deermnados eo méodo dos mínmos quadrados. Isso ossba o cácuo desses arâmeros de modo agébrco (marca), o qua é muo mas rádo que os modeos eravos de omzação de redes neuras. Para a execução do méodo de mínmos quadrados, bascamene em-se que dferencar a exressão do somaóro quadráco em reação a cada arâmero a ser omzado, guaar cada exressão a zero e resover o ssema de equações resuane. O modeo de RBFN gera uma resosa do o: m f ( x) = wh ( x) (0) = Para a deermnação dos esos é necessáro mnmzar o somaóro quadráco S = ( yˆ f ( )) () = x Dferencando o somaóro quadráco em reação a cada arâmero êm-se S w f = ( f ( x ) yˆ ) ( x ) = w () Devdo à neardade do ssema, as dervadas em reação a arâmeros dsnos são ndeendenes. f w x ) = h ( x ) ( (3) Subsundo a Equação 3 na dervada do somaóro do erro quadráco (Equação ), e guaando a zero êm-se: bas... h (x) h (x) h 3(x) h m(x) f ( x ) h ( x ) = yˆ h ( x ) (4) = = Coocando em forma marca, êm-se h f = h ŷ (5) onde x X X n... Fgura. RBFN radcona com uma camada ocua: cada um das n varáves dos dados são uzados como argumeno da m RBFs, cuas saídas são nearmene combnadas aravés dos esos w gerando uma saída f(x). Cada varáve da marz de dados é usada como argumeno de odas as RBFs, e a saída de cada RBF é onderada e somada ara se deermnar uma saída. Adconamene ode-se acrescenar um ermo ndeendene dos dados de enrada ara omzar o ause ( bas ). h h ( x ) h ( x) =, M h ( x) f ( x) f ( x) f =, M f ( x) yˆ y ˆ y = M yˆ ou sea, h f hŷ hf hŷ = M M (6) hmf hmŷ

8 Vo. 4, No. 6 Redes Neuras e suas Acações em Cabração Muvarada 87 Uzando as roredades de mucação marca, H f = H ŷ (7) onde H é a marz de desgn com os veores { h } m = counas em suas H = [h h... h m ] (8) e em nhas reavas às amosras do conuno de renameno (9) O veor f ode ser decomoso no roduo de dos ermos: A marz de desgn e o veor de esos m f = f(x ) = w ˆ h (x ) = h ŵ h onde = (30) h ( x ) h ( x ) = M (30) hm ( x ) É morane observar que enquano é uma das counas de H, é uma de suas nhas. f h w w f f h = = = Hŵ M M (3) f w hm Fnamene subsundo na Equação 7 em-se: H ŷ = H Hŵ (3) Mucando a Equação 3 à esquerda em ambos ados ea nversa de êm-se: - ŵ = (H H) = H ŷ (33) Para adconar o ermo ndeendene (bas) à rede em quesão, basa adconar um veor couna unáro na marz de desgn (H), de modo a gerar uma RBF cua resosa ndeende dos dados na marz de desgn. A fm de emnar robemas numércos no cácuo dos modeos de RBFN e aceerar os mesmos, usuamene uza-se um modeo de orogonazação nos dados de enrada. Assm, emna-se a correação enre as varáves de enrada e o número das mesmas. Esse rocesso condensa a nformação reevane dos dados de enrada em uma marz de menor amanho, emnando nformações redundanes, facando assm, o cácuo com marzes de menor amanho. Em uma rede com RBFs, exande-se o esaço de modeagem com uma base maor que o número de enradas (aós a orogonazação e consequene emnação da correação das varáves de enrada). Nesse esaço com dmensão sueror a searação dos adrões de nformação é fea mas facmene e oserormene é fea uma regressão near múa (méodo dos mínmos quadrados) enre os dados de enrada nessa nova base e a saída eserada (concenração do anao de neresse, or exemo). O rnca robema em se rabahar com RBFN, é defnr o número, as osções, raos e os das RBFs uzadas na rede, de modo omzado, ou sea, defnr a base de dmensão sueror na qua será fea a searação dos adrões de nformação. Não exse uma fórmua gera ara defnr esses arâmeros, orém, recenemene em surgdo uma sére de argos 5,6 com essa fnadade. Uma esraéga aernava de omzação dos arâmeros da RBFN é comarar modeos consruídos com dferenes subconunos denre um gruo defndo de ossíves RBFs. Enconrar o mehor conuno, or enava e erro é racamene nváve, vso que exsem n sub-conunos dsnos em um conuno com n RBFs, de modo que geramene uza-se de méodos heuríscos ara reazar essa arefa. Um dos os mas smes denre os méodos heuríscos de omzação é a Forward Seecon 5,7. O modeo de omzação or forward seecon basea-se em ncar um sub-conuno vazo de RBFs e r adconando RBFs de modo a dmnur (mnmzar) o somaóro do erro quadráco ou ouro créro de mnmzação como a vadação cruzada generazada (or exemo). Ouro modeo heurísco muo usado é fazer o ooso, ou sea, arr de um conuno maor de RBFs e r emnando RBFs de modo a dmnur o erro (créro de mnmzação), conhecdo como backward emnaon. É neressane comarar a seeção de subconunos de RBFs em uma RBFN com o modeo adrão ara omzação em redes neuras arfcas, o qua envove omzação or gradene descendene de uma suerfíce não near em um esaço mudmensona defndo eos arâmeros da rede 8. Na omzação or subconunos ( foward seecon ou backward seecon ) o agormo de omzação enconra em um esaço dscreo de subconunos, um conuno de RBFs com cenros e raos fxos de modo a mnmzar o erro de revsão. Os esos não são seeconados, mas sm deermnados em função do conuno de RBFs defndo eo modeo de omzação. Por defnção, forward seecon é um agormo não near de omzação ara RBFNs, orém ossu agumas vanagens: - Não há necessdade de fxar o número máxmo de RBFs; - Os créros de seeção dos modeos são raáves; - Não há necessdade de oder comuacona eevado. O modeo de RBFN com omzação or forward seecon fo acado na cabração de um conuno de 367 esecros NIR de cado de cana concenrado (xaroe) ara a deermnação do BRIX (eor de sódos em susensão) em amosras cuo BRIX vara enre 64 e 74. As amosras foram dvddas em dos gruos, sendo 67 amosras ara a cabração e 00 ara revsão, escohdas de modo reresenavo, so é, as amosras de cada gruo foram escohdas de modo que cada gruo ossuísse vaores de BRIX em oda a faxa monorada, sem exraoação dos conunos de vadação e revsão. Os esecros NIR das amosras de xaroe de cado de cana são mosrados na Fgura 3. Para a orogonazação dos dados de enrada, uzou-se um modeo de PCA 9 ( rnca comonen anayss ) usando os 6 rmeros comonenes rncas, os quas excaram 99,995% da varânca dos dados, ou sea, racamene oda nformação reevane. Foram uzadas 67 RBFs, endo odas raos guas a 9.643x0 -, x0 -, x0 -, x0 -, 4.37x0 - e.74x0 - em reação às 6 comonenes rncas (varáves de enrada orogonazadas) resecvamene. Os resuados obdos ea modeagem com RBFN omzada or forward seecon nas amosras de cabração são mosrados na Fgura 4 e ara amosras de revsão são mosrados na Fgura 5. Em ambas fguras (4 e 5), é mosrado o erro

9 87 Cerquera e a. Qum. Nova ercenua reavo ara as resecvas amosras. Observa-se vaores de erros ercenuas reavamene baxos, o que aumena as ossbdades de uzação das redes com RBFs ara a cabração muvarada em dados anaícos. Adconamene, observa-se um mehor ause (erros ercenuas reavos menores) ara amosras de cabração que ara as amosras de revsão, ndcando um ossíve sobreause do modeo. Esse fao ndca que ara os dados em quesão, embora os vaores obdos seam aceáves, ode-se anda omzar a rede de RBFs ara orná-a mas robusa, ou sea, fazer com que o modeo consruído obenha erros ara as amosras de cabração e de revsão com mesma ordem de grandeza. CONCLUSÕES Fgura 3. Esecros NIR de xaroe de cado de cana. Erro reavo de cabração / % Fgura 4. Erro reavo obdo com o modeo de RBFN omzado or foward seecon ara amosras de cabração. Erro reavo de revsão / % Número da amosra Número da amosra Fgura 5. Erro reavo obdo com o modeo de RBFN omzado or foward seecon ara amosras de revsão O uso de redes neuras, redes neuras com aodzação e redes neuras com funções de base rada mosra-se como uma boa aernava ara a modeagem de ssemas em que a resoução dos snas envovdos é baxa ou a reação enre os snas e a roredade de neresse não é near. Esecfcamene em químca anaíca, a modeagem com redes neuras em se mosrado efcaz na deermnação quanava, smuânea ou não, de dversas eséces, aravés da anáse com equamenos de resosa muvarada (NIR, NIRR, UV-VIS, ec). AGRADECIMENTOS E. O. de Cerquera agradece a FAPESP (roc. no. 97/ ) ea bosa concedda. REFERÊNCIAS. Zuan, J.; Gaseger, J.; Ana. Chm. Aca 99, 48,.. MacCuoch, W.; Ps, W.; Bu. Mah. Bohy. 943, 5, Carwrgh, H. M.; Acaons of Arfca Inegence n Chemsry; Oxford Unversy Press, New York, Kaerman, G.; Sms, J. R.; Ana. Chm. Aca. 993, 77, Gemerne, P. J.; Chemom. Ine. Lab. Sys. 997, 39, Harrngon, P. De B.; Ana. Chem. 993, 65, Long, J. R.; Gregorou, V. G.; Gemerne, P. J.; Ana. Chem. 990, 6, Wyhoff, B.; Chemom. Ine. Lab. Sys. 993, 8, Jang, J. R. S.; Sun, C. T.; Mzuan, E.; Neuro Fuzzy e sof comung; Prence Ha; Uer Sadde Rver, 997; Thomas, E. V.; Haae, D. M.; Ana. Chem. 990, 6, 09.. Oo, M.; Sascs and Comuer Acaon n Anayca Chemsry; Wey-VCH; Wenhem, DU; 999; 96.. De Barros Neo, B.; Scarmno, I. S.; Bruns, R. E.; Paneameno e Omzação de Exermenos; Edora da UNICAMP; Camnas; 995; Haykn, S.; Neura Neworks, a comrehensve foundaon; Prence Ha; Uer Sadde Rver, New Jersey; 999, Hassb, B.; Sork, D. G.; In Advances n neura nformaon rocessng sysems 5; Hanson, S. J.; Cowan, J. D.; Ges, C. L.; Ed.: Morgan Kaufmann, San Maeo, CA; 993, Cun, Y. Le; Boser, B.; Denker, J. S.; Soa, S. A.; Oma bran damage: Advances n Neura nformaon rocessng sysems, vo.; Morgan Kaufman; San Maeo, 990, Po, R. J.; Massar, D. L.; Ana. Chm. Aca 998, 375, 87.

10 Vo. 4, No. 6 Redes Neuras e suas Acações em Cabração Muvarada Meo, C.; Po, R. J.; Andrade, J. C. De; Canarea, H.; Anays 999, 4, Fahman, S. E.; Lbere, C.; Advances n Neura Informaon Processng Sysems, Vo. ; D. S. Tourezsky Ed.; Morgan Kaufmann, San Maeo; 990; Larsen, J.; Hansen, L. K.; Generazaon of reguarzed neura nework modes; Proc. of he IEEE worksho on neura neworks for sgna Proc. IV; Pscaaway; New Jersey; 994; Norgaard, M.; Neura Nework Based Sysem Idenfcaon TOOLBOX for use wh MATLAB TM, verson.;, Technca Unversy of Denmark, DK; Bsho C. M.; Neura Neworks for Paern Recognon; OXFORD Unversy Press; New York, 995; Graud, F.; Saameh, Z. M.; IEEE Transacons on Energy Converson 999, 4, Wkns M.F.; Boddy L.; Morrs C. W.; Jonker R. R.; Aed and Envronmena Mcroboogy 999, 65, Waczak, B.; Massar, D.L.; Ana. Chm. Aca 996, 33, Mark J. L. Orr; Inroducon o Rada Bass Funcon Neworks, Cenre for Cognve Scence, Unversy of Ednburg, Bucceuce Pace, Ednburg EH8 9LW, Scoand, Mark J. L. Orr; Recen Advances n Rada Bass Funcon Nework, Insue for Adaave and Neura comuaon Dvson of Informacs, Ednburgh Unversy, Ednburg EH8 9LW, Scoand, Subbngs, T.; Huer, H. T.; Chemmom. Ine. Labs. Sys. 999, 49, Herz, J. Krough, A.; Pamer, R. G.; Inroducon o he Neura Nework Comuaon; Addson Wesey, Redwood Cy, CA, Gead, P.; Kowask, B.; Ana. Chm. Aca 986, 85,.