Técnicas de Previsão de Reservas IBNR

Transcrição

1 Técncas de Prevsão de Reservas BNR Rodrgo Smões Aherno JGP Global Gesão de Recursos UFF, 7 de Abrl de 3

2 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

3 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

4 nrodução Obevo Apresenar de forma nroduóra a evolução da modelagem esaísca no conexo de Reservas BNR; Descrever algumas desas écncas; Mosrar resulados provenenes de as écncas. Ref: - Taylor, Greg (4). Loss Reservng: Pas, Presen and Fuure, Research Paper 9, Cenre of Acuaral Sudes, The Unversy of Melbourne. - Taylor, Greg (). Loss Reservng: an Acuaral Perspecve, Kluwer Academc Publshers. - England, P.D.; Verrall, R.J.(). Sochasc Clams Reservng n General nsurance, Brsh Acuaral Journal, 8,

5 nrodução Necessdade de reservas BNR (ncurred Bu No Repored) Araso enre a ocorrênca do snsro e sua nofcação ao segurador Araso enre a nofcação e a fnalzação do pagameno referene ao snsro Reaberuras ocorrênca avso o pagameno - T Tτ Tτ 3 T-τ ocorrênca avso o pagameno - T-τ T-τ T Tτ 3

6 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

7 Noação Ulzada C D Monane pago ou ncorrdo referene ao ano de orgem e ano de desenvolvmeno. Monane acumulado pago ou ncorrdo referene ao ano de orgem e ano de desenvolvmeno. D = m = C m 3... C, C, C,3... C, C, C,... C,- 3 C 3, C -, C, Trângulo de Runoff ncremenal 3... D, D, D,3... D, D, D,... D,- 3 D 3, D -, D, Trângulo de Runoff acumulado

8 Formao Runoff dos dados Sendo Ano de orgem ou Ano de acdene Ano de orgem Desenvolvmeno 3... C, C, C,3... C, C, C,... C,- 3 C 3, C -, C,

9 Formao Runoff dos dados Sendo Ano de desenvolvmeno Ano de orgem Desenvolvmeno 3... C, C, C,3... C, C, C,... C,- 3 C 3, C -, C,

10 Formao Runoff dos dados Sendo Ano de calendáro Ano de orgem Desenvolvmeno 3... C, C, C,3... C, C, C,... C,- 3 C 3, C -, = - C,

11 Formao Runoff dos dados Obevo: complear o rângulo nf. Ano de orgem Desenvolvmeno 3... D, D, D,3... D, D, D,... D,- 3 D 3, D -, D,

12 Formao Runoff dos dados Obevo: complear o rângulo nf. Acumulado ncremenal = = = m m C D D R,,, = = R R

13 Formao Runoff dos dados Obevo: complear o rângulo nf. Para se prever valores onde >, é necessáro uma paramerzação adconal.

14 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

15 Taxnoma dos Modelos de Loss Reservng Prmera classfcação Ref: Taylor, G. C. (986). Clam Reservng n Non-lfe nsurance. Norh-Holland, Amserdam. Re-classfcação Ref: Taylor, G. C. (4). Loss Reservng: Pas, Presen and Fuure. Research Paper 9, Cenre of Acuaral Sudes, The Unversy of Melbourne, Ausrala. Esocascdade Deermnísco vs. Esocásco Dnâmca Esáco vs. Dnâmco Esruura do Modelo Fenomenológco vs. Mcro-esruural Esmação dos Parâmeros Heurísca vs. Óma

16 Taxnoma dos Modelos de Loss Reservng Esocascdade Deermnísco vs. Esocásco Para um modelo esocásco, as observações êm a forma: onde C, = µ, e, C, µ, e, parâmero erro esocásco

17 Taxnoma dos Modelos de Loss Reservng Dnâmca Um modelo dnâmco possu parâmeros que evoluem no empo. Exemplo: no qual µ, = f ( β, ) Por exemplo: β w veor de parâmeros que evolu como: β = β w perurbação esocásca

18 Taxnoma dos Modelos de Loss Reservng Esruura do Modelo Modelos Fenomenológcos Esruura não leva em cona os aspecos do processo de snsros que possuem um sgnfcado dreo Modelos Mcro-esruuras Preocupação com os aspecos fnos da esruura do processo de snsros Não é uma classfcação dcoômca Especro das esruuras de modelo Fenomenológco Mcro-esruural

19 Taxnoma dos Modelos de Loss Reservng Esmação dos Parâmeros Heurísca Típca em modelos não-esocáscos Óma Parâmeros esmados por maxmzação (ou mnmzação) de algum créro esaísco (ex: verossmlhança)

20 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

21 Evolução Dnâmco Dnâmco Esocásco Esocásco Fenomenológco Fenomenológco Ómo Ómo Esáco Esáco Esocásco Esocásco Fenomenológco Fenomenológco Ómo Ómo Dnâmco Dnâmco Esocásco Esocásco Mcro-esruural Mcro-esruural Ómo Ómo Esáco Esáco Esocásco Esocásco Mcro-esruural Mcro-esruural Ómo Ómo Modelos em Espaço de Esado De Jong & Zenhnwrh (983) Aherno e al () Modelos Log-normas Renshaw, A.E. (989) Chrsofdes (99) Kubrusly, J. e al () Esáco Esáco Esocásco Esocásco Fenomenológco Fenomenológco Heurísco Heurísco Chan Ladder esocásco Mack,T. (993) Esáco Esáco Deermnísco Deermnísco Fenomenológco Fenomenológco Heurísco Heurísco Chan Ladder convenconal

22 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

23 Méodo Chan Ladder Procedmeno Esmar os ( -) Developmen Facors. Preencher o rângulo nferor. Calcular a Reserva.

24 Méodo Chan Ladder Obenção dos λ ( Developmen Facors ) Ano de orgem Desenvolvmeno 3... B A D, D, D,3... D, D, D,... D,- 3 D 3, Σ. Σ D -, λ = A/B D,

25 Méodo Chan Ladder Developmen Facors Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. The Acuaral Pracce of General nsurance, nsue of Acuares of Ausrala, 996. = = =,, D D λ,,3, = m m m D D D D λ λ,,,, = = m, 4,, 3 =

26 Méodo Chan Ladder Toal de pagamenos no ano R Toal Reservado =, λ = D R = R

27 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack (Dsrbuon Free) Ref: Mack, T (993). Dsrbuon-Free Calculaon of he Sandard Error of Chan Ladder Reserve Esmaes, ASTN Bullen, 3, 3-5. Mack, T (994). Whch Sochasc Model s Underlyng he Chan Ladder Mehod?, nsurance: Mahemacs and Economcs, 5, Mack, T (994). Measurng he Varably of Chan-Ladder Reserve Esmaes. Casualy Acuaral Socey, Sprng Forum. Premssas báscas E[ D, D,,, D, ] = λ D, ndependênca enre anos de orgem Var[ D, D,,, D, ] = σ D,

28 Chan Ladder Esocásco Procedmeno Esmar os Developmen Facors Esmar os parâmeros σ Preencher o rângulo nferor Calcular as Reservas por ano de acdene e seus respecvos erros médos quadrácos. Por fm, calcular a Reserva Toal e seu respecvo erro médo quadráco.

29 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack = = =,, D D λ,,, = = D D D λ σ

30 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack = = =,, D D λ Mesmos DF obdos pelo méodo Chan Ladder,,, = = D D D λ σ

31 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack - Reserva ( ) = = = k m k m k k k k C C C R MSE,,, λ σ = =, D R λ

32 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack - Reserva ( ) ( ) = = = = = k k n k n k k C C C R MSE R MSE,,, λ σ = R R

33 Chan Ladder Esocásco Modelo de Mack Reserva é dênca à do Méodo Chan Ladder Por fala de observações na úlma coluna, σ σ mn σ 4 =,mn 3, 3 ( σ σ )

34 Modelo Log-normal Baseado em MLG (Modelos Lneares Generalzados) Eapas Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (989). Generalzed Lnear Models. Chapman & Hall/CRC Dobson, A. (). An nroducon o Generalzed Lnear Models. Chapman & Hall/CRC Seleção do Modelo Seleção do Modelo Esmação dos dos Parâmeros Predção

35 Modelo Log-normal Esruura de um ML Y ( Y ) = E µ Observação η = µ η = β β x β x β x p p Predor Lnear

36 Modelo Log-normal Esruura de um MLG Y ( Y ) = E µ Observação η = g ( µ ) Função de lgação (lnk funcon) η = β β x β x β x p p Predor Lnear

37 Modelo Log-normal Modelo Básco Ref: Renhaw, A.E. (989). Chan Ladder and neracve Modellng, Journal of he nsue of Acuares, 6, Chrsofdes, S. (99). Regresson Models Based on Logncremenal Paymens, Clams Reservng Manual,, nsue of Acuares, London. Kremer,E. (98). BNR-Clams and he Two-way Model of ANOVA, Scandnavan Acuaral Journal, Y = log ( ) C Y = ε m ( ), ε ~ N, σ

38 Modelo Log-normal Modelo Básco m = µ α β,, ( ) Y = α β ε, ε ~ N, σ µ

39 Modelo Log-normal Modelo Básco - Reserva C = exp m Var( m ) MSE ( C ) C exp( Var( m )) ( ) =

40 Modelo Log-normal Modelo Básco - Reserva ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > =,,,,, Cov exp MSE MSE m m C C C R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =,,,,,,, Cov exp MSE MSE m m C C C R

41 Modelo Log-normal Problemas do Modelo Básco Somene adme valores posvos Super paramerzado Não há correção para o caso de correlação seral Ref: De Jong, P. (6). Forecasng Runoff Trangles, Norh Amercan Acuaral Journal,,.

42 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl C onde d = e K γ = e < α, = K ( ) β γ d d e d <

43 Curva de Hoerl Exemplo: dados AFG Comporameno de cada lnha do rângulo

44 Curva de Hoerl Exemplo: dados AFG Função básca ou função de base φ( ) = e.5( )

45 Modelo Log-normal Modelo de Renshaw Curva de Hoerl m ( d) ( d ) γ d = α β log Menor número de parâmeros Pode-se exrapolar a esmação de para > C,

46 Modelo Posson Modelo Posson com sobredspersão Ref: England, P.D.; Verrall, R.J.(). Sochasc Clams Reservng n General nsurance, Brsh Acuaral Journal, 8, [ C ] = m x y [ ] Var C = φx y E = y =

47 Modelo Posson Modelo Posson com sobredspersão log ( m ) = µ α β,, C = = m exp ( η )

48 Modelo Posson Reserva C = = m exp ( η ) MSE ( ) C φm m Var[ η ]

49 Modelo Posson Reserva ( ) [ ] ( ) >,, Cov Var MSE m m m m R η η η φ ( ) [ ] ( ) =,,,,, Cov Var MSE m m m m R η η η φ

50 Modelos Dnâmcos Apresenação de modelos De Jong & Zenhwrh Aherno, Pzznga & Fernandes

51 Modelos Dnâmcos Forma em Espaço de Esado Eq. das observações Eq. do esado α y = = T α Z α ε R η ε η ~ ~ N(,H N(,Q ) )

52 Modelos Dnâmcos Flro de Kalman Procedmeno recursvo de obenção do esmador ómo do veor de esado no nsane, condconado a oda nformação aé ese nsane ref: Harvey, A. (989) Forecasng, Srucural Tme Seres Models and he Kalman Fler, Cambrdge Unversy Press.

53 Modelos Dnâmcos Flro de Kalman a P = E( α Y ) = Var( α Y ) a P y Prevsão Prevsão do do esado esado e e observação observação SEM SEM nova nova nformação nformação = T a K ( y y = T PL R Q R = Z a ) Aualzação Aualzação da da prevsão prevsão ncorporando-se ncorporando-se nova nova nformação nformação Cálculo Cálculo da da marz marz de de ganho ganho F K L = Z PZ H = T = T PZ F K Z

54 Modelos Dnâmcos Modelo de De Jong & Zenhwrh Ref: De Jong & Zehnwrh. (983), Clams Reservng, Sae-space Models and he Kalman Fler, Journal of he nsue of Acuares, :57-8. Aherno, R. & Fernandes, C., (7) Um Modelo em Espaço de Esado para Esmação de Reservas BNR, Revsa Braslera de Rsco e Seguro, 3, 5: Modelo em Espaço de Esado Curva de Hoerl Evolução emporal das observações: sendo ano de calendáro Flro de Kalman

55 Modelos Dnâmcos Formação dos veores y Ano de orgem Desenvolvmeno 3... y Y, Y, Y,3... Y, Y, Y,... Y,- y 3 Y 3,.. y Sendo do flro.. Y -, = - Y, y

56 Modelos Dnâmcos Equação das observações y ( ) = m(, ) u ( ) ou y ( ) = φ( ) b( ) u ( )

57 Modelos Dnâmcos Equação das observações y ( ) = m(, ) u ( ) ou y ( ) = φ( ) b( ) u ( ) Abordagem De Jong & Zenhwrh (983) γ ( ) φ( ) = e onde γ < K d ( ) d β e γ b( ) φ ( d )

58 Modelos Dnâmcos Equação das observações ε α Z y = ) ( ) ( ) ( () ) ( ) ( ) ( () () ) ( ) ( ) ( u u u b b b y y y φ φ φ

59 Modelos Dnâmcos Equação de Esado ) ( ) ( ) ( v b b = ) ( () ) ( ) ( () ) ( ) ( v b b b b b b R α T α =

60 Modelos Dnâmcos Prevsão da Reserva R = az α MSE ( R ) az P Z a ah a = onde [ ] a = S

61 Modelos Dnâmcos Modelo de Aherno, Pzznga & Fernandes Ref: Aherno e al. (), A row-wse sackng of he runoff rangle: sae space alernaves for BNR reserve predcon, ASTN Bullen, v.4,,97-946, Modelo em Espaço de Esado Modelo Esruural Evolução emporal das observações: unvarada ao longo dos anos de acdene Flro de Kalman

62 Modelos Dnâmcos Formação da sére y Ano de orgem Desenvolvmeno 3... y y Y, Y, Y,3... Y, Y, Y,... Y,- 3 Y 3, Y -, Sendo do flro Y,

63 Modelos Dnâmcos Modelo Esruural x y ε β γ µ = ζ µ µ = J ω γ γ = =

64 Modelos Dnâmcos Equação das observações [ ] J x y ε β γ γ γ µ = d α Z

65 Modelos Dnâmcos Equação do Esado η R α T α = J J ω ζ γ γ γ µ γ γ γ µ

66 Modelos Dnâmcos Méodo do Acumulador * * * * * η R α T p α η R α X T α = δ δ [ ] y ε δ = α Z d α Z * *

67 Modelos Dnâmcos Reserva [ δ ] R = E Y d MSE ( ) = Var[ δ ] R Y H

68 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

69 Aplcações Dados AFG Ref: MACK, T. Whch Sochasc Model s Underlyng he Chan Ladder Mehod?, nsurance: Mahemacs and Economcs, 5:33-38,994. Ano Desenvolvmeno d w Undade: mlhar de dólar

70 Aplcações Modelos a serem comparados Chan Ladder Esocásco Posson com sobredspersão Aherno, Pzznga & Fernandes

71 Aplcações Méodo Chan Ladder e de Mack Developmen facors & σ Defasagem d : : :3 3:4 4:5 5:6 6:7 7:8 8:9,999,64,7,7,3,4,33,7, σ 4 σ mn σ ( σ σ ) =, mn 3, 3

72 Aplcações Méodo Posson Parâmero Erro padrão Consane Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Alfa Bea Bea Bea Bea Bea Bea Bea Bea Bea Dspersão 49.8

73 Aplcações 8 AFG Sére AFG unvarada com emplhameno de lnhas

74 Aplcações 75 Daa Smoohed Level Daa Smoohed Forecas Smoohed Perodcy Modelo APF

75 Aplcações Comparação dos Modelos Dados AFG Mack Posson APF APF MAPE (%) MSE 3.83 x 6.7 x 6.3 x 6.3 x 6 Pseudo R (%) APF : modelo sem nervenções APF : modelo com nervenções

76 Aplcações Reservas Esmadas Dados AFG Ano de Orgem Mack % Posson % APF % % 54 36% 6 46% 3 67 % 67 8% 85 % % 636 9% 64 67% % 747 8% 48 4% % % % % % 87 % % 97 46% 986 % % 65 57% 6435 % % % 955 % BNR 535 5% % % Undade: mlhar de dólar

77 Esruuração nrodução Formao Runoff dos dados Méodos de Prevsão Classfcação Evolução Descrção Aplcações Consderações Fnas

78 Consderações Fnas Não exse um modelo esaísco esramene melhor em odas as suações. O rângulo, em geral, é composo de poucos dados. Exensões: modelos mcro-esruuras com ou sem agregação (rângulo). Ref: Taylor, G. & McGure, G. (4). Loss reservng wh GLMs: a case sudy, Proceedngs of he Sprng 4 Meeng of he Casualy Acuaral Socey.

79 Consderações Fnas Maeral para pesqusa na área Lvros -Taylor, Greg (). Loss Reservng: an Acuaral Perspecve, Kluwer Academc Publshers. - Wührch, M.; Merz, M. (8). Sochasc Clams Reservng Mehods n nsurance. Wley Fnance. - Mano, C.; Ferrera, P. (9). Aspecos Auaras e Conábes das Provsões Técncas. Escola Naconal de Seguros. Argo - England, P.D.; Verrall, R.J.(). Sochasc Clams Reservng n General nsurance, Brsh Acuaral Journal, 8,