Apostila de Estatística. Volume 1 Edição Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Prof. Ms. Wiliam Gonzaga Pereira

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1 Apostla de Estatístca Volume 1 Edção 007 Curso: Matemátca e Pscologa Amostragem, Séres Estatístcas, Dstrbução de Freqüênca, Méda, Medana, Quartl, Percentl e Desvo Padrão Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Prof. Ms. Wlam Gonzaga Perera

2 Capítulo 1 - Introdução Estatístca 1.1 Hstórco A estatístca é um ramo da matemátca aplcada. A partr do século XVI começaram a surgr as prmeras análses sstemátcas de regstros dversos como os de nascmento, óbtos, rquezas, casamentos. Esses regstros eram utlzados para prncpalmente cobrar mpostos. No século XVIII, Godofredo Achenwall batzou esses estudos como uma nova cênca com o nome de Estatístca. Surgram tabelas mas complexas, representações gráfcas e cálculo de probabldade. Formou-se a ferramenta que através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre um todo (população). 1. Método Estatístco Método é o conjunto de procedmentos dspostos ordenadamente para se chegar a um desejado fm. Dos métodos centífcos pode-se destacar: Método Expermental: consste em manter constantes todas as causas (fatores, componentes, varáves), menos uma, e varar essa últma para descobrr seus efetos, caso exstam. Método Estatístco: dante da mpossbldade de manter as causas constantes, regstram-se os resultados dessas varações procurando determnar a nfluênca (os efetos) de cada uma delas. 1.3 Estatístca A Estatístca é parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos de coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados, útes nas tomadas de decsão. Estatístca Descrtva: coleta, organzação e descrção dos dados. Estatístca Indutva ou Inferencal: análse e nterpretação dos dados. Permte obter conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente, objetvo essencal da Estatístca. Probabldade: útl para analsar stuações que envolvem o acaso. Ex: a decsão de parar de munzar pessoas com mas de vnte anos contra determnada doença. 1.4 Método Estatístco (Pesqusa) Exemplos: - Indústras realzam pesqusa entre os consumdores para o lançamento de um novo produto

3 - As pesqusas eletoras fornecem elementos para que os canddatos dreconem a campanha - Emssoras de tevê utlzam pesqusas que mostram a preferênca dos espectadores para organzar sua programação - A pesqusa do desempenho dos atletas ou das equpes em uma partda ou em um campeonato nterfere no planejamento dos trenamentos A pesqusa é composta bascamente de 5 fases 1 a Coleta de Dados Após planejamento e determnação das característcas mensuráves do objeto em estudo, nca-se a coleta de dados. Esta pode ser dreta ou ndreta. A coleta dreta é feta sobre regstros dversos: nascmento, casamento, óbtos, mportação, regstros escolares; ou anda quando os dados são coletados dretamente pelo pesqusador através de questonáros (ex: censo). A coleta dreta pode ser: contínua; peródca (censos); ocasonal A coleta ndreta é uma coleta feta sobre dados colhdos de uma coleta dreta (ex: mortaldade nfantl) a Crítca dos Dados Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e mperfeções, a fm de não causarem erro nos resultados. Exemplo 1 : Perguntas tendencosas. Fo realzada a segunte pesqusa: O tráfego contrbu em maor ou menor grau do que a ndústra para a polução atmosférca? Resposta: 45 % para o tráfego e 3 % para a ndústra. A ndústra contrbu em maor ou menor grau do que o tráfego para a polução atmosférca? Resposta: 4 % para o tráfego e 57 % para a ndústra. Exemplo : Preservação da auto-magem. Em uma pesqusa telefônca 94 % dos entrevstados dsseram que lavam as suas mãos após usar o banhero, mas a observação em banheros públcos esse percentual ca para 68 %. Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhdas aleatoramente para a pesqusa, como por exemplo, numa pesqusa de opnão na rua, deve-se entrevstar somente quem psou em uma determnada marca pré-determnada na calçada. Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o lnguajar própro do entrevstado. Geralmente, se o entrevstado não entender a pergunta, ele responderá qualquer cosa, pos tem vergonha de perguntar. 3 a Apuração dos Dados

4 É o processamento dos dados obtdos 4 a Exposção dos Dados Através de tabelas ou gráfcos, tornando mas fácl seu exame e aplcação de um cálculo estatístco 5 a Análse dos Resultados Através de métodos de estatístca ndutva ou nferencal obtêm-se conclusões e prevsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo.

5 Capítulo - População e Amostra.1 Varável Varável é o conjunto de resultados possíves de um fenômeno. A varável pode ser qualtatva, quando seus valores são expressos por atrbutos (ex: sexo, cor), ou pode ser quanttatva, quando seus valores são expressos em números. A varável quanttatva pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dos lmtes (ex: peso, altura, medções), ou pode ser dscreta, quando só pode assumr valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de flhos, contagens em geral, números nteros).. Precsão A precsão da medda será automatcamente ndcada pelo número de decmas com que se escrevem os valores da varável. Ex: 1,80 m ndca uma medção com precsão de centésmos..3 Arredondamento De acordo com resolução do IBGE Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 0, 1,, 3, ou 4, fca nalterado o últmo algarsmo a permanecer. Ex: 53,4 passa a 53, ; 17,345 passa a 17,3 Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se de uma undade o últmo algarsmo a permanecer. Ex: 4,87 passa a 4,9 ; 5,08 passa a 5,1; 53,99 passa a 54,0 Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 5, há duas soluções: a) Se ao 5 segur em qualquer casa um algarsmo dferente de 0, aumenta-se de uma undade o últmo algarsmo a permanecer. Ex:,35 passa a,4 ; 5,6501 passa a 5,7. b) Se o 5 for o últmo algarsmo ou se ao 5 só se segurem zeros, o últmo algarsmo a ser conservado só será aumentado de uma undade se for ímpar. Ex: 4,75 passa a 4,8 ; 4,65 passa a 4,6 ; 4,7500 passa a 4,8 ; 4,6500 passa a 4,6 Exercícos. Arredonde dexando número ntero:,38 = 4,65 = 0,351 = 4,4 = 38,35 =,97 = 6,89 = 5,55 = 89,99 = Exercícos. Arredonde dexando uma casa decmal:

6 ,38 = 4,65 = 0,351 = 4,4 = 38,35 =,97 = 6,89 = 5,55 = 89,99 =.4 População e Amostra População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característca comum. Amostra é um subconjunto fnto de uma população. A amostra é escolhda através de processos adequados que garantam o acaso na escolha.5 Amostragem É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhdo. Dentre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatóra smples, amostragem proporconal estratfcada e amostragem sstemátca. a) Amostragem casual ou aleatóra smples: É um sorteo, por exemplo, para retrar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 90 alunos, utlza-se um sorteo com todos os números dos alunos escrtos em papés dentro de um saco. Para amostras grandes utlza-se a Tabela de Números Aleatóros (Págna 40). Assm para o exemplo da sala de aula, utlzando dos algarsmos, através da letura da prmera lnha (escolhda através de sorteo), obtém-se: Como a população va de 1 a 90 escolhe-se os 9 prmeros números dentro dessa faxa: b) Amostragem proporconal estratfcada: É comum termos populações que se dvdam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportamento dferente do outro, a amostra deve consderar a exstênca desses estratos e a sua proporção em relação à população. Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 mennos e 36 mennas. Determne uma amostra de 9 pessoas: Sexo População Cálculo Proporconal Amostra Regra de três smples Masculno x 9 / 90 = 5,4 5 Femnno x 9 / 90 = 3,6 4 Total

7 Posterormente, utlza-se a tabela de números aleatóros para escolher 5 mennos e 4 mennas. Verfca-se que fo realzado um arredondamento dos números 5,4 e 3,6. Esse arredondamento é efetuado utlzando as regras de arredondamento. Exercíco: Em uma escola exstem 50 alunos, dstrbuídos em séres conforme a tabela. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela. Séres População Cálculo Proporconal Amostra 1 a 35 a 3 3 a 30 4 a 8 5 a 35 6 a 3 7 a 31 8 a 7 Total c) Amostragem sstemátca É quando a amostragem é feta através de um sstema possível de ser aplcado pos a população já se encontra ordenada. Exemplo 1: em uma lnha de produção, a cada 10 tens fabrcados, retra-se 1 para nspeção, tem-se uma amostra de 10 % da população. Exemplo : em uma rua com 900 prédos, deseja-se uma amostra de /50 =18 (50 grupos de 18 prédos cada). Faz-se um sorteo entre 1 e 18, por exemplo 4, então pesqusaríamos o 4 o prédo da rua, o o, o 40 o, 58 o, assm por dante. Exercícos de População e Amostra 1) Uma unversdade apresenta o segunte quadro relatvo aos seus alunos do curso de Matemátca. Obtenha uma amostra proporconal estartfcada de 100 alunos. Sére Qtde Amostra 1 a 85 a 70 3 a 80 4 a 75

8 Total 100

9 ) Uma cdade X apresenta o segunte quadro relatvo às suas escolas de 1 o grau: Escola Homens Mulheres Total Amostra Homens Mulheres Total A B C D E F Total 10 Obtenha uma amostra proporconal estratfcada de 10 estudantes

10 3) Utlzando a tabela de números aleatóros, obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 alunos, utlze a 10 a e a 11 a coluna para começar o sorteo. 4) Ordene uma amostra de 15 elementos de uma população ordenada formada por 10 elementos, sabendo que o elemento de ordem 149 a ela pertence?

11 Capítulo 3 - Séres Estatístcas 3.1 Séres Estatístcas Sére estatístca é toda tabela que apresenta a dstrbução de um conjunto de dados estatístcos em função da época, do local, ou da espéce. Pode-se classfcar em: hstórca, geográfca, específca a) Séres hstórcas (cronológcas, temporas) - descrevem os valores da varável, em determnado local, em função do tempo Exemplo: Tabela Analfabetsmo na faxa de 15 anos ou mas - Brasl /000 População de 15 anos ou mas Ano Total(1) Analfabeta(1) Taxa de Analfabetsmo , , , , , , , , ,6 Fonte: IBGE, Censo Demográfco. Nota: (1) Em mlhares b) Séres geográfcas (espacas, terrtoras ou de localzação) - descrevem os valores da varável, em um determnado nstante, em função da regão Exemplo: População Mundal Em mlhões de pessoas Canadá 30,5 Argentna 36,1 Japão 16, Rússa 147,4 Brasl 165,8 Indonésa 06,3 EUA 74 Índa 98, Chna 155,6 Fonte: O Estado de São Paulo, 01/01/000

12 População Mundal em , 155,6 em mlhões ,5 36,1 16, 147,4 165,8 06,3 74 Argentna Brasl EUA Chna c) Séres Específcas (categórcas) - descrevem os valores da varável, em um determnado nstante e local, segundo especfcações. Custo médo das campanhas eletoras em 1998, segundo estmatva dos canddatos em mlhões de reas. Fonte: TSE Presdente 5 Governador 6 Senador 3,5 Deputado Federal 1,5 Deputado Estadual 0,5

13 Custo médo das campanhas eletoras em 1998, segundo estmatva dos canddatos em mlhões de reas. Fonte: TSE Mlhões de Reas ,5 1,5 0,5 Presdente Governador Senador Deputado Federal Deputado Estadual d) Séres Conjugadas - Tabela de Dupla Entrada É a unão de duas séres em uma só tabela Exemplo: População Mundal - em mlhões de pessoas País Canadá 30,5 4,3 Argentna 36,1 54,5 Japão 16, 104,9 Rússa 147,4 11, Brasl 165,8 44, Indonésa 06,3 311,8 EUA ,3 Índa 98, 158,8 Chna 155,6 1477,7 Fonte: O Estado de São Paulo, 01/01/000 O exemplo acma é uma sére geográfca-hstórca Podem também exstr séres conjugadas de três ou mas entradas, fato mas raro, pos dfculta a nterpretação dos dados.

14 População Mundal - em mlhões de pessoas Mlhões de pessoas Argentna Brasl EUA Chna 3. - Dstrbução de freqüênca Será tratado em capítulo a parte devdo a sua mportânca. Exemplo: Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüênca Dados Absolutos e Dados Relatvos Dados Absolutos: são resultantes de uma coleta dreta, sem outra manpulação senão a contagem Dados Relatvos: são resultantes de comparações, há um tratamento matemátco dos dados para uma melhor nterpretação.

15 As percentagens a) Consdere a sére: Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüênca Calculando a percentagem das pessoas em cada faxa etára, pode-se preencher uma nova coluna Idade na Morte Freqüênca % Total Pode-se agora trar uma melhor conclusão e também construr um gráfco de setores (pzza).

16 Idade da Morte causada por arma de fogo % % % % % % %

17 Os índces Os índces são razões entre duas grandezas ndependentes. Ex: Relação canddato vaga = Qtde de canddatos / Qtde de vagas Densdade demográfca = população / área de uma superfíce Renda per capta = renda total de uma população / população Os Coefcentes Os coefcentes são razões entre o número de ocorrêncas e o número total. É a porcentagem expressa na forma untára. Ex: Coefcente de evasão escolar = n o de alunos evaddos / n o ncal de alunos Coefcente de aprovetamento escolar = n o de alunos aprovados/ n o fnal de alunos As Taxas As taxas são os coefcentes multplcados por uma potênca de 10, 100, 1000, etc para tornar o resultado mas ntelgível (claro) Ex: Taxas de mortaldade = coefcente de mortaldade x 1000 ( lê-se mortes a cada 1000 habtantes) Taxa de evasão escolar = coefcente de evasão escolar x 100 Exercícos: Exercíco 1 - Consdere a tabela abaxo: Ano Qtde de Analfabetos no Brasl acma de 15 anos em mlhares de hab. % de aumento Complete a tabela com uma coluna de percentagem de aumento de um período para o outro. Não utlze casas decmas, apenas números nteros.

18 Exercíco - Consderando que o Brasl, em 000, apresentou: População: 164 mlhões de habtantes Superfíce: km Nascmentos: 6, mlhões Óbtos: 3,8 mlhões Calcule: a) o índce de densdade demográfca b) a taxa de nataldade c) a taxa de mortaldade Exercíco 3 - Em certa eleção muncpal foram obtdos os seguntes resultados Canddato % do total de votos Número de votos A 6 B 4 C Brancos e nulos 196 Determne o número de votos obtdo pelo canddato vencedor. Exercíco 4 : A tabela abaxo apresenta a varação percentual das vendas ndustras de aparelhos doméstcos, comparando o período de julho e agosto de 003 com o período de julho e agosto de 004. Vendas ndustras de aparelhos doméstcos Varação percentual jul/ago 003 e jul/ago 004 Refrgeradores 15,06 Freezers vertcas 4,97 Freezers horzontas 4,61 Lavadoras automátcas - 18,18 Fogões - 0,17 Condconadores de ar 83,45 Supondo que no período de jul/ago de 003 tenham sdo venddas lavadoras automátcas, determne o número de undades venddas no mesmo período de 004.

19 Capítulo 4 - Dstrbução de Freqüênca 4.1 Tabela Prmtva e Rol Tabela prmtva - elementos da varável anda não foram numercamente organzados Ex: Total de pontos (acertos) obtdos por 40 alunos em um teste de 175 questões Rol - é a tabela prmtva ordenada (crescente ou decrescente). Ex: Dstrbução de freqüênca Com sso pode-se construr uma tabela denomnada Dstrbução de Freqüênca, sendo a freqüênca o numero de elementos relaconados a um determnado valor da varável. Ex: Pontos Freqüênca Pontos Freqüênca Pontos Freqüênca total 40 Para uma melhor vsualzação e economa de espaço, agrupam-se os valores em ntervalos de classe. Ex: Total de pontos (acertos) obtdos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüênca Total 40

20 Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anteror, ou seja, do rol já partr para a tabela de dstrbução de freqüêncas com ntervalos de classe. 4.3 Elementos de uma dstrbução de freqüênca a) Classes de freqüênca: são os ntervalos de varação da varável, representados por, sendo = 1,,3,4,...,k, onde k é o número total de classes. Em nosso exemplo k = 6 b) Lmtes da classe: são os extremos de cada classe. Lmte superor L Lmte nferor l O símbolo l - L sgnfca nclusão de l e exclusão de L l = 154 e L = 158 c) Ampltude de um ntervalo de classe (h) é a medda do ntervalo que defne a classe h = L - l h = = 4 d) Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da ultma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera (lmte nferor mínmo). AT = L(max) - l (mn) AT = = 4 Deve-se notar que AT/h = k 4/4 = 6 e) Ampltude amostral (AA) : é a dferença entre o valor máxmo e o valor mínmo da amostra AA = x(máx) - x(mín) AA = = 3 f) Ponto médo de uma classe (x) : é o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas x = (l+l)/ x = ( )/ = 156 f) Freqüênca smples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f 1 = 4 f = 9 f 3 = 11 f 4 = 8 f 5 = 5 f 6 = 3

21 k f = n = 1 6 f = = Número de Classes, Intervalos de Classe Determnação do número de classes: utlza-se a regra de Sturges (obs: não é obrgatóro, é apenas uma orentação) k = 1+ 3,3 log n onde, k é o número de classes e n é o numero total de dados. Esta fórmula nos permte obter a segunte tabela n k Para determnação do ntervalo de classe h aplca-se AA h = Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mas. k h = 3,8 = 6 No caso = 4, ou seja, 6 classes de ntervalo 4. Exercíco:.As notas obtdas por 50 alunos de uma classe foram: Complete a dstrbução de freqüênca abaxo Notas x f

22 Total Tpos de freqüêncas a) Freqüênca Smples ou Absoluta (f ) : é o valor que representa o número de dados de uma classe, onde : k f = n = 1 b) Freqüênca Relatva (fr ): é a porcentagem entre a freqüênca smples e a freqüênca total: fr = k f = 1 No exemplo: fr 3 = 11/40 = 0,75 x 100 = 7,5 % k fr 100% É obvo que: = = 1 f [ ] 100 % O propósto das freqüêncas relatvas é o de permtr a análse e facltar comparações. c) Freqüênca Acumulada (F ): é o total das freqüêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. k F = f + f + f + L + f F = ou k f k 1 3 k = 1 No exemplo F 3 = f 1 + f + f 3 = =4, o que sgnfca que exstem 4 alunos com estatura nferor a 16 cm (lmte superor do ntervalo da tercera classe) d) Freqüênca Acumulada relatva (Fr ): é a porcentagem entre a freqüênca relatva acumulada da classe e a freqüênca total da dstrbução. Fr = k F = 1 f [ ] 100 % No exemplo temos Fr 3 = 4/40 = 0,6 = 60 %, o que sgnfca que 60 % dos alunos acertaram menos de 16 questões

23 Pode-se então montar a segunte tabela: Total de Pontos x f fr (%) F Fr (%) , , , , , , , , , , , ,00 Total 40 1,000 Que nos ajuda a responder: 1) Quantos alunos acertaram entre 154, nclusve, e 158 questões? Resp. 9 alunos ) Qual a percentagem de alunos com total de pontos nferor a 154? Resp. 10% 3) Quantos alunos acertaram menos que 16 questões? Resp. 4 alunos 4) Quantos alunos obtveram um total de pontos não nferor a 158? Resp = 7 alunos 4.6 Dstrbução de Freqüênca sem Intervalo de Classe Quando se trata de varável dscreta de varação relatvamente pequena, cada valor pode ser tomado como um ntervalo de classe, tomando a segunte forma: Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguntes: resultados f fr F Fr Total 50 1,000 Exercíco: Complete a tabela abaxo e responda: Horas de estudo por x f fr F Fr

24 semana Total 1,000 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas? Qual a porcentagem de pessoas que estudam 0 ou mas horas?

25 4.7 Representação Gráfca de uma Dstrbução de Freqüênca Pode-se ser representado bascamente por um hstograma, por um polígono de freqüênca ou por um polígono de freqüênca acumulada. a) Hstograma: O hstograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzontal, de tal modo que seus pontos médos concdam com os pontos médos dos ntervalos de classe. Seja o exemplo: Total de x f F Pontos Total Hstograma Frequêncas f Total de Pontos b) Polígono de freqüênca: É um gráfco em lnha, sendo as freqüêncas marcadas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas pelos pontos médos dos ntervalos de classe.

26 f Total de Pontos c) Polígono de freqüênca acumulada: É traçado marcando-se as freqüêncas acumuladas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas nos pontos correspondentes aos lmtes superores dos ntervalos de classe F Total de pontos f Total de Pontos

27 Polígono de freqüênca com o hstograma A Curva de Freqüênca. Curva Polda O polígono de freqüênca nos fornece uma magem real e a curva uma magem tendencal. A curva polda de uma amostra lmtada se assemelha mas a curva resultante de um grande número de dados, do que o polígono de freqüênca obtdo da mesma amostra lmtada. Utlza-se uma nova freqüênca, denomnada calculada (fc). fc = f ( 1) + f + f 4 (+ 1) No exemplo anteror tem-se: Total de Pontos x f F fc (0+*0+4)/4 = (0+*4+9)/4 = 4, (4+*9+11)/4 = 8, (9+*11+8)/4 = 9, (11+*8+5)/4 = (8+*5+3)/4 = 5, (5+*3+0)/4 =, (3+*0+0)/4 = 0,75 Total ,75 8 8,5 8 fc 6 5,5 4 4,5,75 1 0, Total de Pontos Exercíco - Construa o hstograma, o polígono de freqüênca, o polígono de freqüênca acumulada e a curva polda da segunte dstrbução.

28 0 Total de Faltas de uma sala com 60 alunos x f fc F Capítulo 5 - Meddas de Posção 5.1 Introdução Até agora os estudos de dstrbução de freqüênca efetuados nos permte localzar a maor e menor concentração dos valores de uma dada dstrbução. No entanto, para destacar as tendêncas característcas necessta-se de elementos típcos da dstrbução que são as: Meddas de posção Meddas de varabldade ou dspersão Meddas de assmetra Meddas de curtose As meddas de posção nos orenta quanto a posção da dstrbução em relação ao exo horzontal. As meddas mas mportantes são as meddas de tendênca central (os dados tendem a se agrupar em torno de valores centras). Dentre elas destacam-se: A méda artmétca A medana A moda Outras meddas de posção são as separatrzes que são: A medana Os quarts Os percents 5. Meda Artmétca ( x )

29 x = n = 1 onde x são os valores da varável e n o número de valores. a) Desvo em relação a méda (d ) d = x x n d 0 b) Propredades: = = 1 A soma algébrca dos desvo em relação a méda é nula Somando-se (ou subtrando-se) uma constante (c) de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. Multplcando-se (ou dvdndo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8, , ,5 + 7,5 + 8,5 A méda é x = = 7, 3 10 n x Desvos: 8-7,3 0,7 9-7,3 1,7 7-7,3-0,3 6-7,3-1,3 10-7,3,7 5,5-7,3-1,8 5-7,3 -,3 6,5-7,3-0,8 7,5-7,3 0, 8,5-7,3 1, Total 0,0 c) para dados agrupados (dstrbução de freqüênca sem ntervalos de classe) Seja a segunte dstrbução: n o de flhos (x ) f f. x que se deseja ter

30 78 x = = = 34 tem-se então:,94 ~, 3 Total x n (f = 1 = n = 1 d) para dados agrupados (dstrbução de freqüênca com ntervalos de classe). Adota-se o segunte: todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Seja a segunte dstrbução: 6440 tem-se então: x = = 161 pontos 40 x Total de x f f. x pontos Total Exercíco 1 - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução. f ) Qtde de cursos de extensão realzados por ano (x ) pelos alunos do 3 o Mat f f. x Exercíco - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução.

31 Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] x f f. x Total e) Processo breve Há uma mudança de varável x por outra y, tal que: x = x h 0 y x 0 é uma constante escolhda convenentemente entre os pontos médos da dstrbução, de preferênca o de maor valor de freqüênca, e h é o ntervalo de classe. A méda então é calculada por: x = 1 = x 0 + n n ( f y ) = 1 f h Exemplo: Escolhendo x 0 = 160 e como h = 4 Total de Pontos x f y f. y Total Então: x = = 161pontos 40

32 Exercíco 3: Pelo processo breve, calcule a méda artmétca da dstrbução. Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] x f y f. y Total

33 Exercíco 4: Pelo processo breve, calcule a méda artmétca da dstrbução. Valor da hora aula de profssonas da educação [R$] x f y f. y Total 5.3 A Moda (Mo) Denomna-se moda o valor que ocorre com maor freqüênca em uma sére de valores. Caso 1) Dados não agrupados. Basta procurar o valor que mas se repete. Ex: 3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A sére tem moda gual a 6 (valor modal 6) Pode acontecer também uma sére sem valor modal. Ex: 1,,3,4,5,6,7,8,9 sére amodal Pode acontecer também uma sére com mas de uma moda. Ex: 1,,,,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a sére tem duas modas ( e 6) - sére bmodal Caso ) Dados agrupados. a) sem ntervalos de classe. Basta dentfcar o valor da varável que possu maor freqüênca. Ex: Seja a segunte dstrbução: Mo = 3 n o de flhos (x ) que se deseja ter f Total 34 b) com ntervalos de classe. A classe com maor freqüênca é denomnada classe modal, o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médo do ntervalo de classe.

34 Mo = x = l + L Ex: Seja a dstrbução: Total de pontos x f Total 40 Então: a classe modal é = 3, logo Mo = 160 pontos Exercíco: Calcule a moda da segunte dstrbução: Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] Total 64 f 5.4 Medana (Md) A medana é o número que se encontra no centro de uma sére de números, ou seja, separa os valores em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Caso 1 ) Dados não agrupados Dada uma sére de valores: 5,13,10,,18,15,6,16,9 Deve-se então ordená-los:,5,6,9,10,13,15,16,18 Determna-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10

35 Se a sére tver número par de valores, a medana é a méda dos dos valores centras:,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/ = 9,5 Caso ) Dados agrupados No caso de dstrbução de freqüênca deve-se prmeramente determnar a freqüênca acumulada. Determna-se então, o valor que dvde a dstrbução em duas partes guas. Aplca-se então: f a) sem ntervalos de classe. Dada a sére: n o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 34 f 34 Então: = = 17 A menor freqüênca acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor da varável. No caso de f = F Md = acontecer, a medana será dada por: x + x 1 Md = +. Exemplo: f + 3 = 18 = F3, então: Md = =, 5 n o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 36 Exercícos:

36 1) Calcule a medana das seguntes dstrbuções: Qtde de anos de f F estudo (x ) Total Qtde de dscplnas em dependênca Total f F b) com ntervalos de classe: segue-se os seguntes passos: 1 o - Determna-se as freqüêncas acumuladas f o - Calcula-se 3 o - Marca-se a classe correspondente a freqüênca acumulada medatamente superor a f (classe medana) e emprega-se a fórmula: f F( ant) h Md = l + f onde: l é o lmte nferor da classe medana F(ant) é a freqüênca acumulada da classe anteror a classe medana h é a ampltude do ntervalo da classe medana f é a freqüênca do ntervalo da classe medana Exemplo: Total de pontos f F

37 Total 40 f 40 = = 0, logo classe medana é = 3 l = 158 F(ant) = 13 h = 4 f3 = 11 [ 0 13] 4 Md = = 158 +,5 = 160,5 11 f No caso de = F acontecer, a medana será o lmte superor da classe correspondente. Exercíco: Calcule a medana das seguntes dstrbuções: Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] Total 64 f F Valor da hora aula de profssonas da educação [R$] f F Total 5.5 Os Quarts

38 Denomna-se quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Portanto, há três quarts. São mas aplcados em dstrbução de freqüênca com ntervalos de classe. Prmero Quartl (Q 1 ) - 5 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são maores. Segundo Quartl (Q ) - concde com a medana, 50 % para cada lado. Tercero Quartl (Q 3 ) - 75 % dos dados são menores que ele e os 5 % restantes são maores. Para o caso de dados agrupados, basta aplcar: quartl. Então: Q Q 1 3 = l = l Exemplo: + 4 f Prmero Quartl f 40 = = h = 4 f = 9 f F f f F ( ant) ( ant) h h Q = l 4 + k f, sendo k o número de ordem do 4 f F( ant) h f Total de Pontos f F Total 40, logo classe do 1 o Quartl é = l = 154 F(ant) = 4 [ 10 4] 4 Q 1 = = 154 +,66 = 156,66 = 156,7 9 Segundo Quartl = Medana f 40 = = 0, logo classe do o Quartl é = 3 4 l = 158 F(ant) = 13 h = 4 f 3 = 11

39 [ 0 13] 4 Q = Md = = 158 +,5 = 160,5 11 Tercero Quartl 3 f 3 40 = = 30, logo classe do 3 o Quartl é = l = 16 F(ant) = 4 h = 4 f 4 = 8 [ 30 4] 4 Q 3 = 16 + = = Exercíco: Calcule os quarts da segunte dstrbução: Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] f F Total Os Percents Denomna-se percents os noventa e nove valores que separam uma sére em 100 partes guas. Indca-se da segunte forma: P 1,P,P 3,...P 99 Note-se que: P 50 = Md, P 5 = Q 1 e P 75 = Q 3 Calcula-se da mesma forma que os quarts, só que aplcando: k f, sendo k o número de ordem do percentl. 100 k f F( ant) h 100 P K = l + f Exemplo: Total de Pontos f F

40 Total 40 Tem-se para o otavo percentl: 8 f 8 40 k = 8 => = = 3,, logo classe do 8 o Percentl é = l = 150 F(ant) = 0 h = 4 f 1 = 4 [ 3, 0] 4 P 8 = = , = 153, 4 Exercíco: Calcule o percentl de ordem 0 da segunte dstrbução: Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] Total 64 f F

41 Capítulo 6 - Meddas de Dspersão ou de Varabldade 6.1 Ampltude total (AT) a) a ampltude total é a dferença entre o maor valor e o menor valor observado: AT = x MÁX x MÍN Exemplo: 40, 45, 48, 5, 54, 6, e 70 AT = = 30 Quanto maor a ampltude total, maor será a dspersão dos valores da varável em torno da méda. 6. Varânca (s ) e Desvo Padrão (s) São mas estáves que a ampltude total, não sofrem tanto a nterferênca de valores extremos. a) para dados não agrupados A varânca é a méda artmétca dos quadrados dos desvos: s ( x x) ( x x) = f A varânca é um número em undade quadrada em relação a méda, por sso, defnu-se o desvo padrão como a raz quadrada da varânca. O desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. Para evtar o acúmulo de erro por arredondamento, smplfca-se o cálculo do desvo padrão com a segunte: que resulta em: ( x x) s = x = x = n n n ( x ) Obs: Quando calcula-se a varânca ou o desvo padrão de uma população através de uma amostra dessa, deve-se substtur o denomnador n por n-1. Propredades: 1 a : Somando-se (ou subtrando-se) uma constante a (de) todos os valores de uma varável, o desvo padrão não se altera. a.: Multplcando-se todos os valores de uma varável por uma constante (dferente de zero), o desvo padrão fca multplcado por essa constante. x n

42 Exemplo: Calcule o desvo padrão da segunte sére: x x s = n n = x x Total = 181, = 3,56 b) para dados agrupados sem ntervalos de classe: deve-se levar em conta as freqüêncas. Exemplo: s (f x ) = n (f x) n Qtde de flhos que se f f. x f. x deseja ter (x ) Total (f x ) (f x) s = n n = = 5,5 4,41 = 1,04 Exercíco: Determne o desvo padrão. Qtde de cursos de extensão realzados por ano (x ) pelos alunos do 3 o Mat f f. x f. x

43 Total 5 c) para dados agrupados com ntervalos de classe: também leva-se em conta as freqüêncas e x é o ponto médo do ntervalo de classe. Exemplo: Total de Pontos x f f x f x Total (f x ) (f x ) s = n n = = = 31 = 5,57 Processo breve: Da mesma manera que o cálculo da méda, muda-se a varável X por outra Y, tal que: y x x 0 = e h Exemplo: s = 4 s (f y ) = h n (f y) n Total de Pontos x f y f y f y Total = 4 0,065 = 4 1,9375 = 4 1, = 5,57 Resolva: Calcule o desvo padrão pelo processo breve. Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] x f y f y f y

44 Total 64 Peso kg x f y fy fy Total Coefcente de Varação (CV) É a porcentagem do desvo padrão em relação a sua méda. s CV = 100 x Exemplo: Para o exemplo anteror, das estaturas, tem-se méda de 161 cm e desvo padrão de 5,57 cm 5,57 CV = 100 = 3,459 = 3,5% 161 Resolva: Calcule o CV dos dos últmos exercícos de cálculo de desvo padrão pelo processo breve. a) x = 755 s = 154

45 x = 84,3 b) s = 1,88 Conclusão: Quanto maor o CV maor será a dspersão Quanto menor o CV menor será a dspersão

46 Exercícos de Revsão: Os dados abaxo referem-se a dade das pessoas que compraram um determnado produto novo durante um da. Determne: Idade x f F y f y f y f x f x Total a) Méda; b) Desvo Padrão; c) Medana d) Prmero Quartl e) Tercero Quartl f) P 40

47 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS:

48 Tamanho da Amostra para populações fntas z ( x / n) [ 1 ( x / n) ] N ( N 1) e + z ( x / n) [ 1 ( x / n) ] n = n = tamanho da amostra N = tamanho da população e = % de erro na forma untára z = ntervalo de confança, 1,96 para 95% de confança (valor usual),58 para 99% de confança. x/n = proporção esperada. O valor de n é máxmo para x/n = 0,50 Resultando em: n n = = 1,96 0,50 [ 1 0,50] N ( N 1) e + 1,96 0,50 [ 1 0,50] 0,9604 N ( N 1) e + 0, 9604 Exemplo: erro % 0,0 z= 1,96 x/n = 0,5 =

49 População Amostra População Amostra População Amostra População Amostra Cálculo do erro ( x / n) [ 1 ( x / n) ] e = z para população desconhecda n ( x / n) [ 1 ( x / n) ] N n e = z para população conhecda n N 1 para z = 1,96 e x/n = 0,50 tem-se: 1 e = 0,98 para população desconhecda n

50 e 0,98 N n n (N 1) = para população conhecda População = 100 Amostra Erro 10 0,30 0 0,0 30 0, ,1 50 0, , , , , ,00 Bblografa STEVENSON, W. J. Estatístca Aplcada à Admnstração. São Paulo: Edtora HARBRA Ltda, 1981

51 BIBLIOGRAFIA: COSTA NETO, P. L. de O. Probabldades. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, COSTA NETO, P. L. de O. Estatístca. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, 17 o ed CRESPO, A. A. Estatístca Fácl. São Paulo: Edtora Sarava, 17 o ed DANTE, L. R. Matemátca: Contexto de Aplcações. São Paulo: Edtora Átca, DOWNING, D., CLARK, J. Estatístca Aplcada. São Paulo: Edtora Sarava, 000. KAZMIER, L. J. Estatístca Aplcada à Economa e Admnstração. São Paulo: Edtora Makron books Ltda., 198. LAPPONI, J. C. Estatístca Usando Excel. São Paulo: Edtora Lappon, 000. LEVIN, J. Estatístca Aplcada a Cêncas Humanas, a edção. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, NICK, E., KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatístca para as Cêncas do Comportamento. Ro de Janero: Edtora Renes, SIEGEL, S. Estatístca Não Paramétrca. São Paulo: Edtora McGraw-Hll do Brasl Ltda, STEVENSON, W. J. Estatístca Aplcada à Admnstração. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, TRIOLA, M. F. Introdução à Estatístca. Ro de Janero: Lvros Técncos e Centífcos Edtora S.A., 7 a ed

52 Apêndce Calcule em cada caso, a méda artmétca dos valores: a) b) c) d) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 e) A a a a a b b b b c c f) Um ônbus de excursão partu com 40 turstas a bordo dos quas 8 reservaram a vagem com antecedênca e pagaram cada um R$ 300,00. Os demas pagaram cada um R$ 340,00 pela vagem, Qual fo o preço médo que cada tursta pagou nessa excursão? 3. Sejam A = (x, 6, 3, 4, 5) e B = (9, 4, 8, x, 6, 11, 3). a) Determne x para que as médas artmétcas dos dos conjuntos sejam guas. b) Determne os possíves valores nteros de x de modo que x A não ultrapasse 4 e x B seja, no mínmo, gual a Para que os valores de a as médas artmétcas de (- 3, a, 10, 9) e (-, 3, a, - 5) concdem? 5. x é uma varável que assume os valores, a Determne a de modo que: a) x = 11 b) 1 x < 13 c) x < 0 6. Os dados na tabela ao lado referem-se ao número de umdades de um lvro ddátco venddas, mês a mês, nos dos prmeros anos após seu lançamento. Mês 1 a ano a ano Janero Feverero Março Abrl Mao Junho Julho Agosto Setembro

53 Outubro Novembro Dezembro a) Do prmero para o segundo ano de vendas, a méda mensal de lvros venddos aumentou em x undades. Qual é o valor de x? b) Do prmero para o segundo ano de vendas, a méda mensal de lvros venddos aumentou em y%. Qual é o valor de y? 7. Os dados seguntes referem - se às quantdades mensas de CDs do cantor x venddos durante um ano a) Em quantos meses as vendas mensas superaram a méda de CDs venddos? 8. A méda artmétca de 80 números é gual a 40,5. Adconando-se a esse conjunto de valores o número 43, qual será a méda artmétca? 9. A méda artmétca de uma lsta formada por 55 números é gual a 8. Adconando se dos números a essa relação, a méda aumenta em undades. Determne-os, sabendo que um deles é o trplo do outro. 10. A méda artmétca de 45 números é gual a 6. Ao acrescentarmos o número x a esses valores, a méda aumenta em 50%. a) Qual é o valor de x? x x x x x b) Qual é a méda artmétca dos números ; ; ; ;? Uma prova de Conhecmentos Geras fo aplcada em duas turmas, A e B, com n e m alunos, respectvamente. A méda das notas da turma A fo 6,8 e a da turma B foram 5,. Juntando as notas das duas turmas, a méda geral fo 5,8. a) Intutvamente, responda O que é maor n ou m? b) Determne n e m, sabendo que a dferença entre eles é gual a A méda de pesos de 5 clentes hospedadas em um SPA era de 84 Kg. A elas juntou-se um grupo de n amgas. Curosamente, cada amga desse grupo pesava 90 Kg. Determne o valor de n, sabendo que a méda de pesos de todas as clentes hospedadas no SPA aumentou em 1 qulograma. 13. A méda artmétca de 15 números é 6. Retrando - se um deles, a méda dos demas passa a ser 5. Qual fo o número retrado?

54 14. A méda artmétca de n números é 9. Retrando-se o número 4, a méda aumenta para 30. Qual é o valor de n? 15. Determne n a fm de que a méda artmétca dos números n, n + 1, n + e n + 3 seja gual a A méda artmétca de 7 números nteros é 4. Determne-os, sabendo que eles formam uma P. A crescente de razão Calcule a méda artmétca entre os números reas log 3, log 4 e log 5, sabendo que log 1, 0, A méda artmétca de 10 números, x 1, x,..., x 10, é 4. Qual será a nova méda se : a) x 1 for aumentado de 4 undades e x aumentado de 8 undades? b) x 1 for subtraído de 10 undades e x aumentado de 6 undades? 19. A tabela segunte mostra o saláro médo dos trabalhadores de três cdades, A, B e C, que compõem uma regão metropoltana. Cdade Saláro médo (em reas) A 530,00 B 600,00 C 700,00 Determne o saláro médo na regão metropoltana se: a) A B e C têm o mesmo número de trabalhadores; b) A têm trabalhadores, B tem e C tem ; c) A tem o dobro de trabalhadores de B, que tem o trplo de trabalhadores de C. 0. Na stuação do exercíco anteror, suponha que A concentre 70% dos trabalhadores da regão metropoltana. Determne o percentual de trabalhadores que vvem em B e C, respectvamente, a fm de que o saláro médo dos trabalhadores da regão seja R$ 560, O gráfco segunte nforma a dstrbução do tempo de servço (em anos) dos funconáros de uma pequena empresa.

55 Tempo de servço 50% 45% 40% porcentagem 30% 0% 10% 8% 6% 11% 10% 0% anos Qual é o tempo médo de trabalho dos funconáros dessa empresa?. Sejam x 1, x,..., x n os n valores assumdos por uma varável quanttatva e x a méda artmétca correspondentes a tas valores. Estabeleça uma relação entre a x e x em cada caso a segur. nova méda ( ) a) Cada x ( = 1,,3...,n) é aumentado de duas undades; b) Cada x ( = 1,,3...,n) é multplcado por três; c) Cada x ( = 1,,3...,n) é dmnuído de cnco undades; d) Cada x ( = 1,,3...,n) é multplcado por e ao resultado são acrescentadas três undades; e) Cada x ( = 1,,3...,n) é subtraído de x undades. 3. A tabela segunte mostra o número de gols por partda regstrada nas duas prmeras rodadas de um campeonato braslero. N o de gols Freqüênca Absoluta 0 5 jogos 1 6 jogos 8 jogos 3 4 jogos 4 5 jogos 5 3 jogos 6 1 jogo a) Qual fo a méda de gols por partda regstrada nas duas prmeras rodadas?

56 b) A rodada segunte preva a realzação de n jogos sábado e a dos demas no domngo. Em cada um dos jogos desabado foram marcados 3 gols. Com sso, a méda de gols do campeonato (comparadas às duas prmeras rodadas e os jogos de sábado) elevou-se para,5 gols por partda. Qual é o valor de n? 4. A méda dos saláros dos funconáros de uma loja é de R$ 60,00. Qual será a nova méda salaral se: a) Cada funconáro receber um aumento de R$50,00? b) Cada funconáro receber um aumento de 0%? 5. Uma prova fo aplcada em duas turmas, A e B,e as médas obtdas foram 7. e 6.3, respectvamente. Se cada aluno da turma A tvesse obtdo n pontos a menos e cada aluno da turma B tvesse obtdo n pontos a mas, as médas das duas turmas seram guas. Qual o valor de n? 6. Em uma empresa, a méda salaral é R$540,00. Pretende-se dar a cada funconáro um aumento de 5% e um abono de R$80,00. Qual será a nova méda de saláros na empresa se: a) O aumento for dado antes do abono? b) O aumento for dado após a ncorporação do abono ao saláro? 7. É comum encontrarmos produtos com conteúdo líqudo menor que o declarado nas embalagens. Em uma pequena cdade, doces de lete são venddos em copos de vdro em cujos rótulos constam à nformação relatva ao peso de 00g. Dos fabrcantes, A e B, fornecem doces com conteúdo real médo de 190 g e 195 g., respectvamente. Um supermercado comprou um total de n copos (somadas as duas marcas) de doce de lete, e verfcou-se que o conteúdo médo líqudo do lote era 193,5 g. 8. Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avalação de um trabalho, nota 5 ou nota 10. A méda artmétca dessas notas fo 6. Determne quantos alunos obtveram nota 5 e quantos obtveram nota 10? 9. O gráfco ao lado, em forma de pzza, representa as notas obtdas em uma questão pelos canddatos presentes à prmera fase de uma prova de vestbular. Ele mostra, por exemplo, que 3% desses canddatos tveram nota nessa questão. Pergunta-se: Notas de uma questão do vestbular 5 10% 6 10% 1 0% 4 1% 3 16% 3%

57 a) Quantos canddatos tveram nota 3? b) É possível afrmar que a nota méda, nessa questão, fo menor ou gual a? Justfque sua resposta. 30. Em uma fábrca, a méda salaral de determnado setor, que emprega 0 funconáros, é 50 reas. Um deles, que ganhava 550 reas, fo afastado, e foram contratados novos funconáros, um com saláro de 480 reas e o outro com saláro de 630 reas. Qual é o número ntero mas próxmo da nova méda de saláros nesse setor? 31. Em uma classe de educação nfantl, a méda de dade das 5 cranças é 4 anos e 3 meses. Qual é o número de cranças com 4 anos e 9 meses que devem ngressar nessa classe a fm de elevar essa méda para 4 anos e 4 meses? 3. Um programa benefcente veculado em um canal de TV tnha como objetvo arrecadar fundos para cranças carentes. O telespectador podera escolher entre 10, 0 ou 50 reas e lgar para o número correspondente ao valor escolhdo a fm de fazer a doação. Na prmera hora, pessoas fzeram doações, das quas 48% contrbuíram com o valor mínmo, 37% com o valor ntermedáro e cada uma das demas com o valor maor. a) Qual fo a méda de doações na prmera hora? b) Na hora segunte, pessoas contrbuíram para a campanha, das quas 3 1 colaborou com o valor mínmo. Determne o valor doado pelas demas pessoas, sabendo que a doação méda das duas prmeras horas fo R$, Um grupo de 0 nadadores, cuja méda de altura é 1,88 m, está trenando para uma competção. Se um grupo de 7 atletas cuja méda de altura é 1,9 m se juntar ao prmero grupo, qual será a méda de altura dos 7 atletas? 34. A méda artmétca dos números a 1, a, a 3,..., a 14, a 15 é 4. Qual é a méda artmétca dos números a 1 + 1, a +,..., a , a ? 35. Numa classe com vnte alunos as notas do exame fnal podam varar de 0 a 100 e a nota mínma para aprovação era 70. Realzando o exame, verfcou-se que oto alunos foram reprovados. A méda artmétca das notas desses oto alunos fo 65, enquanto a méda dos aprovados fo 77. Após a dvulgação dos resultados, o professor verfcou que uma questão hava sdo mal formulada e decdu atrbur 5 pontos a mas para todos os alunos. Com essa decsão, a méda dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8. a) Calcule a méda das notas da classe toda antes da atrbução dos 5 pontos extras? b) Com a atrbução dos 5 pontos extras, quantos alunos, ncalmente reprovados, atngram nota para aprovação? 36. A méda artmétca dos números x 1, x,..., x n é p. Determne a méda artmétca dos números x 1 1 x + 1, x 4 +1,..., x n + (-1) n, consderando que: a) n é par; b) n é mpar. 37. Em um tme de futebol, o jogador mas velho entre os onze ttulares fo substtuído por um jogador de 16 anos. Isso fez com que a méda de dade dos 11 jogadores dmnuísse anos. 1