Lógica para Ciência da Computação

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1 Lógica aa Ciência da Comutação

2 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ANÁLISE TRABALHO DE MONITORIA Tutoial Pático sobe o Método de Dedução Natual Discilina: Lógica aa Ciência da Comutação Monito: Aiel Alves da Fonseca Pofesso Oientado: Macelo da Silva Coêa Peíodo: Ano letivo de

3 Resumo O Método de Dedução Natual é um dos tóicos tatados no cuso de Lógica aa Ciência da Comutação, ofeecido elo Deatamento de Análise A caência de livos didáticos em otuguês ue abodam este método, usando ávoes de ova, nos fez constui esse tutoial ático, tendo como objetivo incial ofeece a alunos e ofessoes da discilina um mateial didático comlementa sobe o assunto O texto é baseado na aesentação das técnicas básicas aa constução de ovas no sistema de dedução natual o meio de exemlos e discussão de estatégias simles 3

4 Dedução Natual Sistema de Dedução Natual A dedução natual é um método de demonstação intoduzido indeendentemente o Gehad Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934 Os sistemas de dedução natual caacteizam-se, ente outos asectos, o não aesentaem um conjunto de axiomas, mas aenas um conjunto de egas de infeências Neste tutoial aesentaemos um conjunto de egas imitivas de dedução natual, esevando aa o final algumas egas deivadas No sistema de dedução natual as egas de infeência são ojetadas num adão de egas de intodução e eliminação de conectivos e uantificadoes, ue são combinadas aa a constução de uma ova Podemos eesenta as ovas o ávoes, sobeondo as instâncias das egas de infeência utilizadas na sua obtenção Deixaemos um esaço esevado aa insei as emissas e as hióteses geadas no ocesso Esse esaço é chamado de base de emissas e hióteses Potanto, gaficamente, uma ova ossuiá a seguinte foma: [Pemissas e Hióteses] Base de Pemissas e Hióteses Pemissas e Hióteses Conclusão A figua anteio mosta uma ova com aenas um amo, mas uma ova ode te váios amos, deendendo da ega consideada, como é exemlificado na figua seguinte: 1º amo 2º amo [Pemissas e Hióteses] [Pemissas e Hióteses] Base de Pemissas e Hióteses Pemissas e Hióteses Conclusão 4

5 É imotante ecebe ue as hióteses geadas esecificamente no 1º amo não odeão se usadas no 2º amo e vice-vesa, ou seja, os amos de ova são indeendentes As egas de infeência O Sistema de Dedução Natual aa a Lógica Sentencial disõe de onze egas básicas de infeência, ue odem se divididas em dois guos: as egas não hiotéticas, e as egas hiotéticas As egas não hiotéticas Nesta seção intoduziemos oito das onze egas básicas de infeência Eliminação da imlicação( E): De um condicional e seu antecedente, odemos infei seu conseüente Esta ega também é chamada de Modus Ponens, ue abeviamos o MP φ ψ φ ψ E Exemlo:,, E E, Usamos a ega E em e, odemos infei, e da mesma foma, ova a ati das emissas e, usando a mesma ega Eliminação da negação(~e) : De uma sentença ~~φ, odemos infei φ ~~φ φ ~E 5

6 Exemlo: ~ ~~, ~~~ ~~~ ~ ~E ~ ~~ E ~ ~~ ~~~ ~~ ~E Obseve ue a ega ~E não emite infei ~ a ati de ~ ~~, ois a emissa é uma sentença condicional Assim, ecisamos imeio infei ~~, o alicação da ega E, e desta foma usa ~E aa infei Intodução da conjunção ( I): De uaisue sentenças φ e Ψ, odemos infei a conjunção φ Ψ φ φ ψ ψ I Eliminação da conjunção ( E): De uma conjunção odemos infei ualue um dos seus comonentes φ ψ φ E φ ψ ψ E Exemlo: E E I Intodução da disjunção ( I ) : Podemos infei uma disjunção a ati de ualue um de seus comonentes φ φ ψ I ψ φ ψ I 6

7 Exemlo: ( ) ( ) ( ) ( ) I I Intodução do bimlicação ( I): A ati de sentenças (φ ψ) e (ψ φ) odemos infei (φ ψ) φ ψ ψ φ ψ φ I Eliminação do bimlicação ( E): A ati de uma sentença da foma (φ ψ) odemos infei tanto (φ ψ) uanto (ψ φ) ψ φ E ψ φ E φ ψ ψ φ Exemlo: ( ), I ( ) E ( ) ( ) ( ) E 7

8 Intodução do (I): Intoduzimos o símbolo aa identifica a deivação de uma contadição ψ ~ψ I Regas Hiotéticas Agoa intoduziemos as tês egas estantes ue comletam as egas de infeência aa o Lógica Sentencial As egas de intodução da imlicação( I) e da negação (~I) difeem das outas, ois elas emegam um aciocínio hiotético, ou seja, devemos constui uma ova de uma sentença tomando outa como uma hiótese local A hiótese é descatada aós a alicação da ega e isto é denotado o um taço tansvesal sobe ela Cada hiótese é numeada e seu identificado é colocado na baa ue discimina a alicação da ega hiotética ue emitiu sua adoção Intodução da imlicação ( I) : Dada uma deivação de uma sentença φ obtida ao tomamos como hiótese uma sentença ψ, odemos infei ψ φ (descatando a hiótese aós a alicação da ega) [ψ] 1 φ ψ φ I Exemlo:, [] 1 E I [] 1 8

9 Intodução da Negação (~I) : Dada uma deivação de uma contadição a ati de uma hiótese ~φ, odemos descata a hiótese e infei φ Exemlo:, ~ ~ [~φ] 1 φ ~I [] 1 E ~ ~ I ~ I ~ [] 1 Obseve ue somente a ati das emissas dadas não concluiiamos a sentença ~, logo tentamos uma ova indieta, colocando como hiótese Isso nos emitiu conclui a ova facilmente Eliminação da disjunção( E): De uma sentença da foma φ ψ, odemos infei uma sentença θ se obtivemos uma deivação aa θ, tomando φ como hiótese, e uma outa deivação de θ, tomando ψ como hiótese [φ] 1 [ψ] 2 (2) φ ψ θ θ E Obseve o seguinte agumento: θ Hoje é sábado ou domingo Se hoje é sábado, então é fim de semana Se hoje é domingo, então é fim de semana É fim de semana 9

10 Fomalizando o agumento teíamos: : Hoje é sábado : Hoje é domingo : É fim de semana Uma ova aa o agumento acima seia:,, [] 1 [] 2 I (2) E [] 1 [] 2 Eo comum ao tenta ova uma sentença a ati de uma disjunção : Extai um comonente da disjunção como nas fomas abaixo ou Em ambos os casos, a infeência feita não é coeta Note ue somente a ati da emissa hoje é sábado ou domingo, não odemos conclui ue hoje é sábado ou da mesma foma, não odemos conclui ue hoje é domingo Resumimos, na tabela seguinte, a coleção de egas de infeência aa LS: 10

11 Eliminação da imlicação( E) φ ψ φ ψ E Intodução da imlicação ( I) [ψ] 1 φ ψ φ I Eliminação da negação(~e) Intodução da negação (~ I) ~~φ φ [~φ] 1 φ ~ I ~E Intodução da conjunção ( I) φ ψ φ ψ I Eliminação da conjunção ( E) φ ψ φ E Intodução da disjunção ( I ) φ φ ψ I Eliminação da disjunção( E) [φ] 1 [ψ] 2 (2) φ ψ θ θ E θ 11

12 Intodução do bimlicação ( I) φ ψ ψ φ ψ φ I Eliminação do bimlicação ( E) ou ψ φ φ ψ E ψ φ ψ φ E Intodução do ψ ~ψ I Tabela 1 Como obte uma ova? Não existe uma foma única de constui uma ova Se um dado tio de agumento é válido, então existem váias fomas de ová-lo A utilização de estatégias na busca o uma ova odeá facilita a sua obtenção Podemos destaca duas estatégias geais, chamadas de análise e síntese, descitas a segui Síntese - inseciona-se a conclusão buscando obseva um modo de deivá-la a ati das emissas e hióteses Pemissas e Hióteses Conclusão 12

13 Análise inseciona-se as emissas e hióteses buscando um meio de deiva a conclusão Pemissas e Hióteses Conclusão Exemlos Resolvidos: Obsevação Quando fo utilizada a estatégia de análise, a sentença analisada seá descita com um tamanho maio de leta aa contibui na sua visualização Em alguns casos seá destacada aenas ate de uma sentença, aa mosta ue a sentença alvo ode se deivada esecificamente dauela em destaue ~ ( ), ~, ~ ( ) ~ Este é um exemlo tíico da utilização da estatégia de análise Como a conclusão é atômica devemos tenta deivá-la a ati das emissas Aós a consulta à base de emissas e hióteses ecebeemos a ocoência das sentenças e, a ati das uais, usando a ega E, odemos infei análise ~ ( ) ~ E 13

14 A sentença é uma emissa, e o isso não ecisa se ovada Entetanto, a sentença é aenas ate de uma emissa Como ova? Podemos usa duas estatégias, análise ou síntese No entanto, a sentença alvo é molecula, então odeíamos começa tentando uma estatégia de síntese, alicando a ega I I E síntese ~ ( ) ~ [] 1 Obseve ue neste asso não houve uma ogessão aa uma solução, ois etonamos a situação inicial Mudaemos de estatégia, vamos tenta análise, ou seja, ova a ati das emissas E ~ ( ) ~ Ao insecionamos a base de emissas e hióteses, encontamos as sentenças ~, e ~ ( ) e a ati delas, usando a ega E, odemos infei : análise ~ ~ ( ) E E ~ ( ) ~ 14

15 Neste onto a ova deve se finalizada, ois o todo de todos os amos da ávoe é comosto aenas o emissas ou hióteses ( ) ( s), ~~, s s ( ) ( s) ~~ Ao insecionamos a base de emissas e hióteses, notamos ue é ossível infei a sentença s a ati da sentença s análise s s E ( ) ( s) ~~ Neste asso, a sentença alvo é s Insecionando a base de emissas e hióteses, ecebemos a existência da sentença ( ) ( s) Logo, se obtivemos a sentença odemos infei a sentença alvo ( s) análise s s ( ) ( s) E E ( ) ( s) ~~ A sentença alvo nesta etaa seá Como a sentença é uma conjunção, odemos começa tentando uma estatégia de síntese, ois se obtivemos cada comonente da conjunção odemos ova a sentença alvo 15

16 I ( ) ( s) s s síntese E E ( ) ( s) ~~ Insecionando a base de emissas é hióteses notamos ue odemos ova a sentença a ati da emissa ~~ análise ~~ ~E I ( ) ( s) s s Neste onto a ova ode se finalizada Obsevação: E ( ) ( s) ~~ Uma emissa ode se usada váias vezes em uma mesma ova, e não há estição na utilização de emissas em amos difeentes Mas o mesmo não ocoe em elação às hióteses, estas devem se usadas aenas nos amos em ue foam geadas Na ova abaixo exemlificaemos a utilização de uma mesma emissa em amos distintos 16

17 A conclusão é uma conjunção, logo devemos ocua as egas associadas a este conectivo Note ue se obtivemos cada comonente da disjunção e usamos a ega I odeemos infei a sentença ( I ) Neste asso devemos focaliza a sentença do amo dieito Entetanto, é uma emissa, logo não ecisa se ovada O mesmo ocoe aa a sentença do amo esuedo, ue também é uma emissa Logo, a ova está finalizada Um fato imotante a se ecebido é ue a emissa foi usada duas vezes na ova, sem have estições de amos, ~~( ) ( s) ~~( ) ( s) Como o conetivo incial da conclusão é uma sentença disjuntiva, odemos começa tentando ova ao menos um dos comonentes da disjunção Mas ual comonente devemos escolhe? A esosta é bem simles, o ue mais se adeüe à base de emissas é hióteses Obseve ue, neste caso, temos duas oções: ova a sentença s ou ova a sentença 17

18 Mas é imotante nota ue as sentenças e s não ocoem na base de emissas e hióteses, logo seia uma éssima escolha ota ela conjunção delas ~~( ) I ( s) Neste asso devemos focaliza a sentença Como é uma sentença atômica, odemos tenta deivá-la a ati das emissas Ao inseciona a base de emissas e hióteses, notamos ue odemos extai a ati de ate da sentença ~~( ) ~~( ) ( s) ( ) E I Podemos considea como sentença alvo a sentença, mas esta é uma das emissas da base de emissas e hióteses, logo, não ecisamos ová-la Assim, a sentença alvo assa a se ( ) ue ode se deivada a ati da emissa ~~( ), alicando a ega ~ - E ~~( ) ~E ~~( ) ( s) ( ) E I Como ~~( ) é uma emissa então a ova está finalizada 18

19 Quando alica a ega de eliminação do? Nas ovas em ue a base de emissas ossui sentenças disjuntivas devemos te um ouco de cautela, ois uma sentença disjuntiva, uando eliminada ela ega E, dulica a uantidade de amos existentes na ova, dificultando a ealização da deivação Desta foma suge a necessidade de analisa a melho hoa de utiliza este tio de sentença Podemos tenta alica a ega E no começo da ova, ois seme conseguiemos demonsta a validade de um agumento desta foma, mas não se esueça dos custos associados à utilização desta técnica Os dois exemlos seguintes ilustam a utilização da ega E, ( ) ( ) Como temos uma emissa disjuntiva, então, imeiamente, vamos usa a ega E, sobe buscando obte duas deivações indeendentes aa, tomando como hiótese em cada uma delas um comonente da disjunção ( ) [] 1 (2) E 19

20 Neste asso a sentença alvo seá, no entanto, como a sentença alvo é atômica, então odemos tenta uma estatégia de síntese Insecionando a base de emissas é hióteses, notamos a ocoência de na emissa ( ), mais esecificamente em seu conseüente, logo a ati da sentença ( ) e a ega do E odemos infei a sentença alvo ( ) E ( ) [] 1 (2) E A sentença alvo nesta etaa é Obsevando a base de emissas e hióteses notamos ue a sentença alvo ode se ovada a ati da emissa ( ) e da hiótese aós a alicação da ega E [] 1 ( ) E ( ) E ( ) [] 1 (2) E De foma análoga ovamos tomando como hiótese o segundo comonente da disjunção, no amo da dieita: [] 1 ( ) E [] 2 ( ) E ( ) ( ) E ( ) E [] 1 [] 2 E (2) Note ue o too de cada amo da ávoe é comosto aenas o hióteses descatadas ou emissas o isso a ova deve se finalizada A ova contém duas sub-ovas idênticas Caso tivéssemos utilizado a eliminação do aenas uando necessáio, como no exemlo seguinte, obteíamos uma ova ligeiamente mais cuta 20

21 (2) [] 1 [] 2 E I E Obsevação: A ati deste onto alguns assos mais simles seão omitidos no comentáio, aa evita ue a leitua se tone monótona Mas caso tenha dúvidas, de como ealiza ceta etaa, busue eve os exemlos anteioes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nesta ova odemos usa a ega do E, ois existe uma única emissa é a conclusão é uma conjunção (2) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) [ ] 1 Neste onto tentaemos ova a sentença alvo ( ) a ati das sentenças e, utilizando a ega I ( ) ( ) [ ] 1 I (2) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) 21

22 Continuamos a tentativa de constução de uma ova desenvolvendo o amo mais a esueda Podemos escolhe como sentença alvo, ue ode se deivada a ati da hiótese 1, ela ega E Analisando a outa ate do amo da esueda, temos como sentença alvo ue ode se deivada de um de seus comonentes No entanto, a escolha de ual comonente desta disjunção deveemos ova é feita insecionado a base de emissas de hióteses, veificando ual comonente ode se mais facilmente obtido Neste caso é a sentença, visto ue ela ocoe na hiótese 1, ue é uma conjunção [ ] 1 [ ] 1 I E ( ) ( ) [ ] 1 (2) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E Finalizamos a ova do amo esuedo, descatando a hiótese [ ] 1, ue não odeá se utilizada na ova do outo amo Agoa tentaemos obte uma ova efeente ao amo mais a dieita Neste amo a sentença alvo é ( ), ue é uma conjunção, e deveemos ová-la tomando como hiótese [ ] 2, o outo comonente da disjunção Se obsevamos atentamente as sentenças envolvidas aa a ova neste amo, ecebeemos ue são bem aecidas com as sentenças utilizadas no amo esuedo, com uma euena, mas cucial, difeença, as hióteses locais são distintas [ ] 1 [ ] 1 E I I [ ] 2 E I ( ) ( ) [ ] 1 [ ] 2 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) Neste asso, temos ue escolhe com ual comonente da disjunção devemos tenta ova Entetanto note ue a sentença ode se facilmente infeida a ati da hiótese 2 22

23 [ ] 1 [ ] 1 E I I [ ] 2 [ ] 2 E I I ( ) ( ) [ ] 1 [ ] 2 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) Neste onto a ova está finalizada, ois todos os amos já foam concluídos ~ ~( ) ~ ~( ) Nesta ova, utilizaemos a ega ~I, ois a sentença é uma negação ~ [ ] 1 ~( ) ~I Agoa devemos escolhe com uais sentenças fomaemos uma contadição Insecionando a base de emissas e hióteses ecebeemos ue odemos extai a sentença ~ a ati da emissa ~ e extai a ati da hiótese 1 23

24 ~ - I ~ [ ] 1 ~( ) ~I Neste asso odeíamos tenta ova o amo da esueda, desta foma, a sentença ode se deivada a ati da hiótese 1 utilizando a ega E [ ] 1 E ~ I ~ [ ] 1 ~( ) ~I Como ova a sentença ~? Analisando a base de emissas e hióteses notamos ue ~ ode se deivada da emissa ~ alicando algumas egas, como ealizado logo abaixo: [ ] 1 E [ ] 1 E ~ ~ ~ I E E ~ [ ] 1 ~( ) ~I Neste onto a ova está finalizada, ois todos os amos já foam ovados 24

25 Estatégias aa constução de uma ova Não há maneia única de se constui uma ova Se uma sentença é deivável, ela ode se ovada de maneias difeentes, tocando a odem de alicação das egas ou usando outas egas No entanto, algumas estatégias contibuem aa indica um caminho mais dieto aa a obtenção de uma ova É imotante obseva ue isso não é feito como em um asse de mágica, aa obte algumas ovas seá necessáio ensa muito e testa váios caminhos, somente com a exeiência as ovas ealmente seão ealizadas mais facilmente As tabelas ue se seguem tazem alguns dos mais comuns ocedimentos adotados, uando nos deaamos com alguns tios de sentença alvo Estatégias aa Síntese Se a sentença alvo fo um(a) Então Sentença atômica Tente ová-la a ati das emissas, adotando as estatégias de análise Tente ova uma sentença e sua negação a ati das emissas, adotando as estatégias de análise Negação Tente alica a ega ~I, geando como hiótese a sentença alvo sem o símbolo da negação Conjunção Tente alica I, ovando cada um das ates da conjunção seaadamente Disjunção Tente alica I, ovando um dos comonentes da disjunção Imlicação Use a ega I Bimlicação Use a ega I Em ualue caso Se nenhuma estatégia tem sucesso, tente alica a ega deivada RA, aesentada a segui Estatégias aa Análise Se a emissa ou hiótese fo uma Sentença atômica Negação Conjunção Este tio de sentença é usado em váias situações, o exemlo: - Como antecedente de uma imlicação aa alicação da ega E - Contibuindo aa foma as contadições aa a utilização da ega ~I - Um dos comonentes de uma conjunção, ovada atavés da ega I - Paa ova uma disjunção, atavés da ega I Pode se usada da mesma foma ue as sentenças atômicas ou na alicação da ega ~E Pode se usada da mesma foma ue as fómulas 25

26 Disjunção Imlicação Bimlicação atômicas ou usada na alicação da ega E Usa-se E aa obte uma ova aa uma ceta sentença Nomalmente tenta-se usa a ega E Usa-se a ega E, obtendo-se a imlicação desejada Regas Deivadas As egas de intodução e eliminação de conectivos nem seme deteminam as ovas mais simles ou cutas Os matemáticos utilizam algumas outas egas ue facilitam a taefa de constui ovas Muitas delas são ovadas a ati das egas aesentadas acima e são chamadas de egas deivadas Aesentaemos algumas delas a segui: Redução ao Absudo (RA): Dada uma deivação de uma contadição a ati de uma hiótese ~φ, odemos descata a hiótese e infei φ Nomalmente, esta ega é usada uanto nenhuma estatégia imediata tem sucesso [~φ] 1 φ RA Esta ega condensa as alicações, em seüência, das egas ~I e ~E [~φ] 1 ~~φ φ ~ I ~E ~ ~ 26

27 [~] 2 ~ E [~] 1 I ~ [~] 1 [~] 2 (2) ~ RA I Utilizaemos a ega RA aa ova, ois não foi ossível ová-la dietamente a ati da emissa ~ e da hiótese ~ ~( ) (3) [] 2 [~] 1 I RA I ~( ) [~] 1 [] 2 [~] 3 ( ) ~( ) I RA Convém destaca ue aesa de temos tomado a sentença ~ como hiótese, em função da alicação da ega RA aa a ova da sentença, não foi necessáio utilizá-la, ois já havia uma contadição envolvendo duas outas hióteses Em geal, nas alicações de egas hiotéticas, não é obigatóia a utilização da esectiva hiótese na ova Po outo lado, é ossível utiliza a hiótese mais de uma vez, como ocoeu em exemlos anteioes Tais asectos são eculiaidades da Lógica Matemática, ue não ocoem em algumas outas lógicas ~ 27

28 Podemos tenta ova esta sentença utilizando uma instância de uma das egas de intodução do conectivo : I ~ I ~ ~ Entetanto, não seia ossível ova, no imeio caso, e nem ova ~, ois não há ualue emissa ou hiótese ue nos auxilie nestas taefas Potanto, esta-nos aenas a oção de utiliza a ega RA (2) [] 2 ~ I [~ ( ~)] 1 I RA [~ ( ~)] 1 [] 2 ~ I ~ [~ ( ~)] 1 I ~ RA Modus Tollens (MT): φ ψ ~φ ~ψ MT, ~ ~ [] 1 E ~ - I ~ - I ~ [] 1 ~ 28

29 , ~ ~ ~ ~ ~ MT Silogismo Hiotético(SH): ψ φ, φ Φ ψ Φ ψ φ ψ Φ φ Φ SH, [] 1 E [] 1 I Absoção (ABS) : ψ φ ψ (ψ φ) ( ) [] 1 - I [] 1 [] 1 ( ) - I I Contadição (CONTRAD) : φ, ~φ ψ 29

30 , ~ RA Silogismo Disjuntivo: ψ φ, ~φ ψ ou também ode se escito ψ φ, ~ψ φ ~ I ~ [~] 1 ψ φ ~ψ φ SD ψ φ ~φ ψ SD, ~ [] 1 ~ CONTRAD [~] 1 [] 2 (2) [] 2 - E Outa ova, utilizando dietamente o Silogismo Disjuntivo: ~ SD ~ [~] 1 [~] 1 SD ~ I 30

31 O Sistema de Dedução Natual aa a Lógica de Pedicados de Pimeia Odem (LPPO) Na Lógica de Pedicados de Pimeia Odem o conjunto de egas do Sistema de Dedução Natual consiste no acéscimo de uato egas à coleção de egas básicas aesentadas aa a Lógica Sentencial, odendo assim avalia a validade de ualue tio de agumento da LPPO Aesentaemos a segui as uato egas do Sistema de Dedução Natual aa a Lógica de Pedicados de Pimeia Odem Intodução do : Se udemos ova α aa uma constante abitáia a, então odemos infei x α α(x/a) x α - I Restição da ega: A constante a não ode ocoe em ualue hiótese da ual α deenda Eliminação do : Se udemos ova x α, então odemos infei ualue instância de α, ou seja, α(x/t), aa ualue temo t x α α(x/t) - E Intodução do : Se udemos ova α aa um temo t, então odemos infei ue x α α(x/t) - E x α 31

32 Eliminação do : O ue odemos infei a ati da sentença x α? É ceto ue não odemos infei α(x/a), ois, intuitivamente, estaíamos afimando ue o objeto aticula eesentado ela constante a satisfaz a oiedade eesentada o α, uando temos gaantida aenas a existência de um tal objeto (não conhecido) Assim, só odemos infei alguma sentença ue não deenda da escolha de tal objeto (ou do conhecimento de oiedades esecíficas dele) Isto é catuado ela ega a segui: [α(x/a)] x α β - E Dado ue: β a) A constante a não ode ocoe em β b) A constante a não ode ocoe em xα c) A constante a não ode ocoe em ualue emissa ou hiótese (difeente de α(x/a)) da ual β deenda Podemos ve o uantificado como sendo uma disjunção infinita, α(x/a 1 ) α(x/a 2 ), onde as constantes a 1, a 2, eesentam todos os indivíduos do domínio de uma estutua Assim, esta ega ode se entendida fazendo-se um aalelo com a ega E, sendo ue, ao invés de obtemos uma ova de β a ati de cada comonente dessa disjunção infinita, ovamos β a ati de α tomando uma constante a abitáia, ou melho, ue mostaemos se abitáia o satisfaze as estições descitas acima Exemlos: xp(x) xp(x) xp(x) xp(x) 32

33 Paa ova a sentença xp(x) odemos usa a sentença P(a), alicando a ega do - I xp(x) P(a) - I xp(x) Neste asso a sentença P(a) ode se ovada a ati da emissa xp(x), alicando a ega do - E xp(x) xp(x) P(a) - E - I xp(x) Neste onto a ova está finalizada x(p(x) Q(x)), xp(x) xq(x) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) 33

34 Como a conclusão é uma sentença uantificada, tentaemos utiliza a ega I No entanto, é imotante não esuecemos de veifica se as estições desta ega seão satisfeitas ao comletamos a nossa tentativa de constução da ova x(p(x) Q(x)) xp(x) Q(a) - E xq(x) Note ue odemos infei a sentença Q(a) a ati das sentenças P(a) e P(a) Q(a) usado a ega E x(p(x) Q(x)) xp(x) P(a) P(a) Q(a) - E Q(a) - E xq(x) Neste asso odemos ova sentença P(a) a ati da emissa xp(x) alicando a ega do -E xp(x) - E x(p(x) Q(x)) xp(x) P(a) P(a) Q(a) - E Q(a) - E xq(x) Paa obtemos a ova da sentença P(a) Q(a), odemos tenta usa a ega I, no entanto, neste caso odemos deivá-la a ati da emissa x(p(x) Q(x)) usando a ega -E, geando desta foma, uma ova mais simles do ue se usássemos a imeia tentativa 34

35 xp(x) - E x(p(x) Q(x)) - E x(p(x) Q(x)) xp(x) P(a) P(a) Q(a) - E Q(a) - E xq(x) Neste onto a ova deve se finalizada ois o too de todos os amos da ávoe de ova é comosto aenas o emissas ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) Nesta ova começaemos utilizando a ega I, tomando como hiótese a sentença ~ xp(x) [~ xp(x)] 1 x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) I Paa ovamos a sentença x~p(x) odemos utiliza a ega I, na sentença ~P(a) 35

36 ~P(a) x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) - I - I [~ xp(x)] 1 Neste onto, odemos tenta ova a sentença P(a) a ati da base de emissas e hióteses No entanto, não existe ualue ega ue ossa infei a sentença ~P(a) a ati da hiótese [~ xp(x)] Desta foma, devemos tenta uma ova indieta, usando a ega RA e logo deois I [~ xp(x)] 1 xp(x) (2) ~P(a) x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) I RA - I - I [~ xp(x)] 1 [P(a)] 2 Paa ova a sentença xp(x) odemos usa a ega I na hiótese [P(a)] [P(a)] 2 [~ xp(x)] 1 xp(x) (2) ~P(a) x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) - I I RA - I - I [~ xp(x)] 1 [P(a)] 2 Neste asso a ova está finalizada, ois todos os amos da ávoe contêm aenas emissas ou hióteses 36

37 x(f(x) G(x)) xf(x) xg(x) x(f(x) G(x)) xf(x) xg(x) Inicialmente odemos tenta ova cada comonente da conjunção, e deois alica a ega do I aa infei a conclusão x(f(x) G(x)) xf(x) xg(x) xf(x) xg(x) - I Podemos ova a sentença xf(x) com uma estatégia de síntese, usando a sentença F(a) e a ega I F(a) - I xf(x) xg(x) xf(x) xg(x) - I x(f(x) G(x)) Como ova a sentença F(a)? Podemos inicialmente tenta uma estatégia de síntese, no entanto, note ue a sentença F(a) e deivável da emissa F(a) G(a) usando a ega E F(a) G(a) - E F(a) - I xf(x) xg(x) xf(x) xg(x) - I x(f(x) G(x)) 37

38 A sentença F(a) G(a) ode se obtida a ati da emissa x(f(x) G(x)) usando a ega E: x(f(x) G(x)) - E F(a) G(a) - E F(a) x(f(x) G(x)) xf(x) xg(x) xf(x) xg(x) - I Analogamente, obtemos uma ova aa o amo dieito x(f(x) G(x)) x(f(x) G(x)) - E - E F(a) G(a) F(a) G(a) - E - E F(a) G(a) - I xf(x) xg(x) - I xf(x) xg(x) x(f(x) G(x)) Neste onto a ova ode se finalizada x (P(x) Q(x)), x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x)) x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x)) 38

39 - I Note ue a conclusão ode se deivada da emissa P(a) R(a) alicando a ega x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) 2 P(a) Q(a) x(p(x) R(x)) - I A ova aa a sentença R(a), ode se obtida a ati das sentenças P(a) e P(a) Q(a) usando a ega E R(a) - I x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) [P(a)] 1 P(a) R(a) - I x(p(x) R(x)) Neste asso odemos ova a sentença R(a) utilizando a ega E nas sentenças P(a) e P(a) R(a) Q(a) P(a) R(a) - E R(a) - I x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) [P(a)] 1 P(a) R(a) - I X(P(x) R(x)) 39

40 Utilizando uma estatégia de análise odemos deiva a sentença Q(a) a ati das sentenças [P(a)] 1 ] e P(a) Q(a) [P(a)] 1 P(a) Q(a) E Q(a) Q(a) R(a) - E R(a) - I x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) [P(a)] 1 P(a) R(a) - I X(P(x) R(x)) Podemos ova a sentença Q(a) R(a) a ati da emissa x(q(x) R(x)) usando a ega E [P(a)] 1 P(a) Q(a) E x(q(x) R(x)) - E Q(a) Q(a) R(a) - E R(a) - I x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) [P(a)] 1 P(a) R(a) - I x(p(x) R(x)) Neste asso odemos ova a sentença P(a) Q(a) a ati da emissa x(p(x) Q(x)) usando a ega E x(p(x) Q(x)) - E [P(a)] 1 P(a) Q(a) E x(q(x) R(x)) - E Q(a) Q(a) R(a) - E R(a) - I x (P(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) [P(a)] 1 P(a) R(a) - I x(p(x) R(x)) 40

41 A ova deve se finalizada, ois o too de todos os amos é fomado aenas o hióteses ou emissas x~p(x) ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) Paa ova a sentença x~p(x) ~ xp(x) tentaemos usa a ega do I geando como hiótese a sentença x~p(x) [ x~p(x)] 1 ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) I Neste asso a sentença ~ xp(x) é uma sentença negada, e isso é um indicativo da utilização da ega I, geando como hiótese a sentença xp(x) [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 (2) ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) I I 41

42 Agoa, devemos investiga e descobi uais sentenças odem se utilizadas aa caacteiza uma contadição Podemos usa a hiótese x~p(x), ois desta foma ecisaíamos ova aenas a sua negação ~( x~p(x)) [ x~p(x)] 1 ~( x~p(x)) I [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 ~ I ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) I Podemos tenta ova a sentença ~ x~p(x) alicando a ega E, o ue detemina ue devemos toma como hiótese a sentença P(a) (3) [ xp(x)] 2 ~ x~p(x) - E (2) [ x~p(x)] 1 ~ x~p(x) ~ I I [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) I Agoa o oblema assa a se como ova a sentença ~ x~p(x) a ati da hiótese P(a) Natualmente, odeemos utiliza as outas duas hióteses Podemos segui uma estatégia de síntese, tentando alica a ega ~I Isto detemina ue devemos toma como hiótese a sentença xp(x) ~ I (3) [ xp(x)] 2 ~ x~p(x) - E (2) [ x~p(x)] 1 ~ x~p(x) ~ I I [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) I 42

43 Neste asso, devemos novamente tenta enconta sentenças contaditóias Podemos consulta a base de emissas e hióteses em busca de uma sentença de tal modo ue a sua negação ossa se ovada Neste caso odemos usa a hiótese P(a) e tenta ova a sua negação (3) [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 ~P(a) I ~ I ~ x~p(x) - E [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 [ x~p(x)] 1 ~ x~p(x) I (2) ~ xp(x) ~ I I E x~p(x) ~ xp(x) A sentença ~P(a) ode se infeida a ati da emissa x~p(x), usando a ega [ x~p(x)] 1 E (3) [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 ~P(a) I ~ I ~ x~p(x) - E [ x~p(x)] 1 [ xp(x)] 2 [P(a)] 3 [ x~p(x)] 1 ~ x~p(x) I (2) ~ xp(x) x~p(x) ~ xp(x) ~ I I Neste onto a ova está finalizada 43

44 ~ x P(x) x ~P(x) ~ x P(x) x ~P(x) Paa ova a sentença x ~P(x), odemos usa a ega I ~ x P(x) ~P(a) - I x ~P(x) Paa ova a sentença ~P(a) tentaemos alica a ega ~I, tomando como hiótese a sentença P(a) ~ x P(x) [P(a)] 1 ~P(a) x ~P(x) ~I I 44

45 Neste asso, devemos enconta sentenças ue odem foma uma contadição, aa isto odemos usa a emissa ~ x P(x) e a sentença x P(x) x P(x) ~P(a) x ~P(x) ~ x P(x) I ~I I ~ x P(x) [P(a)] 1 Finalmente, infeimos a sentença x P(x) a ati da hiótese [P(a)] 1 [P(a)] 1 I x P(x) ~P(a) x ~P(x) ~ x P(x) I ~I I ~ x P(x) [P(a)] 1 ~ x P(x) x~p(x) ~ x P(x) x~p(x) Paa ova a sentença x ~P(x) odemos inicialmente tenta deivá-la da sentença ~P(a) usando a ega I ~ x P(x) ~P(a) I x~p(x) 45

46 Como ova ~P(a)? Novamente, tentaemos alica a ega ~I ~ x P(x) [P(a)]1 ~P(a) x~p(x) ~I I Podemos caacteiza a obtenção de uma contadição, alicando a ega I, utilizamos a emissa ~ xp(x) e a tentamos ova a sentença xp(x) ~ x P(x) ~ xp(x) xp(x) I [P(a)]1 ~I ~P(a) I x~p(x) Neste onto ocoe um fato inteessante, ois a sentença xp(x) não ode se ovada a ati da hiótese P(a), isso ocoe devido as estições da ega I, ois a constante a não ode ocoe em ualue hiótese da ual a sentença xp(x) deenda ERRADO ~ xp(x) [P(a)] 1 xp(x) I I ~ x P(x) [P(a)] 1 ~I ~P(a) I x~p(x) A foma coeta de se ealiza esta ova é feita abaixo: ~ x P(x) x~p(x) 46

47 Vamos ealiza esta ova de uma foma um ouco difeente da tentativa anteio, ois usaemos imeiamente a ega RA, tomando como hiótese a sentença ~ x~p(x) ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 x~p(x) RA Neste onto, odemos utiliza a emissa ~ xp(x) e a sentença xp(x) aa foma a contadição ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 ~ x P(x) x~p(x) x P(x) I RA Podemos deiva a sentença xp(x) a ati da sentença P(a), visto ue, a constante a não ocoe em ualue hiótese da ual xp(x) deenda ~ x P(x) x~p(x) P(a) x P(x) I I RA ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 Como ova a sentença P(a)? Podeíamos tenta deivá-la a ati das emissas, no entanto, isso não é ossível, ois não existe ualue emissa ue ossa contibui nesta taefa Contudo, odemos tenta uma ova indieta, tomando como hiótese a sentença ~P(a) 47

48 (2) ~ x P(x) P(a) x P(x) RA I I ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 [~P(a)] 2 RA x~p(x) Podemos utiliza a hiótese ~ x~p(x) e a sentença x~p(x) aa foma a contadição x~p(x) [~ x~p(x)] 1 I (2) RA P(a) I ~ x P(x) x P(x) I ~I x~p(x) ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 [~P(a)] 2 Podemos finaliza a ova deivando a sentença x~p(x) a ati da hiótese ~P(a), usando a ega I [~P(a)] 2 I x~p(x) [~ x~p(x)] 1 I RA (2) P(a) I ~ x P(x) x P(x) I ~I x~p(x) ~ x P(x) [~ x~p(x)] 1 [~P(a)] 2 48

49 Conclusão A discussão do ocesso de busca o uma ova atavés de exemlos, consideando a alicação de estatégias simles como a análise e síntese, têm como incial intuito oicia ao aluno uma visão dinâmica deste ocesso, destacando a foma estutuada como as ovas são aesentadas no Método de Dedução Natual É imotante essalta ue ao oomos e discutimos a alicação de estatégias, tentamos mosta ao aluno um ossível caminho a se seguido Contudo, não é obigatóio alicá-las, cada essoa ode escolhe como buscaá constui uma ova A utilização de exemlos esolvidos e discutidos emite exlicita ue a utilização das estatégias oostas ode se encaada como uma maneia de aciocina ou ocede na constução de uma ova Cemos ue o texto é de fácil comeensão e ode se utilizado elos alunos de foma autônoma, a fim de aoia ou comlementa as atividades desenvolvidas na discilina Lógica aa a Ciência da Comutação, ue tata do assunto em uestão 49