CADERNOS DO IME Série Estatística

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1 CADERNOS DO IME Sére Estatístca Uversdade do Estado do Ro de Jaero - UERJ ISSN mpresso / ISSN o-e v.4, p.5-9, 06 DOI: 0.957/cadest ESTIMAÇÃO DO GRAU DE ASTIGMATISMO PELO MÉTODO SUPPORT VECTOR REGRESSION CORRELACIONADO Adré Luz Emdo de Abreu Cetro Uverstáro Fracscao - FAE ametodosest@gma.com Asemo Chaves Neto Uversdade Federa do Paraá Depto de Estatístca asemo@ufpr.br Resumo Este trabaho apreseta a fuêca do coefcete de correação em modeos de regressão. Para o desevovmeto, utzou-se o método Support Vector Regresso (SVR) como modeo de regressão. O método SVR fo apcado em exames fetos em pacetes que possuem agum íve de astgmatsmo. Para tato, crou-se uma modfcação a fase de ajuste do modeo de regressão, sedo troduzdo o coefcete de correação ear, avaado a correação etre as varáves predtoras: Ceratometra, subdvdda em Exo Mas Pao e Exo Mas Curvo; e Refração, subdvddo em Esfera e Cídrco, sedo o grau de astgmatsmo a varáve a ser prevsta. O ovo método proposto, omeado SVR Correacoado teve seus resutados comparados com o método covecoa SVR, obtedo um desempeho superor, tato a correação dos modeos como o vaor do erro cometdo. Ao todo, utzaram-se os dados de 6 pacetes com astgmatsmo, sedo cradas duas cofgurações para o ajuste e teste, a prmera sedo composta de 0 observações para ajuste e ses para teste apresetado o erro RMSE = 0,035799, e a seguda composta de 6 observações a fase de ajuste e 0 o teste, gerado RMSE = 0,0858, em ambos os casos, ferores aos erros gerados peo método SVR covecoa. Paavras-chave: Regressão, Support Vector Regresso, Correação, Astgmatsmo.

2 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo.... Itrodução Desevover téccas que possam eaborar prevsões ou cassfcar padrões é de grade utdade a pesqusa e em apcações reas, sedo sempre ecessáro o adveto de téccas robustas e que sejam geerazáves do poto de vsta técco. Aém da robustez e poder de geerazação é desejáve que o tempo despreddo para a obteção das prevsões seja razoáve, uma vez que para uma pessoa com certo tpo de doeça o tempo de dagóstco pode ser cruca para o íco do tratameto. A técca de apredzado de máquas cohecda por SVM (Support Vector Mache Máqua de Vetor de Suporte) vem gahado grade destaque, sedo utzada para recohecmeto de padrões e os resutados obtdos são superores aos acaçados por outras téccas de apredzado em váras apcações (LORENA; CARVALHO, 003). A dea ca de crar agortmos para recohecer padrões surgu através de Fsher em 936. Mas tarde, em 96, Rosebatt (JONHSON e WICHERN, 988) sugeru o agortmo Perceptro de apredzagem, que é a base das Redes Neuras. Em 965, Vadmr Vapk propôs um agortmo para ecotrar um hperpao separador em uma cassfcação ear (VAPNIK; CHERVONENKIS, 974). O objetvo ca era ecotrar um hperpao separador que tvesse a máxma margem, ou seja, a maor dstâca etre os vetores suportes usado a metodooga de apredzagem. Etretato, em 99, Berhard Boser, Isabee Guyo e Vapk craram uma cassfcação ão ear, apcado as Fuções Kere (BOSER, GUYON E VAPNIK, 99). Em 995, Cora Cortes e Vapk sugerram uma modfcação o agortmo, troduzdo varáves de fogas para obter uma margem suave o hperpao separador e permtdo a cassfcação correta dos dados, chamado de modeo de marges fexíves (CORTES; VAPNIK, 995). Baseado o método SVM, a sua varate de regressão SVR, este trabaho apreseta a fuêca que o coefcete de correação ear exerce, mehorado, as prevsões quado apcado ao método SVR. O objetvo do trabaho é demostrar, de forma empírca, a efcêca da apcação do método SVR Correacoado, em comparação com o método SVR covecoa. Astgmatsmo é a dfcudade do sstema óptco em formar um poto foca a reta, devdo à dfereça a curvatura de uma ou mas superfíces refratvas do gobo 6

3 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto ocuar. A magem de um poto jamas será exatamete um poto e sm uma ha (MOREIRA, 00). O astgmatsmo tota cosste o astgmatsmo das faces ateror e posteror da córea assm como o astgmatsmo etcuar ou também deomado de crstaao (MOREIRA, MOREIRA, 000). O astgmatsmo pode ser heredtáro sob a forma autossômco domate, autossômco recessvo ou gado ao cromossomo X. O artgo é composto pea trodução (capítuo ), as revsões bbográfcas sobre o método Support Vector Mache (capítuo ), Support Vector Regresso (capítuo 3), Least Squares Support Vector Mache (capítuo 4), a apresetação do método SVR Correacoado (capítuo 5), os dados utzados este trabaho (capítuo 6), fazado com os resutados (capítuo 7), cocusão (capítuo 8) e as referêcas.. Support Vector Mache SVM O SVM é uma metodooga que cassfca os padrões em dos cojutos, podedo ser ampado para cassfcações em mútpas casses. A metodooga utza marges de separação para os cojutos, as quas são desocametos com dstâca gua a um e deomado-se um cojuto de casse - e o outro de casse +. Por se tratar de uma metodooga de apredzado de máquas, do tpo apredzagem supervsoada, troduz-se uma otação para referecar o cojuto de treameto e os dados de etrada e saídas. Seja o cojuto de treameto: S = {( x, y),( x, y ),...,( x, y )} { X Y} () ode é o úmero de potos o cojuto de treameto. Cada poto é represetado por x, y }, para =,...,, ode x IR, ( x x x ),, { x =...,, é o vaor de etrada, pertecete ao espaço de etrada, que represeta a quatfcação das característcas, e y {, + } é a saída bára correspodete. Por exempo, para uma cassfcação ear, pode-se obter a fução rea f : X IR IR da segute maera: a etrada x = ( x, x,..., x ) é cosderada de casse + se f ( x ) > 0 e caso cotráro é cosderada -. Assm, a fução decsão f ( x ) é represetada por: t f ( x) = w x + b, () 7

4 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... ode bas. w IR é o vetor de pesos, t w é o vetor trasposto de w e b IR é chamado de Caso o espaço de característcas teha dmesão dos, o hperpao separador obtdo é uma reta. Caso o espaço de característcas teha dmesão o hperpao separador obtdo é um hperpao de dmesão. O hperpao separador dvde o espaço de característcas em dos subespaços, sedo um deomado casse e o outro casse +. Um padrão x é cosderado cassfcado corretamete se ee estver fora da margem de separação de sua casse, ou seja, se y = + etão deve satsfazer ( x + b +) w t e se = y etão deve satsfazer ( x + b ) w t. O processo de treameto do SVM cosste a obteção de vaores para os pesos w e do termo bas b de forma a maxmzar a dstâca etre as marges. Desta maera, o SVM se tora robusto a pequeas varações o cojuto de treameto, possbtado uma mehor geerazação (ABREU, 06). Fgura Dfereça de marges de separação Fote: Abreu, 06 A Fgura apreseta duas separações eares e também as marges. Para a Fgura a, a separação ão possu ada a margem máxma passíve de ser cacuada, ou seja, é cosderada ão ótma, já a Fgura b apreseta, para o mesmo cojuto de dados de treameto, margem máxma possíve para esses dados de treameto, cosderada uma separação ótma. Cosderado as marges do hperpao de separação como w t x + b = + e x + b =, ameja-se obter a maor dstâca etre as marges para w t ecotrar a mehor geerazação e robustez do modeo do SVM. 8

5 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto O probema de mmzação do método SVM ormamete é resovdo por meo de seu modeo dua. Segudo Moraes e Smar (00) apeas agus trabahos cosderam o resover dretamete o SVM peo seu modeo prma. Assm, cosderado o vetor α = α, α,..., α ) com os mutpcadores de ( Lagrage e obtém-se etão a fução a ser maxmzada dada por: Max S. a L( w, b, ξ, α) = = = α α y 0 α C 0 = j= α α y j y j x, x j (3) O vaor α é o Mutpcador de Lagrage correspodete ao padrão e C é o parâmetro que mta o vaor dos Mutpcadores de Lagrage o ajuste do SVM. 3. Support Vector Regresso SVR Para probemas de regressão, fo crada uma adaptação, ou extesão, do método SVM. Ta extesão se dá pea trodução de uma fução de perda, deomada do gês oss fucto. A formuação do Support Vector Regresso (SVR) utza os mesmos prcípos do agortmo de cassfcação (SVM), com exceção de agus detahes (PARRELLA, 007). Ao cotraro do SVM, o SVR propõe determar um hperpao f (x) ótmo em que, as amostras de treameto estejam mas próxmas possíve, ão mportado qua dos ados da superfíce os potos se ocazam, e sm que a dstâca para a superfíce seja a míma possíve, [y ε, y + ε], ode, desvos são permtdos desde que ão utrapassem a margem especfcada. Porém, mesmo com propóstos opostos, ambos buscam estabeecer uma fução com máxma capacdade de geerazação. Sapakevych e Sakar (009) destacam que a apcação do SVR para a prevsão de séres faceras e de carga eétrca são as apcações mas estudadas. Nas séres faceras as aáses são, mas especfcamete, fetas para prever o ídce do mercado facero. O objetvo do SVR é ecotrar uma fução f (x), com uma margem de erro caracterzada peo tervao [ ε y + ε ] utrapassem a margem especfcada. y,, ode, desvos são permtdos desde que ão 9

6 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... O modeo matemátco para o SVR trata-se de um probema de programação ão ear, dado pea sua formuação dua a equação (3) (WANG e HU, 005): m s. a * α, α [0, C], = = j= ( α α )( α α ) x x * ( α α ) = 0 * j * j =, K, j ε = * ( α + α ) + = y * ( α α ) (4) *, α ode α são os mutpcadores de Lagrage, e C é uma costate reguarzadora. 4. Least Squares Support Vector Mache LSSVM Proposto por Suykes e Vadewae (999), LS-SVM é uma varate do método SVM cássco. Least Squares Support Vector Mache (máqua de vetores suporte a mímos quadrados) matém as mesmas característcas báscas e a mesma quadade a soução ecotrada que a sua predecessora. Ao cotráro do SVM, o LS-SVM cosdera restrções de guadade o ugar das desguadades, com sso, resuta um agortmo que reduz os probemas ao se apcar a um cojuto exteso de dados (SANTOS, 03). Uma das maores dfereças, é que, ao cotráro do SVM que utza a programação quadrátca para cacuar seus vetores suporte, que demada um grade tempo computacoa e possuem compexdade matemátca cosderáve, o LS-SVM utza um sstema de equações eares e a fução de custo por mímos quadrados (BORIN, 007; SHAH, 005). Assm, o modeo prma para o probema é dado pea equação (5) a segur (TRAFALLIS, SANTOSA, RICHMAN, 005): m s. a y t C w w + e t = w x = + b + e =,,..., (5) ode w é o vetor de pesos, C é o parâmetro que peaza erros atos e é otmzado peo usuáro, e são os erros mímos em reação à reta de regressão. Assm, tem-se o segute sstema de equações, orgadas da apcação do método dos mímos quadrados (TRAFALLIS, SANTOSA, RICHMAN, 005): 0 Ω + I b = C α Y t 0 (6) 0

7 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto com Y = y, y,..., ), ( y t = (,,..., ), t ( t α, α,..., α ) α = e Ω é uma matrz dada peos eemetos Ω = Ω = φ x ) φ( x ) = K ( x, x ) com, j =,...,, sedo que K(x, xj) j ( j j é o Kere utzado, este caso, o fo utzado à fução RBF (Gaussao) para suas abordages, dada por: ( x x )( x x ) K ( x, x ) = exp (7) σ Optou-se por utzar o Kere RBF por ter apresetado os mehores vaores para as regressões, pos apresetaram os meores vaores para o erro RMSE e os maores vaores para o coefcete de correação R. Vae ressatar que a obteção dos vaores das costates C e σ, utzadas o modeo SVR, e SVR Correacoado, serão apresetados de forma competa a seção 6 adate, uma vez que são serdas peo pesqusador que está eaborado o ajuste do modeo, sedo parte cruca o processo de otmzação dos parâmetros da fução de regressão. E a fução de regressão é dada por: y = f ( x) = α K( x, x ) + b. (8) = 5. Modeo SVR Correacoado O desevovmeto deste método, ou adaptação do método SVR, se deu o desevovmeto dos programas para a tese de doutorameto do autor, sedo cosderada uma grata surpresa, uma vez que a dea ca era verfcar se, ao se mutpcar os dados cas peo coefcete de correação, havera agum tpo de mudaça o vaor da correação etre as varáves expcatvas e a varáve resposta. Após a verfcação, optou-se por ajustar estes ovos dados ao modeo SVR, e cacuar o erro cometdo e o ajuste do ovo modeo. Bascamete, ates de efetuar o treameto, cacua-se a correação das varáves depedetes e, assm, modfca-se o cojuto de treameto, destacado as varáves que possuem uma maor correação com a varáve depedete, porém, ada matedo-se as varáves de meor correação o cojuto de treameto e teste/vadação. É mportate ressatar que ta modfcação ão atera o vaor absouto da correação etre as varáves.

8 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... As etapas do desevovmeto do método seguem os segutes passos:. Cacuam-se as correações etre as varáves depedetes e a varáve depedete, utzado todos dados exstetes;. Mutpcam-se as varáves depedetes pea sua respectva correação em reação a varáve depedete;. Apcam-se o modeo SVR aos ovos dados já mutpcados pea correação, otmzado os parâmetros C e σ; v. Apresetam-se os dados da apcação. Para o método proposto, usa-se o coefcete de correação ear, serdo a fase de ajuste, e é dado por: ode R = = = ( y y)( y y ) ( y y) ( y y ) y, y são os vaores reas e sua méda, respectvamete e prevsões e sua méda, respectvamete. = (9) y, y são as Para o ajuste dos parâmetros C e σ desevoveu-se um oopg o programa computacoa a fm de obter os seus vaores ótmos, assm varou-se os vaores de C de,0 até com σ fxo em,, e ao determar o vaor de C que maxmze o coefcete de correação e ao mesmo tempo mmze o erro RMSE, travou-se a varação do parâmetro C e cou-se a varação do parâmetro σ, que vara de, até.000,00, stado os vaores que apresetaram meor erro RMSE e maor coefcete R. Obtdos os possíves vaores ótmos, ca-se a fase de ajuste fo dos parâmetros, ode os vaores obtdos a fase ateror são perturbados gerado varações em toro dos vaores obtdos, varado em udades ou vaores decmas, tato para mas como para meos os vaores obtdos, para os dos parâmetros, a fm de obter erros meores. Os vaores de C e σ obtdos a fase de ajuste do método proposto foram usados também a fase de teste, e os resutados foram comprovadamete mehorados em reação ao método covecoa. Vae ressatar que o tempo computacoa dos ajustes fo cosderado reatvamete baxo, a casa dos 0 segudos para o ajuste automátco e ão mas de um muto a fase de ajuste fo.

9 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto 6. Dados utzados O cojuto de dados dspoíve correspode aos resutados dos exames para a avaação do grau do astgmatsmo dos ohos. É composto peo exame feto em 6 pacetes (MAZUZE, MENDES, 04), sedo todos com grau de peo meos 0,5 de astgmatsmo, os exames ada apresetam agumas observações quatatvas, tas como dade, sexo, profssão e oho afetado, que ão etraram a modeagem do probema, devdo a sua correação quase ua com o grau de astgmatsmo. Foram determados dos ceáros dferetes para os ajustes do modeo SVR Correacoado. No prmero ceáro trabahou-se com 0 observações separadas das 6 dspoíves para a fase de ajuste, dexado as ses restates para a fase de teste. Já o segudo ceáro, optou-se por reservar 6 observações para a fase de ajuste e as 0 restates foram utzadas a de teste do modeo. Essas duas cofgurações dferetes foram pesadas para que fosse possíve verfcar a robustez do método SVR Correacoado em dferetes cofgurações de cojutos de ajuste, demostrado que o método ão fo desevovdo apeas para um cojuto específco de dados. Cosderou-se o vaor do astgmatsmo como sedo a varáve depedete a ser prevsta com base em quatro varáves depedetes, sedo eas: Ceratometra, subdvdda em Exo Mas Pao e Exo Mas Curvo; e Refração, subdvddo em Esfera e Cídrco. A Fgura apreseta a dfereça etre a cdêca da magem em um oho sado, ou seja, sem preseça de grau astgmatsmo, e um oho com certo grau de astgmatsmo, exempfcado como a deformdade a córea humaa fuêca a dstorção da magem projetada o fudo do gobo ocuar. Fgura Procedmeto do método SVR Correacoado Fote: Abreu, 06 3

10 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... A Tabea apreseta os vaores da correação etre a varáve depedete Astgmatsmo e as característca Ceratometra, dada peo exo mas pao e exo mas curvo, e a Refração, dada peos vaores esfércos e cídrcos. Tabea Procedmeto do método SVM Correacoado Ceratometra Refração Mas pao Mas curvo Esfera Cídrco Astgmatsmo -0,7780 0,448 0,4953-0,8066 Fote: O autor, 07 Para a avaação do desempeho do modeo, utzou-se o coefcete de correação R, a Raz do Erro Quadrátco Médo (RMSE Root Mea Squared Error) e a Méda Percetua Absouta do Erro (MAPE - Mea Absoute Percetage Erro), cujas equações são dadas a segur: e RMSE = ( y y ) = (0) ode y y MAPE = 00% () = y y, y são os vaores reas e sua méda, respectvamete e prevsões e sua méda, respectvamete. 7. Resutados 7. Cojuto 0/6 y, y são as O prmero cojuto, ode foram separadas 0 observações para o ajuste e ses para o teste do modeo, a otmzação dos parâmetros C e σ retorou os meores vaores para o erro RMSE. Esses vaores foram C = 8,99 e σ =,87 e o erro gerado fo gua à RMSE = 0,030565, para a apcação do método SVR Correacoado. Já para a abordagem covecoa, os vaores ótmos para os parâmetros C e σ foram C = 39,0 e σ = 5,09, porém o vaor do erro cresceu para RMSE = 0,07350, se matedo baxo, mas maor que o vaor acaçado peo SVR Correacoado. Os vaores do erro MAPE são apresetados a Tabea 3 e apresetam a superordade do método SVR Correacoado, pos gerou um erro MAPE meor que o método covecoa. 4

11 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto A Tabea apreseta os vaores para as prevsões fetas peo método SVR, SVR Correacoado e os vaores reas para o grau de astgmatsmo dos dados utzados, bem como as dstâcas dos resutados do método SVR aos vaores reas (Dstâca A) e do método SVR Correacoado (Dstâca B). Tabea Resutados das prevsões para o método SVR Correacoado e comparações SVR SVR Correacoado Vaores reas Dstâca A Dstâca B,6805,6867,75 0,0695 0,0633 0,648 0,747 0,75 0,07 0,053 0,9766 0,9993,00 0,034 0,0007 0,555 0,57 0,50 0,055 0,07,065,04,00 0,065 0,04,369,55,5 0,9 0,005 Fote: O autor, 07 A Tabea 3 apreseta o resumo dos vaores ótmos para os parâmetros e os mehores resutados dos erros obtdos peo método SVR Correacoado e SVR covecoa, factado a comparação dos resutados obtdos para as ses prevsões. Tabea 3 Resumo dos parâmetros e erros cometdos 0/6 Método C σ RMSE MAPE R SVR Correacoado 8,99,87 0, ,38% 0,9985 SVR 39,0 5,09 0, ,95% 0,984 Fote: O autor, 07 Assm, a Tabea 3 apreseta a superordade do método correacoado em reação ao método covecoa, obtedo vaores ferores os erros RMSE e MAPE e superores o coefcete de correação R. 7. Cojuto 6/0 Para a seguda cofguração do cojuto de dados o ajuste do modeo fo feto utzado 6 observações e as 0 restates foram utzadas para o teste do modeo. Os vaores ótmos obtdos peo método SVR Correacoado para os parâmetros foram C = 3339,75 e σ = 8,9, gerado um erro RMSE = 0,063. O modeo SVR covecoa ajustado obteve os vaores ótmos dos parâmetros C = 389,7 e σ = 8, gerado o erro RMSE = 0,0858, sesvemete maor que o erro cometdo peo método Correacoado, demostrado ovamete a efcêca do 5

12 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... método proposto. Os vaores do erro MAPE para esta abordagem são apresetados a Tabea 5 apresetada adate. A Tabea 4 apreseta os vaores, a fm de comparação, para as prevsões fetas peo método SVR, SVR Correacoado e os vaores reas para o grau de astgmatsmo dos dados utzados e as dstâcas das prevsões do método SVR aos vaores reas (Dstâca A) e do método SVR Correacoado (Dstâca B). SVR Tabea 4 Resutados das prevsões para o cojuto 5/ SVR Correacoado Vaores reas Dstâca A Dstâca B 0,06 0,34 0,5 0,0474 0,058,757,656,5 0,057 0,056 0,330 0,3034 0,5 0,0630 0,0534 0,9945,046,00 0,0055 0,046,743,7488,75 0,0069 0,00 0,7364 0,7584 0,75 0,036 0,0084,009, ,009 0,00 0,494 0,574 0,50 0,0076 0,074,0008 0,9969,00 0,0008 0,003,79,637,5 0,09 0,037 Fote: O autor, 07 Dferete da apcação para o cojuto 0/6 ode todas as dstâcas das prevsões SVR Correacoado foram meores que do covecoa, esta apcação o método SVR covecoa apresetou 4 dstâcas meores que as obtdas peo método correacoado, porém, ada assm o erro gerado peo covecoa fo maor que o método correacoado. Já Tabea 5 a segur apreseta um resumo dos parâmetros e erros cometdos peos métodos SVR Correacoado e SVR covecoa, exempfcado os resutados obtdos a cofguração que reserva 6 observações para a fase de ajuste do modeo e 0 observações para a fase de teste do modeo, demostrado sua efcêca e servdo como um breve resumos dos resutados obtdos. Tabea 5 Resumo dos parâmetros e erros cometdos 6/0 Método C σ RMSE MAPE R SVR Correacoado 3339,75 8,9 0, 063 6, ,9997 SVR 399,7 8,09 0,0858 8, ,9908 Fote: O autor, 07 6

13 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto 8. Cocusão O método Support Vector Mache é cosderado uma técca robusta por s só, e é utzado tato para cassfcações, como para regressões, como mostrado as apcações apresetadas este artgo. Uma das maores dfcudades, após as mpemetações dos métodos desevovdos fo à cabração dos parâmetros C e σ para os modeos SVR covecoa e SVR Correacoado, uma vez que esta cabração fo feta de maera automátca, porém, o ajuste fo os vaores fo feto peo autor. Assm, se pode extrar ao máxmo o desempeho do método crado. A partr da Tabea 3 fca cara a efcêca do método SVR Correacoado frete ao método covecoa, quado apcado a um cojuto 0/6 de observações tato seu erro RMSE como o erro MAPE fo meor que a metade do erro gerado peo método covecoa. Já a Tabea 5 apreseta a apcação ao cojuto 6/0, também retorado vaores, em sua maora, mas próxmos aos reas que o método SVR covecoa, porém, a dfereça etre os erros peo método Correacoado e o covecoa dmu, mas com o método Correacoado ada apresetado vaores meores que o método covecoa. Assm, cocu-se que o método SVR Correacoado pode ser cosderado efcete e robusto, a adaptação da fase de ajuste, com a cusão do coefcete de correação ear como uma costate peazadora, surtu efeto postvo, como era desejado o íco do trabaho. E ada assm, o tempo computacoa gasto o ovo método fo equvaete ao tempo computacoa utzado para rodar os probemas o método covecoa. Este trabaho apreseta a efcáca do método de forma empírca, ão retrado a ecessdade da demostração teórca. Assm, o próxmo passo é determar as demostrações teórcas da geerazação do método, ou testa-o a ovos cojutos de dados. Também se estuda a apcação do método Correacoado a probemas de recohecmeto e cassfcações de padrões, usado o método Support Vector Mache. 7

14 Caderos do IME Sére Estatístca Estmação do Grau de Astgmatsmo... Referêcas ABREU, A. L. E. Bootstrap e modeos de Support Vector Mache SVM (Tese de doutorado em Métodos Numércos em Egehara). Uversdade Federa do Paraá, Curtba, Paraá, 06. BORIN, A. Apcações de Máquas de vetores de suporte por mímos quadrados (LS-SVM) a quatfcação de parâmetros de quadade de matrzes ácteas. Tese de Doutorado (Químca). Uversdade Estadua de Campas, 007. BOSER, B. E.; GUYON, I. M.; VAPNIK, V. N. A Trag Agorthm for Optma Marg Cassers. COLT '9 Proceedgs of the ffth aua workshop o Computatoa earg theory, pag ACM New York, NY, USA. 99. CORTES, C. VAPNIK, V. Support-Vector Networks. Mache Learg, Voume 0, Número 3, Setembro/995, pag , Edtora Sprger,995. JONHSON, R. A.; WICHERN, D. W. Apped Mutvarate Statstca Aayss. d ed., Pretce-Ha Ic., New Jersey, 988. LORENA, A. C.; CARVALHO, A. C. P. L. F. Itrodução às Máquas de Vetores Suporte (Support Vector Maches). Reatóros téccos do ICMC, Isttuto de Cêcas Matemátcas e de Computação, USP, 003. MAZUZE, A. N. F.; MENDES, R. T. Mudaças refratvas em pós-operatóro de pacetes submetdos à crurga de Pterígo pea técca de traspate cojutva (Trabaho de cocusão de curso). Curso de Optometra. Uversdade do Cotestado, Uc. Caohas, SC. 04. MORALES, A. K.; SIMARI, G. R. Advaces Artfca Itegece. IBERAMIA 00: th Ibero- Amerca Coferece o AI, Bahía Baca, Argeta, November 5, 00. MOREIRA, A. T. R. Astgmatstmo. Arq. Bras. Oftamo (oe). Vo. 64,. 3, 00. MOREIRA, S. M.; MOREIRA, L. Adaptação de etes de cotato em ceratocoe. Ver. Sopse da Oftamooga. Ao º São Pauo, SP 000. PARRELLA, F. Oe Support Vector Regresso. Master Scece Thess. Departmet of Iformato Scece, Uversty of Geoa, Itay, 007. SANTOS, L. T. Abordagem da máqua de vetor suporte otmzada por evoução dfereca apcada à prevsão de vetos. Dssertação de Mestrado (Egehara Eétrca). Uversdade Federa do Paraá, 03. SAPANKEVYCH, N. I.; SANKAR, R. Tme Seres Predcto Usg Support Vector Maches: A Survey. IEEE Computatoa Itegece Magaze, Uversty of South Forda, USA, 009. SHAH, R. S. Least Squares Support Vector Mache SUYKENS, J. A. K.; VANDEWALLE, J. Least squares support vector mache cassfers. Neura Processg Letters, Sprger Netherads, v. 9, p , ISSN , 999. TRAFALIS, T. B.; SANTOSA, B.; RICHMAN, M. B. Learg etworks rafa estmato. Computatoa Maagemet Scece. Juy 005, Voume, Issue 3, pp 9-5. VAPNIK, V. N.; CHERVONENKIS, A. Y. Theory of Patter Recogto. Nauka, Moscow, 974. WANG, H.; HU, D. Comparso of SVM ad LS-SVM for Regresso. Neura Networks ad Bra, ICNN&B '05. Iteratoa Coferece o, vo., o., pp.79,83, 3-5 Oct

15 Caderos do IME Sére Estatístca Abreu & Chaves Neto INFLUENCE OF CORRELATION COEFFICIENT ON REGRESSION MODELS VIA SVR Abstract The work shows the fuece of the correato coeffcet regresso modes. For deveopmet, we used the method Support Vector Regresso (SVR) as the regresso mode. The SVR method was apped tests doe patets who have some degree of astgmatsm. Therefore, t created a chage the regresso mode adjustg stage, ad troduced the ear correato coeffcet, evauatg the correato betwee the predctor varabes: Keratometry, subdvded to shaft More Pa ad shaft More Curved; ad Refracto, subdvded to Sphere ad Cyder, the degree of astgmatsm the varabe to be predcted. The proposed ew method, amed SVR Correated had ther resuts compared to the covetoa method SVR, achevg superor performace both correato modes as the vaue of the mstake. Atogether, we used the data from 6 patets wth astgmatsm, Beg created two settgs for the adjustmet ad test, the frst oe beg composed of 0 observatos for adjustmet ad 6 for test presetg the error RMSE = , ad the secod composed of 5 observatos the adjustmet phase ad the test, geeratg RMSE = 0,0844, both cases, ower tha the errors geerated by the covetoa SVR method. Key-words: Regresso, Support Vector Regresso, Correato, Astgmatsm. 9