O Uso de Modelagem Matemática no Cálculo do Volume de uma Maçã

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1 O Uso de Modelgem Mtemátic o Cálculo do Volume de um Mçã Uiversidde Federl de Uberlâdi Fculdde de Mtemátic Alessdr Ribeiro d Silv lessdrribeirosil@terr.com.br Crlos Herique Togo crlostogo@gmil.com Mile Almeid Leite Brdão milbrd@yhoo.com.br Ros Sueli d Mot Jfelice rmott@ufu.br Itrodução Presume-se que o cultivo d mcieir (Figur ), teh-se iicido há 5 milhões de os, tedo como cetro de origem região etre o Cáucso e o leste d Chi. No império Romo, cultur d mcieir já estv bstte difudid. No etto, é muito provável que o desevolvimeto ds espécies tuis teh-se iicido pós o fil d últim er glcil, portto, há. os. As migrções dos povos eurosiáticos colborrm pr dissemição ds forms primitivs ds mcieirs tuis. Figur e - Mcieir florid e pltção de mçãs, respectivmete [4]. O iício ds pltções de mçã o Brsil (Figur ) ocorreu, provvelmete o muicípio de Vlihos, estdo de São Pulo, pelo fruticultor Btist Bigeti que, em 96, tih plts d Cultivr Ohio Beuty. Com crição em 98 d Estção Experimetl de São Roque, em São Pulo, pelo Istituto Agroômico de Cmpis, foi ddo o psso iicil pesquis sobre mcieir o Brsil.

2 Objetivos Este trblho teve com objetivo clculr o volume de um mçã utilizdo vários métodos e modelr o processo de resfrimeto d mçã trvés d formulção de um equção que expresse seu comportmeto. Cosiderções Desde o pltio té rmzegem d mçã, há vários ftores que podem ser lizdos, por exemplo escolh de terreo, o solo, rção, herbicíds, colheit e rmzegem. Ms cosiderremos pes este último. O objetivo do rmzemeto é mter qulidde iter e exter d frut, ssegurrdo o perfeito fuciometo ds câmrs de coservção, por meio d observção periódic dos equipmetos de refrigerção e cotrole de gses. O rmzemeto ds fruts é feito s câmrs frigorífics. Ates de etrr câmr fri, mçã recebe um bho, trvessdo um tque de águ geld (- C), sobre um esteir circulte, durte 5 miutos, sido um tempertur médi de 6.5 C. A tempertur médi d câmr é de.5 C e tem cpcidde pr rmzer 6 bis (cixs). As mçãs podem permecer câmr de 5 8 meses té su comercilizção. Se s mçãs forem comercilizds imeditmete pós colheit, etão dispes-se o trblho do bho e do rmzemeto em câmrs. Iici-se etão secgem e clssificção. As fruts são retirds d câmr fri e levds pr o clssificdor ode são seprds s estrgds. Recebem um jto de águ pssdo dli pr desumidificção e polimeto. Em seguid, vão pr o secdor com tempertur de 45 C e, filmete, é feit clssificção. A clssificção é feit pelo peso e tmbém pelo tmho ds mçãs que são codiciods em cixs com cpcidde de kg. Cd cix comport de 88 5 uiddes. Curiosiddes ) Há mis de 7.5 espécies e vrieddes de mçãs, vej Figur. As diferetes espécies ecotrm-se em clims temperdos e subtropicis. Figur - Vrieddes de mçãs [4]. ) As mcieirs ão florescem em áres tropicis, por exemplo, s vrieddes d fmíli Gl ecessitm de um ivero com cerc de 7 hors de frio com temperturs de 7, C; ) A mçã fermetd é utilizd pr elborr bebids lcoólics (Figur 4), como sidr sturi, o Clvdos frcês e sgrdu bsc;

3 Figur 4 - Elbordo de Normdi. 4) A mçã possui s seguites vitmis: B, B e Nici, e tmbém cotém sis mieris como Fósforo e Ferro. Not Históric e Defiições Pr um melhor compreesão do coteúdo deste trblho, fz-se ecessário este mometo um itrodução históric o que diz respeito o ssuto Cálculo Diferecil e Itegrl, lgus resultdos sobre cetróides, o Teorem de Pppus e um dos pricípios fudmetis d hidrostátic. É o que se segue imeditmete. A derivd e itegrl são dus oções básics do Cálculo Diferecil e Itegrl. Do poto de vist geométrico, derivd está ligd o problem de trçr tgete um curv equto que itegrl está relciod com o problem de determir áre de certs figurs pls, ms tmbém possui muits outrs iterpretções possíveis. O Cálculo Diferecil e Itegrl foi crido por Isc Newto (64-77) e Wilhelm Leibiz (646-76). O trblho destes cietists foi um sistemtizção de idéis e métodos surgidos priciplmete o logo dos séculos XVI e XVII, os primórdios d chmd Er d Ciêci Moder, que teve iício com Teori heliocêtric de Copérico (47-54). N relidde, grde descobert de Newto e de Leibiz foi que Mtemátic, lém de lidr com grdezs, é cpz de lidr com vrição ds mesms. A idéi básic do coceito de itegrl já estv embutid o método d exustão tribuído Eudoxo (46-55.C.), desevolvido e perfeiçodo por Arquimedes (87-.C.), grde mtemático d escol de Alexdri. O método d exustão cosiste em "exurir" figur dd por meio de outrs de áres e volumes cohecidos. O icoveiete do método de exustão de Arquimedes é que pr cd ovo problem hvi ecessidde de um tipo prticulr de proximção. O que permitiu pssgem do método de exustão pr o coceito de itegrl foi percepção que em certos csos, áre d região pode ser clculd sempre com o mesmo tipo de proximção por retâgulos (Figur 5).

4 Figur 5 - Clculdo áre por proximção de retâgulos. Est foi um descobert coceitul importte, ms em termos práticos, descobert fudmetl foi possibilidde de exprimir itegrl de um fução em termos de um primitiv d fução dd e este fto é cohecido pelo ome de Teorem Fudmetl do Cálculo. A idéi ou o coceito de itegrl foi formuldo por Newto e Leibiz o século XVII, ms primeir tettiv de um coceitução precis foi feit por volt de 8, pelo mtemático frcês Augusti Louis Cuby ( ). Os estudos de Cuchy form icompletos, ms muito importtes por terem ddo iício à ivestigção sobre os fudmetos do Cálculo Itegrl, levdo o desevolvimeto d Aálise Mtemátic e d teori ds fuções. Por volt de 854, o mtemático lemão Berhrd Riem (86-866) relizou um estudo bem mis profuddo sobre itegrl e em su homegem itegrl estudd por ele pssou receber o ome de Itegrl de Riem. Tl ome serve pr distiguir ess itegrl de outrs que form itroduzids mis trde, como por exemplo, Itegrl de Lebesgue. A form usd pr itroduzir o coceito de Itegrl de Riem os cursos de Cálculo é versão devid Cuchy. O que justific isto é que, el é simples e bstte cessível os luos de um curso iicil de Cálculo, lém de teder os propósitos de um curso dest turez. Agor veremos como itegrção pode ser utilizd o cálculo de cetróides. Cosidere distribuição cotíu de mss um região R (chp fi de mteril homogêeo) do plo xy com desidde superficil δ (= mss por uidde de áre) costte, coforme Figur 6. Figur 6 - Uso de itegrção pr o cálculo de cetróides []. O mometo dess região em relção o eixo y e em relção o eixo x é dd pels expressões: b M = xδf ( x) dx y d M = yδg( y) dy x c

5 respectivmete, ode f(x)dx é áre do retâgulo verticl e su mss é δf(x)dx, g(y)dy é áre do retâgulo horizotl e su mss é δg(y)dy. A mss totl d chp pode evidetemete ser express de dus meirs, b m= δ f( x) dx= δg( y) dy. d c O cetro de mss ( x, y ) d chp é gor defiido por b xδ f( x) dx M x = = b m δ f( x) dx y e d yδ g( y) dy c M y = = d m δ g( y) dy c Como desidde é costte podemos elimiá-l por ccelmeto e s fórmuls torm-se: x = b b xf( x) dx f ( xdx ) Exemplos e y = d c d c yg( y) dy g( y) dy. ) Cálculo do cetróide de um retâgulo. Cosidere o retâgulo de ltur h e bse b e portto de áre hb, coforme Figur 7. x. Figur 7 - Cetróide de um retâgulo []. Temos: b x hdx b x = = hx = hb = b hb hb hb e de modo álogo, ecotrmos y = h, logo o cetróide é o poto b, h que é obvimete o cetro do retâgulo.

6 ) Determir o cetróide d região do primeiro qudrte limitd pelos eixos e pel curv y = 4 - x, coforme Figur 8. Figur 8 - Cetróide d região do primeiro qudrte limitd pelos eixos e pel curv y = 4 - x []. 6 Usdo o retâgulo verticl, vemos que áre d região é (4 ) 4. xda 4 Logo, x= = x(4 x ) dx= x x =. A A= x dx= x x = xda 4 Alogmete, usdo um retâgulo horizotl, temos y= = y 4 ydy. A 6 Pr clculr ess itegrl, fzemos substituição u = 4 - y. Assim, y = 4 - u e dy = -du e os ovos limites de itegrção serão 4 e : y= 4 (4 )( ) (4 ). 6 y ydy= u u du u u du u u 6 = 6 = 6 = = Portto, o cetróide é o poto, Dois belos teorems geométricos relciodo cetróides com sólidos e superfícies de revolução form descobertos o século qutro tes de Cristo, por Pppus de Alexdri, o último dos grdes mtemáticos gregos. Neste trblho utilizremos pes um deles que pssmos descrever. Primeiro Teorem de Pppus: Cosidere um região pl que está iteirmete de um ldo de um ret do plo. Se ess região é gird o redor d ret que desempeh fução de eixo, etão o volume do sólido gerdo dess meir é igul o produto d áre d região pel distâci percorrid pelo cetróide o redor do eixo[]. Voltemos oss teção gor pr outro mtemático grego, Arquimedes (87.C. -.C.), este, lém de mtemático er ivetor. Nsceu cidde-estdo greg de Sircus, ilh d Sicíli e foi o mis importte mtemático d Atiguidde. Em Físic, o seu Trtdo dos Corpos Flututes, estbeleceu s leis fudmetis d

7 estátic e d hidrostátic. Um dos pricípios fudmetis d hidrostátic é ssim eucido: "todo corpo mergulhdo totl ou prcilmete em um fluido sofre um impulsão verticl, dirigido de bixo pr cim, igul o peso do volume do fluido deslocdo, e plicdo o cetro de impulsão." O cetro de impulsão é o cetro de grvidde do volume que correspode à porção submers do corpo. Isto quer dizer que, pr o objeto flutur, o peso d águ deslocd pelo objeto tem de ser mior que o próprio peso do objeto. Cot-se que cert vez, Hierão, rei de Sircus, o século III.C. hvi ecomeddo um coro de ouro, pr homeger um dividde que supostmete o proteger em sus coquists, ms foi levtd cusção de que o ourives o egr, misturdo o ouro mciço com prt em su cofecção. Pr descobrir, sem dificr o objeto, se o seu iterior cotih um prte feit de prt, Hierão pediu jud de Arquimedes. Este pôs-se procurr solução pr o problem, qul lhe ocorreu durte um bho. A led firm que Arquimedes (Figur 9) teri otdo que um qutidde de águ correspodete o seu próprio volume trsbordv d bheir qudo ele etrv el e que, utilizdo um método semelhte, poderi comprr o volume d coro com os volumes de iguis pesos de prt e ouro: bstv colocá-los em um recipiete cheio de águ, e medir qutidde de líquido derrmdo. Feliz com ess ftástic descobert, Arquimedes teri sído à ru u, gritdo Eurek! Eurek! (Ecotrei! Ecotrei!). Figur 9 - Arquimedes. Outro mtemático importte foi Pppus de Alexdri (Figur ) e foi cohecido por seu trblho Sygog ou Coleção. Ele foi um egípcio heleizdo scido em Alexdri, Egito. Etretto, muito pouco se cohece sobre su vid e os escritos grvdos sugerem que ele er professor.

8 Figur - Pppus de Alexdri. Vejmos gor lgums defiições que serão ecessáris pr o cálculo do volume de um sólido de revolução. ) = {x se = x,..., x < x }é um prtição do itervlo fechdo <... < x - = b e x i- ξ x, i. i i [, b], com potilhmeto ξ = { ξ,..., ξ }, ) A orm de um prtição = {x, x,..., x i = mx{ x }, i ode x }, de [, b], é dd i = x i por : x i- ) Sej f : [, b] R cotíu e tl que f(x), x limitd pel curv ddo por V = [, b]. O sólido de revolução obtido pel rotção em toro do eixo, d lim y = f(x), o eixo e s rets x = e x = b, possui b π ( f ( ξ x = dx. Vej Figur. i = i )) i π [f(x)] região volume Figur - Sólido obtido por rotção de um curv.

9 Exemplos ) π x y = x V = x dx = π x dx = π = 64π ) x Figur - Gráfico d fução y = x.5. ( x ) x + y = y = x V = π dx = π x = 4π Figur - Uso d itegrção pr o cálculo do volume de um esfer []. Metodologi A proximção do volume de um mçã será feit utilizdo-se coceitos de cálculo diferecil e itegrl, cohecimetos de geometri espcil e um teorem, cohecido como teorem de Pppus. É importte tmbém ressltr que miori dos problems levtdos este processo de modelgem diz respeito à geometri do objeto em estudo, o cso mçã. Este destque pr prte visul é importte, visto que ssim se cosegue um melhor compreesão do que está cotecedo lém de guçr imgição geométric. Pr modelr o processo de resfrimeto d mçã serão utilizds equções de difereçs []. Os modelos mtemáticos utilizdos pr o cálculo do volume de um mçã estão colocdos em um seqüêci que obedece um ível grdtivo de dificuldde e complexidde coceitul. No etto, isto ão sigific ecessrimete que o resultdo obtido pr

10 proximção do volume d mçã sej tão mis preciso quto mior for complexidde do modelo. Desevolvimeto Existem vários métodos mtemáticos pr clculr o volume de um mçã. Logo, escolhemos os seguites métodos pr este cálculo: teorem de Pppus, fórmul do volume d esfer, ftido um mçã e usdo itegrção. Este estudo foi relizdo bsedo em um modelo presetdo em [].. Problem: Como clculr o volume de um mçã? Volume d esfer! Teorem de Pppus! Ftido mçã! Itegrção! Figur 4 - Etps de um modelgem []. º Método: Utilizdo fórmul do volume d esfer Evolvedo mçã com um brbte (Figur 5) obtemos um circuferêci cujo comprimeto é de 6.cm. Sbedo que o comprimeto de um circufêci é ddo pel fórmul π R temos que R = 4.698cm. 4 Volume d esfer: V = π r.

11 Figur 5 - Medido circuferêci d mçã com um brbte []. Aplicdo fórmul do volume de um esfer obtemos um vlor "proximdo" superior o volume d mçã: Vmx = 4.46 (4.698) =.694 cm. Cortdo-se mçã o meio (o setido logitudil), mede-se o rio r do círculo iscrito fce pl d mçã: r =.95cm, e obtém-se um vlor míimo pr o volume d mçã: V mi = 4.46 (.95) / = cm Clculdo médi, etre o volume máximo e este míimo, segue que: Vmç ( ) = cm. º Método: Utilizdo o teorem de Pppus Pelo teorem de Pppus temos que o volume do sólido de revolução é igul o produto d áre d região Ω pel distâci d percorrid pelo cetróide o redor do eixo. Como d = π h e sedo A áre d região Ω temos que V = π ha. A Figur 6 mostr um mei fti de mçã e h é determido experimetlmete medido distâci etre o eixo d mçã ( prtir do cetróide) té bord e cosiderdo metde deste comprimeto. Determimos geometricmete áre A trvés de um ppel milimetrdo: A = cm e h = cm V = ha = cm.875. π.89. Figur 6 - Volume d mçã pelo Teorem de Pppus [].

12 º Método: Ftido mçã (i) Retâgulos iteros (Figur 7). V = π i= ( ri ) = 5.5cm 4. Usmos =. cm e = ftis cilídrics.. (ii) Retâgulos exteros (Figur 8). Figur 7 - Ftido mçã []. V = π i= ( ri ) = 47.6cm Volume totl ( )/ = 4.8 cm. 4º Método: Usdo itegrção Figur 8 - Ftido mçã []. (i) Aproximdo cofigurção do corte cetrl d mçã por um circuferêci (Figur 9). O volume de cd fti é ddo por V i = y x π.

13 Volume totl: x V = πy dx = π + 6.8x V = cm Figur 9 - Usdo itegrção pr clculr o volume d mçã []. (ii) Aproximdo por um prábol y = x + bx + c (Figur ). ( ) ( ) ( ) Os potos ddos d curv são: P = 4.,, P =,.7 e P =,.. Dest meir, como P = (,.7) temos que y = x + bx +.7 e P e P os forecem o sistem: b =.7 + b =.5 Resolvedo o sistem temos que = -.77 e b =.877 e, portto, y =.77 x x +.7. Figur - Aproximdo o formto d mçã por um prábol []. Usdo itegrl, pode-se determir o volume do sólido de revolução d prábol ( proximdmete metde do volume d mçã). Assim, 4. V = π (.77x x +.7) dx = cm. mç

14 Coclusão Prcil Cbe ressltr que este cso específico, de clculr volume de um mçã, um processo mecâico seri o mis idicdo pr vlição, tto em termos de simplicidde como de precisão. Este processo, devido Arquimedes, é o seguite: Mergulh-se mçã um recipiete cheio de águ e o volume do líquido deslocdo é igul o volume d mçã. Com utilizção deste experimeto, o volume ecotrdo pr mçã foi de. Um Exemplo de Modelo Vriciol cm. Pr se fzer formlizção de um modelo vriciol o coteúdo mtemático que é utilizdo bsei-se s equções difereciis ordiáris e equções de difereçs. Processo de resfrimeto d Mçã Pr que mçã poss ser estocd el deve primeirmete ser submetid um processo de resfrimeto, o qul é feito com utilizção de um tque de resfrimeto. A Figur mostr os elemetos que compõem o sistem de resfrimeto com águ. Figur - Tque de refrigerção [5]. O processo de resfrimeto é um ds mis importtes etps pós colheit que cosiste remoção rápid de clor do cmpo dos frutos tes do rmzemeto ou comercilizção. A miori ds câmrs de rmzegem ão possui suficiete cpcidde de refrigerção e em o movimeto de r com velocidde suficiete pr efetur um resfrimeto rápido dos produtos recém rmzedos. Dest form, este pré-resfrimeto, gerlmete, é um operção seprd e que ecessit de equipmetos de mior cpcidde de refrigerção. A Tbel relcio s codições pr o rmzemeto refrigerdo de lgus tipos de mçãs.

15 Tempertur Umidde Reltiv Período de Cultivres ( C) (%) rmzemeto Gl e mutções meses Fuji meses Golde Delicious meses Belgolde meses Brebur meses Tbel O Brsil, pesr de ser um pís tropicl, dispõe de poucos resfridores comerciis. Além disso, pel flt de cohecimeto dos produtores, o rmzemeto id é feito de form bstte precári e o pré-resfrimeto dos frutos gerlmete ão é efetudo. Este fto, jutmete com etrd de ovs crgs id ão resfrids uidde de rmzemeto, fz com que o processo de resfrimeto câmr sej muito demordo e irregulr, priciplmete em fução d oscilção de tempertur. Ates d mçã etrr câmr fri, que está à um tempertur médi de.5 C, o fruto recebe um bho um tque à um tempertur de - C. A pssgem pelo tque é feit sobre um esteir circulte e dur cerc de 5 miutos. O objetivo deste bho é fzer com que tempertur d mçã lcce cerc de 6 C. N síd do tque, tempertur d mçã é vlid (por mostrgem) e, cso ão teh tigido o vlor idel pr estocgem, o lote de mçã deve pssr ovmete pelo tque. Este processo de retoro o tque, lém de trsr estocgem, ocup um mior mão-deobr e por coseguite crret prejuízos o gricultor. Este trstoro ocorre porque tempertur do meio mbiete é vriável e velocidde d esteir é costte ( máqui é costruíd pr teder à termpertur mbiete de, o máximo, 6 C). Em um primeiro mometo, temos o seguite problem: Se mçã etr o tque um tempertur T (tempertur iicil), qutos miutos deve permecer este bho pr sir com um tempertur de 7 C? Pr se trtr dest questão, us-se lei de resfrimeto de Newto. Est supõe que vrição d tempertur é proporciol à difereç de tempertur do objeto e do mbiete (em codições ideis). O Modelo Mtemático que trduz lei de resfrimeto de Newto pode ser ddo por um equção de diereç, d seguite meir []: Tt + Tt = K( Tt T) () ode: T t : tempertur d mçã o istte t; T : tempertur iicil (qudo etr o tque); T : tempertur mbiete (do tque) igul - C; K = coeficiete de resfrimeto d mçã. Solução: A equção () pode ser reescrit por Tt + = ( K + ) Tt K T () que é um fórmul de recorrêci pr qulquer vlor T t, um vez que T = - e T é ddo. A solução de () pode ser obtid usdo-se o processo de recorrêci:

16 T = T T T = T = T T = T + b ( tomdo + b = T + b = T + b( + b + b + + b + b + b = K + e ) b = K T ) () O termo etre prêtesis de () é som de um progressão geométric de rzão >, etão, como som dos termos de um P.G. de rzo > é dd por S = s ( ), ode s é o primeiro termo d P.G., segue imeditmete que: ( ) T = T + b( ) ( ), ou (4) T = T + b ( b ( ) ) (5) ( ) Se cosiderrmos que tempertur médi iicil d mçã é 5 C e que, depois de pssr pel esteir durte 5 miutos, su tempertur é T 5 = 6.5 C, podemos clculr o vlor de K= +. De (5), podemos escrever T = ( K + ) ( T T ) + T (6) Logo, 6.5 = (k + ) 5 8 (k + ) 9.5 l(k + ) = l = 5l(k + ) = l k + = 8 5 k = -.4 Cosiderdo solução (6), pode-se escrevê-l como: t Tt = (.95768) ( T T) + T (7) com T e T ddos.

17 Figur - Tempertur d Mçã o Tque x Tempo. Observdo o gráfico d Figur que relcio tempertur d mçã o tque com o tempo em que est permece imers, verific-se que quto mior o tempo (em miutos) que mçã fic o bho meor é tempertur (em C), como desejdo. Pr se ecotrr o tempo que mçã deve permecer o tque de resfrimeto em fução d tempertur fil T tf (depois de pssr pelo tque), us-se equção (7) e obtém-se: Tt T f Tt T t f (.95768) = t =.59 l (8) T T T T Se T = - e cosiderdo-se fix tempertur T tf = 6.5 o fim do bho, pode-se colocr t em fução de T (tempertur iicil d mçã). A Tbel, forece os vlores de t pr T tf = 6.5 C e T tf = 7 C. O vlor de t* é o tempo idel, superestimdo pr mçã permecer o tque. D Tbel, observ-se que, se T 6 C, etão 5 miutos o tque é tempo suficiete pr se ter Ttf 7 C. Se 6 C < T < C, o bho deveri durr té miutos; e se o di estiver bem quete ode C T 8 C, etão o tempo ecessário pr mçã tigir tempertur de 7 C cheg ser miutos.

18 T f = 6.5ºC Tf = 7ºC T l(9.5/(t +)) t c t l(/(t +)) t c t t* 9 -,8975 9,4 9'5'' -, , 8'4'' 9' -,884,45 '7'' -,89 9,6 9'5'' ' -,9676,4 '6'' -,87547,5 '5'' ' -,99675,7 ''' -,969, ''' ' -,684,8 '7'' -,9555, '6'' ' 4 -, ,5 4'5'' -,995,97 '58'' ' 5 -,89 5 5' -,,8 '48'' 4' 6 -,999 5,8 5'48'' -,647 4,6 4'6 5' 7 -,4995 6,59 6'6'' -,98 5,4 5'4'' 6' 8 -, ,5 7''' -,4 6,7 6''' 7' 9 -,4444 8,8 8'5'' -,6 7 7' 8' -,4557 8,8 8'48'' -,99 7,6 7''' 8' -, ,49 9'9'' -,78 8, 8'8'' 9' -,456,6 ''' -, ' ' -,7,8 '49'' -,89 9,6 9'7'' ' 4 -,5966,44 '6'' -,8,5 '5'' ' 5 -,8694,6 '4'' -,5,87 '5'' ' 6 -,47,6 '7'' -,698,5 ''' ' 7 -,47588,5 '5'' -,86 ' ' 8 -,468,8 '48'' -,498,6 '7'' ' Tbel - Tempertur iicil x Tempo ecessário pr tigir T tf. Tempo ecessário pr tigir Ttf Tempertur iicil Figur - Tempertur iicil x Tempo ecessário pr tigir T tf. Alisdo o gráfico d Figur se verific que quto mior for tempertur iicil d mçã mior é o tempo ecessário pr que el lcce tto tempertur fil 6.5 C quto 7 C. E id quto meor tempertur fil mior deve ser o tempo de durção o bho.

19 Coclusão Durte o processo de desevolvimeto do trblho verificmos importâci de eteder coceitos mtemáticos pr plicá-los de um meir dequd e corret s situções problems que form ecotrds durte o percurso de modelgem de tis situções. Além disso, é coveiete mecior que foi ecessário fzer um embsmeto histórico pr s questões bordds qui, com o objetivo de proporcior o leitor um melhor compreesão dos ftos e d metodologi utilizd. Filmete, cbe ressltr que todo processo de modelgem teve como suporte um coteúdo mtemático, pr que ssim os modelos pudessem ser executdos. Este processo tmbém cotou com o uxílio de coceitos específicos sobre o ssuto trtdo. Comprdo os seguites métodos: Teorem de Pppus, ftido um mçã, volume d esfer e itegrção com o pricípio de Arquimedes observ-se que o º método teve um proximção melhor equto que proximção por um prábol foi o meos preciso. Em termos operciois o método presetou dificulddes de execução em relção os demis. Durte o processo de estocgem d mçã é ecessário o seu rmzemeto um tempertur de 6.5 C. Pr tto, utilizmos equções de difereçs pr expressr mtemticmete tempertur dest o tque e com isto descobrir o tempo ecessário o bho. Assim, com os resultdos obtidos o gricultor poderá reduzir seus gstos tto com mão de obr quto em relção trsos estocgem. Bibliogrfi [] R.C.Bssezi. Esio-Apredizgem com Modelgem Mtemátic. Editor Cotexto, 4. [] Shek, Al.. Cálculo e geometri lític: volume. Editor Cmpus, 99. [] Simmos, George F..Cálculo com geometri lític : volume. Editor McGrw-Hill, Ltd,987. [4] site [5] site

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