Comunicação Digital Codificação de Canal. Codificação de Canal. Codificação de Canal

Transcrição

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2 Codfcação de canal Quando nformação dgtal é envada através de um canal de transmssão, ruído e nterferênca nerentes a qualquer canal prátco degradam o snal de forma que os dados recedos contêm erros. O usuáro do sstema de transmssão dgtal geralmente estaelece uma taxa de erro máxma acetável uma mensagem 6 6 errada em mensagens recedas, por exemplo (.e., uma taxa de erro de ) acma da qual os dados recedos não são consderados utlzáves pelo usuáro. Esta taxa de erro máxma acetável depende da nformação que transta pelo canal. A título de comparação, a taxa máxma de erro permtda para transmssão de voz através de telefona celular é muto maor do que a taxa exgda para transmssão de dados, por exemplo (porque, na por das hpóteses, mesmo so uma alta taxa de erro e conseqüente dstorção, o sstema audtvo humano é capaz de compreender o sgnfcado das frases pelo contexto da conversa, o que já não acontece quando dos computadores trocam dados). O Codfcador de Canal é o responsável em um sstema dgtal por manter a taxa de erro dentro de um lmte máxmo acetável pelo usuáro. A possldade do uso de codfcação para controlar com efcênca a taxa de erro de um sstema de comuncação dgtal fo demonstrada por Shannon em 948, através do denomnado Teorema Fundamental de Shannon: Se a taxa ( velocdade) de transmssão R [ ts s] da nformação a ser envada pelo canal é menor que uma quantdade C [ ] s ts denomnada de Capacdade do Canal, então a comuncação através do canal pode ser estaelecda com proaldade de erro tão axa quanto se deseje, através do uso de um códgo adequado para correção de erro. 2

3 Teorema Fundamental de Shannon: Se a taxa de transmssão R [ ts s] capacdade do canal C [ ts s] exste um códgo corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal com uma taxa de erro defnda e axa. Le de Shannon-Hartley: R C B + P N log 2 [ ts s] B é a largura de anda do canal em Hz, P é a potênca do snal transmtdo e N é a potênca do ruído Gaussano adconado ao snal no canal. Em essênca, o Teorema Fundamental de Shannon estaelece que a potênca do snal transmtdo, a potênca de ruído no canal e a largura de anda do canal estaelecem um lmte máxmo para a taxa de transmssão R. R C exste um códgo Infelzmente, o Teorema Fundamental de Shannon apenas demonstra que, se corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal com uma taxa de erro artraramente axa, mas não especfca como construr tal códgo corretor. Talvez a maor utldade prátca do Teorema Fundamental de Shannon seja demonstrar que para R > C não é possível transmtr nformação sem erro através do canal, mesmo que se utlze o mas poderoso códgo corretor de erro que se possa conceer. É mportante salentar que, não raro, o maor valor possível para a taxa de transmssão R é dado não por C, mas sm, pela complexdade computaconal do códgo corretor necessáro para que aquele valor de R possa ser alcançado. 3

4 4. Códgos Corretores de Erro Vmos que o Teorema Fundamental de Shannon estaelece a exstênca de um códgo corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal de comuncação com uma taxa de erro artraramente axa, caso a taxa de transmssão R [ ts s] seja menor ou gual à capacdade do canal C [ts/s]. Estudaremos agora como construr tas códgos. Especfcamente, estudaremos os memros mas mportantes de duas grandes classes de códgos para correção de erro: os códgos de loco e os códgos convoluconas. É mportante lemrar que o processo de correção de erros através de codfcação/decodfcação é realzado no Codfcador/Decodfcador de Canal. 4

5 4.2 Códgos de Bloco Podemos consderar um códgo de loco de manera semelhante àquela que adotamos para os códgos compressores por entropa já estudados. Ou seja, um códgo de loco pode ser consderado como um operador θ {}, tal que C θ{ X} { x} { x, x, L, x } { c } { c c, L c }, onde: X é o conjunto de possíves mensagens x a serem codfcadas e C,, é o conjunto de possíves palavras-códgo c resultantes da codfcação, com,, L,. O operador θ {} efetua um mapeamento unívoco entre cada mensagem x e a respectva palavra-códgo c. O conjunto de caracteres do códgo ou alfaeto do códgo é o conjunto { a a, L a } Α,, D composto por D elementos, de cuja composção são formadas cada mensagem e sua respectva palavra-códgo (para Α, ). códgos náros { } 5

6 No contexto de códgos corretores de erro: Cada mensagem k componentes, x X é consderada como um vetor x [ x 2 ] ( k x ) ( k L x ) x x A, j k, k 2, L,,. j de Vsto que os k componentes da -ésma mensagem pertnênca x A k. x pertencem ao alfaeto A, é válda a relação de Da mesma forma, cada palavra-códgo c C é consderada como um vetor c c c L c c de n componentes c A, j n, n 2, L,,. [ ] ( n ) ( n 2) Vsto que os n componentes da -ésma palavra-códgo c pertencem ao alfaeto A, é válda a relação de n pertnênca A. c j Por exemplo: a palavra-códgo nára, de n 4 ts, é representada pelo vetor c, [ ] 4 c A,, { } Α. 6

7 Para um códgo D áro, com D sendo uma potênca ntera de 2 (.e. D 2, onde é um ntero postvo), cada caractere D áro terá uma representação nára equvalente formada por uma seqüênca de ts. Portanto, um códgo D áro cujo tamanho da palavra-códgo é de N caracteres D áros pode ser mapeado em um códgo náro cujo tamanho da palavra-códgo é n N. D, neste estudo focalzaremos os códgos náros ( {,} Como, em sstemas prátcos e 2 Α ), vsto que a qualquer nstante o códgo D áro pode ser mapeado no códgo náro equvalente e vce-versa. Exemplo 4.: Determne o códgo náro equvalente ao códgo θ {} aaxo. ensagem x Palavra-códgo c assocada a x por c θ{ } x 7

8 Solução: O códgo orgnal é quaternáro ( D 4). O n o. de caracteres quaternáros utlzado na representação das palavras-códgo do códgo quaternáro é N 2. Exstem 8 mensagens quaternáras, logo o códgo náro equvalente necessta k log 2 3 ts em cada mensagem nára para representá-las. O número de ts necessáros a cada Portanto o códgo náro equvalente Assm, ao mapear o conjunto de palavra-códgo nára equvalente é ao códgo quaternáro é: mensagens quaternáras no conjunto n N, onde log 2 D 2 ( D 4). de mensagens náras, otemos: Logo n N Assm, ao mapear o conjunto de palavras-códgo quaternáras no conjunto de palavras-códgo náras, otemos: ensagem ensagem Bnára Palavra-Códgo Palavra-Códgo ensagem x Palavra-códgo Quaternára Equvalente de Quaternára Bnára Equvalente de de k 3 ts c de n 4 ts (D 4) k 3 ts (D 4, N 2) n 4ts assocada a x por c θ{ x }

9 4.3 Códgos de Bloco Bnáros X de 2 mensagens C de palavras-códgo náras, Um códgo de loco náro θ {} mapea um conjunto { x} { x, x, L, x } náras, cada uma delas com k ts, em um conjunto { c } { c c, L c } cada uma delas com n ts, onde n > k.,, Um códgo de loco θ {} náro cujas mensagens a serem codfcadas apresentam k ts e são mapeadas em palavras-códgo de n ts é representado pelo operador θ ( n,k){}, ou smplesmente θ ( n, k). θ é sstemátco quando cada palavra-códgo de n ts é formada pelos k ts da respectva mensagem assocada, acrescdos (por justaposção) de r ts adconas destnados ao controle e correção de erros, denomnados de ts de pardade. Um códgo ( n,k) k Portanto, em um códgo sstemátco cada mensagem contendo k ts de nformação é expandda em uma palavra-códgo de n k + r ts onde r é o número de ts representatvos da nformação redundante adconada vsando o controle e correção de erro. θ é não-sstemátco quando nas palavras-códgos de n ts não aparecem explctamente representados os k ts de nformação da respectva mensagem assocada. Um códgo ( n,k) (É possível converter um códgo não-sstemátco em um códgo sstemátco. Em função dsto, nossa atenção será dada aos códgos sstemátcos. ) 9

10 θ do Exemplo 4. é sstemátco, porque cada palavra-códgo c de n 4 ts é formada pela justaposção de t de pardade aos k 3 ts de nformação da mensagem x assocada. Por exemplo, o códgo ( 4,3) ensagem x Palavra-códgo c assocada a x por c θ. { } x n Oserve que, como n > k, no conjunto de todas as 2 possíves palavras-códgos de n k n ts exstem 2 2 elementos que não são assocados a qualquer elemento do k X x x x, L x de 2 mensagens náras de k ts.,, conjunto { } { } θ ao lado, exstem n elementos no conjunto de todas as possíves palavras-códgos de 4 ts sem assocação com qualquer mensagem do conjunto X,,,,,,,. Por exemplo, para o códgo náro ( 4,3) { } n k 4 3

11 Em geral é desejável que o tempo Razão de Codfcação: nτ s de duração de uma palavra-códgo seja gual (dealmente menor ou gual) ao tempo de duração kτ x de uma mensagem, onde τ s representa a largura (duração) dos ts em uma palavra-códgo e τ representa a largura dos ts em uma mensagem. Assm, se ( n > k ). n x τ s kτ x, então a razão de codfcação c R de um códgo de loco é R c k n τ τ, s x Peso de uma palavra-códgo: O peso de uma palavra-códgo é defndo como o número de dígtos "" nela presentes. O conjunto de todos os pesos de um códgo consttu a dstrução de pesos do códgo. Quando todas as palavras-códgo têm pesos guas, o códgo é denomnado de códgo de peso constante. Por exemplo, o peso da palavra-códgo [ ] c é 2.

12 Códgos de loco códgos polnomas. O processo de codfcação/decodfcação de um códgo de loco asea-se na propredade algérca de que o conjunto de palavras-códgo { c} { c, c, L, c } um conjunto de polnômos { C ( p) } { C ( p) C ( p), C ( p) } C pode ser mapeado em,, L. Os componentes do vetor c [ c n ) c ( n 2) L c c ] ( que representa a -ésma palavra-códgo correspondem aos coefcentes do polnômo ( ) ( n ) ( n 2) n n 2 C p c p + c p + + c p + c L assocado à palavra-códgo. A mesma propredade algérca pode ser aplcada sore o conjunto de mensagens { x} { x, x, L, x } um conjunto de polnômos { X ( p) } { X ( p), X( p),, X ( p) } Os componentes do vetor x [ x x L x x ] X de modo que este tamém pode mapeado em L. que representa a -ésma mensagem correspondem aos ( k ) ( k 2) n n 2 ( k ) p + c( k 2) p + + c p c X p X + coefcentes do polnômo ( ) L assocado à mensagem. Por este motvo os códgos de loco são tamém denomnados de códgos polnomas. 2

13 Por exemplo, a representação polnomal do códgo do Exemplo 4. é mostrada na Taela 4.2. Taela 4.2: Representação polnomal do códgo da Taela 4.. ensagem x Polnômo X ( p) Palavra-códgo c assocada a x por c θ{ } x Polnômo p C ( ) p + p 2 p + p + 2 p + p 2 3 p p + 2 p + p 3 + p p + p p 3 + p p + p + p 3 + p 2 + p + 3

14 O processo de codfcação/decodfcação envolve operações artmétcas de adção e multplcação realzadas sore o conjunto de polnômos { C ( p) } { C ( p), C( p), L, C ( p) } que representam as palavras-códgo, conforme veremos. Um códgo corretor de erro deve ser tal que o conjunto { ( p) } C e as operações artmétcas sore ele defndas oedeçam a determnadas restrções, caso contráro a uncdade e o custo computaconal do processo de codfcação/decodfcação resultarão prejudcados. Especfcamente, os coefcentes dos polnômos em { ( p) } denomnado de campo algérco (feld) [Chen]. C devem pertencer a um tpo especal de conjunto Um campo algérco é uma entdade matemátca estudada em Álgera Lnear. 4

15 Campo Algérco Um campo F é um conjunto de elementos que permte duas operações sore seus elementos adção e multplcação e que satsfaz aos seguntes axomas (propredades): Adção - O conjunto F é fechado so adção,.e., se a, F então a + F. 2- A adção em F é assocatva,.e., se a,, c F então a + ( + c) ( a + ) + c. 3- A adção em F é comutatva,.e., se a, F então a + + a. 4- O conjunto F contém um únco elemento denomnado zero, representado por, que satsfaz a condção a + a, a F. 5- Cada elemento em F tem o seu elemento negatvo (smétrco). Se F então seu smétrco é denotado por que + ( ). Se a F, então a sutração a +. ultplcação 5 a entre os elementos a e é defnda como ( ) - O conjunto F é fechado so multplcação,.e., se a, F então a F. 2- A multplcação em F é assocatva,.e., se a,, c F então a ( c) ( a)c. 3- A multplcação em F é comutatva,.e., se a, F então a a. 4- A multplcação em F é dstrutva sore a adção,.e., se a,, c F então a ( + c) a + ac. tal 5- O conjunto F contém um únco elemento denomnado dentdade, representado por, que satsfaz a condção a a, a F. 6- Cada elemento de F, exceto o elemento, possu um elemento nverso. Assm, se F e então o nverso de é defndo como tal que. Se a F, então a dvsão a / entre os elementos a e é defnda como a. O conjunto R dos números reas é um campo algérco com nfntos elementos, assm como tamém o é o conjunto dos números complexos C. Estes dos conjuntos oedecem aos axomas acma.

16 Um campo algérco fnto com D elementos é denomnado de Campo de Galos (Galos Feld) e é desgnado por GF (D). Nem para todos os valores de D é possível formar um campo. Em geral, quando D é prmo (ou uma potênca ntera de um número prmo) é possível construr o campo fnto GF (D) consstndo dos elementos {,, L, D }, desde que as operações de adção e multplcação sore GF (D) sejam operações módulo D [Clark]. Nota: Uma operação op é módulo D quando pode ser representada por ( a ) modd x. op, onde x mod y é o operador que resulta no resto da dvsão y Por exemplo, a operação de soma módulo 5 entre os números 4 e 3, ( 3) mod5 resto da dvsão 7/5 é 2, portanto ( 4 + 3) mod op, resulta em 2 vsto que o 6

17 Por exemplo, o Campo de Galos (2) multplcação dadas pelas Taelas 4.3 e 4.4 Note nas Taelas 4.3 e 4.4 que: Taela 4.3: Soma sore GF (2) GF é formado pelo conjunto {,} e pelas operações módulo 2 de soma e Taela 4.4: ultplcação sore GF(2) +. a soma entre dos elementos a e pertencentes a GF (2) é mplementada pela operação lógca a (ou a XOR ) e que a multplcação entre dos elementos a e pertencentes a GF (2) é mplementada pela operação lógca a. (ou a AND ). Por sto é usual os códgos corretores serem construídos em GF (2) dada a facldade de mplementação com portas lógcas AND e XOR. Assm, um códgo corretor de erro náro ( Α {,} ) é tal que os coefcentes dos polnômos em { C ( p) } pertencem a GF ( 2); Α {,} e as operações artmétcas realzadas sore o conjunto de polnômos { C ( p) } { C ( p), C( p), L, C ( p) } (ou, equvalentemente, sore o conjunto de palavras-códgo C { c } { c c, L c }) durante o processo de codfcação/decodfcação oedecem às Taelas 4.3 e 4.4.,, 7

18 Suponhamos que c e 4.3. Capacdade de Detecção e Correção de Erro c sejam duas palavras-códgo quasquer do códgo ( n,k) j θ. Uma medda da dferença (dstânca) entre duas palavras-códgo é o número de ts em posções correspondentes que dferem entre s. Esta medda é denomnada de Dstânca de Hammng e é denotada por Por exemplo, sejam c [ ] e [ ] Oserve que d j sempre satsfaz a condção n ts (por defnção, em um códgo ( n,k) O menor valor no conjunto { } j códgo e é denotado como d mn. j d j. c. Então d 3. < d j n, j θ, c c j, e j com d,, j,, L,, j, j, para duas palavras-códgo c e j ). c j, amas de k 2 é denomnado dstânca mínma do Por exemplo, d mn 2 para o códgo da Taela 4. (Explo. 4.),{,,,,,,, }. A Dstânca de Hammng d j é uma medda do grau de separação entre duas palavras-códgo c e Portanto, mn θ n,k em dentfcar palavras-códgo demoduladas no receptor quando estas são recedas em erro, como conseqüênca do ruído e nterferênca presentes no canal. d está assocado à capacdade do códgo ( ) Em outras palavras, quanto maor d maor a capacdade de um códgo ( n,k) mn c j. θ detectar e corrgr erros. 8

19 Demonstra-se que [Ash][Proaks]: Seja θ ( n,k) um códgo corretor náro; seja d o número máxmo de erros que θ ( n,k) é capaz de detetar; seja t o número máxmo de erros que θ ( n,k) é capaz de corrgr; seja d a dstânca mínma de θ ( n,k) ; então: mn (Detecta d erros) d d (4.7) (Corrge t erros) t mn d mn 2 (4.8) d mn n k + (4.9) sendo. o operador que resulta no ntero mas próxmo e menor que o argumento. Por exemplo, d 2 para o códgo θ ( 4,3) da Taela 4.. mn Daí, de (4.7) e (4.8), temos que d d 2 e d mn mn t. Portanto o códgo ( ) 4,3 θ da Taela 4. detecta no máxmo erro por palavra-códgo, mas não tem capacdade de correção. De fato, este códgo é um smples códgo party-check. 9

20 4.3.2 A atrz Geradora de um Códgo θ ( n, k) Seja a -ésma mensagem de um códgo náro θ ( n,k) representada pelo vetor [ x x x ] x L e seja a -ésma palavra-códgo de ( n,k) ( k ) [ c c c ] c L, onde,, L,, ( n ) k 2. O processo de codfcação da mensagem [ x x x ] palavra-códgo [ c c c( n ) ] θ representada pelo vetor x L ( k ) na respectva c L efetuado por um códgo náro ( n,k ) representado em forma matrcal por onde a matrz k n c x G θ pode ser (4.) G é denomnada de matrz geradora do códgo ( n,k ) G g g g ( k ) g g g ( k ) L L L g g g ( n ) ( n ) ( k )( n ). θ e é dada por (4.) 2

21 Podemos nterpretar a matrz G como um conjunto de k vetores-lnha G g g g ( k ) g g g ( k ) Desta manera, de G x L L L g g g ( n ) ( n ) ( k )( n ) g g g ( k ). g, j,, L, k, tal que j (4.2) c (4.) e (4.2), cada palavra-códgo [ c c c ] smplesmente uma comnação lnear dos vetores determnados pela mensagem assocada [ x x x( k ) ] c x g + x g + L + x ( k ) ( k ) j c L ( n ) é g com coefcentes da comnação x L, sto é: g (4.3) É possível demonstrar que [Clark][Peterson][Costello], o conjunto C de θ n,k é um su-espaço vetoral de dmensão k. códgo ( ) k 2 palavras-códgo de um Logo, os k vetores-lnha g j que formam a matrz G devem ser lnearmente ndependentes para que possam, conforme estaelece (4.3), gerar o su-espaço C em k dmensões. Em outras palavras, o conjunto de vetores g é uma ase para o su-espaço C. j 2

22 22 Exemplo 4.2: Verfque se a matrz G é a matrz geradora do códgo ( ) 4,3 θ da Taela 4.. Solução: Cada palavra-códgo [ ] ) ( n c c c c L de 4 n ts é gerada através de (4.) a partr da respectva mensagem [ ] ) ( k x x x x L de 3 k ts. No total, exstem 8 2 k palavras-códgo em ( ) 4,3 θ. Assm, x c x G x c x G [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Portanto G é geradora de ( ) 4,3 θ.

23 Qualquer matrz geradora G de um códgo θ ( n,k ) pode, através de operações elementares em suas lnhas e permutações em suas colunas, ser reduzda à forma sstemátca quando, então, o códgo gerado é sstemátco. Uma matrz geradora G encontra-se na forma sstemátca quando G [ I P] Por exemplo: k x ensagem de k 3 ts L L L p p p (4.4) ( k ) p p p ( k ) L L L p p p ( n k ) ( n k ) ( k )( n k ) Palavra-códgo c de n 4 ts assocada a x por c θ{ }. x onde I k é a matrz dentdade P é uma matrz k ( n k) k k e que determna os n k ts de pardade na palavra-códgo c de n ts, a partr dos k ts da mensagem x. A matrz geradora do Exemplo 4.2 (reproduzdo ao lado), G, está na forma sstemátca e o códgo θ ( 4,3) gerado é um códgo sstemátco,.e., cada palavra-códgo de n ts é formada pelos k ts da respectva mensagem assocada, acrescdos (por justaposção) de n k ts de pardade. 23

24 No contexto de comuncação dgtal, as palavras-códgo passam por um processo de modulação no trasmssor e são envadas através de um canal com ruído/nterferênca. Dos códgos que dferem somente na ordem (arranjo) de suas palavras-códgo, apresentam a mesma proaldade de erro de decodfcação no receptor, porque as dstâncas de Hammng entre as palavras-códgo são as mesmas [Peterson]. Tas códgos são denomnados equvalentes. Especfcamente, o códgo θ ( n k ) é equvalente ao códgo ( n, k) e, θ se a matrz geradora G e de θ ( n k ) puder ser otda através da permutação de colunas da matrz G geradora de θ( n, k) e, de operações elementares realzadas entre as lnhas de G. ou através Uma operação elementar em GF(2) entre duas lnhas de uma matrz consste em permutar as lnhas ou em susttur uma lnha pela soma dela com outra lnha. Assm sempre podemos transformar uma matrz G qualquer para a forma sstemátca (4.4), mantendo a equvalênca entre os respectvos códgos gerados. * G dada por 24

25 25 Exemplo 4.3: Dada a matrz geradora G, colocá-la na forma sstemátca * G. Verfque se * G gera um códgo equvalente ao gerado por G. Solução: Vsto que a matrz geradora é uma matrz 4 3 G, então o códgo gerado será um códgo ( ) 4,3 θ. * G pode ser otda pelo segunte conjunto de operações elementares feto sore as lnhas de G : Operação Elementar atrz G alterada L 2 L ( ) L L L + ( ) 2 L L L + * G

26 26 O códgo gerado por G é x c x G x c x G [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] O códgo gerado por * G é o mesmo códgo gerado no Exemplo 4.2. Portanto os códgos gerados por * G e G são equvalentes, porque dferem apenas na ordem (arranjo) de suas palavras-códgo.

27 4.3.3 A atrz de Pardade de um Códgo θ ( n,k ) Seja um códgo θ ( n,k) com matrz geradora G dada na forma sstemátca, G [ I P] (4.9). Conforme dscutmos na Seção 4.3.2, a -ésma palavra-códgo c [ c c L c( n ) ] relacona-se com a respectva mensagem x [ x x L x( k ) ] através de G k c. x Já que G encontra-se na forma sstemátca, a palavra-códgo c pode ser decomposta em c [ x a ](4.2), onde a P é um vetor-lnha que contém os n k ts de pardade de c. x Vsto que a x P, e consderando que a soma em (2) GF é uma operação módulo 2, então x P + a que pode ser escrta matrcalmente como Defnndo H T P I n k I [ ] x a n k (4.2) P (4.22) T temos que c H (4.23), sendo T T T [ ] [ P ] T T P T H ( H ) P ( I n k ) I I n k n k (4.24) 27

28 T Portanto, de c H (4.23), nfere-se que cada palavra-códgo do códgo ( n,k ) T cada lnha da matrz H (se u v então os vetores u e v são ortogonas [Chen]). θ é ortogonal a Em conseqüênca, como as palavras-códgo do códgo θ ( n,k) são geradas por G, então T GH (4.25) Oserve que a matrz H pode ser usada no receptor dgtal para detectar se ocorreu erro como conseqüênca da degradação mposta pelo canal de transmssão. Sempre que a palavra-códgo apresenta erros. y T receda no receptor dgtal resultar y H então y Por este motvo, H é denomnada de matrz de pardade. ( n k ) n 28

29 Exemplo 4.4: (a) Determne a matrz de pardade H do códgo ( 4,3) T () Verfque se GH. T (c) Verfque se c H. θ do Exemplo 4.3. Solução: (a) A matrz geradora de θ ( 4,3) G na forma sstemátca é [ I 3 P] De (4.24) temos [ P T I ] [ ] n k. H (4.26) 29

30 3 () Verfcando se T GH : T GH (4.27) (c) Verfcando se T c H : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

31 4.3.4 Decodfcação pela ínma Dstânca (Decodfcacão L - axmum-lkelhood Decodng) Nesta seção estudaremos como os erros nas palavras-códgo são detectados e corrgdos no receptor dgtal. No receptor dgtal, os n ts provenentes do demodulador, correspondentes à -ésma palavra-códgo receda são entregues ao decodfcador do códgo θ ( n,k ). y O decodfcador compara y k com as 2 possíves palavras-códgo c j de θ ( n, k), j,, L,, e decde em favor daquela palavra-códgo (portanto, em favor da mensagem assocada) que é mas próxma da palavra-códgo receda em termos da Dstânca de Hammng. atematcamente esta operação pode ser expressa por { } j H onde θ c j C, y { c } { c, c, L, c } C e arg mn c j y c (4.29) y c j denota a Dstânca de Hammng entre H y e c j. 3

32 Um decodfcador aseado no crtéro de dstânca mínma é denomnado de Decodfcador de áxma Verossmlhança ou Decodfcador L (L - axmum-lkelhood). θ y arg mn y c (4.29), exste uma Emora a decodfcação L possa ser realzada através de { } j H manera mas efcente de mplementar um decodfcador L, aprovetando as propredades da matrz de pardade ( k ) Array Decodng). H n n de um códgo ( n,k ) θ, denomnada de Decodfcação por Arranjo Padrão (Standard c j A desvantagem de (4.29) é a necessdade de calcular palavra-códgo receda. k 2 Dstâncas de Hammng para decodfcar a Veremos a segur como reduzr este número de dstâncas calculadas para Arranjo Padrão, já que, na prátca, usualmente n k < k. n k 2 utlzando o conceto de 32

33 Arranjo Padrão Seja c a palavra-códgo transmtda pelo transmssor dgtal através do canal de transmssão e seja y a palavra-códgo receda resultante na saída do demodulador do receptor dgtal. Devdo à degradação do snal no canal, em conseqüênca de ruído/nterferênca, a palavra-códgo y receda pode conter erros, de modo que y pode ser expressa por y c + e (4.3) onde e é o vetor-lnha de n ts que representa o padrão de erro (.e., os ts errados em y ) resultante da degradação do snal no canal. Palavra-códgo transmtda: c [ ] Palavra-códgo receda: y [ ] Padrão de erro: e [ ] Note que o peso do padrão de erro é a Dstânca de Hammng entre y e c. Peso do padrão de erro e 33

34 Pós-multplcando y c + e (4.3) por y T H otemos T T T T ( c + e) H c H + eh eh T H (4.3) T (Lemre que c H, ou seja, as palavras-códgo de um códgo são ortogonas à sua matrz de pardade). Defne-se o vetor n k dmensonal s, denomnado síndrome do padrão de erro, ou smplesmente síndrome, como Dmensão de s eh T e n ; dmensão de ( n k) n (4.32) H ; dmensão de s ( n k). É mportante enfatzar que o conjunto de síndromes { s } é determnado pelo conjunto de padrões de erro { } nferr de (4.3). e, mas não pelo conjunto C de palavras-códgo transmtdas, como podemos 34

35 Oserve que e é um vetor de n ts (.e., e é um vetor n dmensonal em (2) e ; padrões de erro no conjunto { } s é um vetor de Em conseqüênca, n k ts exstem s n k 2 possíves síndromes no conjunto { s }. GF ) exstem 2 n possíves T eh (4.32) mapea dferentes padrões de erro e na mesma síndrome s. O Arranjo Padrão (AP) resulta em uma taela, denomnada Taela de Síndromes, a qual é mplementada em RO (RO - Read Only emory) no receptor dgtal. A Taela de Síndromes é consultada pelo decodfcador L para dentfcação e correção de erro em cada palavra-códgo y receda. (Veremos como construr a Taela de Síndromes no Exemplo 4.6. Por enquanto, focalzaremos nossa atenção na construção do AP, vsto que a capacdade de detecção/correção de um códgo pode ser detalhadamente otda a partr do AP.) 35

36 o O AP tamém é uma taela que possu possíves síndromes. n k 2 lnhas, cada uma delas assocada a uma das n k 2 o O n o. de colunas do AP é θ. k 2, correspondendo ao n o. de palavras-códgo do códgo ( n, k) o Quando mplementado, a lnha superor do AP recee a desgnação L e a coluna mas à esquerda recee a desgnação C. o A Taela 4.5 mostra a forma geral de um AP, o qual, portanto, é formado de n k k n n células ( 2 possíves padrões de erro). Taela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c C C C2 L L2 2 e e e e2 c c 2 c + c 2 + e c + c 2 + e2 k L C( 2 ) L c k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e L c k ( 2 ) + e2 n k L( 2 ) e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c 2 + e n k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) 36

37 Taela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c C C C2 c c 2 k L C( 2 ) L c k ( 2 ) L L2 2 e e e e2 c + c 2 + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e L c k ( 2 ) + e2 n k L( 2 ) e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c 2 + e n k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Na lnha L do AP são lstadas, da esquerda para a dreta, as cada uma delas representada por um vetor n dmensonal em GF (2). θ, k 2 palavras-códgo de ( n,k) A palavra-códgo c pertencente à célula dentfcada pela ntersecção da coluna C com a lnha L (célula L C ) orgatoramente deve ser aquela representada pelo vetor. 37

38 Taela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c C C C2 c c 2 k L C( 2 ) L c k ( 2 ) L L2 2 e e e e2 c + c 2 + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e L c k ( 2 ) + e2 n k L( 2 ) e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c 2 + e n k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Na coluna C, aaxo da palavra-códgo, são lstados, de alto a axo, os 2 n k de erro relatvos à palavra-códgo c. padrões Prmeramente são lstados todos os n padrões de erro de peso, sto é, todos os padrões de erro que resultam de uma Dstânca de Hammng untára entre a palavra-códgo y receda e c. Se n k 2 > n, então lsta-se a segur em C todos os possíves padrões de erro de peso 2. Em seguda lsta-se em C todos os possíves padrões de erro de peso 3, e assm sucessvamente n k até que todas as 2 células de C estejam preenchdas. Neste contexto, e c representa o padrão de erro de peso, sto é, representa a não-ocorrênca de erro. 38

39 Taela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c C C C2 c c 2 k L C( 2 ) L c k ( 2 ) L L2 2 e e e e2 c + c 2 + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e L c k ( 2 ) + e2 n k L( 2 ) e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c 2 + e n k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Nota: Vsto que cada lnha do AP necessta corresponder a uma únca síndrome dentre as n k 2 possíves síndromes, devemos ter o cudado de, na construção de C, assegurar que dstntos padrões de erro de peso maor que em C correspondam a síndromes que são dstntas entre s e que são smultaneamente dstntas daquelas que correspondem a padrões de erro de peso. 39

40 Então, dando prossegumento à construção do AP, adconamos o padrão de erro contdo na -ésma célula de C à palavra-códgo na célula L C e colocamos o resultado na -ésma célula em C. Em seguda, adconamos o padrão de erro contdo na -ésma célula de C à palavra-códgo na célula L C2 e colocamos o resultado na -ésma célula em C2, e assm sucessvamente k nk até completar a últma coluna C( 2 ), mas à dreta do AP, sendo,,2, L,2. Taela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c C C C2 c c 2 k L C( 2 ) L c k ( 2 ) L L2 2 e e e e2 c + c 2 + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e L c k ( 2 ) + e2 n k L( 2 ) e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c 2 + e n k ( 2 ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Oserve que a -ésma lnha L do AP assm construído (nclundo L) representa o conjunto k k das 2 possíves palavras-códgo recedas y c j j + e, j,, L,2, que serão recedas caso a degradação do canal gere o padrão de erro e contdo na célula L C. Cada lnha L do AP é denomnada de coset e a célula L C é denomnada líder do coset. Portanto, um coset é o conjunto de todas as palavras-códgo possíves de serem recedas quando o canal mpõe o padrão de erro defndo pelo líder do coset. 4

41 Exemplo 4.6: Seja o codfcador de canal no transmssor de um sstema de comuncação dgtal que utlza o códgo de loco gerado por G. a) Determne um possível AP para este códgo e a Taela de Síndromes assocada, vsando o projeto do decodfcador no receptor. ) Suponha que o transmssor dgtal enve a palavra-códgo [ ] c através do canal. O canal degrada o snal de forma que o demodulador no receptor enva para o decodfcador a palavracódgo y [ ] (erro no t 3 ). Verfque a capacdade do decodfcador em detectar e corrgr este erro. c) Suponha que o ruído/nterferênca no canal seja alto de forma que o demodulador no receptor enva para o decodfcador a palavra-códgo y [ ] (erro no t e no 3 ). Verfque a capacdade do decodfcador em detectar e corrgr este erro duplo. Solução: a) Vsto que G n G 2 5 k 2 As θ. k, o códgo em questão é ( 5,2) palavras-códgo de θ ( 5,2) gerado por G são otdas de (4.): c [ ] [ ] G c c [ ] [ ] G [ ] [ ] 2 G c [ ] [ ] 3 G 4

42 A matrz geradora não necessta ser transformada por permutação de colunas ou por operações elementares em lnhas vsto que já encontra-se na forma sstemátca, sto é, G [ I 2 P]. H ( n k ) n n k. T Daí, de (4.24) temos que [ P I ] Para determnar os padrões de erro da coluna C do AP precsamos verfcar quas as síndromes resultantes dos n 5 padrões de erro de peso para que não ocorra gualdade com as síndromes resultantes dos padrões de erro de peso maor que. Os padrões de erro de peso são: [ ],[ ],[ ],[ ] e [ ] Verfcando as síndromes resultantes dos padrões de erro de peso :. e T e H s [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] 42

43 Ovamente a síndrome resultante do padrão de erro de peso (nexstênca de erro) é T H. [ ] [ ] n k 5 2 O AP a ser construído possu lnhas (correspondentes às n k 2 síndromes). Já determnamos n + 6 síndromes. n k Anda faltam determnar 2 ( n + ) 8 (5 + ) 2 síndromes. Estas 2 síndromes faltantes devem orgatoramente ser dstntas entre s e dstntas das n + 6 síndromes já determnadas. Tendo esta condção em mente, verfca-se na taela acma que elas são as síndromes [ ] e [ ]. Os padrões de erro que resultam nestas 2 síndromes (que estamos uscando determnar para formar a coluna C do AP) devem ser padrões de erro de peso 2, vsto que já esgotamos os possíves padrões de erro de peso e de peso. 43

44 44 Se expressarmos o padrão de erro por [ ] e, onde representa a ordem do t, e consderando que T e s H (Equação (4.32)), temos que para a síndrome [ ] : [ ] [ ] o que resulta no segunte sstema de equações em ) (2 GF : onde representa a negação do valor lógco do t. Um possível padrão de erro de peso 2 que oedece às equações acma é [ ] e. Portanto este será o padrão de erro que assocaremos à síndrome [ ].

45 45 Para a síndrome [ ] temos que: [ ] [ ] o que resulta no segunte sstema de equações em ) (2 GF : Um possível padrão de erro de peso 2, dstnto do anteror, que oedece às equações acma é [ ] e. Portanto este será o padrão de erro que assocaremos à síndrome [ ].

46 De posse destes resultados, o AP é construído como: Arranjo Padrão: C C C2 C3 L [ ] [ ] [ ] [ ] L [ ] [ ] [ ] [ ] L2 [ ] [ ] [ ] [ ] L3 [ ] [ ] [ ] [ ] L4 [ ] [ ] [ ] [ ] L5 [ ] [ ] [ ] [ ] L6 [ ] [ ] [ ] [ ] L7 [ ] [ ] [ ] [ ] 46

47 E a Taela de Síndromes para mplentação do decodfcador é: Taela de Síndromes (mplementada em RO): Síndrome s Padrão de Erro e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 47

48 T T ) De (4.3) temos que yh eh s. T y, então y [ ] Dado [ ] s H. Consultando a Taela de Síndromes verfca-se que o padrão de erro correspondente é e [ ]. De (4.3), y c + e, y + e c + e + e c [ ] c y + e. Portanto o decodfcador detectou e corrgu o erro smples. T T c) De (4.3) temos que yh eh s. T Dado y [ ], então y [ ] 48 s H. Consultando a Taela de Síndromes verfca-se que o padrão de erro correspondente é e [ ]. De (4.3), y + e [ ] c. Portanto o decodfcador detectou o erro mas não corrgu o erro duplo.

49 A mpossldade deste códgo corrgr todos os padrões de erro com peso maor que pode ser tamém verfcada astando consultar a coluna C do AP. Por nspeção da coluna C conclu-se que este códgo corrge todos os 5 padrões de erro de peso possíves e somente 2 padrões de erro de peso 2, quas sejam, e [ ] e e [ ]. Em geral o projetsta do códgo escolhe os padrões de erro de peso w que corrgem w erros com ase em alguma peculardade do sstema dgtal. Por exemplo, no Exemplo 4.6 o número total de padrões de erro de peso 2 é dado pela comnação de n 5 ts tomados m 2 a m, sto é, Com ( n, m) Com( 5,2), onde Com n, m n! m! n m!. ( ) [ ( )] No entanto, na construção do AP fo possível utlzar apenas 2 deles: e [ ] e e [ ]. A razão da escolha destes dos padrões podera ser, por exemplo, o fato de que o t 4 é um t crucal à supervsão e controle do sstema (supondo que o códgo seja sstemátco) e que, em menor grau, o 3 tamém o seja. 49

50 4.3.6 Prncpas Códgos de Bloco Bnáros Há uma extensa coleção de códgos de loco náros (e não náros). Entre eles ctamos: Códgos de Hadamard θ, caracterzados por d m, onde m é um número ntero. m ( n, k) θ( 2, m + ) mn + Em geral, os Códgos de Hadamard apresentam axa razão de codfcação m Rc k n τ s τ x ( m +) 2, onde τ s representa a largura (duração no tempo) dos ts em uma palavra-códgo e τ x representa a largura dos ts na respectva mensagem. Portanto, como τ s τ x é pequeno, o uso de um Códgo de Hadamard mplca em um consderável aumento na anda-passante do sstema, e, por sso, não é muto utlzado. Códgo de Golay θ ( 23,2), caracterzado por d mn 7, o que sgnfca: mn 7 - uma capacdade de correção de até t d erros smultâneos e - uma capacdade de detecção de até d d 7 6 erros smultâneos. mn Este códgo é pecular porque ele é o únco códgo conhecdo de 23 ts capaz de corrgr até 3 erros smultâneos [Tau]. 5

51 Códgos de Hammng θ m m ( 2,2 m), astante populares por serem caracterzados pela extrema facldade de construção, alada a uma dstânca mínma d mn 3 (detecta até 2 erros smultâneos e corrge até erro), sendo m n k um ntero postvo. Por exemplo, se m 3, otemos um Códgo de Hammng θ ( 7,4). Em geral, a construção de um códgo de loco θ ( n,k) consste em: defnrmos a sua matrz de pardade H ( n k ) n e, a partr da defnção de H, otermos a sua matrz geradora G k n. Lemrando que: G [ I P] k L L L p p p ( k ) p p p ( k ) L L L p p p ( n k ) ( n k ) ( k )( n k ) e H ( n k ) n T [ P I ] n k p p p ( n k ) p p p ( n k ) p p p 2 2 2( n k ) L L L p p p ( k ) ( k ) ( k )( n k ) L L L. 5

52 θ caracterza-se pelas suas n 2 m colunas serem formadas por todos os vetores dstntos m dmensonas em (2) m m A matrz H de um Códgo de Hammng ( 2,2 m) exceto o vetor. Por exemplo, um códgo θ ( 3, ) é um Códgo de Hammng com 2 formada pelos 3 n vetores colunas [ ] T, [ ] T, [ ] T. GF, m em que a matrz H é H ( n k) n H2 3 52

53 4.4 Códgos Reed-Solomon Os Códgos Reed-Solomon consttuem uma su-classe de uma ampla classe de códgos cíclcos denomnada de Códgos BCH (Bose Chaudhur Hocquenghem). Os Códgos Reed-Solomon (RS) encontram-se entre os códgos mas poderosos no que dz respeto à capacdade de correção de erro, sendo largamente utlzados em mutos sstemas dgtas como: Dspostvos de armazenamento (Fta agnétca,cds, DVD, códgos de arra, etc.). Comuncações óves e wreless (Telefona celular, lnks de mcroondas, etc.) Comuncações va Satélte. Televsão Dgtal Vmos anterormente que um códgo de loco náro θ ( n, k) codfca mensagens de k ts em palavras-códgo de n ts, podendo corrgr até d mn t 2 ts errados. Um Códgo Reed-Solomon θ ( n,k), representado por ( n,k) RS, codfca mensagens de k símolos em palavras-códgo de n símolos, sendo capaz de corrgr até errados. n k t 2 símolos Cada símolo em uma palavra-códgo (ou em uma mensagem) de um códgo RS ( n,k) é um loco de m ts. 53

54 Um Códgo Reed-Solomon θ ( n,k), representado por ( n,k) RS, codfca mensagens de k símolos em palavras-códgo de n símolos, sendo capaz de corrgr até errados. n k t 2 símolos Cada símolo em uma palavra-códgo (ou em uma mensagem) de um códgo RS ( n,k) é um loco de m ts. Daí, portanto, o poder de correção de erro de um códgo RS ( n,k) : esmo que todos os m ts de cada um dos t símolos recedos estejam errados, o códgo RS ( n,k) efetua a correção não mportando a localzação dos símolos na palavra-códgo. Anda, não mportando o número e a posção dos ts errados em cada símolo, o códgo RS ( n, k) corrgrá até t símolos e, caso o número de símolos errados ultrapassar t, o códgo RS ( n, k) detectará esta stuação. No contexto do codfcador de canal de um sstema de comuncações dgtas esta característca é extremamente vantajosa porque permte a correção de um surto de m t ts sequencas recedos em erro (error urst correcton). Se o número de erros ultrapassar t, então o códgo ( n,k ) erros. RS avsa o sstema de que não fo capaz de corrgr todos os 54

55 É de especal nteresse o caso em que m 8, quando cada símolo representa yte. Um yte representa um loco de 8 ts, que é o menor loco de nformação usualmente encontrado em sstemas mcroprocessados. Por exemplo, consderemos um códgo ( 2,6) RS com m 8. Suponhamos que queramos codfcar a mensagem de k 6 ytes: RS adcona n k 4 ytes de pardade e codfca a mensagem acma na palavra-códgo em forma sstemátca aaxo: O códgo ( 2,6) Oserve que nenhum símolo é maor do que 255, valor máxmo decmal para yte. 8 Oserve tamém que as operações entre polnômos são todas executadas em GF( 2 m ) GF( 2 ) GF( 256). Foge ao escopo deste texto o estudo da álgera de polnômos em GF ( 2 m ) e, portanto, não nos aprofundaremos na teora dos Códgos Reed-Solomon. 55

56 4.5 Códgos Convoluconas Decodfcador de Vter Um códgo convoluconal é gerado pela comnação lnear em GF (2) das saídas de um shft-regster de K estágos. A seqüênca de ts a ser codfcada é aplcada na entrada do shft-regster, e este executa a convolução em GF (2) entre a seqüênca de entrada e a resposta ao mpulso da máquna de estado (state machne) representada pelo shft-regster. A saída da máquna de estado consttu, portanto, a seqüênca codfcada. O n o. de estados da máquna de estado de um codfcador convoluconal é K 2, sendo K o n o. de estágos do shft-regster. No contexto de códgos convoluconas K+ recee o nome de constrant length [Tau]. A razão entre o n o. de entradas e o n o. de saídas da máquna de estado defne a razão de codfcação R c do codfcador. Como uma máquna de estado construída a partr de um shft-regster apresenta um conjunto fnto de transções permtdas entre estados, quando a seqüênca a ser codfcada é a ela sumetda, mplctamente fcarão restrngdas as transções da seqüênca codfcada em sua saída. Se o receptor conhecer a taela de transções permtdas, então os erros gerados por degradação do snal no canal de comuncações poderão ser dentfcados e corrgdos (pelo Decodfcador de Vter). A fgura ao lado mostra um codfcador convoluconal com K 2 ( 2 K 4 estados) e R 2. c 56

57 A Fgura 4.2, aaxo, mostra um codfcador convoluconal com K 2 ( 2 K 4 estados) e R 2. c A seqüênca de ts a ser codfcada é representada por u e a saída do codfcador é a seqüênca de ts v. Vsto que R 2, para cada t de u são gerados dos ts em v. c O estágo D transfere o valor lógco em sua entrada para a sua saída medatamente após a ocorrênca da orda de descda do pulso de clock (não representado na fgura). De forma dêntca opera o estágo D. Representando a saída do estágo D por ts D D dentfca um dos estados da máquna de estado. D e representando a saída do estágo D por D, então o par de 57

58 A Fgura 4.3 mostra o dagrama de transção de estados do codfcador convoluconal da Fgura ao lado. Na Fgura, cada círculo representa um estado D D dentre os 2 K 4 possíves estados. O dagrama é construído a partr dos estados ndvduas consderando as transções permtdas a partr de cada estado como conseqüênca do valor lógco de u. Por exemplo, suponhamos que a máquna de estado encontre-se no estado (.e., D e D na Fgura acma). Se u a saída resultante é v e, após a orda de descda do clock, a máquna va para o estado. Se u a saída resultante é v e, após a orda de descda do clock, a máquna va para o estado. Dada uma seqüênca u a ser codfcada, a saída v no codfcador de um transmssor dgtal é envada ao receptor através do canal de transmssão, sendo receda como uma seqüênca r. Se nenhuma degradação de snal ocorreu no canal de transmssão, r v. 58

59 A Taela 4.8 mostra uma possível seqüênca u e a resultante seqüênca v para o codfcador da Fgura 4.2. É mostrada tamém a trajetóra do estado D D à medda que u é codfcada, partndo ncalmente do estado. Assumndo que v seja envado através de um canal de transmssão com ruído/nterferênca, a Taela 4.8 mostra uma possível seqüênca r receda com 2 erros. Taela 4.8: Exemplo de codfcação para o codfcador da Fgura 4.2 u D D v r Dagrama de transção de estados do codfcador convoluconal. 59

60 No receptor dgtal, o decodfcador utlza um algortmo de decodfcação aseado no prncípo de mínma dstânca (LSE maxmum lkelhood sequence detector) denomnado Algortmo de Vter. (Vamos decodfcar a seqüênca r da Taela 4.8 através do Algortmo de Vter para testar a capacdade de correção de erros do mesmo. ) A Fgura 4.4 mostra o dagrama de trelça utlzado pelo Decodfcador de Vter adequado ao codfcador convoluconal da Fgura 4.2. O dagrama de trelça mostra todas as trajetóras (camnhos) das transções de estado da máquna de estado do codfcador a cada nstante de codfcação, a partr do estado. Cada ramo da trelça começa e termna em um estado, representando, assm, uma transção permtda. Cada ramo é dentfcado por u / v v, sto é, a saída v do codfcador quando, ao aplcarmos u em sua entrada, a máquna de estado executa a transção representada pelo ramo em questão. Dagrama de transção de estados do codfcador convoluconal da Fgura 4.2. Dagrama de Trelça do Decodfcador de Vter para o codfcador convoluconal da Fgura

61 A técnca de decodfcação consste em acumular em cada nó da trelça as Dstâncas de Hammng entre a saída v do codfcador e a seqüênca r receda a cada nstante. Se mas de um camnho chega a um nó mata-se aqueles de maor métrca (maor dstânca acumulada) camnhos marcados com na Fgura 4.4 fcando apenas aquele de menor métrca, denomnado de camnho sorevvente. A métrca acumulada de cada camnho encontra-se em negrto à dreta de cada nó na Fgura 4.4. étrcas sulnhadas representam métrcas de camnhos sorevventes. étrcas em tálco representam ramos que ncdem no nó por cma e métrcas em não-tálco representam ramos que ncdem no nó por axo, já que, no máxmo 2 ramos ncdem em um nó para este decodfcador. Dagrama de Trelça do Decodfcador de Vter para o codfcador convoluconal da Fgura

62 A decodfcação fnal é ncada a partr do camnho sorevvente de menor métrca acumulada, dentfcando cada ramo sorevvente da dreta para a esquerda na trelça, conforma mostra a Fgura 4.5. Ao lermos o valor de u nos dentfcadores u / v v de cada ramo sorevvente na Fgura 4.5, verfcamos que a seqüênca orgnalmente transmtda fo u [ ], o que concorda com u mostrado na Taela 4.8. Portanto, o decodfcador dentfcou e corrgu os 2 erros. Fgura 4.5: Decodfcando a seqüênca r da Taela 4.8. Fgura 4.5: Decodfcando a seqüênca r da Taela

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65 Quando nformação dgtal é envada através de um canal de transmssão, ruído e nterferênca nerentes a qualquer canal prátco degradam o snal de forma que os dados recedos contêm erros. O usuáro do sstema de transmssão dgtal geralmente estaelece uma taxa de erro máxma acetável uma mensagem 6 6 errada em mensagens recedas, por exemplo (.e., uma taxa de erro de ) acma da qual os dados recedos não são consderados utlzáves pelo usuáro. Esta taxa de erro máxma acetável depende da nformação que transta pelo canal. A título de comparação, a taxa máxma de erro permtda para transmssão de voz através de telefona celular é muto maor do que a taxa exgda para transmssão de dados, por exemplo. Até porque, na por das hpóteses, mesmo so uma alta taxa de erro e conseqüente dstorção, o sstema audtvo humano é capaz de compreender o sgnfcado das frases pelo contexto da conversa, o que já não acontece quando dos computadores trocam dados. O Codfcador de Canal é o responsável em um sstema dgtal por manter a taxa de erro dentro de um lmte máxmo acetável pelo usuáro. A possldade do uso de codfcação para controlar com efcênca a taxa de erro de um sstema de comuncação dgtal fo demonstrada por Shannon [Shannon] em 948 através do denomnado Teorema Fundamental de Shannon: Se a taxa ( velocdade) de transmssão R [ s] [ s] ts da nformação a ser envada pelo canal é menor que uma quantdade C ts denomnada de Capacdade do Canal, então a comuncação através do canal pode ser estaelecda com uma proaldade de erro tão axa quanto se deseje através do uso de um códgo adequado para correção de erro. Em essênca, o Teorema Fundamental de Shannon estaelece que a potênca do snal transmtdo, a potênca de ruído no canal e a largura de anda do canal estaelecem um lmte máxmo na taxa de transmssão R. 65

66 No caso específco de o únco agente degradante do canal ser ruído η ( t) com dstrução de proaldade Gaussana (canal Gaussano), a Le de Shannon-Hartley, decorrente do Teorema Fundamental de Shannon, estaelece que a capacdade C deste tpo de canal é dada por P B é a largura de anda do canal em Hz, C B log 2 + [ ts s] (4.) onde: P é a potênca do snal transmtdo e N N é a potênca do ruído Gaussano adconado ao snal no canal. Outra nterpretação é a de que P é a potênca do snal recedo no receptor e N é a potênca do ruído na entrada do receptor. A Le de Shannon-Hartley apresenta duas mportantes mplcações: - Ela dá um lmte superor para a velocdade (taxa) de transmssão confável através de um canal Gaussano. 2- Para uma Capacdade de Canal C especfcada, ela defne o compromsso entre a largura de anda B do canal e a relação snal-ruído SNR P N (SNR Sgnal To Nose Rato) no mesmo. Apesar de (4.) somente ser válda para canal AWGN (AWGN Addtve Whte Gaussan Nose), sto é, o ruído adtvo η () t do canal é Gaussano e descorrelaconado (.e., espectralmente ranco - whte), a Le de Shannon-Hartley é de utldade prátca por duas razões: - Em geral a maora dos canas físcos são pelo menos aproxmadamente AWGN. 2- Demonstra-se que o resultado otdo para um canal AWGN provê um lmte nferor para a performance de um sstema dgtal operando com um canal não AWGN. Em geral, como a densdade espectral de η ( t), dada por I{ η ( t) } 2, é uma constante η 2 dentro do ntervalo de freqüênca B f B, o ruído pode ser consderado ruído ranco [Tau] e a potênca do ruído pode ser aproxmada por N η B, sendo I{} o operador P Transformada de Fourer [Carlson], e (4.) pode ser reescrta como C B log 2 + [ ts s]. ηb 66

67 Lmte de Shannon Quando a largura de anda B do canal é aumentada ao nfnto, a Capacdade do Canal resulta em P C B e η P η log [ s] ts (4.6) A Equação (4.6) é conhecda como Lmte de Shannon. O Lmte de Shannon defne a máxma taxa de transmssão para um canal cuja largura de anda seja sufcentemente grande, tal que não apresente qualquer atenuação ao espectro do snal que transporta a nformação a ser transmtda. R C exste um códgo Infelzmente, o Teorema Fundamental de Shannon apenas demonstra que, se corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal com uma taxa de erro artraramente axa, mas não especfca como construr tal códgo corretor. Talvez a maor utldade prátca do Teorema Fundamental de Shannon seja demonstrar que para R > C não é possível transmtr nformação sem erro através do canal, mesmo que se utlze o mas poderoso códgo corretor de erro que se possa conceer. É mportante salentar que, não raro, o maor valor possível para a taxa de transmssão R é dado não por C, mas sm, pela complexdade computaconal do códgo corretor necessáro para que aquele valor de R possa ser alcançado. Lmte de Shannon: P R C B log e.44 [ ts s] 2 η η Em geral a densdade espectral de potênca do ruído é uma constante P O Lmte de Shannon defne a máxma taxa de transmssão para um canal cuja largura de anda seja sufcentemente grande, tal que não apresente qualquer atenuação ao espectro do snal que transporta a nformação a ser 67

68 η 2 dentro do ntervalo de freqüênca B f B e o ruído pode ser consderado ruído ranco (potênca do ruído N η B ). transmtda. 68