CRISTHOF JOHANN ROOSEN RUNGE DECODIFICAÇÃO TURBO DE CÓDIGOS DE REED-SOLOMON EM SISTEMAS DE MODULAÇÃO QAM: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

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1 CRISTHOF JOHANN ROOSEN RUNGE DECODIFICAÇÃO TURBO DE CÓDIGOS DE REED-SOLOMON EM SISTEMAS DE MODULAÇÃO QAM: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA São Paulo 01

2 CRISTHOF JOHANN ROOSEN RUNGE DECODIFICAÇÃO TURBO DE CÓDIGOS DE REED-SOLOMON EM SISTEMAS DE MODULAÇÃO QAM: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA São Paulo 01

3 CRISTHOF JOHANN ROOSEN RUNGE DECODIFICAÇÃO TURBO DE CÓDIGOS DE REED-SOLOMON EM SISTEMAS DE MODULAÇÃO QAM: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA Tese apresentada à Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Cêncas. Área de concentração: Engenhara de Sstemas Orentador: Prof. Dr. José Roberto Castlho Pquera São Paulo 01

4 FICHA CATALOGRÁFICA Runge, Crsthof Johann Roosen Decodfcação turbo de códgos de Reed-Solomon em sste- mas de modulação QAM: uma abordagem geométrca / C.J.R. Runge. -- São Paulo, p. Tese (Doutorado) - Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. Departamento de Engenhara de Telecomuncações e Controle. FICHA CATALOGRÁFICA 1. Teora da nformação e comuncação. Codfcação 3. Algortmos 4. Modulação dgtal I. Unversdade de São Paulo. Escola Poltécnca. Departamento de Engenhara de Telecomuncações e Controle II. t.

5 DEDICATÓRIA Dedco este trabalho a mnha esposa Marsa e a mnha flhota Eduarda.

6 AGRADECIMENTOS Ao Professor Dr. José Roberto Castlho Perera, pela orentação, pacênca, e constante apoo para que eu contnue segundo em frente. Ao Professor Dr. Rcardo Paulno Marques, pelas correções e valosas sugestões para a melhora deste trabalho. Ao Professor Dr. Fuad Kassab Junor, pelas correções e valosas sugestões para a melhora deste trabalho. A todos aqueles que dreta ou ndretamente contrbuíram para a elaboração deste trabalho.

7 A mente que se abre a uma nova dea jamas voltará ao seu tamanho orgnal. (Albert Ensten)

8 RESUMO Este trabalho nvestga a decodfcação turbo de códgos produto construídos a partr de códgos de Reed-Solomon sobre constelações QAM. Por meo da geometra eucldana da constelação utlzada e das relações dos elementos de campo de Galos utlzados na codfcação Reed-Solomon com os símbolos pertencentes ao alfabeto de modulação, é proposto um algortmo de decodfcação que utlza a localzação geométrca dos símbolos recebdos no processo de decodfcação turbo. Tanto a prmera etapa da decodfcação SISO baseada no algortmo de Chase, como a extração da nformação extrínseca baseada no algortmo proposto por Pyndah, são tratadas pelo uso de uma abordagem geométrca sobre o espaço eucldano. Os resultados de smulação utlzando o algortmo proposto concdem com aqueles usando a decomposção e análse pragmátca bnára, sendo que a abordagem apresentada conduz a smplfcações e otmzações em relação à metodologa bnára no que ser refere à mplementação dos possíves esquemas de decodfcação. Palavras-chave: Decodfcação Turbo. Reed-Solomon. QAM. BTC. Códgo produto. Espaço eucldano.

9 ABSTRACT Ths wor nvestgates the turbo decodng of product codes bult usng Reed- Solomon codes n QAM constellatons. Usng the eucldan geometry of the constellaton and the relatons of the Galos feld elements used n the Reed-Solomon code and the modulaton alphabet, a decodng algorthm for the turbo decodng process s proposed usng the geometrc localzaton of the receved symbol. Both the frst stage of the SISO decodng based on the Chase algorthm, as the calculaton of the extrnsc nformaton based on the Pyndah algorthm, are treated usng the geometrc approach n the eucldan space. The smulatons show that ths algorthm gves smlar performance results as the pragmatc bnary decomposton approach, and leads to smplfcatons and optmzatons n decodng mplementatons schemes compared to the former. Keywords: Turbo Decodng. Reed-Solomon. QAM. BTC. Product Code. Eucldan space.

10 LISTA DE SÍMBOLOS operação soma módulo exp( ) função exponencal. log( ) função logartmo. cosh( ) função cosseno hperbólco e algarsmo de Euler. erfc ( ) função erro complementar. E x função esperança da varável x No densdade espectral de potênca assocada ao ruído branco. p ( y x) probabldade condconal da varável y em relação a varável x. de dstânca eucldana assocada a menor dstânca entre dos símbolos de modulação em um espaço eucldano. x maor ntero menor que x. n combnação de n elementos tomados a.

11 dstânca mínma de Hammng Sa (x) função Samplng m GF ( p ) Campo de Galos sobre m p, sendo p um número prmo e m um número ntero.

12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS QAM SISO BTC FSK PSK AWGN BCH RS OWEF CWEF IOWEF MAP ML LLR PML BER Quadrature Ampltude Modulaton Soft Input Soft Output Bloc Turbo Codes Frequency Shft Keyng Phase Shft Keyng Addtve Whte Gaussan Channel Bose, Chaudhur and Hocquenghem Reed-Solomon Output Weght Enumeratng Functon Condtonal Weght Enumeratng Functon Input Output Weght Enumeratng Functon Maxmum a Posteror Maxmum Lelhood Logarthm Lelhood Rato Pseudo Maxmum Lelhood Bt Error Rate

13 LISTA DE FIGURAS Fgura 1 Dagrama em blocos de um sstema de comuncação dgtal Fgura - O canal de transmssão Fgura 3- Processo gaussano branco Fgura 4 Ruído gaussano de faxa lmtada Fgura 5- O canal gaussano dscreto Fgura 6 - Representação de uma constelação 16-QAM no espaço eucldano Fgura 7 O receptor de correlação Fgura 8 Arranjo matrcal do códgo produto C 1xC Fgura 9 Efeto de embaralhamento na matrz produto Fgura 10 - O canal de transmssão Fgura 11 Demodulador soft Fgura 1- Localzação da -ésma posção na matrz produto Fgura 13 - Dagrama em blocos do sstema de comuncação Fgura 14- Representação geométrca para o decodfcador com medda de nformação de canal Fgura 15 Decodfcação soft, desempenho códgo Galos (4,1) em um canal gaussano Fgura 16 Decodfcador elementar Fgura 17- Esquema para cclo completo de decodfcação turbo Fgura 18- Matrz produto assocada ao símbolo não bnáro Fgura 19 - Decodfcação soft utlzando abordagem clássca e abordagem geométrca para um mesmo número de vetores de teste Fgura 0 - Decodfcação soft utlzando abordagem clássca e geométrca para um mesmo resultado de desempenho Fgura 1- Constelação 16-QAM. Escolhas possíves de símbolos para formar as sequêncas canddatas Fgura - Constelação 16-QAM. Lmtes do espaço eucldano utlzado no processo de decodfcação Fgura 3- Eventos de erro no espaço eucldano Fgura 4 Um passo de decodfcação SISO

14 Fgura 5 Decodfcação turbo RS(15,13) 16-QAM Fgura 6 Decodfcação turbo RS(55,53) 56-QAM Fgura 7- Evolução no espaço eucldano para ses passos de teração utlzando abordagem geométrca Fgura 8 Resultados comparatvos do uso das métrcas eucldana e eucldana quadrátca 16-QAM Fgura 9 Resultados comparatvos do uso das métrcas eucldana e eucldana quadrátca - 56-QAM Fgura 30 - Degradação causada pela quantzação no cálculo da dstânca eucldana Fgura 31 Influênca de no desempenho do algortmo de decodfcação Fgura 3 Medda empírca dos eventos de erro para um esquema RS(15,13) 16QAM Fgura 33 Resultados de desempenho para dferente número de terações

15 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO REVISÃO DA LITERATURA O SISTEMA DE COMUNICAÇÃO O canal de transmssão O canal gaussano dscreto O sstema de modulação QAM Interpretação geométrca dos snas O receptor de correlação A CODIFICAÇÃO TURBO INTRODUÇÃO CODIGOS PRODUTO Concatenação utlzando códgos produto ALGORITMOS DE DECODIFICAÇÃO TURBO

16 .3.1 O demodulador soft A decsão utlzando a máxma probabldade a posteror A decodfcação Turbo O ALGORITMO DE CHASE Classe de algortmos utlzando decsão Soft Algortmo I Algortmo II Algortmo III O ALGORITMO DE DECODIFICAÇÃO PROPOSTO POR PYNDIAH A mplementação da decodfcação turbo utlzando o algortmo proposto por Pyndah O processo teratvo de decodfcação turbo A DECODIFICAÇÃO TURBO UTILIZANDO A ABORDAGEM GEOMÉTRICA INTRODUÇÃO OS CÓDIGOS DE REED-SOLOMON E O ARRANJO NA MATRIZ PRODUTO

17 3.3 O DECODIFICADOR SISO O algortmo de Chase utlzando a abordagem geométrca O cálculo da nformação extrínseca A justfcatva do fator O ALGORITMO DE DECODIFICAÇÃO SISO O PROCESSO DE DECODIFICAÇÃO TURBO RESULTADOS DE SIMULAÇÃO INTRODUÇÃO RESULTADOS DE SIMULAÇÃO Resultados de smulação utlzando o algortmo para modulação 16-QAM Resultados de smulação utlzando o algortmo para modulação 56-QAM Resultados gráfcos dos passos de teração A utlzação da dstânca eucldana e da dstânca eucldana quadrátca no cálculo da nformação extrínseca Consderações de mplementação quanto à utlzação da dstânca eucldana

18 4..5 A nfluênca da varação do vetor no algortmo de decodfcação Consderações sobre a determnação de Consderações sobre o número de terações CONSIDERAÇÕES SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO TURBO GEOMÉTRICO CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICE A

19 17 INTRODUÇÃO 1.1 INTRODUÇÃO Nas últmas décadas, a ndústra de telecomuncações tem observado um salto sgnfcatvo na efcênca e na capacdade de seus sstemas, mpulsonada por uma crescente demanda de consumo que por sua vez é realmentada pelos novos servços que são dsponblzados pelas novas tecnologas. A transmssão da nformação por meo de sstemas de telecomuncações pode envolver dversos estágos, tanto de natureza físca, para a conformação dos snas utlzados, como de natureza algorítmca para o estabelecmento de característcas desejáves, sendo a maxmzação da efcênca no estabelecmento da comuncação para um dado canal de comuncação, o prncpal crtéro no projeto e dmensonamento dos dversos estágos que compõem um sstema. O projeto e fabrcação de sstemas reas e comercas podem sofrer restrções na sua mplementação, tanto no aspecto físco como algorítmco, devdo às lmtações mpostas pelas tecnologas dsponíves. A constante evolução tecnológca na fabrcação de crcutos ntegrados tem proporconado ganhos vertgnosos, tanto na velocdade, quanto na capacdade de processamento, permtndo a mplementação de sstemas que utlzam algortmos antes consderados probtvos. Dessa forma, a evolução tecnológca, ao mesmo tempo em que proporcona ganhos de velocdade e capacdade para crcutos ntegrados, proporcona uma potencalzação adconal desses ganhos, uma vez que vablza a utlzação de algortmos mas efcentes. Sendo os códgos corretores de erro uma das prncpas ferramentas para o aumento da efcênca em sstemas de transmssão, e sendo sua mplementação possível com crcutos dgtas, a utlzação de sstemas codfcados com algortmos cada vez mas complexos e efcentes tem sdo uma realdade. Este trabalho está focado em um estudo sobre esquemas de codfcação de canal, que podem ser vstos como um dos estágos componentes da maora dos sstemas de telecomuncações atuas.

20 18 Para a obtenção de esquemas de codfcação efcentes, um estudo matemátco do sstema proposto é apresentado e analsado. O objetvo é a construção de esquemas de codfcação e decodfcação utlzando técncas turbo. Nesse trabalho, ncalmente são apresentados alguns concetos e fundamentos necessáros à caracterzação do sstema de transmssão e à caracterzação do canal de ruído adtvo branco Addtve Whte Gaussan Nose (AWGN), utlzado para transmssão dos símbolos de modulação, a segur é realzada a descrção do sstema. É utlzado um sstema de modulação Quadrature Ampltude Modulaton (QAM), com códgos produto e Reed-Solomon (RS), para a formação da matrz de codfcação. São apresentados os algortmos de Chase e Pyndah que são base para a construção do algortmo de decodfcação geométrco. A partr de consderações geométrcas do alfabeto de modulação utlzado, o algortmo de decodfcação geométrco, é proposto e analsado matematcamente. Os resultados obtdos com o uso do novo algortmo são apresentados, mostrando a efcênca desses esquemas de codfcação. O trabalho termna com as consderações de mplementação físca e as conclusões. 1. REVISÃO DA LITERATURA Em 1993 Claude Berrou, Alan Glaveux e Punya Thtmajshma publcaram o trabalho nttulado Near Shannon lmt error-correctng codng and decodng; Turbo- Codes [1], no qual os Códgos Turbo foram apresentados pela prmera vez como uma nova classe de códgos convoluconas, referencados como Convolutonal Turbo Codes ( CTC ), capazes de apresentar um desempenho próxmo ao lmte de capacdade de canal formulado por Claude E. Shannon em seu trabalho de 1948, A Mathematcal Theory of Communcaton []. O desempenho apresentado para essa nova classe de códgos, jamas hava sdo atngdo pelos esquemas de codfcação conhecdos. O esquema de codfcação apresentado em [1], conssta na utlzação de dos códgos convoluconas recursvos de taxa de codfcação r = ½, concatenados de forma paralela e utlzando um entrelaçamento (nterleavng) de comprmento 65536

21 19 em um dos códgos consttuntes. Por meo de um algortmo teratvo, e após 18 terações, esse esquema apresentou desempenho, para uma taxa de erro de bts de 1x10-5, dstante apenas 0,7dB do lmte de capacdade de canal de Shannon. O conceto central apresentado e utlzado pelos códgos Turbo consste no uso da nformação extrínseca, obtda a cada teração, e baseada no cálculo das estatístcas da nformação. Essa nformação extrínseca é repassada como nformação a pror para utlzação a cada novo passo de teração. Apesar dos resultados de desempenho apresentados em [1], uma sére de questões relatvas aos códgos turbo fcaram em aberto. Isso motvou pesqusadores de todo o mundo para a nvestgação de dferentes aspectos referentes a esta nova classe de códgos. Em 1998 Ramesh Mahendra Pyndah apresentou em [3] o detalhamento da extensão da aplcação do conceto de nformação extrínseca utlzada nos códgos turbo convoluconas para utlzação em códgos de bloco, utlzando o termo Bloc Turbo Codes (BTC) para referencar esses esquemas. Nesse trabalho fo proposta a concatenação seral de dos códgos de bloco, pela construção de uma matrz produto, formando assm um códgo produto. O algortmo de decodfcação proposto em [3] dvde-se em duas etapas prncpas. A prmera etapa consste em um decodfcador suave (soft) subótmo. Fo proposto a utlzação do algortmo II de Chase [4], para mplementação do decodfcador como forma de smplfcar e lmtar o número de palavras canddatas, conforme justfcado em [4]. Como resultado, esse algortmo de decodfcação produz um conjunto de palavras códgo canddatas a partr do vetor recebdo, e uma delas é eleta vencedora utlzando-se o crtéro de máxma verossmlhança. A palavra eleta e o conjunto de palavras canddatas formado na prmera etapa são utlzados no cálculo da nformação extrínseca, o processo de decodfcação nca então sua segunda etapa. Na segunda etapa, o cálculo da nformação extrínseca é realzado bt a bt, e uma medda de confabldade é atrbuída a cada bt da palavra códgo eleta na prmera etapa, baseada nas estatístcas assocadas ao conjunto das palavras canddatas. Esse processo é aplcado a todos os vetores recebdos da matrz produto, prmero no sentdo das lnhas/ colunas, e uma vez fnalzado em um dos sentdos, a nformação extrínseca gerada é utlzada como nformação a pror para o processo de decodfcação, no sentdo das colunas/lnhas no próxmo passo de teração.

22 0 O processo descrto é aplcado sucessvamente, até que algum crtéro de desempenho defndo seja atngdo. A proposta apresentada por Ramamesh Pyndah em [3] também abru camnho para uma sére de nvestgações de outros pesqusadores, no que se refere à verfcação de desempenho para dferentes códgos, para varantes do algortmo proposto, para dferentes esquemas de modulação, para dferentes crtéros de parada e de atualzação/correção de coefcentes, para dferentes abordagens de decodfcação soft, além de nvestgações de estratégas de smplfcação dos esquemas de decodfcação para sstemas reas. Em sstemas de comuncação que possuem restrções quanto à largura de banda e que necesstam de elevada efcênca espectral, o uso de códgos de alta taxa se justfca fortemente, sendo mandatóro em alguns casos. Um dos grandes apelos na utlzação dos BTC está na efcênca de sua aplcação em sstemas que necesstam de altas taxas de codfcação, nos quas esse nível de efcênca não é consegudo com os CTC, conforme apresentado em [3] e [5]. Em [5] há uma nteressante consderação sobre o papel da matrz produto como entrelaçador (nterleavng) natural no caso dos BTC, em contra partda à necessdade da utlzação de longos entrelaçadores no caso dos CTC, sso smplfca o processo de decodfcação. Além dsso, os códgos de bloco de alta taxa possuem a vantagem de, em geral, demandarem decodfcadores relatvamente smples. No que tange à questão dos códgos consttuntes utlzados, no trabalho apresentado por Ramamesh Pyndah em [3], foram utlzados códgos de Bose Chaudhur Hocquenghem (BCH), como códgos consttuntes para um esquema de modulação Quaternary Phase Shft Keyng (QPSK). Em [6] e [7] são apresentadas soluções comercas utlzando códgos de Hammng estenddos ou anda códgos de pardade como códgos consttuntes. Em especal, grande atenção tem sdo dada à utlzação de códgos RS como códgos consttuntes, conforme observado no trabalho publcado posterormente pelo própro Ramamesh Pyndah em [8] e [9], e nos trabalhos [10], [11], [1]. Em [10] há uma análse das vantagens da utlzação dos códgos de RS, devdas às suas propredades algébrcas e à sua natureza não bnára, que conduzem a uma smplfcação nos algortmos de decodfcação. Além dsso, consderações sobre a complexdade requerda para esquemas que utlzam RS com capacdade de correção de mas de um erro ( t>1) também são apresentadas.

23 1 Nesse trabalho, as vantagens em relação à utlzação de códgos BCH com taxas de codfcação equvalentes são dscutdas, do ponto de vsta de mplementação. Em [11], há um estudo de caso para dferentes esquemas de modulação em um sstema Very hgh speed dgtal subscrber lne (VDSL), utlzando códgos RS como códgos consttuntes, mostrando suas vantagens em relação à abordagem clássca. Outras aplcações prátcas de BTC utlzando códgos RS como códgos consttuntes podem ser vstas em [9], onde é relatado um expermento real de um enlace de comuncação utlzando ondas acústcas embaxo da água, conduzdo com sucesso. Em [8] fo mplementado um protótpo para estabelecmento de transmssão óptca a 10Gbps, em uma rede Passve Optcal Networ (PON), utlzando RS como códgos consttuntes em um esquema de codfcação BTC. São apresentadas, também, consderações para mplementação de um sstema real operando a 40Gbps para uma Optcal Transmsson Networ (OTN), mostrando a vabldade desse tpo de mplementação para sstemas de alta taxa de transmssão. Os códgos RS apresentam números atratvos para sua utlzação em esquemas BTC, por serem códgos já amplamente estudados e mapeados, possundo algortmos de decodfcação conhecdos, efcentes e smples. Por serem códgos não bnáros apresentam dversas propredades que podem ser exploradas, como por exemplo, a concatenação smbólca ao nvés da bnára, conforme apresentado em [10], a manpulação dreta sobre o elemento de campo conforme sugerdo em [13], ou anda a sua assocação aos símbolos de modulação como sugerdo em [14] e [15]. Adconalmente, dversos estudos e trabalhos sobre algortmos de decodfcação soft de códgos RS e de códgos produto utlzando RS como códgos consttuntes já foram publcados, tas como os algortmos de Reddy-Robnson, Guruswam-Sudan, Kotter-Vardy e Jang - Narayanan. Dscussões sobre a aplcabldade, restrções e propostas de esquemas de decodfcação soft baseados em alguns destes algortmos são apresentadas em [16], [17] e [18]. Implementações prátcas de códgos produto, utlzando RS em sstemas de armazenagem de dados para DVDs, são apresentados [19]. A decodfcação soft consttu a prmera etapa da decodfcação de BTC, sendo, portanto, os trabalhos descrtos de relevânca na escolha do algortmo de decodfcação a ser utlzado. Sua escolha está assocada à facldade de mplementação e aos requstos mpostos pela natureza da aplcação, tas como tempo e capacdade de processamento.

24 Outra questão relevante na escolha do método de decodfcação, quando códgos RS são utlzados, é quanto à abordagem bnára ou smbólca, tanto no processo de concatenação, quanto no processo de decodfcação. Em [10], é sugerdo que a concatenação bnára apresenta um desempenho levemente superor à concatenação smbólca. Entretanto, a complexdade assocada àquela não justfca a sua utlzação na maora dos casos prátcos, em especal quando a capacdade de correção assocada à decsão abrupta (hard) é maor que 1. Resultados obtdos através de decomposção bnára também são apresentados em [0]. Em [1] um estudo comparatvo entre a dstânca mínma d mn da magem bnára e a dstânca mínma smbólca D para alguns códgos RS, é mostrado. Para taxas de codfcação r<1/, é possível ter d mn >D, o que pode levar a ganhos de desempenho. No entanto, esse fato não se aplca gualmente para RS de altas taxas. A valdade desses resultados está vnculada à escolha de uma base aproprada que mapee o códgo no seu equvalente bnáro, o que consttu um problema em aberto, sendo que os resultados de smulação apresentados em [0] para códgos RS produto não mostram ganhos aprecáves que justfquem tal abordagem. Em [13] é mostrado que a decodfcação utlzando a abordagem smbólca pode apresentar ganhos em relação à abordagem bnára, sendo sugerdo que a não observação de ganhos em trabalhos anterores [] e [3], se deve à métrca Log Lelhood (LLR) utlzada. Observa-se que a grande maora dos trabalhos apresentados aborda a aplcação da decodfcação turbo dos BTC, utlzando modulação Bnary Phase shft Keyng (BPSK), ou anda quaternára (QPSK), [3], [4], [10]. Para o cálculo da nformação extrínseca, correspondente ao segundo passo da decodfcação, ndependente da modulação utlzada, a abordagem adotada é a bnára pragmátca. Assm, a nformação referente à constelação e à geometra dos símbolos recebdos não é consderada. Em trabalhos nos quas são verfcados os resultados de desempenho para sstemas de modulação de mas alta cardnaldade como em [11] e [4], a abordagem também é a pragmátca bnára. Alguns trabalhos apresentam consderações em relação à modulação utlzada, como em [5] e [6], mas são trabalhos dedcados ao estudo de CTC. Nesses estudos, entretanto, são apresentados ganhos de desempenho

25 3 quando as nformações referentes à constelação utlzada é levada em consderação como parte do esquema de codfcação/decodfcação. Em [7] fo apresentada uma tentatva de mapeamento, porém lmtada para sstemas 16 QAM e 64 QAM, mas ganhos de desempenho também foram relatados quando a geometra é levada em consderação. Com base nas consderações e estudos como os anterores menconados, este trabalho aborda a proposta de codfcação/decodfcação turbo de códgos produto, tendo como códgos consttuntes códgos de Reed-Solomon com t=1, e adotando uma abordagem geométrca que busca levar em consderação a geometra do espaço eucldano dos símbolos de modulação em sstemas QAM, na construção do esquema de codfcação/decodfcação. Fazendo uso da abordagem vetoral dos símbolos recebdos do canal de comuncação dentro do espaço eucldano, a abordagem geométrca é utlzada tanto na prmera etapa do algortmo para a mplementação do decodfcador soft, quanto na segunda etapa do algortmo, na qual é realzado o cálculo da nformação extrínseca. Dferentemente da abordagem convenconal pragmátca bnára, este trabalho faz uso da abordagem geométrca. Tal tratatva possblta o uso da nformação adconal fornecda pela posção do vetor recebdo dentro do espaço eucldano, permtndo a otmzação dos algortmos de decodfcação e a smplfcação da mplementação, conforme será mostrado. 1.3 O SISTEMA DE COMUNICAÇÃO Embora váras defnções e arquteturas possam ser utlzadas na caracterzação e no estabelecmento do transporte da nformação, para o presente estudo é defndo um sstema de comuncação como aquele capaz de estabelecer a comuncação entre dos pontos geografcamente separados. Para se dscutr os prncpas estágos que compõem um sstema de comuncação dgtal, é consderado ncalmente o dagrama em blocos da fgura 1, que consttu uma das possíves representações de um sstema dgtal de comuncação.

26 4 Fonte Dscreta de nformação Codfcação de Fonte Codfcação de Canal Modulação e transmssão ruído Canal de Transmssão Usuáro Destno Decodfcação de Fonte Decodfcação de Canal Recepção e Demodulação Fgura 1 Dagrama em blocos de um sstema de comuncação dgtal. Fonte: Autor Durante a análse, é consderado que a nformação da fonte é dsponblzada na forma bnára, sendo que a nformação a ser envada no canal passa por três grandes estágos de tratamento e conformação. Prmeramente a nformação é codfcada por um codfcador de fonte. O objetvo na utlzação do codfcador de fonte é elmnar ou, ao menos reduzr, a redundânca presente na representação bnára da fonte de nformação, melhorando a efcênca da representação da nformação. Isso representa uma redução na banda necessára para a transmssão da nformação. O segundo bloco no sstema de transmssão aqu representado é o codfcador de canal. Esse bloco, ao contráro do codfcador de fonte, rá ntroduzr redundânca na nformação fornecda na saída do codfcador de fonte. Nesse caso, a contra partda ao aumento na banda requerda é a proteção contra erros causados durante o processo de transmssão. Os códgos corretores de erro utlzados nos codfcadores de canal têm seu dmensonamento normalmente atrelado ao tpo de canal através do qual a nformação é transmtda, permtndo dversas parametrzações. O tercero bloco na transmssão é o modulador, que tem como objetvo conformar o snal de forma efcente para a transmssão no canal. Neste trabalho é consderado que este bloco desempenha a função de conformar a sequênca bnára na saída do codfcador de canal em um snal analógco em banda base, e então modular o snal usando a técnca de modulação especfcada.

27 5 Dversas técncas de modulação dgtal são possíves, pelo chaveamento em ampltude, fase ou frequênca do snal a ser transmtdo, dando orgem a dversas modaldades conhecdas de modulação, tas como Frequency Shft Keyng (FSK), Phase Shft Keyng (PSK), QAM, entre outras. A escolha de uma ou outra técnca de modulação é função de dversos crtéros, dentre eles complexdade de mplementação, característcas do canal, e frequênca de transmssão. Uma vez codfcado e modulado, o snal é envado através do canal de transmssão, que pode ser normalmente modelado como um fltro, podendo provocar dstorções no snal recebdo, além de adconar ruído à nformação. Na recepção temos então os blocos que desempenham as funções nversas às operações realzadas pelo sstema dgtal na transmssão. Ou seja, o snal recebdo é demodulado, operação em que a forma de onda é reconvertda para a banda base e a nformação na forma bnára correspondente é fornecda ao decodfcador de canal, que tem como função elmnar ou mnmzar os erros ntroduzdos durante a transmssão. Por fm no decodfcador de fonte é realzado o mapeamento da sequênca decodfcada na sequenca orgnal ncalmente fornecda pela fonte dscreta de nformação, fnalzando o processo de comuncação. Um sstema dgtal de comuncação pode não conter um ou mas dos blocos descrtos, ou anda apresentar outros blocos que não os relaconados. A segur serão apresentados alguns concetos mportantes que serão utlzados durante o desenvolvmento deste trabalho O canal de transmssão O canal de transmssão consttu o meo pelo qual a nformação é transmtda. Do ponto de vsta matemátco, os modelos dos canas de transmssão têm como objetvo representar os fenômenos aos quas o snal físco a ser transmtdo estará sujeto durante o envo da nformação. Dentre esses fenômenos podemos ctar efetos de mult-percurso, nterferênca, ruídos orgnados por dferentes fontes tas como ruído térmco e mpulsvo.

28 6 Dessa forma, de acordo com as característcas do canal e do sstema de codfcação e modulação, é realzada a construção de um modelo matemátco, a fm de permtr a descrção e análse do sstema. Aqu o canal de transmssão é modelado como um sstema de banda lmtada de B Hertz, e perturbado pela presença de ruído gaussano adtvo, que se soma ao snal transmtdo. O modelo de canal utlzado é também conhecdo como canal AWGN. Esse modelo de canal descreve de forma satsfatóra grande parte dos sstemas de comuncação (e.g. óptcos, rádo com vsada, etc. ), representando uma boa aproxmação para grande parte dos sstemas reas de transmssão. A fgura é uma representação deste tpo de canal, no qual s (t) representa o snal a ser transmtdo, n (t) snal na entrada do receptor. o processo estocástco que caracterza o ruído adtvo, e r (t ) o s (t) r (t) n (t) Fgura - O canal de transmssão. Fonte: Autor dessa forma tem-se que: r ( t) = s( t) + n( t) (1) O ruído é um processo estocástco, tendo uma função densdade de probabldade assocada, sendo o ruído gaussano branco um processo estocástco estaconáro no sentdo estrto. Este é totalmente caracterzado pelos seus momentos de prmera e segunda ordem, ou seja, pela sua méda e varânca. O ruído gaussano branco apresenta anda méda μ nula, e suas amostras são totalmente descorrelaconadas para τ 0, sendo τ o ntervalo de tempo entre duas amostras. Este processo é modelado como de natureza mpulsva, sendo sua função de autocorrelação R (τ ) modelada como um mpulso com valor No /, para τ = 0, uma vez que suas amostras são totalmente descorrelaconadas para τ 0. Dessa forma,

29 7 a sua densdade espectral de potênca S ( f ) é constante. A fgura 3 lustra essas propredades do processo gaussano branco. S ( f ) No / S( f ) No R ( τ ) = δ ( τ ) τ Fgura 3- Processo gaussano branco. Fonte: Autor A função densdade de probabldade de uma varável aleatóra gaussana x, de méda μ e varânca, é descrta através da eq.() abaxo. Sendo o ruído AWGN caracterzado por possur 0 e No / como será vsto a segur. 1 x p ( x) exp () O canal gaussano dscreto Em um sstema de comuncações, o snal no receptor é fltrado e posterormente amostrado. Assm, para modelarmos o ruído na saída do amostrador e após a fltragem, faremos a caracterzação desse ruído. O processo de fltragem rá lmtar dealmente a banda do ruído gaussano à banda do fltro aqu consderada de B Hertz. Dessa forma, na saída do fltro o ruído será como lustrado na fgura 4.

30 8 S ( f ) B No / Fgura 4 Ruído gaussano de faxa lmtada. Fonte: Autor B S( f ) Na saída do fltro, a função densdade espectral é dada por: No S ( f ) = G ( f ) (3). F B G B ( f ), representa a função gate defnda conforme a segur: G B 1; B f B ( f ) 0; casocontráro A função de auto-correlação é dada por: R ( ) F -1 { S F ( f ))} NoB Sa( B ) Sa (x) representa a função samplng, defnda como Sa ( x) sen( x) / x. Neste caso, as amostras tenderão a ser não correlaconadas somente quando τ, ou para os valores de τ para os quas a função samplng se anula, ou seja, para: Sa( B ) 0 ; B

31 9 Se o snal for amostrado nos nstantes t =, ou seja, na taxa de Nyqust, as B amostras de ruído também serão gaussanas de méda nula e varânca NoB. Então, podemos representar o canal através de sua forma dscreta na saída do amostrador na recepção, conforme a fgura 5. s r Fgura 5- O Canal gaussano dscreto. Fonte: Autor n Uma últma consderação a ser feta no cálculo da contrbução do ruído para o sstema, é que caso o modelo trate da representação complexa equvalente em banda base do sstema, o valor para a densdade espectral a ser consderado para o ruído gaussano branco é No ao nvés de No / Sstemas de modulação QAM Seja s (t) o snal envado no ntervalo de modulação T t ( +1) T e T representando o ntervalo de duração de um símbolo de modulação., sendo * O transmssor enva a nformação usando M formas de onda { s( t) = sm( t); m = 1,,..., M} de um alfabeto de modulação QAM. Então s (t) pode ser escrto como,[9]: s( t) = E T 0 E0 a cos(π fct) + b sen(π fct); T t ( +1) T (4) T Sendo que E 0 é a energa do snal de menor ampltude na constelação, e a e b são um par de valores nteros, que serão mapeados de acordo com o ponto na

32 30 constelação a ser envado, e de acordo com a t -upla de bts de nformação correspondente para o envo, e f c é a frequênca da portadora modulada. Se L é a cardnaldade do alfabeto de modulação, então a quantdade de bts que cada símbolo carrega é dada por: m log L (5) Interpretação geométrca dos snas Por decomposção, o snal pode ser tratado de forma vetoral, amostrada pelo uso de suas componentes sobre uma base ortonormal. Neste processo, se a base é completa, o snal pode ser completamente caracterzado por sua representação vetoral. Seja S [ s, s,..., s ] o vetor formado pelas projeções do snal s (t) sobre as = 1 N funções da base f ( t); 1,.., N. Então s (t) pode ser reconstruído pela combnação lnear das funções da base pré-multplcadas pelas correspondentes componentes do vetor S, ou seja, s t) s f ( t) s f ( t)... s f ( ) (6) ( 1 1 N N t sendo: s T s ( t) f ( t dt (7) ) 0

33 31 A fgura 6 lustra a representação geométrca de uma constelação 16 QAM, em um espaço eucldano formado pelas funções f ( ) e f ( ). 1 t t sendo: f1( t) = cos(π fct) T f( t) = sen(π fct) T f ( ) t E 0 f ( ) 1 t Fgura 6 - Representação de uma constelação 16-QAM no espaço eucldano. Fonte: Autor O receptor de correlação O receptor de correlação rá decompor o conjunto de snas { ( t)} s m usando suas componentes sobre uma base de funções { f n ( t); n = 1,,.., N} que é ortonormal e completa para este conjunto [8], [9]. Na prátca esse processo equvale a pré-multplcar o snal pelas funções da base, ntegrar o produto no ntervalo de exstênca do snal e amostrar o valor da ntegral

34 3 ao fnal do ntervalo. O valor das amostras em cada um dos correlaconadores corresponde à projeção do snal na respectva base. Se representarmos o snal s (t) no ntervalo T t ( +1) T por eq.(4), então se pode mostrar que o receptor equvalente pode ser mplementado conforme a fgura 7. r (t) f ( ) 1 t T 0 T 0 d t d t r p r q D E C I S Ã O f ( ) t Fgura 7 O receptor de Correlação. Fonte: Autor Consderando perfeta recuperação de portadora e de relógo na recepção, o valor na saída do amostrador é dado por: No r = E0 a + (8) p No r = E0b + (9) q

35 33 Supondo que as coordenadas a e b para uma constelação com cardnaldade M, sejam fornecdas pela matrz: a, b M 1, M 1 M 3, M 1... M 1, M 1 M 1, M 3 M 3, M 3... M 1, M M 1, M 1 M 3, M 1... M 1, M 1... Então, a probabldade de erro para uma constelação QAM pode ser aproxmada pela expressão: 1 E0 Pe 1- erfc (10) M N0 Para constelações QAM smétrcas em torno da orgem, e consderando os símbolos equprováves, a probabldade de erro expressa em termos da energa méda da constelação Sendo: E av, ao nvés de E 0, pode escrta conforme eq.( 11). E av 0 ( M 1) E 3 1 3Eav Pe (1- ) erfc (11) M ( M 1) N0

36 34 A CODIFICAÇÃO TURBO.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados os concetos envolvdos na codfcação turbo. Os tópcos que serão apresentados estão focados nos BTCs e nos algortmos de Chase e Pyndah, que são a base teórca para a formulação das propostas que serão apresentadas.. CÓDIGOS PRODUTO Seja C 1 um códgo lnear sstemátco de parâmetros ( n 1, 1) e C também um códgo lnear sstemátco de parâmetros n, ), então se pode formar um códgo lnear de ( parâmetros ( n 1n, 1 ), usando uma matrz retangular com n 1 lnhas e n colunas. Cada lnha é uma palavra códgo do códgo C 1 e cada coluna é uma palavra códgo do códgo C, conforme a fgura 8. 1 Bts de nformação redundânca das lnhas n redundânca das colunas redundânca das redundâncas n 1 Fgura 8 Arranjo matrcal do códgo produto C 1xC.Fonte: Autor

37 35 O arranjo formado da forma descrta acma é chamado códgo produto, e apresentará propredades dervadas das propredades dos códgos formadores C 1 e C. Se a dstânca mínma do códgo C 1 for d 1 e o peso mínmo do códgo C for d, então o peso mínmo do códgo produto é exatamente d 1d. A palavra códgo de menor peso do códgo produto formado é formada tomando-se a palavra de menor peso do códgo C 1 como lnha na matrz, e mantendo nulas todas as colunas para as quas o valor do bt correspondente é zero, e preenchendo com a palavra de menor peso do códgo C as colunas para as quas a posção a palavra do códgo C 1 for gual a um. Um códgo produto é capaz de corrgr qualquer vetor de erro de peso até o maor ntero menor que d 1 d - 1, embora os métodos utlzados e propostos normalmente para a correção de códgos produto dfclmente consgam corrgr essa quantdade de erros [30]...1 Concatenação utlzando códgos produto Códgos produto são uma forma de concatenação em sére entre dos códgos [31]. Esse esquema de codfcação fo proposto por Elas em 1954 [3], e embora não se tenha um nterleavng fscamente mplementado, o efeto provocado por este arranjo, é o de um nterleavng. Observa-se também que a regra de permutação, aplcando-se os códgos à matrz de nformação e assumndo que a nformação é escrta prmeramente no sentdo das lnhas da matrz contendo os bts de nformação e que o segundo códgo é aplcado no sentdo das colunas da matrz, é naturalmente formada pela sequênca (0,, K,...(K-1)K,1,K+1,...,(K-1)K+1,...,K- 1,K-1,...KK). A fgura 9, representa a matrz formada pelos bts de nformação, e codfcada pelos códgos produto C 1 e C, no sentdo horzontal, e vertcal da matrz.

38 36 Fgura 9 Efeto de embaralhamento na matrz produto. Fonte: Autor.3 ALGORITMOS DE DECODIFICAÇÃO TURBO Os algortmos de decodfcação turbo fazem uso de váras etapas de teração, de forma a atngr o elevado desempenho observado nos sstemas que utlzam esses esquemas de decodfcação. A fm de se apresentar uma justfcatva para a efcáca desses algortmos, serão assumdas algumas premssas e ntroduzdos alguns concetos apresentados em [33] e [34]. Seja um dado canal de transmssão caracterzado por uma função densdade de probabldade condconal conforme a fgura 10. Assumndo que esse canal é sem memóra, ou seja, a probabldade assocada à observação de um símbolo na recepção do canal só possu correlação com o respectvo símbolo envado na transmssão, sendo totalmente descorrelaconada dos demas símbolos para uma dada sequênca envada. Dessa forma, seja a transmssão de uma dada sequênca C, cuja observação na saída do canal seja a sequenca Y, e seja P ( Y / C), a probabldade condconal

39 37 assocada à função densdade de probabldade condconal que caracterza o canal de transmssão. C P( Y / C) Y Fgura 10- O canal de transmssão. Fonte: Autor. Então, dado que o canal é sem memóra, a probabldade de ocorrênca de uma sequênca Y observada na saída, condconada a uma dada sequênca transmssão C, pode ser escrta como o produto das probabldades condconas assocadas ndvdualmente a cada símbolo que compõem as sequêncas, conforme abaxo : P Y / C) = Π P( y / c ) (1) (.3.1- O demodulador soft Assumndo que a função densdade de probabldade condconal do canal é conhecda, o demodulador soft é o estago da decodfcação que fornecerá, por uma função de verossmlhança L ( ), assocada à função densdade de probabldade condconal do canal, os valores assocadas às probabldades condconas dos símbolos recebdos do canal, conforme representado na fgura 11. DEMODULADOR SOFT y L ( c ) = P( y / c ) Δ Fgura 11 Demodulador Soft então, para uma dada sequênca Y recebda: P( y / c ) = L ( c ) L ( C)= P( Y / C) = (13)

40 A decsão utlzando a máxma probabldade a posteror ( MAP) Lembrando que no sstema de codfcação proposto de códgos produto, cada símbolo é codfcado por dos codfcadores, para cada símbolo recebdo exstem duas sequêncas (palavras-códgo) recebdas. Uma referente ao prmero códgo (sentdo das lnhas/colunas) e outra assocada ao segundo códgo (sentdo das colunas/lnhas). Dessa forma uma decsão MAP assocada a um valor (dentro de um alfabeto de símbolos uma posção u U de nformação), mapeado pela codfcação da matrz produto em posteror dada pela eq.(14). da matrz, é aquela que maxmza a probabldade conjunta a APP ( ) = P( u =, Y 1, Y ) (14) A fgura 1 lustra o -ésmo elemento dentro da matrz produto formada na recepção, além das sequencas Y e 1 Y assocadas às códgos C e 1 C respectvamente. Y Y Matrz produto recebda Y1 y Fgura 1- Localzação da -ésma posção na matrz produto. Fonte: Autor

41 39 A probabldade a posteror APP (), para a -ésma posção da matrz formada e assocada ao valor dentro do alfabeto dos símbolos de nformação U, pode ser escrta como a somatóra das probabldades condconas de todas as palavras pertencentes aos códgos C e 1 C, assocadas a sequencas de nformação U para as quas u =, assocada à posção da matrz produto, ou seja: APP ( U: u ) P( u, Y, Y ) ( / ( )) ( / ( )) ( ) 1 P Y C U xp Y C U xp U (15) 1 1 Como o canal consderado é sem memóra, e aplcando a função de máxma verossmlhança (Maxmum-Lelhood) L assocada às sequêncas recebdas, temos: P P / U) P( Y / C ( U)) L ( C ( U)) L ( c ( U)) (16) ( Y l 1l l / U) P( Y / C ( U)) L ( C( U)) L ( c ( U)) (17) ( Y l l l Pela análse das equações acma se observa que os valores observados na saída do canal apresentam dependênca apenas com o correspondente símbolo envado, devdo ao canal ser sem memóra. No entanto, cada símbolo codfcado para a transmssão no canal, possurá correlação com toda a sequenca de nformação utlzada para a geração da palavra códgo correspondente. Dessa forma, a fm de se calcular a máxma probabldade a posteror para um dado valor u =, na posção da matrz produto, é necessáro realzar o somatóro das probabldades sobre todas as sequêncas U para as quas se tem o valor de assocado às palavras dos códgos C e 1 C envadas, conforme (15). u = Observa-se que tal operação terá um grau de complexdade que aumenta exponencalmente com o comprmento do códgo, tornando a decodfcação MAP mpratcável para a maora dos casos de códgos utlzados. No entanto, os algortmos recursvos propostos por Berrou n 1993 para decodfcação de códgos convoluconas, e mas tarde os algortmos recursvos propostos por Pyndah para a decodfcação de códgos produto, funconam bem na pratca, embora não exsta

42 40 prova de que estes algortmos convergem para uma decodfcação de máxma probabldade a posteror. Benedetto propôs em [34] uma explcação heurístca, baseada na suposção de que em determnadas condções, se pode assumr que os símbolos codfcados possuem dependênca apenas do símbolo de nformação correspondente, e não com toda a sequênca de nformação assocada. Tal premssa se justfcara pelo nterleavng que tera um efeto de dmnur a dependênca entre os símbolos envados e a sequênca de nformação correspondente. Embora a análse tenha sdo realzada para o caso de códgos convoluconas utlzando nterleavng, a construção de códgos produto apresenta um efeto equvalente ao de um nterleavng. Anda para o caso de códgos produto, utlzando códgos sstemátcos e com alta taxa de codfcação, esta suposção passa a ser válda para todos os símbolos correspondentes aos símbolos de nformação da sequenca codfcada envada, que representam quase que a totaldade dos símbolos envados. Assumndo essa premssa de ndependênca proposta na justfcatva heurístca, podem-se reescrever as probabldades a posteror representadas nas equações (16) e (17), por uma nova função de máxma verossmlhança L ~, conforme abaxo: ~ P Y / U) = L ( C ( U) = (18) L ( c ( U)) L ( u ) ( j 1 j 1l j l ~ P Y / U) = L ( C ( U) = (19) L ( c ( U)) L ( u ) ( j j l j l l l Reescrevendo (15) e utlzando (18) e (19) a APP () satsfaz o sstema de equações abaxo: ( A ) ~ ~ APP ) = L ( ) xpa ( ) x L ( C ( U) L ( u ) Pa( u ) (0) ( 1 1l l l U: u = l ( B ) ~ ~ APP ) = L ( ) xpa ( ) x L ( C ( U) L ( u ) Pa( u ) (1) ( 1 1 l l l U: u = l

43 41 e, além dsso: ~ ~ APP ( ) = L1 ( ) xl xpa ( ) () pela análse de (0), (1) e () tem-se que: ~ L ( ) = L ( C ( U) ~ L ( u ) Pa( u ) (3) l l l U : u = l ~ L ( ) = L ( C ( U) ~ L ( u ) Pa( u ) (4) 1l l l U: u = l O segundo termo nas equações acma é denomnado nformação extrínseca, pos carrega a nformação relatva ao símbolo que se está estmando, a partr de todos os demas símbolos da sequenca recebda, menos o própro símbolo envado. Esta nova quantdade é a base da formulação para os algortmos de decodfcação turbo..3.3 A decodfcação turbo Para se calcular a quantdade APP (), conforme a eq.(), é necessáro calcular as ~ ~ quantdades L ( ) e ( ), o que é consegudo pela resolução do sstemas de 1 L equações não lneares dado pelas eq.(1) e eq.(0). Uma manera de se tentar resolver esse sstema é fazendo uma escolha ncal para os valores referentes à nformação extrínseca, e então por um processo de ~ ~ terações, tentar convergr para os valores corretos de L ( ) e ( ), a fm de se 1 L calcular APP (). De fato, os algortmos de decodfcação turbo podem ser vstos como uma forma teratva de solução do sstema de equações descrto acma.

44 4 ~ ) 1 ( Assm, para o cálculo, no m -ésmo passo de teração da quantdade L m ( ), a ~ ) ( -1 nformação extrínseca L m ( ) calculada no passo anteror é utlzada como nformação a pror, e assm sucessvamente, ou seja: ~ ( m) ~ ( m 1) L1 ( ) = L1 ( C1( U) Ll ( ul ) Pa( ul ), (5) U : u = l ~ ( m) ~ ( m 1) L ( ) = L ( C( U) L1 l ( ul ) Pa( ul ), (6) U: u = l Exstem dferentes algortmos e abordagens utlzadas para a realzação do processo de teração turbo, que buscam, usando algortmos sub-óptmos, não só a convergênca para uma decodfcação MAP ou ML, como também a smplfcação dos esquemas de decodfcação de forma a possbltar a sua mplementação prátca para sstemas reas. O algortmo de decodfcação que é proposto neste trabalho se basea no algortmo proposto por Pyndah em [3], que consste em um processo de decodfcação teratva, que utlza, como parte do processo de decodfcação, o algortmo soft proposto por Chase em [4], de forma a lmtar a varredura durante a decodfcação a um subgrupo de palavras códgo mas prováves, ao nvés de realzar uma varredura em todas as palavras códgo assocadas a um determnado valor observado na saída do demodulador. Dessa forma, o conjunto { U / u = }, é lmtado a um subconjunto U U formado a partr do algortmo de Chase, e que representa o subconjunto das sequêncas de maor probabldade tal que u =, lmtado às condções de contorno mpostas pelo algortmo. Os crtéros utlzados para a formação do subconjunto U, podem ser escolhdos de forma a ter-se um maor ou menor conjunto de sequencas canddatas. O aumento desse subconjunto aumenta a probabldade do conjunto conter a sequênca correta mas aumenta a complexdade do algortmo de decodfcação. Os crtéros para formação desse subconjunto tem sdo objeto de estudos, e dferentes algortmos já foram utlzados com esse propósto, tas como o algortmo de Chase-II apresentado em [4] e usado em [3], o PML usado em [35], ou o algortmo de Fang-Battal-Buda (FBBA) usado em [36].

45 43 A proposta é utlzar um algortmo subótmo que lmtará a função de máxma verossmlhança às sequencas com maor probabldade, e não a todas as sequencas que satsfaçam u =,ou seja: L( C( U)) L ( C( U)), (7) U: u = U : u = A segur será apresentando a descrção do algortmo de Chase, a fm fornecer alguns concetos necessáros para dar contnudade na descrção do algortmo de decodfcação turbo..4 O ALGORITMO DE CHASE Em 197 Davd Chase propôs em [4], uma classe de algortmos de decodfcação, que utlzavam a medda da nformação de canal em adção à pura utlzação das propredades algébrcas dos códgos. Fo mostrado nesse trabalho que com uma elevada probabldade, pela utlzação da medda da nformação de canal, a capacdade de correção de erros pode ser estendda até d -1, sendo d a dstânca mínma do códgo. Essa extensão na capacdade de correção do códgo em relação ao esquema convenconal de decodfcação bnára é devda à utlzação da nformação de canal (soft nformaton), que fornece uma medda da confabldade de cada valor bnáro recebdo. A segur, a justfcatva bem como a classe de algortmos propostos por Chase serão descrtos. O dagrama em blocos que descreve um sstema genérco para o qual o algortmo é proposto está lustrado na fgura 13.

46 44 FONTE BINÁRIA I... 1, I I X, X X CODIFICADOR 1... n BINÁRIO MODULADOR x(t) CANAL RECEPÇÃO BINÁRIA Iˆ, Iˆ 1... ˆ I n DECODIFICADOR BINÁRIO Y Y... 1, Y n DEMODULADOR y(t) α 1, α... α n medda da nformação de canal Fgura 13 - Dagrama em blocos do sstema de comuncação. Para cada sequênca de bts de nformação, é assumdo que o codfcador bnáro rá gerar um bloco de n bts codfcados representados por X... 1, X X n. Essa sequênca é fornecda à entrada de um modulador, que fará o mapeamento para transmssão nas formas de onda x (t). Se um canal bnáro for consderado, o demodulador rá gerar uma sequenca de n bts, Y... 1, Y Yn, baseada na forma de onda recebda y (t). No modelo proposto, além da sequênca Y fornecda na saída do demodulador, também a sequênca α... 1, α αn, é fornecda. Essa sequênca de valores postvos, correspondente à medda da nformação de canal é utlzada como uma medda da confabldade dos dígtos bnáros da sequênca Y recebda. Dessa forma, se α > α é assumdo que o valor de Y tem j maor probabldade de estar correto que o valor de Y j. Assm cada valor ser vsto como uma medda da confabldade de cada bt recebdo. α pode Em mutas aplcações prátcas, a medda de nformação de canal pode ser obtda de forma pratcamente dreta. Por exemplo, se consderarmos que a magntude do símbolo recebdo está relaconada de forma monotônca à estatístca do canal e consequentemente à probabldade do símbolo recebdo estar correto, a medda de nformação de canal relatva a um dado símbolo de canal recebdo pode ser obtda através da utlzação de um conversor analógco dgtal de j bts, no qual o bt mas

47 45 sgnfcatvo corresponderá ao valor bnáro assocado a cada bt Y da sequênca bnára Y, e os demas j -1bts determnarão cada um dos α assocados. Essa nformação é comumente referda como soft-decson nformaton, uma vez que o valor assocado está representado em mas de um bt, em contraste a harddecson nformaton, no qual a nformação é obtda pela decsão sobre um únco bt..4.1-classe de algortmos utlzando decsão soft A segur será descrta uma classe de algortmos que utlzam a nformação fornecda pela sequênca α. Os algortmos propostos podem utlzar qualquer decodfcador bnáro, capaz de corrgr até (d- 1)/ erros. O decodfcador bnáro rá determnar a palavra dferr no menor número de posções da sequenca recebda X,..., m = X m1, X m X mn, que rá Y... = Y1, Y YN, sempre que a dferença não for maor que (d- 1)/. A sequênca que conterá 1 ' s nas posções onde Y dfere de X m, ou seja a sequênca de erros, é dada por: Z m Y X m Y1 X m1, Y X m,..., Y N X mn A notação sequênca representa a operação de soma modulo-. Defndo o peso bnáro da Z m como: N W ( Z m ) = Z m (8) =1 A operação realzada pelo decodfcador bnáro é a determnação da palavra códgo que satsfaz: ( d -1) W ( Z m ) (9)

48 46 O decodfcador bnáro rá encontrar uma únca palavra códgo que satsfaça eq.(9), ou então nenhuma palavra códgo é escolhda. Um decodfcador bnáro completo pode então ser defndo como aquele capaz de encontrar a palavra códgo que satsfaça: mn W( Y X ) (30) m m De forma smlar, se pode defnr o decodfcar completo, com medda de nformação de canal, como aquele capaz de determnar a palavra códgo que satsfaça: mn W ( Y X m) (31) m Nesse caso, se está buscando pelo padrão de erro analógco, com o peso analógco é defndo como: Z m Y X de menor peso m W N ( Z m ) Z m (3) 1 Da mesma forma que, com decodfcador bnáro se busca atngr um desempenho próxmo do decodfcador bnáro completo, com o decodfcar utlzando medda de nformação de canal, se busca atngr um desempenho próxmo ao decodfcador que satsfaz a eq.(31).

49 47 O conceto básco contdo no algortmo de decodfcação utlzando a medda de nformação de canal pode ser lustrado pela fgura 14. X A Y X B Rao = d -1 X D X C Rao = (d -1) Fgura 14- Representação geométrca para o decodfcador com medda de nformação de canal Essa representação geométrca representa a dstânca bnára de quatro palavras códgo X, X, X, X e a sequênca recebda Y. Cada palavra códgo está A B c D crcundada por uma esfera de rao (d- 1)/. Dessa forma, uma únca palavra códgo, ou equvalentemente um únco vetor de erro, é obtdo pelo decodfcador bnáro se a sequênca recebda estver dentro de alguma dessas esferas. No caso da fgura, exste um únco padrão de erro Z Y X A, dentro da esfera de rao (d- 1)/, que envolve a sequênca recebda Y. O objetvo do decodfcador utlzando medda de nformação de canal é utlzar o decodfcador bnáro para auxlar na formação de um conjunto relatvamente pequeno de possíves padrões de erro assocados à sequênca recebda Y, ao nvés de um únco padrão de erro. E determnar dentro desse conjunto, aquele padrão que possuí o menor peso analógco conforme defndo em eq.(31). O conjunto de padrões de erro é obtdo perturbando a sequênca recebda Y, com o vetores de teste T, que consste no conjunto formado pelas sequêncas bnáras que possuem 1 s nas posções onde os bts da sequênca Y serão nvertdos. Pela

50 48 adção módulo- dos vetores de teste com a sequênca recebda, uma nova sequênca Y (33) Y T é obtda, e pela decodfcação bnára um novo padrão de erro Z é obtdo. O padrão de erro assocado à sequênca Y, é dado por: Z T T Z, (34) que poderá ou não concdr com o padrão de erro orgnal dependendo se Y car ou não dentro da esfera assocada a uma nova palavra códgo. Para a classe de algortmos propostos, a sequênca recebda é sempre perturbada dentro da esfera de rao d -1 que envolve a sequênca Y. Em [4], três algortmos são propostos, nos quas os crtéros para formação do conjunto de possíves padrões são estabelecdos de forma a dmnur progressvamente esse conjunto, para estabelecer uma relação de compromsso entre desempenho e complexdade. Em todos os casos, como o decodfcador bnáro é utlzado, e dado o fato de que este é capaz de encontrar uma palavra códgo apenas quando a eq.(9) é satsfeta, é possível que nenhuma palavra seja encontrada em algumas stuações. Nesse caso, a estmatva da palavra códgo é dada pela sequênca recebda, apesar do fato que certamente essa sequênca conterá erros. A segur serão apresentados os três algortmos propostos por Chase e os concetos assocados a cada um deles Algortmo I Neste prmero algortmo, um grupo com um elevado número de padrões de erro é formado. Nesse algortmo, todos os padrões de erro dentro da esfera de rao d -1 ao redor da sequênca Y lustrada na fgura 3.16 são gerados. Ou seja, todos os padrões de erro de peso bnáro menor ou gual a d -1 são consderados. Uma vez

51 49 que o padrão de erro seleconado é determnado pelo seu peso analógco e não o seu peso bnáro, é possível que seja seleconado um padrão de erro com mas de (d- 1) / 1 s,e dessa forma, estender a capacdade de correção do códgo. Essa é a dea básca da decodfcação soft proposta pelo algortmo de Chase. Um conjunto de vetores de testes que é sufcente, (porém não necessáro) para gerar todos os padrões de erro de peso menor que d -1 é dado pelo conjunto dos vetores de teste T, que contenham todas as combnações de d /, 1 s. Uma vez que o decodfcador bnáro é capaz de obter padrões de erro até (d- 1) /, então quando combnados com o vetor de teste aproprado, podemos gerar qualquer padrão de erro de peso bnáro até d -1. n Uma vez que exstem d / dferentes padrões, este algortmo só se aplca códgos cuja dstânca mínma seja pequena. Na verdade, uma prmera redução no número de vetores de teste já pode ser conseguda elmnando-se aqueles vetores que conduzem ao mesmo padrão de erro. Em termos prátcos é possível reduzr sgnfcatvamente o número de vetores de teste, sem comprometer o desempenho do decodfcador, o que será mostrado pelos algortmos II e III. a Algortmo II Neste algortmo, um número consderavelmente menor de vetores de teste é utlzado. Apenas padrões de erro com não mas do que (d- 1)/ erros localzados fora do conjunto das d / posções de menor confança de medda de nformação de canal serão testados. Os padrões testados contnuarão a conter não mas do que d -1 erros. No entanto, nem todos os padrões com d -1 ou menos erros serão testados. De forma a gerar o conjunto dos padrões de erro acma, o conjunto dos padrões de teste T é consttuído pelo conjunto dos vetores que possuem todas as combnações de 1 s nas d / posções de menor confabldade, ou seja as / d posções cuja medda de nformação de canal possua a menor confabldade. Uma vez que

52 50 / exstem d vetores de teste possíves, nclundo o vetor todo nulo, então serão / encontrados no máxmo d vetores de erro canddatos, e na pratca, bem menos Algortmo III Este algortmo é bascamente gual ao algortmo II, com a dferença que neste caso, apenas[ (d- 1)/ +1] padrões de teste T / serão consderados, ao nvés de d. Cada padrão de teste T terá 1 s localzados na posções de menor confabldade. Em [4] fo mostrado por smulações computaconas que este algortmo apresentará uma desempenho um pouco nferor aos algortmos II e III. No entanto, devdo a sua smplcdade de mplementação em relação aos outros algortmos, pelo fato de possur o menor conjunto de padrões de teste, tem um forte apelo prátco, prncpalmente quando da utlzação de códgos que apresentem dstanca mínma elevada, uma vez que o número de padrões de teste neste caso cresce lnearmente com a dstânca do códgo. A fgura 15 mostra o resultado comparatvo publcado em [4] entre o desempenho desses algortmos em um sstema codfcado utlzando um códgo de Galos (4,1), em canal gaussano.

53 51 Fgura 15 Decodfcação soft, desempenho códgo Galos (4,1) em um canal gaussano.5 O ALGORITMO DE DECODIFICAÇÃO PROPOSTO POR PYNDIAH O algortmo proposto por Pyndah em [3] assume um processo de decodfcação bnára, a partr do envo de uma sequênca de elementos bnáros { 0,1}, que são mapeados utlzando-se símbolos bnáros {-1,+1 }, ou seja 0-1, e Seja uma sequênca E transmtda no canal, para a qual fo observada na saída do demodulador a sequênca Y, e eleta a palavra D como a vencedora utlzando-se o algortmo de Chase.

54 5 Para se calcular a nformação extrínseca assocada a cada símbolo d da palavra D eleta utlzando-se o algortmo de Chase, dentro do subconjunto de todas as palavras códgo encontradas pelo algortmo de Chase na etapa anteror, defn-se a LLR, ou função logarítmca da razão de verossmlhança assocada ao -ésmo símbolo e transmtdo no canal como: tem-se que: Pr{ e d / Y} ( d ) ln( ) (35) Pr{ e d / Y} Pr{ e d / Y} Pr{ E C / Y} (36) d C S sendo d S o conjunto das palavras códgo { denomnador pode ser escrto como: C } tal que c = d. Da mesma forma, o Pr{ e d / Y} Pr{ E C / Y} (37), d C S sendo d S o conjunto das palavras códgo { C } tal que c d substtundo a eq.(36) e a eq.(37) na eq.(35), temos: ( d ) ln d C S d C S Pr{ E C Pr{ E C / Y} / Y} (39)

55 53 Assumndo que as palavras códgo são unformemente dstrbuídas, e que o canal é gaussano: n Y - C 1 Pr{ Y / E C } exp - (40) Seja d C mn e d C mn, as duas palavras códgo mas próxmas da sequênca Y recebda encontradas pelo algortmo de Chase, tal que c d e c d respectvamente. Então substtundo a eq.(40) na eq.(39), após algumas manpulações, pode-se mostrar que: ( d ) 1 ( Y - C d mn - Y - C d mn ) ln( A B ) (41), sendo: e A B d Y - Cmn - Y - C d ) 1, onde C S (4) exp( d Y - Cmn - Y - C d exp( ) 1onde C S (43) Para relações snal-ruído altas, sto é, quando σ 0, A B 1 termo em (41) tende a zero., e o segundo Desprezando o segundo termo em (41), obtemos a segunte aproxmação para o calculo da LLR de d : 1 ( d ) ( Y -C d - Y - C d ) (44). mn mn

56 54 Expandndo (44), e lembrando que algortmo assume um sstema de transmssão e decodfcação bnáros ( 0-1, e1 1), pode-se escrever: ( d ) σ y + n y c l l= 1,l l l d pl (45) sendo: p l d 0, secl d 1, secl c c d l d l Supondo que é constante e normalzando Λ ( d ) com relação a segunte equação: σ, se obtém a sendo y y w (46) w n y c p (47) l l1, l d l l A LLR normalzada y corresponderá à saída soft do decodfcador. Ela terá o mesmo snal que d e o seu valor absoluto ndca a confabldade assocada a essa decsão. A equação (46) ndca que y é obtdo pela entrada soft w, que é função das duas palavras códgo dentro do subconjunto y mas o termo U ', que se encontram mas próxmas da sequenca recebda Y. É mportante observar que o termo O termo w é formado com a nformação de todos os símbolos y }, porém com l. w é uma correção aplcada à entrada de dados, corresponde à nformação extrínseca assocada ao símbolo y na entrada do decodfcador soft. A nformação extrínseca é uma varável aleatóra com dstrbução gaussana, uma vez que é formada a partr da combnação lnear de varáves aleatóras dentcamente dstrbuídas. Além dsto, é uma varável descorrelaconada com { l y.

57 A mplementação da decodfcação turbo utlzando o algortmo proposto por Pyndah Conforme descrto na seção anteror, dado que a palavra eleta D = C e a palavra mn competdora d C mn tenham sdo determnadas, então, a partr de (44), pode-se mostrar que y pode ser determnado pela equação: Y - C y = ( d mn 4 - Y - D ) d (48) No entanto não há garanta de que exsta quantdade de palavras canddatas em C d mn U. Pode-se sempre aumentar a U ', de forma a aumentar a probabldade de d C mn estar contda em U ', pelo aumento do número de bts p consderados menos confáves na formação dos vetores de teste do algortmo de Chase. Porém, a complexdade de decodfcação do algortmo rá aumentar exponencalmente com o aumento de p. De forma a estabelecer uma relação de compromsso entre desempenho e complexdade, o algortmo de Pyndah propõe a segunte solução quando a palavra competdora não é encontrada dentro do subconjunto U ' : y = β x d, com β 0 (49) Embora essa solução seja bem smples, fo demonstrado que ela é efcente quando a palavra competdora não for encontrada. As justfcatvas apresentadas para esta proposta são conforme abaxo: O snal da saída confabldade é função de y é gual a de d, enquanto apenas o valor absoluto da d C mn. Se a palavra competdora d C mn, não fo encontrada, então com grande probabldade d C mn está dstante da sequênca recebda Y.

58 56 Se d C mn está dstante da sequênca recebda Y, então a probabldade que d esteja correto é relatvamente alta e, portanto, a confabldade de d é também alta. O valor de β proposto ncalmente em [3] fo otmzado por tentatva e erro. Em [37], fo fornecda uma equação para o calculo de β, Pr{ d = e} β ln( (50) Pr{ d e } sendo Pr{ d = e } a probabldade que o decodfcador tenha feto uma decsão correta, assumndo os valores dentro do ntervalo [0.5,1]. Quando Pr{ d = e } 1, então β, e quando Pr{ d = e } 0.5, então β 0. De fato a equação (50) é consstente com conceto de confabldade de a probabldade de d. Quando d ter sdo decddo corretamente tende a 1, a confabldade de d tende a nfnto, e quando ela tende a 0.5, então a confabldade tende a zero. De fato β pode ser vsto como um valor médo da confabldade de em que não fo encontrada uma palavra competdora no subconjunto d nas stuações U ', enquanto que quando a palavra competdora é encontrada, então a eq.(48) fornece uma estmação bt-a-bt da confabldade. Claramente a eq.(48) é mas precsa que a eq.(49). No entanto, a stuação em que um cálculo mas precso se justfca mas fortemente é quando d C mn está a uma dstânca levemente superor da sequenca recebda Y em relação a D. Nesse caso, o cálculo da confabldade se dará através da eq.(48). Por outro lado, quando a palavra competdora se encontra dstante da sequênca recebda Y, o valor médo da confabldade se mostra como uma boa aproxmação. O valor ótmo de β a ser utlzado durante o processo de decodfcação teratva deve ser função da probabldade de erro de bt (BER). Nos resultados apresentados em [3], β é fxado como um vetor cujos valores evoluem com os passos de teração da decodfcação, sendo uma porcentagem do valor médo normalzado da nformação extrínseca que é obtda a partr da eq.(48) em cada passo, sendo que esta porcentagem evolu a cada teração até chegar a 100%.

59 57 Os valores do vetor β apresentados em [3] foram obtdos de manera expermental. Fo relatado anda que os resultados ndcaram que não houve degradações sgnfcatvas no desempenho quando os valores de β foram modfcados em ± 10%..5.-O processo teratvo de decodfcação turbo Consderando a decodfcação de um códgo produto, transmtdo através de um canal gaussano. Seja [R] a matrz na recepção correspondente à matrz de transmssão [E]. O prmero decodfcador realza a decodfcação soft nas lnhas (ou colunas) da matrz recebda [R]. Essa decodfcação é realzada utlzando-se o algortmo de Chase e as saídas do decodfcador são calculadas utlzando a eq.(48) ou a eq.(49). Subtrando a entrada da saída é obtda a matrz de nformação extrínseca [W ()], sendo que o índce ndca que esta será a nformação extrínseca utlzada para a segunda decodfcação do códgo produto. Dessa forma, a entrada soft para a decodfcação no sentdo das colunas (lnhas) da segunda decodfcação do códgo produto é dada por: [ R ()] = [ R] + α()[ W ()] (51), Sendo α () um fator de escala que leva em consderação o fato de que o desvo padrão das amostras da matrz [R] e da matrz [W ] são dferentes, [37] e [1]. A justfcatva é que o desvo padrão da nformação extrínseca é elevado nos prmeros passos de teração, e decresce ao longo dos passos. O uso desse fator é justfcado para reduzr o efeto da nformação extrínseca nos prmeros passos de decodfcação quando a BER é relatvamente elevada. Dessa forma, é ajustado de manera a possur baxos valores nos prmeros passos e ter seu valor aumentado à medda que a BER tende a zero. Nos resultados apresentados em [3], o vetor utlzado fo ( m) [0.0,0.,0.3,0.5,0.7,0.9,1.0,1.0 ].

60 58 O algortmo descrto acma pode ser generalzado pelo cascateamento de decodfcadores elementares, conforme lustrado na fgura 16. β (m) [ W ( m)] α(m) [ R( m)] DECODIFICAÇÃO SOFT sentdo das lnhas/colunas [ W ( m +1)] [R] [R] [R] lnha de atraso Fgura 16 Decodfcador elementar.

61 59 A fgura 17 lustra o processo teratvo no sentdo das lnhas e colunas no processo de decodfcação turbo em um cclo completo. β [W (0)] = 0 [ W ( coluna)] α DECODIFICAÇÃO SOFT sentdo das lnhas [ W ( lnha)] [R] lnha de atraso β [ W ( lnha)] α DECODIFICAÇÃO SOFT sentdo das colunas [ W ( coluna)] saída soft lnha de atraso Fgura 17- Esquema para cclo completo de decodfcação turbo. Fonte: Autor Dessa forma, a matrz de recepção [R] é decodfcada por sucessvas terações no sentdo das lnhas/colunas. A cada nova teração há uma redução na BER, mas o ganho de desempenho a cada nova teração va sendo reduzdo, e torna-se pouco sgnfcatvo, a partr de um certo número de terações. Desta forma o número de terações que serão realzadas, torna-se uma relação de compromsso em termos da aplcação e do desempenho desejado.

62 60 3 A DECODIFICAÇÃO TURBO UTILIZANDO A ABORDAGEM GEOMÉTRICA 3.1 INTRODUÇÃO Neste captulo é apresentado um algortmo de decodfcação baseado nos algortmos de Chase e Pyndah, porém sob uma ótca geométrca. Tanto na prmera etapa de decodfcação do decodfcador SISO (Soft Input Soft Output) que utlza o algortmo de Chase, quanto na segunda etapa quando é realzado o cálculo da nformação extrínseca, a abordagem geométrca é utlzada como ferramenta de otmzação e smplfcação do processo de decodfcação. Antes da apresentação dos algortmos utlzando a abordagem geométrca, é mportante salentar que o sstema em análse neste trabalho sempre será caracterzado por um esquema de modulação QAM com cardnaldade, utlzando um códgo produto, tendo como códgo consttunte um códgo corretor de erro Reed-Solomon de comprmento (n,), com capacdade de correção, e. Para fns de análse e por questão de smplcdade, será consderado anda, ou seja uma relação de 1 para 1 entre os elementos de campo do códgo de Reed-Solomon e os símbolos do alfabeto de modulação. A aplcação do algortmo geométrco para códgos de Reed-Solomon com ou que utlzem elementos de campo que possuam uma relação de multplcdade dferente de 1 em relação a cardnaldade do alfabeto de modulação são possíves, sendo uma extensão dos concetos apresentados.

63 61 3. OS CÓDIGOS DE REED-SOLOMON E O ARRANJO NA MATRIZ PRODUTO Códgos de Reed-Solomon são códgos BCH não bnáros com elementos de campo pertencentes a GF ( m ), sendo m um ntero postvo. Os prncpas parâmetros que caracterzam o códgo podem ser descrtos como ( n,, d), sendo n o comprmento da palavra códgo, é o número de símbolos de nformação e d é a dstanca de Hammng mínma do códgo. Dados dos códgos de bloco lneares C 1 e C com os parâmetros n,, ) e ( 1 1 d1 ( n,, d), o códgo produto assocado conforme vsto no capítulo 3, terá parâmetros n n,, d ). ( 1 1 1d Um alfabeto de modulação QAM é formado por L símbolos onde L = cardnaldade do alfabeto e normalmente é uma potenca de dos, de tal forma que cada símbolo é um elemento que carrega log ( L ) bts. No processo de montagem da matrz de codfcação a ser envada no canal, uma escolha em que o códgo de Reed-Solomon com elementos de campos pertencentes a GF ( m ) e a cardnaldade do alfabeto dos símbolos de modulação estabeleçam uma relação de multplcdade, favorece o mapeamento geométrco tanto na codfcação quanto no processo de decodfcação turbo que será mplementado posterormente, embora tal relação não seja estrtamente necessára. Sem perda de generaldade, será assumdo a utlzação de um códgo de Reed- Solomon assocado de tal forma que os elementos sobre GF ( m ) sejam tas que m = L, e C 1 = C. Então temos uma relação dreta untára entre o símbolo codfcado e o símbolo transmtdo no canal. Essa assocação podera ter sdo feta também se estabelecendo uma relação de multplcdade em relação a cardnaldade da constelação ou anda por dmensão ( L / ). A fgura 18 é uma representação da matrz produto assocada a tal esquema de codfcação.

64 6 Elemento de campo = Símbolo transmtdo Símbolos de Informação Redundânca das lnhas Redundânca das colunas Redundânca das redundâncas Fgura 18- Matrz produto assocada ao símbolo não bnáro. Fonte: Autor Consderando um canal AWGN e tendo a matrz sdo codfcada, cada símbolo na recepção corresponderá a um elemento de campo assocado. Dessa forma, a confabldade do símbolo de nformação recebdo pode ser medda dretamente sobre o módulo do vetor recebdo. 3.3-O DECODIFICADOR SISO O decodfcador SISO (Soft Input Soft Output) consste no bloco prncpal no processo teratvo de decodfcação turbo. A cada teração este bloco rá gerar a nformação extrínseca para o próxmo passo de teração a partr da matrz formada pelos símbolos de modulação recebdos do canal e da nformação extrínseca gerada no passo de decodfcação anteror. Dessa forma, esse bloco tem como entradas a matrz contendo a nformação extrínseca do passo anteror e a matrz contendo os símbolos recebdos do demodulador. A saída é um novo conjunto de valores fornecdos na forma da matrz de nformação extrínseca para a próxma teração. A prmera etapa de decodfcação do decodfcador SISO faz uso do algortmo de Chase, porém utlzando uma abordagem geométrca para a geração dos vetores de teste, conforme será descrto a segur.

65 O Algortmo de Chase utlzando a abordagem geométrca O algortmo de Chase conforme descrto na seção.4, tem por função gerar um subconjunto de palavras códgo canddatas, dentre todas as palavras pertencentes ao códgo corretor utlzado, localzadas na vznhança da sequênca recebda, e que dessa forma possuam maor probabldade de corresponder à sequênca envada segundo o crtéro de máxma verossmlhança. Mas precsamente, o algortmo de Chase rá realzar uma varredura das possíves palavras códgo que dstem de até posções da sequênca recebda, sendo a dstanca mínma do códgo utlzado. Os três algortmos propostos por Chase em [4] para realzação dessa varredura dferem entre s bascamente em relação ao tamanho do conjunto de palavras canddatas gerado, representando uma relação de compromsso entre a probabldade de o conjunto conter a palavra envada, e a complexdade de decodfcação. O algortmo de Chase estabelece os crtéros de formação dos vetores de teste para realzação da varredura a partr da confabldade medda de forma analógca, porém sob uma ótca bnára, ou seja, analsa-se a confabldade assocada ao bt. Essa relação é dreta para um sstema que utlza snalzação bnára. De fato em [4], é realzada uma análse sobre um sstema bnáro antpodal. E conforme sugerdo como procedmento para a geração dos vetores de teste, para sstemas puramente bnáros, a combnação de 0 s e 1 s assocada à análse das posções de menor confança são a estratéga adequada para a formação dos vetores de teste, varando-se apenas o tamanho do conjunto de vetores gerados para a defnção dos algortmos I, II e III proposto em [4]. O algortmo proposto neste trabalho leva em consderação um parâmetro adconal que não é consderado no algortmo proposto por Chase para a formação dos vetores canddatos. A posção geométrca dentro do espaço eucldano do símbolo recebdo. O algortmo que será descrto além do crtéro de confabldade dos símbolos recebdos, utlza a dstânca eucldana dos símbolos de menor confabldade em relação aos demas símbolos do espaço formado pelo alfabeto de modulação, para a

66 64 determnação dos vetores de teste. O que consste no crtéro de máxma verossmlhança dentro do espaço eucldano. A utlzação da abordagem geométrca permte reduzr a quantdade de palavras canddatas em relação a uma abordagem pragmátca bnára para uma probabldade equvalente de se encontrar a palavra envada dentro do conjunto gerado, ou anda aumentar a probabldade do conjunto formado conter a palavra envada em relação à abordagem pragmátca bnára, para uma mesma quantdade de palavras. A justfcatva é dreta, pos uma vez que a abordagem bnára não leva em consderação o posconamento geométrco dos símbolos recebdos, à exceção do algortmo I de Chase que consdera todas os possíves vetores de peso até e que já para o caso bnáro não consttu a melhor solução. Os demas algortmos gerarão vetores de teste que corresponderão a símbolos que não estarão assocados dretamente ao crtéro de máxma verossmlhança. Os gráfcos a segur lustram estas stuações. Os gráfcos 19 e 0 representam o resultado para decodfcação soft em um canal AWGN, para um esquema de decodfcação utlzando um códgo RS(15,13) com, aplcado sobre uma modulação 16QAM. Os resultados para as curvas de BER (Bt Error Rate) mostrados gráfco da fgura 19, demonstram o ganho de desempenho entre a utlzação do algortmo II de Chase ( CHASE II), e a aplcação do algortmo geométrco (G16P4), para o mesmo número de vetores de teste gerados. Na abordagem clássca utlzando algortmo II de Chase, foram geradas todas as 16 possíves combnações na posção correspondente ao símbolo de menor confança recebdo. Na abordagem geométrca, o algortmo determna até 4 símbolos vznhos para cada símbolo substtuído na geração dos vetores de teste. Dessa forma, os quatro símbolos de menor confança são substtuídos pelos quatro símbolos mas próxmos no espaço eucldano, segundo o crtéro de máxma verossmlhança. Os resultados de smulação mostram um ganho em torno de 0.5dB do esquema de decodfcação soft, utlzando a abordagem geométrca para um mesmo esforço computaconal, comparado com a abordagem clássca.

67 65 Fgura 19 -Decodfcação soft utlzando abordagem clássca e abordagem geométrca para um mesmo número de vetores de teste. Fonte: Autor No gráfco da fgura 0, o algortmo geométrco fo restrngdo para substtução somente do símbolo de menor confabldade conforme a abordagem clássca do algortmo II de Chase, a escolha dos símbolos para gerar os vetores de teste, seguu o crtéro de máxma verossmlhança, lmtando-se a escolha apenas aos 4 símbolos vznhos ao símbolo substtuído. Nesse caso, os resultados de desempenho são pratcamente os mesmos conforme pode ser observado na fgura 0. No entanto o conjunto dos vetores de teste passou de 16 para 4. Para altas relações snal ruído a redução no número de vetores de teste para uma modulação com cardnaldade, pode chegar a, o que representa uma redução sgnfcatva no esforço de processamento.

68 66 Fgura 0 - Decodfcação soft utlzando abordagem clássca e geométrca para um mesmo resultado de desempenho. Fonte: Autor O crtéro de seleção dos símbolos a serem substtuídos e a quantdade de símbolos que é utlzada para cada substtução, pode levar em consderação adconalmente, nformações tas como a dreção do vetor de ruído assocado ao símbolo de menor confança dentro do espaço eucldano e a relação snal ruído em que se está operando como fatores para refnamento e otmzação para a formação do conjunto de vetores de teste. Essa análse, no entanto, não será realzada neste trabalho, podendo ser objeto de estudos futuros. A fgura 1 lustra possíves escolhas baseadas na geometra da constelação utlzada. No caso de uma constelação retangular como da fgura 1, os símbolos mas próxmos dstam de valores fxos de, de, etc. Sendo que de representa a menor dstânca entre dos símbolos no espaço eucldano. Em algumas stuações quando o símbolo a ser substtuído se encontra na regão mas externa da constelação, o algortmo poderá buscar canddatos dstando de de do símbolo a ser substtuído, enquanto que nos casos nos quas os símbolos a serem substtuídos

69 67 estão na regão nterna da constelação, o algortmo buscará símbolos vznhos que dstem de de como resultado do crtéro de máxma verossmlhança. de de Fgura 1- Constelação 16-QAM. Escolhas possíves de símbolos para formar as sequêncas canddatas. Fonte: Autor 3.3. O Cálculo da nformação extrínseca A segunda etapa de decodfcação do decodfcador SISO faz uso do algortmo de Pyndah, conforme será descrto a segur. Nesta etapa do processo de decodfcação, é utlzado um processo smlar ao proposto por Pyndah, porém a manpulação se dá no nível do símbolo recebdo do canal, ou do elemento de campo de Galos. Para cada símbolo r que compõe a sequênca recebda assocada a uma lnha/coluna da matrz produto, é realzado o cálculo da nformação extrínseca correspondente. Exstem duas stuações possíves no cálculo da nformação extrínseca assocada a um símbolo d da palavra vencedora D. A prmera stuação, é quando exste uma palavra concorrente no conjunto de palavras canddatas geradas pelo algortmo de Chase, tal que c d, e a segunda stuação é quando não exste palavra w

70 68 concorrente que satsfaça, sto é, segur. c d. Cada uma das stuações será tratada a Exste palavra concorrente Conforme vsto, no algortmo de Pyndah o cálculo da nformação extrínseca quando exste uma palavra competdora d C mn pertencente a d S d, sendo S o conjunto das palavras códgo { C } tal que c d, é dado pela eq.(48). A eq.(48), é baseada na dstânca eucldana quadrátca, aplcada sobre uma sequênca de símbolos bnáros {-1, 1}, mapeados a partr do envo de uma de elementos bnáros { 0,1}, ou seja 0-1, e1 1. No caso do algortmo geométrco, os símbolos consstem em vetores dentro do espaço eucldano, e serão representados por meo de vetores dentro do espaço eucldano formado e lmtado pelos lmtes gerados pelos conversores A/D dos receptores utlzados. Para fns de análse, é consderado como lmtes externos do espaço eucldano, o espaço formado pelos valores dos símbolos de modulação mas externos acrescdos de de /, sendo de a menor dstânca entre dos símbolos dentro do espaço eucldano formado pelo alfabeto de modulação utlzado. Essa escolha não representa lmtação à aplcação do algortmo de decodfcação, uma vez que pontos que estejam além desses lmtes serão lmtados às proxmdades dos pontos mas externos, e do ponto de vsta do crtéro de máxma verossmlhança, sso não representará alteração na escolha do símbolo recebdo.

71 69 A fgura abaxo representa o espaço formado para uma modulação 16QAM. de de de Fgura - Constelação 16-QAM: Lmtes do espaço eucldano utlzado no processo de decodfcação. Fonte: Autor Do ponto de vsta geométrco, a nformação extrínseca pode ser nterpretada como uma quantdade que atua sobre o vetor de ruído do vetor recebdo, deslocando-o ao longo das etapas de teração para a regão fnal de decsão pertencente a um dos símbolos de modulação do espaço eucldano. A dstânca eucldana quadrátca utlzada no algortmo de Pyndah, dervada a partr de uma aproxmação da função densdade de probabldade condconal do canal. Apesar de não representar uma métrca do ponto de vsta de medda de dstâncas, é uma medda bastante utlzada e aproprada quando as dstâncas tem apenas que serem comparadas, como no caso de um alfabeto bnáro, sendo bastante convenente devdo ao fato de não necesstar da operação de extração da raz quadrada ao fnal do cálculo, sendo necessáras apenas operações de adção e multplcação entre as componentes dos vetores envolvdo. Para operações com dstâncas, a dstânca eucldana mostra-se como a métrca mas aproprada para uso. Conforme descrto, o algortmo geométrco está baseado no conceto de operações sobre um espaço de vetores. Dessa forma, o cálculo proposto para a nformação extrínseca se basea na dstânca eucldana entre os vetores.

72 70 A utlzação da dstânca eucldana no lugar da dstanca eucldana quadrátca, mplca na operação adconal de raz após a realzação das operações de adção e produto nterno entre os vetores. Do ponto de vsta de mplementação será mostrado que, sem degradação sgnfcatva, é possível a realzação de aproxmações que conduzem a mplementações que elmnam essa complexdade. Para o algortmo geométrco, o cálculo da nformação extrínseca assocada a d na -ésma teração lnha/coluna, quando exste uma palavra competdora pela expressão: d C mn, é feto w ( Y - C d mn - Y - D 1 )( d r' ) (5) sendo: w w 1 w (53) r 1 ' r w w (54) r ' r w (55) Como as operações são sobre vetores no espaço eucldano, e sendo que a nformação extrínseca atua como uma correção sobre o vetor de ruído ncal a cada passo de nteração, a fm de se garantr a convergênca para o símbolo fnal de decsão, se faz necessáro que a nformação extrínseca assocada a cada teração, seja aplcada ao últmo vetor formado pelo vetor ncalmente recebdo mas o valor da nformação extrínseca acumulada até a teração anteror. A eq.(5) é coerente com o conceto de nformação extrínseca quando há uma palavra competdora. A quantdade Y d -Cmn que representa a dstânca da sequênca recebda em relação a palavra competdora, é uma medda dreta da confabldade do símbolo d, pos quanto mas dstante a palavra competdora estver da sequênca recebda, maor é a confabldade assocada a d. De manera

73 71 equvalente a quantdade Y - D representa uma contrbução na medda nversa, pos dmnu o valor da confabldade do símbolo na medda da dstanca da palavra eleta em relação à sequênca rebebda A Justfcatva do fator O fator tem como função normalzar o valor do cálculo da contrbução da nformação extrínseca em relação ao maor evento de erro possível. Dessa forma, a determnação dessa quantdade está assocada à modulação utlzada e à capacdade de correção do códgo. A segur é feta a análse para determnação dessa quantdade para o caso de utlzação de um códgo de Reed-Solomon e uso de uma modulação 16-QAM. A análse para demas esquemas de codfcação e modulação é dreta sendo uma extensão dos prncípos que serão analsados. Como este trabalho está concentrado no uso de códgos de Reed-Solomon com capacdade de correção t=1, tem-se que: Lembrando que dstânca de Hammng mínma do códgo é, e que o algortmo de Chase permte a correção de erros até. Seja a palavra códgo vencedora para uma dada sequênca recebda e seja a dstânca de Hammng da palavra códgo em relação a sequênca recebda, e seja a C mn d dstânca entre a sequênca recebda e a palavra concorrente encontrada uma palavra concorrente. Então três casos serão possíves:, caso seja 1 0 Caso A dstânca de Hammng entre a palavra códgo vencedora e a sequênca recebda é zero,( ). Neste caso obrgatoramente não exste palavra concorrente, pos e a capacdade de correção é. Nessa stuação conforme proposto pelo algortmo de Pyndah o cálculo é realzado pela utlzação do fator.

74 7 0 Caso A dstânca de Hammng entre a palavra códgo e a sequênca recebda é um,( d C mn ). Nesse caso, se exstr, então, pos se, mplca, mas. 3 0 Caso A dstânca de Hammng entre a palavra códgo e a sequênca recebda é dos,( d C mn ). Nesse caso, se exstr,então. Resumndo: A análse das três stuações possíves mostra que a stuação que fornece o maor evento de erro possível é o 0 caso, pos no prmero caso ocorre a utlzação do fator, e pela análse de d Y - C - Y - D mn, esta expressão é maxmzada quando é máxmo e é mínmo, o que ocorre no segundo caso analsado. Fazendo agora a análse do ponto de vsta da geometra do espaço eucldano sob o alfabeto de modulação utlzado, o maor evento de erro smples possível, possu valor gual a. Anda analsando o segundo caso, a palavra concorrente obrgatoramente tem uma de suas posções determnada por uma substtução realzada pelo algortmo de Chase, ou seja pela substtução por algum símbolo vznho, sendo que neste caso a dstânca máxma possível é dada por uma substtução na dagonal, com um evento de erro assocado de valor. Para a palavra vencedora e para os fns do cálculo em questão, a análse é sobre o menor evento de erro possível para o qual, que é dado por. Fnalmente, para uma constelação 16QAM e um códgo de Reed-Solomon com t=1, é dado por: d mn - Y - Y - C D (56)

75 73 A fgura 3 lustra os eventos de erro descrtos. Fgura 3- Eventos de erro no espaço eucldano. Fonte: Autor Não exste palavra concorrente De manera smlar à justfcatva apresentada para algortmo proposto por Pyndah descrto na seção.5.1, haverá stuações em que no conjunto de palavras códgo canddatas geradas na prmera etapa do processo de decodfcação utlzando o algortmo de Chase, poderá não ser encontrada uma palavra competdora para o cálculo da nformação extrínseca utlzando a eq.(5). Dessa forma, se não for encontrada palavra competdora d C mn pertencente a d S d, sendo S o conjunto das palavras códgo { C } tal que c d, então a nformação extrínseca assocada é calculada pela expressão : w ( d r' 1 ) (57)

76 74 O valor de representa um valor médo da confabldade assocada ao símbolo d toda vez que uma palavra competdora não é encontrada. Conforme justfcado por Pyndah em [3], embora seja uma estmatva menos precsa da nformação extrínseca assocada ao símbolo, representa uma aproxmação razoável quando não for encontrada uma palavra competdora. O valor de utlzado nas smulações realzadas neste trabalho seguram o prncpo descrto acma de valor médo de confabldade, tendo seus valores ajustados por tentatva e erro. Uma descrção mas detalhada das estratégas para defnção dos valores de resultados de smulação. utlzados neste trabalho é realzada no capítulo que trata dos 3.4 O ALGORITMO DE DECODIFICAÇÃO SISO Conforme descrto anterormente, no processo decodfcação, o decodfcador SISO utlza o algortmo de Chase e Pyndah com abordagem geométrca para sequênca de operações que será descrta a segur: Seja E o vetor assocado a uma lnha/coluna da matrz envada no lado de transmssão, com E e, e,..., e ), e seja cada símbolo transmtdo representado pelo vetor complexo e ( 1 n a jb, tal que a e b, sejam as componentes em fase e em quadratura assocadas aos símbolos que compõe o alfabeto de modulação. Seja R o vetor correspondendo uma lnha/coluna da matrz produto recebda, tal que R E Z, sendo ( z, z,..., z ) Z o vetor de ruído complexo gaussano = 1 n assocado ao vetor recebdo do canal..

77 75 Seja R ' o vetor correspondendo a uma das lnhas/colunas da matrz produto no - ésmo passo de teração 1, tal que R ' R W, onde W é a correspondente lnha/coluna da matrz de nformação extrínseca na entrada do decodfcador SISO ' no -ésmo passo de teração, e seja r j x jv vetor R ', e o valor da -éssma posção do ê o valor teórco do símbolo do alfabeto de modulação assocado, j obtdo através da decodfcação hard. Então a confança assocada a cada símbolo recebdo no ésmo passo de teração é obtda smplesmente através da medda do módulo vetor de ruído assocado dada pela eq.(58) conforme abaxo. ' r j -eˆ (58) j Na prmera etapa da decodfcação SISO é utlzado o algortmo de Chase e formado o conjunto das sequêncas canddatas. O algortmo é descrto abaxo: 1. Seja ' 1 R o vetor correspondendo a uma das lnhas/colunas da matrz produto no ésmo passo de teração. Encontre os símbolos de menor confança, através do cálculo de (58).. Substtua estes símbolos na sequenca ' 1 R recebda pelos símbolos de modulação mas próxmos, segundo o crtéro de menor dstânca eucldana, formando o conjunto de vetores de teste. 3. Aplque a decodfcação hard segundo as regras do códgo corretor de erros utlzado e forme o conjunto S das palavras códgo canddatas. 4. Encontre a palavra códgo canddata D, mas próxma segundo o crtéro de máxma verossmlhança. 1 No passo zero R corresponde ao vetor recebdo do canal Este valor na prátca corresponde a matrz de nformação extrínseca ponderada pelo fator e será dscutdo posterormente

78 76 A segunda etapa da decodfcação SISO consste no cálculo da nformação extrínseca. O algortmo é descrto abaxo: Para cada símbolo d da palavra D encontrada na etapa anteror, verfque se exste no conjunto S formado, uma palavra competdora d C mn tal que c d e d C mn seja a palavra mas próxma da ' 1 R dentro do conjunto formado que satsfaça c d. C mn d 1- Se exste, então a nformação extrínseca assocada é dada por: w ( Y - C d mn - Y - D 1 )( d r' ) (59) C mn d - Se não exstr então a nformação extrínseca é dada por: w ( d r' 1 ) (60) 3- Depos de realzada toda a varredura lnha/coluna, a matrz de nformação extrínseca que é fornecda na saída do decodfcador SISO para o próxmo passo de teração é formada através de: W W 1 W (61)

79 O PROCESSO DE DECODIFICAÇÃO TURBO Seja o processo teratvo de decodfcação lnha/coluna que é realzado durante o processo de decodfcação turbo, utlzando o decodfcador SISO descrto na seção anteror. 1 Seja a matrz produto corresponte aos símbolos recebdos do canal, e W a matrz correspondente da nformação extrínseca no passo anteror. No passo de teração a entrada soft do decodfcador é dada por: ' 1 1 R ( 1) W R (6) -ésmo E ao fnal do -ésmo passo de teração o decodfcador SISO rá fornecer na sua sada o novo valor para nformação extrínsca dado pela matrz W. Note que na entrada do decodfcador SISO, é utlzado um fator de ponderação multplcatvo aplcado à matrz de nformação extrínseca. A justfcatva é a mesma apresentada em [3] e [38]. O fator tem por função dmnur a contrbução da nformação extrínseca nos prmeros passos de teração, quando o desvo padrão da nformação extrínseca é elevado.

80 78 A fgura 4 representa um desenho smplfcado correspondendo a operação do decodfcador SISO em um passo de teração. 1 W ' 1 R Decodfcação das lnhas/colunas aplcando abordagem geométrca. W R Fgura 4 Um passo de decodfcação SISO. Fonte: Autor Este processo se repete através de sucessvas varreduras no sentdo das lnhas/colunas da matrz produto, até que algum crtéro de parada estabelecdo seja atngdo, normalmente assocado a algum crtéro de desempenho.

81 79 4 RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 4.1 INTRODUÇÃO A fm de se verfcar os resultados obtdos com a utlzação do algortmo geométrco, foram realzadas smulações em dferentes cenáros, buscando analsar a nfluênca dos dversos parâmetros nos resultados de desempenho e na complexdade de mplementação. 4. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO A segur serão apresentados os resultados de smulação e a análse dos resultados em cada caso Resultados de Smulação utlzando o algortmo para modulação 16QAM A fgura 5 apresenta os resultados obtdos na aplcação do algortmo geométrco com parametrzações smlar às apresentadas em [9], [10], [11] e [39] para fns de comparação. Exste uma pequena dvergênca de nomenclatura em relação [39], optou-se por mantê-la, de forma a preservar a conformdade com a nomenclatura apresentada no restante do texto. De forma a valdar a utlzação do algortmo geométrco, fo estabelecdo um esquema de transmssão através de um canal AWGN utlzando modulação 16QAM, e um códgo produto tendo como códgo consttunte um códgo RS(15,13).

82 80 Os parâmetros a segur foram utlzados para obtenção dos resultados de smulação mostrados na fgura 5. Número de terações: , 0.15, 0.4, 0.35, 0.48, 0.63, 0.9, 1, 1, 1, 1, 1 ] Na fgura 5, NCT corresponde a curva teórca de um sstema 16QAM não codfcado, RST corresponde a curva teórca de um sstema 16QAM utlzando RS(15,13) e algortmo de decodfcação de Berleamp, SDG corresponde a curva com os resultados de smulação obtdos utlzando-se o algortmo soft geométrco para RS(15,13), e TDG corresponde a curva com os resultados obtdos utlzando o algortmo turbo geométrco para o códgo produto RS(15,13). Nos resultados apresentados em [39], fo utlzada a métrca eucldana quadrátca. Os ganhos adconas obtdos através do uso da dstânca eucldana serão mostrados mas adante. Os resultados de smulação mostram um ganho de 5dBs para uma BER =1x10-5, e próxmo a 6dBs para BER = 1x10-6, comparado a um esquema 16QAM não codfcado. Os resultados de smulação mostram anda os ganhos relatvos somente a decodfcação soft utlzando o algortmo geométrco. Nesse caso é obtdo um ganho próxmo a 1,5dB para BER=1x10-6, em relação ao decodfcação hard, smlar aos resultados obtdos em [40], onde é proposto um algortmo utlzando um esquema de trelças para decodfcação soft utlzando códgos RS.

83 81 Fgura 5 Decodfcação turbo RS(15,13) - 16QAM. Fonte: Autor 4.. Resultados de Smulação utlzando o algortmo para modulação 56QAM A fgura 6, apresenta os resultados de smulação obtdos para um esquema codfcado utlzando um códgo produto RS(55,53) em um esquema de modulação 56QAM. Os parâmetros a segur foram utlzados para obtenção dos resultados de smulação mostrados na fgura 6. Número de terações: , 0.15, 0.4, 0.35, , 0.9, 1, 1, 1, 1, 1 ]

84 8 Os resultados de smulação mostram um ganho em torno de 3.8dBs para uma BER=10-6 em relação a um esquema não codfcado, e um ganho em torno de 1dB quando é utlzado o algortmo geométrco somente na decodfcação soft em relação a uma decodfcação hard utlzando-se o algortmo de Berleamp. Juntamente com os resultados de smulação estão apresentadas as curvas de BER para decodfcação de um códgo de Reed-Solomon (55,51) com taxa próxma ( levemente nferor, r = 0,984313) ao esquema turbo proposto que possu taxa r = 0, Neste caso o esquema turbo apresenta um ganho de 1.5dBs para BER=10-6, e com uma efcênca espectral levemente superor. Note que a decodfcação dreta soft geométrca já apresenta desempenho superor a este esquema codfcado. É mostrada também a curva de BER para um códgo RS(55,47), que possu a mesma dstânca mínma do esquema turbo, possundo no entanto uma taxa bem nferor, r = 0,96867, com menor efcênca espectral. Neste é observado anda um ganho do esquema turbo geométrco da ordem de 0.8dB para BER=10-7. Fgura 6 Decodfcação turbo RS(55,53) - 56QAM. Fonte: Autor

85 Resultados gráfcos dos passos de teração A sequênca mostrada na fgura 7 representa a evolução dentro do espaço eucldano dos passos de teração do algortmo turbo geométrco, obtdos através dos resultados de smulação para uma matrz produto recebda durante o processo de decodfcação. A nformação extrínseca atua de forma a reconduzr o símbolo rudoso na dreção da posção geométrca do símbolo correto, conforme lustrado na fgura 7, que mostra a evolução geométrca no espaço eucldano em 6 passos de terações sobre a matrz produto para o esquema RS(55,53) - 56QAM,e para uma relação snal ruído ncal de.

86 84 Iteração 1 Iteração Iteração 3 Iteração4 Iteração 5 Iteração6 Fgura 7- Evolução no espaço eucldano para 6 passos de teração utlzando abordagem geométrca. Fonte: Autor

87 A utlzação da dstânca eucldana e da dstânca eucldana quadrátca no calculo da nformação extrínseca Os resultados ncalmente obtdos com a aplcação do algortmo geométrco apresentados em [39], fazem uso da dstanca eucldana quadrátca para o cálculo da nformação extrínseca, conforme sugerdo pelo algortmo de Pyndah. Verfcou-se posterormente através de smulações e pelas justfcatvas já apresentadas na seção 3.3., que a dstânca eucldana se mostra como métrca mas aproprada para o algortmo geométrco. Os resultados de smulação utlzando os mesmos esquemas codfcados e mesmos valores de, mostram ganhos adconas da ordem de 0.3dB quando o cálculo da nformação extrínseca é realzado utlzando a dstânca eucldana. As fguras 8 e 9 mostram os resultados comparatvos de desempenho entre a utlzação da métrca eucldana e eucldana quadrátca, para o esquema 16QAM, RS(15,13) e o esquema 56QAM, RS(55,53). MQ denota a curva obtda através do uso da dstânca eucldana quadrátca, e ME a curva obtda através do uso da dstanca eucldana.

88 86 Fgura 8 Resultados comparatvos do uso das métrcas eucldana e eucldana quadrátca - 16QAM. Fonte: Autor

89 87 Fgura 9 Resultados comparatvos do uso das métrcas eucldana e eucldana quadrátca - 56QAM. Fonte: Autor

90 Consderações de mplementação quanto a utlzação da dstânca eucldana Foram realzadas smulações de forma a verfcar a degradação causada pela utlzação de uma tabela com valores quantzados no lugar do cálculo dreto da dstânca eucldana, como forma de suprmr o cálculo adconal causado pelo uso da dstânca eucldana no cálculo da nformação extrínseca. Utlzou-se o esquema 16QAM, RS(15,13), para realzação destas verfcações. O algortmo fo modfcado de forma que os valores obtdos a partr do cálculo da dstânca eucldana quadrátca são fornecdos como entrada em uma tabela, que os quantzam em valores fxos de saída de acordo com a faxa de valores a que pertencem, correspondendo a um valor aproxmado da dstânca eucldana correspondente. Os resultados de smulação para o esquema testado mostraram resultados satsfatóros já para 8 níves de quantzação, o que corresponde a uma mplementação smples sem aumento sgnfcatvo de processamento. A fgura 30 mostra os resultados de smulação obtdos utlzando esta abordagem. A curva MEgran corresponde aos resultados obtdos quando a quantzação é utlzada, enquanto que a curva ME representa os resultados sem aplcação da quantzação. Observa-se que a degradação para uma BER em torno de 1x10-5 é pratcamente desprezível, sendo nferor a 0,1dB. Desta forma o uso da métrca eucldana comparatvamente ao uso da métrca eucldana quadrátca, apresenta ganhos.

91 Fgura 30 - Degradação causada pela quantzação no cálculo da dstânca eucldana. Fonte: Autor 89

92 A nfluênca da varação do vetor no desempenho do algortmo de decodfcação O valor de representa um valor médo da confabldade assocada ao símbolo d toda vez que uma palavra competdora não é encontrada. Foram realzadas dversas smulações com ntuto de verfcar a nfluênca dos valores assocados ao vetor nos resultados de desempenho da decodfcação turbo geométrca. Em [3], na parte que trata dos resultados de smulação, é observado que varações da ordem de 10% no valor de não produzram dferenças sgnfcatvas nos resultados de desempenho observados Dferentemente do caso bnáro onde da nformação extrínseca,, para o caso geométrco, no cálculo corresponde a um valor multplcatvo aplcado ao vetor de ruído assocado ao passo de teração. Desta forma, estando 1 assocado a máxma confabldade ou seja Pr{ d ˆ } 1; 1, smlarmente Pr{ d ˆ } 0.5; 0. e e Duas abordagens foram utlzadas para defnção dos valores de smulações. Na prmera abordagem, conforme sugerdo em [3], utlzados nas fo obtdo através do valor médo calculado a cada passo de teração a partr dos valores da nformação extrínseca obtda para os símbolos palavra competdora. Desta forma, d para os quas fo encontrada representa o valor médo da confabldade dos símbolos para os quas a nformação extrínseca fo calculada utlzando a eq.(5). Na segunda abordagem foram fxados valores de durante todo o processo de decodfcação, sendo que os valores vararam dentro do nterlavo (. Observou-se que também no caso geométrco, os resultados de desempenho se mostram pouco sensíves a varação do valor de, sendo anda encontrados valores fxos de que mostraram melhores resultados de desempenho, que os obtdos na prmera abordagem que exge um esforço de processamento maor devdo a necessdade cálculo dos valores médos da nformação extrínseca a cada passo de teração.

93 91 Para as smulações realzadas, a abordagem utlzando valor fxo para se mostrou como solução mas efcente em termos de mplementação para o mesmo desempenho, sendo necessáro apenas o ajuste ncal deste parâmetro, o que pode ser consegudo faclmente em um ambente real através das meddas de desempenho obtdas através da varação deste parâmetro. A fgura 31 mostra os resultados de desempenho para o esquema 16QAM- RS(15,13) na stuação em que é obtdo a cada passo de teração através do cálculo do valor médo da nformação extrínseca( Bmean), e para os valores fxo de, guas a: 0.05(B05), 0.15 (B15), 0.3 ( B30) e 0.5 (B50). Fgura 31 Influênca de no desempenho do algortmo de decodfcação. Fonte: Autor

94 Consderações sobre a determnação de Conforme dscutdo anterormente na seção a determnação do valor de, depende bascamente de dos fatores: O códgo utlzado, pos é função da dstânca de Hammng do códgo utlzado, e da cardnaldade do alfabeto utlzado, pos também é função da geometra do espaço euclano utlzado. O valor corresponderá ao maor evento de erro possível dentro do esquema de modulação e codfcação utlzado. Para códgos com pequena e constelações de cardnaldade baxa, a obtenção de pode ser realzado faclmente de forma algébrca conforme mostrado na seção Para esquemas mas complexo, no entanto, um manera possível é através de um algortmo de força bruta, obtendo-se o valor de a partr da geração estatístca de sequêncas e acumulando o valor máxmo do evento de erro observados. Uma aplcação prátca desta estratéga, é através do própro algortmo de decodfcação mplementado. De manera smlar ao que fo sugerdo anterormente como estratéga para determnação do valor de Em um ambente real é possível exctar a entrada do decodfcador e observar os valores na saída, ou anda obtê-los faclmente através do ambente de smulação. Os valores obtdos de manera ndreta, obvamente correspondem a ocorrêncas estatístcas, dependentes da relação snal ruído, da dstrbução de probabldade e do comprmento das sequêncas envadas, e a prncípo não há garanta de ocorrênca do maor evento de erro durante o ensao realzado. Porém com grande probabldade em termos prátcos para um vetor de teste aproprado haverá ocorrênca deste evento, fornecendo o valor aproprado para ser estabelecdo o valor de a ser utlzado ncalmente. O valor de utlzado, também não tem obrgatoredade de consttur-se no valor exato do maor evento de erro, podendo em termos prátcos estar ajustado de forma possur valor próxmo ao valor deste evento. Resultados de smulação demonstram que varações em torno de 5% do valor de não apresentaram varações sgnfcatvas de desempenho nos resultados obtdos. A fgura 3, mostra os valores meddos dos eventos de erro observados no decodfcador SISO de 1000 símbolos recebdos, obtdos para o esquema 16QAM,

95 93 RS(15,13) e uma relação snal ruído de entrada de 7.0dB. Os valores apresentados estão normalzados pela dstânca eucldana do demodulador. O valor teórco máxmo esperado para este esquema de modulação/codfcação, conforme demonstrado anterormente é.note que através da observação dos máxmos meddos é possível uma boa aproxmação para o valor teórco. Fgura 3 Medda empírca dos eventos de erro para um esquema RS(15,13) 16QAM. Fonte: Autor

96 Consderações sobre o número de terações A fgura 33 apresenta os ganhos de desempenho obtdos a cada passo de teração para o esquema 16QAM-RS(15,13). Observa-se que de manera smlar aos resultados obtdos em [3], não são observados ganhos sgnfcatvos a partr do sexto passo de teração. Fgura 33 Resultados de desempenho para dferente número de terações. Fonte: Autor