CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO ROBUSTO - DMARC.

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRADE DO ORE CERO DE ECOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA ELÉRICA CAIO DORELES CUHA COROLADOR EM MODO DUAL ADAPAIVO ROBUSO - DMARC. AAL 8

2 CAIO DORELES CUHA COROLADOR EM MODO DUAL ADAPAIVO ROBUSO - DMARC. s d Doutorado submtda ao Programa d Pós-Graduação m Engnhara Elétrca do Cntro d cnologa da Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort, m cumprmnto às xgêncas para obtnção do grau d Doutor m Cêncas, na ára d Automação Sstmas d Enrga Elétrca. Orntador: Prof. Dr. Aldayr Dantas d Araújo Co-orntador: Prof. Dr. Francsco das Chagas Mota AAL 8

3 Dvsão d Srvços écncos Catalogação da Publcação na Font. UFR / Bblotca Cntral Zla Mamd Cunha, Cao Dornls. Controlador m modo dual adaptatvo robusto - DMARC / Cao Dornls Cunha. atal, R, 8. 8 f : l. Orntador: Aldayr Dantas d Araújo. s (Doutorado) Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort. Cntro d cnologa. Programa d Pós-Graduação m Engnhara Elétrca.. Sstmas d control s.. Controlador adaptatvo s. 3. Sstmas d control automátco s. I. Araújo, Aldayr Dantas d. II. ítulo. R/UF/BCZM CDU 68.53(43.)

4 CAIO DORELES CUHA COROLADOR EM MODO DUAL ADAPAIVO ROBUSO - DMARC s d Doutorado m Engnhara Elétrca do Cntro d cnologa da Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort, m cumprmnto às xgêncas para obtnção do grau d Doutor m Cêncas, na ára d Automação Sstmas d Enrga Elétrca. Aprovado m: / / BACA EXAMIADORA Prof. D. Sc. Aldayr Dantas d Araújo. Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort Prof. D. Sc. Francsco das Chagas Mota Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort Prof. D. D Etat Lu Hsu Unvrsdad Fdral do Ro d Janro Prof. D. Sc. Marclo Carvalho Mnhoto xra Faculdad d Engnhara d Ilha Soltra Prof. Dr. Davd Smontt Barbalho Unvrsdad Fdral do Ro Grand do ort

5 À mmóra do mu grand amgo Judnor Agurrs Gurra Júnor (Bmbo) qu nos dxou durant o dsnvolvmnto dst trabalho. Àqul qu como amgo ra mas qu um rmão como rmão, não gnétco, mas por scolha, ra mas qu um amgo. Aos mus pas Francsco Gurgl Cunha rznha Dornls Cunha, a vocês todo o mu amor rconhcmnto. À mnha sposa, amga, amada conslhra lzan Lbrato às nossas flhas Batrz Lbrato Cunha Marah Lbrato Cunha, bas sólda d muto amor, carnho algra, sustntáculo das mnhas conqustas. Aos mus rmãos amgos qu tanto torcram m dram força durant os momntos mas árduos.

6 AGRADECIMEOS Ao profssor Aldayr Dantas d Araújo plo xclnt tma proposto, pla amzad, confança, ncntvo orntação dada na concpção dst trabalho. Ao profssor Francsco das Chagas Mota plo apoo, amzad plas contrbuçõs na co-orntação dst trabalho. À mnha famíla plo amor, algra, pacênca, apoo ncntvo. Aos mus amgos companhros qu tanto rclamaram a mnha ausênca durant o príodo fnal da concpção dst trabalho, porém smpr prsnts nos momntos agonants. Aos amgos do DEE do DCA plo apoo ncntvo. Enfm, a todos aquls qu drtamnt ou ndrtamnt contrbuíram para a laboração conclusão dst trabalho.

7 RESUMO st trabalho é aprsntada uma proposta d um controlador, dnado Controlador m Modo Dual Adaptatvo Robusto (DMARC), qu stablc uma lgação ntr um controlador adaptatvo por modlo d rfrênca (MRAC) um controlador adaptatvo por modlo d rfrênca strutura varávl (VS-MRAC). A déa básca é ncorporar as vantagns d dsmpnho transtóro do controlador VS-MRAC com as proprdads d rgm prmannt do controlador MRAC convnconal. São dsnvolvdos dos algortmos báscos para o controlador DMARC. o prmro o ajust do controlador é fto, m tmpo ral, através da varação d um parâmtro na l d adaptação. o sgundo algortmo a l d control é grada, utlzando o modlo akag-sugno da lógca nbulosa, para obtr uma composção pondrada das ls d control do MRAC do VS-MRAC. Em ambos os casos, o squma combnado d control é mostrado sr robusto às ncrtzas paramétrcas prturbaçõs xtrnas, além d aprsntar um dsmpnho rápdo pouco osclatóro durant o transtóro um snal d control suav m rgm prmannt. Palavras-chav: Control m Modo Dual. Control Adaptatvo. Modlo d Rfrênca. Sstmas com Estrutura Varávl.

8 ABSRAC h so-calld Dual Mod Adaptv Robust Control (DMARC) s proposd. h DMARC s a control stratgy whch ntrpolats th Modl Rfrnc Adaptv Control (MRAC) and th Varabl Structur Modl Rfrnc Adaptv Control (VS-MRAC). h man da s to ncorporat th transnt prformanc advantags of th VS-MRAC controllr wth th smoothnss control sgnal n stady-stat of th MRAC controllr. wo basc algorthms ar dvlopd for th DMARC controllr. In th frst algorthm th controllr's adjustmnt s mad, n ral tm, through th varaton of a paramtr n th adaptaton law. In th scond algorthm th control law s gnratd, usng fuzzy logc wth akag-sugno s modl, to obtan a combnaton of th MRAC and VS-MRAC control laws. In both cass, th combnd control structur s shown to b robust to th paramtrc uncrtants and xtrnal dsturbancs, wth a fast transnt prformanc, practcally wthout oscllatons, and a smoothnss stady-stat control sgnal. Kywords: Dual Mod Control. Adaptv Control. Rfrnc Modl. Varabl Structur Systms.

9 LISA DE ILUSRAÇÕES Fgura. Dagrama d Blocos do MRAC 5 Fgura. Condção d dslzamnto para o VS-MRAC 3 Fgura.3 Dagrama d Blocos do DMARC 4 Fgura.4 Evolução d μ m função do rro d saída 4 Fgura.5 Plano d fas para uma planta d prmra ordm com r = 45 Fgura.6 Plano d fas para uma planta d prmra ordm com r = 46 Fgura 3. Estrutura do MRAC com planta dsconhcda 5 Fgura 3. Estrutura do MRAC com parâmtros das 53 Fgura 4. Gração dos snas auxlars fltrados do VS-MRAC compacto 6 Fgura 4. Dagrama d blocos do VS-MRAC compacto ( = n ) 7 Fgura 4.3 Dagrama d blocos para o Lma Fgura 4.4 Dagrama d blocos do VS-MRAC compacto com fltros d valor médo para a gração dos controls quvalnts ( = n ) 84 Fgura 4.5 Dagrama d blocos para o Lma Fgura 5. Sstma d nfrênca akag-sugno d prmra ordm 97 Fgura 5. Funçõs d prtnênca Gaussanas para o DMARC-S 99 Fgura 5.3 Dagrama d blocos do DMARC utlzando a strutura do VS-MRAC compacto para n ( = n ) Fgura 5.4 Evolução d μ m função do rro d saída 3 Fgura 5.5 Sstma d Aconamnto para o control d vlocdad d um motor d ndução 6 Fgura 5.6 Dsmpnho do MRAC com Fator σ Fgura 5.7 Dsmpnho do VS-MRAC Fgura 5.8 Dagrama d blocos para o DMARC ajustado por lógca nbulosa Fgura 5.9 Funçõs d prtnênca das ntradas d, da saída μ 3 Fgura 5. Algortmo para o cálculo d μ do controlador DMARC usando lógca nbulosa 4 Fgura 5. Dsmpnho do algortmo DMARC com Fator σ 5 Fgura 5. Dsmpnho do algortmo DMARC-S 6 Fgura 5.3 Dagrama d blocos da mplmntação do controlador DMARC 8 Fgura 5.4 Rsultado da mplmntação do controlador DMARC 9

10 Fgura 5.5 Rsultado da mplmntação do controlador DMARC-S Fgura 5.6 Modlo do motor DC Fgura 5.7 Dsmpnho do MRAC com Fator σ 3 Fgura 5.8 Dsmpnho do VS-MRAC (smulação ncal) 4 Fgura 5.9 Dsmpnho do VS-MRAC 5 Fgura 5. Dsmpnho do DMARC 6 Fgura 5. Dsmpnho do DMARC-S 6 Fgura 6. Dagrama do squma d control do DMARC-S 4 Fgura 6. Fgura 6.3 Fgura 6.4 Dagrama do DMARC usando fltro m avanço para mplmntação d L ( s) 54 Dagrama do DMARC-S usando fltro m avanço para mplmntação d L ( s) 55 DMARC Algortmo : Saídas da planta do modlo snal d control 58 Fgura 6.5 Erro d saída do Algortmo do DMARC 58 Fgura 6.6 Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC 59 Fgura 6.7 Erro d saída do Algortmo do DMARC 59 Fgura 6.8 Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC 6 Fgura 6.9 Erro d saída do DMARC-S com modfcação B-MRAC 6 Fgura 6. Composção dos snas d control no DMARC-S com modfcação B-MRAC 6 Fgura 6. Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC 63 Fgura 6. Erro d saída do Algortmo do DMARC 63 Fgura 6.3 Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC 64 Fgura 6.4 Erro d saída do Algortmo do DMARC 64 Fgura 6.5 Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC 65 Fgura 6.6 Erro d saídas do DMARC-S com modfcação B-MRAC 65

11 LISA DE ABELAS abla 3. Algortmo d control MRAC convnconal 56 abla 4. Algortmo d control VS-MRAC 68 abla 4. Algortmo d control VS-MRAC compacto 7 abla 5. Algortmo d control DMARC para n abla 5. Comportamnto d μ com rlação à condção d scorrgamnto 4 abla 5.3 Parâmtros létrcos do motor d ndução utlzados na prátca 7 abla 5.4 Varaçõs m r(t), d(t) m k p durant as smulaçõs 4 abla 6. Valors d f para os dvrsos algortmos MRAC modfcados 44 abla 6. Algumas possívs rprsntaçõs para μ ( ) 53 abla 6.3 Varaçõs m r d durant as smulaçõs 57 abla 6.4 abla 6.5 _ Parâmtros utlzados nas smulaçõs da planta d grau rlatvo untáro 57 Parâmtros utlzados nas smulaçõs da planta com grau rlatvo n> 6

12 LISA DE ABREVIAURAS B-MRAC: Control Bnáro Adaptatvo por Modlo d Rfrênca (bnary modl rfrnc adaptv control) DMARC: Control m Modo Dual Adaptatvo Robusto (dual mod adaptv robust control) DMARC-S: Control m Modo Dual Adaptatvo Robusto Utlzando o Modlo akag- Sugno (dual mod adaptv robust control-akag-sugno) ERP: Estrtamnt Ral Postvo LI: localmnt ntgrávl no sntdo d Lbsgu LKY: Lma d Kalman-Yakubovc MIMO: Múltplas ntradas múltplas saídas, multvarávl (multpl-nput-multploutput) MRAC: Control adaptatvo por modlo d rfrênca (modl-rfrnc adaptv control) SISO: Únca ntrada únca saída, monovarávl (sngl-nput-sngl-output) VSC: Control a strutura varávl (varabl structur control) VS-MRAC: Control Adaptatvo por Modlo d Rfrênca Estrutura Varávl (varabl structur modl rfrnc adaptv control)

13 SUMÁRIO IRODUÇÃO 5. OBJEIVO 9. OAS PRELIMIARES 9.. otaçõs Dfnçõs.. Organzação do txto contrbuçõs dsta s IRODUÇÃO AOS COROLADORES: MRAC, VS- MRAC, B-MRAC E DMARC 3. COROLADOR ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA MRAC 5. COROLADOR ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA E ESRUURA VARIÁVEL - VS-MRAC 3.3 COROLADOR BIÁRIO ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA B-MRAC 35.4 COROLADOR EM MODO DUAL ADAPAIVO ROBUSO DMARC 4.4. Análs d rgulação no plano d fas 4.5 COCLUSÕES 46 3 COROLADOR MRAC IRODUÇÃO ESRUURA DE COROLE DO MRAC MRAC COVECIOAL COMEÁRIOS 58 4 COROLADOR VS-MRAC 6 4. VS-MRAC COM n 6 4. VS-MRAC COMPACO COM n Efto na Incrtza m k 73 p

14 4.. Efto dos Fltros d Valor Médo na Gração dos Controls Equvalnts COCLUSÕES 9 5 COROLADOR DMARC HISÒRICO 9 5. DMARC PARA PLAAS COM n = Algortmo DMARC Vrsão Orgnal Algortmo DMARC Utlzando o Modlo Dfuso akag-sugno DMARC PARA PLAAS COM n USO DO DMARC E DMARC-S O COROLE DE VELOCIDADE DE UM MOOR DE IDUÇÃO RIFÁSICO SIMULAÇÕES COM O VS-MRAC, DMARC E DMARC-S PARA O COROLE DE POSIÇÃO DE UM MOOR DE CORREE COÍUA 5.6 COCLUSÕES 7 6 AÁLISE DE ESABILIDADE DO DMARC E DMARC-S 8 6. DMARC PARA PLAAS COM n = DMARC - Algortmo DMARC - Algortmo DMARC AKAGI-SUGEO PARA PLAAS COM n = DMARC PARA PLAAS COM n > RESULADOS DE SIMULAÇÕES DMARC Planta n = DMARC Planta n > COCLUSÕES 66 7 COCLUSÕES E PERSPECIVAS FUURAS COIUAÇÕES AURAIS PARA ESE RABALHO 69 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS 7 APÊDICE - PUBLICAÇÕES REFEREES A ESA ESE 8

15 Sção Introdução 5 IRODUÇÃO A tora d control tm sdo d fundamntal mportânca no progrsso tcnológco m dvrsas áras nas últmas décadas. Sstmas d control automátco têm sdo utlzados m aplcaçõs dvrsas, dsd um smpls control d tmpratura d aparlhos condconadors d ar, até procssos mas sofstcados como m sstmas robótcos, projtos d avõs programas spacas. sta s, assum-s qu o objto d control, dnado d planta, pod sr modlado matmatcamnt por quaçõs dfrncas ordnáras. o ntanto, a planta a sr modlada pod aprsntar uma dnâmca muto complxa ou parcalmnt conhcda com parâmtros dsconhcdos ou varávs no tmpo. Dntr as dvrsas técncas d control aplcávs a problmas ond as plantas possum ssas caractrístcas ncontram-s (Cunha, 4): control adaptatvo, control, control a strutura varávl, control nural, control nbuloso, control por aprndzado, tc. O control adaptatvo por modlo d rfrênca é consdrado uma das prncpas abordagns da ára d control adaptatvo. Com o controlador adaptatvo por modlo d rfrênca (Modl-rfrnc Adaptv Control - MRAC) convnconal, qu usa ls ntgras d adaptação (arndra Valavan, 978; arndra, Ln Valavan, 98), a saída da planta sgu um modlo d rfrênca spcfcado. O rro ntr a saída da planta a saída do modlo é utlzado por um algortmo d adaptação para ajustar os parâmtros do controlador. Assm, a dnâmca da planta é forçada a sgur a dnâmca do modlo. O algortmo convnconal aprsnta problmas d stabldad sob condçõs não das como, por xmplo, na prsnça d dstúrbos xtrnos (Ioannou Kokotovc, 984; Rohrs, Valavan, Athans Stn, 985; Sastry Bodson, 989), um comportamnto transtóro não actávl (Hsu Costa, 987a; Rohrs, Younc Harvy, 989). Msmo com as modfcaçõs para aumntar a robustz do algortmo convnconal (fator σ, normalzação, tc.) (Ioannou Sun, 996), m gral o transtóro é lnto osclatóro. Alguns trabalhos foram dsnvolvdos com o ntuto d mlhorar o dsmpnho transtóro do controlador MRAC. Uma stratéga aprsntada por (arndra Balakrshnam, ) para o controlador MRAC ndrto, utlza o chavamnto ntr múltplos modlos da planta, conctados m parallo, sus rspctvos controladors. O controlador a sr usado m cada nstant é scolhdo através d um dtrmnado índc d H

16 6 Sção Introdução dsmpnho dpndnt do rro d stmação d cada rspctvo modlo. A msma stratéga fo stndda para sstmas dscrtos (arndra Xang, ) m (Chng arndra, Fu Cha, 7) com a utlzação d rds nuras como dntfcador não lnar. Outro método consst m modfcar a l d control utlzada plo sstma MRAC tradconal, adconando-s um trmo para compnsar o rro d stmação (Sun, 993; Sun, Olbrot Pols, 994; Papadaks homopoulos, 996; Costa, 999). Uma altrnatva para mlhorar o dsmpnho transtóro consst na utlzação d um controlador a strutura varávl (varabl structur control - VSC) (Emlyanov, 97; Itks, 976; Utkn, 977, 978, 983, 987, 99, 993) qu s basa m uma função d chavamnto das varávs d stado da planta. Esta função d chavamnto força uma trajtóra a prmancr sobr uma suprfíc dslzant, tornando o sstma nsnsívl a ncrtzas paramétrcas prturbaçõs. Essa robustz é frqüntmnt o prncpal objtvo do control d modos dslzants. Entrtanto, há ncssdad da mdção d todas as varávs d stado da planta, o qu torna dfícl sua mplmntação prátca. Anda, pod ocorrr o ndsjávl fnômno d chattrng, causado por não-daldads, como pqunos atrasos ou dnâmca não modlada da planta ou do rlé, lvando ao dnado modo dslzant ral (Utkn, 99). Algumas stratégas propostas nfocam a possbldad d combnar control a strutura varávl (VSC) control adaptatvo, para mlhorar a robustz os dsmpnhos dos squmas d control rsultants (vr, por xmplo, (Hsu Costa, 989; Fu, 99, 99; arndra Boskovc, 99; Hsu, Araújo Costa, 994; Su, Stpannko Lung, 995; Chn, Sun, Wu Fu, 996; Hsu, Lzarrald Araújo, 997; Bartoln Frrara, 999)). o trabalho d (arndra Boskovc, 99), a l d control sugrda é caractrzada por um trmo adaptatvo mas um trmo qu dpnd d uma aproxmação contínua d uma função sgn(), sndo sts dos trmos rgdos plo rro d saída. O fto da componnt VSC da l d control dsaparc assntotcamnt d forma qu o su objtvo é mlhorar a rsposta transtóra da planta controlada. Em (Bartoln Frrara, 999) uma l d control a strutura varávl combnada com uma l adaptatva é utlzada m um squma adaptatvo d alocação d pólos. st squma, uma planta d grau rlatvo maor qu um d ganho d alta frqüênca dsconhcdo é transformada, por um compnsador d prmra ordm m parallo com a planta, m uma dnada planta aumntada com grau rlatvo untáro ganho d alta frqüênca conhcdo. Sgundo o concto d combnar control a strutura varávl (VSC) control adaptatvo, Hsu Costa propusram um controlador adaptatvo por modlo d rfrênca

17 Sção Introdução 7 strutura varávl (Varabl Structur Modl-Rfrnc Adaptv Control - VS-MRAC) para sstmas lnars com uma ntrada uma saída (Sngl-Input-Sngl-Output - SISO), utlzando a strutura do control por modlo d rfrênca do MRAC, com mdçõs apnas da ntrada saída da planta (arnda Valavan, 978; arnda, Ln Valavan, 98; Sastry, 984), ls chavadas, como no VSC, para o snal d control (Hsu Costa, 989; Hsu, 99). O squma fo, ntão, stnddo para o caso gral d plantas com grau rlatvo arbtráro (Hsu, Araújo Costa, 994; Hsu, Lzarrald Araújo, 997; Pxoto, Lzarrald Hsu, ; uns, Hsu Lzarrald, 6) para sstmas multvarávs (Multpl-Input- Multpl-Output MIMO) (Cunha, Hsu, Costa Lzarrald, 3). Apsar do bom dsmpnho transtóro do controlador VS-MRAC, o snal d control m gral tm um nívl lvado aprsnta um chavamnto m alta frqüênca, conhcdo como fnômno d chattrng. O fto d chattrng pod sr rduzdo através da ntrodução d uma rgão lnar na função d chavamnto (função rlé) (Araújo, 993; Hsu, Araújo Costa, 994) /ou usando um fltro d saída no snal d control (Hsu, 99; Pxoto, Hsu Lzarrald, ). Entrtanto, a ntrodução d rgõs lnars nas funçõs d chavamnto lva ao surgmnto d rro m rgm prmannt qu pod sr dmnuído com a ntrodução d um compnsador PI. Já a ntrodução do fltro d saída tm um fto smlar ao aumnto do grau rlatvo da planta, aumntando a complxdad do algortmo d control. Uma nova abordagm para a suavzação do snal d control surgu rcntmnt, com a ntrodução d modos dslzants d ordm supror (Lvant, 3), gnralzando o concto d modos dslzants convnconas. A déa é aumntar artfcalmnt o grau rlatvo do sstma, lmnando por complto o fto d chattrng. Exmplos dsta técnca podm sr ncontrados m (Bartoln, Frrara Usa, 998, 999; Bartoln, Lvant, Psano Usa ; Lvant, 3). Para suavzar os problmas ncontrados na mplmntação prátca d sstmas a strutura varávl alguns autors têm proposto a ncorporação do uso d mtodologas d sstmas ntlgnts m controladors d modos dslzants, dntr as quas s ncontra o control nbuloso (vr, por xmplo, (Isham, Furukawa, Kawamoto anguch, 993; Hung, 993; Kaynak, Erbatur Ertugrul, ; Morrs, Dash Basu, 3; Yau Chn, 6; Sadat alazas, 6)). Anda, rcntmnt, alguns trabalhos têm mostrado qu o fto d chattrng também pod sr rduzdo pla dscrtzação do control quvalnt d um sstma a strutura varávl contínuo no tmpo (Su, Drakunov Özgünr, ; Ln Su, 4). A partr da tora d control bnáro (Emlyanov, 987), Hsu Costa propusram um Controlador Bnáro Adaptatvo por Modlo d Rfrênca (Bnary Modl Rfrnc Adaptv

18 8 Sção Introdução Control - B-MRAC) para plantas com grau rlatvo (n ) gual a (Hsu Costa, 99), postrormnt, sua gnralzação para plantas com grau rlatvo arbtráro (Hsu Costa, 994). o B-MRAC é utlzada uma l gradnt d adaptação d alto ganho com projção, a qual com um ganho fxo sufcntmnt lvado tnd ao VS-MRAC. Msmo com as dvrsas técncas d suavzação do snal d control aplcávl ao VS- MRAC, o sstma rsultant basa-s m sínts d snal m lugar d adaptação paramétrca. Assm, s a planta é nvarant no tmpo, lntamnt varant no tmpo ou não tm frqünts saltos d varaçõs, parc mas razoávl a scolha d um squma d adaptação qu combn adaptação paramétrca com um squma d strutura varávl. Do squma d control rsultant, spram-s as boas proprdads transtóras do control d strutura varávl as dsjávs proprdads d rgm prmannt dos controladors d parâmtros adaptatvos. O Controlador m Modo Dual Adaptatvo Robusto (Dual Mod Adaptv Robust Control DMARC), objtvo dsta s, tv sua motvação a partr do artgo (Hsu Costa, 989). l, apnas para fto d análs, os autors aprsntaram uma l d adaptação qu quando um dtrmnado parâmtro é gual a um, tm-s uma l ntgral com crta normalzação modfcação sgma, quando é gual a zro torna-s a sínts d snal do controlador VS-MRAC. A déa, ntão, é varar st parâmtro m tmpo ral d forma a s tr um algortmo ntr o VS-MRAC o MRAC com fator sgma normalzação, no qual o problma d chattrng possa sr mnmzado nquanto são mantdas as proprdads transtóras d rsposta rápda pouco osclatóra. A proposta do DMARC é qu a transção ntr o VS-MRAC o MRAC sja fta d forma suav à mdda qu o sstma volua, usando o VS-MRAC durant o transtóro tndndo ao MRAC à mdda qu o sstma s aproxma do rgm prmannt. O objtvo é consgur um sstma robusto, com dsmpnho rápdo pouco osclatóro (caractrístcas do VS-MRAC), um snal d control suav m rgm prmannt (caractrístcas do MRAC). Uma vrsão ncal do DMARC aprsntada m (Cunha, Araújo, Barbalho Mota,, 5) é usada na mplmntação do control d vlocdad d um motor d ndução trfásco. A scolha do parâmtro qu dfn no DMARC o controlador a sr usado (VS- MRAC, MRAC as vrsõs ntrmdáras), é fta utlzando-s lógca nbulosa d forma a s tr uma transção suav ntr os dos algortmos. O rro d saída sua varação foram utlzados como as varávs lngüístcas d ntrada os trmos Pquno (P), Médo (M) Grand (G) foram utlzados para dnotarm os valors assumdos plas varávs d ntrada. Em outro trabalho (Mota Araújo, ) utlza-s o modlo akag-sugno (akag

19 Sção Introdução 9 Sugno, 985) para pondrar as ls d adaptação do MRAC VS-MRAC. Esta pondração, aplcada à l d control, s assmlha a uma combnação convxa das ls d control do MRAC VS-MRAC aprsntada m (Sannr Slotn, 99; Hsu Ral, 997). sta s srão abordadas duas vrsõs para o DMARC. a prmra, a transção ntr o VS-MRAC o MRAC é fta pla varação d um parâmtro (parâmtro μ) na l d adaptação. a sgunda, a l d control é composta plas pondraçõs das ls d um controlador MRAC d um controlador VS-MRAC, fazndo-s uso do modlo da lógca nbulosa akag-sugno. O algortmo é, ntão, dnado d controlador m modo dual adaptatvo robusto akag-sugno (Dual Mod Adaptv Robust Control-akag-Sugno - DMARC-S). Em ambas as vrsõs, quando ss parâmtro (parâmtro μ) s aproxma d zro o algortmo tnd ao VS-MRAC, quando s aproxma do valor untáro tnd ao MRAC, com os valors ntrmdáros rprsntando o stado d transção ntr ls.. OBJEIVO O objtvo dsta s é dsnvolvr algortmos, qu combnm controladors MRAC com controladors VS-MRAC, trando provto das boas caractrístcas transtóras do VS- MRAC, mantndo a suavdad d control m rgm prmannt do controlador MRAC sm dgradar, no ntanto, as proprdads d stabldad. São consdradas duas abordagns para o controlador DMARC: na prmra um controlador MRAC é ajustado, m tmpo ral, por uma l ntgral d adaptação com modfcação sgma, qu durant o transtóro s aproxma à sínts d snal do VS-MRAC na sgunda é fta uma composção pondrada, por mo d lógca nbulosa, das ls d um controlador VS-MRAC um controlador MRAC. A motvação nas duas abordagns consst m combnar as boas proprdads dos controladors MRAC VS-MRAC.. OAS PRELIMIARES sta sção são dsnvolvdas as notaçõs algumas consdraçõs qu srão utlzadas ao longo do dsnvolvmnto dsta s.

20 Sção Introdução.. otaçõs Dfnçõs O símbolo s dnota tanto a varávl complxa da ransformada d Laplac d quanto o oprador dfrncal dt contxto. no domíno do tmpo, dpndndo do Os auto valors máxmos mínmos d uma matrz max ( A) λ mn ( A) λ, rspctvamnt. A são dnotados por n ( t) R A norma L d um snal x é dfnda como (Ioannou Sun 996) x t : sup = τ t x ( τ ) Adota-s a rprsntação msta do domíno do tmpo (spaço d stado) com o domíno da frqüênca (ransformada d Laplac opradors). o ntanto, são rsguardados os sgunts conctos. A saída nvarant no tmpo com função d transfrênca G ()u s () y d um sstma lnar G ( s) ntrada u é dada por. Para G s stávl, consdra-s sua ralzação d stado, possvlmnt não mínma, xprssa por x & = Ax Bu, y = Cx Du. Sja g () t a rsposta ao mpulso d G ( s) y o transtóro dvdo ao stado ) ncal d x ( do sstma homogêno x & = Ax, y = Cx. O stado ( ) x é dnado d stado transtóro. O símbolo são rprsntaçõs dos trmos transtóros. Então

21 Sção Introdução y () t G( s) u( t) C xp ( At) x( ) = g( t) u( t) y (t = ) ond y () t () sstma ( u t ). é um trmo xponncal qu rprsnta a rsposta homogêna do Um oprador G () s é d ordm O ( τ ) s somnt s lm τ G ( s) τ xst, ond G () s é uma norma do tpo L. Dfn-s ω-pquno no sntdo médo quadrátco como (Ioannou Sun 996): n :[ ) ω: [, ) R Sja x, R, conjunto S t t ( ω ) x ω x ( τ ) x( τ ) dτ c ω( τ ) ond x L, ω L consdr o {, dτ c, t, } = t t ond c c, quadrátco s são constants fntas. Dz-s qu ω é pquno no sntdo médo ( ω) x S. Adota-s a dfnção d Flpov para quaçõs dfrncas com lado drto dscontínuo (Flpov, 964). Utlza-s a abrvatura LI para dnotar localmnt ntgrávl no sntdo d Lbsgu... Organzação do txto contrbuçõs dsta s Est txto é organzado como sgu:

22 Sção Introdução a sção ncontra-s uma ntrodução ao controlador DMARC. A abordagm é fta para o caso d ordm gual a (grau rlatvo n = ). O studo comça com o dsnvolvmnto do controlador adaptatvo por modlo d rfrênca (MRAC), m sguda é fta a análs do controlador VS-MRAC, do controlador B-MRAC, fnalzando com o controlador DMARC. A Sção.4. surg como a prmra contrbução dsta s. a sção 3 é aprsntada a strutura básca d um sstma basado m um modlo d rfrênca. É dsnvolvdo o squma adaptatvo com apnas mdçõs d ntrada saída da planta qu é comum aos dmas controladors. a sção 4 é rvsado o controlador VS-MRAC sgundo a strutura proposta m (Araújo, 993; Hsu, Araújo Costa, 994; Hsu, Lzarrald Araújo, 997). a sção 5 é aprsntado um hstórco do controlador DMARC. sta sção também é vsta uma nova abordagm para o controlador, dsnvolvdo por (Mota Araújo, ), qu utlza lógca nbulosa, mas spcfcamnt o modlo d akag-sugno (akag Sugno, 985), para pondrar as ls d adaptação do MRAC VS-MRAC. Rsultados prátcos d smulaçõs são aprsntados. As Sçõs são contrbuçõs dsta s. a sção 6, são ftas modfcaçõs nos algortmos DMARC, no DMARC basado no modlo akag-sugno (DMARC-S), para a análs d stabldad dos controladors. Esta Sção é contrbução dsta s. a sção 7 são aprsntadas as conclusõs sobr o trabalho ralzado são propostas as contnuaçõs naturas dsta lnha d psqusa. As publcaçõs ralzadas durant o dsnvolvmnto dsta s são rlaconadas no apêndc.

23 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 3 IRODUÇÃO AOS COROLADORES: MRAC, VS-MRAC, B-MRAC E DMARC o control adaptatvo, os parâmtros do controlador varam, s adaptando contnuamnt às mudanças dos parâmtros da planta, a fm d obtr stabldad, robustz rsposta dsjada. As plantas consdradas m control adaptatvo são, m gral, dscrtas por modlos matmátcos com parâmtros dsconhcdos ou com ncrtzas. O controlador adaptatvo é projtado para qu algumas spcfcaçõs d dsmpnho sjam atnddas consst, m uma d suas formas mas usuas, d uma strutura d control paramtrzada um mcansmo d aprndzagm ou adaptação. Uma abordagm qu é d ntrss prátco é a qu prssupõ qu somnt mdçõs da ntrada saída da planta são dsponívs (arndra Valavan, 978; Goodwn Sn, 984; Goodwn Mayn, 987). A função do modlo d rfrênca é spcfcar o comportamnto dsjado para a planta. O rro ntr as saídas da planta do modlo é utlzado por um algortmo d adaptação para ajustar os parâmtros do controlador d tal forma qu st rro tnda a zro, prmtndo, assm, o rastramnto assntótco do modlo. Em gral, o algortmo d adaptação basa-s m uma l do tpo ntgral (arndra, Ln Valavan, 98) o sstma rsultant aprsnta problmas bm conhcdos d stabldad sob condçõs não das como, por xmplo, na prsnça d dstúrbos xtrnos (Ioannou Kokotovc, 984; Rohrs, Valavan, Athans Stn, 985), um comportamnto transtóro nactávl (Hsu Costa, 987b; Rohrs, Younc Harvy, 989). Control a strutura varávl consttu outra abordagm para soluconar o problma d control d sstmas com ncrtzas (Emlyanov, 97; Itks, 976; Utkn, 977, 978) caractrza-s pla utlzação d uma l d control qu chava, d acordo com uma dada rgra, ntr um conjunto d funçõs possívs das varávs d stado da planta, mudando, assm, a strutura do sstma m malha fchada. Uma motvação para sta abordagm consst na possbldad d combnar proprdads úts d cada uma das struturas do sstma ralmntado. Um outro aspcto é a possbldad adconal d srm obtdas trajtóras qu dscrvm um novo tpo d movmnto (não caractrístco d nnhuma das struturas) dnado modo dslzant. Est tpo d movmnto é nvarant m rlação às ncrtzas lmtadas da planta (Draznovc, 969), ntão, o control por modos dslzants tm s tornado m uma das formas mas usuas d utlzação da tora d sstmas a strutura varávl. Em gral, as funçõs d chavamnto são projtadas para qu as trajtóras do

24 4 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC sstma alcancm mantnham-s m uma suprfíc (suprfíc d dslzamnto) qu spcfca um comportamnto dsjado para a dnâmca da planta. Esta abordagm tm sdo usada na rsolução d um grand númro d problmas d control m (D Carlo, Zak Matthws, 988), (Utkn, 993) (Adamy Flmmng, 4) ncontra-s uma vsão dos prncpas aspctos tórcos aplcaçõs. a busca d um controlador qu tornass o sstma m malha fchada robusto (no sntdo d prsrvar a stabldad) m rlação às ncrtzas da planta com um dsmpnho transtóro sgnfcatvamnt mlhor qu os obtdos com algortmos basados m dntfcação d parâmtros, (Hsu Costa, 987b 989) dsnvolvram o dnado controlador Adaptatvo por Modlo d Rfrênca Estrutura Varávl (VS-MRAC). Para o caso n=, d uma forma rlatvamnt smpls, fo usada uma l d adaptação a strutura varávl m substtução à l d adaptação ntgral. A déa básca fo tornar o rro ntr as saídas da planta do modlo d rfrênca, uma suprfíc dslzant no spaço d stado do rro do sstma. Um algortmo d control, dnado d Control Bnáro Adaptatvo por Modlo d Rfrênca (B-MRAC), por s basar na tora d control bnáro, dsnvolvda por Emlyanov (Emlyanov, 987), fo aprsntado m (Hsu Costa, 99) para o caso d n=. Ess algortmo tm a caractrístca d sr um controlador adaptatvo qu tnd a um controlador a strutura varávl, quando o ganho d adaptação, fxo, for assumdo sufcntmnt lvado. Um algortmo B-MRAC para o caso d grau rlatvo arbtráro fo aprsntado m (Hsu Costa, 994). O controlador DMARC para o caso d n = fo ncalmnt formulado com a l d adaptação sugrda m (Hsu Costa, 989). Um parâmtro, nssa l d adaptação, dtrmna s o controlador é um MRAC ou um VS-MRAC, quando assumdo gual a um ou a zro, rspctvamnt. Dsta forma, os autors justfcam qu o VS-MRAC pod sr vsto como um MRAC, com fator d squcmnto uma normalzação no trmo d adaptação, ond tanto o squcmnto quanto a adaptação, crscm lmtadamnt, ou sja, são nstantânos. sta prmra vrsão do DMARC é utlzada a l d adaptação sugrda m (Hsu Costa, 989). O parâmtro qu dfn a stratéga d control (control por adaptação paramétrca ou control a strutura varávl) é ajustado m tmpo ral, com o ntuto d obtr bom dsmpnho transtóro, caractrístco do VS-MRAC um snal d control suav, caractrístco do MRAC. Alguns trabalhos foram dsnvolvdos com sta vrsão, sndo o ajust dss parâmtro fto através do uso da lógca nbulosa (Cunha, Araújo, Barbalho Mota,,,, 5).

25 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 5 Para plantas com grau rlatvo arbtráro, o DMARC é dsnvolvdo d forma smlhant ao B-MRAC. Utlza-s a strutura d control do VS-MRAC, com a xcção d qu o snal d control, aplcado à planta, é grado com a utlzação da l d adaptação do DMARC para o caso d n = (Cunha Araújo, 4a, 4b). as vrsõs postrors do DMARC (Cunha, Araújo Mota, 5, 6, 7), a l d adaptação fo modfcada d forma a s obtr stabldad para o sstma. sta sção é rvsto, d uma forma ntrodutóra, o dsnvolvmnto a análs d stabldad, para plantas d ordm gual a, dos algortmos d control MRAC, VS-MRAC B-MRAC. ambém, é aprsntado o controlador DMARC na sua vrsão ncal.. COROLADOR ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA MRAC os controladors VS-MRAC, B-MRAC DMARC é utlzada a msma strutura do controlador MRAC, d forma qu o dsnvolvmnto ncal, aprsntado nsta sção, é comum a todos os controladors m qustão. o MRAC o dsmpnho dsjado para a planta é dfndo por um modlo d rfrênca. O dagrama d blocos do controlador MRAC stá mostrado na Fgura.. r MODELO DE REFERÊCIA y m - u PLAA y COROLADOR MECAISMO DE AJUSE DOS PARÂMEROS DO COROLADOR Fgura.: Dagrama d blocos do MRAC.

26 6 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC sta sção supõ-s qu a modlagm d uma planta para um dtrmnado ponto d opração, lva a um modlo d prmra ordm, cuja função d transfrênca srá rprsntada por W () s k p = (.) s a p ond k a são conhcdos com ncrtzas aprsntam varaçõs dpndndo do ponto d p p opração. Supõ-s qu a planta é controlávl obsrvávl tm uma únca ntrada u uma únca saída y. A função d transfrênca para o modlo d rfrênca dv sr strtamnt ral postva dfnda com o msmo grau rlatvo n = (xcsso d pólos) do modlo nal da planta (.), sndo dada por M () s k m = k m> a m> (.) s a m tndo r como ntrada y m como saída. Anda, kp km dvm tr o msmo snal (assumdos aqu postvos, sm prda d gnraldad). O objtvo do MRAC é qu a planta sga o modlo spcfcado (condção d casamnto ), ou sja, y r ym = (.3) r O snal d control forncdo plo controlador ncssta, para sua mplmntação, da saída da planta da rfrênca tndo a forma u = y r (.4) ond são os parâmtros do controlador. sta s é utlzado o trmo casamnto como uma tradução ao trmo m nglês matchng

27 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 7 As saídas da planta do modlo (vd Fgura.) são dadas por k p y = W () s u = u (.5) s a p y m k m = M () s r = r (.6) s a m rspctvamnt. S os parâmtros da planta são conhcdos com xatdão, tm-s os valors dos parâmtros do controlador para os quas a saída da planta convrg para a saída do modlo, conhcda como condção d casamnto. Porém, s sss parâmtros são dsconhcdos ou conhcdos com ncrtzas, torna-s ncssára uma adaptação dos parâmtros do controlador. Substtundo (.4) m (.5) usando (.6) (.3) ncontra-s para as xprssõs a p am = (.7) k p k m = (.8) k p O vtor d parâmtros adaptatvos é dfndo como [ ] = (.9), o vtor rgrssor, com nformaçõs da saída da planta da rfrênca, como [ y, r] ω = (.) o rro d saída, spcfcado como o rro ntr a saída da planta a saída do modlo d rfrênca, como

28 8 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC = y y m (.) A análs d stabldad usa a tora d Lyapunov, as hpótss d qu o modlo é strtamnt ral postvo (ERP) k m k p são postvos, aplca o Lma d Kalman- Yakubovtch. Sgundo st Lma, s o modlo é ERP, xstm um p > um q > tas qu pam = q pam = q (.) pk m = dfn-s Sndo o vtor d parâmtros da condção d casamnto dado por = [, ], ~ = (.3) As drvadas das saídas da planta do modlo podm sr ncontradas d (.5) (.6), rspctvamnt, como y& = a p y k p u (.4) y& = a y k r (.5) m m m m O snal d control da quação (.4) pod sr scrto na forma u = ω = ω ω ω (.6) a qual lva a ~ u = ω y r (.7) Assm, substtundo (.7) m (.4) ncontra-s a quação

29 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 9 ~ y & = ( a k ) y k ω k r (.8) p p p p qu, lvando m consdração a condção d casamnto, quaçõs (.7) (.8), pod sr scrta m função dos parâmtros do modlo como sgu: k m ~ y& = a y ω m k m r (.9) Drvando m rlação ao tmpo (.) utlzando (.5) (.9) tm-s a xprssão: a k m ~ & = m ω (.) Até aqu, ss dsnvolvmnto é comum a todos os controladors m studo, uma vz qu, nnhuma mnção fo fta com rlação à l d adaptação a sr utlzada. o controlador MRAC a l d adaptação é do tpo ntgral, dada por & = γ ω ; γ >. (.) Sja a sgunt função dfnda postva uma canddata à função d Lyapunov ~ ~ V (, ) = ( p γ ~ ) (.) com p >. A drvada no tmpo dsta função, ao longo d (.) (.) é & ~ ~ (, ) & &~ V = p γ (.3) ~ & Supondo constant, = & é dado pla quação (.). Usando, ntão, (.) (.) na quação (.3), ncontra-s

30 3 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC k ~ ~ V( & ~ m ) = pam p ω γ ω (.4), γ Utlzando-s o lma d Kalman-Yakubovtch, quação (.), concluí-s qu V& ( ~, ) = q (.5) a qual é uma função smdfnda ngatva. Isso mplca qu V ( t) V (), portanto, qu ~ são unformmnt lmtados. Sndo o modlo d unformmnt lmtado, y m também é unformmnt lmtado. Assm d (.) d (.) sgu qu y ω são unformmnt lmtados. Para mostrar qu quando t Barbalat, nuncado a sgur: rfrênca stávl r, por hpóts,, é ncssáro a utlzação do Lma d Lma d Barbalat: S uma função dfrncávl f ( t) tm um lmt fnto quando t, s f &() t é unformm nt contnua, ntão f & ( t) quando t. Para a aplcação do lma d Barbalat, é ncssára a vrfcação da contnudad unform da função f & () t. Em mutos casos sta vrfcação, a partr da dfnção formal, não é tão. U xamnar a drvada da função óbva ma abordagm convnnt é ( t) Prcsamnt, uma condção smpls sufcnt para uma função dfrncávl sr unformmnt contínua é qu sua drvada sja lmtada (vd (Slotn, 99) pag.3). Para aplcar o Lma d Barbalat na função, V & (, ~ ) vrfca-s a sua contnudad ~ unform. Assm, drvando-s no tmpo V & (, ) (quação(.5)) usando (.) tm-s f &. ~ k ~ ( ) = ( m q a ) V& (.6), m ω Dfnção 3..4, pag 73 d (Ioannou Sun, 996)

31 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 3 Uma vz qu, ~ ω são unformmnt lmtados, tm-s qu V & é unformmnt lmtado. Consqüntmnt, V & é unformmnt contínua. Aplcando o Lma d Barbalat ~ conclu-s qu quando t. Logo o ponto d qulíbro = é globalmnt stávl, mas não pod sr garantda a stabldad assntótca global. Portanto, pla análs d stabldad usando a tora d Lyapunov, no caso m qu k a p são constants, a orgm é um ponto d qulíbro globalmnt stávl com, porém não s pod garantr stabldad assntótca global. Contudo, s a ntrada for sufcntmnt rca m frqüêncas (Ioannou Sun, 996), pod-s garantr stabldad assntótca global, ou sja,, com [, ] =, consqüntmnt. o MRAC, o algortmo é basado m stmação dos parâmtros contém ls d adaptação ntgras (quação (.)), o qu rsulta na falta d robustz à dnâmca não modlada dstúrbos xtrnos (Ioannou Kokotovc, 984; Rohrs, Valavan, Athans Stn, 985). Para aumntar a robustz no MRAC fo proposta uma l d adaptação com modfcação σ (Ioannou Kokotovc, 984), a qual garant no mínmo stabldad local na prsnça d dnâmca não modlada /ou dstúrbos lmtados. Essa l é dada por p & = σ γ ω (.7) sndo o prmro trmo do lado drto da gualdad ntrprtado como um fator d squcmnto o sgundo trmo, um fator d aprndzagm. Establdad global fo consguda postrormnt por Ioannou sakals (Ioannou sakals, 986), com normalzação do trmo d aprndzado na l d adaptação com modfcação σ dado na quação (.7). A ntrodução da normalzação, no ntanto, pod lvar a transtóros d adaptação xcssvamnt lntos. O studo antror fo dsnvolvdo com a hpóts d qu os parâmtros da planta são nvarants no tmpo. Para plantas qu aprsntam kp ap lntamnt varávs com o tmpo (caso quas státco) smulaçõs têm lvado a conclusõs smlars ao caso nvarant no tmpo.

32 3 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC. COROLADOR ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA E ESRUURA VARIÁVEL - VS-MRAC Os controladors a strutura varávl, prncpalmnt no caso m qu são usados como controladors d modos dslzants, aprsntam robustz a varaçõs dos parâmtros da planta dstúrbos,, m gral, com rsposta transtóra mas rápda. A ncssdad d mdção d todas as varávs d stado da planta, no ntanto, s aprsnta como uma dfculdad na sua mplmntação prátca. o ntuto d s consgur um sstma d control robusto, com bom dsmpnho transtóro com mdçõs apnas da ntrada saída da planta, Hsu Costa (Hsu Costa, 989) (vr também (Hsu, 99)) aprsntaram um sstma d control adaptatvo (VS-MRAC) no qual as ls ntgras d adaptação do MRAC convnconal foram substtuídas por ls a strutura varávl no mcansmo d adaptação. Os algortmos orgnas foram aprfçoados nos trabalhos d (Araújo Hsu, 99), (Araújo, 993) (Hsu, Araújo Costa, 994). o VS-MRAC utlza-s a msma strutura d control do MRAC, porém com um snal d control chavado como no controlador VSC. Aqu a suprfíc dslzant é dfnda por = a condção d dslzamnto é & < (Fgura.). < > & > = & < Fgura.: Condção d dslzamnto para o VS-MRAC. As ls ntgras d adaptação são substtuídas por ls chavadas da forma ( y) = sgn, ( r) = sgn > (.8), > D forma smlhant ao MRAC, scolh-s uma função dfnda postva canddata a função d Lyapunov como V ( ) = p, p > (.9)

33 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 33 A drvada tmporal dsta função, ao longo da solução do sstma (.) é ( ) p& V & = (.3) A drvada do rro é dada pla quação (.), a qual substtuída m (.3) rsulta & km ~ ) = pam p ω (.3) V ( Obsrva-s qu ~ ω = y r y r (.3), com o uso da l d adaptação dada pla quação (.8), torna-s ~ _ ω = [ sgn( y) y sgn( r) r y r ] (.33) Lvando o rsultado d (.33) a (.3) consdrando qu o produto do snal d uma função por la própra rsulta m su módulo, ncontra-s pk V& m ( ) = pam [ y y ] r r (.34) qu, juntamnt com o Lma d Kalman-Yakubovtch, quação (.), lva a V & ( ) = q [ y y r r] (.35) Como k m k p têm o msmo snal, supostos postvos, l d chavamnto, quação (.8), > >, pod-s conclur qu é postvo. Pla condção da

34 34 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC < V & ( ) q (.36) qu é uma função dfnda ngatva. Dssa forma pod-s dzr qu é globalmnt assntotcamnt stávl qu = lm ( t) = (.37) t A condção d dslzamnto pod sr vrfcada fazndo p = nas quaçõs (.3) (.34), ou sja, & & & = = km am [ y y r r] km am [ y r y r ] km am [( ) y ( ) r ] { k k Δ ω } m (.38) com k > k, k, < Δ m < mn(, ) ω = y r. m = > S ω > c > como lm ( t) = tm-s qu t & <, t t, t fnto (.39) o qu sgnfca dzr qu a condção d dslzamnto é obtda m tmpo fnto. Anda, da últma lnha d (.38) ' & c, t ts t, t t fntos (.4) > s Portanto, a suprfíc d dslzamnto também é atngda m tmpo fnto.

35 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 35 Da quação (.8) vê-s qu dv sr dmnsonado d forma a lvar m consdração as ncrtzas nos parâmtros da planta. Assm, para o caso m qu os parâmtros da planta são varants no tmpo, s a condção > sup > sup t> t> ( t) ( t) (.4) é satsfta, smulaçõs têm lvado às msmas conclusõs do caso nvarant no tmpo. Apsar d não s podr garantr qu, uma vz qu aqu não s trata d adaptação paramétrca sm d uma l chavada d control, o sstma é robusto para prturbaçõs dsconhcdas unformmnt lmtadas atuando na ntrada da planta, dsd qu ω() t sja maor qu uma dtrmnada constant postva (Hsu Costa, 989) ( ( t) uma norma do vtor rgrssor ω () t ). ω é A prncpal dsvantagm do VS-MRAC é o chavamnto do snal d control com uma frqüênca bastant alta ( chattrng ) sto pod lvar a dfculdads na mplmntação prátca..3 COROLADOR BIÁRIO ADAPAIVO POR MODELO DE REFERÊCIA B-MRAC A partr da tora d control bnáro, dsnvolvda por Emlyanov (Emlyanov, 987), Hsu Costa dsnvolvram um squma d control dnado d Control Bnáro Adaptatvo por Modlo d Rfrênca (B-MRAC) (Hsu Costa, 99). O B-MRAC consst d uma l gradnt d adaptação com projção do vtor d atualzação sobr a bas do hprplano para alguma bola fnta d (vd (Hsu Costa, 994)). A l d adaptação é a msma do MRAC com fator σ (quação (.7)), com a xcção d qu σ rprsnta o fator d projção, spcfcado por,s < M ou σ q <, γ ω σ = ; σ q = (.4) σ q, s M σ q,

36 36 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC ond M > é uma constant. A l d adaptação para uma planta d prmra ordm é dada por & = ω ; =, σ γ (.43) sndo os trmos, s < ou σ q, <, γ ω σ =, σ q, =, σ q,, s σ q,, >, =, (.44) D forma smlar ao MRAC, é scolhda como cand data a função d Lyapunov, a sgunt função dfnda postva ~ ~ ~ V (, ) = ( p ) (.45) γ com p >. A drvada no tmpo dsta função ao longo d (.) (.43) é & ~ ~ ~ & V (, ) & = p (.46) γ Supondo (.) na quação (.46), ncontra-s ~ & constant, = & é dado pla quação (. 43). Usando, ntão, (.43) ~ k ~ ~ V( & m, ) = pa p ω ( σ γ ω) γ (.47) m Utlzando o Lma d Kalman-Yakubovtch, quação (.), conclu-s qu

37 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 37 V& ~, ) = q ( = q γ = = q σ γ = σ ~ σ γ [ ( )] ( ) ( ) (.48) Analsando o trmo ntr colchts, obsrva-s qu l é postvo para todo tal qu >. Por dfnção σ para >, como σ = para < o somatóro m (.48) é maor ou gual a zro. Assm, da quação (.48) obtém-s ~ V& (, ) q (.49) qu é uma função smdfnda postva. Conclu-s, assm, qu ( t) V ( ) V, portanto, qu ~ são unformmnt lmtados. D forma sm lar à análs do MRAC, com o modlo d rfrênca stávl r, por hpóts, unformmnt lmtado, y m também é unformmnt lmtado, sgu qu y ω são unformmnt lmtados. Dvdo à dscontnudad d σ, não s pod garantr a contnudad unform d V & ( ~, ) a partr d (.49). Isto mpossblta a aplcação do Lma d Barbalat para s garantr qu quando t. o ntanto, scolhndo-s a sgunt função dfnda postva como canddata a função d Lyapunov V ( ) = (.5) tomando sua drvada no tmpo, ao longo da solução d (.) (.43), ncontra-s V& ( ) = & = = ( σ ) γ ω (.5) Utlzando-s a dfnção d σ q,, dada na quação (.44), m (.5) ncontra-s

38 38 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC V& ( ) = ( σ q, σ ) (.5) =, como ( σ, σ ) para, conclu-s qu o conjunto q é postvamnt, ~ ~ nvarant, consqüntmnt é unformmnt lmtado por uma constant. Assm, a quação (.45) pod sr rscrta como ~ V (, ) = ( p O( γ )) ~ V = (, ) O( γ ) p (.53) ond O ( ) sgnfca da ordm d ( ). Usando (.53) m (.49) tm-s ~, ) [ ( q V p V& ( V & ( ~, ) q p [ V ( ~, ) O( γ )] ~, ) O( γ )] (.54) V & ( ~, ) q V p ( ~, ) q O( γ p ) cuja so lução lva a k () q p O( γ ) (.55) ond k é uma constant postva. Conclu-s assm, qu o rro d saída convrg para um conjunto rsdual da ordm d O. Para γ sufcntmnt lvado, ss conjunto γ rsdual torna-s sufcntmnt pquno, s aproxmando d zro quando γ. Até aqu, como no MRAC, não s pod garantr a stabldad assntótca global do sstma. Entrtanto, s γ é lvado o snal d rfrênca é rco m frqüêncas, tm-s a convrgênca xponncal d para, consqüntmnt d para zro. Assm, s o snal d

39 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 39 rfrênca é rco m frqüêncas γ é sufcntmnt lvado, o sstma é globalmnt (unformmnt) xponncalmnt stávl (Hsu Costa, 99). Uma análs ntrssant do B-MRAC pod sr fta, rscrvndo a quação (.43) como [ σ ω ] γ & =, =, (.56), o com σ, = γ σ, xprsso da forma σ, s < = ω s,,, >, =, (.57) o lm t quando γ, tm-s qu γ é dtrmnado como a solução d σ, ω =, =, (.58) Para ω a quação (.58) trá solução quando σ. D (.57) consdrando qu o ω conju nto é postvamnt nvarant, tm-s qu σ, =, o qual substtuído m (.58), rs ulta m, ω =, =, (.59) cuja so lução é =. Além d sso, s σ, d (.44) tm-s qu σ >, como σ = γ, conclu-s,, σ qu σ, ω, ou sja, σ, =. Substtundo ss rsul tado m (.58), tm-s >

40 4 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC ω = ω, =, (.6) Como =, a quação (.6) s rsum na quação (.8), qu é a l chavada do VS- MRAC. Pod-s dzr, assm, qu o B-MRAC s rsum ao VS-MRAC, quando o ganho d adaptação crsc lmtadamnt..4 COROLADOR EM MODO DUAL ADAPAIVO ROBUSO DMARC O DMARC fo projtado ncalmnt, utlzando a l d adaptação proposta por Hsu Costa (Hsu Costa 989). Esta l d adaptação prmt a obtnção d um comportamnto próxmo do VS-MRAC ou do MRAC (com fator σ uma normalzação) stuaçõs ntrmdáras dpndndo da scolha d um dtrmnado parâmtro. A novdad é qu no DMARC, st parâmtro é ajustado m tmpo ral, tndo como objtvo s aproxmar do controlador VS-MRAC quando o rro d saída do sstma é consdrado lvado ou do controlador MRAC quando o rro d saída é consdrado pquno. Objtva-s, dsta forma, trar vantagm do bom comportamnto transtóro do VS-MRAC, da suavdad do snal d control m funconamnto quas staconáro do MRAC. O DMARC ncontra-s squmatzado na Fgura.3. r Modlo d Rfrênca μ Controlador u y m L chavada ou L d adaptação Planta y - Fgura.3: Dagrama d blocos do DMARC.

41 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 4 A l d adaptação fo modfcada, postrormnt, para s adquar ao uso das funçõs d Lyapunov, na análs d stabldad. Consdr a sgunt l d adaptação & μ = σ σγ ω (.6) ond γ = ω = [ω, ω ] ω, = [y, r] > =, (.6) Quando μ, é dado pla solução d = σ σγ ω qu juntamnt com a quação (.6) s rsumm m (.8), qu são as ls chavadas do algortmo VS-MRAC. A quação (.6) pod sr rscrta como & σ σ ω μ μ (.63) = γ Analsando a quação (.63), obsrva-s qu quando μ, o fator d squcmnto tnd a nfnto, d ond s conclu qu o VS-MRAC não tm mmóra. O trmo d aprndzagm também crsc lmtadamnt, d ond s pod dzr qu no VS-MRAC a adaptação, ou o aprndzado, é nstantâno. Quando μ =, a quação (.6) s rsum m & = σ σγ ω (.64) qu é a l d adaptação do MRAC com fator σ uma crta normalzação do trmo d aprndzado.

42 4 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC.4. Análs d rgulação no plano d fas Uma das possívs formas para a transção do controlador DMARC, ntr o VS- MRAC o MRAC, é fta ajustando-s o parâmtro μ sgundo a xprssão l μ = (.65) ond é o rro d saída l é um parâmtro a sr ajustado. μ= l MRAC VS-MRAC VS-MRAC função d l Fgura.4: Evolução d μ m função do rro d saída. Obsrva-s, da Fgura.4 (ou quação (.65)), qu quando, μ aproxmando-s do MRAC na condção d rgm prmannt. Quando crsc, dntro d um crto lmt stpulado por l (vd Fgura.4), μ assum um valor sufcntmnt pquno, tndndo o algortmo ao VS-MRAC durant o transtóro. O parâmtro tm a mportant função d dtrmnar a forma como s dá a transção ntr o MRAC o VS-MRAC. Quanto mnor o valor d l maor a ação do VS-MRAC m função d, como vsto na Fgura.4. Para motvar a análs d stabldad do DMARC, consdr um sstma d prmra ordm spcfcado plas quaçõs (.7) a (.) ond, por smplcdad, a p = a, k k =, l p = m

43 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 43 = por é um scalar. Assm, a planta o modlo d rfrênca são dados, rspctvamnt, y & = ay u ; y, u R; a R (.66) y& = a y r ; ym, r R; a m > R (.67) m m m A l d adaptação (.6) (.6) é μ & = σ σ sgn( y ) (.68) a l d control é u = y r. (.69) o modo rgulação ( r = ), ym =, = y uma ralzação para o rro d saída é scrta como sgu & ( ) & l = σ ( a) = > a, ε > ou (.7) 4, ε & ˆ l = σ ˆ, ˆ = ota-s qu o sstma possu um ponto d qulíbro m ( =, ˆ ) = lnarzada, m torno dss ponto d qulíbro, caractrza-o como um nó stávl. Dfnndo a função canddata a função d Lyapunov como, cuja análs ˆ σ V = (.7)

44 44 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC tm-s para sua drvada m rlação ao tmpo ao longo d (.7) l ( a) ˆ ˆ V& =. (.7) Analsando (.7), nota-s qu para ˆ tm-s V & <. ota-s qu quanto mnor for o valor d l maor srá a ação do algortmo VS-MRAC no spaço d (vê Fgura.4). Assumndo, por hpóts l < l, tm-s qu >. Assm, para ˆ mplca qu ˆ ˆ, consqüntmnt, V & <. Dsta forma, a quação (.7) pod sr rscrta como ( a) ( ) ˆ ˆ V &. (.73) função o ntrvalo ( ˆ ˆ ) < ˆ <, o sgundo trmo do lado drto d (.73) é postvo. Porém, a possu um máxmo m ˆ =. Assm, da quação (.73) tm-s V& a. (.74) 4 Com ss rsultado, como ( =, ˆ ) = l >, d (.7) vê-s qu V & = apnas no ponto V & < para todo spaço m torno dl. Como V > é radalmnt lmtada, conclu-s qu ( =, ˆ ) é globalmnt assntotcamnt stávl. = Apsar da smlhança da l d adaptação do DMARC (quação (.68)) com a l d adaptação com modfcação σ (quação (.7)), dvdo à stabldad assntótca global da orgm no spaço d stado, spra-s qu para ss controlador não haja possbldad do surgmnto do fnômno d burstng. a Fgura.5 é aprsntado o plano d fas para r =, com cnco condçõs ncas dstntas. Obsrva-s a convrgênca para ( =, ˆ ) ndpndnt da condção ncal. Os = dados utlzados na smulação foram: a =, =, = 3,, l =, σ =,. Os rsultados das smulaçõs para r = ncontram-s na Fgura.5. a m

45 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 45 Fgura.5: Plano d fas para uma planta d prmra ordm com r =. Com os msmos dados antrors foram ftas smulaçõs para r = os rsultados ncontram-s na Fgura.6. ss caso, como a rfrênca é prsstntmnt xctant, ~ obsrvam-s as convrgêncas d para ( = ) do rro d saída para zro.

46 46 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC Fgura.6: Plano d fas para uma planta d prmra ordm, r =. Fo vsto antrormnt qu, ao contráro do MRAC, a stabldad assntótca global pod sr dmonstrada para o VS-MRAC sm xgênca sobr rquza d snal. Porém, s por um lado o VS-MRAC xb proprdads xclnts d nvarânca, robustz convrgênca, por outro, rqur ação d control xcssva, sua mplmntação prátca pod aprsntar dfculdads. Enquanto o control a strutura varávl modos dslzants rqur frqüênca nfnta d chavamnto do snal d control, o DMARC pod fxar uma rstrção xplícta para a taxa d mudança dos parâmtros ajustávs. Os problmas d chavamnto podm sr alvados fazndo-s uso d um DMARC, o qual fornc um snal suav m rgm prmannt, caractrístco do control adaptatvo, nquanto são mantdas as boas proprdads transtóras d nvarânca nrnts aos sstmas a strutura varávl..5 COCLUSÕES sta sção é fta uma ntrodução ao controlador MRAC qu possu uma l d adaptação ntgral, o qu rsulta na falta d robustz à dnâmca não modlada dstúrbos xtrnos. Uma modfcação na l d adaptação (modfcação σ), garant stabldad local na prsnça d dnâmca não modlada /ou dstúrbos xtrnos. Acrscntando-s uma

47 Sção Introdução aos Controladors MRAC, VS-MRAC, B-MRAC DMARC 47 normalzação no trmo d aprndzado mantndo-s a modfcação σ, o sstma torna-s globalmnt stávl. A ntrodução da normalzação pod lvar a transtóros d adaptação dmasadamnt lntos. Apsar do comportamnto transtóro não sr totalmnt actávl, m algumas stuaçõs, o snal d control é suav, tornando-o adquado para a condção d rgm prmannt. O controlador VS-MRAC utlza a strutura do controlador MRAC, com a substtução das ls d adaptação ntgras por ls chavadas, caractrístcas do control a strutura varávl. O controlador VS-MRAC é globalmnt assntotcamnt stávl. O sstma é robusto para prturbaçõs dsconhcdas unformmnt lmtadas, com xclnt rsposta transtóra. Embora aprsnt um bom dsmpnho transtóro, o VS-MRAC possu um snal d control, m gral, lvado com chavamnto m alta frqüênca ( chattrng ), o qu pod dfcultar sua mplmntação prátca. o B-MRAC é utlzada uma l d adaptação com projção, a qual, com um alto ganho d adaptação, tnd à l chavada do controlador VS-MRAC. O controlador é globalmnt assntotcamnt stávl s o ganho d adaptação é sufcntmnt lvado o snal d control é rco m frqüêncas. Uma rápda rsposta transtóra rqur um alto ganho d adaptação, podndo lvar a pcos ncas lvados no snal d control. O DMARC é um algortmo ntr o VS-MRAC o MRAC com modfcação σ uma normalzação no trmo d aprndzado. A transção ntr o VS-MRAC o MRAC é fta, m tmpo ral, através da varação d um parâmtro (μ), na l d control, procurando ncorporar as vantagns d cada uma das stratégas. Assm, tm-s um controlador com as boas caractrístcas transtóras do VS-MRAC (rapdz poucas osclaçõs) as boas caractrístcas d rgm prmannt do MRAC (snal d control suav). Uma contrbução ncal dsta s surg na Sção.4., ond é fta uma análs prlmnar do controlador DMARC no plano d fas. st caso usou-s uma função gaussana para rprsntar o parâmtro μ.

48 48 Sção 3 - Controlador MRAC 3 COROLADOR MRAC a Sção antror foram abordados os controladors MRAC, VS-MRAC o DMARC para uma planta d ordm. Os três controladors aprsntam a msma strutura do control adaptatvo por modlo d rfrênca com ls d adaptação qu podm sr ntgras (MRAC), a strutura varávl (VS-MRAC) ou ambas (DMARC). sta Sção é dsnvolvda a strutura d control do MRAC, consdrando os casos d grau rlatvo untáro grau rlatvo n>. A abordagm aprsntada sgu (Araújo, 993) stá basada nos trabalhos d (arndra Valavan, 978), (arndra, Ln Valavan, 98) (Sastry, 984). O objtvo prncpal dsta Sção é ntroduzr a nclatura a strutura d control qu srão utlzadas nas Sçõs postrors. 3. IRODUÇÃO A técnca d control adaptatvo MRAC é consdrada uma das prncpas abordagns na ára do control adaptatvo (Astrom Wttnmark, 995), m partcular, os algortmos qu utlzam somnt mdçõs da ntrada saída da planta para ralzar o ajust dos parâmtros do controlador são d spcal ntrss prátco. O objtvo do MRAC é grar um snal d control d forma qu a saída do sstma m malha fchada s aproxm da saída d um modlo d rfrênca spcfcado (rastramnto). O squma d control é dstnado, torcamnt, a plantas nvarants no tmpo com parâmtros dsconhcdos é caractrzado por um controlador paramtrzado com um mcansmo d adaptação. 3. ESRUURA DE COROLE DO MRAC Consdr uma planta com parâmtros ncrtos, monovarávl (SISO), lnar nvarant no tmpo (LI) com função d transfrênca raconal strtamnt própra dada por ( s) () s p W ( s) = k p (3.) D p com ntrada u saída y, ond:

49 Sção 3 - Controlador MRAC 49 k p é o ganho d alta frqüênca. () s é um polnômo Mônco d grau n. D p () s é um polnômo Mônco d grau m. p O grau rlatvo é dado por n = n m. O modlo d rfrênca tndo a ntrada r a saída y m caractrzado pla função d transfrênca ( s) () s m M ( s) = k m (3.) D m ond: k m D m () s m () s é o ganho d alta frqüênca. é um polnômo Mônco. é um polnômo Mônco. O grau rlatvo n é o msmo da planta. m-s como objtvo dtrmnar u tal qu o rro d saída = y y m (3.3) tnda a zro assntotcamnt ou para um pquno conjunto rsdual m torno da orgm, para condçõs ncas arbtráras snas d rfrênca arbtráros, contínuos por part unformmnt lmtados r(t). São ftas as sgunts hpótss: H. - a planta é controlávl obsrvávl ( s são coprmos) com p grau[ D p () s ]=n grau[ ( s) ]=m, n m conhcdos; p ( s) H. - snal(k ) = snal(k p m), postvos por smplcdad; () H.3 - s é Hurwtz (W p ( s) é d fas mínma); H.4 - o modlo d rfrênca tm o msmo grau rlatvo da planta ( n = n m ); H.5 - apnas ralmntação d saída da planta é usada para grar u. São usados os sgunts fltros d ntrada saída da planta (arndra Valavan, 978) D p ()

50 5 Sção 3 - Controlador MRAC v& v& = Λv = Λv gu gy (3.4) ( si Λ) ond v prtncm a R n, Λ é scolhdo tal qu s é fator d dt. v Dfn-s o vtor rgrssor como m ( ) ω = [ v y v r] (3.5) O control é, ntão, paramtrzado da forma ond () t = [ () t () t () t ( t) ] v n v n rprsntada ssa strutura d control. ( t) ω( t) u = (3.6) é o vtor d parâmtros adaptatvos. a Fgura 3. stá n u r d M(s) W(s) y y m - v ( si Λ) g ( si Λ) g v n Fgura 3.: Estrutura do MRAC com planta dsconhcda. Sab-s qu, sob as hpótss antrors, xst um únco vtor constant tal qu a função d transfrênca da planta, sm prturbação na ntrada (d=), m malha fchada, (com u = ω ), d r para y, é M(s) (condção d casamnto )(Ioannou Sun, 996, Sção 6.3.). Obvamnt somnt pod sr conhcdo s a planta for conhcda. Quando sto

51 Sção 3 - Controlador MRAC 5 não é o caso () t é adaptado até qu ( t) quando t vntualmnt (sob condçõs () d rquza d snal) t. Sja [ A, b, h ] uma ralzação mínma da planta spcfcada m (3.) x R rspctvo vtor d stado. Então, tmos a sgunt rprsntação no spaço d stado da planta: n o x & = Ax bu b d y = h x (3.7) Dfn-s o vtor d stado do sstma formado pla planta plos fltros d ntrada saída da planta como [ x v v ] spaço d stado: X =, X R n o qu lva à sgunt rprsntação no (3.8) & X = A X bu b d ond A b A = Λ, b = g gh Λ b b = O vtor rgrssor ω pod sr scrto como: Dfnndo-s [ ] v I ω r ω = ond ωr = y = ΩX. r Ω = h v I =, o snal d control dal é ntão, spcfcado como: r v n v

52 5 Sção 3 - Controlador MRAC u = ω u = r ΩX nr Em (3.8) somando subtrando o trmo b u ncontra-s & [ ] A b r Ω X ( b n ) r ( b n ) ( u u ) b d X = n A c b b c c y = [ h ]X 3 h c (3.9) rsultando na sgunt rprsntação, m malha fchada, do sstma planta mas fltros d ntrada saída & = ( u u ) b d X Ac X bc r bc n (3.) y = h c X ond h = [ h ] c A = A c b r Ω = [ ] r,..., n bc = nb km n = > k p a condção d control dal ( u = u d = ), a função d transfrênca d r para y dv sr gual a M. Assm, [ A,b c c, h c ] é uma ralzação, possvlmnt não mínma, dttávl stablzávl d M(s) (Sastry, 984), ou sja, o modlo d rfrênca pod sr rprsntado como

53 Sção 3 - Controlador MRAC 53 X & m = A X c m b r, c m X y = h c m X R m 3n (3.) Dfnndo o vtor d rro d stado por = X - X m, tm-s a sgunt ralzação d stado para o rro & = b ( u u ) b d c Ac n = h c (3.) ) Dfnndo-s =, W h ( si A ) d = c c b n k como a função d transfrênca ntr a ) tm-s qu: prturbação d o rro d saída, quando u = u Wd = ( k M ) Wd ( u Wd d ) ) ( u ) Wd d = k M u = k M u (3.3) Rlmbrando qu na condção d control dal ( u = u = ), a função d transfrênca d r para y dv sr gual a M, o rro d saída dado por (3.3) pod sr rprsntada plo dagrama d blocos da Fgura 3. d r M(s) y m r d k W d n W d - M(s) u d W(s) y - k ( u u ) G (s) G (s) Fgura 3.: Estrutura do MRAC com parâmtros das.

54 54 Sção 3 - Controlador MRAC ond: k = = n G G () s k k p m () s () s. = = v ( si Λ) g. Λ () s Λ () s () s ( si Λ) g = = v n. () s ( s) Λ ( s) ( s) Grau[ ]=n-, grau[ ]=n- grau[ ]=n-. Portanto, é strtamnt própra G ( s) é própra. G Obsrvando-s o dagrama d blocos da Fgura 3., vê-s qu a prturbação na ntrada da planta pod sr dslocada (como mostrado na fgura), d forma a s obtr um dagrama quvalnt, dsd qu sja obsrvada a sgunt gualdad Wd = G (3.4) Utlzando a álgbra d dagrama d blocos no rtângulo tracjado da Fgura 3., () corrspondnt a M s, obsrva-s qu na condção d casamnto ( u = u d = ), a sgunt quação dv sr satsfta () s W ( s) () s W () s G () s M = n (3.5) G A partr d (3.5), nota-s qu para ocorrr o prfto casamnto ntr o modlo d rfrênca G () ( s) a planta, o controlador ( s G ) dvrá não só alocar os pólos m malha fchada, como também substtur os zros da planta plos zros do modlo. Est canclamnto d zros lva à rstrção d qu a planta sja d fas mínma. Até aqu nnhuma rssalva fo fta com rlação ao grau rlatvo da planta.

55 Sção 3 - Controlador MRAC MRAC COVECIOAL O caso n = aprsnta uma prova rlatvamnt smpls para a stabldad global do sstma dvdo à possbldad d s scolhr um modlo ERP (Estrtamnt Ral Postvo). Para n torna-s ncssára a ntrodução d um snal auxlar no sstma d control (Monopol, 974), com a fnaldad d s obtr um rro aumntado rgdo por um oprador ERP. Consdr um polnômo L(s) d grau =n - d forma qu M(s)L(s) sja uma função d transfrênca ERP. Sja o snal auxlar ( L u ω) ya = ML n L (3.6) ond n são stmatvas para (parâmtros d casamnto), rspctvamnt. O rro aumntado é dfndo como n a ( y ym ) ya = ya = (3.7) Da xprssão d (3.9) obtém-s ( ω) = ML ( L u ω) = M u L n n (3.8) Para garantr a stabldad global do sstma adaptatvo (arndra, Ln Valavan, 98) propusram a sgunt modfcação m y a [ n ( L L ) ω α a ( L ω) ( ω) ] ya = ML L, α > (3.9) O rro aumntado assum a forma ~ ~ [ ( L ω) n ( L L ) ω nα a ( L ω)( ω) ] a = ML L (3.) n

56 56 Sção 3 - Controlador MRAC ond [ c bc ] L( s) = hc ( si A) bc ()() s L s = h ( si A) M (3.) Ou sja, (,b, h ) A é uma ralzação não mínma d M(s)L(s). o spaço d stado tm-s c c c x& ~ ~ [ ( L ω) n ( L L ) ω nαa ( L ω)( ω) ] b c = Ac x L n = h a c x (3.) Para atualzar (t) n (t) são usadas as sgunts ls ntgras d adaptação & & = L a ( ω) = ( L L )ω n a (3.3) Assm o MRAC convnconal pod sr rsumdo como sgu na abla 3.. u = ω abla 3.. Algortmo d control MRAC convnconal. [ n ( L L ) ω α a ( L ω) ( ω) ] ya = ML L, α > a = - y a & = a & = n ( L ω) a ( L L )ω a análs d stabldad através da tora d Lyapunov, é comum o uso d funçõs dfndas postvas como canddatas a funçõs d Lyapunov, do tpo V = x Px. ormalmnt, o sstma é modlado através d funçõs d transfrênca ERP, d forma a sr possívl o uso do Lma d Kalman-Yakubovch (LKY). Para sss sstmas nuncarmos o Lma a sgur:

57 Sção 3 - Controlador MRAC 57 Lma 3.: Sja o sstma SISO (sngl nput- sngl output) s ( s) M ( s) u y = ond M(s) é uma função d transfrênca ERP (Estrtamnt Ral Postva) com ntrada u saída y, cuja rprsntação no spaço d stado é s x & = Ax bu ys = c x. Então para a função dfnda postva dada por V ) V & = x Qx u y. s = x Px, tm-s qu: ) S u é tal qu u <, ntão, y assntotcamnt, quando t. y s s ) Anda y s no mínmo xponncalmnt. Prova: Plo Lma d Kalman-Yakubovch (LKY), sndo M(s) ERP P=P > Q=Q > tal qu A P P A = Q Pb = c. Então, a drvada m rlação ao tmpo d V ao longo da solução do sstma é V & = ( x& Px x Px& ) = [( x A Px x PAx) ( b Pxu x Pbu & V = [ x ( A P x PA) x ( c xu x cu )] = x Qx rsultando m ). Agora, s u < tm-s qu V & x Qx u y < é dfnda ngatva, y s conclundo-s qu x, consqüntmnt y, tndm a zro assntotcamnt, o qu prova o ítm ). s = s D ), s u y s < usando a dsgualdad d Raylgh tm-s qu & = x Qx u ys < λmnq x V λ x max P V. u y s )] Dsta forma, V V V & > λ x > x V& mn Q > λmnq > λ o qu lva a λ. Então max P max P V& λmnq < V, garantndo a convrgênca xponncal d x consqüntmnt ys para λ max P zro

58 58 Sção 3 - Controlador MRAC Para o MRAC, a prova d stabldad global do sstma adaptatvo, da convrgênca a () y a () () para zro d t, t t basa-s na função d Lyapunov V ~ ~ ~ ~ ( x, ~, ) x Px k ( k ) n = n cuja drvada m rlação ao tmpo, ao longo d (3.) (3.3), (com o auxílo do Lma 3. () para o prmro trmo do lado drto da quação) é ~ ~ ( x,, ) = x Qx α ( L ω) ( L ω) V & (3.4) n a ~ ( x, ~, ) a qual é, somnt, sm-dfnda ngatva no spaço. O trmo com α m (3.4) garant qu &~ n n L, consttundo-s m um fato cntral para o rstant da prova. A convrgênca d para rqur, adconalmnt, qu a xctação sja rca m frqüêncas. Sastry aprsntou uma condção xplícta para a convrgênca d para trmos d raas spctras do snal d rfrênca r ( t) (Sastry, 984). m 3.4 COMEÁRIOS o MRAC, o algortmo é basado na stmação dos parâmtros contém ls ntgras d adaptação (quação (3.3)), o qu rsulta na falta d robustz à dnâmca não modlada dstúrbos xtrnos (Ioannou Kokotovc,984; Rohrs outros, 985). Uma sgnfcatva contrbução, para o caso d n =, fo fta por (Ioannou Kokotovc, 984) com a ntrodução do fator σ na l d adaptação, tornando-a da forma & = σ Γ ω (3.5) a qual garant, no mínmo, stabldad local na prsnça d dnâmca não modlada /ou dstúrbos xtrnos. Establdad global fo obtda dpos por (Ioannou sakals, 986), rtndo a modfcação antror ntroduzndo normalzação no trmo ω. O prmro trmo

59 Sção 3 - Controlador MRAC 59 do lado drto da gualdad pod sr ntrprtado como um fator d squcmnto o sgundo trmo, um fator d aprndzagm. A ntrodução d normalzação, no ntanto, pod lvar a transtóros d adaptação dmasadamnt lntos msmo com a xctação rca m frqüêncas, a qualdad do transtóro d adaptação (quando ( t) stá dstant d ( t) ) não é unform a convrgênca dos parâmtros adaptatvos é muto lnta. Apsar do comportamnto transtóro não sr totalmnt actávl, m algumas stuaçõs, o snal d control é suav, tornando-o adquado para a condção d rgm prmannt.

60 6 Sção 4 Controlador VS-MRAC 4. COROLADOR VS-MRAC A stratéga d control adaptatvo do VS-MRAC utlza a strutura do controlador MRAC, da sção antror, com ls d adaptação a strutura varávl para os parâmtros d adaptação, com ralmntação apnas da saída da planta. Para o caso d grau rlatvo untáro, fo dsnvolvda d uma forma rlatvamnt smpls, uma l a strutura varávl m substtução à l d adaptação ntgral do MRAC (Hsu Costa, 987, 989). O rro d saída () t s torna uma suprfíc dslzant no spaço d stado do sstma. Para o caso d n dfculdads adconas surgm, uma vz qu não s pod scolhr um modlo d rfrênca ERP. Para soluconar st problma, é utlzado um oprador L () s para compnsar o grau rlatvo xcdnt da planta, scolhdo d forma qu a função d transfrênca ()() s L s M sja ERP. Uma cada d rros auxlars fo ntão, ntroduzda d forma a s consgur o rastramnto do modlo (Hsu, 99; Hsu, Araújo Costa, 994; Hsu, Lzarrald Araújo, 997). Mas rcntmnt, para compnsar o grau rlatvo da planta, fo proposta uma ralzação aproxmada do oprador L ( s) (não-causal), por um compnsador utlzando um fltro lnar m avanço (Pxoto, Lzarrald Hsu, ). Em (uns, Hsu Lzarrald, 6) o compnsador é grado por uma combnação convxa d um fltro lnar m avanço d dfrncadors xatos, basados m modos dslzants d ordm supror (Lvant, 3). sta sção, sgundo (Araújo; 993), é rvsado o dsnvolvmnto do VS-MRAC proposto m (Hsu, 99) o algortmo VS-MRAC compacto aprsntado m (Hsu, Araújo Costa, 994) (Hsu, Lzarrald Araújo, 997) cuja strutura srá utlzada no dsnvolvmnto do DMARC com n. 4. VS-MRAC COM n O VS-MRAC fo dsnvolvdo por (Hsu Costa, 989) no ntuto d buscar um controlador robusto m rlação às ncrtzas da planta com um dsmpnho transtóro sgnfcatvamnt mlhor qu os obtdos com os algortmos basados m dntfcação d parâmtros. Para o caso d n =, a solução fo substtur as ls ntgras d adaptação por ls d adaptação a strutura varávl, tornando o rro d saída () t uma suprfíc dslzant no spaço d stado do rro do sstma. A l d adaptação é dada por

61 Sção 4 Controlador VS-MRAC 6 ond Θ = dag( ), _ >,,..., n _ ( ) = Θsgn ω (4.) = ( ) [ sgn( ω ),...,sgn( )] sgn ω = ωn. Para o caso d n (Hsu, 99), é ncssára a ntrodução d uma cada d rros auxlars para o rastramnto do modlo. São ftas as hpótss H.-H.5 da sção 3. adcona-s: H.6 - ncrtzas paramétrcas unformmnt lmtadas. Consdr um polnômo L(s) d grau = n, d forma qu M(s)L(s) sja uma função d transfrênca ERP, dfndo como L L ( s) L ( s)...l ( s) () s ( s δ ) = ; = n =, δ R δ > ; =,..., Sjam os sgunts snas fltrados (vd Fgura 4.) ξ (... L ) ω L, =,,..., = ( L...L ) u ξ = ω χ =, =,,..., χ = u u = χ ω = ξ χ L L L ξ χ ξ χ ξ χ = L ξ = L u ω Fgura 4.: Gração dos snas auxlars fltrados do VS-MRAC compacto. Rscrvndo a quação do rro d saída com a nova nclatura dos snas auxlars tm-s ( χ k ) ML k ξ = (4.)

62 6 Sção 4 Controlador VS-MRAC O snal adconal y a, qu também pod sr ntrprtado como uma prdção d (Hsu, Araújo Costa, 994), é rdfndo, a partr d (3.6), como y a [ κ χ ] = ML ; u = ω (4.3) ξ ond corrspond a, κ corrspond a n um novo vtor d parâmtros fo ntroduzdo m contrapartda a stmatvas d k k, rspctvamnt. Assm, o rro aumntado a ( y ym ) ya = ya forma n. Comparando-s (4.) com (4.3), tm-s κ como =, torna-s o rro d prdção assum a a [ χ ξ n ( κ χ ξ )] = k ML (4.4) quando qu Como ML é ERP dtrmna-s ls chavadas para κ t, vntualmnt através da suprfíc dslzant a ( t). Utlzando-s o Lma 3. com s a tas qu ( t) y =, u = k ( χ ξ ) ( κ χ ) tm-s ξ a ( χ ) ξ a ( κ χ ξ ) a u ys = k ( k k ) χ a kχ a κ χ a k ξ a a u ys = ξ (4.5) ond k é um valor nal para k. As sgunts ls são dfndas: ( ) j = j sgn ξ a ; j =,..., n (4.6a) ( a ) k κ k sgn (4.6b) = χ com os lmtants suprors > j k j ; j,..., n = (4.7a)

63 Sção 4 Controlador VS-MRAC 63 k > k k (4.7b) d forma qu < u, consqüntmnt, ( t) y s a quando t. Com stas dfnçõs, obsrvando-s (4.7b), (4.6b) a manpulação fta m (4.5), k pod sr vsto como um lmt para a ncrtza m k, nquanto k é um valor nal para k. Para mostrar qu a () t é uma suprfíc dslzant alcançada m tmpo fnto, consdra-s a sgunt rprsntação por varávs d stado do sstma (4.4) (usa-s (3.)) x& = A x c k b ' c [ χ ξ n ( κ χ ξ )] = h a c x (4.8) Vrfca-s d (4.8) com o uso d (4.6) (4.7) qu ond k >, > a b a a a [ k x k ( Δk χ Δ )] & (4.9) a b m ξ k, < Δk ( k k k ) < Δ mn ( k ). m j=,..., n j j Portanto, s a condção (4.7) é satsfta, x a tndm a zro no mínmo xponncalmnt, s Δ k χ Δm ξ c >, ntão a& a < a& a < λ a com λ > t t, t fnto. Conclu-s ntão, qu ( t) m tmpo fnto. st caso, o control quvalnt, é spcfcado por a é uma suprfíc dslzant é alcançada ( κ χ ξ ) k ( χ ξ ) (4.) q Para o modo dslzant dal ( () t a ), x ( t) = x ( t), ond ( t) x é uma solução d ' ' [ I bc ( hc bc ) hc ] Ac x x& =, h ( ) = (4.) c x

64 64 Sção 4 Controlador VS-MRAC cssta-s, agora, dfnr a l d chavamnto para ( ) d forma a s obtr ( ω) ω q, consquntmnt, o rastramnto do modlo. Para tal, são ntroduzdas duas cadas d parâmtros auxlars ( ; =,,..., χ ; =,,..., ) uma cada d rros auxlars ( ; =,,...,, = a ). Os rros auxlars são dfndos d forma a srm rgdos plas funçõs d transfrênca ERP L ( s). Assm, as ls d chavamnto para κ são scolhdas com o ntuto d s obtr, vntualmnt através das corrspondnts suprfícs dslzants. Sjam os parâmtros > ; j =,..., n ; =,,..., j k j > ; j =,..., n (4.) j j k > k k os snas u = κ χ ξ, =,,..., u = ξ = ω (4.3) ond j j ( ) = sgn ξ ; j =,..., n ; =,,..., j j ( ) = sgn ξ ; j =,..., n (4.4) ( ) k κ = k sgn χ ; =,,..., Os rros auxlars são dfndos como ( u ) L ( u ) = ; =,,..., q ( u kχ ) kχ = q (4.5)

65 Sção 4 Controlador VS-MRAC 65 ond ( ) q t. u é o control quvalnt assocado ao modo dslzant ( ) Ests rros podm sr rscrtos como = k L ( χ n ) ξ u π ( ) = k L u ξ π ; =,,..., (4.6) ou, consdrando qu L () s = s δ, =,..., ( χ n ) ξ u π, δ ( ) k u ξ π = δ k & ; =,..., & = (4.7) ond π ( =,..., ) são snas qu tndm xponncalmnt a zro, dfndos como π = L [ n ( hc b c ) hc Ac x ] π ; =,..., = Lπ (4.8) A dfnção d π nvolv o oprador L, portanto, para qu π tnda xponncalmnt para zro, dv-s utlzar ( ) q ao nvés d ( ) q na xprssão do rro auxlar. Para s analsar a convrgênca dos rros auxlars scolh-s V ( ) = ; =,..., (4.9) ncontra-s V& n j= ( ) = δ k χ ( k k ) χ j ξ j k j ξ j k π =,..., ; (4.)

66 66 Sção 4 Controlador VS-MRAC V& n ( ) = δ k j ξ j j ξ j k π j= Anda, d (4.7), (4.4) (4.) [ δ ( Δk χ Δ m ξ ) k π ] & = [ δ k Δ ξ k π ] & = ; =,..., m (4.) ond < Δ mn ( k ) < Δ ( ) m j=,..., n j j. mn m j j j=,..., n u = u ξ = ω, d (3.) com d = dfnndos ambém, a partr d (4.7) com = b c, ncontra-s c ( Ac δ I ) bc k bcπ & = A (4.) Analsando-s (4.), como xponncalmnt para zro, conclu-s qu ( t) xponncalmnt. Como () t = hc ( t), ( t) sstma são Dsd qu, { A} X g( t) X & A c é xponncalmnt stávl π tndm consquntmnt () t tndm a zro também tnd a zro xponncalmnt. ' u = = ω, com = sgn( ξ ), todas varávs d stado do u j j L. a vrdad, a corrspondnt nclusão dfrncal é da forma, sndo X o vtor d stado corrspondnt à planta mas os fltros. odos lmntos A do conjunto matrcal { } A satsfazm a K A ( t) K g, t. Assm X () t não pod crscr mas qu uma função xponncal, consquntmnt, os rsultados d convrgênca para os rros auxlars para o rro d saída são váldos ndpndntmnt d ω (Hsu, 99). O algortmo d control, dsnvolvdo até agora, fo dnado d VS-MRAC (Araújo, 993) ncontra-s rsumdo na abla 4.. O VS-MRAC possu as sgunts proprdads (Hsu, 99): a) odos os snas do sstma são unformmnt lmtados;

67 Sção 4 Controlador VS-MRAC 67 b) os rros ( =,,..., ) convrgm para zro, no mínmo xponncalmnt, o rro d saída convrg a zro xponncalmnt; os rsultados da convrgênca ndpndm d r(t); c) s ξ ( t ) > c, c >, é válda t t () = t, t ts, =,,..., ;, t fnto, ntão xst d) s um dstúrbo dsconhcdo unformmnt lmtado () t t t fnto, tal qu s d, d ( t ) d, atua na ntrada da planta, todos os snas no sstma prmancm unformmnt lmtados o rro d saída é ultrormnt lmtado por k d d, k > ; d ) s m d) também tmos, ξ ( t ) > cd, t t, t fnto c uma constant postva adquada, ntão, a proprdad c) é válda o rro d saída convrg xponncalmnt a zro como m b). As proprdads (d) (), rfrnts aos ftos d dstúrbos na ntrada da planta, são consdradas, scrvndo-s a partr d (3.3) ( nld ) ~ ω = k M u (4.) ond L d~ = W d d. Dsta forma rscrv-s (4.) como ( d ~ k ) = ML k χ (4.3) ξ com y a dado por (4.3), tm-s a ~ = k ML[ χ ξ ] d (4.4) n ( κ χ ξ ) n d b Como dfndo na sção 3., W = hc ( si Ac ) ) é a função d transfrênca ntr a prturbação d o rro d saída, quando u = u = ω (vd Equação (3.3) Fgura 3.).

68 68 Sção 4 Controlador VS-MRAC Sndo n o grau rlatvo d W ) d M nvrsamnt stávl, Wd ( k M ) Wd ) = é uma função d transfrênca própra stávl d ~ d ~ L são unformmnt lmtados. Portanto, ( u ) k ( ) d ~ χ q ξ ( u ) k ( ) L...L d ~ ξ χ ; =,..., (4.5) q ( u) ( ) Ld ~ = ξ ξ q q n Uma análs smlar ao caso sm prturbação pod sr fta, s a condção ξ c d ( t t, c > ) é satsfta, todos os rros auxlars convrgm no mínmo xponncalmnt para zro o rro d saída convrg xponncalmnt para zro. abla 4.: Algortmo d control VS-MRAC. u u = κ χ ξ ; =,,..., = ξ u = u y a = ML[ u ] a = y ym = y a = a ( u ) L ( u ) = ; =,,..., q ( u k χ ) kχ = j j ( ) q = sgn ξ ; j =,..., n ; =,,..., ( ) k κ = k sgn χ ; =,,..., > ; j =,..., n ; =,,..., j j k j > ; j =,..., n k > k j k

69 Sção 4 Controlador VS-MRAC VS-MRAC COMPACO COM n A partr do VS-MRAC, fo dsnvolvdo o VS-MRAC compacto, ond são ncssáros apnas n rlés d ampltud modulada, ao nvés dos n ( ) n VS-MRAC. As ampltuds das funçõs d modulação dos rlés podm sr rduzdas, s é conhcdo algum modlo nal para a planta. st caso, pod-s dtrmnar um vtor d parâmtros nas (dalmnt projtado para vncr a ncrtza ntr. = ) d forma qu o lmtant supror é Um aspcto rlvant, fo a constatação d qu a análs d stabldad para plantas com ganho d alta frqüênca ( k p ) dsconhcdo, podra sr snsvlmnt smplfcada, consdrando k p conhcdo consdrando o fto da ncrtza d k p, como um dstúrbo na ntrada da planta. A rjção d dstúrbos na ntrada da planta pod sr faclmnt rsolvda com o VS-MRAC (vr fnal da sção 4.). As funçõs d modulação são projtadas (supondo k p conhcdo) d tal forma qu o dstúrbo, corrspondnt à ncrtza m k p, sja rjtado. Dfn-s do ( ω ω) u = (4.6) ond é um vtor d parâmtros nal obtdo com algum modlo nal da planta. Idalmnt, =, nst caso, rprsnta a ncrtza ntr. Dsta forma, o valor d é dado por ( ) =. O rro d saída é, ntão, rscrto a partr d (3.3) (com u = ω d = ) (4.6) como = k M k ML k ( ω ω ω) k L ω k ( ) ω = k L (4.7) Os sgunts parâmtros são dfndos:

70 7 Sção 4 Controlador VS-MRAC k > é um valor nal para k p k = / n =, assum-s k. k m k ρ = >, no caso dal ρ =. k k k κ = = ρ. k Então, d (4.6) tm-s qu L ω = L u L ω = χ ξ, rsultando m ond o oprador ( s) d transfrênca ERP. ( ρχ ρ( ) ξ ρ ) = k ML (4.8) ξ L d grau = n Dfn-s a prdção do rro d saída como é scolhdo d forma qu ()() s L s M sja uma função y a [( κ ) χ ξ ( κ ) ξ ] y = k ML a = k ML [ κ ( χ ξ ) ξ L ( u ω) ] (4.9) ond ( ) κ são stmatvas para ρ ( ) ρ, rspctvamnt. Dfn-s o rro d prdção a partr d (4.8) (4.9) como a a = k = k ML [( ρ κ ) χ ρ( ) ξ ξ ( ρ κ ) ξ ] [ κ ( χ ξ ) ξ ( ρ )( χ ξ ) ρ( ) ξ ] ML (4.3) Vê-s qu o rro d prdção é rgdo plo oprador ML qu é ERP. Plo Lma 3., dfnndo-s a canddata a função d Lyapunov V = a Pa, para qu o rro d prdção tnda a zro dv-s tr k [ ( χ ) ( )( ) ( ) a ] ξ a ρ χ ξ a ξ a ρ ξ < κ (4.3) Para satsfazr a dsgualdad m (4. 3) dtrmna-s os snas κ como

71 Sção 4 Controlador VS-MRAC 7 [ ( χ )] κ =, k > κ, κ = ρ k sgn a ξ ( ) j = j sgn aξ j, j > ρ j j, ; j =,..., n (4.3) Assm, o snal d control qu faz com qu a tnda para zro assntotcamnt, é dado por u ( χ ξ ) = (4.33) κ ξ Dfnm-s ntão, os sgunts snas u ( χ ξ ) = κ ξ ; =,,..., u = ξ (4.34), adconalmnt os sgunts parâmtros j > ρ ; j =,..., n ; =,,..., j, j j > ; j =,..., n (4.35) j, j k > κ A rdução do númro d rlés é obtda rscrvndo (4.34) com o uso d (4.33) como sgu n u = k j j sgn χ ξ ξ ; =,,..., ; j =,..., n j= n u = j ξ j sgn ; j =,..., n j= (4.36) Usando (4.33) fazndo colocada da sgunt forma u = u u m (4.9), a prdção do rro d saída é y a [ L u ] = k ML u (4.37)

72 7 Sção 4 Controlador VS-MRAC m-s, ntão, o algortmo para o VS-MRAC compacto rsumdo na abla 4. sua rprsntação m dagrama d blocos lustrada na Fgura 4.. abla 4.: Algortmo d control VS-MRAC compacto. u = y a = k u u ML u [ L ( u )] a ( y ym ) ya = ya = = a ( u ) L ( u ) = ; =,,..., q n f = k χ ξ ξ ; =,,..., f = n j= j ξ ( ) j j= j u = f sgn ; =,,..., j n, n, k ML / L (). q ( u ) q ' ( u ) q (.) q ' / L / L Fgura 4.: Dagrama d blocos do VS-MRAC compacto ( = n ).

73 Sção 4 Controlador VS-MRAC 73 Obsrvação: ota-s da Fgura 3., qu xst um snal d control dal na prsnça d um dstúrbo lmtado na ntrada da planta dado por u = ω W d, qu garant o prfto casamnto ntr a saída da planta a saída do modlo. Assm, é razoávl rstrngr a class d snas d control admssívs a srm consdrados a snas qu obdcm à dsgualdad d sup u t ( t) kω sup ω( t) kδ ; t (4.38) t ond k ω k δ são constants postvas. Esta condção é cornt com a função d modulação f aprsntada na abla 4. garant qu todos os snas do sstma prtncm ao L. 4.. Efto na Incrtza m k p Com o ntuto d smplfcar as dmonstraçõs d stabldad do VS-MRAC, um fato mportant fo a constatação d qu a análs d stabldad s torna razoavlmnt smplfcada quando s conhc k p. Sab-s também qu o VS-MRAC é capaz d rjtar dstúrbos lmtados na ntrada da planta (proprdads (d) () do VS-MRAC). Dsta forma o fto da ncrtza m k p é ncorporado como um dstúrbo na ntrada da planta. As funçõs d modulação dos rlés são, ntão, formuladas (supondo k p conhcdo) d tal forma qu st dstúrbo sja rjtado (Hsu Lzarrald, 99). Consdr uma planta com função d transfrênca ( s) n p k p ond k d p é o ganho p () s d alta frqüênca. S k p = kn Δk, ond k n é algum valor nal d k p Δ k é a ncrtza m k p, pod-s scrvr y = k n n d p p ( s) () [ u Δ u] s Δ u = Δk kn u = κu (4.39) Dsta forma, a ncrtza m k p é consdrada através do dstúrbo Δ u. ot qu não s dspõ d nnhum lmtant supror para Δ u, uma vz qu l dpnd do snal d control

74 74 Sção 4 Controlador VS-MRAC u. Porém, dsd qu a condção d casamnto é satsfta, pod-s supor qu a dsgualdad m (4.38) é atndda, o qu garant qu todos os snas do sstma prtncm ao L. Anda, Δ u não é ncssaramnt uma função d t (no sntdo usual) quando ocorr o dslzamnto. Dnota-s Δ u() t, como uma função localmnt ntgrávl (no sntdo d Lbsgu) o qu é quvalnt a Δ u no sntdo d control quvalnt ao longo d qualqur solução d Flpov do sstma m malha fchada. Em s tratando d sstmas dscrtos por quaçõs dfrncas com lado drto dscontínuo, é assumda a dfnção d Flppov, qu stnd a tora d Lyapunov para sstmas dscontínuos (Flppov, 964). n p s Obsrvação: st contxto, o vtor é obtdo da planta k p o vtor d s k n n d p p () s () s. Para sta últma planta, tm-s k k = k = n, n m. p ( ) () da planta A convrgênca dos rros auxlars ( ; =,,..., ) para zro m tmpo fnto pod sr vrfcada a partr do Lma a sgur (Hsu, Araújo Lzarrald, 993). Lma 4.: Consdr a sgunt rlação ntrada-saída () t = H ( s) [ u ( t) d ( t) π ( t) ] (4.4) ond () t é o snal d saída, ( s) própra, d () t é uma função LI, ( t) λ t sja, π () t = R para alguns scalars postvos R dscontínua dada por u () t = f () t sgn( ( t) ) ( t) ( Fgura 4.3 ). H é uma função d transfrênca ERP strtamnt π é uma função LI xponncalmnt dcrscnt, ou λ, ( t) u é uma função d ntrada f é uma função d modulação do rlé

75 Sção 4 Controlador VS-MRAC 75 π () t d () t ( s) H () t u () t f ( t) Fgura 4.3: Dagrama d blocos para o Lma 4.. S t, f () t d () t ε, ε é uma constant postva arbtrára, ntão ( t) para zro m algum tmpo t s prmanc zro para todo t ts. va Prova: Consdr a sgunt rprsntação por varávs d stado d (4.4) x& = A x b ( u d π ) = h x (4.4) Dfnndo-s a função canddata à função d Lyapunov V = x Px ; P = P > (4.4) tm-s plo Lma 3. usando u ( t) = f ( t) sgn( ( t) ) ( d ) V & = x Qx f π ; Q = Q > (4.43)

76 76 Sção 4 Controlador VS-MRAC S t, f d ε, ε >, ntão, V & < x Qx < ( x ) m algum tmpo fnto t = t s (por hpóts, π tnd xponncalmnt para zro). Logo, xponncalmnt () t tnd, no mínmo xponncalmnt para zro. x tnd a zro Para vrfcar s = é uma suprfíc dslzant, a sgunt dsgualdad é scrta a partr d (4.4) [ K x K ( f d π )] = & ; K, K > (4.44) Como x convrg para zro xponncalmnt, xst um tmpo > fnto tal qu t, < & ε <, com ε > ( ). Portanto s = = h x = é uma suprfíc dslzant é alcançada m tmpo fnto ( & < ε < é a condção d alcançabldad). Assm o snal ' () t alcança zro m algum tmpo t prmanc m zro para todo s t t s. Consdrando o caso m qu o ganho d alta frqüênca é conhcdo qu xst um dstúrbo na ntrada da planta, os rros auxlars são dados por = kml [ u L ( u u W d )] ( u ) L ( u ) q = ; =,..., d (4.45) ond planta u = ω r é a l d control dal qu garant o prfto casamnto ntr a r r n, () s () s n p kn o modlo d rfrênca. d p Uma rprsntação m varávs d stado para pod sr dada por c c [ u L ( u u W d )] x & = A x k b = h c x d (4.46)

77 Sção 4 Controlador VS-MRAC 77 Dpos d algumas manpulaçõs algébrcas rcursvas ( =,,..., ) m (4.45) ncontra-s = L [ u ( L...L ) ( u u W d d ) π ] = L [ u ( u u W d ) π ] d ; =,..., (4.47) ond π = L [ n, ( hc b c ) hc Ac x ] π ; =,..., = Lπ (4.48) x é uma solução d = [ I b c ( hc b c ) hc ] Ac x x&, ( ) = h (4.49) c x Dsta forma, plo Lma 4., pod-s dfnr as funçõs d modulação dos rlés como f ( L...L ) ( u u Wd d ) ε, ε > ; =,..., f u u W d ε ; ε > d (4.5) fazndo com qu os rros auxlars ( =,..., ) tndam a zro m tmpo fnto. A análs d stabldad do sstma é fta, consdrando o rro d saída do sstma (3.) (3.3) para a planta nal com dstúrbo d ntrada d. st caso, tm-s a ntrada u () t dada por u = u u ; u = ω r (4.5) r, n, ou sja

78 78 Sção 4 Controlador VS-MRAC c c [ u ( u u W d )] & = A k b = h c d (4.5) A xprssão [ u ( u u W d )] (4.47). Dsta forma, d (4.5), dfnndo = k bc tm-s d, pod sr xplctamnt dtrmnada d c [( A δ I ) b b π ] & = A k (4.53) c c c Como A C é xponncalmnt stávl ( t) ( t) zro, () t, consqüntmnt, ( t) () t = h () t π tndm xponncalmnt para tndm xponncalmnt para zro. Sndo, conclu-s qu () t também tnd xponncalmnt para zro. c as Equaçõs dos rros auxlars (4.45), são consdrados dstúrbos gnércos na ntrada da planta, sgundo o Lma 4., funçõs d modulação adquadas podm sr ncontradas para os rlés, d forma a rjtar st dstúrbo. Agora, consdra-s o caso d dstúrbos qu rsultam da ncrtza no conhcmnto d k p dados por (4.39). D forma análoga a (3.4), dfn-s a sgunt rlação W ( s) G ( s) = (4.54) d, ond G () s = ( si Λ) g, v, com R n v, G, ( s) é a contrbução do fltro da ntrada u para a condção d casamnto quando a planta é nal com k p conhcdo. Sndo o snal d control dado por u = u u ( u = ω r ) Δ u r, r n, dfndo como m (4.39) W d como m (4. 53), tm-s para os rros auxlars = L = kml{ u L [ u u κ ( G, ) u] } { u ( L...L ) [ u u κ ( G, ) u] π } = L { ρ u [ u u κ ( G ) u] π } ; =,...,, (4.55)

79 Sção 4 Controlador VS-MRAC 79 Consdrando o caso m qu s conhc um valor nal para o ganho d alta frqüênca ( k n ), um modlo nal para a planta pod sr spcfcado como W n p () s n () s = kn. Da Fgura 3. substtundo os trmos (.) d () por ( ) s p., pod-s dtrmnar, d uma forma smlhant a (3.5), os parâmtros d casamnto para a planta nal ( u = u d = ) da forma M () s Wn ( s) () s W () s G () s = n, G (4.56), n, Para a planta nal k k = k = n, n m s k n é conhcdo, k = k. Por dfnção k ρ = consdrando qu k n k ( ) () é conhcdo tm-s k p k k k m p ρ = = =, n p s consquntmnt, Wn () s = kn = ρ W () s. Com st rsultado comparando-s (3.5) d s com (4.56), as sgunts rlaçõs são obsrvadas p k k n k m k n = ρ. n, n G, G G =. = ρg. n, n u = nr G y G u ; u = r G y G u logo u = ρu κg u. n,,, k no algortmo para k p conhcdo é quvalnt a k para o algortmo k p dsconhcdo. Os rros auxlars tornam-s ntão = L = kml{ u L [ κ( u u ) ρ( u u )]} { u ( L...L ) [ κ ( u u ) ρ( u u )] π } = ρl [ u ( u u ) ρ π ] ; =,..., (4.57)

80 8 Sção 4 Controlador VS-MRAC ou, usando a nclatura dos snas auxlars da Fgura 4. = L = k { [ κ ( χ ξ ) ρ( ) ]} ML u { u [ ( ) ( ) ] } κ χ ξ ρ ξ π = [ ( ) ] = ρl u ω ρ π ξ ;,..., (4.58) Com st rsultado, plo Lma 4., dfn-s as sgunts condçõs para as funçõs d modulação: f ( χ ξ ) ρ( ) ξ ε κ, ε > ; =,..., f ( ) ω ε =, ε > (4.59) Assm, utlzando-s os majorants da Equação (4.35), tm-s uma possívl mplmntação para as funçõs d modulação como sgu: f n k χ ξ ξ ε, ε > ; =,..., f n j= j= j j j j = ω ε, ε > (4.6) D uma forma mas gnérca, pod-s consdrar qu m adção ao dstúrbo causado plo não conhcmnto do ganho d alta frqüênca, tm-s um dstúrbo xtrno unformmnt lmtado na ntrada da planta obdcndo a dsgualdad ( t) d ( t) d ; t (4.6) As funçõs d modulação d (4.6) são spcfcadas d modo qu os dstúrbos, rsultants do dsconhcmnto d k p, sjam rjtados. O dstúrbo adconal na ntrada da planta pod sr também rjtado, adconando-s às funçõs d modulação d (4.6) os trmos rsponsávs pla rjção da prturbação na ntrada da planta, spcfcados nas

81 Sção 4 Controlador VS-MRAC 8 funçõs d modulação d (4.5). Assm, as sgunts dsgualdads para as funçõs d modulação são stablcdas: f ( χ ξ ) ρ( ) ξ ( L L ) Wd d ε κ..., ε > ; =,,..., f ( ) ω Wd d ε =, ε > (4.6) Obsrva-s qu para a mplmntação das funçõs d modulação d (4.6) é ncssáro dtrmnar snas majorants para os snas z ( =,,..., ) dfndos como z ( L...L ) Wd d = ; =,,..., z = W d d (4.63) Usando a Equação (3.4) o fato d qu G, G =, tm-s ( L...L ) ( G ) d z = ( G ) d ; =,,..., z = (4.64) Os pólos da função d transfrênca G são conhcdos dados por dt( si ) g Λ. Dsta forma, os majorants d z ( (Ioannou sakals, 986; Hsu, Araújo Lzarrald, 993). =,,..., ), podm sr dtrmnados plo sgunt Lma Lma 4.: Consdr a sgunt rlação ntrada saída ( s) d z = W (4.65) ond W () s é uma função strtamnt própra stávl, z d são snas scalars σ uma constant postva qu satsfaz a rlação

82 8 Sção 4 Controlador VS-MRAC j ( p ) σ mn R (4.66) j ond p são os pólos d W () s. j Consdr, também, um snal dˆ ( t) tal qu dˆ σ = (4.67) s σ () t d () t ond d () t é um lmtant nstantâno supror d ( t) d, ou sja, d ( t) d ( t) ; t (4.68) Então xst uma constant postva c tal qu ( t) cdˆ ( t) xp z ; t (4.69) ond xp é um trmo qu dpnd das condçõs ncas tnd xponncalmnt para zro com uma taxa d dscamnto σ. Prova: Rport-s a (Ioannou sakals, 986). Agora, s for ncluído o trmo xponncal do lma 4. nos snas π das quaçõs dos rros auxlars s for utlzado um majorant constant para a prturbação d, ou sja, ( t) d d ; t ; d (4.7) usando-s o Lma 4., as funçõs d modulação podm sr mplmntadas, a partr d (4.6) como

83 Sção 4 Controlador VS-MRAC 83 f n k χ ξ ξ c d ε, ε > ; =,..., f n j= j= j j j ω j c d ε, ε > (4.7) ond as constants c ( =,,..., ) c são os ganhos máxmos no domíno da frqüênca das funçõs d transfrênca ( L...L ) ( G ) ( G ) Assm, consdrando o dstúrbo na ntrada da planta dado por, rspctvamnt. d ( t) u d ( t) = Δ (4.7) com Δ u spcfcado m (4.39) d ( t) obdcndo a (4.67), tm-s plo Lma 4. qu s as condçõs d (4.7) são satsftas, todos os rros auxlars ( =,..., ) tndm a zro m tmpo fnto. Procdndo d forma smlhant ao caso m qu s tnha, apnas, uma prturbação lmtada na ntrada da planta (Equaçõs (4.5)-(4.53)), conclu-s qu ( t) também tnd xponncalmnt para zro. 4.. Efto dos Fltros d Valor Médo na Gração dos Controls Equvalnts a análs da convrgênca dos rros auxlars da stabldad do sstma fta m (Hsu, 99), fo suposto qu os snas ( ) q ram mnsurávs com rros qu, juntamnt com suas drvadas, tndam a zro quando t. a prátca, os controls quvalnts são mplmntados por ntrmédo d fltros d valor médo (como lustrado na Fgura 4.4) os ftos dsts fltros, nas proprdads d convrgênca dos rros auxlars na stabldad do sstma, dvm sr consdrados.

84 84 Sção 4 Controlador VS-MRAC r n, MODELO y m f RELÉ u _ u u d n, PLAA f RELÉ y / L y a k ML u - _ / F RELÉ f _ / F _ / L / L Fgura 4.4: Dagrama d blocos do VS-MRAC compacto com fltros d valor médo para a gração dos controls quvalnts ( = n ). a análs d convrgênca dos rros auxlars ( =,..., ) ncssta-s do Lma 4. adconalmnt do Lma 4.3 nuncado a sgur: Lma 4.3: Consdr a sgunt rlação ntrada-saída (Fgura 4.5) () t = L ( s) [ u ( t) d( t) ] β ( t) π ( t) (4.73) ( t) ( t) β π d() t - L ( s) ' () t u () t f ( t) Fgura 4.5: Dagrama d blocos para o Lma 4.3.

85 Sção 4 Controlador VS-MRAC 85 ond () t é o snal d saída, L () s = ( s δ ) ( δ > ), ( t) funçõs absolutamnt contínuas ( t) λ t π () t R para alguns scalars λ R, ( t) dada por u () t = f ( t) sgn( ( t) ) ( t) S d é uma função LI, () t β ( t) π são π é xponncalmnt dcrscnt, ou sja, u é uma função d ntrada dscontínua f é uma função LI postva. t, f () t d() t, ntão, os snas ( t) ê = ( t) β ( t) : são lmtados por α ( ) t mn α, λ t ê () ( ) () t ê R sup β t t> (4.74) Prova: A dmonstração basa-s no Lma da comparação (Flppov, 964). Para uma dmonstração vr (Hsu, Lzarrald Araújo, 997). A mplmntação dos controls quvalnts é fta usando-s fltros passa-baxa com frqüêncas d cort sufcntmnt lvada (fltros d valor médo). Os fltros possum função d transfrênca da forma F ( τ s), ond F ( s) = ( s ) τ ( τ > ) são polnômos strtamnt Hurwtz com constant d tmpo τ sufcntmnt pqunas (Utkns, 978). Consdra-s o caso m qu o ganho d alta frqüênca é conhcdo qu xst uma prturbação gral d ntrada dada por ( t) d ( t) = u( t) d ( t) d = d κ u as quaçõs dos rros auxlars são xprssas, a partr d (4.45) substtundo ( ) F ( ) u, da sgunt forma u por q [ u L ( u u W d )] = k ML ( u ) L ( u ) = F ; =,..., d (4.75) ond u = ω r é o control dal qu fornc a condção d casamnto para a r n, () () n p s planta nal Wn () s = kn com d =. d s p

86 86 Sção 4 Controlador VS-MRAC A quação dnâmca qu govrna pod sr rprsntada por x& = A x k b [ u L ( u u W d )] c c = h c x d (4.76) A partr d (4.5) a quação dnâmca qu govrna o rro d saída do sstma, consdrando qu xst uma prturbação gral d ntrada d = d () t d () t = κ u( t) d ( t) pod sr xprssa como u & = A k b [ u ( u u W d )] c c = h c d (4.77) A sgur, s ntroduz uma nova notação para os snas, da forma: U = ω logo u = U n, r. r, r U r, = ω logo u = U r. r n, r U = ω logo u = U r. r n U k = U U, n r Wd d. u = u U n, r. Dsta forma os rros auxlars podm sr xprssos a partr d (4.75) da sgunt forma: = k ML ( u ) L ( u ) [ u L ( U )] = F ; =,..., (4.78) A quação dnâmca qu govrna o rro d saída do sstma (4.77) é rscrta da forma

87 Sção 4 Controlador VS-MRAC 87 & = A k c b c = h [ u ( U )] c (4.79) Das rlaçõs obtdas na condção d casamnto do modlo nal da planta (Equação (4.56)) tm-s qu u = ρu κg u n, = ρ n. Dsnvolvndo stas xprssõs utlzando a nova notação ncontra-s a xprssão Lvando m conta qu d d ( t) d ( t) = u( t) d ( t) xprssão u ρ U = U κg u., = κ, ncontra-s para o snal U a U = ρ U d κu (4.8) ( U U ) ρ n r Wd d ρ U d = ρ, k (4.8) A convrgênca dos rros auxlars a análs d stabldad a sgur são rportadas d (Hsu, Lzarrald Araújo, 997). Consdrando (4.8) (4.8) após algumas manpulaçõs algébrcas rcursvas m (4.78), os rros auxlars podm sr rscrtos como = kml[ u L ( U )] [ u F, L, ( U )] π π,..., L [ ρ ( u F,U d )] κβu π π = L ; = = (4.8) ond j L, j = Lk ( L, j = s > j ), d forma smlhant F, j = Fk k= j k= β u = ( F ) F L ( U ),, π L F ( ) = L F ( π ); ( π ) = j= j, j, j, (4.83) ( k MF L ) ( ) =,, π.

88 88 Sção 4 Controlador VS-MRAC Obsrvação: Em (Hsu, 99), uma das rstrçõs na análs d convrgênca stava rlaconada com a ncssdad da ordm dos fltros sr maor ou gual a. É sufcnt, no ntanto, o uso d fltros d prmra ordm. A prncpal razão stá na Equação (4.73), a qual trata π ) ( β como uma prturbação d saída, nquanto ( t) d é uma prturbação d ntrada. Anda, com F d ordm, os trmos β π d (4.83) são absolutamnt contínuos, uma vz qu o oprador m β é strtamnt própro os opradors m π são própros. Dnotando-s EXP at EXP como trmos da forma ( ) at K z K z ( ) rspctvamnt, ond K a são constants gnércas dfnndo-s como sndo L o rsultado da análs d convrgênca dos rros auxlars é nuncada no sgunt orma: orma 4.: Consdr os rros auxlars (4.8). S a condção (4.38) é satsfta as funçõs d modulação dos rlés satsfazm ( t ) a f ( F L ) ( U ) ; =,...,,, f F, U d (4.84) ntão, os rros auxlars ( =,..., ) tndm a zro, no mínmo, xponncalmnt. Além dsso, ( t), x ( t) EXP () t τκk C( t) EXP (4.85) π () t, ( t) β π EXP ; =,..., ( t) τk C( t) EXP u β (4.86)

89 Sção 4 Controlador VS-MRAC 89 com C () t = sup ω( t) ; C ( t) = M C( t) M rd t (4.87) ond M, M rd, K β, K são constants postvas τ = max τ. Prova: Vr (Hsu, Lzarrald Araújo, 997) a análs d stabldad do sstma, com o objtvo d s consdrar todas as condçõs ncas, constró-s o vtor d stado z do sstma composto plos subsstmas (4.76), (4.77) (4.8). Dnota-s como x FL o vtor d stado corrspondnt a: L m (4.76), F m (4.8), W d na xprssão da dfnção d U todos os opradors, L, rstants assocados com β u, π π m (4.8). Dsd qu todos sts opradors são stávs, xstm constants postvas K FL α FL tas qu x FL α t FL FL FL ( ) K x (4.88) O sgunt vtor d stado é dfndo: [( z ),, ] ; ( z ) x,,...,,( xfl ) z = [ ] = (4.89) É convnnt rscrvr a Equação (4.8) para da forma [ u U ] β u π π = L ; = ( F ) F L ( U ) β (4.9) u,, ond, d forma smlar a (4.86), β pod sr lmtado por ( t) u C (dfndo m (4.87)). A stabldad do sstma complto rfrnt aos rros é nuncada no sgunt orma:

90 9 Sção 4 Controlador VS-MRAC orma 4.: Consdr o sstma complto rfrnt aos rros composto plos subsstmas (4.76), (4.77) (4.8). Assum-s qu a condção m (4.38) é satsfta qu as funçõs d modulação satsfazm às dsgualdads d (4.84). Então para > τ ( τ = max ( τ ) ) o sstma complto rfrnt aos rros com stado z como dfndo m (4.89) é globalmnt xponncalmnt stávl m rlação a um conjunto rsdual da ordm d τ, ou sja, xstm constants postvas K a tal qu z a t () t K z( ) O( τ ), z( ), t (4.9) Prova: Vr (Hsu, Lzarrald Araújo 997) Assm, com os fltros d valor médo utlzados para grar o control quvalnt, a stabldad global xponncal é obtda m rlação a um pquno conjunto rsdual no spaço d stado do rro. 4.3 COCLUSÕES sta sção fo fta uma rvsão do controlador VS-MRAC com grau rlatvo n. o controlador ncal dnado d VS-MRAC fo ntroduzda uma cada d rros auxlars ncssára para s consgur o rastramnto do modlo. Uma análs do algortmo I/O VS-MRAC lva à conclusão d qu o sstma é globalmnt assntotcamnt stávl qu o rro d saída tnd xponncalmnt a zro. Uma nova vrsão do algortmo, dnada d VS-MRAC compacto, fo dsnvolvda rduzndo-s o númro d rlés d ampltud modulada, cujas ampltuds podm sr rduzdas, s é conhcdo algum modlo nal para a planta. O fto do dsconhcmnto do ganho d alta frqüênca da planta é ncorporado como um dstúrbo na ntrada da planta as funçõs d modulação dos rlés são projtadas d forma qu st dstúrbo sja rjtado. a análs d stabldad ncal, supõs qu os controls quvalnts ( ) q são mnsurávs com rros qu, junto com suas rspctvas drvadas, tndm a zro quando t (Hsu, 99). a prátca, os controls quvalnts são mplmntados por ntrmédo d fltros d valor médo com constants d tmpo τ sufcntmnt pqunas. Os ftos dsts fltros são consdrados, a stabldad

91 Sção 4 Controlador VS-MRAC 9 global xponncal é obtda, m rlação a um pquno conjunto rsdual no spaço d stado do rro.

92 9 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 5 COROLADOR DMARC HISÓRICO O controlador DMARC tv sua orgm a partr da l d adaptação proposta por (Hsu Costa, 989) (Hsu, 99). Os autors propusram uma l d adaptação qu, dpndndo da scolha d um dtrmnado parâmtro, o algortmo d control torna-s um algortmo MRAC com fator sgma um fator d normalzação ou, no lmt (quando o parâmtro tnd a zro), torna-s o algortmo d control VS-MRAC. Dsta forma, nfatza-s a corrlação xstnt ntr o VS-MRAC o MRAC com fator sgma normalzação. o controlador MRAC, msmo com as modfcaçõs sgma a ntrodução da normalzação, m gral os transtóros d adaptação são lntos osclatóros. Contudo, apsar do comportamnto transtóro não sr totalmnt actávl, m algumas stuaçõs, o snal d control é suav d pquna ampltud, tornando-o aproprado para a condção d rgm prmannt. o controlador VS-MRAC, são utlzadas ls chavadas, como nos sstmas com strutura varávl, para o snal d control, acarrtando m um bom dsmpnho transtóro. Porém, m gral, dvdo às mprfçõs xstnts nos mcansmos d chavamnto, tm-s o ndsjávl fnômno d chattrng qu é o chavamnto do snal d control m alta, porém fnta, frqüênca. Esta xcssva ação do snal d control pod tornar dfícl a mplmntação do VS-MRAC. O controlador DMARC fo dalzado com o ntuto d aglutnar o bom dsmpnho transtóro do VS-MRAC as boas caractrístcas m rgm prmannt do MRAC. A déa básca fo fazr com qu o parâmtro da l d adaptação proposta m (Hsu Costa, 989) varass m tmpo ral, aproxmando-s do controlador VS-MRAC durant o transtóro do controlador MRAC quando m rgm prmannt. Dsta forma, tm-s como objtvo consgur um sstma d control robusto, com dsmpnho rápdo pouco osclatóro (caractrístcas do VS-MRAC), snal d control suav m rgm prmannt (caractrístcas do MRAC). sta sção é fto um brv hstórco da volução do algortmo DMARC.

93 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco DMARC PARA PLAAS COM n = Como mnconado antrormnt, objtva-s no DMARC qu a transção na l d control sja fta à mdda m qu o sstma volu, ajustando-s o parâmtro μ, m tmpo ral, d forma a s tr uma ação d control mas ftva do VS-MRAC durant o príodo transtóro tndndo a uma ação mas prdomnant do MRAC quando o sstma s aproxma do rgm prmannt. cssta-s, ntão, dfnr como s procssar sta transção. 5.. Algortmo DMARC Vrsão Orgnal a sção.4 fo squmatzado o DMARC para uma planta d prmra ordm. A l d adaptação, ncalmnt proposta, é xprssa pla Equação (.6). Para uma planta d grau rlatvo n = é utlzada a msma strutura do MRAC dsnvolvda na Sção 3 a l d adaptação (Equação (.6)) é ntão rscrta como & = σ σγ ω μ (5.) ond Γ = dag, >, =,..., n. ω D forma análoga à sção.4, tm-s qu: S μ, é dado pla solução d = σ Γω qu juntamnt com a dfnção d Γ rsulta m = Θ sgn( ) Θ ( ) ω = dag,, > ; =,..., n (5.) qu é a l d adaptação chavada do VS-MRAC (Equação 4.). S μ =, a Equação (5.) s rsum m & = σ σγ ω (5.3) qu é a l d adaptação do MRAC com fator σ uma crta normalzação do trmo d aprndzado.

94 94 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Uma caractrístca mportant da l d adaptação dada pla Equação (5.) é qu o conjunto é postvamnt nvarant. Esta proprdad pod sr faclmnt vrfcada para μ = utlzando a Equação (5.), ond tm-s qu =. Para μ, dfn-s a função canddata a função d Lyapunov como V = (5.4) ( ) cuja drvada no tmpo, ao longo d (5.) rsulta m: = n σ ( ) ( ) n V& σ ( ) = sgn( ω ) (5.5) μ μ = A dsgualdad m (5.5) é obtda compltando-s o quadrado do trmo dntro do somatóro. Vê-s d (5.5) qu para ( ) postvamnt nvarant. tm-s V &, garantndo qu o conjunto É também ntrssant consdrar o caso m qu μ = μ p é pquno, porém dfrnt d zro. D (5.) pod-s scrvr é μ p & q q = Θ sgn( ω) σ (5.6) ond o subscrto q sgnfca qu o vtor q é o valor fltrado, através d um fltro passa baxa, do vtor d parâmtros chavados Θ sgn( ω) q. Usando-s ao nvés d Θ sgn( ω), na l d adaptação do VS-MRAC, corrspond a s tr um atraso no mcansmo d chavamnto. st caso (sndo σ μ p sufcntmnt pquno) o modo dslzant dal dá lugar a pqunas rápdas osclaçõs, porém d frqüênca fnta, ao rdor da suprfíc d dslzamnto = (Hsu Costa, 989). Apsar do atraso no mcansmo d chavamnto, tm-s a vantagm d qu a fltragm m Θ sgn( ω) mplca m uma suavzação no snal d control.

95 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 95 A prmra déa d sntona do DMARC fo a utlzação da lógca nbulosa para a dtrmnação do parâmtro μ. a tora da lógca nbulosa, ntroduzda por Zadh (Zadh, 965), os lmntos não possum uma classfcação xata sm prtncm a um conjunto com frontras nbulosas (dfusas), ou sja, a passagm d uma class para outra s dá d uma forma gradual não abrupta. Os algortmos qu usam a lógca nbulosa s basam m modlos lnguístcos da forma: S {um conjunto d condçõs é satsfto} ntão {um consqünt é afrdo}. st modlo lngüístco, prssupõ-s uma boa xprênca humana nas formulaçõs das rgras do tpo s antcdnd ntão {consqunt} na afrção dss consqunt. o caso da scolha do parâmtro μ do DMARC, tal xprênca é adqurda através d smulaçõs com dvrsos valors d μ. O fato qu motvou a utlzação da lógca nbulosa na sntona do DMARC fo a forma suav como s dá a varação do parâmtro μ, consquntmnt, a transção ntr os controladors VS-MRAC MRAC. A pror, foram dfndas duas varávs dtrmnants na scolha do parâmtro μ qu são: o rro d saída, o qual ndca o quanto a saída da planta stá dstant da saída do modlo d rfrênca, a sua drvada qu ndca a rapdz com qu o sstma s aproxma ou s afasta da suprfíc d dslzamnto =. Dfn-s ntão, o príodo transtóro como o nstant m qu o rro d saída é consdrado rlatvamnt lvado. O príodo m qu o rro d saída a sua varação são avalados sufcntmnt pqunos é dfndo como rgm prmannt. Com sta abordagm foram ftas smulaçõs a mplmntação do control d vlocdad d um motor d ndução trfásco qu são aprsntados na Sção 5.4. a Sção 5.5 são ftas smulaçõs para o control d posção d um motor d corrnt contínua. Em todas as smulaçõs é utlzado o método numérco d Eulr. 5.. Algortmo DMARC Utlzando o Modlo Dfuso akag-sugno O modlo dfuso do tpo akag-sugno (S), também conhcdo como akag- Sugno-Kang (SK), tm a caractrístca spcal d qu stá assocado a um conjunto d rgras qu têm varávs lngüístcas como antcdnts funconas como consqünts (akag Sugno, 985; Sugno Kang, 988). Um possívl conjunto d rgras para st modlo é da forma:

96 96 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Rgra : SE u é B E u é B E... E u n é B n EÃO y = bu bu... b n un r Rgra : SE u é B E u é B E... E u n é B n... EÃO y = bu bu... bn un r Rgra m: SE u E u E... E u é B m é B m n é B mn EÃO y b u b u... b u r m = m m mn n m ond B,j ( =,...,m; j =,...,n ) são trmos lngüístcos, dfndos como conjuntos dfusos d rfrênca sobr o spaço d ntrada X j ( j =,...,n ), corrspondnt às varávs d ntrada u j ( j,...,n ), d um sstma MISO ( do nglês, Multpl Input Sngl Output). Cada saída y = ( =,...,m ), corrspondnt à rgra, pod sr vsta como uma função lnar da ntrada uj ( j =,...,n ), ond os parâmtros b ( =,...,m; j =,..., n ) são valors ras,j A saída rsultant do modlo, y, é dfnda pla méda pondrada das saídas ndvduas, y, d cada rgra da forma: y m = = m μ = y μ (5.7) ond μ é o nívl d atvação da -ésma rgra, dado por ( u ) B ( u ) μ = B... n n ond Bj(u ) rprsnta o grau d prtnênca da ntrada u no conjunto B j. j j B o modlo akag-sugno, m sua forma mas usual, y ( =,..., m ) é uma função polal d u j ( j =,...,n ). Quando st polnômo é d prmra ordm o sstma d nfrênca nbuloso é dnado modlo nbuloso S d prmra ordm. Est modlo fo proposto ncalmnt por (akag Sugno, 985; Sugno Kang, 988). Quando a saída d cada rgra, y ( =,...,m ), é uma função constant, o sstma d nfrênca rsultant é um O símbolo rprsnta uma norma trangular utlzada para a mplmntação do conctvo E nos antcdnts das rgras (usualmnt o oprador mn ou o produto algébrco).

97 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 97 modlo nbuloso S d ordm zro, qu pod sr vsto como um caso spcal d um modlo d Mamdan no qual cada consqünt é spcfcado por uma função snglton. B B y = bu bu r B B μ y μ y y = μ μ y = bu bu r u u Fgura 5.: Sstma d nfrênca akag-sugno d prmra ordm. Como xmplo, é lustrado na Fgura 5. um modlo akag-sugno d prmra ordm, tndo como varávs d ntrada u u, uma saída y as sgunts rgras: Rgra : SE u é B E u é B EÃO y = bu bu r Rgra : SE u é B E u é B EÃO y = bu bu r Os valors d μ μ rprsntam os nívs d atvação das Rgras, rspctvamnt calculados utlzando o oprador mn aplcado a μ = B ( u ) B ( ) u ; =,. A saída rsultant é dada pla méda pondrada das saídas d cada rgra, como μ y μ y μ μ y = (5.8) Basado no modlo akag-sugno, (Mota Araújo, ) propusram uma ntrpolação das ls d adaptação do MRAC VS-MRAC. Esta stratéga d control é

98 98 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco dnada d Control m Modo Dual Adaptatvo Robusto utlzando o modlo akag- Sugno (DMARC-S). Por smplcdad é utlzado o modlo akag-sugno d ordm zro tndo como únca varávl lngüístca d ntrada, o rro d saída do sstma. São dfndos os conjuntos nbulosos P (pquno) G (grand) para a ntrada. As funçõs d prtnênca são do tpo Gaussana, qu prmtm uma transção mas suav no valor da prtnênca. D uma forma ntutva, tm-s qu quando (m valor absoluto) for pquno (príodo staconáro) utlza-s a l d adaptação do MRAC quando for consdrado grand (príodo transtóro) utlza-s a l chavada do VS-MRAC. Sndo a l d adaptação para o VS-MRAC dada pla Equação (5.) a do MRAC dada pla Equação (5.3) com a matrz Γ constant, dfn-s as sgunts rgras: Rgra : SE Rgra : SE σt σt στ é P EÃO () t = ( ) Γ ( ω) AC é G EÃO ( t) = Θ sgn( ω ) VS t dτ ( ) ond, Γ = dag γ, γ > constant, Θ = dag, > ; =,..., n. ( ) As funçõs d prtnênca para a varíavl d ntrada rfrênca P G são funçõs Gaussanas xprssas por: nos conjuntos nbulosos d p l ( ) = μ (5.9) g l ( ) = μ (5.) ond l é um parâmtro a sr ajustado. a Fgura 5. ncontram-s lustradas as duas funçõs d prtnênca para l =.

99 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 99 Fgura 5.: Funçõs d prtnênca Gaussanas para o DMARC-S. A dtrmnação do parâmtro ( t), para o DMARC-S, é fta a partr da Equação (5.8) fazndo-s y = () t, y = AC ( t), y = VS ( t), μ = μ p ( ), μ = μ g ( ) consdrando qu ( ) ( ) μ p μ g =. Dsta forma obtém-s () t μ ( ) ( t) μ ( ) ( t) p AC g = (5.) VS 5.3 DMARC PARA PLAAS COM n A proposta do DMARC é qu quando a saída do sstma s afasta da saída spcfcada plo modlo, o DMARC tm o ntuto d atuar como o VS-MRAC rqurndo, m gral, uma xcssva ação d control. A suavzação do snal d control é fta consdrando-s qu quando a saída do sstma stá bm próxma da saída dsjada, o controlador tnd a dmnur a ação do VS-MRAC aumntando a do MRAC. Espra-s qu nsta stuação d rgm quas staconáro, a ação mas próxma do MRAC atu com osclaçõs razoavlmnt atnuadas com sua boa caractrístca rlatva ao snal d control.

100 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Apsar do DMARC sr consdrado um MRAC qu m uma condção xtrma (μ=) torna-s um VS-MRAC, todo transtóro, qur sja provocado por dstúrbos xtrnos ou condçõs ncas, dv sr rstablcdo através d uma maor ação do VS-MRAC. Às vrsõs ntrmdáras do DMARC (qu são MRACs com fator d squcmnto aprndzado ajustávs), no lmt, quando μ= (MRAC com fator d squcmnto aprndzado fxos) é ncumbda a função d alvar suavzar o snal d control. Basado nsss fatos é sugrdo o uso da strutura do VS-MRAC compacto para n (Fgura 4.) d forma smlar a (Hsu Costa, 994). ssa strutura vê-s qu cada malha ntrna, rgda plo rro (=,,...,-), tm como ntrada um control quvalnt qu é um snal fltrado. Dssa forma, a suavzação do snal d control pod sr fta, utlzando-s o DMARC na malha rgda plo rro aplcado à planta., a qual é rsponsávl pla gração do snal d control a sr ( ) u q ( u ) q Fgura 5.3: Dagrama d blocos do DMARC utlzando a strutura do VS-MRAC compacto para n ( = n ). Dsd qu L = /( s δ ) é ERP, é ntutvo s pnsar no uso da l d adaptação do DMARC para n = (Equação (5.)) para o parâmtro. st caso, tm-s como rro d rastramnto, vtor rgrssor ω o lmtant supror j > j,, j=,...,n. Como no VS-MRAC com n, o snal d control a sr aplcado à planta dv sr u = u u (vr(hsu, 99)) o algortmo d control é o msmo da abla 4., xcto qu u é calculado a partr das xprssõs

101 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco μ = σ Γ u = ω ω (5.) O dagrama d blocos rprsntatvo do DMARC para n stá lustrado na Fgura 5.3 o su corrspondnt algortmo d control ncontra-s na abla 5.. Analsando as duas últmas xprssõs da abla 5., vê-s qu quando μ ' = Θ sgn( ω) Θ = ( ), dag,..., n, como ξ = ω, tm-s para u u = ' ( sgn( ω) ) Θ ω sgn( ) u = u = f ω sgn sgn ' ( ) ' ( ) qu é o rsultado das duas últmas xprssõs do VS-MRAC da abla 4.. abla 5.: Algortmo d control DMARC para n. u = u u y a = k a = y a ML u [ L ( u )] = a ( u ) L ( u ) =, =,,..., q f = k _ χ ξ ξ, ( ) u = f sgn ; =,,...,- μ & = σ σγ ω u, = ω, Γ = dag,, > ; =,..., n. ω

102 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Prcsa-s, agora, dfnr como o DMARC, através do parâmtro μ, fará a transção ntr os dos controladors, VS-MRAC MRAC. Uma vz qu no VS-MRAC todos os rros (=,,...,-) convrgm para zro xponncalmnt, s tnd a zro xponncalmnt o modo dslzant dal é atngdo m todas suprfícs dslzants = dsd o nstant ncal, o rro d saída convrg xponncalmnt a zro (Araújo, 993). Ess fato conduz à utlzação do rro para rgr o parâmtro μ rsponsávl pla pondração do DMARC. o ajust do DMARC é mportant qu as transçõs ntr os controladors MRAC VS-MRAC s dê d uma forma suav contínua. Dsta forma, sugr-s a utlzação da função d prtnênca para a ntrada nbulosa rro d saída do DMARC-S (Equação (5.9)), aplcada a. Ou sja, dfn-s o parâmtro μ como μ = / l (5.3) ond l é um parâmtro a sr ajustado. Obsrva-s qu quando, μ aproxmandos do MRAC. Quando s torna razoavlmnt lvado, μ assum um valor sufcntmnt pquno, tndndo ao VS-MRAC. O parâmtro tm a mportant função d dtrmnar a forma como s dá a transção ntr o MRAC o VS-MRAC. Quanto mnor o valor d l maor a ação do VS-MRAC m função d l, como vsto na Fgura 5.4. O rro a partr do qual é fta a transção do VS-MRAC para o MRAC é dtrmnado, ntão, plo parâmtro l. O compromsso ntr rapdz d rsposta (VS-MRAC) snal suav m rgm prmannt (MRAC) fca a crtéro da scolha do parâmtro l. rro A xprssão (5.3) dtrmna como o parâmtro μ dv sr ajustado, à mdda qu o volu no tmpo. Uma caractrístca mportant d (5.3) pod sr vsta a partr da sua drvada no tmpo, cujo rsultado é dado por μ & μ = & (5.4) l

103 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 3 μ = l Fgura 5.4: Evolução d μ m função do rro d saída. Consdrando qu μ é postvo, sndo = a suprfíc d dslzamnto & < o parâmtro a condção d scorrgamnto para o VS-MRAC, vê-s, pla análs d (5.4), qu μ só pod crscr (tndndo ao MRAC) quando a condção d scorrgamnto for satsfta. S a condção d scorrgamnto não for satsfta, o μ dcrsc (tndndo ao VS-MRAC) st dcréscmo é tão mas rápdo quanto mnor for o parâmtro l. Com um valor d l sufcntmnt pquno, o algortmo d control funcona como VS-MRAC até um valor bm pquno d. Dsta forma, uma ação mas ftva do controlador MRAC só tm lugar quando o sstma atng um rgm quas staconáro, dond s prsupõ qu as osclaçõs (nrnt do MRAC) são atnuadas o fto do chavamnto do snal d control, na proxmdad da suprfíc d dslzamnto ( = ) é suavzado. A análs do comportamnto d μ, m rlação à condção d dslzamnto, ncontra-s struturada na abla 5..

104 4 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco abla 5.: Comportamnto d μ com rlação à condção d scorrgamnto. & < condção d scorrgamnto satsfta & > condção d scorrgamnto não satsfta & = suprfíc d scorrgamnto alcançada μ& > μ aumnta (aproxma-s do MRAC) μ& < μ dmnu (aproxma-s do VS-MRAC) μ& = μ constant, controlador fxo 5.4 USO DO DMARC E DMARC-S O COROLE DE VELOCIDADE DE UM MOOR DE IDUÇÃO RIFÁSICO Com o objtvo d analsar o comportamnto do controlador DMARC DMARC-S foram ftas smulaçõs mplmntaçõs para o control d vlocdad d um motor d ndução trfásco. Os motors d ndução têm gradatvamnt ocupando o spaço qu ants ra dstnado aos motors d corrnt contínua (CC) no tocant a aconamntos d alto dsmpnho (Lonhard, 996). Entr as vantagns m rlação à máquna CC dstacam-s robustz, baxo custo, mnor frqüênca d manutnção, no caso d motor com rotor m gaola d squlo, a ausênca d contatos dslzants. Por não possur comutador, o qu dmnu a possbldad d fascamnto, os motors d ndução, mas spcfcamnt os d rotor m gaola d squlo, podm sr usados m ambnts com um crto grau d rsco a ncêndos xplosõs. o ntanto, na máquna CC o control d vlocdad s dá d uma forma bastant smpls, uma vz qu o torqu o fluxo podm sr mpostos à máquna d uma forma dsacoplada, ou sja, stablcdo o fluxo, o conjugado pod sr controlado através da corrnt d armadura. Est fato faza com qu os motors CC fossm os prfrdos m aconamntos d alto dsmpnho. a década d 7, porém, Blashck propôs a técnca d control vtoral, basada na orntação dada plo campo do rotor, aplcada a motors d ndução (Blashck, 97; Garca, 99; Larra, 993). A grand novdad fo a scolha do fluxo do rotor como rfrênca do xo d, o qu tornou possívl projtar um sstma d control dsacoplado smlhant ao da máquna CC, quando o motor é almntado por fonts d corrnt das. Com o control

105 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 5 vtoral o motor d ndução, por tr uma mnor nérca d rotor, alcança a vlocdad dsjada mas rapdamnt, aprsntando, assm, um mlhor dsmpnho transtóro. st squma d control, um lmnto mportant d ncrtza é o valor da constant d tmpo rotórca qu vara com as condçõs d opração, altrando o dsmpnho do sstma d control projtado (prda d fcênca da máquna). a modlagm do motor d ndução utlza-s a técnca vtoral basada na orntação dada plo campo do rotor, a qual prssupõ qu a corrnt do stator é mposta à máquna (Blashck, 97; Garca, 99; Larra, 993). Essa técnca tm sdo consdrada a mas fcnt no sntdo d tornar o dsmpnho da máquna d ndução smlar ao da máquna d corrnt contínua, por s basar no modlo dnâmco da máquna, aprsnta um xclnt dsmpnho transtóro. O control orntado plo campo do rotor anda s subdvd m drto ou ndrto, dpndndo da forma como é fta a stmação do fluxo do rotor. o método drto o fluxo é controlado m malha fchada, utlzando-s stmadors d fluxo na obtnção do snal d ralmntação, nquanto qu no ndrto o fluxo é controlado m malha abrta, basado na rlação d scorrgamnto da máquna na posção do rotor. o método drto a utlzação d bons stmadors mnmza os ftos das varaçõs paramétrcas da máquna. Já o ndrto é bastant snsívl a ssas varaçõs, prncpalmnt à varação da constant rotórca (Bos, ). A mplmntação com xatdão do método d control orntado plo campo tm motvado o uso, m alguns trabalhos, d stratégas basadas m dntfcação paramétrca (n, Schmtt, Karakaxs Manas, 995; Buno Allr, 996; Shyu, Shh Lu, 996). ambém, têm sdo usadas stratégas, com modos dslzants, por aprsntarm nsnsbldad às varaçõs paramétrcas da planta (Sabanovc Izosmov, 98; Ho Sn, 99; Soto Yung, 995; Bos, 985). Os métodos d control adaptatvo /ou robusto, os quas s aplcam a sstmas qu aprsntam ncrtzas paramétrcas, podm sr nsrdos nss contxto. Aqu, adota-s, pla sua smplcdad, o control vtoral ndrto orntado plo campo do rotor (COI) é utlzado o controlador DMARC para suprar o problma das ncrtzas paramétrcas.

106 6 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Sstma d Aconamnto O sstma d aconamnto, utlzado na mplmntação do controlador DMARC, é mostrado na Fgura 5.5. El é composto por um motor d ndução d,5hp, almntado por um nvrsor trfásco VSI/PWM com control d corrnt por janla d hstrs. o control d corrnt são usados snsors d fto Hall para a mdção das corrnts d duas fass do motor. Um mcrocomputador rcb a vlocdad do motor, através do snal d um tacogrador, utlzando um softwar d control mplmntado m lnguagm C (Borland, 988), nva o snal ncssáro para o nvrsor. Pntum MHz r s r s Invrsor v s s s 3 acogrador Motor d ndução Fro d Prony Fgura 5.5: Sstma d Aconamnto para o control d vlocdad d um motor d ndução. Parâmtros do Motor d Indução as smulaçõs na mplmntação fo utlzado um motor d ndução trfásco class B d,5 HP, com 4 pólos, vlocdad nal d 75 rpm (8,64 rad/s), tnsõs nas 38 V / V para lgação Y Δ, rspctvamnt, com frqüênca nal d 6 Hz. As corrnts nas são d,6 A m V (lgação Δ),76 A m 38 V (lgação Y). O rotor é do tpo gaola d squlo. O conjugado nal é d,.m. Os parâmtros létrcos do motor foram obtdos através d nsaos d curto-crcuto d crcuto abrto confrontados com os dados forncdos plo fabrcant. Os dados stão aprsntados na abla 5.3.

107 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 7 abla 5.3: Parâmtros létrcos do motor d ndução utlzados na prátca. Rs Rsstêncas dos nrolamntos do stator 9,5 Ω L Indutâncas própras dos nrolamntos do stator,534,47 =,95 H s Rr Rsstêncas dos nrolamntos do rotor 7,8384Ω L Indutâncas própras dos nrolamntos do rotor,637,47 =,54 H r L m Indutâncas mútuas ntr os nrolamntos do stator do rotor,47 H ambém fo forncdo plo fabrcant o momnto d nérca do motor, cujo valor é J = 5. 4 Kg.m ndo m vsta qu o motor é almntado por um nvrsor do tpo font d tnsão (Voltag Sourc Invrtr VSI), com modulação por largura d pulso (Puls Wdth Modulaton - PWM) controlado por corrnt, é possívl mpor corrnts ao motor, smplfcando o modlo da máquna. Essas consdraçõs lvam a um modlo d prmra ordm para o motor. A xprssão do conjugado ltromagnétco, para um dado ponto d opração, pod sr rprsntada por: ( ) sq L m t = kt ; kt = P ψ rd (5.5) 3 Lr ond: ψ rd é o fluxo do rotor sgundo o xo drto, mantdo constant. P é o númro d pólos magnétcos do motor. L m L são parâmtros spcfcados na abla 5.3. r k t é uma constant. sq é a componnt do vtor corrnt d stator sobr o xo m quadratura com o fluxo do rotor. Supondo o motor m vazo, sm conjugado d carga, a sua dnâmca mcânca é spcfcada por:

108 8 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco dω ( t) = J Bω (5.6) dt ond J é o momnto d nérca do rotor B o cofcnt d atrto vscoso ntr o xo os mancas da máquna. Aplcando a ransformada d Laplac m (5.6), ncontra-s: ( s) = ( Js B) ω( s) (5.7) A ntrada da planta (motor) é a componnt sq do vtor corrnt d stator a saída é a vlocdad do rotor ω. A função d transfrênca da planta é, ntão, dtrmnada a partr das Equaçõs (5.5) (5.7) rsultando m ω( s) ( s) sq = kt J s B J = W () s = k p s a p (5.8) Em condçõs nas Fnal m (5.8) tm-s sq é constant assm, aplcando-s o orma do Valor kt J sq ktsq ω = lm s = (5.9) s s B s B J A constant k t é dtrmnada m (Cunha, ). k =,899.m/A (5.) t Uma vz spcfcado k t, ncontra-s B através d (5.9) como B = 5,65. 3 Kg.m / s (5.)

109 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 9 Os parâmtros da função d transfrênca da planta (motor) fcam, fnalmnt, dtrmnados a partr d (5.8) como sndo: - a = B / J =,3 s p - k p = k / J = 3798 (A s ). t (5.) Portanto, a função d transfrênca da planta é dada por: 3798 W () s = (5.3) s,3 Parâmtros do Modlo d Rfrênca A constant d tmpo do modlo d rfrênca fo scolhda próxma da constant d tmpo da planta. ntou-s, dssa forma, vtar snas d control mas lvados do qu os qu sram ncssáros para um modlo com dnâmca mas rápda. Por smplcdad fo scolhdo um ganho d alta frqüênca untáro. Com ssas consdraçõs o modlo fca dtrmnado plos parâmtros - a m = s k m = s (5.4) qu corrspond à função d transfrênca M () s = (5.5) s Smulação com o Algortmo MRAC Com a planta o modlo dtrmnados, foram ftas váras smulaçõs para o algortmo MRAC com a utlzação do programa MALAB (Hanslman Lttlfld, 999). A smulação qu rsultou m um mlhor dsmpnho é aprsntada na Fgura 5.6. sta smulação utlza-s o MRAC com modfcação σ cuja l d adaptação é dada pla Equação (3.5). O fator d squcmnto usado fo σ =,667 (ajustado por smulaçõs, a partr do

110 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco conhcmnto da banda passant da planta d stmatvas da taxa d varação dos parâmtros da planta), o ganho d adaptação γ =,. O passo d ntgração utlzado fo h =,s. As rspostas para a vlocdad da planta (y) do modlo (y m ) m rpm stão plotadas na part supror da Fgura 5.6. A componnt da corrnt d stator sq é o snal d control u (dado m ampèrs) ncontra-s plotada na part nfror da Fgura 5.6. Para vrfcar o comportamnto do controlador na prsnça d um dstúrbo xtrno, fo colocada uma prturbação fxa d 3% da carga nal do motor no nstant t=,s. O motor é smulado a partr d uma vlocdad ncal d 9 rad/s. Fgura 5.6: Dsmpnho do MRAC com Fator σ. Smulação com o Algortmo VS-MRAC Os parâmtros do VS-MRAC podm sr dtrmnados a partr da condção d matchng, Equaçõs (.7) (.8), as quas lvam a:

111 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco =,8. = 3,. 4 3 A.s A.s (5.6) _ Pla condção da l d adaptação paramétrca, Equação (.8) da sção ( > > ), foram scolhdos os parâmtros _ =. = A.s A.s (5.7) A smulação fo fta, com o VS-MRAC, utlzando as ls chavadas dadas m (.39). Analogamnt à smulação fta com o MRAC, fo colocada uma prturbação fxa d 3% da carga nal do motor no nstant t=,s, a vlocdad ncal do motor fo assumda como 9 rad/s. Fgura 5.7: Dsmpnho do VS-MRAC.

112 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco a Fgura 5.7 stão plotadas na part supror as vlocdads da planta (y) do modlo (y m ) m rpm. a part nfror stá plotado o snal d control u = sq m A. Comparando-s os rsultados das smulaçõs ftas com o MRAC o VS-MRAC (Fguras ), nota-s qu a saída da planta convrg para a saída do modlo d rfrênca d uma forma rápda pratcamnt sm osclaçõs, além d tr sdo, pratcamnt, nsnsívl à prturbação d ntrada, comprovando o bom dsmpnho transtóro a robustz do VS-MRAC. o MRAC o transtóro é mas lnto osclatóro aprsnta uma pquna osclação, na prsnça da prturbação d ntrada, comparado com o transtóro do VS-MRAC. O snal d control do MRAC é suav m rgm staconáro, nquanto o VS-MRAC aprsnta uma xcssva ação do snal d control, rfrnt à alta frqüênca d chavamnto. Smulação com o Algortmo DMARC a Fgura 5.8 é sboçado, m dagrama d blocos, o squma do controlador DMARC ajustado por lógca nbulosa. Modlo d Rfrênca y m L chavada ou L d adaptação μ Algortmo buloso & d/dt - r Controlador r ψ rd u= r sq COI Motor d Indução y = ω Fgura 5.8: Dagrama d blocos para o DMARC ajustado por lógca nbulosa.

113 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 3 São usadas como varávs lngüístcas d ntrada o rro d saída ( ) sua drvada (d). Os rótulos atrbuídos às varávs são Pquno, Médo Grand. As funçõs d prtnênca das varávs lngüístcas das ntradas d da saída, são aprsntadas na Fgura 5.9. μ μ μd μ μ μ Fgura 5.9: Funçõs d prtnênca das ntradas d, da saída. O método d nfrênca VFI fo scolhdo por sr o método qu rqur mnor sforço computaconal mnor spaço m mmóra para uma mplmntação m tmpo ral (Sncr Bars, 995). A lógca nbulosa s aprsnta como uma sub-rotna no algortmo d control. a Fgura 5. ncontra-s, m dagrama d blocos, o algortmo para a obtnção do parâmtro μ, através da lógca nbulosa.

114 4 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco d Funçõs d prtnêncas d d Função Acham Calcula μ μ d nos rótulos P, M G. μ (P,M,G) μ d (P,M,G) Matrz d Rgras R d P M G P G M P M P M P G P P P Funçõs d prtnêncas da saída μ P,M G. Saída μ dfuzzyfcada Função Cntród calcula o cntro d gravdad da saída μ C(P,M,G) μ = =, 3 j=, 3 mn =, 3 j=, 3 ( μ ( ), μ ( j)).c ( R(, j) ) mn ( μ (), μ ( j) ) d d saída μ dfuzzyfcada Fgura 5.: Algortmo para o cálculo d μ do controlador DMARC usando lógca nbulosa.

115 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 5 as smulaçõs com o DMARC o fator d squcmnto fo mantdo o msmo da smulação com o MRAC, ou sja, σ =,667. Os parâmtros nas smulaçõs com o VS-MRAC spcfcados m (5.7). são os msmos utlzados as Fgura 5. são mostrados os rsultados da smulação fta com o algortmo DMARC. As msmas condçõs das smulaçõs com o MRAC o VS-MRAC foram mantdas. a part supror da Fgura 5. stão plotadas as vlocdads da planta (y) do modlo (y m ) m rpm na part nfror o snal d control u = sq. Fgura 5.: Dsmpnho do algortmo DMARC com Fator σ. Smulaçõs smlhants também foram ftas com o DMARC-S, mantndo as msmas condçõs das smulaçõs com os controladors antrors. O fator d squcmnto σ os parâmtros são os msmos utlzados na smulação do DMARC. O parâmtro 5 da função d prtnênca scolhdo fo l = o ganho d adaptação γ = 5.. Os rsultados são lustrados na Fgura 5..

116 6 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Fgura 5.: Dsmpnho do algortmo DMARC-S. Os rsultados das smulaçõs com o DMARC (Fgura 5.) DMARC-S (Fgura 5.) são bastant smlhants comprovam a flosofa do controlador proposto, qu é a ncorporação do bom dsmpnho transtóro do VS-MRAC as boas caractrístcas m rgm prmannt do MRAC. Obsrva-s qu, d forma smlar ao VS-MRAC, tanto no DMARC como no DMARC-S, a saída da planta convrg rapdamnt para a saída do modlo d rfrênca, pratcamnt sm osclaçõs, com boa rjção à prturbação d ntrada. É também obsrvado um snal d control suav d pquna magntud. O rsultado é um controlador robusto (com rlação à rjção d prturbação d ntrada) com um bom dsmpnho transtóro (nrnt ao VS-MRAC) um snal d control suav, m rgm staconáro (nrnt ao MRAC).

117 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 7 Implmntação do DMARC m um Motor d Indução trfásco. o sstma d aconamnto utlzado para obtnção dos rsultados xprmntas (Fgura 5.5), o motor é almntado por um nvrsor VSI/PWM com control d corrnt. Ess nvrsor funcona como uma font d corrnt, rproduzndo os snas das corrnts d rfrênca, calculados plo algortmo d control, para almntação do motor d ndução. a abordagm por control vtoral ndrto orntado plo campo do rotor, o control da vlocdad do motor podrá sr fto apnas pla corrnt r sq (Equação 5.8), ond o sobr- r scrto ( ) rprsnta os valors d rfrênca grados plo algortmo d control. A vlocdad do motor é convrtda m uma tnsão por ntrmédo d um tacogrador acoplado ao su xo. A saída do tacogrador é uma tnsão altrnada cuja frqüênca valor fcaz são proporconas à vlocdad do motor. Essa tnsão altrnada é atnuada, rtfcada fltrada (lmnando os ruídos d mdção) grando uma tnsão contínua proporconal à vlocdad do motor. Uma placa d ntrfac A/D transforma sta tnsão contínua m um snal dgtal para o mcrocomputador. A placa d ntrfac A/D-D/A trabalha com tnsõs d a V, assm, o snal d tnsão rtfcado, proporconal à vlocdad, é ajustado para sta faxa. o mcrocomputador, um algortmo d control, scrto m lnguagm C, calcula as corrnts d rfrênca, através d um convrsor D/A, stas corrnts são forncdas a um VSI/PWM para a almntação do motor. Como a placa d ntrfac A/D-D/A trabalha com tnsõs d a V as corrnts d rfrênca, gradas a partr do algortmo d control, são altrnadas, um nívl DC dv sr adconado para compnsar o cclo ngatvo das corrnts d rfrênca. A ntrfac D/A da placa possu apnas duas saídas, ntão, apnas duas corrnts d rfrênca, gradas plo algortmo d control, podm sr nvadas. Como o crcuto é trfásco qulbrado, a trcra corrnt pod sr obtda plo valor ngatvo da soma das outras duas. Assm, projtou-s um crcuto para subtrar o nívl DC adconado às duas corrnts d rfrênca gradas plo controlador, crar a trcra corrnt d rfrênca. sta xprênca, fo mddo o ntrvalo d amostragm rfrnt ao tmpo d procssamnto do algortmo d control d convrsõs A/D - D/A, cujo rsultado fo h =,3s. Através d smulaçõs, com o passo d ntgração gual ao ntrvalo d amostragm, fo ncontrado um novo valor para o fator d squcmnto dado por σ =,5. O dagrama d blocos da xprênca prátca ncontra-s na Fgura 5.3.

118 8 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco v s v s v s3 VSI / PWM s s s3 MOOR ACOGERADOR v(t) ω REIFICADOR FILRO r s r s r s3 COVERSOR A / D v cc ω r s3 - r s - r s I cc - - r r I cc s I cc s MICRO- COMPUADOR (ALGORIMO) COVERSOR D / A I cc Fgura 5.3: Dagrama d blocos da mplmntação do controlador DMARC. o nsao prátco o motor o modlo d rfrênca partm com vlocdads ncas nulas. A rfrênca é ncalmnt assumda como rpm, dpos d um crto tmpo aumnta-s o valor para rpm, m sguda rduz-s para 8 rpm fnalmnt rtorna-s para rpm. Dpos é ntroduzda uma prturbação d aproxmadamnt 3 % da carga nal durant alguns sgundos. A planta sgu o modlo d rfrênca com a vlocdad tndndo para a rfrênca spcfcada m cada caso (o ganho do modlo é untáro). O fto da prturbação só é prcbdo (Fgura 5.4) plo aumnto do snal d control durant o ntrvalo d tmpo m qu a carga é aplcada. O dsmpnho transtóro é bastant rápdo sm osclaçõs, corroborando com os rsultados obtdos m smulaçõs. O rsultado do nsao prátco ncontra-s na Fgura 5.4, ond as vlocdads do modlo d rfrênca da planta stão m rpm o snal d control u = m ma. sq

119 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 9 Fgura 5.4: Rsultado da mplmntação do controlador DMARC. A aplcação prátca do Controlador DMARC-S fo fta por (Sousa, 4). O sstma d aconamnto é o msmo aprsntado na Fgura 5.5, com a xcção d qu o computador fo substtuído por um Pntum 7 MHz. O parâmtro da função d prtnênca scolhdo fo l =, o fator d squcmnto σ = o ganho d adaptação γ =,. Os parâmtros são os msmos spcfcados m (5.7). o nsao ralzado, o motor o modlo d rfrênca partm com vlocdads ncas nulas. A rfrênca é ncalmnt spcfcada para rpm mantdo st valor até aproxmadamnt 8 sgundos, nstant m qu a rfrênca é aumntada para 3 rpm. Entr 8 sgundos 3 sgundos, a rfrênca é mantda m 3 rpm. o 3 sgundo a rfrênca é rduzda para rpm mantda nst valor até o fnal do nsao, nstant corrspondnt a 6 sgundos. Uma prturbação d aproxmadamnt 3 % da carga nal é ntroduzda, no últmo stágo, durant alguns sgundos. D forma smlhant ao nsao utlzando o DMARC, a planta sgu o modlo d rfrênca com a vlocdad tndndo para a saída do

120 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco modlo d rfrênca spcfcada m cada caso. Os rsultados são smlhants ao DMARC no qu s rfr à rsposta transtóra a suavzação do snal d control. O rsultado do nsao prátco com o DMARC-S, ncontra-s lustrado na Fgura 5.5, ond as vlocdads do modlo d rfrênca da planta stão m rpm o snal d control u = sq tm o su valor m A multplcado por. Fgura 5.5: Rsultado da mplmntação do controlador DMARC-S. O rsultado aprsntado fo xtraído d (Sousa, 4), para lustrar o funconamnto do DMARC-S. Como, tanto a ntrfac gráfca utlzada, como os dados d nsao o computador são dfrnts não s pod fazr uma mlhor análs comparatva ntr o DMARC o DMARC-S.

121 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 5.5 SIMULAÇÕES COM O VS-MRAC, DMARC E DMARC-S PARA O COROLE DE POSIÇÃO DE UM MOOR DE CORREE COÍUA Para avalar o dsmpnho do DMARC foram ftas smulaçõs do control d posção d um motor d corrnt contínua. Utlza-s um modlo d trcra ordm (vr Fgura 5.6) ond u é a tnsão d ntrada aplcada ao crcuto d armadura, a é a corrnt d armadura, η é a vlocdad d rotação, y é a posção angular do xo (transformada por um sstma d ngrnagm), m é um torqu provocado por uma prturbação na carga d é um dstúrbo fctíco ntroduzdo para a vrfcação dos rsultados tórcos. u d m a - r a a s s m η s y y Fgura 5.6: Modlo do motor DC. São assumdos os sgunts valors nas para os parâmtros (Fllr Bnz,987): r a =,Ω. a =,5s. m =,5s. y =,s. A planta é ntão rprsntada pla sgunt função d transfrênca W () s = s 3 x k ( s s ) p ond s prmt qu k p var ntr,5, tndo-s, assm o caso ond n =3 o ganho d alta frqüênca dsconhcdo (a mudança dsd ganho modfca sgnfcatvamnt ). O modlo d rfrênca é spcfcado por

122 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco W () s = 4 ( s 55, 55) 3 os snas v v com a msma dnâmca do modlo, ou sja, Λ = 39 ; g = 39 Fo scolhdo o polnômo L(s) como ( s) = L ( s) L ( s) = ( s 55, ) L 55 tornando, assm, mas smpls o oprador ML. Os parâmtros do controlador para o VS-MRAC COMPACO dtrmnados a partr d da ncrtza m _ k p são: ( ; ; ; ; ; ) ; k = = ( 3, 5;, ; 75; 6;, 75;, );, = = (5.8) ( 6, 75;, 5; 5; ; 5, 5;, );k = =, Para s obtr os controls quvalnts dvmos spcfcar os fltros d valor médo d acordo com a largura da banda d passagm do sstma m malha fchada ( ω b = 55, 55 ). Para grar os controls quvalnts foram usados os sgunts fltros d sgunda ordm (Araújo, 993) F [ ξτ ] () s ( τ s) ( 4 ) = s τ = π, ξ =,7 ; =, Em todas as smulaçõs, é utlzado o método d Eulr. Para s tr déa do comportamnto dos controladors MRAC VS-MRAC para ss control spcífco, foram

123 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 3 ftas ncalmnt smulaçõs utlzando os dos controladors, com k p =5 r(t)=, 3 mantdos constants. As condçõs ncas foram tas qu ( ) =. ntgração h = 5 s 5.7 com o VS-MRAC na Fgura 5.8. y o passo d. Os rsultados das smulaçõs com o MRAC ncontram-s nas Fguras Vrfca-s no MRAC um transtóro dmasadamnt longo osclatóro (m rlação ao VS-MRAC), porém com snal d control suav d baxa magntud m rgm prmannt. O VS-MRAC aprsnta um transtóro rápdo pouco osclatóro, porém com snal d control d alta frqüênca. Fgura 5.7: Dsmpnho do MRAC com fator σ.

124 4 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Fgura 5.8: Dsmpnho do VS-MRAC (smulação ncal). as smulaçõs subsqünts foram ftas modfcaçõs na rfrênca r(t), na _ prturbação d(t) no ganho k p, conform aprsntadas na abla 5.4 abla 5.4: Varaçõs m r(t), d(t) m _ k p durant as smulaçõs. Para s t<,s _ r(t) =, d(t) =,3 k p = 5 Para,s t<,4s _ r(t) = d(t)= k p = Para,4s t,6s _ r(t) =, d(t)=,3 k p =,5 as smulaçõs com o VS-MRAC são utlzados os parâmtros dfndos m (5.8) os rsultados ncontram-s na Fgura 5.9.

125 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 5 Fgura 5.9: Dsmpnho do VS-MRAC. as smulaçõs com o DMARC, o parâmtro μ é dtrmnado pla Equação (5.3), com l= Para vtar rro numérco, o valor d μ é lmtado nfrormnt por 6 μ =., d forma qu μ pod assumr valors no ntrvalo μ. São utlzados os p msmos parâmtros das smulaçõs com o VS-MRAC (Equação (5.8)) o fator d squcmnto dado por σ=,5. Os rsultados ncontram-s lustrados na Fgura 5.. l =. Para o DMARC-S, são scolhdos para as funçõs d prtnênca o parâmtro 5, o ganho d adaptação γ = 5., o fator d squcmnto σ = 5 os parâmtros rstants são os msmos utlzados nas smulaçõs com o VS-MRAC (Equação (5.8)). o caso do DMARC-S vê-s, pla Equação (5.7), qu não há ncssdad d s lmtar o valor d μ na dtrmnação do vtor d parâmtros ( t). st caso μ pod assumr qualqur valor no ntrvalo μ. a Fgura 5. são aprsntados os rsultados d smulação com o DMARC-S. μ p μ p

126 6 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco Fgura 5.: Dsmpnho do DMARC. Fgura 5.: Dsmpnho do DMARC-S.

127 Sção 5 Controlador DMARC- Hstórco 7 O VS-MRAC aprsntou uma pquna osclação, atngndo o rgm prmannt m um tmpo consdravlmnt pquno. ambém, aprsntou robustz à prturbação d carga à varação paramétrca. Entrtanto, ncsstou d um snal d control com frqüênca d chavamnto muto lvada. Conform pod sr vrfcado plas smulaçõs, tanto o algortmo DMARC como o algortmo DMARC-S proporconaram um transtóro rápdo com uma pquna osclação, com robustz m rlação à varação paramétrca à prturbação xtrna, smlhant ao VS- MRAC. ambém aprsntaram um snal d control com uma boa suavzação m rlação ao snal do VS-MRAC. Como dsjado, o controlador DMARC consguu ncorporar as vantagns do VS- MRAC durant o transtóro as boas caractrístcas d rgm prmannt do MRAC. 5.6 COCLUSÕES sta sção fo fto um hstórco do dsnvolvmnto do controlador DMARC. Fo mostrado qu o DMARC surgu com a déa d varar m tmpo ral o parâmtro μ da l d adaptação (5.), proposta m (Hsu Costa, 989). Uma vrsão ncal do DMARC tv orgm com o uso da lógca nbulosa para ajustar o parâmtro μ, d forma a s tr uma transção suav ntr os controladors MRAC VS-MRAC. Esta técnca fo usada no control d vlocdad d um motor d ndução trfásco m (Cunha, ). Uma vrsão ncal do DMARC-S fo dsnvolvda por (Mota Araújo, ) utlzando o modlo akag-sugno da lógca nbulosa para ntrpolar as ls d adaptação do MRAC VS- MRAC. O rsultado da aplcação da vrsão ncal do DMARC-S no control d vlocdad d um motor d ndução trfásco, fo xtraído d (Souza, 4). Vrfcou-s qu tanto o DMARC como o DMARC-S propcam transtóros rápdos pouco osclatóros snal d control suav m rgm prmannt. a Sção 5.3, a partr da strutura d control do VS-MRAC compacto da sção 4., fo dsnvolvmnto um algortmo d control DMARC para plantas com n>. Esta msma strutura pod sr usada para o controlador DMARC-S. Os rsultados d smulação para o control d posção d um motor CC, para os controladors VS-MRAC, DMARC DMARC- S são aprsntados na Sção 5.5. Os rsultados mostram qu tanto o DMARC o DMARC- S tvram um transtóro rápdo com uma pquna osclação aprsntaram uma boa suavzação do snal d control m rlação ao VS-MRAC.

128 8 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6 AÁLISE DE ESABILIDADE DO DMARC E DMARC-S Através d smulaçõs aplcaçõs prátcas, vrfcou-s o bom dsmpnho das vrsõs ncas dos controladors DMARC DMARC-S, m rlação às varaçõs paramétrcas, prturbaçõs xtrnas comportamnto transtóro, além d aprsntarm uma boa suavzação do snal d control m rgm prmannt. Intutvamnt, spra-s qu o DMARC o DMARC-S possuam boas caractrístcas d stabldad. o caso do DMARC, por s tratar d um controlador qu faz uma transção suav ntr dos controladors conhcdamnt robustos (VS-MRAC MRAC com modfcação sgma uma normalzação). o caso do DMARC-S, por s tratar d uma composção pondrada da ação d control dos dos controladors VS-MRAC MRAC. Para uma análs d stabldad, usando a tora d Lyapunov, são ncssáras algumas modfcaçõs nas ls d adaptação. Estas modfcaçõs, no ntanto, dvm prsrvar as msmas caractrístcas dos controladors ncas. A análs d stabldad é fta, para ambos os controladors DMARC DMARC-S para plantas cuja modlagm lva a um modlo d grau rlatvo n=. Um novo algortmo, dfrnt do dsnvolvdo na Sção 5.3, é aprsntado para o caso d grau rlatvo n. 6. DMARC PARA PLAAS COM n = o controlador DMARC é proposta uma lgação ntr o MRAC o VS-MRAC através d uma únca l d adaptação. Para a prova d stabldad a l d adaptação ncal (Equaçõs (.6) (5.)) fo modfcada. Bascamnt, fo adconado um trmo na l d adaptação d forma a s podr lmnar os trmos d snas ndfndos, qu aparcm na drvada da função d Lyapunov. A déa das pondraçõs da lógca nbulosa do tpo akag- Sugno (Mota Araújo, ; akag Sugno, 985) é ncorporada m uma únca xprssão. Postrormnt, uma nova modfcação na l d adaptação fo fta, possbltando mlhors rsultados na análs d stabldad. As duas vrsõs do DMARC são aprsntadas a sgur. 6.. DMARC - Algortmo Consdra-s a sgunt l d adaptação:

129 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 9 ( μ) σγ ω μγ ω μ & = σ (6.) ond γ >, σ > Γ = dag, >, =, n. ω Dfn-s o fator σ como: ond, s < M μ σ = (6.) σc constant, m caso contráro M = com >, =, n. (6.3) A msma análs fta na sção.4 contnua válda. Quando μ, nota-s qu a Equação (6.) s rsum à Equação (.8), ou sja, ao algortmo VS-MRAC. A Equação (6.) pod sr rscrta como & σ = [( μ) σγ μγ I ] ω μ μ, γ > σ > (6.4) Anda, quando μ, obsrva-s qu o fator d squcmnto tnd a nfnto, mplcando qu o VS-MRAC não tm mmóra. O trmo d aprndzagm também crsc lmtadamnt, d ond conclu-s qu no VS-MRAC a adaptação é nstantâna. com fator σ. Quando μ =, a Equação (6.) s rsum à (.7) qu é a l d adaptação do MRAC A l d adaptação com fator sgma, no ntanto, pod aprsntar o ndsjávl fnômno d "burstng", dntfcado por (Hsu Costa, 987). Apsar da smlhança do DMARC com a l d adaptação com fator sgma, nota-s da Equação (6.4), qu o fator d squcmnto é varávl como m (arndra Annaswamy, 987) qu é lvr d burstng, dpndndo da forma como s ajusta o parâmtro μ, o algortmo DMARC pod atuar o mas próxmo possívl do controlador VS-MRAC. Ests fators contrbum para a ausênca do fnômno d burstng no DMARC.

130 3 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S O ajust do parâmtro μ, no DMARC, é fto d forma qu o controlador só s aproxma d uma ação mas prdomnant d um controlador MRAC quando o rro d saída é sufcntmnt pquno já tndndo ao rgm prmannt. Assm, é ntroduzdo o trmo ( μ) na Equação (6.) d forma qu a não lnardad, provocada pla função sgn (rprsntada plo trmo Γ), é gradatvamnt rduzda, a mdda qu μ, suavzando o snal d control m rgm prmannt. Dsta forma, objtva-s aprovtar as boas caractrístcas durant o transtóro dos controladors VS-MRAC, a suavdad do snal d control do MRAC, m rgm prmannt. xprssão sta s, para plantas com n =, o parâmtro μ é ajustado d acordo com a / l μ = (6.5) As caractrístcas, dsta prmra vrsão modfcada do DMARC é aprsntada no orma a sgur: orma 6.: Sja o sstma composto plas quaçõs da planta, modlo rro d saída ( ). Consdr as hpótss H-H5 dscrtas na sção 3.. S a l d adaptação é dada plas Equaçõs (6.-6.5), o snal d control pla Equação (3.6), todos os snas do sstma sm prturbação na ntrada (d =) são unformmnt lmtados. Prova: Escolh-s a função dfnda postva como canddata a função d Lyapunov V ~ ( ), = P nγ ~ ~ (6.6) Plo lma d Kalman-Yakubovtch ( A P PA = Q, Pb c = hc, P = P > Q = Q > ) c c, consdrando qu h = h =, ncontra-s para a drvada no tmpo ao longo da solução d (6.) (3.) (com d = ) c c V& (, ~ ) = Q ( μ) σ ~ γμ n [ Γ ω]

131 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 3 qu, juntamnt com as dfnçõs dos parâmtros d (6.) rsulta m ond ( ) [ sgn( ω )...sgn( )] sgn σ ( ) ~ V &, ~ = Q [ ( μ) Θ sgn( ω) ] γμ (6.7) ω = Θ ( ) ω n n = dag, =,...,n. A Equação (6.7) é rscrta como V& σ (, ~ ) = Q ( ) ( ) n γμ F (6.8) dfn-s F( ) = ( ) ( ) ond = ( ) Θ sgn( ω) μ. Dsnvolvndo F ( ), tm-s ( ) = [ ( )] ( ) [ ] ( ) F (6.9) Vrfca-s, pla dfnção d, qu d (6.8) (6.9) qu, uma vz qu μ, como >, tm-s σ (, ~ ) Q ( ) V& (6.) γμ n Assm, plas dfnçõs d σ M, dadas plas Equaçõs (6.) (6.3), pod-s conclur qu ~ (, ) Q V& (6.) D (6.6) (6.) conclu-s qu, ~, por consgunt, prtncm ao L. Sndo m [ y v ] ω = um lmnto do vtor rgrssor corrspondnt ao modlo d rfrênca vm m m

132 3 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S consdrando qu r L M(s) é stávl, tm-s qu 3., r = [ v y v ] s conclu qu x, v v L. Dsd qu [ ω r] ω m L. Como dfndos na sção ω Ω é uma matrz constant obdcndo a rlação ω = ω Ω, d ond conclundo-s a prova. ω = u = ω, conclu-s qu ω u L, r r m Assm, com o Algortmo do DMARC consgu-s, apnas, dmonstrar qu todos os snas do sstma m malha fchada são unformmnt lmtados. Uma vz qu o DMARC torna-s o VS-MRAC quando μ, é d s sprar qu sjam obtdos rsultados smlhants ao do VS-MRAC, s no orma 6., o valor d μ for constant com μ ao nvés d (6.5). Assm, s μ, a Equação (6.) s rsum à (5.), no lmt tm-s para (6.7) V& σ (, ~ ) = Q lm ( ) [ ( μ) Θ sgn( ω) ] n γ μ μ G (6.) Dfnndo-s G( ) = ( ) [ ( μ) Θ sgn( ω) ] ond Θ = dag( ) tm-s o sgunt lmt lm G μ μ lm G μ μ ( ) = lm [ ] [ ( μ) Θ sgn( ω) ] μ μ ( ) = lm Θ sgn( ω) lm G μ μ μ μ [ ] [( μ) Θ sgn( ω) ] μ [ ] ( ) = lm ( μ) Θ sgn( ω) μ, =,...,n. Assm, lm G μ μ μ [ ] > ( ) = lm ( μ) Θ sgn( ω) μ pos >, =,...,n. Dsta forma, tm-s para (6.) ~ (, ) Q V& (6.3)

133 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 33 D (3.) com d =, como A c é stávl u L, conclu-s qu & L. Sja dsd qu W & L, tm-s qu W é unformmnt contínua. D (6.) chga-s a W = Q, lm t t W ( τ ) dτ < para alguma condção ncal, o qu mplca m lm =, conclundo-s qu lm. t t = Obsrvação: Um aspcto prátco da mplmntação do DMARC dv sr consdrado a partr da obsrvação da Equação (6.). Para vtar rro numérco, o valor d μ, qu s ncontra no dnador, é lmtado nfrormnt por um valor pquno. μ p convnntmnt 6.. DMARC - Algortmo Uma nova proposta para o DMARC é fta, rscrvndo (6.) como com = (... ) dag & σ σ = ( μ) Θ sgn( ω ) γ ω μ μ, γ > σ > (6.4) n p Θ, ( ) [ sgn( ω )...sgn( )] p sgn ω = ωn σ uma constant. Consdrando qu o trmo μ p dv sr lmtado nfrormnt, quanto mnor for o su valor mas o DMARC s aproxma do VS-MRAC, sugr-s qu o parâmtro μ p prmança fxo, m su valor lmt sufcntmnt pquno, com o parâmtro μ varando d acordo com a Equação (6.5). Smplfcando um pouco mas a Equação (6.4), tm-s ( μ) Θ sgn( ω) γ ω μ & p = σ σ, γ > μ p > (6.5) ond o produto μ p γ é rprsntado apnas por γ, uma vz qu tanto μ p como γ são constants d projto.

134 34 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S O fto d uma prturbação lmtada na ntrada da planta pod sr rjtado adconando-s ao snal d control uma componnt a strutura varávl, tornando o snal d control da forma ( ) u = ω d sgn (6.6) ond d é um lmtant supror para a prturbação d ntrada dsconhcda. Quando um lmtant supror para a prturbação não é conhcdo, st pod sr dtrmnado adaptatvamnt como sugrdo m (Fng, 994). A ntrodução do snal adconal a strutura varávl (Equação (6.6)), é capaz d rjtar compltamnt a prturbação d ntrada porém, traz consgo o ndsjávl fnômno d chattrng. Sgundo-s o msmo prncípo utlzado na l d adaptação para o DMARC (Equaçõs (6.) (6.5)), o trmo ( μ) é multplcado à componnt a strutura varávl do snal d control para rduzr o chavamnto, a mdda qu o rro d saída s aproxma d zro. Dsta forma, s consgu atnuar o chattrng no snal d control. A Equação (6.6) é rscrta, ntão, como ( μ) d sgn( ) u = ω (6.7) l ond μ ( ) =. st caso, a prturbação não é totalmnt rjtada mas, su fto é snsvlmnt rduzdo scolhndo-s l razoavlmnt pquno. As caractrístcas dst algortmo DMARC são nuncadas no sgunt orma: orma 6.: Sja o sstma composto plas Equaçõs da planta, modlo rro d saída ( ). Consdr as hpótss H-H5 dscrtas na sção 3.. S a l d adaptação é dada plas Equaçõs (6.5) (6.5), o sstma trá as sgunts caractrístcas: S o snal d control é dado pla Equação (3.6) ) odos os snas m malha fchada são unformmnt lmtados. ~ ) Exstm constants postvas α c tas qu ( t) ( t) convrgm xponncalmnt para o conjunto rsdual dfndo como: = ~ (, ) V (, ~ ) c d < α σ γ D R n

135 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 35 ~ ~. ond V (, ) = P nγ μ p ~ ) () t () t ~ σ são d γ pqunos no sntdo médo quadrátco. Ou sja, ( t) ~ σ () t S d com d d() t γ >. S o snal d control é modfcado xprsso pala Equação (6.7) v) () t () t ~ σ S l d o conjunto rsdual do tm () torna-s γ D R = ~ (, ) V (, ~ ) < α n σ γ, 5 ld ond d > W d () t (Equação (3.3)) l é satsfatoramnt pquno. d Prova: A prova sgu os passos da prova do orma. Escolh-s a função dfnda postva como canddata a função d Lyapunov V ~ μ p ~ ~ ( ), = P nγ (6.8) Plo lma d Kalman-Yakubovtch ( A P PA = Q, Pb c = hc, P = P > Q = Q > ) c c, consdrando qu h = h =, ncontra-s para a drvada no tmpo ao longo das soluçõs d (3.) (6.5) c c V& σ (, ~ ) [( ) ] ~ = Q b d P Pb d ( μ) Θ sgn( ω) nγ [ ] V& σ (, ~ ) = ( ) ~ ~ Q d b P ( μ) Θ sgn( ω) nγ

136 36 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S V& (, ~ ) c d ~ ( ~ σ λmn Q ) n γ ond = ( μ) Θ sgn( ω), mn Q λ é o mínmo auto valor da matrz Q, c max ( b P) =, =,..., n =... 3 n. Compltando-s os quadrados para os trmos m ~ tm-s (, ~ ) c d σ γ V & λ mnq nγ n σ ~ ~ (, ~ ) λ λ c d σ γ V & mn Q max P p λmax P μ p nγ n σ μ ~ ~ & c d ( ) ( ) σ, ~ αv, ~ V n γ ond, c c λ λ = mn σ, α, d d ( t) =, mn Q mnq λmax P μ p <. > c d, ~ σ ~ V nγ V &. Então, todas as soluçõs α d (6.5) (3.) são unformmnt lmtadas. Sgundo o msmo procdmnto do orma 6., conclu-s qu todos os snas m malha fchada são unformmnt lmtados ~ t convrgm xponncalmnt para o conjunto rsdual dfndo m (). Assm, s ( ) = V, tm-s qu (, ) qu () t () Da xprssão (, ~ ) obtém-s a sgunt dsgualdad V & λmn Q nγ n c d σ ~ ~ σ γ 3 ss caso partcular usa-s a norma para o vtor rro. os dmas casos utlza-s a norma Eucldana (Ioannou Sun 996, pág. 69).

137 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 37 [ V ] t t ~ ~ c d d 4σ c d γ ~ t t τ τ n ( ) () t V ( ) ( t ) ~,, τ, t > γ t t ~ ~ σ d d c3 d c4 t τ t ond c σ = mn λ mn Q,, nγ = c max c 4 [ ] c 3, c sup V ( ) () t V ( ) ( t ) 4 = ~ ~, n c, t. Dss modo, ~ prtncm a S d σ, rsultando m (). γ Para analsar o fto da prturbação com a ntrodução do snal adconal a strutura varávl na l d control, rscrv-s (3.) (3.3) da forma: c c n ( u u W d ) b & = A = h c d (6.9) Obsrvação: Quando um lmtant supror para a prturbação d ntrada d d ( t) conhcdo, o valor d d W d ( t) como mostrado no Lma 4.. > é > d pod sr obtdo através d uma vrsão fltrada d d, Escolh-s a msma canddata a função d Lyapunov dada m (6.8) sgu-s os msmos passsos da prova do orma 6.. Dsta forma, V ~ μ p ~ ~ ( ), = P nγ Plo lma d Kalman-Yakubovtch ( A P PAc = Q, Pb c = hc, P = P > Q = Q > ) c, consdrando qu h = h =, ncontra-s para a drvada no tmpo ao longo da solução d (6.5) (6.9). c c

138 38 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S V& σ (, ~ ) = [ ( μ) ] ~ ~ Q d W d ( μ) Θ sgn( ω) n d σ (, ~ ) = [ ] μ ( ~ ) ( ~ Q d Wd d d ) n V& (6.) γ n n γ n Analsando-s a xprssão μ = l vrfca-s qu sta possu um máxmo m l = cujo valor é, 5 max( μ ( ) ) = l (6.) Consdrando qu <, utlzando o rsultado (6.) compltando o quadrado para o trmo m ~ na Equação (6.), tm-s V& ~ Somando subtrando α (, ) V& ( ), ~, 5 σ σ λ mn Q ld nγ n γ V ncontra-s ~ ~ ( ) ( ) ( ), ~, ~, 5 λmax P σ α V λmn Q α σ αμ p ld nγ n γ ~ ~ λ scolhndo-s α = mn λ mn Q max P σ, μ p rsulta V& ( ) ( ), ~, ~, 5 σ V ld n γ α (6.)

139 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 39 5, ~, ~ n γ V &. Portanto, todas as α soluçõs d (6.4) (6.8) são unformmnt lmtadas, todos os snas m malha fchada ~ t convrgm xponncalmnt para o conjunto Assm, s V ( ) ld = V, tm-s qu (, ) são unformmnt lmtados ( t) ( ) rsdual dfndo m (v). ota-s d (6.), qu o fto da prturbação é razoavlmnt rduzdo à mdda qu s dmnu o valor d l totalmnt rjtado quando l =. Quando l, tm-s qu μ = l, a Equação (6.7) s rsum à Equação (6.6), cujo trmo adconal é um trmo a strutura varávl pura, sto é, sm suavzação. Da xprssão V& ( ), ~, 5 σ σ λ mn Q ld nγ n γ ~ ~ s obtém as sgunt dsgualdads: [ V ], 5 t t ~ ~ k d d γ d σ ~ t t τ τ l n ( ) () t V ( ) ( t ) ~,, t t t ~ ~ σ dτ dτ k ld k, t >. t γ ond k, 5 = mn λ σ mn Q, nγ, k = max, kn k [ ] k sup V ( ) () t V ( ) ( t ) ~ ~ =,, t. Isto sgnfca qu ~ prtncm a S σ l d. γ Obsrva-s, dst rsultado, qu a prtnênca d ~ ao L s torna mas próxma, à mdda qu γ l.

140 4 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6. DMARC AKAGI-SUGEO PARA PLAAS COM n = a sção 5, fo aprsntada uma proposta para o DMARC-S, ond os parâmtros do controlador são dtrmnados utlzando pondraçõs das ls d adaptação do controlador MRAC do controlador VS-MRAC, basado na lógca nbulosa, usando o modlo akag- Sugno (Mota Araújo, ). sta sção ao nvés das pondraçõs dos parâmtros do controlador, grados plas ls do MRAC do VS-MRAC, são utlzadas pondraçõs dos sus rspctvos snas d control, como squmatzado na Fgura 6.. Esta abordagm s assmlha à combnação convxa dos snas d control grados por um squma adaptatvo um squma a strutura varávl, aprsntada m (Sannr Slotn, 99) (Hsu Ral, 997). f(t) r(t) d (t) u(t) M(s) W(s) y y m - Ls do MRAC u vs u mr μ μ Fgura 6.: Dagrama do squma d control do DMARC-S. A l d control, nss caso, é dada por ( μ) vs u = μ u mr u (6.3) ond umr é o snal grado plo MRAC, u vs é a l d control grada plo VS-MRAC μ é a função d prtnênca do modlo akag-sugno, spcfcada m (6.5). Vê-s qu, para μ =, rro muto lvado, tm-s u = uvs com ação total do controlador VS-MRAC. Quando μ =, rro tndndo a zro, tm-s u = umr com ação pura do controlador MRAC. O snal d control a strutura varávl do VS-MRAC é scrto rduzndo-s o númro d rlés como sgu

141 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 4 u vs ( ) = ω sgn (6.4) ω = ω ω... ωn > ond [ ], =,...,n. As ls d adaptação a srm utlzadas no MRAC, podm sr convnntmnts ajustadas, para o uso das funçõs d Lyapunov. Uma vantagm do DMARC-S, m rlação ao DMARC, é a possbldad d s usar as dfrnts ls d adaptação, convnntmnt modfcadas, para o squma adaptatvo do MRAC. Assm, consdra-s a convnconal l gradnt d adaptação modfcada como & = μγ ω (6.5) a ausênca d prturbação na ntrada da planta, a utlzação da l d adaptação (6.5) no squma do DMARC-S garant o rro d saída zro m rgm prmannt. As caractrístcas para o DMARC-S, para o sstma sm prturbação com (6.5) no squma DMARC-S são nuncadas no sgunt orma: orma 6.3: Sja o sstma composto plas Equaçõs da planta, modlo rro d saída ( ). Consdr as hpótss H-H5 dscrtas na sção 3.. S o squma d control do DMARC-S é spcfcado plas Equaçõs ( ) (6-5), o sstma sm prturbação na ntrada ( d = ) trá as sgunts caractrístcas: ) odos os snas m malha fchada são unformmnt lmtados. quando t. ) () t Prova: Escolh-s a sgunt função dfnda postva como canddata a função d Lyapunov ~ ~ V (6.6) ~ ( ), = P nγ cuja drvada no tmpo, ao longo d (6.9) (com d = ) (6.5) é

142 4 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S & ~ (6.7) ~ (, ) = Q ( u ω) ( μγ ω) V n nγ Substtundo o snal d control dado m (6.3) (6.4) tm-s V& [ μ Θ ] ω ( ) μω ~ (, ) = Q ( μ) sgn( ω) n n rsultando m ~ (, ) = Q ( μ)( ω ω) V& (6.8) n (, ~ ) = Q V& (6.9) D (6.6) (6.9) conclu-s qu, ~, por consgunt, prtncm ao L. Sgundo o msmo procdmnto do orma, conclu-s (). como Procd-s d forma smlhant ao tm () do orma. D (6.9) com d =, A c é stávl u L, conclu-s qu & L. Sja conclu-s qu W é unformmnt contínua. D (6.9) tm-s qu W = Q, dsd qu W & L, lm t t W ( τ ) dτ < para alguma condção ncal, o qu mplca m lm ( t) =, conclundo-s qu lm ( t) o qu rsulta m (). t t = Analsa-s agora, o caso d uma prturbação lmtada, d ( t), na ntrada da planta. o controlador VS-MRAC, uma prturbação lmtada na ntrada da planta é rjtada adconando-s à função d modulação do rlé um lmtant supror da prturbação. O snal d control a strutura varávl do VS-MRAC (Equação (6.4)) é ntão, rscrto como sgu

143 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 43 u ( d ) sgn( ) vs = ω (6.3) ond d > W d () t. d o DMARC-S, porém, a componnt do snal d control corrspondnt ao VS- MRAC, não é capaz d rjtar compltamnt a prturbação d ntrada, dvdo à pondração aplcada a sta componnt. Por outro lado, no controlador MRAC, a l gradnt d adaptação pura é conhcdamnt não robusta, m rlação a prturbaçõs dnâmca não modlada. st caso, dv-s ncorporar à l d adaptação (6.5) alguma das modfcaçõs propostas na ltratura qu garant robustz ao sstma MRAC. A l d adaptação (6.5) é, ntão, modfcada para & = f μγ ω (6.3) ond f rprsnta o fto d uma das modfcaçõs para garantr robustz ao sstma MRAC. Dpndndo do algortmo a sr usado, f pod sr scolhda como: modfcação σ -fxo (Ioannou Kokotovc 984), modfcação σ -chavado (Ioannou, 984), modfcação (arndra Annaswamy, 987), ou ncorporado ao B-MRAC (Hsu Costa, 994), dntr outros. As modfcaçõs propostas a stas ls, para uso no DMARC-S, são as sgunts: Modfcação σ -fxo & = σ μγ ω ; σ > γ > (6.3) Modfcação σ -chavado & = σ μγ ω ; σ > γ > (6.33), s < M ond σ = σ constant, s M, M.

144 44 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Modfcação & = μσ μγ ω ; σ > γ > (6.34) B-MRAC & = μσ μγ ω ; γ > (6.35),s < M ou σ q <, ond, σ = σ q,s M σ q, γ ω = ; σ q M. A partr d (6.3) os valors corrspondnts d f para os algortmos (6.3), (6.33), (6.34) (6.35) são rsumdos na abla 6.. abla 6.: Valors d f para os dvrsos algortmos MRAC modfcados. ALGORIMO A MODIFICAR VALOR DE f RESRIÇÃO σ -fxo σ σ > σ -chavado σ, s < M σ = σ, s M ; M Modfcação μ σ σ > B-MRAC μσ,s < M ou σ q <, σ = σ q,s M σ q, σ q γ ω = M ; Para a análs d stabldad do DMARC-S, com os prcdnts algortmos d adaptação para o MRAC, é utlzada a sgunt canddata à função d Lyapunov V ~ ~ ~ ( ), = P nγ

145 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 45 cuja drvada no tmpo, ao longo das soluçõs d (6.9) (6.3), com o auxílo do Lma d Kalman-Yakubovtch (sgundo-s o msmo procdmnto do orma 6.), é dada por ( ) [ ] ( ) f ~ γ d W d d Q, ~ V n d n n = μ & Utlzando-s o rsultado d (6.) ncontra-s ( ) ( ) f ~ γ d Q, ~ V n, 5 n l & (6.36) Consdrando-s qu ( ) ( ) = = = = = n n n ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ (6.37) A Equação (6.36) pod sr rscrta para cada algortmo modfcado como sgu Modfcação σ -fxo ( ) d γ ~ ~ γ, ~ V, Q mn l & 5 n n σ σ λ (6.38a) ( ) ( ) d γ, ~ V, ~ V, l & 5 n σ α (6.38b) ond = σ λ λ α, mn max P mnq.

146 46 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Modfcação σ -chavado V& ( ), ~, 5 σ σ mn Q ld nγ n γ ~ ~ λ (6.39a) V& ( ) ( ), ~, ~, 5 σ V ld n γ α (6.39b) V& (, ~, 5 ) ld λ mn Q (6.39c) n λmnq ond α = mn, σ λmax P m (6.38a) fo consdrado qu σ ~ σ ~. Modfcação ( ) ~ ~ V &, ~, 5 σ σ λmn Q l d nγ n γ (6.4a) (, ~ ) (, ~, 5 σ αv ) l d V & n γ (6.4b) λmnq ond α = mn, σ. λmax P Modfcação B-MRAC V& ~ ~ ( ), ~, 5 μσ μσ mnq ld γ n n γ λ (6.4a) V& (, ~, 5 ) ld λ mnq (6.4b) n

147 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 47 As caractrístcas do DMARC-S com as modfcaçõs ( ) são nuncadas no sgunt orma: orma 6.4: Sja o sstma composto plas Equaçõs da planta, modlo rro d saída ( ). Consdr as hpótss H-H5 dscrtas na sção 3.. S o squma d control do DMARC-S é spcfcado plo snal d control dado pla Equação (6.3), ond o parâmtro μ é dado pla Equação (6.5), o snal a strutura varávl pla Equação (6-3), as ls d adaptação do squma adaptatvo modfcadas plas Equaçõs ( ), o sstma trá as sgunts proprdads: ) odos os snas m malha fchada são unformmnt lmtados. ) O sstma é robusto m rlação a uma prturbação lmtada d nsrda na ntrada da planta, no sntdo d qu todos os snas m malha fchada prmancm unformmnt lmtados. ) Em adção, tm-s para cada modfcação: Modfcação σ fxo: a) ~ σ S l d com d > W d d l arbtraramnt pquno. γ ~ t convrgm b) Exst uma constant postva α tal qu ( t) xponncalmnt para o conjunto rsdual dfndo como: () D R = ~ (, ) V (, ~ ) < α n σ γ, 5 ld ~ ~ ~ V. ond (, ) = P nγ c) S λ < λ mn Q < σ, ntão xst uma constant ρ ndpndnt d σ tal qu o max P vtor d rro d stado ( t) convrg xponncalmnt para o conjunto rsdual

148 48 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S D = < ρ n σ γ, 5 ld com uma taxa d σ t. Modfcação σ chavado: a) ~ σ S l d com d > W d d l arbtraramnt pquno. γ ~ t convrgm b) Exst uma constant postvas α tal qu ( t) xponncalmnt para o conjunto rsdual dfndo como: () D R = ~ (, ) V (, ~ ) < α n σ γ, 5 ld ~ ~ ~ V,. ond ( ) = P γ n c) S λ < λ mn Q < σ, ntão xst uma constant ρ ndpndnt d σ tal qu max P o vtor d rro d stado ( t) convrg xponncalmnt para o conjunto rsdual D = < ρ n σ γ, 5 ld com uma taxa d. sndo λ mnq o mínmo autovalor d Q λ max P o máxmo σ t autovalor d P. Modfcação : a) ~ S l d com d > W d d l arbtraramnt pquno. γ

149 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 49 b) Exstm constants postvas α c tas qu () t xponncalmnt para o conjunto rsdual dfndo como: () t ~ convrgm D R = ~ (, ) V (, ~ ), 5 σ < l α n γ d ~ ~ ~ V. ond (, ) = P γ n c) S λ < λ mn Q < σ, ntão xst uma constant ρ ndpndnt d σ tal qu o max P vtor d rro d stado ( t) convrg xponncalmnt para o conjunto rsdual D = < ρ n, 5 σ l γ d com uma taxa d σ t. sndo λ mnq o mínmo autovalor d Q λ max P o máxmo autovalor d P. Modfcação B-MRAC: a) S ( ) M, ntão, ( ) M t t ; b) convrg xponncalmnt para um conjunto rsdual da ordm d O ld. γ Prova: Consdra-s ncalmnt os algortmos modfcados, ( ). A partr d (6.6), os tns () () para os algortmos modfcados ( ), vêm drtamnt d (6.38b), (6.39b) (6.4b), rspctvamnt. D (6.38a), (6.39a) (6.4a) sgundo-s os passos do orma 6., chga-s aos rsultados dos tm (-a b) para os três algortmos.

150 5 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Agora, analsa-s o algortmo modfcado (6.3) (σ fxo). Sndo λ mnq o mínmo autovalor d Q λ max P o máxmo autovalor d P, s λ < λ mn Q < σ (6.4) max P λmnq ntão, d α = mn, σ λmax P tm-s qu α = σ (6.43) o conjunto rsdual D R, do tm (-b) aumnta com o dcréscmo d σ. Entrtanto, um mnor conjunto rsdual para () t pod sr obtdo rscrvndo-s (6.38b) a partr d (6.38a) como V& ( ) ( ), ~, ~, 5 λmax P σ α V λmn Q σ ld n γ Claramnt, s > λ mn Q σλ max P n σ γ, 5 ld ntão ( ) < V &, ~, consqüntmnt, xst uma constant ρ, ndpndnt d σ, tal qu () t convrg xponncalmnt para o conjunto rsdual D = < ρ n σ γ, 5 ld com uma taxa d σ t, mplcando m (-c) para o algortmo (6.3). Analsando-s o algortmo modfcado (6.33) (σ chavado), d forma smlar s

151 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 5 λ < λ mn Q < σ (6.44) max P λmn Q ntão, d α = mn, σ λmax P tm-s qu α = σ (6.45) Sgundo o msmo procdmnto dsnvolvdo para algortmo (6.3), a partr d (6.39a) (6.39b) conclu-s (-c) para o algortmo (6.33). Para o algortmo modfcado (6.34) (modfcação ), d (6.4a) (6.4b), fazndo-s a consdração (6.4) conclu-s (6.44). Rscrv-s (6.4b) a partr d (6.4a) como V& (, ~ ) (, ~, 5 λmax P σ αv ) λ σ l d mn Q n γ nota-s qu, s > λ mn Q σλ max P n, 5 σ l γ d ntão ( ) < V &, ~, com o msmo procdmnto dsnvolvdo para algortmo (6.3), s conclu (-c) para o algortmo (6.34). Consdra-s agora, o algortmo modfcado B-MRAC (6.35). Dfn-s para o parâmtro, a sgunt canddata à função d Lyapunov V ( ) cuja drvada no tmpo ao longo da solução d (6.35) utlzando a dfnção d σ q (vd abla 6.) é ( ) = μ( σ σ ) = μ( σ σ ) V ( ) V& (6.46) q q

152 5 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Pla dfnção d σ (abla 6.), vê-s qu, para tm-s ( σ ) M σ,, q consquntmnt ( ) = μ( σ σ ) V & q, tal qu M (6.47) Assm, o conjunto M é postvamnt nvarant o qu rsulta m (-a). Dst rsultado, conclu-s qu ~ ~ é unformmnt lmtado por uma constant. Ou sja, xst um tmpo fnto na bola dfnda por t =, tal qu qualqur trajtóra dscrta por ntra M =, nla prmanc. st caso pod-s dzr qu ~ = (6.48) Então, d (6.6) fazndo-s uso d (6.48), tm-s a dsgualdad V ~ (, ) λmax P (6.49) γ n Explctando a dsgualdad (6.49) m função d utlzando o rsultado m (6.4b), ncontra-s V& (, ~ ) V (, ~ 4, 5 λ λ mn Q mn Q ) ld V& λ max P λ γ max P n n (, ~ ) (, ~ α V ) α ld (6.5) γ ond, λ mnq α =, 4λ, 5 mn Q α = max,, sndo λ λ mnq o mínmo autovalor d Q max P λmax P n n λ max P o máxmo autovalor d P. Est rsultado, mplca na proprdad (-b) do algortmo modfcado (6.35) (modfcação B-MRAC), conclundo-s, assm, a prova.

153 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 53 Vrfca-s nas dmonstraçõs dos ormas, mas spcfcamnt na Equação (6.), qu a scolha da função qu dfn o parâmtro (ou função d prtnênca) μ ( ) é d grand mportânca na dmnsão do conjunto rsdual para o qual o sstma convrg. Obvamnt, xstm outras funçõs qu podm sr scolhdas para rprsntar μ ( ), satsfazndo as condçõs dsjadas, qu são: Quando μ ( ) Quando μ ( ), ond ρ > sufcntmnt pquno μ( ) ρ Algumas das possívs rprsntaçõs para μ ( ) satsfazndo as condçõs spcfcadas são aprsntadas na abla 6.. abla 6.: Algumas possívs rprsntaçõs para μ ( ). ( ) μ ( ) max μ ( ) l, l > sufcntmnt pquno.,5 l l, l > sufcntmnt pquno. β, β > sufcntmnt lvado. β, β > sufcntmnt lvado. l β β

154 54 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6.3 DMARC PARA PLAAS COM n > a sção 5., fo utlzada a strutura do VS-MRAC compacto, para dsnvolvr o controlador DMARC para n > (vd Fgura 5.3). sta sção, srá aprsntado um algortmo mas smpls utlzando a strutura do VS-MRAC com compnsador lnar (Pxoto, Lzarrald Hsu, ; uns, Hsu Lzarrald, 6). sta strutura usa-s um oprador L () s (não-causal), para compnsar o grau rlatvo xcdnt da planta. Como o modlo d rfrênca é conhcdo, pod-s scolhr o oprador L ( s), d grau rlatvo n, d forma qu a função d transfrênca ML ( s) sja strtamnt ral postva (ERP). o ntanto, por sr não causal, a mplmntação d tal oprador não é possívl. A sua ralzação é fta, ntão, d forma aproxmada através d um compnsador composto por um fltro lnar m avanço, com a sgunt função d transfrênca L a () s ( s) ( τ s) L = (6.5) F ond F( τ s) = ( τs ) l, é um polnômo Hurwtz m τ s, d grau n F. l ( ) = Usando sta strutura, o controlador para plantas com grau rlatvo n > é, ntão, squmatzado como mostrado na Fgura 6.. L F ( s) ( τs) Fgura 6.: Dagrama do DMARC usando fltro m avanço para mplmntação d L ( s). L a ota-s d (6.5) qu a mdda qu τ tnd a zro, a função d transfrênca L () () s s =, s aproxma d L ( s) ( τ s ) l rlatvo da planta., compnsando assm, d forma aproxmada, o grau O snal d rro auxlar, da Fgura 6., é dado pla xprssão

155 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 55 ( s) = (6.5) La Dsta forma, d (3.3), (6.5) (6.5), consdrando qu F = tm-s F F [ U ] β u βu = k ML u (6.53) ond k =, U = ω W d d n F k β u = ML u F (6.54) F k β U = ML U F (6.55) O rro auxlar é, ntão, vsto como um sstma modlado por uma função d transfrênca ERP com prturbaçõs nos canas d ntrada saída. Anda, o oprador M ()() s L s ( s) ( ) F τs F τ é stávl strtamnt própro. D forma smlhant, o controlador DMARC-S é struturado como lustrado no dagrama d blocos da Fgura 6.3. f(t) r(t) d (t) u(t) M(s) W(s) y y m - La(s) Ls do MRAC u vs u mr l ( l ) Fgura 6.3: Dagrama do DMARC-S usando fltro m avanço para mplmntação d L ( s).

156 56 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S ota-s qu as struturas d control do DMARC DMARC-S (Fguras , rspctvamnt) são as msmas dfrncando-s na gração do snal d control. Assm, as Equaçõs (6.53) a (6.55) são váldas para os dos controladors, com sus rspctvos snas d control. a Sção 6.4., srão aprsntadas smulaçõs para o control d posção do msmo motor CC da Sção 5.5, com o ntuto d avalar o dsmpnho do DMARC DMARC-S com fltro m avanço para mplmntação d L ( s). 6.4 RESULADOS DE SIMULAÇÕES sta sção são aprsntadas smulaçõs para lustrar o funconamnto do DMARC, com os algortmos propostos. Os rsultados d smulaçõs dos dvrsos algortmos do DMARC-S são muto smlhants, por sso, aprsnta-s apnas a vrsão DMARC-S com modfcação B-MRAC DMARC Planta n = Consdra-s a planta d sgunda ordm grau rlatvo untáro xprssa pla função d transfrênca W () s s = s ( ) O modlo d rfrênca é spcfcado por M () s = s ( s )( s 3) Foram scolhdos os fltros da ntrada saída como Λ= - g = Os parâmtros são rspctvamnt

157 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 57 = (, 5; 6; 5; ) = (, 6; 7; 6; ) As smulaçõs são ftas, sob as condçõs aprsntadas na abla 6.3, usando-s um passo d ntgração h =,. abla 6.3: Varaçõs m r d durant as smulaçõs. IERVALO REFERÊCIA PERURBAÇÃO t< r(t) = d (t) =,5 t< r(t) = - d (t) =, t< r(t) = d (t) =,5 os algortmos d control DMARC, para compnsar o fto da prturbação d ntrada, a l d control é dada por ( μ) d sgn( ) u = ω l ond o parâmtro μ é ajustado sgundo a função μ ( ) = nas smulaçõs são aprsntados na abla Os parâmtros utlzados abla 6.4: Parâmtros utlzados nas smulaçõs da planta d grau rlatvo untáro. ALGORIMO PARÂMERO σ l γ d μ P DMARC Algortmo 5 DMARC Algortmo 5 DMARC-S Modfcação B- MRAC 5, , ,5 Os rsultados d smulaçõs ncontram-s lustrados nas Fguras para o Algortmo do DMARC, nas Fguras , para o Algortmo do DMARC nas Fguras 6.8, para o Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC.

158 58 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Fgura 6.4: DMARC Algortmo : Saídas da planta do modlo snal d control. Fgura 6.5: Erro d saída do Algortmo do DMARC.

159 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 59 Fgura 6.6: Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC. Fgura 6.7: Erro d saída do Algortmo do DMARC.

160 6 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Fgura 6.8: Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC. Fgura 6.9: Erro d saída do DMARC-S com modfcação B-MRAC.

161 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6 ota-s qu os rsultados obtdos são smlhants nos três algortmos smulados. A rápda convrgênca do rro d rastramnto dmonstra o bom dsmpnho transtóro do sstma controlado. A suavdad do snal d control também é obsrvada m todas as smulaçõs, plas condçõs mpostas nas smulaçõs, o sstma s mostra robusto m rlação a prturbaçõs na ntrada da planta. a Fgura 6., pod-s obsrvar a composção dos snas d control durant a volução do sstma. ota-s, qu a componnt do snal d control do controlador VS- MRAC, tm sua maor ação no nstant ncal nos nstants do chavamnto da rfrênca prturbação, s confundndo com o própro snal do DMARC-S. Est papl, por sua vz, é assumdo plo snal d control do controlador MRAC, quando o sstma s aproxma do rgm prmannt, ond o snal d control do controlador VS-MRAC pratcamnt s anula. Est comportamnto é o dalzado na proposção do controlador DMARC, ou sja, a ação ftva do VS-MRAC nos transtóros a ação d control do MRAC m rgm prmannt. Fgura 6.: Composção dos snas d control no DMARC-S com modfcação B-MRAC.

162 6 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6.4. DMARC Planta n > Os novos algortmos do DMARC DMARC-S são utlzados na smulação do control d posção do motor d corrnt contínua da Sção 5.5, qu é modlado como um sstma d trcra ordm grau rlatvo n = 3. A planta srá smulada sobr as msmas condçõs aprsntadas na abla 5.4. O modlo d rfrênca, os fltros d ntrada saída as condçõs ncas são as msmas spcfcadas na Sção 5.5. A strutura d control é a aprsntada na fgura 6.. As ls d adaptação d control são as msmas utlzadas para o caso n =, substtundo-s, apnas, o rro d saída plo snal d rro auxlar. Os parâmtros utlzados nas smulaçõs ncontram-s na abla 6.5. abla 6.5: Parâmtros utlzados nas smulaçõs da planta com grau rlatvo n>. PARÂMEROS ALGORIMO h τ l σ l γ d μ P DMARC Algortmo 4 4 3, 5,4,5 DMARC Algortmo 4 4 3, 5,4,5 DMARC-S Modfcação B-MRAC 4 4 3,,5,4 - As Fguras lustram os rsultados das smulaçõs ftas com o Algortmo do DMARC, as Fguras , com o Algortmo do DMARC as Fguras 6.5, 6.6 com o Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC. Conclusõs smlhants, ao caso antror ( n = ) podm sr tradas. Os Algortmos do DMARC aprsntaram comportamntos smlhants, com rlação ao rro d rastramnto ao snal d control, com uma vantagm, quas mprcptívl, m favor do Algortmo do DMARC. O algortmo DMARC-S mostrou-s mas snsívl m rlação ao chavamnto da rfrênca, da prturbação da varação do ganho d alta frqüênca. o ntanto, o DMARC-S aprsnta rro d rastramnto m rgm prmannt, quando smulado m um tmpo maor, pratcamnt nulo. Enfm, os três algortmos propostos aprsntaram os rqustos d transtóro rápdo pouco osclatóro snal d control suav m rgm prmannt. Além dsso, mostraram robustz à prturbação d ntrada.

163 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 63 Fgura 6.: Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC. Fgura 6.: Erro d saída do Algortmo do DMARC.

164 64 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S Fgura 6.3: Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo do DMARC. Fgura 6.4: Erro d saída do Algortmo do DMARC.

165 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 65 Fgura 6.5: Saídas da planta do modlo snal d control do Algortmo DMARC-S com modfcação B-MRAC. Fgura 6.6: Erro d saída do DMARC-S com modfcação B-MRAC.

166 66 Sção 6 - Análs d stabldad do DMARC DMARC-S 6.5 COCLUSÕES sta sção, foram dsnvolvdos alguns algortmos para os controladors DMARC DMARC-S. Os bons rsultados d smulaçõs aplcaçõs prátcas motvaram a busca d modfcaçõs nos algortmos ncas qu garantssm stabldad ao sstma. Para plantas com n=, foram ftas análss d stabldad com os algortmos propostos. O Algortmo do DMARC consttu-s na prmra modfcação fta, os rsultados da análs d stabldad garantm, apnas, qu todos os snas do sstma m malha fchada são lmtados. Com o Algortmo do DMARC garant-s qu todos os snas do sstma m ~ t convrgm xponncalmnt para um pquno malha fchada são lmtados ( t) ( ) conjunto rsdual, msmo na prsnça d prturbação d ntrada. Foram dsnvolvdos quatro algortmos para o DMARC-S, a partr d modfcaçõs das ls d adaptação dos controladors MRAC. Os controladors obtvram rsultados smlhants d análs d stabldad, com todos os snas do sstma m malha fchada ~ t convrgndo xponncalmnt para um pquno unformmnt lmtados com ( t) ( ) conjunto rsdual, msmo na prsnça d prturbação d ntrada. os rsultados d smulaçõs, os algortmos aprsntaram, smlhantmnt, rsposta rápda, pratcamnt sm osclaçõs snal d control suav. Para o caso d plantas com n>, fo usada a strutura do VS-MRAC com compnsador lnar, para dsnvolvr o DMARC DMARC-S, tornando os algortmos d control mas smpls qu os aprsntados na Sção 5.3. os rsultados das smulaçõs o DMARC DMARC-S aprsntaram transtóro rápdo pouco osclatóro snal d control suav m rgm prmannt. Além dsso, plas condçõs mpostas na smulação, mostraram-s robustos m rlação à prturbação d ntrada. O algortmo DMARC-S mostrou-s mas snsívl m rlação ao chavamnto da rfrênca, da prturbação da varação do ganho d alta frqüênca.

167 Sção 7 Conclusõs Prspctvas Futuras COCLUSÕES E PERSPECIVAS FUURAS sta s foram dsnvolvdos dos controladors dnados DMARC DMARC-S, os quas sgum a flosofa d combnar control a strutura varávl control adaptatvo, no ntuto d s obtr as boas qualdads nrnts d cada stratéga d control. Dsta forma, objtvou-s a utlzação do controlador VS-MRAC durant o príodo transtóro, quando o rro d saída é lvado, tndndo ao controlador MRAC quando o rro d saída s torna sufcntmnt pquno, caractrzando o rgm prmannt. A dalzação do controlador DMARC surgu com a l d adaptação (5.), qu fo aprsntada m (Hsu Costa, 989), apnas para fto d análs (vd Sção 5..). A prmra proposta para o DMARC fo a d utlzar a l d adaptação (5.), fazndo o parâmtro μ varar m tmpo ral, possbltando-s, assm, a ntrpolação ntr o MRAC o VS-MRAC. Para qu a transção ntr os controladors s dss d uma forma suav, fo utlzada a lógca nbulosa para ajustar o parâmtro μ. Através d smulaçõs da aplcação prátca no control d vlocdad d um motor d ndução, o controlador mostrou-s sr capaz d atngr o objtvo proposto, ou sja, bom dsmpnho transtóro, nrnt do VS-MRAC boa suavdad do snal d control m rgm prmannt, caractrístca do MRAC. a análs d stabldad, a l d adaptação (5.) fo modfcada para (6.), ond a déa das pondraçõs da lógca nbulosa do tpo akag-sugno são unfcadas m uma únca l d adaptação, garantndo qu todos os snas do sstma m malha fchada fossm unformmnt lmtados. Para o ajust do parâmtro μ fo proposta uma função gaussana com adquadas caractrístcas aprsntadas na abla 5.. Postrormnt, utlzando-s a l d adaptação modfcada (6.4) juntamnt com o snal d control dado m (6.7), pôd-s mostrar qu o sstma m malha fchada convrg para um pquno conjunto rsdual, msmo na prsnça d uma prturbação unformmnt lmtada na ntrada da planta. o DMARC-S, a l d control é composta plas pondraçõs das ls d um controlador MRAC d um controlador VS-MRAC, fazndo-s uso do modlo da lógca nbulosa akag-sugno. Esta abordagm basa-s no trabalho d (Mota Araújo, ) ond os autors utlzaram o modlo akag-sugno para pondrar as ls d adaptação do MRAC VS-MRAC. A vantagm do DMARC-S m rlação ao DMARC é a possbldad d scolhr dfrnts ls adaptatvas para o controlador MRAC. Incalmnt, é fta a análs d stabldad, com a l gradnt d adaptação convnconal modfcada (6.5), garantndo qu todos os snas do sstma m malha fchada sjam unformmnt lmtados

168 68 Sção 7 Conclusõs Prspctvas Futuras qu o rro d saída convrg para zro quando t, na ausênca d prturbação xtrna. A l d adaptação (6.4) é ntão ajustada para nclur alguma das modfcaçõs qu dão robustz ao squma MRAC. As modfcaçõs analsadas com adquadas altraçõs são: modfcação σ -fxo (Ioannou Kokotovc 984), modfcação σ -chavado (Ioannou, 984), modfcação (arndra Annaswamy, 987) BMRAC (Hsu Costa, 994). D forma smlhant ao DMARC, mostra-s, para cada algortmo modfcado, qu o sstma m malha fchada convrg para um pquno conjunto rsdual, msmo na prsnça d uma prturbação unformmnt lmtada na ntrada da planta. Os controladors propostos, DMARC DMARC-S, aprsntaram rsultados muto smlhants tanto m rlação a stabldad robustz, quanto aos rsultados d smulaçõs, ond o objtvo d bom dsmpnho transtóro, dvdo ao VS-MRAC, suavdad do snal d control m rgm prmannt, ntrínsco do MRAC, foram obtdos. Em suma, as prncpas contrbuçõs dst trabalho foram: a. o dsnvolvmnto d algortmos d control adaptatvos, basados m modlo d rfrênca, capazs d lvar a um bom dsmpnho transtóro, smlar a um controlador a strutura varávl, porém sm aprsntar o fnômno d chattrng. b. a adquação da l d adaptação (5.), proposta m (Hsu Costa, 989), com a varação m tmpo ral do parâmtro μ, utlzando-s os conctos d lógca nbulosa do modlo akag-sugno, possbltando ajustar o controlador DMARC, a partr d uma únca l d adaptação (quaçõs (6.) (6.4)). ambém, com a utlzação do snal adconal a strutura varávl (6.6), lvr d chattrng, pôd-s rjtar a prturbação na ntrada da planta. A l d adaptação (5.) fo utlzada m (Elshaf Karray, 5), porém com o parâmtro μ =, rsumndo-s à sínts d snal do VS- MRAC. c. com a utlzação das pondraçõs nas l d control do VS-MRAC do MRAC utlzando o modlo akag-sugno, ao nvés das pondraçõs nas

169 Sção 7 Conclusõs Prspctvas Futuras 69 ls adaptatvas, como m (Mota Araújo, ), fo possívl com adquadas modfcaçõs stablcr uma análs d stabldad. d. a robustz do sstma m malha fchada, com rlação a prturbaçõs xtrnas na ntrada da planta, são stablcdas através d modfcaçõs propostas nas ls d adaptação do controlador MRAC. 7. COIUAÇÕES AURAIS PARA ESE RABALHO Os sgunts tópcos d psqusa aparcm como propostas para contnudad dst trabalho:. A análs d stabldad fo fta para plantas com n =. Uma contnuação natural é a gnralzação para o caso d plantas com n >.. A xtnsão do DMARC DMARC-S para sstmas não lnars /ou multvarávs. 3. Análs d stabldad no caso d dnâmca não modlada. 4. A aplcação prátca do controlador DMARC /ou DMARC-S m um sstma com gradors síncronos ntrlgados da CHESF, utlzando técncas d dsacoplamnto. 5. Comparação ntr as struturas d control para o DMARC DMARC-S no caso d n>, aprsntadas nas Sçõs

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