Condições Suficientes de Otimalidade em Cálculo das Variações no Contexto Não-Suave

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1 Trblho prsntdo no XXXVII CNMAC, S.J. dos Cmpos - SP, 217. Procding Sris of th Brzilin Socity of Computtionl nd Applid Mthmtics Condiçõs Suficints d Otimlidd m Cálculo ds Vriçõs no Contxto Não-Suv Crolin d Arrud Signorini 1 Vlrino Antuns d Olivir 2 Instituto d Biociêncis, Ltrs Ciêncis Exts, UNESP - Univ. Esttul Pulist Júlio d Msquit Filho, Câmpus d São José do Rio Prto, Dprtmnto d Mtmátic Aplicd. Rsumo. O principl propósito dst trblho é o studo d condiçõs suficints d otimlidd pr problms d Cálculo ds Vriçõs no contxto não-suv, cso m qu considrmos Lgrngins não-suvs soluçõs bsolutmnt contínus. Anlisrmos s condiçõs suficints trvés d um concito d convxidd gnrlizd, o qul dnominmos E-psudoinvxidd. Plvrs-chv. Cálculo ds vriçõs, Lgrngins não-suvs, Condiçõs suficints d otimlidd, Soluçõs bsolutmnt contínus, Convxidd gnrlizd. 1 Introdução Sgundo vn Brunt 2], o Cálculo Vricionl, tmbém conhcido como Cálculo ds Vriçõs, tm um long históri d intrção com outrs rmificçõs d Mtmátic, como gomtri s quçõs difrnciis, d Físic, prticulrmnt mcânic. Rcntmnt, o Cálculo Vricionl vm ncontrndo plicçõs m outros cmpos, como conomi, ngnhri rcursos rnovávis. Grnd prt d mtmátic subjcnt à Tori do Control, por xmplo, pod sr considrd prt do Cálculo Vricionl. Aind qu tori clássic do Cálculo ds Vriçõs tnh origm no século XVII, importnts qustõs, como s rgrs d multiplicdors pr os problms com rstriçõs o torm d xistênci d soluçõs, somnt form lucidds no século pssdo, dvido o dsnvolvimnto nos studos d Anális Funcionl Cálculo Não-suv. Nst trblho, tmos por objtivo o studo d condiçõs suficints d otimlidd pr problms d Cálculo ds Vriçõs no contxto não-suv. Aqui trtmos o problm d Bolz, trblhndo com Lgrngins não-suvs um conjunto d condiçõs ncssáris d otimlidd nvolvndo inclusão d Eulr, o qu nos xig o uso d frrmnts d Anális Não-suv. Sbmos qu, grlmnt, s condiçõs ncssáris d otimlidd pr problms vricionis são suficints por mio d convxidd dos ddos nvolvidos, como podmos vr 1 crolinsignorini@gmil.com 2 ntuns@ibilc.unsp.br DOI: 1.554/ SBMAC

2 2 m Clrk 3]. Isso tmbém ocorr qundo utilizdos crtos concitos convxidd gnrlizd: m Arn Jiménz, Osun Gómz, Ruiz Grzón, Rojs Mdr 1], são borddos problms vricionis com rstriçõs d dsiguldd multiplicdors stão nvolvidos n dfinição; já m Rojs Jr 5], ond são borddos problms vricionis com rstriçõs d iguldd, form obtids condiçõs suficints sm prsnç dos multiplicdors n dfinição. Em Signorini 6], foi introduzid E-psudoinvxidd Eulr-psudoinvxidd: um concito d convxidd gnrlizd pr problms vricionis trvés do qul s condiçõs d trnsvrslidd qução/inclusão d Eulr tornm-s suficints pr otimlidd globl. Tl concito d convxidd gnrlizd possui pculiridd d sr o mis grl possívl, no sntido d qu todo problm vricionl m qu s soluçõs stcionáris são ótims ncssrimnt são E-psudoinvxos. Aqui prsntrmos o concito pr o cso não-suv. 2 Lgrngins não-suvs Abordrmos qui um contxto não comprndido pl tori clássic do Cálculo ds Vriçõs: o studo d problms qu nvolvm Lgrngins não-suvs. 2.1 O Problm Lipschitz d Bolz Considrmos o sguint problm conhcido como o Problm d Bolz: minimizr Jx = l x + l 1 xb + Λ t, xt, x t dt sujito x AC, b]; R n, x C, xb C 1, x t V t q.t.p., PLB ond l, l 1 : R n R são loclmnt Lipschitz, C, C 1 são subconjuntos fchdos d R n multifunção V :, b] R n é mnsurávl conjuntos fchdos convxos d R n. Rssltmos qu, sguir, s notçõs P Λ L Λ s rfrm os subdifrnciis proximl limit, rspctivmnt, d função Λt, x, v tomdos com rspito às vriávis x, v. E, ddos um conjunto S R n um ponto x S, s notçõs T S x, N S x, TS Cx NS L x s rfrm os cons tngnt d Boulignd, norml, tngnt gnrlizdo norml limit, rspctivmnt, S m x. Pr mis dtlhs ds notçõs cim, vr Clrk 3], pp pr os subdifrnciis pp. 2, 21, pr os cons. Dfinição 2.1. Um rco função bsolutmnt contínu x é dito sr dmissívl pr o problm PLB s stisfz s rstriçõs do problm s intgrl m Jx é bm dfinid finit. Dizmos qu um função dmissívl x fornc um mínimo globl pr o problm s Jx Jx pr todo x dmissívl. Um rco dmissívl x fornc um mínimo locl frco s, pr lgum ε >, tm-s Jx Jx pr todo rco dmissívl x stisfzndo x x ε x x ε. DOI: 1.554/ SBMAC

3 3 E dizmos qu um rco dmissívl x fornc um mínimo locl fort s xist ε > tl qu Jx Jx pr todo rco dmissívl x qu stisfz x x ε. O sguint rsultdo fornc, sob crts circunstâncis, condiçõs ncssáris pr qu um rco dmissívl sj um mínimo locl fort pr PLB. Torm 2.1. Sj x um rco dmissívl mínimo locl fort pr PLB. Supomos qu Lgrngin Λ :, b] R n R n R é mnsurávl m rlção t Lipschitz com rspito x, v próximo x no sguint sntido: xist um função intgrávl k :, b] R tl qu, pr qus todo t, pr todo x, y B x t, ε v, w V t, sj válid Hipóts Lipschitz Λ t, x, v Λ t, y, w kt x y + v w. HL Exigimos tmbém Hipóts d Intrioridd: xist um constnt positiv δ tl qu B x t, δ V t q.t.p. Sob sss condiçõs, xist um rco p stisfzndo inclusão d Eulr: p t co { ω : ω, pt L Λ t, x t, x t } t, b] q.t.p., E juntmnt com condição d Wirstrss: pr qus todo t, Λ t, x t, v Λ t, x t, x t pt, v x t v V t s condiçõs d trnsvrslidd d frontir: { p L l x + N L C x pb L l 1 x b + N L C 1 x b. W T Dmonstrção m Clrk 3], Torm 18.1, pp. 348, Obsrv qu Hipóts Lipschitz HL vl s V é uniformmnt limitd Λ é loclmnt Lipschitz. Assim, o torm cim s plic, m prticulr, pr um mínimo locl frco x n clss Lip, b] pr Lgrngin loclmnt Lipschitz, tomndo V t d form B x t, δ. Dst mnir, Hipóts d Intrioridd vl utomticmnt. Not tmbém qu difrncibilidd d Λ não é ssumid. Como sbmos, qundo Λ é continumnt difrnciávl m x, v, o conjunto L Λ é composto unicmnt plo grdint. Nss cso, E é quivlnt à form intgrl d qução d Eulr xprss m trmos d vriávl d costdo p, isto é, p t = x Λ t, x t, x t, pt = v Λ t, x t, x t. Exmplo 2.1. O sguint problm ilustr utilidd d nfrqucr s hipótss d rgulridd sobr Lgrngin: minimizr 2 ϑt 1 + x t 2 dt sujito x =, x2 = 2, DOI: 1.554/ SBMAC

4 4 ond { v 1 ϑt = s t < 1 v1 1 s t > 1. Not qu, nst cso, Lgrngin é dscontínu porém mnsurávl n vriávl t. 2.2 Condiçõs suficints por E-psudoinvxidd no contxto não-suv Nst sção, trtrmos o concito d problm E-psudoinvxo, introduzido por Signorini 6], pr o cnário não-suv dos problms vricionis. Vrmos qu inclusão d Eulr condição d trnsvrslidd do Torm 2.1 tornm-s condiçõs suficints pr otimlidd globl sob hipótss d E-psudoinvxidd Eulr-psudoinvxidd. Dfinição 2.2. Dizmos qu x :, b] R n é um função stcionári pr o problm PLB s x é dmissívl pr PLB s xist um rco p :, b] R n pr o qul s condiçõs E T do Torm 2.1 são stisfits. Dfinição 2.3. Dizmos qu o problm PLB é E-psudoinvxo s, pr cd pr x, y d rcos dmissívis tis qu Jy < Jx pr cd tripl ζ, α, α 1 AC, b] R n R n com ζ t co { ω : ω, ζt L Λ t, xt, x t }, t, b] q.t.p., 1 α, α 1 L l x L l 1 xb, 2 xist um rco γ = γx, y, ζ, α, α 1 :, b] R n stisfzndo γ T C C x, γb T C C1 xb, 3 ] ζ t T γt + ζt T γ t dt + γ T α + γb T α 1 <. 4 Not qu Dfinição 2.3 stnd pr o contxto d Cálculo ds Vriçõs o concito d psudoinvxidd m Progrmção Mtmátic prsntdo por Hnson m 4]. O próximo rsultdo stblc E-psudoinvxidd como condição suficint pr qu um função stcionári pr PLB sj um mínimo globl do problm. Torm 2.2. S PLB é E-psudoinvxo, ntão tod função stcionári x é um mínimo globl. Dmonstrção: Suponh qu x sj um função stcionári não-ótim pr PLB. Então xist um rco y dmissívl pr PLB tl qu Jy < Jx. Como x é um função stcionári, xist um plicção p AC, b] stisfzndo s condiçõs E T do Torm 2.1. Dst modo, xistm α L l x, ν NC L x, α1 L l 1 xb ν 1 NC L 1 xb tis qu p = α + ν pb = α 1 + ν 1. Assim, pl hipóts d E-psudoinvxidd, xist um rco γ = γx, y, p, α, α 1 :, b] R n stisfzndo DOI: 1.554/ SBMAC

5 5 s condiçõs 3 4. Usndo o Torm fundmntl do Cálculo, condição 3 dfinição d ν ν 1, tmos > p t T γt + pt T γ t ] dt + γ T α + γb T α 1 = γ T ν γb T ν 1, um contrdição. Portnto, x é mínimo globl. O torm bixo stblc como condição ncssári E-psudoinvxidd pr qu tod função stcionári sj um mínimo globl do problm PLB. Torm 2.3. S tod função stcionári d PLB é um mínimo globl, ntão o problm PLB é E-psudoinvxo. Dmonstrção: Ngndo dfinição d E-psudoinvxidd, obtmos xistênci d um pr x, y d rcos dmissívis com Jy < Jx d um tripl ζ, α, α 1 m AC, b] R n R n stisfzndo 1 2 d modo qu, pr todo rco γ :, b] R n qu cumpr 3, dsiguldd 4 não é válid. Agor, como γ é um mínimo globl pr o problm uxilir minimizr F γ = α T γ + αt 1 γb + sujito γ AC, b]; R n, ] ζ t T γt + ζt T γ t dt γ T C C x, γb T C C 1 xb, γ t R n q.t.p., podmos plicr o Torm 2.1, obtndo xistênci d um rco p :, b] R n tl qu p t co {ω : ω, pt L f t, γ t, γ t} = { ζ t, ζt }, t, b] q.t.p., p L h γ + N L T C C x γ = {α } + N L C x pb L h 1 γ b + N L T C C 1 xb γ b = {α 1 } + N L C 1 xb. Sndo ssim, p stisfz inclusão d Eulr condição d trnsvrslidd pr o rco dmissívl x no problm originl, d modo qu x é um função stcionári. Logo, por hipóts, x é um mínimo globl, o qu contrdiz dsiguldd Jy < Jx. Concluímos, ssim, qu o problm PLB é E-psudoinvxo. Exmplo 2.2. A fim d ilustrr os rsultdos cim, tmos o sguint Problm d Bolz: minimizr Jx = 2x + x2 + sujito x AC, 2]; R, 2 1 xt 1 + 2xt + 3tx t ] dt x, 2], x2, 3], x t, 3t + 2] q.t.p. DOI: 1.554/ SBMAC

6 6 Not, nst cso, qu Λt, x, v não é difrnciávl nm convx m x tmbém qu xt pr todo x dmissívl. Supondo qu x sj um função { stcionári, xist um rco p :, b] R stisfzndo inclusão d Eulr p t co ω : ω, pt L Λ t, x t, x t } q.t.p., ond L Λ t, x t, x t {3} {3t} s x t < 1, = {1} {3} {3t} s x t = 1, {1} {3t} s x t > 1. Assim, pt = 3t pr t 2, d modo qu p t = 3. Além disso, p stisfz s condiçõs d trnsvrslidd d frontir p L l x + NC L x, 2] s x =, = {2} s x, 2, 2, + s x = 2, p2 L l 1 x 2 + NC L x 1 2 =, 1] s x 2 =, {1} s x 2, 3, 1, + s x 2 = 3. Como p = p2 = 6, sgu qu x = x 2 =. Vj qu, pl dmissibilidd d x, tmos x t, 3t+2], isto é, x t pr todo t, 2]. Visto qu x AC, 2], sgu qu há somnt um função stcionári pr st problm: x. Como x é mínimo globl, plo Torm 2.3, st problm dv sr E-psudoinvxo. D fto, considrndo funçõs dmissívis x, y com Jy < Jx um tripl ζ, α, α 1 stisfzndo 1 2, bst tomr plicção bsolutmnt contínu γ :, 2] R n dfinid por γt = α ζt. Obsrvção 2.1. A E-psudoinvxidd é um tipo d convxidd gnrlizd, isto é, todo problm convxo é tmbém E-psudoinvxo. D fto, considr o problm minimizr Jx = l x + l 1 xb + Λ t, xt, x t dt sujito x AC, b]; R n, x C, xb C 1, x t V t q.t.p. Além ds hipótss iniciis, suponh qu s funçõs l, l 1 : R n R os conjuntos C, C 1 R n são convxos. Suponh tmbém qu Lgrngin Λt, x, v é convx m x, v. Assim, os subdifrnciis limit d l, l 1 Λ m qulqur ponto coincidm com o subdifrncil d Anális Convx nst msmo ponto. Agor, sjm x, y rcos dmissívis com Jy < Jx tripl ζ, α, α 1 AC, b] R n R n d modo qu s condiçõs 1 2 sjm stisfits. Podmos tomr plicção bsolutmnt contínu γ = γx, y, ζ, α, α 1 :, b] R n dd por γt = yt xt ], obtndo γ T C C x = TC x, γb T C C1 xb = TC1 xb, DOI: 1.554/ SBMAC

7 7 ] ζ t T γt + ζt T γ t dt + γ T α + γb T α 1 Λ t, yt, y t Λ t, xt, x t ] dt + l y l x + l1 yb l1 xb = Jy Jx <. 3 Conclusõs O intrss no studo d problms vricionis não-suvs dcorr d bordgm d um contxto mis grl complxo do qu quls studdos m txtos mis comuns d Cálculo ds Vriçõs, o cso suv. Outro tópico d dstqu no prsnt trblho é introdução d E-psudoinvxidd, concito d convxidd gnrlizd pr problms vricionis, por mio do qul s condiçõs d trnsvrslidd d frontir inclusão d Eulr são suficints pr otimlidd globl. Agrdcimntos 4. À FAPESP por mio dos procssos 214/ , 213/7375- CEPID 216/354- Ao CNPq por mio dos procssos 31955/ / Rfrêncis 1] M. Arn-Jiménz nd R. Osun-Gómz nd G. Ruiz-Grzón nd M. Rojs-Mdr. On vritionl problms: Chrctriztion of solutions nd dulity, J. Mth. Anl. Appl., volum 311, pp. 1 12, 25. DOI: 1.116/j.jm ] B. vn Brunt. Th Clculus of Vritions. Springr-Vrlg Nw York, Inc., 24. 3] F. Clrk. Functionl Anlysis, Clculus of Vritions nd Optiml Control. Springr, London, ] M. A. Hnson. On sufficincy of th Kuhn-Tuckr conditions, J. Mth. Anl. Appl., volum 8, pp , DOI: 1.116/22-247X ] R. Rojs-Jr. Condiçõs Suficints d Otimlidd m Cálculo Vricionl. Dissrtção d Mstrdo, UNESP - Câmpus d S. J. do Rio Prto, ] C. A. Signorini. Condiçõs d Otimlidd m Cálculo ds Vriçõs no Contxto Não-Suv. Dissrtção d Mstrdo, UNESP - Câmpus d S. J. do Rio Prto, 217. DOI: 1.554/ SBMAC