Gildson Queiroz de Jesus

Transcrição

1 Gdson Queroz de Jesus Ftragem Robusta Recursva para Sstemas Lneares a empo Dscreto com Parâmetros Sujetos a Satos Markovanos 1 ese apresentada à Escoa de Engenhara de São Caros da Unversdade de São Pauo, como parte dos requstos para obtenção do títuo de Doutor em Cêncas, Programa de Engenhara Eétrca. Área de Concentração: Sstemas Dnâmcos Orentador: Prof. Dr. Marco Henrque erra Co-orentador: Prof. Dr. João Yoshyuk Ishhara São Caros rata-se da versão corrgda da tese. A versão orgna se encontra dsponíve na EESC/USP que aoja o Programa de Pós-Graduação de Engenhara Eétrca.

2 AUORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO OAL OU PARCIAL DESE RABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELERÔNICO, PARA FINS DE ESUDO E PESQUISA, DESDE QUE CIADA A FONE. Fcha cataográfca preparada pea Seção de ratamento da Informação do Servço de Bboteca EESC/USP J58f Jesus, Gdson Queroz de. Ftragem robusta recursva para sstemas neares a tempo dscreto com parâmetros sujetos a satos Markovanos / Gdson Queroz de Jesus ; orentador Marco Henrque erra. -- São Caros, 211. ese Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Engenhara Eétrca e Área de Concentração em Sstemas Dnâmcos) -- Escoa de Engenhara de São Caros da Unversdade de São Pauo, Sstemas neares. 2. Estmatva robusta. 3. Ftros dscretos no tempo. 4. Satos Markovanos. 5. Ftragem H. Agortmos array. Ftros de nformação. I. ítuo.

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5 Dedcatóra A Ideberto e Jocéa, meus pas, com amor, admração e gratdão pea compreensão, carnho, presença e ncansáve apoo ao ongo do período de eaboração deste trabaho.

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7 Agradecmentos A Deus, que me concedeu graça, força e capacdade na execução deste trabaho. A Ee toda honra e góra eternamente. A Ideberto, Jocéa, Aná e Raque, mnha famía, peo carnho e constante apoo nesta jornada. Ao Prof. Dr. Marco Henrque erra, que, nos anos de convvênca, muto me ensnou, contrbundo para meu crescmento centífco e nteectua. Ao Prof. Dr. João Y. Ishhara, pea atenção e apoo durante o processo deste trabaho. Ao pessoa do Laboratóro de Sstemas Integentes LASI) pea amzade e companherísmo cotdano. À Escoa de Engenhara de São Caros, pea oportundade de reazação do curso de doutorado.

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9 Epígrafe...Seja bendto o nome de Deus de eterndade a eterndade, porque dee são a sabedora e a força; E ee muda os tempos e as estações; ee remove os res e estabeece os res; ee dá sabedora aos sábos e conhecmento aos entenddos. Dan. 2:2,21

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11 v Resumo Jesus, G. Q. Ftragem Robusta Recursva para Sstemas Lneares a empo Dscreto com Parâmetros Sujetos a Satos Markovanos f. ese Doutorado) - Escoa de Engenhara de São Caros, Unversdade de São Pauo, São Pauo, 211. Este trabaho trata de ftragem robusta para sstemas neares sujetos a satos Markovanos dscretos no tempo. Serão desenvovdas estmatvas predtoras e ftradas baseadas em agortmos recursvos que são útes para apcações em tempo rea. Serão desenvovdas duas casses de ftros robustos, uma baseada em uma estratéga do tpo H e a outra baseada no método dos mínmos quadrados reguarzados robustos. Aém dsso, serão desenvovdos ftros na forma de nformação e seus respectvos agortmos array para estmar esse tpo de sstema. Neste trabaho assume-se que os parâmetros de satos do sstema Markovano não são acessíves. Paavras Chave: Sstemas neares, estmatva robusta, ftros dscretos no tempo, satos Markovanos, ftragem H, agortmos array, ftros de nformação.

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13 x Abstract Jesus, G. Q. Recursve Robust Fterng for Dscrete-tme Markovan Jump Lnear Systems f. hess Doctora) - Escoa de Engenhara de São Caros, Unversdade de São Pauo, São Pauo, 211. hs work deas wth the probem of robust state estmaton for dscrete-tme uncertan near systems subject to Markovan jumps. Predcted and ftered estmates are deveoped based on recursve agorthms whch are usefu n on-ne appcatons. We deveop two casses of fters, the frst one s based on a H approach and the second one s based on a robust reguarzed eastsquare method. Moreover, we deveop nformaton fter and ther respectve array agorthms to estmate ths knd of system. We assume that the jump parameters of the Markovan system are not acessbe. Keywords: Lnear systems, robust estmaton, dscrete-tme fters, Markovan systems, H fterng, array agorthms, nformaton fter.

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15 x Lsta de Fguras 3.1 Raz quadrada do erro médo quadrátco dos ftros H baseados em equações de Rccat recursvas e desguadades matrcas neares Máxmo Vaor Snguar de Z U versus α Ftro predtor nomna e ftro predtor robusto para SLSM Comparação entre o Ftro de [8 e o Ftro Predtor Robusto Recursvo Raz do erro médo quadrátco rms) dos ftros predtores, nomna e robusto, na forma de nformação Vaores snguares de Z 1 para mpementações va equação de Rccat e agortmos array, nas confgurações de ponto fxo e ponto futuante Vaores snguares mínmo e máxmo de Z 1 cacuados através de arquteturas de ponto fxo e ponto futuante Posto e os vaores snguares mínmo σ m.)) e máxmo σ M.)) de M Raz do erro médo quadrátco rms) do ftro LMSEE cacuado através do agortmo array raz quadrada da abea 6.1) e do agortmo array rápdo da abea 7.1)

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17 x Lsta de abeas 2.1 Estmatva Nomna Predtora para o SLSM 2.17) Estmatva Nomna Ftrada para o SLSM 2.17) Estmatva H Predtora para o SLSM 3.4) Estmatva H Ftrada para o SLSM 3.4) Estmatva Robusta Predtora para o SLSM 4.14) Estmatva Robusta Ftrada para o SLSM 4.14) Estmatva Nomna Predtora na Forma de Informação Estmatva H Predtora na Forma de Informação Estmatva H Ftrada na Forma de Informação Estmatva Robusta Predtora na Forma de Informação Estmatva Robusta Ftrada na Forma de Informação Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva Nomna Predtora Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva Nomna Predtora na Forma de Informação

18 xv 6.3 Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva H Predtora na Forma de Informação Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva H Ftrada na Forma de Informação Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva Robusta Predtora na Forma de Informação Agortmo Array Raz Quadrada para a Estmatva Robusta Ftrada na Forma de Informação Agortmo Array Rápdo para a Estmatva Nomna Predtora Agortmo Array Rápdo para a Estmatva H Predtora na Forma de Informação Agortmo Array Rapdo H para Ftros na Forma de Informação Agortmo Array Rápdo para a Estmatva Robusta Predtora na Forma de Informação Agortmo Array Rápdo para a Estmatva Robusta Ftrada

19 1 Sumáro 1 Introdução Motvação Organzação do exto Artgo Pubcado em Revsta Artgos Pubcados em Conferênca Ftragem Nomna para SLSM Premnares Ftragem Nomna para SLSM: Abordagem Estocástca Ftragem Nomna para SLSM: Abordagem Determnístca Estmatva Nomna Predtora Estmatva Nomna Ftrada Ftragem H para SLSM Premnares Estmatva H Predtora Estmatva H Ftrada Exempo Numérco Ftragem Robusta para SLSM Premnares Estmatva Robusta Predtora Estmatva Robusta Ftrada Exempos Numércos

20 2 5 Ftragem na Forma de Informação para SLSM Ftragem Nomna na Forma de Informação Ftragem H na Forma de Informação Ftragem Robusta na Forma de Informação Exempo Numérco Agortmos Array Raz Quadrada para Ftragem de SLSM Agortmos Array Raz Quadrada para Ftragem Nomna Agortmos Array Raz Quadrada para Ftragem H Agortmos Array Raz Quadrada para Ftragem Robusta Exempo Numérco Agortmos Array Rápdos para Ftragem de SLSM Agortmos Array Rápdos para Ftragem Nomna Agortmos Array Rápdos para Ftragem H Agortmos Array Rápdo para Ftragem Robusta Exempo Numérco Concusão e rabahos Futuros 17 Referêncas Bbográfcas 19 A Resutados Auxares 113 B ransformações Untáras e J-Untáras 115 B.1 ransformações de Househoder B.2 ransformações de Gvens B.3 Rotações de Gvens Hperbócas B.4 Lemas Auxares

21 3 CAPÍULO 1 Introdução 1.1 Motvação O probema de estmar estados de sstemas neares sujetos a satos Markovanos SLSM) tem sdo tratado por dversos autores através de dferentes abordagens, veja por exempo [1, [2, [3, [6, [9, [1, [3, [32. Uma abordagem nteressante para souconar este probema é o estmador near de erro mínmo médo quadrátco EMMQ) proposto em [9. Uma das característcas nteressantes desta abordagem é a sua boa adequação para mpementações em tempo rea. Um fato bem conhecdo na teratura, prncpamente quando se trata dos ftros de Kaman para sstemas que não estão sujetos a satos Markovanos, é que se o SLSM a ser estmado estver sujeto a ncertezas paramétrcas ou a erros de modeagem, o desempenho do ftro nomna pode se deterorar consderavemente. Nos útmos anos város estudos foram reazados com o objetvo de desenvover ftros robustos para SLSM, veja por exempo [8, [13, [21, [22, [23, [29, [31, [35, [36, [37, [38. Em gera, essas souções robustas têm sdo apresentadas em termos de desguadades matrcas neares DML). A despeto do exceente potenca desta abordagem, exstem agumas mtações que podem ser superadas com estmatvas recursvas prncpamente quando se necessta fazer estmatvas em tempo rea. Dentre os métodos apcados para a obtenção de estmadores robustos

22 4 que podem ser cacuados recursvamente podemos ctar o método H apresentado em [18 e o método dos mínmos quadrados reguarzados com ncertezas apresentado em [28. O método H tem sdo ampamente usado na teratura como uma aternatva para estmar estados de sstemas sujetos a erros de modeagem ou sujetos a dstúrbos desconhecdos. Este procedmento de projeto garante estmadores com menor erro de estmatva sobre todos os possíves dstúrbos. Ou seja, a técnca H resove o segunte probema: sup x,{u j },{v j } j= s j j s j j x Π 1 x + j= u j u j + j= v j v j sendo {x,u j,v j } dstúrbos e s j j o erro de estmação. < γ 2, 1.1) Outro método aternatvo para tratar desta casse de probemas de ftragem é através do consagrado mínmos quadrados reguarzados proposto em [26. Essa estratéga resove o segunte probema de otmzação: sendo ˆx = argmn x max y φx) Jx,y) 1.2) J x,y) := x Qx+Rx,y), 1.3) Rx,y) := Ax b+hy) W Ax b+hy), 1.4) x Qx o termo de reguarzação, A e H matrzes conhecdas de dmensões apropradas, Q > e W são matrzes Hermtanas, x é um vetor desconhecdo, b é um vetor de medda conhecdo e y denota um vetor de perturbação. Esta tese tem como objetvo prncpa desenvover ftros robustos para SLSM que podem ser cacuados através de equações agébrcas de Rccat. Serão deduzdas duas categoras de estmadores robustos recursvos, uma baseada no método H e a outra baseada no método dos mínmos quadrados reguarzados com ncertezas. Uma das mtações das equações agébrcas de Rccat é que, apesar das ndscutíves e númeras vantagens numércas apresentadas por eas, podem ocorrer erros numércos que não garantem a propagação de souções smétrcas em cada passo da teração. Esse tpo de erro pode resutar na nstabdade do ftro. Aternatvas computaconas para tratar desse probema, tas como agortmos array raz quadrada e agortmos array rápdos, têm sdo propostas em váras

23 5 referêncas, veja por exempo [11, [2, [19, [33, [24, [25. Dentre as vantagens dos agortmos array raz quadrada podemos destacar que ees aumentam a efcênca e a estabdade numérca devdo ao uso de transformações ortogonas nos cácuos e reduzem a faxa dnâmca dos vaores cacuados em mpementações por artmétca de ponto fxo. Os agortmos array rápdos, por sua vez, conservam as boas propredades dos agortmos array raz quadrada, com a vantagem adcona de apresentarem um esforço computacona menor. Aém dsso, esses agortmos assumem uma mportante função no cácuo de ftros para SLSM em vrtude das dmensões de suas matrzes de parâmetros. Na abordagem que estamos consderando nesta tese, eas crescem com o número dos estados Markovanos e com a cadea de Markov. Outro probema que ocorre em ftragem é quando se tem pouca ou nenhuma nformação a respeto das condções ncas do sstema. Ftros na forma de nformação são aternatvas computaconas utzadas para souconar este probema. Na forma de nformação a covarânca e o estado estmado são substtuídos pea matrz de nformação nversa da covarânca) e peo vetor de nformação produto da nversa da covarânca com o estado orgna) do sstema. A recursvdade é uma das vantagens destas abordagens se comparadas com os ftros robustos para SLSM exstentes na teratura. É mportante ressatar neste capítuo ntrodutóro que no desenvovmento dos estmadores robustos desta tese assume-se que os parâmetros de sato da cadea de Markov não são acessíves. 1.2 Organzação do exto Este trabaho está organzado da segunte forma: Capítuo 2 : Este capítuo tem o objetvo de apresentar um ftro recursvo para SLSM sem ncertezas paramétrcas deduzdo através de uma abordagem determnístca e outra estocástca. raçar esse paraeo entre essas abordagens será út para a compreensão dos ftros robustos que serão apresentados nos próxmos capítuos. Os argumentos determnístcos estão baseados no método dos mínmos quadrados reguarzados. Os argumentos estocástcos estão baseados no ftro proposto em [9. Capítuo 3 : Segundo os argumentos consderados em [9 e [18, serão desenvovdos neste capítuo ftros H recursvos para SLSM baseados na teora dos jogos. Uma característca

24 6 mportante deste ftro é que são encontradas condções necessáras para se encontrar o parâmetro γ mínmo, típco deste tpo de ftro, que defne o níve de atenuação dos ruídos do sstema nas varáves a serem estmadas. Capítuo 4 : Baseado em [9 e [27, neste capítuo serão desenvovdos ftros robustos recursvos para SLSM. Os ftros robustos foram projetados utzando o método dos mínmos quadrados reguarzados com ncertezas, onde são mnmzados os erros das estmatvas dos estados Markovanos em um funcona que eva em consderação a nfuênca máxma das ncertezas paramétrcas admssíves. Capítuo 5 : Neste capítuo serão desenvovdas as versões na forma de nformação do ftro nomna de [9 e dos ftros robustos apresentados nos Capítuos 3 e 4. O prncpa objetvo aqu, e que também pode ser defndo como fosofa desta tese, é mostrar que com aguma ágebra é possíve utzar as técncas de ftragem recursva desenvovda para sstemas convenconas, que não estão sujetos a satos, em SLSM. Capítuo 6 : Este capítuo trata do desenvovmento de agortmos array raz quadrada para os ftros na forma de nformação apresentados no Capítuo 5. Agortmos array raz quadrada, propagam o fator raz quadrada da matrz de covarânca do erro de estmatva, o que pode evtar erros de arredondamento que podem ocorrer na propagação do cácuo da covarânca. Capítuo 7 : Neste capítuo serão desenvovdos agortmos array rápdos para os ftros na forma de nformação apresentados no Capítuo 5. Estes agortmos produzem um esforço computacona menor se comparados com o agortmo array raz quadrada. 1.3 Artgo Pubcado em Revsta erra, M. H.; Ishhara, J. Y. e Jesus, G. "Informaton Fterng and Array Agorthms for Dscrete-me Markovan Jump Lnear Systems". IEEE ransactons Automatc Contro, vo. 541), January 29. erra, M. H.; Ishhara, J. Y.; Jesus, G. "Fast Array Agorthm for Fterng of Markovan Jump Lnear Systems". Internatona Journa of Adaptve Contro and Sgna Processng, 211.

25 7 1.4 Artgos Pubcados em Conferênca erra, M. H.; Ishhara, J. Y. e Jesus, G. "Agortmo Array Rápdo para Ftragem de Sstemas Lneares Sujetos a Satos Markovanos". XVII Congresso Brasero de Automátca, 28, Juz de Fora - MG, Bras. Anas do XVII Congresso Brasero de Automátca, 28. erra, M. H.; Ishhara, J. Y. e Jesus, G. "Robust estmates for dscrete-tme Markovan jump near systems". 48th IEEE Conference on Decson and Contro CDC 29), December 16-18, 29, Shanga, Chna. Jesus, G.; Ishhara, J. Y. and erra, M. H. "Informaton fterng and array agorthms for dscrete-tme Markovan jump near systems subject to parameter uncertantes". Amercan Contro Conference ACC 21), June 3-Juy 2, 21, Batmore, MD. Jesus, G.; erra, M. H. and Ishhara, J. Y. "H estmates for dscrete-tme Markovan jump near systems". Amercan Contro Conference ACC 21), June 3-Juy 2, 21, Batmore, MD. Jesus, G.; erra, M. H. and Ishhara, J. Y. "Agortmos para ftragem H de sstemas neares sujetos a satos Markovanos". Congresso Brasero de Automátca CBA 21), Setembro, 21, Bonto, MS.

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27 9 CAPÍULO 2 Ftragem Nomna para SLSM Este capítuo trata da ftragem de SLSM sem ncertezas paramétrcas. Serão apresentadas duas abordagens equvaentes de projeto, uma baseada em argumentos determnístcos utzando o métodos dos mínmos quadrados reguarzados, e a outra baseada no estmador near de erro médo quadrátco mínmo EMMQ) desenvovdo em [9 baseado em argumentos estocátcos. Argumentos determnístcos serão útes para o desenvovmento desta tese. 2.1 Premnares Sstemas neares sujetos a satos Markovanos representam uma casse de sstemas dnâmcos cujos modeos podem sofrer mudanças abruptas em seus parâmetros. as mudanças são modeadas por uma cadea de Markov fnta Θ { 1,...,N }. Ou seja, para cada modo da cadea exste um conjunto de parâmetros que compõe o modeo em um determnado nstante de tempo. Fahas em nterconexões e/ou componentes, e varáves que mudam de manera abrupta estão entre os fenômenos que caracterzam esta casse de sstemas. Apcações de SLSM podem ser encontradas, por exempo, em sstemas de manpuadores robótcos, sstemas de controe de aeronaves e grandes estruturas fexíves para estações espacas. Consdere o segunte sstema near sujeto a satos Markovanos sobre o espaço de probab-

28 1 dade Ω,F,P ) : x +1 = F,Θ x +G,Θ u, =, ) y = H,Θ x +D,Θ w, 2.2) sendo x R n a sequênca de estado, y R m a sequênca de saída, u R q 1, w R q 2 dstúrbos aeatóros ndependentes com méda zero e covarâncas U ew respectvamente, Θ é uma cadea de Markov dscreta no tempo com espaço de estado fnto { 1,..., N } e matrz de probabdade de transção P = [p jk, sendo p jk = P Θ +1 = k Θ = j ) ; π,j := P Θ = j ) é a dstrbução de probabdade da cadea de Markov; F,k R n n, G,k R n q 1, H,k R m n e D,k R m q 2 são matrzes de parâmetros varantes no tempo; x e {Θ } são ndependentes de u e w. Baseado em [9, as estmatvas que serão desenvovdas neste capítuo consderam o segunte estado aumentado: z = z,1. z,n RNn, 2.3) z,k = x 1 {Θ =k} R n, 2.4) sendo que 1 {.} representa a medda de Drac. Um dos objetvos aqu, com esse reordenamento da sequênca de estado Markovano, é fazer com que o Sstema 2.1) seja redefndo para ndepender da cadea de Markov. Nesse sentdo, pode-se reescrever 2.1), baseado em z, da segunte forma: z +1,k = 1 {Θ+1 =k} Somando e subtrando o termo [F,1... F,N z +1 {Θ+1 =k}g,θ u. 2.5) [p 1k F,1... p Nk F,N z na Equação 2.5) tem-se: z +1,k = [p 1k F,1... p Nk F,N z + 1 {Θ+1 =k} [F,1... F,N ) [p 1k F,1... p Nk F,N z +1 {Θ+1 =k}g,θ u, 2.6)

29 11 que, por sua vez, pode anda ser reescrta como z +1,k = + [p 1k F,1... p Nk F,N z 2.7) [ ) ) 1{Θ+1=k} p 1k F,1... 1{Θ+1=k} p Nk F,N z + 1 {Θ+1 =k}g,θ u. Com base nas seguntes defnções: M +1 := M +1,1. M +1,N, 2.8) [ ) M +1,k := 1{Θ+1=k} p 1k F,1... 1{Θ+1=k} p Nk ) F,N, 2.9) 1 {Θ+1 =1}G,Θ u p 11 F,1 p N1 F,N ϑ :=.,F :=....., 2.1) 1 {Θ+1 =N}G,Θ u p 1N F,1 p NN F,N a Equação 2.7) pode ser reescrta como z +1 = F z +M +1 z +ϑ. 2.11) omando ψ = M +1 z +ϑ, obtém-se: z +1 = F z +ψ. 2.12) Segundo o mesmo racocíno, a equação da medda 2.2) pode ser escrta como y = [H,1... H,N z +D,Θ w. 2.13) Renomeando as varáves H := [H,1... H,N, 2.14)

30 12 ϕ := D,Θ w, 2.15) segue que a Equação 2.2) pode ser reescrta como y = H z +ϕ. 2.16) Assm, o sstema aumentado em termos de z é dado por z +1 = F z +ψ y = H z +ϕ. 2.17) Das hpóteses sobre os dstúrbos u e v, as seguntes propredades para o sstema aumentado 2.17) são vádas E { ψ } = E { ϕ } =, E { z ψ } { = E z ϕ } { = E ψ ϕ } =. Consdere as seguntes defnções das varáves de segundo momento para e k {1,...,N}, Z,k := E { z,k z,k} R nxn, Z := E { z z } = dag[z,k R NnxNn, 2.18) sendo que Z,k é dado pea segunte equação recursva Z +1,k := N j=1 p jk F,j Z,j F,j + N p jk π,j G,j U G,j, j=1 Z,k := V k. 2.19) As varâncas dos dstúbos aeatóros ψ e ϕ serão cacuadas na sequênca. A varânca de ψ pode ser cacuada da segunte forma: { ψ Π := E E { }) ψ ψ E { }) } ψ. 2.2)

31 13 Como E { ψ } =, a Equação 2.2) fca sendo { M+1 ) ) } Π = E z +ϑ M+1 z +ϑ, 2.21) então, 2.21) pode ser reescrto como { M+1 ) ) } { } Π = E z M+1 z +E ϑ ϑ. 2.22) Consderando o prmero termo de 2.22), note que M +1,1 z [ M +1 z z M +1 =. z M +1,1 z M +1,N. 2.23) M +1,N z Para k, {1,...,N}, 2.23) pode ser reescrta da segunte forma: M +1,k z z M +1, = N N t=1 s=1 1{Θ+1=k} p tk ) F,t z,t z,sf,s 1{Θ+1 =} p s ). 2.24) Observe que o produtoz,t z,s será dferente de zero quandot = s. Portanto depos de desenvover esse produto, a expressão 2.24) se reduz a M +1,k z z M +1, = = N [ ) ) 1{Θ+1=k} p jk 1{Θ+1=} p j F,j z,j z,jf,j j=1 N [ ) 1{Θ+1=k}1 {Θ+1=} 1 {Θ+1=k}p j p jk1 {Θ+1=} +p jkp j j=1 F,j z,j z,jf,j. 2.25) Usando a propredade { } { E M +1,k z z M +1, = E E { M +1,k z z M +1, F } }, 2.26) sendo F o σ-campo gerado peos vetores e varáves aeatóras { x t, y t, Θ t ; t =,..., }, em 2.25) pode-se caracterzar a reação entre k e em dos momentos dstntos: - Caso 1: Consdere k. Neste caso 1 {Θ+1 =k}1 {Θ+1 =} = e E { p jk 1 {Θ+1 =} F } =

32 14 p jk p j, então E { M +1,k z z M +1, F } = [p 1k F,1 p Nk F,N z z F,1 p 1. F,N p N. 2.27) - Caso 2: Consdere k =. Neste caso E { M +1,k z z M +1, F } = [ p1k F,1 pnk F,N z z [p 1k F,1 p Nk F,N z z Combnando ambos os casos numa únca expressão, encontra-se: sendo F = { E E { M +1 z z M } } +1 F = dag [ N j=1 [p 1k F,1 p Nk F,N, para k = 1,...,N. Portanto, F,1 p1k. F,N pnk F,1 p 1k. F,N p Nk. 2.28) p jk F,j Z,j F,j F dag [ Z,j F, 2.29) { M+1 ) ) } E z M+1 z [ N = dag p jk F,j Z,j F,j F Z F. 2.3) j=1 Consdere agora o segundo termo de 2.22), usando a propredade { } { E ϑ ϑ = E E { ϑ ϑ } } F 2.31) e sabendo que E { u u } = U, após aguma ágebra, tem-se que E { ϑ ϑ } [ N = dag p jk π,j G,j U G,j. 2.32) j=1

33 15 Enfm, segue que a varânca de ψ é dada por [ N [ N Π := dag p jk F,j Z,j F,j F Z F +dag p jk π,j G,j U G,j R Nn Nn. 2.33) j=1 j=1 A varânca de ϕ pode ser cacuada como segue { ϕ R := E E { }) ϕ ϕ E { }) } ϕ. 2.34) Como E { ϕ } =, a Equação 2.34) pode ser reescrta como R = E { D,Θ w w D,Θ }, 2.35) e por hpótese E { w w } = W, então R := D D R m m, 2.36) sendo D := [ D,1 π 1/2,1 W1/2... D,N π 1/2,N W1/ ) Dentro dos objetvos deste capítuo, que podem ser resumdos em demonstrar através de duas abordagens dstntas a dedução de um ftro recursvo para SLSM, reproduzremos na sequênca o estmador near desenvovdo em [ Ftragem Nomna para SLSM: Abordagem Estocástca Consdere as seguntes defnções para e k {1,...,N}, z := z,1. RNn, z,n z,k := x 1 {Θ =k} R n

34 16 e ẑ 1 é a projeção de z em Ly 1 ) subespaço near dado por y 1 := y 1 )...y ) com z 1 := z ẑ 1. Estas varáves estão assocadas com as seguntes matrzes de segundo momento Ẑ := E { ẑ ẑ } R NnxNn, Z := E { z z } R NnxNn, e nteragem com as seguntes matrzes aumentadas F := H := D := p 11 F,1... p N1 F,N..... RNnxNn, 2.38) p 1N F,1... p NN F,N [H,1... H,N R mxnn, 2.39) [ D,1 π 1/2,1... D,N π 1/2 R mxnq 2, 2.4),N π,k := PΘ = k), 2.41) sendo que dag[z,k denota uma matrz formada por Z,k, k = 1,...,N nas dagonas e zero nas outras posções. A estmatva ˆx é consderada como O cácuo de ẑ é executado peo segunte agortmo recursvo N ˆx = ẑ,j. 2.42) j=1 ẑ = ẑ 1 + Z 1 H H Z 1 H +D D ) 1 y H ẑ 1 ), 2.43) ẑ +1 = F ẑ, 2.44) [ ẑ 1 = Ez ) = µ 1... µ N, 2.45)

35 17 sendo que Z 1 R NnxNn são matrzes defndas postvas dadas por [ Z N +1 = F Z 1 F +BQ )+dag π,j p jk G,j G,j F Z 1 H j=1 H Z 1 H +D D ) 1H Z 1 F, 2.46) B ) [ N Q = dag p jk F,j Z,j F,j F dag [ Z,k F 2.47) j=1 sendo Q = Z,1,...,Z,N ), e Z,k,k = 1,...,N dadas pea equação recursva Z +1,k = N j=1 p jk F,j Z,j F,j + Z,k = V k, k {1,...,N}. N p jk π,j G,j G,j, 2.48) j=1 Em [9 fo estabeecda a convergênca assntótca da equação de Rccat dada em 2.46), cujo resutado será apresentado na sequênca. Assuma que todas as matrzes de parâmetros do modeo 2.1) e a probabdade de transção p jk são nvarantes no tempo, consdere também que o sstema é estáve na méda quadrátca, e que a cadea de Markov Θ é ergódca. Baseado nestas hpóteses tem-se que m P Θ = k ) = m π,k = π k 2.49) e de [7 segue que Q Q quando, sendo Q = Z 1,...,Z N ), e Z k = N N p jk F j Z j Fj + p jk π,j G j G j, k = 1,...,N. 2.5) j=1 j=1 O próxmo teorema estabeece a convergênca assntótca da equação de Rccat 2.46). eorema [9 Suponha que a cadea de Markov Θ é ergódca e que o sstema 2.1) é estáve na méda quadrátca MSS, sga em ngês). Consdere a equação de Rccat dada por Z = F ZF +B Q ) [ N +dag π j p jk G j G j j=1 F ZH H ZH +DD ) 1 H ZF 2.51) sendo Q = Z 1,...,Z N ) e satsfaz 2.5). Então exste uma únca soução sem-defnda postva P R Nn Nn para 2.51). Aém dsto, r σ F P)H ) < 1, sendo P) := FPH HPH +DD ) 1

36 18 e r σ.) representa o rao espectra, e para quaquer Q = Z,1,...,Z,N ) com Z,k, k = 1,...,N, e Z 1 = dag [ Z,k E { z } E { z }, tem-se então que Z+1 dado por 2.46) e 2.47) satsfaz Z +1 P. 2.52) Na próxma seção será mostrada uma manera aternatva para deduzr o ftro mostrado nesta seção cuja ágebra se aproxma das ágebras utzadas nos próxmos capítuos para a dedução dos ftros robustos. 2.3 Ftragem Nomna para SLSM: Abordagem Determnístca O objetvo desta seção é deduzr as estmatvas predtora e ftrada para SLSM baseado no sstema aumentado 2.17). Para tanto, defne-se ẑ 1 como a varáve de predção de z, Z 1 como a matrz de ponderação para o erro de predção z ẑ 1, e a observação da medda é dada por y. Para atuazar a estmatva ẑ 1 para ẑ +1, é necessáro resover o segunte probema de otmzação: mn z ẑ 1 z,z +1[ 2 Z z +1 F z 2 Π 1 + y H z 2 R ) Defne-se também ẑ como a varáve de ftragem de z, Z como matrz de ponderação do erro de ftragem z ẑ, e a medda de observação é dada por y +1. Neste caso, para atuazar a estmatva ẑ para ẑ +1 +1, será necessáro resover o segunte probema de otmzação: mn z ẑ z,z +1[ 2 Z 1 + z +1 F z 2 Π 1 + y +1 H +1 z +1 2 R ) +1 As matrzes de ponderação Π e R nos funconas 2.53) e 2.54) são defndas como as varâncas dos dstúbos aeatóros ψ e ϕ dados por [ N [ N Π := dag p jk F,j Z,j F,j F Z F +dag j=1 j=1 p jk π,j G,j U G,j, 2.55) R := D D, 2.56)

37 19 sendo D := [ D,1 π 1/2,1 W1/2... D,N π 1/2,N W1/ ) O próxmo ema resove os probemas de otmzação 2.53) e 2.54) de forma determnístca. Lema [27 Consdere o segunte probema mn [ x 2 x V + Ax b 2 W 2.58) sendo A uma matrz conhecda, b um vetor de medda conhecdo, x um vetor desconhecdo, V = V e W = W > são matrzes de ponderação assumdas conhecdas. A soução do probema de otmzação 2.58) é dada por ˆx = [ V +A WA 1A Wb 2.59) sendo V,W, tas que V +A WA é nvertíve Estmatva Nomna Predtora Para deduzr a estmatva predtora do sstema 2.17), consdere o funcona 2.53) reescrto na forma de bocos matrcas como ẑ 1 z z +1 Z 1 1 z ẑ 1 + F I z ẑ 1 F ) ẑ 1 z +1 H z +1 H ẑ 1 y Π 1 F I z ẑ 1 F ) ẑ ) R 1 H z +1 H ẑ 1 y Comparando os funconas 2.6) e 2.58), obtêm-se as seguntes equvaêncas: x z +1,b F ẑ 1 H ẑ 1 y,a F I, H V Z 1 1,W Π ) R 1 ẑ 1 z

38 2 Portanto o probema de otmzação 2.53) pode ser resovdo apcando o Lema 2.3.1). Pode-se reescrever a Equação 2.59) usando as dentfcações 2.61). Procedendo desta forma, tem-se que ẑ 1 ẑ ẑ +1 = Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 H F Π 1 Π 1 F F Π 1 F ẑ 1 +H R 1 Π 1 F ẑ 1 Π 1 1 ) H ẑ 1 y. 2.62) Expctando-se o termo ẑ +1, obtém-se: ẑ +1 = [ I Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 Π 1 F F Π 1 F ẑ 1 +H R 1 Π 1 F ẑ 1 H F Π 1 Π 1 1 ) H ẑ 1 y. 2.63) Apcando o Lema da nversão de bocos matrcas A..3), a Equação 2.63) pode ser reescrta como ẑ +1 = [ D CA 1 B ) 1 CA 1 D CA 1 B ) 1 F Π 1 F +H R 1 H )ẑ 1 H R 1 y. 2.64) Π 1 F ẑ 1. Segue que ẑ +1 = ) 1 D CA 1 B Π 1 F ẑ 1 CA 1 F Π 1 F +H R 1 H )ẑ 1 H R 1 y )). 2.65) Defnndo Z +1 = D CA 1 B ) 1 tem-se que Z +1 = Π 1 Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 ) ) 1F 1. H Π ) Apcando o Lema da nversão de matrzes A..1) na Equação 2.66) obtém-se Z +1 = Π +F Z 1 1 +H R 1 H ) 1F. 2.67)

39 21 Assm, pode-se reescrever a Equação 2.67) como Z +1 = Π +F Z 1 F F Z 1 H R +H Z 1 H ) 1H Z 1 F. 2.68) Votando à expressão 2.65) do predtor, tem-se que ẑ +1 = Z +1 Π 1 F ẑ 1 Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 ) 1 H ) F ) Π 1 F +H R 1 H )ẑ 1 H R 1 y 2.69) que pode ser reescrta como ẑ +1 = Z +1 Π 1 F ẑ 1 Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 ) 1 H F Π 1 F ẑ 1 Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 ) 1 H H R 1 H ẑ 1 +Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H R 1 ) 1 H H R 1 y ). 2.7) Consdere as seguntes guadades Z +1 Π 1 F ẑ 1 Π 1 F Z 1 1 +F Q 1 F +H ) ) 1F R 1 H Π 1 F ẑ 1 = Z +1 Π +F Z 1 ) ) 1F 1F 1 +H R 1 H ẑ 1 = F ẑ ) e Z +1 Π 1 F Z 1 1 +F Π 1 F +H ) 1 R 1 H = Z +1 Π +F Z 1 ) ) 1F 1 +H R 1 H F Z 1 ) 1 1 +H R 1 H = F Z 1 1 +H R 1 H ) ) Então ẑ +1 = F ẑ 1 +F Z 1 1 +H R 1 ) 1H H R 1 ) y H ẑ 1 ẑ +1 = F ẑ 1 +F Z 1 H R +H Z 1 H ) 1 ) y H ẑ )

40 22 O agortmo da abea 2.1) apresenta os passos para cacuar a estmatva nomna predtora. abea 2.1: Estmatva Nomna Predtora para o SLSM 2.17) Passo : Consdere as seguntes condções ncas conhecdas: Z 1 := P, ẑ 1 := z. } } Passo 1: Atuaze { Z 1,ẑ 1 para { Z+1,ẑ +1 da segunte forma: Z +1 = Π +F Z 1 F F Z 1 H R +H Z 1 H ) 1H Z 1 F, ẑ +1 = F ẑ 1 +F Z 1 H R +H Z 1 H ) 1 ) y H ẑ 1, sendo N Π = dag[ j=1 p N jkf,j Z,j F,j F Z F +dag[ j=1 p jkπ,j G,j U G,j, R = D D, as varáves Z,j e Z podem ser cacuadas como 2.18)-2.19). Note que este ftro predtor é equvaente àquee deduzdo em [9, defndo peas Equações 2.43)-2.48). Observação Para o caso sem satos N = 1) a estmatva nomna predtora para SLSM é reduzda para a estmatva predtora do ftro de Kaman padrão dado em [17 quando o sstema snguar desta referênca é consderado na forma espaço de estados).

41 Estmatva Nomna Ftrada Segue que o funcona 2.54) pode ser reescrto na forma de bocos matrcas como z ẑ z +1 Z 1 z ẑ + F I z ẑ F ) ẑ z +1 H +1 z +1 y +1 Π 1 F I z ẑ F ) ẑ. 2.74) R+1 1 H +1 z +1 y +1 Comparando o funcona 2.74) com o funcona 2.58), obtêm-se as seguntes equvaêncas: x z ẑ,b F ẑ,a F I, z +1 y +1 H +1 V Z 1,W Π ) R+1 1 Segundo o mesmo racocíno utzado na dedução da estmatva nomna predtora pode-se deduzr a estmatva nomna ftrada que é apresentada na abea 2.2). abea 2.2: Estmatva Nomna Ftrada para o SLSM 2.17) Passo : Consdere as seguntes condções ncas: Z := P 1 +H R H ) 1, ẑ := Z H R 1 z. } } Passo 1: Atuaze { Z,ẑ para { Z+1 +1,ẑ da segunte forma: Π Z = +F Z F ) 1 +H +1 R 1 +1 H +1) 1, ẑ = F ẑ + Z H +1 R 1 +1 y+1 H +1 F ẑ ), sendo N Π = dag[ j=1 p N jkf,j Z,j F,j F Z F +dag[ j=1 p jkπ,j G,j U G,j, R = D D, as varáves Z,j e Z podem ser cacuadas como 2.18)-2.19).

42 24 Observação Para o caso sem satos N = 1) a estmatva nomna ftrada para SLSM é reduzda para a estmatva ftrada do ftro de Kaman padrão dado em [17 quando o sstema snguar desta referênca é consderado na forma espaço de estados). Observação Comparando as estmatvas ftradas, para os casos determnístco e estocátco, pode-se notar que as equações são dferentes. Para o caso determnístco tem-se Π Z = +F Z F ) 1 +H +1 R 1 +1 H +1) 1, 2.76) ẑ = F ẑ + Z H +1R 1 +1 y+1 H +1 F ẑ ). 2.77) E a estmatva ftrada para o caso estocástco é dada por [ Z N +1 = F Z 1 F +BQ )+dag π,j p j,k G,j G,j F Z 1 H j=1 D D +H Z 1 H ) 1H Z 1 F, 2.78) sendo B Q ) = dag [ N j=1 p jk F,j Z,j F,j F dag [ Z,k F, 2.79) ẑ = F 1 ẑ Z 1 H H Z 1 H +D D ) 1 y H F 1 ẑ 1 1 ). 2.8) Esta dferença deve-se ao fato de que fo utzado um funcona específco para a dedução da estmatva ftrada para o caso determnístco. No caso estocástco ambos os ftros foram deduzdos a partr de um únco probema de mnmzação.

43 25 CAPÍULO 3 Ftragem H para SLSM Neste capítuo serão apresentadas estmatvas H recursvas para SLSM nas formas predtora e ftrada. Fo utzada uma abordagem baseada na teora dos jogos para deduzr tas ftros. Dos funconas ndependentes foram utzados para as respectvas deduções. Para ambos os ftros o objetvo é mnmzar os erros das estmatvas dos estados Markovanos em contraposção à tentatva de maxmzação desses erros gerada por ruídos nas varáves meddas. De manera semehante aos ftros H convenconas, defne-se um mtante γ para esta reação de atenuação dos ruídos nas varáves estmadas, que do ponto de vsta da teora dos jogos atua como medador entre dos jogadores. Assume-se no desenvovmento de ambos os estmadores H que os parâmetros de sato não são acessíves. 3.1 Premnares Os ftros H desenvovdos nesta tese são baseados no segunte SLSM dscreto no tempo x +1 = F,Θ x +G,Θ u, =, ) y = H,Θ x +D,Θ w 3.2) s = L,Θ x +R,Θ v 3.3)

44 26 sendo x R n a sequênca de estado, y R m a sequênca de saída, u R q 1, w R q 2 e v R q 2 dstúrbos aeatóros ndependentes com méda zero e covarâncas U, W e V respectvamente, Θ é uma cadea de Markov dscreta no tempo, com espaço de estado fnto { 1,..., N } e matrz de probabdade de transção P = [p jk, sendo p jk = P Θ +1 = k Θ = j ) ; π,j := P Θ = j ) é a dstrbução de probabdade da cadea de Markov; F,k R n n, G,k R n q 1, H,k R m n, D,k R m q 2, L,k R p n e R,k R p q 2 são matrzes de parâmetros varantes no tempo; x 1 {Θ =k}, k = 1,..., N, são vetores aeatóros com E { x 1 {Θ =k}} = µk, sendo que 1 {.} denota a medda de Drac) e E { x x 1 {Θ =k}} = Vk ; x e {Θ } são ndependentes de u, w e v. Segundo a proposta desenvovda em [9 e conforme fo apresentado na Capítuo 2), as equações do sstema 3.1), 3.2) e 3.3) podem ser reescrtas em termos de z como z +1 = F z +ψ, =,1... y = H z +ϕ s = L z +σ 3.4) sendo as matrzes de parâmetros aumentadas dadas por F := H := L := p 11 F,1... p N1 F,N....., 3.5) p 1N F,1... p NN F,N [H,1... H,N, 3.6) [L,1... L,N, 3.7) e as varáves aeatóras ψ := M +1 z +ϑ, 3.8) ϕ := D,Θ w, 3.9) σ := R,Θ v, 3.1) 1 {Θ+1 =1}G,Θ u M +1,1 ϑ :=., M +1 :=., 3.11) 1 {Θ+1 =N}G,Θ u M +1,N

45 27 M +1,k := [ 1{Θ+1=k} p 1k ) F,1... 1{Θ+1=k} p Nk ) F,N. 3.12) Peas hpóteses anterormente consderadas sobre os dstúrbos u, w e v, segue que para o sstema aumentado 3.4), as seguntes propredades são vádas: E { ψ } = E { ϕ } = E { σ } = ; E { z ψ } { = E z ϕ } { = E z σ } { = E ψ ϕ } { = E ψ σ } { = E σ ϕ } =. O probema de predção H recursvo para SLSM pode ser estabeecdo da segunte manera: dado um escaar γ >, e uma sequênca de conjuntos de observação { y }, { y, y 1 },..., { y, y 1,..., y },..., 3.13) encontrar para cada, se exstr, uma predção ŝ +1 de s +1 em termos das meddas {y,..., y }, que satsfaça sup z s 1 L z 2 z F 1 z 2 Λ 1 Z 1 < γ 2, 3.14) para = 1, e sup {z } +1 z = F 1 z 2 Z 1 para = = s L z 2 Λ 1 y H z 2 Π 1 + = z +1 F z 2 < γ 2, 3.15) Γ 1 Anaogamente, o probema de ftragem H recursvo para SLSM pode ser estabeecdo da segunte manera: dado um escaar γ >, e uma sequênca de conjuntos de observação 3.13) encontrar para cada, se exstr, uma sequênca de estmatva ftrada ŝ de s em termos das meddas { y,..., y }, que satsfaça sup z z F 1 z 2 Z 1 s L z 2 Λ 1 + y H z 2 Π 1 < γ 2, 3.16)

46 28 para =, e para >. sup {z } z = F 1 z 2 Z 1 + = = s L z 2 Λ 1 y H z 2 Π = z +1 F z 2 Γ 1 < γ ) Em 3.14), 3.15), 3.16) e 3.17) o vetor z denota uma condção nca para z e a matrz F 1 = I. A segur serão defndas as matrzes de ponderação Γ, Π e Λ como as varâncas dos dstúrbos aeatóros ψ, ϕ e σ, respectvamente. Consdere as defnções para e k {1,...,N}, Z,k := E { z,k z,k} R n n, Z := E { z z } = dag[z,k R Nn Nn, 3.18) sendo que Z,k é cacuado pea segunte equação recursva Z +1,k := N j=1 p jk F,j Z,j F,j + N p jk π,j G,j U G,j, j=1 Z,k := V k. 3.19) As varâncas de ψ, ϕ e σ são dadas por Γ := E { ψ ψ } [ N = dag p jk F,j Z,j F,j F Z F 3.2) j=1 [ N + dag p jk π,j G,j U G,j R Nn Nn, j=1 Π := E { ϕ ϕ } = D D R m m, 3.21) Λ := E { σ σ } = R R R p p, 3.22) sendo D := R := [ D,1 π 1/2,1 W1/2... D,N π 1/2 [ R,1 π 1/2,1 V 1/2... R,N π 1/2,N V 1/2,N W1/2, 3.23). 3.24) Nas próxmas seções serão apresentadas as estmatvas H nas formas predtora e ftrada.

47 Estmatva H Predtora O probema de predção H 3.14)-3.15) pode ser reaconado a um probema de teora dos jogos com dos jogadores dado por mn {z } +1 = max {s } +1 = sendo J p 1 := z 1 F 1 z 2 Z 1 para. J p J p := z F 1 z 2 Z 1 + ) {y } =, {s } +1 =,{z } +1 = > 3.25) γ 2 s 1 L z 1 2 Λ 1 y H z 2 Π 1 + = +1 γ 2 s L z 2 = Λ 1, para = 1, e z+1 F z 2 Γ 1 =, 3.26) A expressão 3.26) do probema 3.25) estabeece que para cada, dadas as meddas { y } =, o prmero jogador gera as estmatvas ŝ de s, =,..., + 1 e o segundo jogador defne as estmatvas { z } +1 = com o objetvo de comprometer a precsão da estmatva do prmero jogador. Para resover o probema de predção H, observa-se que não é necessáro maxmzar J p sobre { } +1 s =. O predtor H exste no nstante se e somente se exstr um { } +1 ŝ = ta que { } Jp y =,{ } +1 ŝ =, { } +1 ) } +1 z = tenha um mínmo em {ẑ ta que = J p { } y =,{ } +1 ŝ =,{ } +1 ẑ =) >. Para cada, o funcona em 3.26) pode ser reescrto como J p := U X +1 B ) R U X +1 B ) 3.27) sendo X 1 := z j. z 1 j z j,b := Z. Z 1 Z Z 1 R...,R :=, R R 1

48 3 E +1 A. E.. I U :=... A1,E :=,U 1 = E = I,1, L E 1 A L E Γ 1 F R := Π 1,A := H,Z := y,, γ 2 Λ 1 +1 s +1 R 1 = Z 1,Z 1 := F 1z. 3.28) γ 2 Λ 1 s Consderando as varáves em 3.28) para todo, pode-se obter as seguntes reações recorrentes: R := R,B := Z,X +1 := z +1,U := E +1 α, R 1 B 1 X 1 U 1 [ α := A ) O próxmo ema será út para deduzr os estmadores H para SLSM. Lema [4 Consdere as matrzes U e R e os vetores counas B e X de dmensões apropradas com R smétrca. Para quaquer B tem-se ) R ) nf U X B U X B > 3.3) X se e somente se U R U e Ker U R U ) Ker R U ). Se o mínmo é atngdo, ee é únco se e somente se U R U >. Isto garante que a soução ótma será dada por ˆX = U R U ) 1U R B. Baseado no Lema 3.2.1), pode-se obter uma condção necessára para exstênca do predtor H que será desenvovdo a segur. em-se que exste uma únca soução mínma se e somente

49 31 se U R U >, sendo U e R defndos em 3.29). O termo U R U pode ser reescrto como E +1 R E +1 α R E +1 E+1 R α. 3.31) U 1 R 1U 1 +α R α Portanto, uma condção necessára para U R U > é a postvdade do termo E +1 R E +1 para 1, que pode ser estabeecda pea seguntes condções: P 1 γ 2 L Λ 1 L >, = 1, Γ 1 γ 2 L +1 Λ 1 +1 L +1 >,. 3.32) Com o objetvo de deduzr o predtor H para SLSM, consdere as seguntes varáves auxares defndas como M 1 1 := U 1 R 1U 1 e M 1 +1 como o compemento de Schur do boco 2,2) em 3.31). Pode-se mostrar que o probema de predção H tem soução se e somente se M +1 >, para = 1,,1,... Para termos U R U >, o sub-boco 2,2) em 3.31) deve ser defndo postvo. Usando a hpótese de que o probema de predção tem sdo resovdo até o útmo passo, a postvdade de U 1 R 1U 1 é garantda, portanto resta somente verfcar se α R α é postvo. Em termos dos dados orgnas, tem-se que α R α = = A F H R [A = F Γ 1 F +H Π 1 H Γ 1 F H Π 1 γ 2 Λ ) Consequentemente, o termo 2,2) em 3.31) é defndo postvo e U R U > se e somente se o compemento de Schur do boco 2,2) em 3.31) é defndo postvo. Defna para, a varáve auxar M 1 +1 como compemento de Schur do boco 2, 2) em 3.31), ou equvaentemente, M +1 como o boco 1,1) da nversa de 3.31). em-se M 1 +1 := E +1 R E +1 E +1 R α α R α +U 1 R 1U 1 ) 1α R E )

50 32 e a Equação 3.34) pode ser reescrta como M 1 +1 = E +1 R R α α R α +U 1 R ) ) 1α 1U 1 R E ) Apcando o ema da nversão de matrzes A..1) em 3.35) obtém-se M 1 +1 = E +1 R 1 ) ) +α U 1α 1E+1 1 R 1 U ) Reafrmando que M 1 é o boco 1,1) de U 1 R 1U 1 ) 1 tem-se +1 = E+1 R 1 +α M 1 α = E+1 R R α M 1 1 +α R ) 1α α R )E ) M 1 ) 1E+1 Reescrevendo 3.37) em termos dos dados orgnas de 3.28) obtém-se M 1 +1 = Γ 1 Γ 1 F M 1 1 +F Γ 1 F +H Π 1 H ) 1F Γ 1 γ 2 L Λ 1 +1 L. 3.38) Defnndo 1 Z 1 := M 1 1 +γ 2 L Λ 1 +1 L, a Equação 3.38) pode ser reescrta como Z 1 +1 = Γ 1 F Z 1 1 γ 2 L Λ 1 +1 L +F Γ 1 F +H ) 1F Π 1 H Γ 1 = Γ +F Z 1 1 γ 2 L Λ 1 +1 L +H ) ) 1F Π 1 1. H 3.39) Γ 1 ambém, duas outras formas útes para anáse da Equação 3.39) são consderadas a segur: e Z +1 = Γ +F Z H L Π 1 H 1 ) F γ 2 Λ 1, 3.4) +1 L Z +1 = Γ +F Z 1 F F Z 1 H L W 1 e, H Z 1 F, 3.41) L sendo W e, := Π + H [ Z 1 H γ 2 Λ +1 L L. 3.42)

51 33 A soução mínma para o funcona 3.27) pode ser obtda apcando o Lema 3.2.1) como ˆX +1 = P +1 U R B, 3.43) sendo para cada P 1 := U 1 R 1U 1 ) ) A Equação 3.43) pode ser reescrta como ẑ+1 ˆX = E +1 R E +1 α R E +1 E+1 R α U 1 R 1U 1 +α R α 1 E+1 R Z. 3.45) α R Z +U 1 R 1B 1 Consdera-se a soução do útmo passo ˆX 1 = P 1 U 1 R 1B 1, 3.46) pode-se reescrever a equação 3.45) como sendo ẑ+1 ˆX = M +1 P 12, E +1 R Z + P 21, P 22, α P 1 1ˆX 1 ), 3.47) M +1 P 12, := E +1 R E +1 P 21, P 22, α R E +1 1 E+1 R α. 3.48) U 1 R 1U 1 +α R α Consequentemente, a Equação 3.47) pode ser escrta da segunte forma: ẑ +1 = M +1 E +1 +P 12,α ) R Z +P 12, P 1 1ˆX ) Dos termos desta Equação 3.49), P 12, e M +1, podem ser obtdos com a apcação do Lema da nversão de bocos matrcas A..3) em 3.48) P 12, = E+1 R E +1 E R α U 1 R 1 U 1 +α R ) ) 1α 1 α R E +1 E +1 R α U 1 R 1 U 1 +α R α ) 1 3.5)

52 34 e M +1 = E +1 R E +1 E R α U 1 R 1 U 1 +α R α ) 1α R E +1 ) ) Então pode-se concur que P 12, = M +1 E +1 R α U 1 R 1 U 1 +α R α ) 1 = M +1 E +1 R α 1 P 1 1 +α R α ) ) Apcando o Lema A..2) em 3.52) tem-se P 12, = M +1 E R 1 +α P 1 α ) 1α P ) Sabendo que α P 1 α = [ A M 1 A = A M 1 A, 3.54) 3.53) pode ser reescrta como P 12, = M +1 E R 1 +A M 1 A ) 1α P ) Com 3.55) e consderando α X j = A ẑ j, j 1, tem-se que 3.49) pode reescrta da segunte forma: ẑ +1 = M +1 E+1 M +1 E R 1 +A M 1 A ) ) 1α P 1 α R Z ) 1α P 1 P 1 M +1 E R 1 +A M A 1 1ˆX 1, ẑ +1 = M +1 E+1 M +1 E+1 R 1 +A M 1 A ) ) 1A M 1 A R Z M +1 E+1 R 1 +A M 1 A ) 1A ẑ 1, = M +1 E+1 R R A M 1 1 +A R ) ) 1A A R Z A ẑ 1 ). 3.56)

53 35 Reescrevendo 3.56) em termos dos dados orgnas 3.28) tem-se ẑ +1 = M +1 Γ 1 Γ 1 F M 1 1 +F Γ 1 F +H ) ) 1F Π 1 H Γ 1 F ẑ 1 + M +1 Γ 1 F M 1 1 +F Γ 1 F +H ) 1H Π 1 H Π 1 y H ẑ 1 ) M +1 γ 2 L Λ +1ŝ ) Consderando ŝ +1 = L ẑ +1, ẑ +1 = M +1 Γ +F M 1 1 +H Π 1 H ) 1F ) 1F ẑ 1 + M +1 Γ 1 F M 1 1 +F Γ 1 F +H ) 1H Π 1 H Π 1 y H ẑ 1 ) M +1 γ 2 L Λ +1L ẑ ) Apcando o Lema A..2) em 3.58), tem-se que ) ) ẑ +1 = M +1 Γ +F M 1 1F 1F 1 +H Π 1 H ẑ 1 ) ) + M +1 Γ +F M 1 1F 1F H M 1 H Π 1 1 +H Π 1 1 +H Π 1 H ) 1 y H ẑ 1 ) M+1 γ 2 L Λ +1L ẑ ) Substtundo Z 1 +1 := Γ +F M 1 1 +H Π 1 H ) 1F ) 1 em 3.59) obtém-se ẑ +1 = M Z F ẑ 1 +M Z F ) M H Π 1 H H ) Π 1 y H ẑ 1 M+1 γ 2 L Λ +1L ẑ +1 ) = F ẑ 1 F M 1 1H 1 +H Π 1 H Π 1 ) y H ẑ ) Apcando o Lema A..2) em 3.6) resuta em ẑ +1 = F ẑ 1 +F M 1 H Π +H M 1 H ) 1 y H ẑ 1 ). 3.61) O agortmo da abea 3.1) apresenta os passos fundamentas para se cacuar o predtor H para SLSM.

54 36 abea 3.1: Estmatva H Predtora para o SLSM 3.4) O probema de predção H para SLSM 3.25) tem soução se e somente se Z 1 +1 γ 2 L +1 Λ 1 +1 L +1 >, sendo a sequênca { Z+1 } e o predtor cacuados peas seguntes equações recursvas: Passo : Consdere as seguntes condções ncas conhecdas: Z 1 := Z, ẑ 1 := z. } } Passo 1: Atuaze { Z 1,ẑ 1 para { Z+1,ẑ +1 da segunte forma: [ H [ H Z +1 := Γ +F Z 1 F F Z 1 W 1 e, Z 1 F, L L [ [ Π H [ W e, := + Z γ 2 1 H L, Λ L ẑ +1 := F ẑ 1 +F M 1 H Π +H M 1 H ) 1 ) y H ẑ 1, M := Z 1 γ 2 L Λ 1 L, ŝ +1 := L +1 ẑ +1.

55 37 Observação Para estabeecer a estabdade do ftro predtor H estaconáro, é necessáro assumr que todas as matrzes do sstema e as probabdades de transção p jk são nvarantes no tempo, assumr também que o sstema é estáve na méda quadrátca MSS) e sua cadea de Markov {Θ } é ergódca. Exste uma únca soução defnda postva Z com ) para a equação agébrca de Rccat Z := Γ+F ZF F Z H L We 1 H ZF, L W e := Π + H Z [H L γ 2 Λ L 3.62) consderando Z 1 γ 2 L Λ 1 L >, para quaquer γ fxado, que garante a postvdade de W e W e > ) e, assm, a nversa de Z fca bem defnda. Segundo a nha de [9, a estabdade do ftro predtor é assegurada com r σ F FMH Π+HMH ) 1 H ) < 1, sendo que r σ.) denota o rao espectra da matrz dnâmca do ftro com ganho estaconáro. Observação Consderando γ, a estmatva H predtora proposta neste trabaho se reduz à estmatva nomna predtora proposta em [9. Consderando o sstema sem satos N = 1), a estmatva H predtora se reduz à estmatva H predtora para sstemas no espaço de estado proposta em [18 para quando o sstema snguar desta referênca é consderado na forma de espaço de estado). 3.3 Estmatva H Ftrada O probema de ftragem H para 3.16)-3.17) pode ser reaconado a um probema de teora dos jogos com dos jogadores dado por sendo mn max {z } = {s } = J f {y } =, { } s =, { } ) z > 3.63) = J f := z F 1 z 2 Z 1 + y H z 2 Π 1 γ 2 s L z 2 Λ )

56 38 para =, J f := z F 1 z 2 Z y H z 2 Π 1 + z+1 F z 2 Γ 1 = γ 2 s L z 2 Λ 1 = = 3.65) para >. O probema de ftragem H para SLSM 3.16)-3.17) tem soução no nstante se e somente se exstr um { } ŝ = ta que { } Jf y =,{ } ŝ =, { } ) z = tenha um mínmo em } {ẑ = ta que { } Jf y =, { } ŝ =, { } ) ẑ = >. Portanto, será consderado o probema de mnmzação em 3.63). Para cada, 3.65) pode ser reescrto como J f := U X B ) R U X B ) 3.66) sendo z Z E A 1 R... E.. 1 X :=,B :=,R :=... z 1 Z 1,U :=... A1, R E 1 A z Z E I Γ 1 1 F 1 E := H,R := Π 1,A 1 :=,Z := y, L γ 2 Λ 1 s F 1 z 1,Z := y,γ 1 := P. 3.67) s Consderando as varáves acma, para todo, obtêm-se as seguntes reações recorrentes: R := R,B := Z,X := z,u := E α 1, R 1 B 1 X 1 1 U 1 [ α 1 := A ) Smar ao caso predtor, pode-se encontrar uma condção necessára para a ftragem H de

57 39 SLSM. Segundo o Lema 3.2.1), exste uma únca soução { } ẑ para 3.63) se e somente se = U R U >, sendo U e R defndos em 3.67). Uma condção necessára para exstr um mínmo únco é que Γ 1 1 +H Π 1 H γ 2 L Λ 1 L >. 3.69) A dedução da estmatva H ftrada segue o mesmos passos da estmatva H predtora. A estmatva H ftrada para SLSM está descrta na abea 3.2). abea 3.2: Estmatva H Ftrada para o SLSM 3.4) Exste um ftro H recursvo que resove 3.63)-3.65) se e somente se para um determnado γ > houver a garanta de que Z >, para =,1,... O ftro satsfaz os seguntes passos Passo : Consdere as seguntes condções ncas conhecdas: Z 1 1 := Z +H Π 1 ẑ := P 1 +γ 2 L Λ 1 L H γ 2 L Λ 1 L, ) 1 Z 1 F 1 z +H Π 1 y ). } } Passo 1: Atuaze { Z,ẑ para { Z+1 +1,ẑ da segunte forma: Z 1 := Γ 1 +F 1 Z 1 1 F 1 ) 1 +H Π 1 H γ 2 L Λ 1 L, ẑ := Z 1 +γ 2 L ) 1 Λ 1 L X 1 1 F 1ẑ 1 1 +H ) Π 1 y, X 1 := Γ 1 +F 1 Z 1 1 F 1, ŝ := L ẑ. Observação Para o caso sem satos N = 1) a estmatva H ftrada para SLSM é reduzda para a estmatva H ftrada para sstemas convenconas no espaço de estado dado em [18 quando o sstema snguar desta referênca é consderado não snguar, ou seja, na forma de espaço de estado). 3.4 Exempo Numérco Nesta seção será reazada uma comparação entre o ftro predtor H para SLSM desenvovdo na útma seção e o ftro H desenvovdo em [13, baseado em um exempo numérco

58 4 com dos estados Markovanos. A matrz de probabdade de transção e os parâmetros do sstema são defndos como segue:.9.1 P =,F 1 =.7,F 2 =.6, G 1 = G [,H 1 = H 2 =.1,.289 D 1 = D 2 [.8,L 1 = L 2 [.5, [ R 1 = R 2 = rms 6 4 Ftro LMI) Ftro Rccat) Fgura 3.1: Raz quadrada do erro médo quadrátco dos ftros H baseados em equações de Rccat recursvas e desguadades matrcas neares. A Fgura 3.1 mostra a raz quadrada do erro médo quadrátco rms) de ambos os ftros. Foram reazadas 1 smuações de Monte Caro com =,...,9 e os vaores de Θ gerados aeatoramente. A condção nca x é consderada Gaussana, Θ {1,2}, u, w e v são sequêncas de ruídos ndependentes e π 1 ) =.5 e π 2 ) =.95. Obtém-se γ = para o ftro proposto neste trabaho e γ =.2886 para o ftro proposto em [13. Note que apesar do γ do ftro em [13 ser menor, o rms de ambos os ftros são equvaentes com uma pequena vantagem do ftro proposto neste trabaho.

59 41 CAPÍULO 4 Ftragem Robusta para SLSM Este capítuo apresenta estmatvas robustas, predtora e ftrada, para SLSM baseadas no método dos mínmos quadrados reguarzados. Um funcona custo é mnmzado para o por caso das ncertezs admssíves. A prncpa vantagem desta abordagem é a recursvdade dos ftros, consderando que as varâncas do SLSM sejam cacuadas a pror. Os ftros propostos assumem que os parâmetros de sato do SLSM não são acessíves. 4.1 Premnares Os ftros robustos recursvos que serão deduzdos neste capítuo estão baseados no segunte SLSM dscreto no tempo: x +1 = F,Θ +δf,θ ) x +G,Θ u, =, ) y = H,Θ +δh,θ ) x +D,Θ w, 4.2) sendo x R n sequênca de estado, y R m sequênca de saída, u R q 1, w R q 2 dstúrbos aeatóros ndependentes com méda zero e covarâncas U ew respectvamente, Θ é uma cadea de Markov dscreta no tempo com espaço de estado fnto { 1,..., N } e matrz de probabdade de transção P = [p jk, sendo p jk = P Θ +1 = k Θ = j ). π,j := P Θ = j ) é a dstrbução de

60 42 probabdade da cadea de Markov. F,k R n n, G,k R n q 1, H,k R m n e D,k R m q 2 são matrzes de parâmetros varantes no tempo sendo k { 1,..., N }, δf,k R n n e δh,k R m n são matrzes de parâmetros ncertas. x 1 {Θ =k}, k = 1,..., N, são vetores aeatóros com E { x 1 {Θ =k}} = µk sendo que 1 {.} denota a medda de Drac) e E { x x 1 {Θ =k}} = Vk ; x e {Θ } são ndependentes de {u }, e {w }. Os parâmetros ncertos são modeados como segue: δf,θ = M f,θ 1,Θ N f,θ, δh,θ = M h,θ 2,Θ N h,θ, 4.3) sendo 1,Θ e 2,Θ matrzes arbtráras satsfazendo 1,Θ 1 e 2,Θ 1, sendo que a notação. representa a norma Eucdana. As matrzes M f,θ, M,Θ h, N f,θ e N,Θ h são assumdas conhecdas e de dmensões apropradas. As estmatvas serão desenvovdas consderando o segunte estado aumentado: z = z,1. z,n RNn, z,k = x 1 {Θ =k} R n. 4.4) Conforme [9 pode-se reescrever a Equação 4.1) em função do estado aumentado z : z +1,k = 1 {Θ+1 =k}[ F,1 +δf,1 )... F,N +δf,n ) z +1 {Θ+1 =k}g,θ u. 4.5) Somando e subtrando o termo tem-se: [ p 1k F,1 +δf,1 )... pnk F,N +δf,n ) z na Equação 4.5) z +1,k = + [ ) ) p 1k F,1 +δf,1... pnk F,N +δf,n z [ F,1 ) ) +δf,1... F,N +δf,n 1 {Θ+1 =k} [ p 1k F,1 +δf,1 )... pnk F,N +δf,n ) ) z +1 {Θ+1 =k}g,θ u. 4.6) A equação 4.6) pode anda ser reescrta como z +1,k = + [ ) ) p 1k F,1 +δf,1... pnk F,N +δf,n z [ ) ) ) ) 1{Θ+1=k} p 1k F,1 +δf,1... 1{Θ+1=k} p Nk F,N +δf,n z + 1 {Θ+1 =k}g,θ u. 4.7)