Transformadas de Fourier para analise de sinais

Transcrição

1 Transformadas de Fourier para analise de sinais DEA, UFPR

2 Laboratorio didático de mecânica dos fluidos 2

3 Laboratorio didático de mecânica dos fluidos 3

4 4 Medições de velocidades com ADV (Acoustic Doppler Velocimeter)

5 Medições de velocidades com ADV (Acoustic Doppler Velocimeter) Fonte: 5

6 6 Medições de velocidades com ADV (Acoustic Doppler Velocimeter) Fonte:

7 7 Medições de velocidades com ADV (Acoustic Doppler Velocimeter)

8 velocity [cm/s] 8 Series temporais 2 15 u v w time [s]

9 velocity [cm/s] frequencia frequencia frequencia u v w u-velocity time velocity [cm/s] v-velocity Direction Mean [cm/s] std median varianca u v w velocity [cm/s] w-velocity velocity [cm/s]

10 velocity [cm/s] time

11 velocity [cm/s] 2 15 u v w time 11

12 12 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

13 velocity [cm/s] 13 2 cumulative mean time cumulative mean totalmean cumulative mean-totalmean e

14 frequencia frequencia frequencia frequencia velocity [cm/s] frequencia frequencia 2 15 u v w 6 4 u-velocity velocity [cm/s] v-velocity velocity [cm/s] w-velocity velocity [cm/s] time u-velocity Direction Mean [cm/s] std median varianca u u-mean v v-mean w w-mean velocity [cm/s] v-velocity velocity [cm/s] w-velocity

15 velocity fluctuations [m/s] 15 Flutuacoes 15 u v w time Direction Mean [cm/s] std median varianca u u-mean v v-mean w w-mean

16 w w v Flutuações u v x 16

17 17 Causa Vórtices no escoamento com estruturas dominantes/coerentes Flutuações = Oscilações? Analise estatística usando series e transformadas de Fourier

18 18 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

19 19 Periodic Functions A periodic function is one for which f(t) = f(t + T) where T = the period Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

20 Sinusoids f(t) = A + C 1 cos( t + ) Mean value Amplitude Angular frequency Phase shift Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 = 2 f = 2 T 2

21 21 Alternative Representation f(t) = A + A 1 cos( t) + B 1 sin( t) f(t) = A + A 1 cos( t) + A 1 sin( t) The two forms are related by C 1 = 2 2 A 1 + B 1 Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 = arctan(-b 1 /A 1 )

22 Series de Fourier Series de Fourier (forma geral) Usando identidade de Euler Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 22

23 23 Continuous Fourier Series Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

24 24 Time Versus Frequency Domains Método alternativo de representar função/sinal Usar amplitude C1 e frequencia f=1/t para reproducir sinal geral Usar angulo de fase para posicionar sinal = line spectra = espectro de linha Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

25 25 Phase Line Spectra espectro de linha Não muito interessante para sem simples Mas poderoso quando consideramos series de oscilações (i.e. series de Fourier) Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

26 Line Spectra for Square Wave Amplitude line Spectra Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 Phase line Spectra 26

27 Oscilações / flutuações Muitos eventos na engenharia são oscilações Mas muitos outros não (raio, eventos instantâneos) Mas eventos instantâneos criam efeitos contínuos que oscilam (sinal do raio que disparou será transportado e difusido em forma de oscilações) Usar forma integral das series de Fourier = transformar sinal periódico em sinal nao-periodico Soma de sinal periódico (integral) com periodo aproximando infinidade = integrais de Fourier Aproximação ao espectro cont. Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 27

28 Transformada de Fourier Series de Fourier periódico Transformada de Fourier não periódico (T ) coeficientes coeficientes sendo função continua, chamado integral de Fourier de f(t) transformação de sinais contínuos e periódicos (domínio temporal) em magnitudes de distintas (discretas) frequências (domínio de frequência) transformação de sinais contínuos (domínio temporal) em função continua de frequências (domínio de frequência) 28

29 29 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

30 3 Discrete Fourier Transform (DFT) Continuo Discreto Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

31 31 Discrete Fourier Transform (DFT) Continuo Discreto Programavel Manualmente FFT em Matlab Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

32 f(t) = 5 + cos(2 (12.5)t) + sin(2 (18.75)t) Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28 32

33 33 Power Spectrum Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

34 Y(f) 34 DFT Artificial signal with noise added at,7 and 12 Hz 1 Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise time (milliseconds) 1.5 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) Frequency (Hz)

35 35 Wolf Sunspot Number Versus Year Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

36 36 Power Spectrum for Sunspot Numbers Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 28

37 X(f) velocity fluctuations [m/s] Espectro de energia Energia é proporcional a amplitude quadrado! 1 u time.8.6 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) vx-mean vy-rmy vz-rmz Frequency (Hz) 37

38 velocity fluctuations [m/s] X(f) 38 DFT - x 1 5 u time.8.6 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) vx-mean Frequency (Hz)

39 velocity fluctuations [m/s] Y(f) 39 DFT - y 15 1 v time.5.4 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) vy-mean Frequency (Hz)

40 Z(f) velocity fluctuations [m/s] 4 DFT - z 4 2 w time.4.3 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) vz-mean Frequency (Hz)

41 41 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

42 42 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

43 43 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

44 44 Source: Wernher Brevis, University of Sheffield

45 Coupling case study Cartagena outfall (Colombia) 45 Cartagena Source: World Bank

46 46 Cartagena - water quality problems inhabitants: 1 mio. sewer connection: 6 % ww-treatment: preliminary / none ww-discharge: bay or nearshore high bacterial pollution at open sewers and nearshore waters strong health impacts (i.e.high child mortality) Masterplan (24 mio. US$) improving: sewer system (8 km) treatment (primary) discharge: long outfall (25 mio. US$) N 1 km Boca Grande Bahía de Cartagena Outfall Manzanillo del Mar La Boquilla Punta Canoa Cienega de Tesca Cartagena Planta de Tratamiento Arroyo de Piedra Tierra Baja Puerto Bay Estación de Bombeo Paraíso Source: World Bank Santos Bay, Brazil

47 47 ADCP

48 49 BC - Measured currents at Punta Canoas February 1998 Santos Bay, Brazil