MECÂNICA DOS FLUIDOS AMBIENTAL I

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Alana Madeira
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1 1 MECÂNICA DOS FLUIDOS AMBIENTAL I

2 Balanço de massa Balanço de massa de um soluto Balanço de quantidade de movimento Balanço de energia Forma geral

3 3 Equação de difusão Concentração: Fluxo de massa: Conservação: M C V j x substncia total C D x T ( compare : q x ) Impulso x Equação de difusão (1D): C C D t x R( x, t) T T compare : F( x, t) t x R(x,t): fonte ou sumidor (reações, transformações)

4 4 Soluções da equação de difusão Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento) F(x,t) = 0 Condições iniciais C(x,0) = C0j(x) transparente: água com Csal = 0 colorido: água com Csal = C0 Condições de contorno: superfície: C(,t)= 0 fundo: C(-,t)= C0 Solução (análogo eq. do calor) Dr.-Ing.

5 5 Soluções da equação de difusão Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

6 Exemplo Definição: Equações diferenciais parciais (edp) são equações contendo duas (ou mais) variáveis independentes x e y a função procurada f(x,y) derivadas de f da ordem n Motivação: Problemas

6 6 Exemplo Definição: Equações diferenciais parciais (edp) são equações contendo duas (ou mais) variáveis independentes x e y a função procurada f(x,y) derivadas de f da ordem n Motivação: Problemas mais importantes na engenharia ambiental: edp Problemas de condução/difusão, equação do calor, de onda Equação do calor (ec1): q x T x T T F( x, t) t x r c p 0 < x < l, t > 0 : condutividade térmica, c: calor especifico a p const., r: densidade, : difusividade térmica

7 7 Definição do problema de valor de contorno 1 Equação do calor 0 < x < l, t > 0 homogêneo cc1: Dirichlet (T fixo) T t T x 0 F( x, t) cc: X 0 X 0 von Neumann (fluxo fixo) condição inicial (ci): X j(0) (0) 1 j( ) (0)

8 8 Equação do calor homogênea: Ilustração do problema de valor de contorno 1

9 9 T t T x

10 10 T t T x

11 11 Equação do calor homogênea: Solução do problema de contorno 1 nx n² ² ² t T( x, t) cn sin exp n 1 ² Observações: falta mostrar convergencia e continuidade, mas se pode mostrar t T(x,t) 0 com limites maiores assim n= -n²²/l², n=1,,... são auto valores com a auto função u n ( x) c n Matematica! nx sin

12 1 Equação do calor homogênea: Solução do problema de contorno 1 T(x, t=const.) T(x, t=const.) T(x, t=0)=t0 Fonte: Hancock, 006

13 13 Equação do calor homogênea: Solução do problema de contorno 1 T(x=const., t) T(x=const., t) T0 Fonte: Hancock, 006

14 14 Equação do calor : Aplicações Fonte: Rationeller Bauen, 1983 Medições de temperatura numa parede em inverno (nublado). Tar,amb = 6-10 C, Tpar,amb = C, Tpar,int.=Tar,int = 0 C Tar,amb < Tpar não ocorre condensação. Obs.: distribuição permanente não corresponde com medições!

15 15 Equação do calor : Aplicações Modelagem da refrigeração controlada de barras de aço (trilha) no processo de produção. Objetivo: definir condições de contorno (refrigeração controlada) e/ou condições iniciais (produção controlada) para obter uma distribuição de temperatura equilibrada para cada momento. Fonte: Dipl. Math. Jens Saak

16 16 Equação de difusão Concentração: C Fluxo de massa: C D x D: difusividade molecular de A em B j x M V substncia total Equação de difusão: C C D F( x, t) t x F(x,t): fonte ou sumidor (reações, transformações) compare T t T x : F( x, t)

17 17 Soluções da equação de difusão Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento) F(x,t) = 0 Condições iniciais C(x,0) = C0j(x) transparente: água com Csal = 0 colorido: água com Csal = C0 Condições de contorno: superfície: C(,t)= 0 fundo: C(-,t)= C0 Solução (análogo eq. do calor) Dr.-Ing.

18 18 Soluções da equação de difusão Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

19 19 Referências Boyce, W. E., DiPrima, R. C., 1998, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, traduzido do inglês por Horacio Macedo, LTC - Livros Técnicos e Científcos Editora S.A., Rio de Janeiro, ISBN Kreyszig, E., 1999, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., New York, ISBN Hancock, M. 006, Linear Partial Differential Equations, MIT Open Course Ware, Massachusetts Institute of Technology, Robert E. Terrell, 011, PDE applets heat equation in 1d and d, Cornell University, Department of Mathematics,

20 0 10 km Coupling case study Cartagena outfall (Colombia) Outfall:.8 km long 0 m deep 3.8 m³/s N Outfall Punta Canoa Planta de Tratamiento Arroyo de Piedra Manzanillo del Mar La Boquilla Tierra Baja Puerto Bay Cienega de Tesca Cartagena Boca Grande Bahía de Cartagena Cartagena Estación de Bombeo Paraíso Source: World Bank

21 1 Definition diagram A) Multiport diffuser design program - CorHyd

22 Governing equations for CorHyd Automatic consideration of: friction losses along every single pipe section local losses at every geometrical change (e.g. contractions, bends) 1-D continuity and steady-state work-energy equations i d i d i d e i d i d e i d i d p g v g v z z p p,,, 1,, 1, 1,, i p i d p i e i d i jet e a i i d p g v g v z z p p,,,,,,,,

23 3 Solving scheme q i p,i j 1 r,i j 1 i 1 nd,i Ld,i 1,j p d,i 1 pa,i g zd,i 1 z jet,i qk ζ d,i,j λ 1 d,i 1,j e k 1 Ad,i j 1 A D 1 d,i 1,j d,i 1,j ρ pressure diff. C α c,i i A p,i n geod. diff. α A i p,i,j ζ p,i,j port losses λ p,i,j D L p,i,j p,i,j n 1 A r,i,j diffuser losses ζ r,i,j λ riser losses r,i,j D L r,i,j r,i,j Solving for flow distribution and total head with given total flow q 1 is estimated, q i calculated, iteration until Σq i = Q optional: Solving for total flow with given total head p d,1 is estimated, q i calculated, iteration until Σh l = H t Algorithm coded in Matlab, including GUI and graphical output

4 CorHyd - results for Cartagena outfall (L

8 m Discharge per riser (7 risers) Relative

velocity for intrusion F p = v p /(r/rgd p

24 4 CorHyd - results for Cartagena outfall (L D = 540 m) Q = 3.9 m³/s, H t =.8 m Discharge per riser (7 risers) Relative discharge deviation Port/riser losses (54 ports, D p = 0. m; D r = 0.3 m) Discharge velocity at ports critical velocity for intrusion F p = v p /(r/rgd p ) 0,5 > 1 Velocity in diffuser (D d = 1.9 m) Critical velocity (deposition)

5 5 Shallow water equation mass conservation momentum conservation h: total fluid column height (u,v): fluid's horizontal velocity g: acceleration due to gravity b: viscous drag coefficient f:

25 5 5 Shallow water equation mass conservation momentum conservation h: total fluid column height (u,v): fluid's horizontal velocity g: acceleration due to gravity b: viscous drag coefficient f: coriolis coefficients Waves in the atmosphere, rivers, lakes and oceans as well as gravity waves in a smaller domain (e.g. surface waves in a bath) Limitations: wave length of phenomenon much larger than depth of domain (e.g. tides)

26 Delft3D Functionality - details (1) two horizontal co-ordinate systems metric spherical two vertical systems surface and bottom following σ-layers fixed horizontal z-layers Fonte: Deltares, Delft3d,

27 7 7 Numerical domain: Curvi-linear grid local refinements where required boundary fitted (no staircase ) follows channels and shallow areas follows river bends Fonte: Deltares, Delft3d, 013

28 8 8 Continuity equation Fonte: Deltares, Delft3d, 013

29 Momentum equations 9 Fonte: Deltares, Delft3d, 013 9

30 Reynolds stresses (horizontal) 30 Fonte: Deltares, Delft3d,

31 31 Fonte: Deltares, Delft3d, Vertical velocities

32 Hydrostatic assumption 3 Fonte: Deltares, Delft3d, 013 3

33 Hydrostatic assumption 33 Fonte: Deltares, Delft3d,

34 34 10 km Coupling case study Cartagena outfall (Colombia) Outfall:.8 km long 0 m deep 3.8 m³/s N Outfall Punta Canoa Planta de Tratamiento Arroyo de Piedra Manzanillo del Mar La Boquilla Tierra Baja Puerto Bay Cienega de Tesca Cartagena Boca Grande Bahía de Cartagena Cartagena Estación de Bombeo Paraíso Source: World Bank

35 Delft 3D - Hydrodynamic modeling B.C.: unsteady currents (logarithmic) (merged ELCOM and measurements) density profile B.C.: unsteady water levels (tidal measurments) density profile B.C. (surface): free surface (sigma layer) unsteady, uniform wind shear B.C.: closed boundary 10,000 cells in horizontal 13 layers in vertical 10 h calculation time for 1 month simulation B.C. (bottom): bed stress (quadratic formulation) 5 km 35

36 36 Fonte: Deltares, Delft3d, Closed boundary conditions (bed)

37 Closed boundary conditions (bed) 37 Fonte: Deltares, Delft3d,

38 Closed boundary conditions (bed) Fonte: Deltares, Delft3d,

39 Closed boundary conditions (surface) 39 Fonte: Deltares, Delft3d,

40 40 Results 3: Delft3D - hydrodynamics Comparison of measured and computed water levels at outfall location

41 Delft3D - Hydrodynamic model results 41

42 4 Results 3: Delft3D - hydrodynamics Comparison of measured and modeled depth averaged currents at outfall location

43 43 43 Transport Equation

44 Transport Equation 44 Fonte: Deltares, Delft3d,

45 Equation of State 45 Fonte: Deltares, Delft3d,

46 FF water quality model: Delft3D-WAQ Water quality indicator (public health): total coliform bacteria Indicates probability of pathogens in water Bacteria inactivation highly sensitive to

46 46 FF water quality model: Delft3D-WAQ Water quality indicator (public health): total coliform bacteria Indicates probability of pathogens in water Bacteria inactivation highly sensitive to environmental parameters Significant differences exist between daylight and night and between trapped or surfaced plumes Implemented: Mancini model : k = f(surface radiation, temperature, turbidity, depth, salinity) source: Bitton, 1994

47 Results 4: bacteria concentration distributions Depth averaged total coliform concentration (C o = 10 11

47 47 Results 4: bacteria concentration distributions Depth averaged total coliform concentration (C o = MPN/m³) [MPN / m³] km Bathing water standard 10 6 How to decide regarding discharge permit? 0

48 48 C) Regulatory implementation - CorZone Exceedance frequency of water quality standard 100% 35 km 50% 0% 10% at coast: 4 % 1% WHO: max. 5 % 0

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