MÉTODO DIFUIVO DE LAX APLICADO NA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE SERRE 2DH

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1 MÉTODO DIFUIVO DE LAX APLICADO NA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE SERRE 2DH Thamires da Silva Matos* 1 ; Eloy Kaviski 2 Resumo As equações que descrevem a hidrodinâmica dos escoamentos com superfície livre em canais com pequena profundidade em duas dimensões na horizontal são convencionalmente denominadas de Saint-Venant 2DH (Yevjevich, 1975). As equações de Saint-Venant resultam da integração vertical das equações diferenciais parciais em três dimensões, de fluidos incompressíveis e Newtonianos em movimento num campo gravitacional, com a hipótese de que a aceleração vertical do movimento do fluido no escoamento é desprezível. Em muitas aplicações, a hipótese de Saint-Venant não leva a ocorrência de erros significativos. Entretanto, em muitos casos, em alguns escoamentos naturais a distribuição de pressão é não-linear, como por exemplo (Tossou, 2009): quando ondas encontram obstáculos; escoamentos livres em cachoeiras; em meandros bruscos; nos movimentos nas curvas dos canais; etc. Em 1953, Serre (Tossou, 2009) propôs um modelo para considerar o efeito da dinâmica do efeito da pressão não-hidrostática. O modelo de Serre 2DH é obtido adicionando-se os termos da pressão dinâmica nas equações de Saint-Venant 2DH. Nesta dissertação é aplicado o método difusivo de Lax para solucionar o problema de esvaziamento de um reservatório, comparando os resultados com a resolução do mesmo problema pelo método das diferenças finitas e com as equações de Saint Venant..Palavras-Chave Escoamento, Lax, Serre METHOD OF APPLIED LAX DIFFUSIVE IN SOLUTION OF THE EQUATION SERRE 2DH Abstract The equations which describe the hydrodynamic flow with free surface in channels with small depth in two horizontal dimensions are conventionally called Saint-Venant 2DH (Yevjevich, 1975). The Saint-Venant equation result of vertical integration of partial differential equations in three dimensions, incompressible Newtonian fluids and moving in a gravitational field, with the assumption that the vertical acceleration of the movement of the fluid in the flow is negligible. In many applications, the Saint-Venant hypothesis does not lead to occurrence of significant errors. However, in many cases, some natural flow pressure distribution is nonlinear, such as for example (Tossou, 2009): where waves encounter obstacles; free flow in waterfalls; in sudden intricacies; the movements in the curves of the channels; etc. In 1953, Serre (Tossou, 2009) proposed a model to consider the effect of the dynamic effect of non-hydrostatic pressure. The model is obtained from Serre 2DH adding the dynamic pressure terms in the equations of Saint-Venant 2DH. In this thesis is applied diffusion method of Lax to solve the problem of emptying a reservoir, comparing the results with the resolution of the same problem by the finite difference method and the Saint Venant equations. Keywords Flow, Lax, Serre 1 Universidade Federal do Paraná. thami.matos@gmail.com 2 Universidade Federal do Paraná: eloy.dhs@ufpr.edu.br XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 1

2 1. INTRODUÇÃO 1.1 Geral As equações que descrevem a hidrodinâmica dos escoamentos com superfície livre em canais com pequena profundidade em duas dimensões na horizontal são convencionalmente denominadas de Saint-Venant 2DH, em homenagem a Jean-Claude Barré de Saint-Venant que derivou a versão unidimensional em 1871 (Yevjevich, 1975). As equações de Saint-Venant resultam da integração vertical das equações diferenciais parciais em três dimensões, de fluidos incompressíveis e Newtonianos em movimento num campo gravitacional, com a hipótese de que a aceleração vertical do movimento do fluido no escoamento é desprezível (distribuição da pressão considerada hidrostática). Em muitas aplicações, a hipótese de Saint-Venant não leva a ocorrência de erros significativos (Le Dissez, 2006; Abbott e Cunge, 1975; Cunge, 1975). Entretanto, em muitos casos, em alguns escoamentos naturais a distribuição de pressão é não-linear, como por exemplo (Tossou, 2009): quando ondas encontram obstáculos; escoamentos livres em cachoeiras; em meandros bruscos; nos movimentos nas curvas dos canais; etc. Em 1953, Serre (Tossou, 2009) propôs um modelo para considerar o efeito da dinâmica do efeito da pressão não-hidrostática. O modelo de Serre 2DH é obtido adicionando-se os termos da pressão dinâmica nas equações de Saint-Venant 2DH. Nesta dissertação é aplicado o método difusivo de Lax para solucionar o problema do reservatório, usando o software MATLAB, calculando a propagação da onda e comparando o resultado com a solução obtida pelo método das características (Lobeiro, 2012). O método difusivo de Lax é um esquema de diferenças finitas explícito, que é condicionalmente estável. Steinstrasser (2005) analisou a viabilidade do uso do método difusivo de Lax na solução de problemas modelados pela equação de Saint-Venant unidimensional, concluindo que se o esquema mostrou-se preciso, estável e convergente, sempre que a discretização for orientada pela condição de Courant e as condições de contorno e condições iniciais definam claramente a situação física real. 1.2 Objetivo Geral Desenvolver um método computacional usando o método de Lax que simule o escoamento não-permanente através das equações de Serre 2DH para solucionar um problema de esvaziamento de reservatório e os resultados obtidos serão comparados com a solução obtidas através das equações de Saint-Venant 2DH. 1.3 Objetivos Específicos Deduzir as equações de Saint-Venant 2DH e de Serre 2DH. Apresentar as diferenças que podem ocorrer quando é considerada a pressão dinâmica nos escoamentos. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 2

3 1.4 Justificativa As equações de Saint-Venant 2DH não consideram os termos de pressão dinâmica, sendo assim não representam fielmente alguns casos reais. As equações de Serre 2DH tem capacidade de modelar escoamentos com pressão dinâmica em fundos sólidos, e também em casos que o contorno é uma superfície livre como numa queda d água (por exemplo, numa barragem). Também é útil para simular propagação de ondas de alta amplitude em águas rasas e escoamentos não-permanentes em geral. 2. EQUAÇÕES DE SAINT-VENANT Muitas aplicações de fluxo não permanentes são mais complexas e requerem termos adicionais ou modificação dos termos nas equações em uma dimensão. Neste item obtêm-se as Equações de Saint-Venant, ou as Equações de Conservação de Massa e Momento Linear na forma bidimensional, utilizando o Teorema de Transporte de Reynolds Equação da conservação da massa em duas dimensões Aplicações bidimensionais trazem uma coordenada horizontal, y, perpendicular à x. Nesse caso, deve se considerar na Equação de Conservação da Massa a possibilidade de que o líquido entra e sai do volume de controle elementar através da face normal do eixo y. Considerando, e utilizando uma expansão em Série de Taylor, baseada no centro do elemento, para calcular a velocidade média e a área onde desprezam-se os termos de ordem maior que um, conforme Figura 1. Figura 1 - Expansão em Série de Taylor para U, V e h em 2D. Fonte: Chaudhry, 1993 Após algumas substituições, obtém-se a equação da conservação da massa em duas dimensões: (1) 2.2. Equação do Momento Linear em duas Dimensões XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 3

4 Da equação da quantidade de momento linear: (2) Três tipos de forças serão considerdas: gravidade, pressão e força de atrito. Todas estas devem ser resolvidas na direção x e y, obtendo-se as equações: (3) (4) Que são as equações do momento linear nas direções x e y. Estas estão na forma reduzida.reorganizando as derivadas destas equações, obtém-se o sistema de equações de Saint- Venant 2D na forma conservativa: (5) (6) (7) 3. EQUAÇÕES DE SERRE 2DH As equações de Serre são uma alternativa as equações de Saint-Venant, sendo a principal diferença nas equações dinâmicas que incluem os termos de aceleração vertical, que, segundo Serre, é a principal causa da pressão dinâmica. As bases do desenvolvimento das equações de Serre são as equações diferenciais parciais dos fluidos em movimento num campo gravitacional em três dimensões, as equações de Navier-Stokes e a equação da continuidade em três dimensões. A equação de Navier-Stokes é aplicada a um volume de controle (dimensões dx, dy e dz) de um fluido real (viscosidade não-nula) e representa o princípio da conservação dos momentos através do equilíbrio de forças, representado pela equação (8).O fluido é assumido como incompressível e newtoniano. (Tossou, 2009) Para considerar as forças turbulentas nos cálculos, é aplicada a viscosidade torvelinho, levando a aproximação de Boussinesq. A seguir são apresentadas as equações em duas dimensões de Saint-Venant para introduzir o desenvolvimento do modelo de Serre. As equações de Saint-Venant são resultado da integração vertical da equação de Navier-Stokes, sem considerar a aceleração vertical. A equação(9) representa a equação da continuidade 2DH e a (10) e (11) as equações dinâmicas. (8) (9) XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 4

5 (10) (11) As equações de Serre são fundamentadas no fato de as velocidades horizontais serem assumidas constantes ao longo da vertical. Assim, a componente vertical da velocidade varia linearmente do fundo do canal até a superfície livre. Serre levou em consideração a aceleração vertical do fluido, então a distribuição de pressões não pode mais ser considerada hidrostática. A partir desta equação, o processo consiste em calcular a expressão média na vertical da equação da continuidade e das equações resultantes de Navier-Stokes, resultando em um sistema semelhante ao de Saint-Venant porém com termos adicionais da pressão dinâmica. Para obter uma expressão geral da velocidade vertical, deve-se integrar a equação da continuidade do nível do fundo (z f ) do canal até um nível arbitrário z, levando-se em conta a aproximação de velocidades horizontais serem constantes ao longo da vertical. (Tossou, 2009) Obtém-se as equações: (12) (13) (14) 4. MÉTODO DIFUSIVO DE LAX 4.1 Geral O método de Lax-Wendroff é comumente utilizado em problemas de dinâmica de fluidos e análises de sensibilidade de linhas de transmissão. A precisão deste método é garantida comparando os resultados com soluções teóricas. É um método explícito de diferenças finitas para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais que se mostra eficiente para aplicações práticas se a condição de Courant for atendida e as condições iniciais e de contorno estiverem bem definidas.os métodos explícitos calculam o estado do sistema num tempo posterior ao estado, enquanto que métodos implícitos encontram a solução resolvendo uma equação que envolve ambos (estados atual e posterior). (Streinstrausser, 2005) O método difusivo de Lax é um esquema de diferenças finitas explícito, que é condicionalmente estável. Esse método é desegunda ordem no tempo e no espaço. A formulação numérica pode ser deduzida a partir da equação da convecção linear: (15) XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 5

6 Para determinar o método de Lax-Wendroff, deve-se expandir a variável Taylor e truncar os termos até a segunda ordem, obtendo-se: em séries de (16) A aplicação de um método de diferenças finitas para a solução aproximada de um sistema de equações diferenciais está fundamentada no conceito de discretização das variáveis independentes. Neste caso, as variáveis dependentes são a profundidade e a velocidade média nas seções de um canal. As variáveis independentes são o espaço e o tempo, discretizadas no plano x-t. Este plano consiste num conjunto de pontos discretos que representam o domínio da solução das equações diferenciais parciais. Linhas paralelas ao eixo x são denominadas linhas de tempo e são espaçadas por t (discretização temporal). (17) (18) As equações (17) e (18) calculam os pontos internos i = 2,3...N. Os contornos (pontos i = 1 e i = N+1), assim como as condições iniciais, dependem de cada caso estudado e necessitam de tratamento especial. Em geral, pelo menos uma das variáveis extremas (y ou v), precisa ser estimada com base em valores adjacentes internos. A solução mais simples, e menos precisa, consiste em transferir para (i = 1) o valor da variável calculado em (i = 2), assim como igualar para (i = N+1) o valor calculado da variável em (i = N) Condição de estabilidade de Courant Atualmente não existem procedimentos rigorosos para determinar a estabilidade de sistemas não-lineares, porém ela pode ser avaliada se os termos não-lineares forem submetidos a um processo de linearização. A demonstração da estabilidade para o esquema difusivo de Lax aplicado às equações linearizadas de Saint-Venant consiste em seguir o procedimento de von Neumann ou fazer uma análise de Fourier (Steinstrasser, 2005). A condição de Courant é fundamental para a estabilidade e convergência desse método. A definição dos valores de t e x está limitada pela condição de estabilidade Courant, testada em cada etapa do método, apresentada a seguir (Steinstrasser, 2005): (19) 5. MÉTODO COMPUTACIONAL Será desenvolvido um programa em MATLAB para resolver o problema do escaziamento de um reservatório utilizando a equação de Serre 2DH e o método difusivo de Lax. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 6

7 6. ESVAZIAMENTO DE UM RESERVATÓRIO Considera-se um reservatório na forma de um paralelepípedo de 7m de comprimento, 7m de largura e 5m de altura com inclinação nula e sem resistência ao escoamento. Inicialmente o reservatório está cheio de água parada, ou seja, a velocidade inicial é zero. Àesquerda e à direita conforme indicado na Figura 2, existem comportas de 1m na fronteira x = cx e 1m na fronteira y = cy (c = 7). Estas comportas são abertas quando t > 0. Nestas aberturas a velocidade do escoamento, na direção normal às superfícies é considerada constante e igual a 1m/s. Figura 2 - Reservatório. Fonte: Lobeiro, 2012 REFERÊNCIAS ABBOTT, M.B; CUNGE, J.A. Two-DimensionalModelingofTidal Deltas andestuaries. 18th Chapter in UnsteadyFlow in Open Channels (Vol II) bymahmood, K., Yevjevich, V. WaterResourcesPublication. Fort Collins, Colorado, USA AUDUSSE, E.; BRISTEAU, M.O. A well-balanced positivity preserving second order scheme for shallow water flows on unstructured meshes. In: Journal of Computational Physics, Vol. 206, pp , CARTER, J.D.; CIENFUEGOS, R. The kinematics and stability of solitary and cnoidal wave solutions of the Serre equations. In: European Journal of Mechanics / B Fluids, Vol.30, pp [Periódicorevisadopor pares], CHAUDHRY, M. Open ChannelFlow. 483 p: Prentice Hall, CUNGE, J.A. Two-Dimensional ModelingofFloodPlains. UnsteadyFlow in Open Channels 2. 17th Chapter in UnsteadyFlow in Open Channels (Vol II) bymahmood, K., Yevjevich, V. WaterResourcesPublication. Fort Collins, Colorado, USA XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 7

8 DOU, L.; DOU, J. Sensitivity analysis of lossynonuniformmulticonductor transmission lines based on the Lax-Wendroff technique. Introduction, In: International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields,Vol. 23, pp Disponível online em Wiley InterScience, FRAZÃO, S; ZECH, Y. Dam Break in Channels with 90 Bend. Journal of HydraulicEngineering., Vol. 128, pp , LE DISSEZ, A. Modélisationnumériquedesécoulementstidauxenmilieuxpeuprofond. Application à l'étude de l'hydrodynamiquedubassin d'arcachon.tese de Doutorado, Université de Bordeaux, Talence, França, LOBEIRO, A. M. Solução das equações de Saint-Venantemuma e duasdimensõesusando o método das características. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Brasil, SERRE, F. Contribution à l'étudedesécoulementspermanents et variablesdanslescanaux. HouilleBlanche, 8: , STEINSTRASSER, C.E. Método Difusivo de Lax Aplicado na Solução das Equações de Saint- Venant. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Brasil, TOSSOU, E.E. Extension of the 2DH Saint-Venant Hydrodynamic Model for Flows with Vertical Acceleration. Ph.D. Dissertation, LavalUniversity, Quebec, Canada, TUCCI, C.E.M. Modelos Hidrológicos. ABRH. Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, YEVJEVICH, V. Unsteady Flow in Open Channels. Introduction, In: Mahmood, K., Yevjevich, V.Vol. I, WRR, Colorado, ZARMEHI, F.; TAVAKOLIA, A..; RAHIMPOURB, M. On numerical stabilization in the solution of Saint-Venant equations using the finite element method. In: Computers and Mathematics with Applications, Vol. 62, pp , XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 8