Modelagem do fluxo hidrodinâmico bidimensional num reservatório usando o método dos volumes finitos

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1 Modelagem do fluxo hidrodinâmico bidimensional num reservatório usando o método dos volumes finitos Sara Coelho da Silva Adilandri Mercio Lobeiro Departamento de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campo Mourão, Brasil Eloy Kaviski Liliana Magdalena Gramani Programa de Pós Graduação em Métodos Numéricos para Engenharia Universidade Federal do Paraná Curitiba, Brasil Resumo Neste artigo, descreve-se a aplicação do método dos volumes finitos para resolução numérica do sistema de equações de águas rasas bidimensional. A solução numérica obtida foi aplicada em um estudo de caso e implementada em Linguagem FORTRAN. O uso de um esquema explícito de volumes finitos no desenvolvimento do modelo foi motivado por sua simplicidade e eficiência computacional. A solução numérica obtida torna possível estabelecer comparações quanto à eficácia da interpolação central e do esquema upwind. Para aplicação do modelo simulou-se o esvaziamento de um reservatório a partir de dados como o nível inicial e a vazão do escoamento. A implementação computacional utilizada permite a avaliação temporal do nível e do fluxo no reservatório. A análise gráfica do modelo demonstra fidelidade com o fenômeno investigado. Palavras-chave volumes finitos; interpolação central; esquema upwind; equação de águas rasas; FORTRAN. I. INTRODUÇÃO Os reservatórios são importantes ecossistemas que têm como foco central o gerenciamento dos recursos hídricos, visando abastecimento de água para população, controle de cheias, geração de energia, etc. [2] No entanto, sabe-se que a exploração humana e interferências externas podem prejudicar fortemente estes ecossistemas. Como exemplo, pode-se citar o recente rompimento da barragem de Fundão, no distrito de Bento Rodrigues, Minas Gerais. Nesse contexto, [1] e [9] evidenciam a necessidade do conhecimento prévio do comportamento hidrodinâmico de ecossistemas e do uso de métodos que melhor descrevam as variáveis hidrodinâmicas envolvidas, no intuito de melhor gerenciar esses ecossistemas avaliando riscos, usos, disponibilidade e preservação. Como método de análise comportamental hidrodinâmica, [8] sugere o uso de modelos matemáticos para entendimento dos padrões de fluxo em corpos d àgua. Para modelagem matemática do escoamento de fluidos são usadas as leis fundamentais da física. Essas leis são descritas por sistemas de equações diferenciais parciais que assumem diferentes formas, dependendo do fenômeno em questão. Estes sistemas são nomeados como equações de Saint Venant (caso unidimensional) ou equações de águas rasas (caso bidimensional). A obtenção de uma solução para as equações de águas rasas é um problema relativamente difícil, pois sua formulação envolve termos não lineares, o que impossibilita a utilização de um método analítico. Torna-se necessário, recorrer aos métodos numéricos que podem resolver problemas com condições de contorno gerais, apresentando resultados rapidamente com baixo custo computacional. Neste artigo, utiliza-se o método dos volumes finitos (MVF) para discretização numérica do sistema conservativo e simplificado das equações de águas rasas que modelam o escoamento transiente de água em um reservatório retangular. O objetivo é avaliar a descarga de água no reservatório de forma transiente e em duas direções, comparando resultados obtidos pelo método das características (MC) e pelo método dos volumes finitos por esquemas de interpolação central e upwind. Esta pesquisa se justifica pela necessidade de previsão e monitoramento dos fenômenos hidrodinâmicos de forma rápida. A escolha do método se dá por sua potencialidade e robustez na simulação numérica de escoamentos de fluidos. A implementação numérica foi realizada em Linguagem FORTRAN por sua simplicidade, rapidez, alta capacidade de armazenamento de dados e interface gráfica eficiente. II. EQUAÇÕES GOVERNANTES O sistema de equações que governa o escoamento bidimensional transiente em canais retangulares, sem declividade ou rugosidade no fundo, apresenta-se em [3] e [4] como: h t + x (uh) + (vh) = 0, (1) y t (uh) + x (u2 h gh2 ) + (uvh) = 0, (2) y t (vh) + x (uvh) + y (v2 h gh2 ) = 0, (3)

2 onde h(m) é a profundidade do canal, u(m/s) e v(m/s) são as componentes da velocidade, g(m/s 2 ) é a aceleração da gravidade e t(s) é o tempo. III. SOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO Para utilização do Método dos Volumes Finitos na obtenção da solução numérica do modelo, faz-se necessária a discretização do domínio em volumes de controle e a integração espacial e temporal sobre cada um desses volumes. A. Discretização do Domínio face oeste o valor da propriedade φ w é influenciado por φ P e φ W quando utiliza-se interpolação central. No entanto, em fluxos fortemente convectivos de oeste para leste, o valor da propriedade φ w receberia mais influência de W do que de P. Na interpolação upwind, o valor da variável nas faces do volume de controle é obtido em função da direção do fluxo, conforme Fig. 2 apresentada em [10]. Adota-se um domínio retangular D subdividido em n x.n y volumes de controle discretos. A Fig. 1 representa a discretização do domínio D, utilizando n x, n y subintervalos de comprimento x = Lx n x, y = Ly n y. Para facilitar a discretização faz-se x = y. Em cada volume de controle identifica-se o centróide P, cuja distância aos demais centróides vizinhos (N, S, E, W) é x = y e a distância até os elementos das faces (n, s, e, w) é x 2. Para abstração computacional, é adotado uma indexação das variáveis a serem calculadas. Neste caso, o ponto P será indexado como (i, j), os seus vizinhos W, E são indexados por (i 1, j) e (i+1, j) e, os vizinhos N, S por (i, j +1), (i, j 1). Figura 2. Esquema upwind. Expressando matematicamente, a interpolação upwind é descrita da seguinte maneira: Figura 1. Discretização do domínio bidimensional. B. Integração espacial A integração espacial é feita sobre um volume de controle genérico centrado em P com altura h fixa, cujas áreas transversais são A s = A n = x.h e no corte longitudinal, A e = A w = y.h. Deste modo, V φ x dv = n e s w φ x hdxdy = (φ e φ w )h y. (4) O valor da propriedade nas faces dos volumes de controle é obtido por interpolação. Neste artigo compara-se o uso das interpolações central e upwind. Na interpolação central, o valor da variável nas faces do volume de controle é a média dos valores das variáveis nos centróides vizinhos. Por exemplo, φ e = φ E + φ P. (5) 2 Em [10] a interpolação central é apontada como inadequada por não identificar a direção do fluxo. Conforme [10], na ou, C. Integração temporal φ w = φ W ; φ e = φ P, se u > 0, (6) φ w = φ P ; φ e = φ E, se u < 0, (7) O intervalo total de tempo L t é subdividido em n t subintervalos de comprimento t = Lt n t, adotando-se as notações: e φ(p, t) = φ 0 P (8) φ(p, t + t) = φ P. (9) Para integração temporal é utilizada a integração numérica apontada em [6] e [10]: t+ t t φ P dt = [θφ P + (1 θ)φ 0 P ] t, 0 θ 1. (10)

3 D. Formulação explícita da solução numérica Adotando a formulação explícita, θ = 0 em (10), a discretização obtida para o sistema (1) (3) via MVF é dada por: h P = h 0 P + E 0 h + W 0 h + N 0 h + S 0 h, (11) u P = 1 h P.(A 0 u + E 0 1u + E 0 2u + W 0 1u + W 0 2u + N 0 u + S 0 u), (12) v P = 1 h P.(A 0 v + E 0 v + W 0 v + N 0 1v + N 0 2v + S 0 1v + S 0 2v), (13) onde os termos de (11), (12) e (13) dependem da interpolação utilizada. Adotando-se interpolação central, estes termos são descritos por: E h = ( t 4 x )(u0 E + u 0 P ).(h 0 E + h 0 P ), W h = ( t 4 x )(u0 W + u 0 P ).(h 0 W + h 0 P ), N h = ( t 4 x )(v0 N + v 0 P ).(h 0 N + h 0 P ), S h = ( t 4 x )(v0 S + v 0 P ).(h 0 S + h 0 P ), A 0 u = u 0 P.h 0 P, E 0 1u = ( t 4 x )(u0 E + u 0 P ) 2.(h 0 E + h 0 P ), E 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 E + h 0 P ) 2, W 0 1u = ( t 4 x )(u0 W + u 0 P ) 2.(h 0 W + h 0 P ), E h = ( t 4 x )(u0 E + u 0 P ).(2h e), W h = ( t 4 x )(u0 W + u 0 P ).(2h w), N h = ( t 4 x )(v0 N + v 0 P ).(2h n), S h = ( t 4 x )(v0 S + v 0 P ).(2h s), A 0 u = u 0 P.h 0 P, E 0 1u = 0.5( t 4 x )(2ue)2.(h 0 E + h 0 P ), E 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 E + h 0 P ) 2, W 0 1u = 0.5( t 4 x )(2uw)2.(h 0 W + h 0 P ), W 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 W + h 0 P ) 2, N 0 u = ( t 4 x ).0, 5.(2un).(v0 N + v 0 P ).(h 0 N + h 0 P ), S 0 u = ( t 4 x ).0, 5.(2us).(v0 S + v 0 P ).(h 0 S + h 0 P ), A 0 v = v 0 P.h 0 P, N 0 1v = 0.5( t 4 x )(2vn)2.(h 0 N + h 0 P ), N 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 N + h 0 P ) 2, S 0 1v = 0.5( t 4 x )(2vs)2.(h 0 S + h 0 P ), S 0 2v = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 S + h 0 P ) 2, E 0 v = ( t 4 x ).0, 5.(2ve).(v0 E + v 0 P ).(h 0 E + h 0 P ), W 0 v = ( t 4 x ).0, 5.(2vw).(v0 W + v 0 P ).(h 0 W + h 0 P ), (15) onde os valores de h, u e v nas faces dos volumes de controle, são obtidos pelo esquema upwind: W 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 W + h 0 P ) 2, N 0 u = ( t 4 x ).0, 5.(u0 N + u 0 P ).(v 0 N + v 0 P ).(h 0 N + h 0 P ), S 0 u = ( t 4 x ).0, 5.(u0 S + u 0 P ).(v 0 S + v 0 P ).(h 0 S + h 0 P ), A 0 v = v 0 P.h 0 P, N 0 1v = ( t 4 x )(v0 N + v 0 P ) 2.(h 0 N + h 0 P ), N 0 2u = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 N + h 0 P ) 2, S 0 1v = ( t 4 x )(v0 S + v 0 P ) 2.(h 0 S + h 0 P ), (14) ou, e ainda, h w = h 0 W ; h e = h 0 P, se u > 0, u w = u 0 W ; u e = u 0 P, se u > 0, (16) v w = vw 0 ; v e = vp 0, se u > 0, h w = h 0 P ; h e = h 0 E, se u < 0, u w = u 0 P ; u e = u 0 E, se u < 0, (17) v w = vp 0 ; v e = ve 0, se u < 0, S 0 2v = ( t 4 x )(0, 5g).(h0 S + h 0 P ) 2, E 0 v = ( t 4 x ).0, 5.(v0 E + v 0 P ).(v 0 E + v 0 P ).(h 0 E + h 0 P ), W 0 v = ( t 4 x ).0, 5.(v0 W + v 0 P ).(v 0 W + v 0 P ).(h 0 W + h 0 P ). ou, h s = h 0 S, h n = h 0 P, se v > 0, u s = u 0 S, u n = u 0 P, se v > 0, (18) v s = vs 0, v n = vp 0, se v > 0, Adotando-se porém, o esquema upwind, reformula-se os termos descritos em (11), (12) e (13), da seguinte maneira: h s = h 0 P, h n = h 0 N, se v < 0, u s = u 0 P, u n = u 0 N, se v < 0, (19) v s = vp 0, v n = vn 0, se v < 0.

4 E. Estabilidade numérica da solução Para garantir a estabilidade numérica da solução descrita por (11), (12) e (13), deve-se adotar t, x, y que satisfaçam a Condição de Courant bidimensional, apresentada em [5]: u t x + v t y 1. (20) Como o modelo hidrodinâmico governado pelas equações é transiente, as componentes da velocidade u e v variam em função do tempo. Portanto, na implementação numérica, devese executar o teste de estabilidade em cada instante de tempo. F. Dependência das variáveis na formulação explícita Observa-se em (11) - (15) que para determinação dos valores de h P, u P e v P faz-se necessário o cálculo prévio de h 0 P, u0 P e v0 P e dos valores nos centróides vizinhos, N 0, S 0, E 0 e W 0. Na Fig. 3 evidencia-se a dependência das variáveis na implementação numérica. Figura 3. Esquema de dependência das variáveis. Esta dependência das variáveis também indica que o sistema de equações de águas rasas só estará completo, para a implementação numérica, quando as condições iniciais e de contorno forem incorporadas ao modelo. Figura 4. Condição de contorno hidrodinâmica. h(x, 0, t) = h(x, y/2, t), h(x, L y, t) = h(x, L y y/2, t), h(0, y, t) = h( x/2, y, t), h(l x, y, t) = h(l x x/2, y, t), h(0, 0, t) = h( x/2, y/2, t), h(l x, 0, t) = h(l x x/2, y/2, t), h(0, L y, t) = h( x/2, L y y/2, t), h(l x, L y, t) = h(l x x/2, L y y/2, t). (22) Com relação às componentes da velocidade, deve-se lembrar que as paredes são impermeáveis. Deste modo, não havendo uma abertura para a descarga d água, estas componentes são nulas. Para impor o escoamento da água no reservatório, basta indicar o trecho onde há descarga e qual a vazão do escoamento. Por exemplo, considera-se na Fig 5, descarga d água na fronteira F 1 = {(L x, y) : 0 y L y } no trecho y 1 y y 2 e, em F 2 = {(x, L y ) : 0 x L x } no trecho x 1 x x 2. IV. CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO Para implementação numérica deve-se indicar o nível h no reservatório e as componentes u, v da velocidade do escoamento no instante inicial da simulação, para todos os pontos do domínio. h(x, y, t = 0) = h 0, u(x, y, t = 0) = u 0, v(x, y, t = 0) = v 0. (21) A condição de contorno hidrodinâmica é explicitada na Fig. 4. Considera-se o nível da água nas paredes do reservatório igual a altura da água no centro do volume de controle mais próximo dentro do domínio. Ou seja, como as fronteiras distam x/2 (ou y/2) do centróide mais próximo, faz-se: Figura 5. Condição de Contorno para as Componentes da Velocidade. Neste caso, as condições de contorno para as componentes da velocidade são descritas da seguinte maneira:

5 u(x, 0, t) = u(x, y/2, t), v(x, 0, t) = 0, u(0, y, t) = 0, v(0, y, t) = v( x/2, y, t), u(l x, y, t) = 0, 0 y < y 1, u(l x, y, t) = c 1, y 1 y y 2, u(l x, y, t) = 0, y > y 2, v(l x, y, t) = v(l x x/2, y, t), u(x, L y, t) = u(x, L y y/2, t), v(x, L y, t) = 0, 0 x < x 1, v(x, L y, t) = c 2, x 1 x x 2, v(x, L y, t) = 0, x > x 2. V. ESTUDO DE CASO (23) O caso descrito neste artigo foi estudado em [3], na análise do modelo hidrodinâmico bidimensional governado pelas equações de águas rasas simplificadas, via Método das Características (MC) com implementação no software Maple. Considera-se em [3], um reservatório de base retangular 7 7 e altura de 5 m, com paredes impermeáveis e rígidas, sem declividade no fundo e sem resistência ao escoamento que, inicialmente está cheio de água em repouso e com densidade uniforme, não havendo ingresso lateral de água. Conforme Fig. 6, o escoamento simulado em [3] se dá pela abertura nas paredes de dois trechos de 1 m de largura por onde ondas d água progridem a uma velocidade constante: u(7, y, t) = 1 m/s, 5 y 6, v(x, 7, t) = 1 m/s, 5 x 6. Figura 6. Reservatório de base retangular com aberturas laterais. (24) Neste artigo, adota-se as mesmas características simplificadoras apresentadas em [3], porém a velocidade de saída/descarga de água é dependente do nível da água h no reservatório. Mais especificamente, u(7, y, t) = 0.2h(7, y, t), 5 y 6 v(x, 7, t) = 0.2h(x, 7, t), 5 x 6. (25) Para previsão da velocidade instantânea de descarga, do nível da água, do volume restante no reservatório e do tempo de esvaziamento implementa-se, em Linguagem Fortran, dois códigos para obtenção das soluções numéricas do sistema de equações de águas rasas discretizado pelo Método dos Volumes Finitos. Em um código utiliza-se a discretização obtida por interpolação central e no outro, a solução resultante do esquema upwind. Adota-se em ambos os casos, as condições iniciais: h(x, y, 0) = 5, u(x, y, 0) = v(x, y, 0) = 0; e as condições de contorno apresentadas na Seção V, com c 1 = c 2 = 0.2h, x 1 = y 1 = 5, e x 2 = y 2 = 6. Garante-se a estabilidade numérica das soluções, dada por (20), utilizando uma malha uniforme com volumes de controle, x = y = Lx n x = = 0.05m, e passo de tempo t = s. Deste modo, ao utilizar-se um intervalo de tempo L t = 0.1 s, deve-se subdividi-lo em n t = 1000 subintervalos de comprimento. Adotando porém, L t = 1 s, deve-se subdividi-lo em n t = subintervalos. Como t é muito pequeno, o algoritmo foi implementado para garantir o backup dos dados a cada n t iterações. Deste modo, para análise dos próximos instantes de tempo (t = 2n t s, t = 3n t s,..., t = 10n t s, etc) implementou-se uma interface que o usuário pode optar pelo backup dos dados. Se for feita esta opção o algoritmo realiza os novos cálculos a partir dos dados já armazenados. É importante salientar que o nível h deve assumir somente valores maiores que zero, pois as componentes da velocidade de saída são expressas como 0.2h. Por outro lado, os valores de u e v, descritos em (12) e (13), dependem do valor de h e devem satisfazer a Condição de Courant descrita em (20). Portanto, é essencial estabelecer um critério de parada no código, caso o nível h esteja muito próximo de zero ou que a estabilidade numérica não esteja garantida. Neste caso, adota-se nível mínimo da água no reservatório superior ou igual a m. O critério de parada do código, impõe um tempo máximo de análise do escoamento. Observa-se ainda que, devido as condições de contorno impostas, conforme os valores de h tendem a zero as velocidades de saída também diminuem. Deste modo, apenas num tempo infinito"chegariase ao nível zero. VI. RESULTADOS E COMPARAÇÕES A partir das condições iniciais hidrodinâmicas e de contorno, é possível analisar o comportamento do escoamento no reservatório. Para estabelecer comparações quanto à eficácia dos métodos utilizados na resolução numérica das equações de águas rasas simplificadas, deve-se implementar as soluções usando as mesmas condições de contorno, apresentadas em [3]. Deste modo, pode-se comparar o tempo máximo (t max ) de análise do escoamento e o volume total (V.T ) restante no reservatório neste instante de tempo para a solução numérica obtida pelo método das características (MC) e pelo método dos volumes finitos com interpolação central (MVF1) e com o esquema upwind (MVF2). Na Tabela I observa-se que a utilização do esquema upwind na discretização obtida via MVF permite um maior tempo de análise do escoamento, embora muito pequeno ainda devido a imposição da condição de contorno constante adotada em [3].

6 Tabela I COMPARAÇÃO DO TEMPO MÁXIMO DE SIMULAÇÃO x(m) y(m) t(s) t max(s) V.T (m 3 ) MC MVF MVF Utilizando t 1 = s e t 2 = s na implementação numérica obtida via MVF, pode-se comparar o valor do volume total obtido por cada esquema de discretização, conforme Tabela II. Tabela II COMPARAÇÃO DOS VOLUMES TOTAIS EM t 1 = s E t 2 = s MC MVF1 MVF2 V.T (t 1 = s) m m m 3 V.T (t 2 = s) m m 3 Observa-se na Tabela II que os valores temporais do volume total nos instantes t 1 e t 2, utilizando a interpolação central e o esquema upwind, são próximos. Embora a interpolação central seja deficitária, há proximidade nos valores calculados quando comparados com o esquema upwind. Adotando as condições de contorno descritas em (25), com a velocidade do escoamento em função do nível do reservatório, pode-se estabelecer comparações entre o tempo de simulação adotando interpolação central ou o esquema upwind. A Tabela III contêm esta comparação. Tabela IV COMPARAÇÃO DOS VOLUMES TOTAIS PARA t = s OBTIDOS VIA MVF MVF1 MVF2 V.T (t = s) m m 3 respectivamente, o nível da água no reservatório, o campo de velocidades e a norma do vetor velocidade, nos instantes t = 0.1 s, t = 1 s e t = 10 s, fazendo uso do MVF e do esquema upwind. Na Fig. 7 (a) observa-se que, no instante t = 0.1 s, o nível da água em quase todo o canal é h = 5 m, com um pequeno declive na profundidade somente nas proximidades das aberturas de saída. Esse declive rapidamente se propaga para o interior do canal. Para t = 1 s, a Fig.7 (b) evidencia a formação de ondas de elevação no interior do reservatório. Tais elevações se tornam mais brandas com o decorrer do tempo e, na Fig. 7 (c) pode-se notar um declive expressivo em todo o canal para t = 10 s. Tabela III COMPARAÇÃO DO TEMPO MÁXIMO DE SIMULAÇÃO PARA ESQUEMAS DE INTERPOLAÇÃO DO MVF x y t t max V.T MVF m 0.05 m s s m 3 MVF m 0.05 m s s m 3 Os resultados ilustrados na Tabela III evidenciam a eficácia e superioridade do esquema upwind na simulação numérica de modelos governados pelas equações das águas rasas. Observase na Tabela III que, embora não seja possível realizar a simulação do escoamento total do reservatório, devido a adoção do esquema explícito, o tempo de análise do escoamento fazendo uso do esquema upwind é muito superior ao tempo máximo obtido por interpolação central. Pode-se comparar ainda tais discretizações, utilizando na Tabela IV o valor temporal t max = s no cálculo do volume total pelas duas discretizações. Além das comparações já estabelecidas nas Tabelas I, II, III e IV, a interface gráfica do código implementado possibilita uma melhor compreensão do fenômeno modelado. Apresentase a seguir a análise gráfica da variação temporal do nível da água no reservatório e o comportamento da velocidade do escoamento. Nas Figuras 7, 8 e 9 são apresentados, Figura 7. Nível da água nos instantes t = 0.1 s, t = 1 s e t = 10 s. O modelo hidrodinâmico também fornece o campo de

7 velocidade para todo o domínio. A Fig. 8 exibe as direções do fluxo ao longo do tempo. Na Fig. 8 (a) observa-se que para t = 0.1 s a velocidade é praticamente nula em todo o reservatório exceto nas saídas. Da Fig. 8 (b) constata-se que para t = 1.0 s a intensidade do fluxo se propaga para o interior do canal, não atingindo ainda o canto inferior esquerdo do canal, sendo muito fraca no canto superior direito. Para t = 10 s, observa-se na Fig. 8 (c) que há velocidade do escoamento em todos os pontos do domínio, com mudança de direção nas proximidades das saídas. A partir de t = 10 s a velocidade do escoamento torna-se cada vez mais lenta e essa mudança de direção se propaga para pontos do interior do canal. Figura 9. Norma do vetor velocidade U (u, v) nos instantes t = 0.1s, t = 1 s e t = 10 s. Observa-se na Fig. 9 (a) que inicialmente a velocidade é praticamente nula em todo o reservatório, com maior intensidade somente nas saídas. Para t = 1.0 s, a Fig. 9 (b) evidencia a propagação do fluxo, atingindo grande parte do reservatório. Já em t = 10 s a propagação do fluxo se dá em quase todo o reservatório, exceto nos cantos, conforme Fig. 9 (c). VII. C ONCLUSÕES Figura 8. Campo de velocidades do escoamento nos instantes t = 0.1 s, t = 1 s e t = 10 s. A intensidade do fluxo é representada pela norma do vetor velocidade em cada ponto do domínio bidimensional. A Fig. 9 mostra a propagação do fluxo no reservatório ao longo do tempo. O modelo matemático discretizado e implementado neste artigo simula de maneira eficiente os problemas de escoamentos bidimensionais em canais com aberturas. A forma conservativa das equações de águas rasas facilitou a utilização do MVF. O tratamento explícito do MVF, embora sujeito a uma condição de estabilidade, tornou simples a elaboração do programa possibilitando ainda a utilização de diferentes intervalos de tempo de simulação. A incorporação da condição de contorno não constante, com velocidade dependente do nível no reservatório, foi essencial para fidelidade ao modelo físico simulado. Com relação ao tempo de análise do escoamento, neste estudo de caso, o método dos volumes finitos se mostrou superior ao método das características, como também

8 o esquema upwind se mostrou superior à interpolação central. O código numérico elaborado com backup de dados, pode ser utilizado para simular efeitos futuros com modificação nas condições de contorno, como entradas de água no reservatório ou despejo de poluentes. Os dados obtidos na implementação numérica do modelo hidrodinâmico podem ser acoplados à modelos de transporte de poluentes. VIII. AGRADECIMENTOS A primeira autora é grata a UTFPR- campus Campo Mourão pela concessão de seu afastamento para dedicação integral à pesquisa de doutorado e ao apoio financeiro da CAPES. REFERÊNCIAS [1] C. R. Fragoso Jr. Simulação da Dinâmica de Fitoplâncton no Sistema Ecológico do Taim (RS). Dissertação de Mestrado, Instituto de Pesquisas Hidráulicas,UFRGS. Porto Alegre, [2] C. R. Fragoso Jr, C. E. M. Tucci, W. Collishonn and D. M. L. M. Marques, Simulação de Eutrofização em Lagos Rasos: I - Modelo e Precisão Numérica. RBRH - Revista Brasileira de Recursos Hídricos, 12,n.4:23 35, ISSN: [3] A. M. Lobeiro. Solução das Equações de Saint Venant em uma e duas dimensões usando o Método das Características. Tese de Doutorado, Programa de Pós Graduação em Métodos Numéricos para Engenharia,UFPR. Curitiba, [4] K. Mahmood and V. Yevjevich. Unsteady flow in open channels. Water Resources Publications, Colorado, USA, [5] R. J. Leveque. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press, New York, USA, [6] C. R. Maliska. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional. 2a.ed.rev. e ampliada. LTC, Rio de Janeiro, [7] S. V. Patankar. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation, USA, [8] F. F. Pereira, C. R. Fragoso Jr, W. Collishonn, and D. M. L. M. Marques. Simulação do Transporte de Escalares em Corpos d Água Rasos Usando um Modelo de Grades Não Estruturadas. RBRH - Revista Brasileira de Recursos Hídricos, 18,n.1: 7 18, ISSN: [9] C. E. M. Tucci. Modelos hidrológicos. 2a ed. UFRGS/ABRH, Porto Alegre, [10] H. K. Versteeg and W. Malalasekera. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. 2a ed. Pearson Education Limited, Harlow, England, ISBN: