JANE LAGE BRETAS FOLHEAÇÕES HOLOMORFAS TANGENTES A SUBCONJUNTOS LEVI-FLAT

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1 JANE LAGE BRETAS FOLHEAÇÕES HOLOMORFAS TANGENTES A SUBCONJUNTOS LEVI-FLAT Tese apresentada à Universidade Federal de Minas Gerais, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Matemática, para obtenção do título de Doctor Scientiae. Belo Horizonte MINAS GERAIS - BRASIL 2016

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3 Agradecimentos Para a realização deste sonho, foram necessários muitos dias e noites de estudo, abdicação de momentos com a família e amigos, muita oração de todos aqueles que torceram por mim e de uma boa orientação. Começo agradecendo à Deus pela oportunidade e força em todos os momentos e a Maria por sempre passar na frente, tornando-me capaz de concluir este curso tão sonhado e importante. Aos meus pais Maria do Rosário e José Hamilton e minha sogra Leonor, agradeço pelas orações, incentivo e palavras de conança. Aos meus irmãos Mauro e Nádia, pelo apoio e torcida. Aos meus cunhados Kelly, Denilson, Leo, Ilma, Tarcila, Bruna e Pedro pelos momentos de descontração. Aos meus amados sobrinhos Olavo e Heitor pelas alegrias e brincadeiras. À minha avó Rosária por dedicar seu precioso tempo em orações. Neste período do doutorado, ganhei uma nova família. Foram belíssimos os quatro anos de convivência com a maravilhosa e amável "família tia Mirinha". Não tenho palavras para agradecer tamanha receptividade e dedicação. Fui promovida de sobrinha-alhada e prima para lha e irmã, ao passo que ganhei uma mãe e quatro irmãos. Obrigada tia Mirinha! Obrigada Letícia, Artur, Luciano, Amanda, Fran, Flávia e Jéssica! Adriano, meu amor, você que esteve ao meu lado com muito amor e carinho durante todo o curso, encorajando-me e compreendendo-me, merece muito mais que o meu muito obrigada. Merece a minha dedicação, disponibilidade e mais e mais amor. Agradeço ao CNPQ pelo nanciamento parcial do curso e aos professores do DEMAT- UFMG pelas belas aulas e incentivos, em especial ao Rogério Mol, Arturo Fernández, Mário Jorge, André Gimenez e Renato Vidal. Aos colegas de curso, pelos grupos de estudos e aos que ingressaram antes e depois de mim, pelos bons e maus momentos. À Gheyza, Tiago, Danúbia, Fabiana, Alan, Divane, Vítor, Monique, Edney, Camila, Jeanne, Luciano, Alana e Ana Paula pela amizade, desabafos e discussões. Ao CEFET-MG e a todos os professores do Departamento de Física e Matemática, agradeço pelo apoio e concessão do afastamento de minhas atividades por um um semestre letivo para a conclusão do doutorado. ii

4 Aos pesquisadores e membros da banca Lorena López Hernanz, Maurício Barros Corrêa Júnior, Bruno César Azevedo Scárdua e Rudy José Rosas Bazan, agradeço pela disponibilidade e por dedicarem um tempo para leitura e estudo do meu trabalho de tese, apresentando sugestões para melhorá-la. Em especial, agradeço ao Bruno pelas discussões no início da pesquisa e por apresentar-me a demonstração do Lema 4.3 e ao Rudy pelas discussões sobre a possível extensão do Teorema C para outras dimensões. Agradeço também ao Júlio Rebelo e Helena Reis pelas conversas sobre Levi-at. Ao meu coorientador Arturo Férnandez Pérez, agradeço pela disponibilidade, por apresentar-me as hipersuperfícies Levi-at, pelas discussões e sugestões durante todo a pesquisa. Minha gratidão ao meu orientador, professor Rogério Santos Mol, que tive a oportunidade e a alegria de conhecer no início do curso. Na primeira conversa, percebi o grande prossional e a pessoa generosa que é. Sua experiência, juntamente com a sua forma crítica, inteligente e criativa de arguir as idéias apresentadas foram determinantes para a construção desta tese de doutorado. Agradeço pela paciência e pela forma com a qual me orientou, de maneira construtiva, ensinando-me a pesquisar matemática. iii

5 Sumário Resumo Abstract vi vii Introdução 1 1 Resultados preliminares Subvariedades analíticas reais em C N Denições básicas CR-subvariedades e coordenadas locais Folheações holomorfas Denições básicas Dessingularização de folheações em superfícies Hipersuperfícies analíticas reais Levi-at Complexicações Complexicação de uma função analítica real Espelhamentos Complexicação de germe de subvariedade analítica real Variedades de Segre Subconjuntos analíticos reais Levi-at Subconjuntos analíticos reais Levi-at Extensão algébrica da complexicação intrínseca projetiva Relação entre as complexicações extrínseca e intrínseca Variedade de Segre de um subconjunto Levi-at Subconjuntos algébricos Levi-at denidos por funções racionais Subconjuntos Levi-at locais e integrais primeiras meromorfas Espelho de uma variedade de Segre iv

6 3.2 Critério de integrabilidade Invariância da variedade de Segre Folheações em P N com hipersuperfícies Levi-at invariantes Folheações dadas por 1-formas fechadas Folheações com integral primeira liouvilliana Feixes lineares de folheações em P N A 68 A.1 Complexicação de subvariedades analíticas reais A.1.1 Complexicação local segundo H. Cartan A.1.2 Equivalência entre as noções de complexicação A.1.3 Complexicação projetiva A.2 Propriedades básicas de A N A.3 Alguns teoremas sobre espaços analíticos A.4 Produto simétrico A.5 Variedades Stein v

7 Resumo Esta tese é dedicada ao estudo de folheações holomorfas de dimensão n, locais e globais no espaço projetivo, que possuem subconjuntos Levi-at invariantes. Um subconjunto analítico real H C N de dimensão 2n + 1, onde 1 n N 1, é dito Levi-at se a distribuição de espaços tangentes complexos em sua parte regular possui dimensão complexa n e é integrável no sentido de Frobenius. No caso em que n = N 1, dizemos que H é uma hipersuperfície Levi-at. Os subconjuntos analíticos reais Levi-at H possuem uma complexicação intrínseca, denotada por H ı : uma variedade complexa de dimensão n + 1, possivelmente singular, dentro da qual o subconjunto H é visto como uma hipersuperfície Levi-at. Essa é unicamente denida como germe em torno do fecho topológico da parte regular de H. Neste trabalho, vamos estender alguns aspectos da teoria de hipersuperfícies Levi-at tangentes a folheações holomorfas para subconjuntos Levi-at. Estudaremos, em particular, nos casos local e global, situações em que uma folheação tangente a um subconjunto Levi-at H possui integral primeira meromorfa ou racional na complexicação intrínseca H ı. Por m, estudaremos a integrabilidade de tipos especiais de folheações projetivas globais tangentes a hipersuperfícies Levi-at, mais especicamente folheações induzidas por 1-formas fechadas ou que possuem integral primeira liouvilliana ou que são elemento genérico de um feixe linear. Palavras-chave: Folheações holomorfas, hipersuperfícies Levi-at, variedade CR. vi

8 Abstract Holomorphic foliations tangent to Levi-at subsets. This thesis is devoted to the study of holomorphic foliations of dimension n, in local and global projective cases, which are tangent to Levi-at subsets. A real analytic subset H C N of dimension 2n + 1, where 1 n N 1, is called Levi-at if the distribution of complex tangent spaces in its regular part has complex dimension n and is integrable in the sense of Frobenius. In the case where n = N 1, we say that H is a Levi-at hypersurface. A real analytic Levi-at subset H has an intrinsic complexication, denoted by H ı : a complex variety of dimension n + 1, possibly singular, in which the subset H is seen as a Levi-at hypersurface. This analytic set is uniquely determined as a germ around the topological closure of the regular part of H. In this work, we will extend some aspects of the theory of Levi-at hypersurfaces invariant by holomorphic foliations to the context of Levi-at subsets. We study, in particular, in local and global cases, situations in which a foliation tangent to a Levi- at subset H has meromorphic or rational rst integral in the intrinsic complexication H ı. Finally, we study the integrability of special types of projective foliations tangent to Levi-at hypersurfaces, more specically foliations induced by closed 1-forms or with liouvillian rst integral or that are generic element of a linear pencil. Palavras-chave: Holomorphic foliations, Levi-at hypersurfaces, CR variety. vii

9 Introdução Este trabalho de tese propõe estudos de natureza local e global em espaços projetivos de folheações holomorfas tangentes a subconjuntos analíticos reais Levi-at. O estudo dá sequência ao desenvolvimento de alguns aspectos da teoria de hipersuperfícies Levi-at tangentes a folheações holomorfas que descreveremos abaixo. Um subconjunto analítico real singular de dimensão 2n+1 em C N, onde 1 n N 1, é dito Levi-at se sua parte regular é folheada por subvariedades complexas de dimensão n, ou seja, se possui uma distribuição de espaços tangentes complexos de dimensão n integrável no sentido de Frobenius. Esta folheação é chamada de folheação de Levi e será denotada por L. Se a folheação de Levi puder ser estendida a uma folheação holomorfa F de dimensão n no espaço ambiente, dizemos que o subconjunto Levi-at H é invariante por F ou que F é tangente a H. Sendo um conjunto analítico real, H pode ser decomposto como H = H reg H sing, onde H reg é formado pelos pontos ao redor dos quais H é uma subvariedade suave de dimensão dim R H e H sing é formado pelas componentes irredutíveis de H de dimensão estritamente menor que dim R H. Quando n = N 1, temos que H é uma hipersuperfície Levi-at. Neste caso, um teorema de E. Cartan [Car33] diz que, em vizinhança de cada ponto regular, existe um sistema de coordenadas locais holomorfas (z 1,..., z N ) tais que H é denida por Im(z N ) = 0. Assim, a hipersuperfície é invariante pela folheação denida por d(z N ) = 0. No caso de hipersuperfícies, a possibilidade de estender ao ambiente a folheação de Levi foi objeto de estudo de vários pesquisadores. M. Brunella, em [Bru07], observou que essa extensão pode ser feita em um sentido local, após o levantamento para a projetivização do brado cotangente complexicado P T C N. O conjunto H reg P T C N, obtido pelo levantamento da parte regular de uma hipersuperfície Levi-at H, continua satisfazendo as propriedades Levi-at, ou seja, H reg possui uma distribuição integrável e de dimensão constante de espaços complexos. Além disso, está contido em um conjunto analítico real H de mesma dimensão. Entretanto, H não mais é uma hipersuperfície: sua dimensão real é a metade da dimensão do espaço P T C N. O conjunto H é Levi-at conforme a denição acima. Este é o primeiro momento na literatura em que aparece o conceito de subconjunto Levi-at. 1

10 De modo geral, os subconjuntos analíticos reais Levi-at H possuem uma complexi- cação intrínseca, denotada por H ı : uma variedade complexa de dimensão n + 1, possivelmente singular, dentro da qual o subconjunto H é visto como uma hipersuperfície Levi-at. Essa é unicamente denida como germe em torno do fecho topológico de H reg. Neste caso, uma versão para o teorema de E. Cartan arma que ao redor de cada ponto da parte regular de H, existem coordenadas holomorfas locais (z 1,..., z n+1, z n+2,..., z N ), tais que H é dado por {Im(z n+1 ) = 0, z n+2 = = z N = 0}. Nestas coordenadas, H ı é denida por {z n+1 = = z N = 0} e é possível mostrar que se um germe de folheação holomorfa F é tangente a H, então F é também tangente à complexicação intrínseca H ı. Quando necessário, consideramos a restrição da folheação F a H ı, denotada por F ı = F H ı. Um resultado central da teoria de folheações holomorfas tangentes a hipersuperfícies Levi-at é o seguinte teorema de Cerveau e Lins-Neto: Teorema: [CLN11] Seja F um germe de folheação holomorfa de codimensão um em (C N, 0), N 2, tangente a um germe de hipersuperfície analítica real irredutível. Então F possui uma integral primeira meromorfa não constante. Este teorema foi motivador dos principais resultados dessa tese, que dividimos em quatro capítulos. No Capítulo 1, apresentamos algumas denições e resultados preliminares. No Capítulo 2, estudamos a integrabilidade de folheações projetivas tangentes a subconjuntos Levi-at em P N : Teorema A: Seja H P N um subconjunto analítico real Levi-at invariante por uma folheação holomorfa F em P N de dimensão n tal que N > 3 e n > N 1. Se a folheação 2 de Levi possui innitas folhas algébricas, então H ı é uma subvariedade algébrica de P N de dimensão n + 1. Além disso, a folheação F ı possui integral primeira racional. Uma hipersuperfície algébrica Levi-at em P N pode ser produzida tomando a imagem inversa de uma curva algébrica real em C por uma função racional denida em P N. De forma recíproca, J. Lebl em [Leb12], forneceu condições para que uma hipersuperfície Levi-at analítica H P N, onde N 2, seja semialgébrica contida na pré-imagem de uma curva algébrica em C por uma função racional R : P N C. O seguinte teorema, generalização desse resultado, fornece condições para que um subconjunto Levi-at analítico seja semialgébrico: Teorema B: Seja H P N, onde N 2, um subconjunto analítico real Levi-at de dimensão 2n+1 invariante por uma folheação holomorfa F em P N de dimensão n. Suponha que: i) H ı seja algébrica e 2

11 ii) a folheação de Levi possua innitas folhas algébricas. Então existem uma função racional R : H ı P N C e um subconjunto algébrico real unidimensional S C tais que H R 1 (S). Além do mais, R é integral primeira racional para a folheação F ı. Observamos que, de um modo geral, se H P N é algébrico, então H ı também é algébrico. Isso pode ser demonstrado usando a técnica de complexicação de variedades analíticas reais de H. Cartan [Car57]. No Capítulo 3, estudamos a integrabilidade de germes de folheações holomorfas tangentes a subconjuntos Levi-at em (C N, 0). Uma demonstração alternativa para o teorema de Cerveau e Lins-Neto foi apresentada por M. Brunella, em [Bru12]. A técnica de M. Brunella envolve o estudo da estrutura das variedades de Segre associadas à hipersuperfície analítica Levi-at, ou seja, as variedades da forma Σ p = {z U C N, φ(z, p) = 0}, onde p U C N e φ(z, z) = 0 é uma equação analítica real de H no aberto U. As variedades de Segre também podem ser denidas no contexto de subconjuntos Levi-at. Se H é um subconjunto analítico real Levi-at em (C N, 0), consideramos {φ 1,..., φ k } A NR geradores do ideal I(H) das funções analíticas reais que se anulam sobre H, com representantes em um aberto U C N. Escrevemos H = {z U, φ 1 (z, z) = = φ k (z, z) = 0}. Para cada p H ı U, denimos a variedade de Segre Σ p = {z U, φ 1 (z, p) = = φ k (z, p) = 0} H ı. Quando H é algébrica, as suas funções denidoras são algébricas e, com isso, as variedades de Segre também são algébricas. Além disso, a folha de Levi no ponto p H reg está contida na variedade de Segre Σ p. Dizemos que p H é um ponto Segre degenerado se Σ p = H ı. No caso em que codim C Σ p = 1 em relação à H ı, dizemos que p é um ponto Segre ordinário. Assim, se Σ p tiver dimensão n, ou seja, se p é Segre ordinário, temos que L p é uma componente de Σ p. Logo L p é fechada. Uma vez que o conjunto dos pontos Segre degenerados tem codimensão pelo menos dois na complexicação intrínseca H ı, todas as folhas de L em H são fechadas. A compreensão da estrutura das variedades de Segre de um subconjunto Levi-at, adapatando as técnicas de M. Brunella, nos leva ao seguinte resultado: Teorema C: Seja F um germe de folheação holomorfa de dimensão um em (C N, 0) tangente a um germe de subconjunto analítico real Levi-at de dimensão três. Suponha que a complexicação intrínseca bidimensional H ı possua singularidade isolada na origem. Então F ı admite uma integral primeira meromorfa. Suspeitamos que este resultado seja geral, ou seja, que germes de folheações holomorfas F de dimensão n denidos em (C N, 0), tangentes a germes de subconjuntos Levi-at H de dimensão 2n + 1, possuam integral primeira meromorfa em H ı. Para isto, bastaria mostrar a existência de um hiperplano em posição geral em relação a H e a F. 3

12 Os exemplos conhecidos de hipersuperfícies Levi-at em P N, N 3, são produzidos a partir de folheações com integral primeira racional aquelas cujas folhas estão contidas nos níveis de uma função racional. Por isso, conjectura-se que folheações projetivas tangentes a hipersuperfícies Levi-at sejam sempre denidas por integrais primeiras racionais. No Capítulo 4, estudamos esse tipo de problema em situações especícas, por exemplo, no caso em que a folheação projetiva F é denida por uma 1-forma fechada ou que possui uma integral primeira liouvilliana ou que está em um feixe linear de folheações ou seja, em uma reta contida no espaço de folheações. Na primeira situação, é possível provar que de fato F possui integral primeira racional. Teorema D: Seja F uma folheação holomorfa em P N, onde N 3, de codimensão um denida por uma 1-forma fechada racional Ω, tangente a uma hipersuperfície analítica real Levi-at H. Então F possui integral primeira racional. Dizemos que uma folheação denida por uma 1-forma racional ω admite uma integral primeira liouvilliana se existe uma 1-forma racional fechada η tal que dω = η ω. As técnicas da demonstração do teorema anterior podem ser adaptadas para a seguinte situação: Teorema E: Seja F uma folheação holomorfa em P N, onde N 3, de codimensão um induzida pela 1-forma polinomial homogênea ω, que possui uma integral primeira liouvilliana. Se F é tangente a uma hipersuperfície analítica real Levi-at H, então F possui um fator integrante dado pela raíz r-ésima de uma função racional, ou seja, d(ω/f ) = 0 onde F = G 1/r, para alguma função racional G. Sejam ω 1 e ω 2 1-formas polinomiais homogêneas de grau d + 1 em C N+1 que induzem folheações de grau d em P N. São satisfeitas a condição de Euler i R (ω j ) = 0, a condição de integrabilidade ω j d(ω j ) = 0, e, além disso, codim C Sing(ω j ) 2, para j = 1, 2. Dizemos que ω 1 e ω 2 denem um feixe linear de folheações de grau d em P N, denotado por F ωt, onde t P 1, se as formas λω 1 + µω 2, t = (λ : µ) são integráveis, o que equivale à condição ω 1 dω 2 +ω 2 dω 1 = 0. O elemento genérico do feixe linear tem conjunto singular de codimensão maior ou igual a dois e dene uma folheação de grau d. A folheação de codimenção dois G denida pela 2-forma ω 1 ω 2 é chamada de eixo do feixe e é tangente a todos os elementos do mesmo. M. Brunella conjecturou que toda folheação de codimensão um em P N, N 3 ou bem possui hipersuperfície algébrica invariante, ou bem é subfolheada por variedades algébricas de codimensão dois. D. Cerveau, em [Cer02], demonstrou que um elemento genérico F de um feixe linear de folheações holomorfas de grau d no espaço projetivo complexo P N ou bem possui uma integral primeira liouvilliana e nesse caso, possui hipersuperfícies 4

13 algébricas invariantes ou bem o eixo do feixe G possui duas integrais primeiras racionais independentes e, portanto, é subfolheada por variedades algébricas de codimensão dois. O trabalho de D. Cerveau portanto demonstra a conjectura de Brunella para folheações em um feixe linear. Consideramos a situação em que uma folheação F de codimensão um pertencente a um feixe linear é tangente a uma hipersuperfície Levi-at. No caso em que F possui integral primeira liouvilliana, concluímos pelo Teorema E que F possui um fator integrante dado pela raíz r-ésima de uma função racional. Quando o eixo do feixe G possui duas integrais primeiras racionais independentes R 1 e R 2, observamos que a restrição da hipersuperfície H a cada bra de R 1 ou R 2 é um subconjunto Levi-at tangente à folheação G. Aplicamos então o Teorema B e concluímos que cada um desses subconjuntos é semialgébrico. Teorema F: Seja F um elemento genérico de um feixe linear com eixo G em P N, onde N 3, tangente a uma hipersuperfície analítica real Levi-at H. Temos as seguintes alternativas: i) F possui um fator integrante dado pela raíz r-ésima de uma função racional; ii) existem duas brações racionais independentes tais que a restrição de H à bra genérica de cada uma delas é um subconjunto Levi-at semialgébrico. 5

14 Capítulo 1 Resultados preliminares Ao longo deste trabalho, adotaremos as seguintes notações: (a) O N : anel dos germes de funções holomorfas em 0 C N ; (b) ON = {f O N; f(0) 0}; (c) A N : anel dos germes em 0 C N de funções analíticas reais com valores complexos; (d) A NR : anel dos germes em 0 C N de funções analíticas reais com valores reais; (e) Diff(C N, 0) : grupo dos germes de difeomorsmos holomorfos f : (C N, 0) (C N, 0) com a operação composição. Note que A NR A N e F A N é tal que F A NR se, e somente se, F = F. Ao longo do texto convencionamos que as funções analíticas reais assumem valores reais, ou seja, denem germes em A NR. Por simplicidade, denotaremos os germes e seus representantes locais pelo mesmo símbolo. 1.1 Subvariedades analíticas reais em C N A apresentação feita nas seções e é um resumo daquela feita em [BER99]. Remetemos o leitor a essa obra para mais detalhes Denições básicas Escrevemos z = (z 1,..., z N ) C N, onde z = x + iy para x = (x 1,..., x N ) R N y = (y 1,..., y N ) R N. Temos que x j e y j representam respectivamente as partes real e imaginária de z j C, para cada j = 1,..., N. Considere z = ( z 1,..., z N ), onde z j = x j iy j é o conjugado complexo de z j. Identicando C N com R 2N, cada função f denida em um aberto de C N pode ser escrita tanto como f(x, y) quanto como f(z, z). e 6

15 Denição 1.1. Uma subvariedade analítica real suave de C N de codimensão d é um subconjunto M de C N tal que para todo ponto p M existe uma vizinhança U de p e funções analíticas reais suaves com valores reais ρ 1,..., ρ d denidas em U, tais que M U = {z U, ρ(z, z) = 0}, onde ρ = (ρ 1,..., ρ d ), com as diferenciais dρ 1,..., dρ d linearmente independentes em U. As funções ρ 1,..., ρ d ou o mapa ρ são chamadas funções denidoras de M em p. No caso em que d = 1, dizemos que M é uma hipersuperfície. Dados uma subvariedade analítica real suave M de codimensão d e um ponto p M, por uma mudança analítica de variáveis em R 2N, podemos encontrar novas coordenadas (x 1,..., x 2N ) próximas de p, anulando em p, tais que M é localmente dada por x 1 =... = x d = 0. Para p C N = R 2N, denimos o espaço tangente real a C N em p como o espaço gerado pelas derivações T p C N = T p R 2N = { X = N j=1 a j } (p) + b j (p); a j, b j R. x j y j Dado um ponto p de uma subvariedade suave M C N, denotamos por T p M o espaço de todos os vetores reais tangentes a M em p. Analogamente, variando os escalares a j e b j no conjunto dos números complexos, denimos o espaço tangente complexicado a C N em p como C T p C N = { X = N j=1 a j } (p) + b j (p); a j, b j C. x j y j Denotamos por T p M C = C T p M o espaço de todos os vetores tangentes complexicados a M em p. Note que, para todo p M, vale dim R T p M = dim C (C T p M) = 2N d. As aplicações p T p M e p C T p M denem os brados vetoriais tangente e tangente complexicado sobre M, denotados respectivamente por T M e T M C. Qualquer vetor X C T p C N pode ser unicamente escrito na forma X = N j=1 a j (p) + b j (p); a j, b j C. z j z j Um vetor tangente X é holomorfo se b j = 0 para j = 1,..., N e é anti-holomorfo se a j = 0 para j = 1,..., N. Para p C N, denotamos por T 1,0 p C N o espaço dos vetores tangentes holomorfos em p e por T 0,1 p C N o espaço dos vetores tangentes anti-holomorfos em p. 7

16 Observe que dim C Tp 1,0 C N = dim C Tp 0,1 C N = N. Decompomos T p M C = Tp 1,0 M Tp 0,1 M, onde Tp 1,0 M = T p M C Tp 1,0 C N e Tp 0,1 M = T p M C Tp 0,1 C N. Um outro ponto de vista para a construção de T 0,1 M é a seguinte: tomamos como base de T p C N os vetores x 1 (p),..., real J de T p C N em T p C N determinada por J p x N (p), y 1 (p),..., y N (p) e introduzimos a aplicação linear ( ) (p) = ( ) (p) e J (p) = (p), j = 1,..., N. x j y j y j x j Note que J 2 = I, onde I é a identidade. O operador J é a estrutura complexa em T p C N, que corresponde à identicação de R 2N com C N. Temos que, para todo p M, vale Tp 0,1 M = {X T p M C ; J(X) = i(x)} CR-subvariedades e coordenadas locais Dentre as subvariedades reais em espaços complexos, destacam-se as variedades CR (iniciais de Cauchy-Riemann). Elas são caracterizadas pelo fato de o mapa p T p (0,1) M determinar um subbrado de T M C cujas bras possuem dimensão constante. Esta classe de subvariedades tem importância especial dentro da teoria de geometria complexa. Denição 1.2. Uma subvariedade real suave M C N é dita CR se dim C Tp 0,1 M é constante para todo p M. Para uma CR-subvariedade, dim C Tp 0,1 M é chamada de CRdimensão de M e denotada por δ CR (M). Denição 1.3. Uma subvariedade real suave M C N de codimensão d é dita genérica se próximo de cada ponto p M existe uma função denidora local ρ = (ρ 1,..., ρ d ) tal que as diferenciais complexas ρ 1,..., ρ d são C-linearmente independentes em p. Se a propriedade de independência linear da Denição 1.3 é vericada para uma função denidora local, então ela vale para qualquer função denidora local. Uma subvariedade genérica de codimensão d é necessariamente CR de CR-dimensão δ CR (M) = N d. O seguinte resultado arma que toda CR-subvariedade pode ser vista, localmente, como uma subvariedade genérica em algum espaço complexo [BER99, 1.8]. Teorema 1.4. Sejam M uma CR-subvariedade analítica real em C N e p M. Então existem coordenadas holomorfas (Z, Z ) C k C N k em p tais que M {Z = 0} = C k é uma subvariedade genérica. 8

17 Para cada p M, denotaremos por δp h (M) = dim C Tp 1,0 M a dimensão do espaço tangente holomorfo de M. Vale δ h p (M) + δ CR p (M) = dim C T p M C = dim R T p M = dim R M. (1.1) Corolário 1.5. Uma CR-subvariedade M é localmente uma subvariedade genérica em um espaço complexo de dimensão δ CR (M). Demonstração. Mostraremos que, no teorema, vale k = δ CR (M). Com efeito, se M é uma CR-variedade, temos que δp h (M) e δp CR (M) não dependem de p. Denotaremos essas dimensões por δ h (M) e δ CR (M). Pelo Teorema 1.4, podemos considerar M C k genérica, logo denida por funções em C k como na Denição 1.3 por ρ 1,...ρ d. Com isto, em C k, vale codim R,C km = d e, assim, Por outro lado, em C k, vale codim C,C ktp 1,0 M = d, logo dim R M + d = 2k. (1.2) δ h (M) + d = k. (1.3) Das equações (1.2) e (1.3), obtemos que k = dim R M δ h (M) = δ CR (M), como queríamos. 1.2 Folheações holomorfas Denições básicas Seja M uma variedade complexa de dimensão N 2. Denição 1.6. Uma folheação holomorfa não singular de dimensão k (ou codimensão N k) em M, onde 1 k N 1, é dada pelo seguinte conjunto de informações: (a) uma cobertura {U α } α A de M por abertos; (b) para cada α A, um biholomorsmo Φ α : U α D k D N k, onde D C é o disco unitário na origem; (c) sempre que U αβ = U α U β, Φ αβ : Φ α (U αβ ) Φ β (U αβ ) (z, w) Φ β Φ 1 α (z, w) = (φ 1, φ 2 ) 9

18 satisfaz Φ αβ (z, w) = (φ 1 (z, w), φ 2 (w)). U α U β M Φ α Φ β C N k C N k > > C k Φ β Φ 1 α > C k Figura 1.1: Abertos trivializadores de uma folheação holomorfa. Cada aberto U α é chamado de aberto trivializador da folheação. Por (b), U α é decomposto em variedades complexas de dimensão k da forma Φ 1 α (D k w 0 ), onde w 0 D N k, chamadas de placas. Por (c), as placas se sobrepõem nas interseções dos abertos trivializadores, dando origem às folhas, variedades complexas de dimensão k imersas em M. Denição 1.7. Uma folheação holomorfa singular de dimensão k (ou codimensão N k), onde 1 k N 1, em uma variedade complexa M é uma folheação não singular de dimensão k em M \ S, onde S é um conjunto analítico em M de codimensão maior ou igual a dois. Nesse caso, S é chamado de conjunto singular da folheação e é denotado por Sing(F). As folhas de F são, por denição, as folhas da folheação regular F M\Sing(F). Observação 1.8. É natural supor que o conjunto singular de uma folheação tenha codimensão pelo menos dois. De fato, se D é a componente de codimensão um do conjunto singular da folheação, dividimos as equações locais da folheação pelas equações locais de D, obtendo uma folheação com conjunto singular de codimensão maior ou igual a dois. 10

19 Uma distribuição de k-planos em M, onde 1 k N 1 e dim C M = N, é uma aplicação que a cada ponto p M associa um subespaço D p de dimensão k de T p M. A distribuição é dita integrável se existe uma folheação F de dimensão k em M tal que em cada ponto p, o subespaço D p coincide com o espaço tangente à folha de F em p. A integrabilidade de uma distribuição é caracterizada pelo Teorema de Frobenius. Apresentamos a seguinte versão (veja [CN77]): Teorema 1.9. (Frobenius) Sejam M uma variedade complexa de dimensão N e D uma distribuição de planos de codimensão k em M. Seja U um aberto em M onde D é denida pelas 1-formas holomorfas ω 1,..., ω k. Então D é integrável se, e somente se, vale para todo i = 1,..., k. dω i ω 1 ω k = 0 De modo geral, uma folheação holomorfa regular de codimensão k é um objeto dado por uma k-forma localmente decomponível não singular η = 1 i 1 i k N α I(z)dz I, onde I = (i 1,..., i k ) e dz I = dz i1 dz ik, integrável no sentido de Frobenius. Analogamente, uma folheação holomorfa singular F de codimensão k é um objeto dado por uma k- forma com conjunto singular Sing(F) de codimensão maior ou igual a dois, localmente decomponível em sua parte regular e satisfazendo as condições de Frobenius. No caso de dimensão um, ou seja, quando k = N 1, a folheação é induzida por um campo de vetores holomorfo. Quando k = 1, ela é induzida localmente por uma 1-forma holomorfa integrável ω, ou seja, tal que ω dω = 0, como descrito a seguir. Exemplo (Folheações geradas por 1-formas diferenciais) Sejam M uma variedade complexa de dimensão n e ω uma 1-forma holomorfa não identicamente nula em M. Dena S := {p M; ω p = 0}, o conjunto singular de ω. Neste caso, ω induz uma distribuição de hiperplanos Ω no aberto M \ S, denida por Ω p := ker(ω p ) = {v T p M; ω p (v) = 0}. Se ω é integrável, ou seja, se ω dω = 0, então dene uma folheação F de codimensão 1 em M \ S. Uma folheação holomorfa global em uma variedade complexa M de dimensão N é um objeto localmente denido por k-formas localmente decomponíveis em sua parte regular e integráveis tal que a estrutura local das folhas é compatível. Isto equivale a considerar uma cobertura {U α } de M e k-formas η α que denem folheações holomorfas nos abertos U α, de modo que se U αβ = U α U β, então existe λ αβ O (U αβ ) tal que η α = λ αβ η β. 11

20 Uma folheação holomorfa de codimensão um em P N é dada, em coordenadas homogêneas de C N+1, por uma 1-forma polinomial homogênea η que satisfaz a condição de integrabilidade η dη = 0 e a condição de Euler i R (η) = 0. Para mais informações sobre folheações holomorfas, veja [MS01] e [NS97]. Denição Seja F uma folheação holomorfa de codimensão um na variedade complexa M. Uma integral primeira meromorfa de F é uma função meromorfa não constante em M constante ao longo das folhas de F. Se M é uma variedade projetiva, a integral primeira é dita racional. Seja F uma folheação holomorfa de codimensão um, dada por uma 1-forma holomorfa integrável ω em M. Então uma função meromorfa f é uma integral primeira de F se, e somente se, ω df = Dessingularização de folheações em superfícies O blow-up ou explosão de C 2 em (0, 0) consiste em criar uma nova superfície complexa ao substituir o ponto (0, 0) pelo conjunto de direções complexas nesse ponto, considerada como a reta projetiva unidimensional, isomorfa à esfera de Riemman C. Denimos então o blow-up como sendo a superfície complexa C 2 = {(x, y) (u : t) C 2 P 1 ; tx = uy}. A curva complexa mergulhada D {(0, 0)} P 1 é chamada de divisor excepcional. Além disso, a aplicação holomorfa π : C 2 C 2, induzida por ((x, y), (u, t)) (x, y) é um difeomorsmo holomorfo entre C 2 \D e C 2 \(0, 0), com π(d) = {(0, 0)}. O levantamento de F por π C2 \D pode ser estendido ao divisor, como uma folheaçao com singularidades isoladas, denotada por π F. Chamamos π F de transformado estrito de F. A partir de cartas locais, a mesma construção pode ser feita em qualquer superfície complexa em vez de C 2. Denição Seja X um campo de vetores holomorfo denido em uma vizinhança de 0 C 2 tal que 0 C 2 é uma singularidade isolada de X. Sejam λ 1 e λ 2 os autovalores de DX (0). Dizemos que 0 C 2 é uma singularidade simples de X se uma das condições abaixo é satisfeita: a) Se λ 1 λ 2 = 0, então um dos autovalores é não nulo. Neste caso, a singularidade é chamada de sela-nó. b) Se λ 1 λ 2 0, então λ 1 /λ 2 Q +. 12

21 As condições acima são invariantes por mudanças holomorfas de coordenadas e por multiplicação de X por uma função que não se anula em 0 C 2. Desta maneira, elas podem ser estendidas às singularidades isoladas das folheações em superfícies complexas. Dada uma sequência nita de explosões em 0 C 2, ou seja, π = π n π 1, onde π 1 é a explosão em 0 C 2 e π k é a explosão em algum ponto de (π k 1... π 1 ) 1 (0) para k = 2,..., n, podemos denir π F iterando os transformados estritos associados a cada explosão. O seguinte teorema de Seidenberg garante que através de uma sequência nita de blow-ups é possível transformar uma folheação em outra contendo apenas singularidades simples: Teorema [Sei68] Seja F folheação em uma superfície e p Sing(F). Então existe uma sequência nita de explosões π em p tal que todas as singularidades de π F sobre o divisor π 1 (p) são simples. 1.3 Hipersuperfícies analíticas reais Levi-at Começamos notando que o subespaço R-vetorial V C N de dimensão real 2N 1 contém um único hiperplano complexo D V J(V ), onde J é a estrutura complexa tal que J 2 = I, onde I é a identidade no espaço tangente, como visto na Seção Em particular, se H é uma hipersuperfície real suave de R 2N C N, então para cada p H, o espaço tangente T p H contém um único hiperplano D p. Assim, podemos associar a H uma distribuição D de (N 1)-hiperplanos complexos através da relação p D p. Uma hipersuperfície real é sempre uma CR-variedade com δ h = N 1 e δ CR = N. Denição Seja H C N uma hipersuperfície real e suave. Dizemos que H é uma hipersuperfície Levi-at se o campo de hiperplanos D : p D p = T p H J(T p H) é integrável no sentido de Frobenius. Segue que H é suavemente folheada por variedades complexas imersas de dimensão N 1. A folheação denida por esta distribuição é chamada de folheação de Levi, denotada por L. Para cada ponto p H reg, a folha de L passando por p será chamada de folha de Levi e denotada por L p. Exemplo Considere C N em coordenadas (z 1,..., z N ). O (2N 1)-plano real H := {Im(z N ) = 0} é uma hipersuperfície Levi-at. De fato, temos que p D p é o campo de hiperplanos complexos dado por {Im(z N ) = 0, Re(z N ) = c}, onde c é uma constante real. Variando a constante c no conjunto dos números complexos, a folheação de Levi pode ser estendida a uma folheação holomorfa. 13

22 O seguinte teorema apresenta uma forma local para hipersuperfícies analíticas reais Levi-at. Sua demonstração pode ser obtida em [LFP15]. Teorema (E. Cartan, [Car33]) Seja H C N uma hipersuperfície suave analítica real Levi-at. Então em vizinhança de cada ponto p H existem coordenadas holomorfas locais z 1,..., z N, anulando em p, tais que H é dada por {Im(z N ) = 0}. Consequentemente, as folhas de Levi são dadas por {z N = c}, onde c R. O Teorema de Cartan garante em particular que as folhas de Levi são variedades complexas de codimensão um. Observe que a distribuição de Levi é analítica real e o Teorema de Frobenius, a princípio, garantiria a existência de uma folheação analítica real. Além do mais, a folheação de Levi se estende a uma vizinhança de p como uma folheação holomorfa de codimensão um com folhas {z N seguinte fato: = c}, onde c C. Temos o Observação A extensão local da folheação de Levi ao ambiente é única. De fato, sejam F 1 := {ω 1 = 0} e F 2 := {ω 2 = 0} duas extensões locais da folheação de Levi em p. Vale ω 1 ω 2 = 0 em H. Mas como codim R H = 1, devemos ter que ω 1 ω 2 0. Portanto, F 1 = F 2. Como consequência, se H é uma hipersupercie suave Levi-at, as extensões locais da folheação de Levi se colam, originando uma folheação holomorfa de codimensão um em vizinhança de H. Os subconjuntos analíticos reais tem uma decomposição canônica descrita na seguinte observação: Observação Um subconjunto analítico real H C N de dimensão dim R H pode ser decomposto de forma única como uma união disjunta H = H reg H sing, onde H reg é um aberto não vazio de H, formado pelos pontos de H ao redor dos quais H é uma subvariedade analítica real suave de C N de dimensão dim R H; H sing é um subconjunto analítico real, no qual todas as componentes irredutíveis possuem dimensão estritamente menor que dim R H. Uma prova para esse fato é apresentada na Proposição A.9 (Apêndice). O conjunto singular de H é o subconjunto Sing(H) formado pelos pontos ao redor dos quais H não é localmente uma variedade suave. Evidentemente Sing(H) H sing. Denição Uma hipersuperfície analítica real H singular é Levi-at se sua parte regular H reg é Levi-at. 14

23 Em razão desta denição, ao longo do texto convencionamos que o conjunto singular de H é o conjunto H sing. A parte lisa de H sing não nos interessa por não ter estrutura de uma hipersuperfície Levi-at. Dizemos que um germe de hipersuperfície analítica real Levi-at H em (C N, 0) é invariante por a uma folheação holomorfa F de codimensão um ou que F é tangente a H se F coincide com a folheação de Levi L na parte regular H reg. O seguinte resultado, devido a D. Cerveau e A. Lins Neto, caracteriza germes de folheações holomorfas tangentes a hipersuperfícies analíticas reais Levi-at: Teorema [CLN11] Seja F um germe de folheação holomorfa de codimensão um em (C N, 0), N 2, tangente a um germe de hipersuperfície analítica real irredutível. Então F possui uma integral primeira meromorfa não constante. 1.4 Complexicações Nesta seção, apresentaremos a noção de complexicação de um germe de subvariedade analítica real, de acordo com a denição apresentada por H. Cartan em [Car57], bem como alguns resultados sobre a dimensão e irredutibilidade. As demonstrações dos resultados aqui apresentados encontram-se no Apêndice A.1.2. Iniciamos com a denição da complexicação de uma função Complexicação de uma função analítica real Seja G A NR um germe de função analítica real em (C N, 0). Vamos denir a sua complexicação G C, um germe de função analítica complexa em (C N C N, (0, 0)). Podemos escrever a série de Taylor de G em 0 C N como G(z) = µ,ν G µν z µ z ν, (1.4) onde G µν C, µ = (µ 1,..., µ N ), ν = (ν 1,..., ν N ), z = (z 1,..., z N ), z µ = z µ z µ N N z ν = z ν z ν N N. Uma vez que G A NR, os coecientes G µν satisfazem G µν = G µν. e Denição Seja G A NR um germe de função analítica real em (C N, 0). A complexicação de G, denotada por G C O 2N, onde O 2N é anel de germes de funções holomorfas nas coordenadas (z, w) em (C N C N, (0, 0)), é denida pela série G(z, w) = µ,ν G µν z µ w ν. (1.5) 15

24 Se a série em (1.4) converge no polidisco Dr N = {z C N ; z j < r}, então a série em (1.5) converge no polidisco Dr 2N = {(z, w) C N C N ; (z, w) < r}. Além disso, G(z) = G C (z, z), para todo z Dr N. Observação A complexicação independe do sistema de coordenadas. Ou seja, se φ Diff(C N, 0), então existe um único φ C Diff(C 2N, 0) tal que (G φ) C = G C φ C. (1.6) De fato, se φ(x) = σ φ σx σ é a série de Taylor de φ e φ C (u, v) = (φ(u), φ(v)), onde φ(v) = φ σ σ v σ, a relação (1.6) é satisfeita, para todo G A NR Espelhamentos Consideremos inicialmente (C N ) como sendo o espaço complexo com estrutura complexa oposta de C N. Temos que (C N ) C N e a aplicação que leva z = x + iy C N em z = z = x iy (C N ) dene um biholomorsmo entre C N e (C N ). Denição Seja V um germe de subconjunto analítico complexo em (C N, 0). A variedade espelho ou conjugado V de V é o subconjunto {z ; z V } (C N ). Denição Seja φ(z) = µ φ µz µ um germe de função analítica complexa em (C N, 0). A função espelho de φ é o germe de função analítica complexa em ((C N ), 0) denida por φ(z) = φ(w) = µ φ µ w µ, onde w (C N ). A variedade V é analítica, com a estrutura complexa de (C N ), como mostraremos a seguir. Seja I(V ) O N o ideal das funções analíticas complexas que se anulam em V. Uma vez que o anel dos germes de funções analíticas complexas é Noetheriano, ele é nitamente gerado. Tomamos um sistema de geradores {φ 1,..., φ k } do ideal I(V ) e denimos o germe de aplicação analítica φ = (φ 1,..., φ k ), de forma que V = {z C N ; φ(z) = 0}. Escreva o desenvolvimento em série de Taylor φ j (z) = N i=1 φ µz µ para cada j = 1,..., k. Temos φµ z µ = 0 φ µ z µ = 0 φµ w µ = 0. Ou seja, φ(z) = 0 φ(w) = 0. Assim V = {w (C N ) ; φ(w) = 0} é uma variedade analítica. Quando espelhamos uma variedade, o seu conjunto singular é também identicado com o seu espelho. De fato, considerando como antes um sistema de geradores{φ 1,..., φ k } O N do ideal I(V ), o conjunto singular de V é dado pelos pontos tais que a aplicação dφ(z) = 0 não tem posto máximo. Essa equação é canonicamente identicada com d φ(w) = 0, onde w = z, de onde obtemos Sing(V ) = Sing(V ). 16

25 O processo de espelhamento de variedades analíticas pode ser estendido a folheações holomorfas de maneira canônica. Com efeito, se F é um germe de folheação holomorfa em (C N, 0) de dimensão n, produzimos o seu espelhamento F como sendo a folheação cujas folhas são os espelhamentos das folhas de F. Assim, F também possui dimensão n. Seja η = N i=1 α i(z)dz i uma 1-forma analítica. Denimos o seu espelhamento como η = N i=1 ᾱi(w)dw i, onde w = z. Observe que se γ(t) = (γ 1 (t),..., γ N (t)) é uma curva parametrizada tangente a η, por espelhamento obtemos a curva parametrizada γ(u), onde u = t, tangente a η. Com efeito, por conjugação temos N α i (γ(t))d(γ i (t)) = 0 i=1 N ᾱ i ( γ(u))d γ i (u) = 0. i=1 De um modo mais geral, se a folheação F é denida por uma p-forma analítica integrável η = 1 i 1 i α p N I(z)dz I, onde I = (i 1,..., i p ) e dz I = dz i1 dz ip, a folheação espelhada F é induzida pela p-forma espelhada η = 1 i 1 i ᾱi(w)dw p N I, onde w = z Complexicação de germe de subvariedade analítica real Seja M um germe de subvariedade analítica real em (C N, 0). Considere o ideal I(M) dos germes de funções analíticas reais que se anulam em M. Uma vez que o anel dos germes de funções analíticas reais é Noetheriano (Apêndice A.2, Teorema A.15), ele é nitamente gerado. Com isto, tomamos um sistema de geradores {φ 1,..., φ k } A NR do ideal I(M) e denimos o germe de aplicação analítica φ = (φ 1,..., φ k ). Considere uma vizinhança U de 0 C N onde cada germe φ j possui representante. Assim as funções φ j (z, w) são holomorfas em U U, onde U := {w C N ; w U}. Podemos então escrever M = {z U; φ(z, z) = 0}. Denição A complexicação extrínseca ou simplesmente complexicação M C de M é o germe de variedade analítica complexa em (C N C N, (0, 0)) dado por Consideremos o mergulho {(z, w) U U ; φ(z, w) = 0}. i : C N C N C N C N C N z (z, z) 17

26 e a variedade := i(c N ) = {(z, w) C N C N ; w = z}, que chamaremos de diagonal espelhada do produto C N C N. Dena M = M C. Observe que M é a imagem de M por i. A complexicação M C é o menor germe de subconjunto analítico complexo em (C N C N, (0, 0)) contendo M. Isto segue da proposição abaixo, a ser provada no Apêndice A.1.2. Proposição Seja M C N complexicação. Então: M C M ; um germe de subconjunto analítico real e M C a sua todo germe de função holomorfa que se anula em M também se anula em M C ; se M é a união de uma família nita de germes de conjuntos analíticos reais M i, a complexicação M C é a união das complexicações M C i. Se além disso, as M i são componentes irredutíveis de M, então as complexicações Mi C são componentes irredutíveis de M C. Portanto, para que o germe M seja uma variedade real irredutível, é necessário e suciente que seu complexicado M C seja irredutível como variedade complexa; se dim R M = n, então dim C M C = n. Podemos estender a construção da complexicação para o caso de uma subvariedade algébrica real M P N C. Para simplicar a notação, denotamos PN C consideramos a projeção natural σ : C N+1 \ {0} P N e identicamos a subvariedade M ao cone complexo dado por M κ := {z C N+1 \ {0}; σ(z) M} {0}, = PN. Neste caso, que dene um germe de subvariedade analítica real em (C N+1, 0). Consideramos o ideal I(M κ ) tendo como sistema de geradores φ = {φ 1,..., φ k }, onde cada φ j é um polinômio bihomogêneo de grau d j que satisfaz φ j (λz, µ z) = λ d j 2 µ d j 2 φ j (z, z). Pelo que vimos nesta seção, complexicando esses polinômios, obtemos o germe de complexicação Mκ C em (C N+1 C N+1, (0, 0)), que por sua vez, dene uma subvariedade algébrica M C P N P N. Chamaremos esta de complexicação projetiva de M. A complexicação projetiva M C herda as propriedades de complexicação do germe M κ. Em especial, M é irredutível se, e somente se, M C é irredutível e dim R M = dim C M C. Para mais detalhes, veja o Apêndice A

27 1.5 Variedades de Segre As variedades de Segre são ferramentas úteis para o estudo de germes de hipersuperfícies analíticas reais Levi-at H em (C N, 0), empregadas por vários autores ([Seg31], [DF78], [BG99], [Leb13], [CLN11], dentre outros). Consideramos H hipersuperfície Levi-at denida por φ(z, z) = 0 para alguma função analítica real φ denida em U e U = {z; z U} e supomos que a complexicação φ(z, w) esteja denida em U U C N C N. Nesta situação, dizemos que U é uma vizinhança reexiva para φ. Denição A variedade de Segre em p U, onde H := {z U; φ(z, z) = 0} é uma hipersuperfície analítica real Levi-at, é o conjunto Σ p (U, φ) := {z U; φ(z, p) = 0}. A princípio, Σ p (U, φ) depende do aberto U e da função denidora φ. Entretanto, é possível mostrar que a variedade de Segre a não depende de U e φ. Denotaremos, de agora em diante, a variedade de Segre de Hem p U por Σ p. A partir desta denição, podemos tirar algumas conclusões. Escrevemos o desenvolvimento em série de potências φ(z, w) = µ,ν G µνz µ w ν. A conjugação da função analítica real φ satisfaz a relação φ(z, w) = φ(w, z). (1.7) De fato, denimos a função φ(z, w) = µ,ν G µνz µ w ν. Por outro lado, φ(w, z) = µ,ν G µν w µ z ν = µ,ν G νµ z ν w µ = µ,ν G µν z µ w ν = φ(z, w), pois G µν = G νµ. Proposição Se q Σ p, então p Σ q. Demonstração. Se q Σ p, então φ(q, p) = 0 e, pelo que acabamos de observar, φ( p, q) = 0 ou seja, µ,ν G µν p µ q ν = 0. Conjugando, obtemos que µ,ν G µνp µ q ν = 0, ou seja, φ(p, q) = 0. Portanto, p Σ q. Denição O ponto p H é uma singularidade Segre degenerada se Σ p = U. Ou seja, p é uma singularidade Segre degenerada se o mapa z φ(z, p) é identicamente nulo para todo z próximo de p, para alguma função local denidora φ de H. Se p H é uma sigularidade Segre degenerada, então φ(q, p) = 0, para todo q U. E pela Proposição 1.28, φ(p, q) = 0, ou seja, p Σ q, para todo q U. A variedade de Segre, em vizinhança de cada ponto p da parte regular de H, contém a folha de Levi passando por p. Isso é descrito na seguinte proposição: 19

28 Proposição [CLN11] Se H U C N é uma hipersuperfície analítica real Levi-at e p H reg, então uma componente Σ p de Σ p se iguala, como germe, à folha de Levi de H que passa por p. Assim, a hipersuperfície analítica Σ p contém a folha de Levi L p. Dizemos que uma folha L é fechada se o seu fecho L é um conjunto analítico de mesma dimensão. Como consequência da proposição, temos o seguinte corolário: Corolário Se H U C N é uma hipersuperfície analítica real Levi-at, então as folhas de Levi são fechadas. 20

29 Capítulo 2 Subconjuntos analíticos reais Levi-at Neste capítulo apresentamos a denição de subconjunto analítico real Levi-at. Trata-se de uma superfície analítica real folheada, em sua parte regular, por variedades complexas de codimensão real um. Esses conjuntos possuem uma complexicação intrínseca: uma variedade complexa, possivelmente singular, dentro da qual o subconjunto é visto como uma hipersuperfície Levi-at. Essa é unicamente denida como germe em torno do subconjunto Levi-at. Por último, apresentamos algumas condições necessárias para que um subconjunto analítico real Levi-at projetivo invariante por uma folheação global seja denido por uma função racional em sua complexicação intrínseca. 2.1 Subconjuntos analíticos reais Levi-at Em [Bru07], M. Brunella deniu a noção de subconjuntos analíticos reais Levi-at. Esse conceito é a generalização da noção de hipersuperfície analítica real Levi-at para codimensões maiores que um. Denição 2.1. [Bru07] Seja H C N um subconjunto analítico real de dimensão 2n + 1, onde 1 n N 1. Dizemos que H é um subconjunto analítico real Levi-at se a distribuição de espaços tangentes L : H reg C N T C N C N p T p H reg J(T p H reg ) possui dimensão n e é integrável no sentido de Frobenius. Segue da denição que subconjuntos analíticos reais Levi-at podem ser folheados em sua parte regular por variedades analíticas complexas de dimensão n. Chamamos esta 21

30 folheação de folheação de Levi, também denotada por L. Para cada ponto p H reg, a folha de L passando por p será chamada de folha de Levi e denotada por L p. A parte regular de um subconjunto analítico real Levi-at H pode ser vista como uma CR-variedade de CR-dimensão n + 1, como descrito na Seção De fato, segue da Denição 2.1 e da relação (1.1) que, para cada p H reg, vale δ h (H reg ) = dim C L = n e δ CR (H reg ) = dim R H reg n = 2n + 1 n = n + 1. Seja H C N um subconjunto analítico real, de dimensão 2n+1. Tomamos um sistema de geradores {φ 1,..., φ k } do ideal I(H), formado pelos germes de funções em A NR que se anulam sobre H. Considere também as 1-formas analíticas ω j = i( φ j φ j ) para j = 1,..., k. Temos que H é Levi-at se for CR-variedade de CR-dimensão n + 1 em sua parte regular e, pelo Teorema de Frobenius (Teorema 1.9), dω j ω j = d(φ j φ j ) φ j = 0 sobre H reg, para todo j = 1,..., k, visto que L é uma distribuição de codimensão real um em H reg. Exemplo 2.2. O germe de subvariedade real em (C N, 0) denido por H = {Z C N ; Im(z n+1 ) = 0, z n+2 = = z N = 0}, onde Z = (z 1,..., z n+1, z n+2,..., z N ), é um subconjunto analítico real Levi-at de dimensão 2n + 1. Observe que as variedades complexas de dimensão n dadas por {Z C N ; Im(z n+1 ) = 0, Re(z n+1 ) = c, z n+2 = = z N = 0}, onde c é uma constante real, denem a folheação de Levi em H. Variando a constante c no conjunto dos números complexos, esta folheação pode ser estendida a uma folheação holomorfa de dimensão n em C n+1 {Z C N ; z n+2 = = z N = 0}. Mostraremos na Proposição 2.5 que, localmente, os subconjuntos Levi-at têm essa estrutura. Exemplo 2.3. Sejam f uma função holomorfa não constante em C N e V C N uma variedade complexa analítica de dimensão n + 1 tal que f V é não constante. Então o conjunto analítico dado por H = {Im(f V ) = 0} é um subconjunto Levi-at em (C N, 0). De fato, sa folhas de Levi são os níveis de f V, ou seja, dadas por {f V = c} para c R. Proposição 2.4. Seja H C N 2n + 1, tal que a distribuição um subconjunto analítico real irredutível, de dimensão L : H reg C N T C N C N p T p H reg J(T p H reg ) 22