O Teorema da Separatriz

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS Departamento de Matemática Dissertação de Mestrado O Teorema da Separatriz Gilberto Duarte Cuzzuol Orientador: Márcio Gomes Soares 22 de Novembro de 2006

2 Sumário Introdução 3 Preliminares 4. Germes Campo de vetores Frações Contínuas Folheações Folheações não singulares Exemplos de folheações não singulares Folheações singulares Blow-up (ou explosão) de C 2 em Separatrizes O Teorema da Separatriz Introdução Ordenando a resolução de F Z Índices de Subvariedades Integrais Demonstração do Teorema Prova de Sebastiani Introdução Enunciado do Teorema Demonstração do Teorema Prova da Proposição Prova do Teorema

3 4 Prova de J. Cano Introdução Referências Bibliográficas 53 3

4 4 Introdução É natural se perguntar se existem soluções da equação diferencial dz dt = Z(z), Z(0) = 0 que tendem a 0 C 2. Essa é uma questão natural que aparece na dinâmica complexa, e estudada pela primeira vez por C. A. Briot e J.C. Bouquet, quando eles mostraram em diversos casos particulares que existem tais soluções tendendo assintoticamente a 0 C 2. Este problema também foi considerado por H. Dulac de um outro ponto de vista. Dada a equação diferencial com parte linear não nula ele se propôs a determinar o conjunto de soluções que tendem assintoticamente a 0 C 2. Demonstraremos assim neste trabalho o seguinte teorema devido à C. Camacho e P. Sad []: TEOREMA 0. Teorema da Separatriz Considere a equação diferencial dz dt com uma singularidade isolada em 0 C 2. = Z(z), Z(0) = 0 Existe uma subvariedade analítica complexa de dimensão, passando por 0 C 2, invariante por Z numa vizinhança de 0 C 2. Isto significa que existe uma vizinhança U de 0 C 2 e uma curva complexa V U, integral da equação diferencial em U tal que V = V {0} e V é um conjunto analítico complexo. Na estrutura da demonstração de sua existência, poderemos ver que tal curva pode ser detectada na resolução da folheação. O que faremos então nessa dissertação é um estudo detalhado sobre a demonstração do Teorema da Separatriz, apresentando antes ao leitor alguns conceitos importantes para o estudo de folheações. Introduziremos o índice de uma folheação F relativo a uma curva analítica num ponto p, devido a C. Camacho P. Sad, que veremos no decorrer deste trabalho, ser de extrema importância para a prova do teorema No capítulos 3 e 4, são apresentadas demonstrações alternativas para o Teorema da Separatriz devido a M. Sebastiani e J. Cano, respectivamente.

5 Capítulo Preliminares. Germes Com interesse num estudo local de existência de separatrizes, não nos preocupamos em quais vizinhanças da singularidade valem os resultados, para nós, basta que estes valham para alguma vizinhança da singularidade. Por isto introduzimos o conceito de germes de aplicações e germes de conjuntos. DEFINIÇÃO. Sejam M e N espaços topológicos e seja p M. Consideremos a família de todas as aplicações definidas em alguma vizinhança de p e com valores em N. Nesta família definimos uma relação de equivalência. Seja f : U p V q uma aplicação definida numa vizinhança aberta U p de p em M, sobre uma vizinhança aberta V q de q em N, levando p em q. Definimos [f] := {g : (M, p) (N, q)}/ onde indica a relação de equivalência g f g e f coincidem em uma vizinhança qualquer U p U p. Claramente devemos ter g(p) = q. Chamaremos [f] de germe da aplicação f, notado por f (M,p) : (M, p) (N, q). Adotaremos a seguinte notação: C m,p = C[(M, p), (N)] := germes de aplicações contínuas f : (M, p) N; O m,p = O[(M, p), (N)] := germes de aplicações holomorfas f : (M, p) N. 5

6 CAPÍTULO. PRELIMINARES 6 Denotaremos por X p (M) := X[(M, p), (N, q)], para X = C, O. q N E chamaremos de valor comum (em p) de todas as aplicações que pertencem a um mesmo germe de valor do germe..2 Campo de vetores Um campo vetorial X sobre uma variedade complexa M é uma função que associa a cada ponto p M um vetor X p T p M, o espaço tangente de M em p. Se f é uma função diferenciável sobre M, então X f é uma função sobre M definida por (X f)(p) = X p f = f (p) X p. Em termos de um sistema local de coordenadas u, u 2,..., u n, um campo vetorial pode ser expresso por X = a j, onde a j são funções definidas na vizinhança coordenada, chamadas u j componentes de X com respeito a u, u 2,..., u n. X é diferenciável (respectivamente analítico) se, e somente, se suas componentes a j são diferenciáveis (respectivamente analíticas). Seja χ(m) o conjunto de todos os campos vetoriais diferenciáveis sobre M. χ(m) é um espaço vetorial complexo com as operações naturais de adição e multiplicação por escalar. Note que se f é uma função sobre M e X χ(m), então fx χ(m). A um campo de vetores X em U M está associado uma equação diferencial ordinária dx = X (x). O Teorema de existência dt e unicidade de soluções garante que, dados um ponto qualquer p U M e um compacto K U, existem r > 0 e uma única aplicação holomorfa ψ : D(r) K U de modo que (i) ψ(0, z) = z para todo z K e (ii) dψ (T, z) = x(ψ(t, z)). (T, z) dt Fixado z 0 U, existe então solução holomorfa ϕ: D(r 0 ) U, isto é, ϕ(0) = z 0 e ϕ (T ) = X (ϕ(t )) para todo T < r 0 (r 0 depende de z 0, e a solução é única no disco D(r 0 )). Os pontos onde X (z 0 ) = 0 são as singularidades do campo; vamos supor sempre que o conjunto de singularidades é discreto. Os demais pontos são os pontos regulares. Quando um

7 CAPÍTULO. PRELIMINARES 7 campo holomorfo X não possui singularidades, ou seja, X (x) 0 x M, as órbitas de X definem localmente as folhas de uma folheação complexa de dimensão. Uma folha é uma curva, conexa e regular em U a qual localmente pode ser parametrizada como solução da equação diferencial. No capítulo.4 será feito um estudo mais detalhado sobre folheações. Dizemos que q é uma singularidade não degenerada se DX (q) é não singular. Seja Λ = {λ,..., λ n } o espectro de DX (q). A singularidade será hiperbólica, se todos os quocientes λ i /λ j, i j, forem não reais. Se a envoltória convexa de Λ não contém 0 C, dizemos que a singularidade está no domínio de Poincaré. Caso contrário, dizemos que ela está no domínio de Siegel. Observe que a folheação entendida como conjunto de folhas não se altera quando multiplicamos a equação diferencial acima por uma função holomorfa que não se anula. Podemos portanto, encarar a folheação como definida pelas soluções da equação onde esta é a chamada forma dual de X. ω = Q(x, y) dx P (x, y) dy = 0 Se X é um campo analítico em U C 2 com singularidade em (0, 0), isto é, X (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) onde P (x, y) e Q(x, y) são funções analíticas com P (0, 0) = Q(0, 0) = 0, temos que P e Q são representados em série de Taylor centrada em (0, 0) como P (x, y) = a 0 x + a 0 y + r(x, y) Q(x, y) = b 0 x + b 0 y + s(x, y) onde r e s são funções holomorfas que envolvem termos de grau 2. Logo [ ] [ ] [ ] [ ] P (x, y) a0 a 0 x X = = + Q(x, y) b 0 a 0 y onde a derivada do campo X no ponto (0, 0) é [ a0 a 0 DX (0) = b 0 a 0 ] que é a parte linear do campo X. Assim, se for um campo em U C n, então DX (0) será uma matriz n n. Seja X um campo holomorfo em uma variedade M m. Dado um ponto p M tal que X (p) = 0, podemos encontrar uma carta local (ζ p, V p ) tal que ζ(p) = 0. Assim para estudar singularidades de um campo em M, basta estudar singularidades de campos de vetores numa vizinhança de 0 C n.

8 CAPÍTULO. PRELIMINARES 8.3 Frações Contínuas DEFINIÇÃO.2 Uma fração contínua é uma terna [{a n }, {b n }, {w n } ] de sequênciasde números complexos, tais que a n 0, n e w n é um elemento do plano complexo estendido definido da seguinte forma: Se t k denota uma transformação de Möbius do tipo então t k : u a k, k =, 2,..., b k + u w n := t t 2 t n (0), n =, 2,..., Ao escrever os primeiros termos w n s o leitor ficará convencido que w n se iguala à fração inicial desta seção fixando a n+ = 0. a n e b n são chamados de n ésimos numeradores e denominadores parciais, respectivamente. w n é chamado de o n ésimo aproximador da fração contínua. Os numeradores e denominadores parciais também são chamados de elementos da fração contínua, e as transformações t k de suas componentes. Se a sequência de aproximações de uma fração contínua C converge, isto é, se o limite w := lim n w n existe e é finito, então C é dito ser (propriamente) convergente, e w é chamado de valor de C. Se lim w n =, C é chamado impropriamente convergente. Além de frações contínuas infinitas, nós também temos que considerar as frações contínuas finitas. Estas, são triplas [{a n }, {b n }, {w n }] de sequências finitas, com índices que percorrem de a n para algum inteiro n, onde a k e b k são números complexos, a k 0, e w k está definido para k =, 2,, n. Neste caso w n é chamado de valor da fração contínua.

9 CAPÍTULO. PRELIMINARES 9 Ele sempre existe como elemento do plano complexo estendido e é como a própria fração, comumente encontrado na forma b + b 2 + b a a 2 a 3 a 4 b n 2 + a n b n + a n b n Existem dois métodos essencialmente diferentes para calcular o valor de uma fração contínua, chamados, respectivamente, de métodos ascendente e descendente. O uso do método ascendente consiste em calcular os números w m,n := t m t m+ t n (0), m =, 2,..., n. Por recursão temos e claramente, w,n = w n. w n,n = t n (0) = a n b n, w m,n = t m (w m+,n ) = a m b m + w m+,n, m = n, n 2,..., O cálculo desta fração contínua pelo método ascendente requer não mais que (n ) somas e n divisões.

10 CAPÍTULO. PRELIMINARES 0 EXEMPLO. Dada a fração contínua obtemos a seguinte tabela de valores m a m b m w m, O valor desta fração contínua é portanto igual a w,6 = 2.

11 CAPÍTULO. PRELIMINARES.4 Folheações A idéia intuitiva de folheação corresponde à decomposição de uma variedade numa união de subvariedades conexas, disjuntas, de mesma dimensão, chamadas folhas..4. Folheações não singulares Sejam M m uma variedade complexa m-dimensional, m N {0}. Seja P k um polidisco aberto em C k, onde k N {0}. Seja 0 n m fixados. Uma folheação de classe C r e codimensão m n de M é um atlas máximo F = {(U α, ϕ α )} α A de M satisfazendo as seguintes propriedades: (i) ϕ α (U α ) = P n P m n (ii) Para todo α, β A a aplicação ϕ β (ϕ α ) : ϕ(u α U β ) ϕ β (U α U β ) é de classe C r e tem a forma ϕ β (ϕ α ) (x α, y α ) = (f αβ (x α, y α ), g αβ (y α )). Uma placa de F é um conjunto γ = ϕ α (P α {q}). As placas de F definem uma relação de equivalência em M do seguinte modo: Se p, q M, então p q se, e somente se, existe uma coleção finita de placas ρ,, ρ k de F tal que p ρ, q ρ k e ρ i ρ i+ 0, para todo i k. Pode-se mostrar que é uma relação de equivalência e então podemos considerar a classe de equivalência F x de contendo x M Uma folha de F é precisamente uma classe de equivalência L = F x de (para algum x M). Assim, dois pontos estão na mesma folha se, e somente se, existe uma cadeia de placas como acima que contém estes pontos. Como as placas são conexas, as folhas também são. Segue da definição que toda folha de F é uma subvariedade imersa de M. Sob o ponto de vista da equivalência, podemos definir F como uma partição de M por subvariedades imersas L tal que para todo x M existe uma vizinhança U difeomorfa a P n P m n tal que as folhas da partição intersectam U na folheação trivial {P n y; y P m n } sobre P n P m n.

12 CAPÍTULO. PRELIMINARES 2 Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição equivalente de folheação. Uma folheação de codimensão m n de M é uma partição F de M, formada por subvariedades imersas F x M tal que todo X M exibe uma vizinhança U e um difeomorfismo ϕ: U P n P m n tal que y P m n, existe L F satisfazendo ϕ (P n y) L. Os elementos da partição F são chamados folhas de F. chamado folha de F contendo x. O elemento F x contendo x M é.4.2 Exemplos de folheações não singulares EXEMPLO.2 (Folheações derivadas de Submersões). Uma aplicação diferenciável f : M N entre variedades diferenciáveis M e N é chamada uma submersão se para todo ponto p M a diferencial df : T p M T f(p) N é uma aplicação sobrejetiva dos espaços tangentes. Segue da forma local das submersões que se f : M m N n é uma submersão entre as variedades diferenciáveis M, N, então as curvas de nível L c = f (c), c N são folhas de uma folheação de codimensão n de M. EXEMPLO.3 (Folheações derivadas de Campos de Vetores). Seja X um campo vetorial não-singular em uma variedade diferenciável real M. Então a X podemos associar uma equação diferencial ẋ = X (x(t)) onde t é o tempo real. As soluções desta equacão definem um fluxo local na variedade M. As subvariedades de M obtidas pelo prolongamento destas soluções locais são chamadas de trajetórias de X, que são curvas lisas em M, duas a duas disjuntas e por cada ponto p M passa uma e somente uma trajetória de X. Assim as trajetórias de X definem uma folheação por curvas (de dimensão ) de M.

13 CAPÍTULO. PRELIMINARES 3 ϕ α ϕ β ϕ β ϕ α Figura.: Aspecto local de uma variedade de dimensão 2, folheada por uma folheação de dimensão.

14 CAPÍTULO. PRELIMINARES Folheações singulares DEFINIÇÃO.3 Seja M n uma variedade complexa de dimensão n. Uma folheação holomorfa singular de dimensão k ou codimensão n k, onde k n, em M é uma folheação não singular de dimensão k em M \ S, onde S é um conjunto analítico em M de codimensão maior ou igual a 2. Exigiremos ainda que o conjunto S da definição acima seja minimal no seguinte sentido: não existe subconjunto analítico próprio S S tal que a folheação regular em M \ S se estenda a M \ S. Nessas condições, S é chamado de conjunto singular da folheação. O conjunto singular da folheação F é denotado por Sing(F). Os elementos de Sing(F) são chamados de pontos singulares ou singularidades, enquanto os elementos de M \ Sing(F) são chamados de pontos regulares. As folhas de F são, por definição, as folhas da folheação regular F M\Sing(F). De agora em diante, usaremos o termo folheação para designar folheação holomorfa singular. EXEMPLO.4 Se v é um campo de vetores holomorfo não singular em um aberto U M, então o teorema do Fluxo Tubular que pode ser enunciado da seguinte forma: TEOREMA. (Teorema do Fluxo Tubular) Para todo p M tal que X(p) 0, existe um sistema de coordenadas holomorfo (φ = (z,..., z n ), U), onde φ: U φ(u) = A B C C n, e no qual X = z. implica que U possui uma estrutura de folheação de dimensão. Note que as trajetórias de X são as soluções da equação diferencial dz dt = X(z) e X U =, e que essas trajetórias em U são z da forma φ (A {w}) com w B. Observe que, se Ũ M é aberto com U Ũ adimite um campo de vetores não singular ṽ que satisfaz v U Ũ = fṽ U Ũ para alguma função f : U Ũ C holomorfa, então v e ṽ induzem a mesma folheação em U Ũ. Temos assim, uma folheação definida em U Ũ. Reciprocamente, uma folheação de dimensão é induzida localmente por campo de vetores não singulares. Com efeito, basta tomar em cada aberto trivializador U α, o campo v α = D(Φ α ), onde z (z, (z 2,..., z n )) são coordenadas de D D n, onde D é o disco unitário centrado na origem. Observe que, se U α β, para cada p U α β, existe f α β (p) C tal que v α (p) = f α β (p)v β (p). A função f α β : U α β C assim definida é holomorfa. Portanto o seguinte conjunto de dados

15 CAPÍTULO. PRELIMINARES 5 (a) Uma cobertura {U α } α A de M por abertos (b) para cada α A, um campo de vetores holomorfos não singular v α em U α (c) sempre que U α β, uma função holomorfa f α β : U α β C tal que v α Uα β = f α β (p)v β Uα β, define uma folheação de dimensão em M. PROPOSIÇÃO. Toda folheação de dimensão é induzida localmente por um campo de vetores holomorfo. Demonstração: Uma vez que o problema é local, podemos considerá-lo em um polidisco P C n. Seja F folheação em P. F P \Sing(F) é uma folheação holomorfa não singular e, de acordo com o exemplo acima, existem uma cobertura aberta {U α } α A de P \ Sing(F) e um campo de vetores v α em U α induzindo F Uα, satisfazendo v α Uα β = f α β (p)v β Uα β sempre que U α β, onde f α β : U α β C é holomorfa. Escrevemos cada um desses campos em coordenadas: v α = (v α,..., vn). α Uma vez que P \ Sing(F) é conexo, podemos supor que vn α 0 α A. Para cada α A, g α = vα,..., g α vn α n = v n vn α são funções meromorfas em U α. Se U α β, visto que v α Uα β ( ) = f α β (p)v β Uα β, teremos g α = g β,..., gn α = g β n Assim as definições locais de ( ) são compatíveis e definem funções meromorfas g,..., g n em P \ Sing(F). Uma vez que Sing(F) tem codimensão pelo menos 2, o teorema de extensão de Levi, ([9], pág. 396), nos permite extender g,..., g n a funções meromorfas em P, ainda denotadas por g,..., g n. Em um polidisco, uma função meromorfa é o quociente de duas funções holomorfas, seja h, o m.m.c dos seus denominadores. O campo v = (h g,..., h g n, h) é holomorfo em P, seu conjunto singular está contido em Sing(F) e induz F em M \ Sing(F).

16 CAPÍTULO. PRELIMINARES 6.5 Blow-up (ou explosão) de C 2 em 0. A explosão de C 2 em (0, 0) consiste em criar uma nova superfície complexa ao substituir o ponto (0, 0) pelo conjunto de direções complexas neste ponto o qual é isomorfo a C, a esfera de Riemann. Definimos então a explosão como sendo a superfície complexa C 2 = {((x, y), (u : t)) C 2 P ; tx = yu}. A curva complexa mergulhada D = C = P chamada divisor excepcional: temos duas cartas coordenadas (x, t) em C 2 e (u, y) em C 2 com a mudança de coordenadas entre U e V dada pelo difeomorfismo holomorfo (x, t) (u, y) = (t, tx) e o divisor por x = 0 ou y = 0. Além disso, existe uma aplicação holomorfa π : C 2 C 2 definida em coordenadas locais por π(x, t) = (x, tx) e π(u, y) = (uy, y); tem-se que π é um difeomorfismo holomorfo entre C 2 \ D e C 2 \ {(0, 0)}, e π(d) = (0, 0). A mesma construção pode ser feita em qualquer superfície, em vez de C 2. DEFINIÇÃO.4 Seja X um campo de vetores holomorfo definido numa vizinhança de 0 C 2 tal que 0 é uma singularidade isolada de X. Sejam λ e λ 2 os auto-valores de DX (0). Dizemos que 0 é uma singularidade simples de X se uma das condições abaixo for verificada: (a) Se λ λ 2 = 0, então um dos autovalores é não nulo. Neste caso, dizemos que a singularidade é uma sela-nó. (b) Se λ λ 2 0 então λ λ / Q +. Os números λ 2 /λ e λ /λ 2 serão chamados de números característicos da singularidade. Note que as condições acima são invariantes por mudanças holomorfas de coordenadas e por multiplicação de X por uma função que não se anula em 0. estendidas às singularidades isoladas de folheações em superfícies complexas. Desta maneira, elas podem ser O teorema de resolução de Seidenberg que pode ser enunciado da seguinte forma TEOREMA.2 ( Teorema de resolução de singularidades de Seidenberg) Toda singularidade isoladade uma folheação holomorfa em uma superfície complexa admite uma resolução. diz, a grosso modo, que se 0 é uma singularidade isolada de uma folheação F, então após uma sequência de blow-ups, π : M C 2, é possível definir uma folheação F = π (F) que coincide com F fora da união dos divisores de π e cujas singularidades são todas simples.

17 CAPÍTULO. PRELIMINARES 7 Vejamos o que ocorre com uma folheação após uma explosão em 0. Cosideremos uma folheação holomorfa F numa vizinhança de 0 C 2 com singularidade isolada em 0. Vamos supor F representada pelo campo X = (P (x, y), Q(x, y)), ou equivalentemente, pela -forma dual ω = P (x, y) dy Q(x, y) dx. Denotemos por F a folheação dada por π (ω). Podemos escrever o desenvolvimento de Taylor de ω em 0 como: ω = (P j dy Q j dx), j=k onde P j e Q j são polinômios homogêneos de grau j, com P k 0 ou Q k 0. A forma π (ω) se escreve na carta ((t, x), U) como: π (ω) = (P j (x, tx) d(tx) Q j (x, tx) dx) = j=k = x k x j k [(t P j (, t) Q j (, t)) dx) + x P j (, t) dt]. j=k Dividindo a forma acima por x k obtemos: x k.π (ω) = (t P k (, t) Q k (, t)) dx + x P k (, t) dt + x α ( ) onde α = j=k+ xj k [(t P j (, t) Q j (, t)) dx + x P j (, t) dt] Coloquemos R(x, y) = y P k (x, y) x Q k (x, y), de forma que x k.π (ω) = R (, t) dx + x P k (, t) dt + x. α. Analogamente, ao calcularmos a expressão de π (ω) na carta ((u, y), V ), obtemos: y k.π (ω) = R (u, ) dy y Q k (u, ) du + y. β ( ) Temos pois dois casos a considerar: (a) R 0. Neste caso, dizemos que a singularidade é dicrítica. (b) R / 0. Neste caso, dizemos que a singularidade é não dicrítica. R tem então grau k +.

18 CAPÍTULO. PRELIMINARES 8 Analisemos os casos acima. Caso(a): neste caso, as formas em ( ) e ( ) ainda podem ser divididas por x e y respectivamente. Dividindo ( ) por x obtemos ω = P k (, t) dt + α = P k (, t) dt + (t P k+ (, t) Q k+ (, t) dx + x. α, forma esta que não pode ser mais dividada por x, uma vez que P k / 0. A folheação F será então representada nesta carta por ω e na outra carta por uma forma ω 2, obtida da divisão de ( ) por y. Observe que, nos pontos do divisor {x = 0}, da forma (t 0, 0), tais que P k (, t 0 ) 0, as folhas de F são transversais ao divisor. Os pontos (t 0, 0) tais que P k (, t 0 ) = 0 serão ou pontos singulares de F ou pontos de tangência das folhas de F com o divisor. Note que cada folha transversal ao divisor dá origem a uma separatriz local de F. Sendo assim, uma singularidade dicrítica possui uma infinidade de separatrizes. Caso (b). Neste caso as formas em ( ) e ( ) não podem mais ser divididas. Portanto, elas representam F nas cartas respectivas. Note que o divisor é invariante por F. Além disto, as singularidades de F no divisor são os pontos, da primeira carta, da forma (0, t 0 ) onde R (, t 0 ) = 0, e mais o ponto (0, 0), da segunda carta, se 0 for raiz de R (u, ) = 0. Vemos então que F possui k + singularidades, contadas com multiplicidade, no divisor. Observe que as singularidades de F são isoladas. EXEMPLO.5 Consideremos agora uma superfície S com uma folheação F descrita numa vizinhança U de (0, 0) como xdx + ydy + a (x, y)dx + b (x, y)dy = 0 onde a e b possuem multiplicidade algébrica pelo menos 2 em (0, 0). Fixemos p S, e denotemos por π a aplicação associada a explosão S de S em p, D = π {(0, 0)}. Em S \D podemos tomar a folheação pela transformada estrita de F, denotada por π F, cujas folhas são as imagens inversas por π das folhas de F. Um cálculo simples, que faremos a seguir diretamente para a folheação definida acima, mostra que podemos estender π F holomorficamente a uma folheação F definida em todo S, incluindo o divisor D. De fato, no sistema de coordenadas (x, t) para C 2, obtemos x { ( + t 2 )dx + txdt + x [(a (x, tx) + tb (x, tx))dx + b (x, tx)dt] } = 0

19 CAPÍTULO. PRELIMINARES 9 como expressão para π F fora de D. No outro sistema de coordenadas, obtemos por cálculo análogo y { ( + u 2 )dy + uydu + y [(b (uy, y) + ua (uy, Y ))dy + a (uy, y)du] } = 0 Portanto, podemos estender π F para D (com singularidades isoladas) como ω = ( + t 2 )dx + txdt + x ((a (x, tx) + tb (x, tx))dx + b (x, tx)dt) = 0 num sistema de coordenadas e ω 2 = ( + u 2 )dy + uydu + y ((b (uy, y) + ua (uy, y))dy + a (uy, y)du) = 0 no outro sistema. Observe-se que h ω 2 = t ω para h(x, t) = (t, tx) = (u, y), de modo que realmente temos uma folheação de Ũ segundo o conceito introduzido no início deste trabalho. Além disso, o divisor D é invariante, isto é, composto por singularidades e uma folha. De fato, temos duas singularidades, nos pontos p = (x = 0, t = i) e p 2 = (x = 0, t = i). As partes lineares de ω e ω 2 nestes pontos podem ser calculadas fazendo-se t = t + i e t = t i respectivamente. Obtemos a expressão 2t dx + xdt = 0, de modo que tanto p quanto p 2 são singularidades ressonantes no domínio de Siegel. Cada uma delas possui uma separatriz transversal a D (as quais se projetam via π nas separatrizes S e S 2 de (0, 0)), estando as outras separatrizes contidas no divisor D.

20 CAPÍTULO. PRELIMINARES 20.6 Separatrizes Seja ω um germe de uma -forma holomorfa em 0 C 2, com uma singularidade isolada em 0. Uma separatriz analítica de ω é um germe de curva complexa S em 0 C 2 onde, se f é uma função que define S, com f(0) = 0, então ω df = fη para alguma 2-forma η. Em outros termos, dada uma folheação holomorfa F de dimensão em uma variedade complexa M 2 e q M 2 uma singularidade isolada de F, dizemos que F possui uma separatriz em q se existem uma vizinhança U de q e uma curva analítica em U, digamos γ, com as seguintes propriedades: (i) q γ, (ii) γ \ {q} é uma folha de F U. Dizemos que γ é uma separatriz lisa se q não é singularidade de γ. Isto equivale a dizer que γ é uma curva complexa regular em U. EXEMPLO.6 Considere a -forma holomorfa ω(x, y) = x dy y dx onde (x, y) C 2. Observe que f = {x = 0} é uma separatriz, pois f (x, y) = x d f = dx, logo ω d f = x dx dy = f η onde η = d x d y. Do mesmo modo, g = {y = 0} é uma separatriz. Logo {x = 0} e {y = 0} são separatrizes de ω. Observação. Podemos também definir uma separatriz da seguinte forma: Seja F uma folheação de dimensão em uma variedade M 2. Dado p Sing(F), uma separatriz em p é um germe de curva analítica V M contendo p e invariante por F, ou seja, V \ Sing(F) é localmente, uma união de folhas de F. EXEMPLO.7 Vamos achar uma separatriz da folheação F definida pelo campo X (x, y) = (λ x, λ 2 y). O fluxo do campo que é dado por ϕ(x, y, t) = (x exp(λ t), y exp(λ 2 t))

21 CAPÍTULO. PRELIMINARES 2 nos diz que ϕ(, 0, t) = (exp(λ t), 0) é uma folha da folheação F. Como a aplicação exponencial assume qualquer valor complexo não nulo, podemos dizer que o plano (x, 0) menos (0, 0) é uma folha L de F, e S = L {(0, 0)} é uma separatriz por zero, pois satisfaz as condições da definição. EXEMPLO.8 Considere o campo real X : R 2 R 2 (x, y) ( y, x) cuja forma associada a esse campo é dada por ω = ydy xdx, 0 é uma singularidade isolada e esse campo define uma folheação F de R 2 onde as folhas de F são círculos concêntricos como mostra a figura abaixo y 0 x Figura.2: Círculos concêntricos Portanto não temos nenhuma folha que passa por zero. Logo não temos uma separatriz de F em 0 R 2.

22 CAPÍTULO. PRELIMINARES 22 EXEMPLO.9 Vamos agora, considerar o campo complexo Z : C 2 C 2 (z, z 2 ) ( z 2, z ) Observe que 0 é uma singularidade isolada e vejamos como se comporta as folhas da folheação induzida por este campo sobre a esfera S 3 r = S 3 (0, r) R 4 C 2. Para isto, tomemos o campo radial R de C 2 e calculemos R, Z. R, Z = R, Z = (z, z 2 ), ( z 2, z ) = = z z 2 + z 2 z = z z 2 + z z 2 = = ( z z 2 ) + ( z z 2 ) = 2 Im ( z z 2 ) Duas possibilidades se apresentam: (i) Im (z ) = Im (z 2 ) = 0 Neste caso teremos R, Z = 0. Estudemos então o conjunto de tangência do campo Z com as esferas S 3 (0, r). Temos que tal conjunto é dado por T ang(z, S 3 r) = {z = (z, z 2 ) C 2 ; R, Z = 0} Mas por outro lado, temos que R, Z = 0 Im (z ) = Im (z 2 ) = 0 Agora, escrevendo z j = x j + iy j, com j =, 2, podemos identificar os conjuntos {z = (z, z 2 ) C 2 } {x = (x, y, x 2, y 2 ) R 4 }

23 CAPÍTULO. PRELIMINARES 23 E como S 3 r = {(z, z 2 ) C 2 ; z 2 + z 2 2 = r 2 } = {(x, y, x 2, y 2 ) R 4 ; x 2 + y 2 + x y 2 2 = r 2 } S 3 r R 2 = {(x, x 2 ) R 2 ; x 2 + x 2 2 = r 2 } = S r Teremos T ang(z, S 3 r) = r>0 S r E voltamos assim ao caso real estudado anteriormente. x 2 R 2 x (ii) Im (z ) 0 e/ou Im (z 2 ) 0 Neste outro caso, teremos R, Z = 2 Im ( z z 2 ) 0, donde se conclui que o campo é transversal á esfera Sr 3 (consequentemente, a folhas da folheação induzida por este campo são tansversais á Sr 3 ) e juntamente com o fato de o polinômio R(z, z 2 ) = z 2 P (z, z 2 ) z Q(z, z 2 ) = z 2 z z z 2 se anular, vemos que estamos no caso onde a singularidade é dicrítica, donde também concluímos que existem infinitas separatrizes.

24 Capítulo 2 O Teorema da Separatriz 2. Introdução TEOREMA 2. Teorema da Separatriz Considere a equação diferencial dz dt com uma singularidade isolada em 0 C 2. = Z(z), Z(0) = 0 Existe uma subvariedade analítica complexa de dimensão, passando por 0 C 2, invariante por Z numa vizinhança de 0 C 2. Isto significa que existe uma vizinhança U de 0 C 2 e uma curva complexa V U, integral da equação diferencial em U tal que V = V {0} e V é um conjunto analítico complexo. 24

25 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 25 Na estrutura da demonstração de sua existência, poderemos ver que tal curva pode ser detectada na resolução da folheação. Esta resolução contém em particular a resolução Ṽ de V e duas possibilidades se apresentam: (I) a primeira é que Ṽ é transversal a uma componente dicrítica. Ṽ (II) a segunda possibilidade é que Ṽ seja uma curva integral passando por um ponto singular Ṽ Se a resolução de F apresenta uma componente dicrítica, então pelo Teorema da Aplicação própria, qualquer curva integral, tranversal ao divisor, se projetará numa curva analítica passando por 0 C 2, invariante por Z. O problema fica então reduzido a mostrar que caso não existam componentes dicríticas na resolução de F Z, existe um ponto singular que possui uma separatriz tranversal ao divisor. A projeção da resolução levará esta separatriz sobre uma curva analítica invariante por Z, eventualmente singular em 0 C 2.

26 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 26 Passemos agora ao esquema de demonstração do Teorema. 2.2 Ordenando a resolução de F Z Suponhamos que Z está definido numa vizinhança U de 0 C 2 e seja (U (), π (), p (), F () ) a primeira explosão de Z U () U 0 π () P () Lembre-se que π () : U () U envia P () em 0 U e é um difeomorfismo de U () \ P () sobre U \ {0}. Além disso a folheação F () tem singularidades isoladas e é difeomorfa via π () U () \P () à folheação F Z de U \ {0}. A próxima etapa do processo de resolução será definir (U (2), π (2), p (2), F (2) ) da seguinte maneira: Para cada singularidade redutível q de F () na linha projetiva P = P (), definimos uma cadeia linear C(q) com origem em q P, isto é, uma sequência de linhas projetivas (P (j) ) m j=0 onde P (0) = P, obtidas assim. O elemento P () é o divisor criado por explosão do ponto q. Se π q : U () q π q (q) = P (). U () é a projeção da explosão em q P então A restrição de π q a πq (P \ {q}) é um difeomorfismo sobre P \ {q}. Afim de evitar uma notação carregada, denotaremos por P, ainda, o conjunto πq (P \ {q}). É claro que P (0) e P () se intersectam transversalmente num único ponto, que é uma singularidade τ(q) (também chamado de esquina).

27 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 27 P () q P () P (0) τ(q) P (0) P (0) τ (2) (q) P (2) Suponhamos já definidos P (),..., P (k), k. Se alguma esquina P P (i) ou P (i) P (j) é redutível, introduzimos P (k+) fazendo uma nova explosão nessa esquina. O teorema de resolução nos garante que existe m, menor entre todos com a seguinte propriedade: todas as esquinas P (i) P (j), 0 i, j m são irredutíveis. Após a reordenação dos índices podemos supor que a cadeia C(q) = (P (j) ) m j=0 propriedade P (J) P (j+), para j =,..., m e P (m) P (0). Nesta cadeia, introduzimos a ordem P (0) > P (m) > P (m ) > > P (). tem a P (0) P (m) P (2) P () τ (k) (q) Denotemos por τ(q) o ponto originado da explosão do ponto q. q, τ(q), τ(τ(q)),..., em P serão denotadas por As singularidades q = τ 0 (q), τ(q), τ 2 (q),..., τ m (q). Se τ k (q) é irredutível mas τ k (q) é redutível, nós diremos que k é a ordem de C(q). A ordem de C(q) é assim, o número de vezes que o ponto q P foi explodido até obter a cadeia C(q). Se q é irredutível a sua ordem é 0. singularidades redutíveis de F () em P (). Aplicamos a mesma construção para todas as Usando a definição da explosão em cada etapa, obtemos facilmente U (2), π (2) : U (2) U sobre U (). A composição π (2) = π (2) π () : U (2) U é a projeção e o divisor P (2) é a união de

28 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 28 (π (2) ) (P () ). Mais geralmente tendo já definido (U (2), π (2), p (2), F (2) ), l tal que: (i) U (l) é uma variedade complexa com um subconjunto P (l), o l-divisor de Z, que é uma união finita de variedades complexas, todas elas isomorfas à linha projetiva; Além disso, duas destas variedades se interesectam no máximo num ponto de esquina e esta intersecção é transversal. (ii) Uma projeção π (l) : U (l) U (l) \ P (l) e U \ {0}; U tal que π (l) (P (l) ) = 0 e tal que é um isomorfismo entre (iii) Uma folheação F l em U (l) que coincide fora de P (l) com (π (l) ) F Z e tem um número finito de singularidades em P (l), e além disso todas as esquinas são singularidades irredutíveis de F l. Neste ponto definimos U (l+), P (l+), π (l+) e F (l+) acrescentando como antes, cadeias lineares a todos os pontos redutíveis de F (l) em P (l). Esta sequência de explosões nos dá uma variedade complexa U (l+) π (l+) : U (l+) U (l) que é sobrejetiva. A composição π (l+) = π (l+) l π l : U (l+) U e uma projeção P () P () q P (0) π (l) P (2) π (l+) P (2) P (l) P (l+) P (0) P (0) é a projeção e o (l + )-divisor P (l+) é a união de (π (l+) l ) (P (l) ) com todas as linhas projetivas nas cadeias lineares enxertadas em P (l). Finalmente, F (l+) provém de F (l) pela sequência de explosões associadas á inserção de todas as cadeias lineares. As propriedades (i)-(iii) para os objetos definidos é imediata.

29 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ Índices de Subvariedades Integrais Seja M 2 ma subvariedade complexa de dimensão 2, uma folheação holomorfa F com singularidades isoladas e uma curva lisa S, integral de F, contendo singularidades. Seja q S um ponto singular de F e (x, y) um sistema de coordenadas em torno de q tais que x(q) = y(q) = 0 e S = {y = 0} localmente. Neste sistema de coordenadas F é dada pelas integrais de um campo de vetores com A(0, 0) = B(0, 0) = 0 e B(x, 0) 0. A(x, y) x + B(x, y) y DEFINIÇÃO 2. O índice de F relativo a S em q é i q (F, S) = Res x=0 y ( B(x, y) A(x, y) ) (x, 0)dx EXEMPLO 2. Suponha q C 2 um ponto singular de uma equação ẋ = λ x + ẏ = λ 2 y + λ 0 λ 2 na vizinhança de 0 C 2. Sabemos de?? (pág. 54), que existe uma mudança de coordenadas locais ξ em (0, 0) C 2 de modo que onde as funções α, β são analíticas. ξ Z = (λ x + xyα(x, y)) x + (λ 2y + xyβ(x, y)) y Consideremos A(x, y) = λ x + xyα(x, y) e B(x, y) = λ 2 y + xyβ(x, y). Temos assim duas curvas invariantes S = {y = 0} e S 2 = {x = 0} passando por 0 C 2 tangentes aos autoespaços de λ e λ 2, respectivamente.

30 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 30 Passemos aos cálculos de i 0 (F, S ) e i 0 (F, S 2 ). (i) i 0 (F, S ) Aqui, temos S = {y = 0} localmente e A(0, 0) = B(0, 0) = 0, B(x, 0) = 0. Assim, ( ) B(x, y) i 0 (F, S ) = Res x=0 (x, 0)dx = Res x=0 y A(x, y) y = ( λ2 + xβ(x, 0) = Res x=0 λ x (( 2π λ2 γ λ ) + β(x, 0) x ) dx = Res x=0 (( λ2 ) dx = onde γ é um círculo contendo a origem no plano x. ( λ2 λ ( λ2 y + xyβ(x, y) λ x + xyα(x, y) ) ) + β(x, 0) dx = λ x ) 2π γ x dx = λ 2. λ ) (x, 0)dx = (ii) i 0 (F, S 2 ) Aqui, temos S 2 = {x = 0} localmente e A(0, 0) = B(0, 0) = 0, A(0, y) = 0. Assim, ( ) A(x, y) i 0 (F, S 2 ) = Res y=0 (0, y)dy = Res y=0 x B(x, y) y = ( λ + yα(0, y) = Res x=0 λ 2 y (( 2π λ γ 2 λ 2 ) + α(0, y) y ) dy = Res y=0 (( λ ) dy = onde γ 2 é um círculo contendo a origem no plano y. ( λ λ 2 ( λ x + xyα(x, y)) λ 2 y + xyβ(x, y) ) ) + α(0, y) dy = λ 2 y ) 2π γ 2 y dy = λ. λ 2 ) (0, y)dy =

31 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 3 EXEMPLO 2.2 No outro caso irredutível (sela-nó) com a forma normal ẋ = λ x + A(x, y) A de multiplicidade em (0, 0) 2 ẏ = y p+ p existe uma subvariedade invariante S = {y = 0} tangente ao auto-espaço correpondente a λ. Calculemos i 0 (F, S): Aqui, temos Z(x, y) = (λ x + A(x, y), y p+ ) com p, A de multiplicidade em (0, 0) 2 Seja a(x, y) = λ x + A(x, y) e b(x, y) = y p+ a(0, 0) = b(0, 0) = 0 com b(x, 0) 0 e neste caso, S é dada localmente por {y = 0}. Assim, teremos que ( ) b(x, y) i 0 (F, S) = Res x=0 (x, 0)dx = y a(x, y) ( ) y p+ = Res x=0 (x, 0)dx = y λ x + A(x, y) ( ) (p + )y p (λ x + A(x, y)) + y p+ = Res x=0 y A(x, y) (λ x + A(x, y)) 2 (x, 0)dx = 0

32 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 32 Vamos agora ver como este índice se comporta por explosões. Suponhamos que (U (), π (), p (), F () ) é a explosão de F em p. Denotemos π () (S) de novo por S e seja q S P (). PROPOSIÇÃO 2. i q (F (), S) = i p (F, S) Demonstração: Suponhamos que a folheação F é induzida por uma -forma holomorfa η. Seja ϕ: (C 2, 0) (U, p) uma carta local em torno de p tal que ϕ(0) = p e {ϕ(x, 0); x C} S. Temos então (ϕ η)(x, y) = A(x, y)dx + B(x, y)dy com A(0, 0) = B(0, 0) = 0 e B(x, 0) = 0 Existe uma carta local ϕ: (C 2, 0) (U (), q) tal que π () ϕ = ϕ T ϕ q U () π () p S η 0 (x, t) (x, tx) T 0 ϕ ϕ η = A dx + B dy onde T = ϕ π () ϕ.

33 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 33 A forma π η se escreve na vizinhança de q U () da seguinte maneira: T η q (x, t) (x, t x) (x, 0) S (T ϕ η)(x, tx) = (A(x, tx)dx + B(x, tx)(tdx + xdt) = [A(x, tx) + tb(x, tx)]dx + xb(x, tx)dt Segue pois que nestas coordenadas, F () é dada pelas integrais do campo de vetores e assim teremos que xb(x, tx) x + [A(x, tx) + tb(x, tx)] t ( i q (F () A(x, tx) + tb(x, tx), S) = Res x=0 t xb(x, tx) [ B(x, 0) A(x, 0) + t = Res x x=0 B(x, 0) [ A(x, 0) t = Res x=0 B(x, 0) + x + A(x, 0) t [ A(x, 0) t = Res x=0 B(x, 0) + A(x, 0) t [ A(x, 0) t = Res x=0 B(x, 0) = i p (F, S) ) (x, 0)dx + A(x, 0) B(x, 0) t (B(x, 0)) 2 ] B(x, 0) dx (B(x, 0)) 2 B(x, 0) (B(x, 0)) 2 ] ( dx Res x=0 x ] dx ] ( ) dx Res x=0 dx x ) dx

34 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 34 Suponha agora que η é uma -forma em M induzindo uma folheação F com singularidade isolada p M não dicrítica. Ao fazer uma explosão em p M, obtemos como divisor uma linha projetiva P p e uma folheação F () definida próximo à P p com singularidades q,, q r. PROPOSIÇÃO 2.2 r i qj (F (), P p ) = j= Demonstração : Seja η ν = A ν (x, y)dx + B ν (x, y)dy o primeiro jato não nulo de η em p. Consideremos em U () a carta local (x, t) com y = tx. Podemos supor que esta carta contém todos os pontos singulares de F () e sejam t,, t r as t coordenadas dos pontos q,, q r. A folheação F () nesta carta é dada por onde P (, t) = A ν (, t) + tb ν (, t). η = ( P (, t) + xq(x, t) ) dx + x ( B ν (, t) + xr(x, t) ) dt Observe que as raízes de P (, t) são t,, t r. Temos que a -forma η(x, t) = Ã(x, t)dx + B(x, t)dt, induz um campo com Ã(0, 0) = B(0, 0) = 0 e B(0, t) = 0 Assim, Aqui, S = P p = {x = 0} é invariante. B(x, t) x + Ã(x, t) t ( ( x Bν (, t) + xr(x, t) ) ) i tj (F, S) = Res t=tj x P (, t) + xq(x, t) x=0 = Res t=tj B(, t) P (, t) Para simplificarmos a notação escreveremos B(t)=B ν (, t), A(t)=A ν (, t) e P (t)=p (, t) = tb(t) + A(t) onde grau(b) = grau(a). A função racional R(t) = Faça a deformação B(t) tb(t) + A(t) F (λ) = é tal que grau(b(t)) + = grau(tb(t) + A(t)). 2π B(t) t =r tb(t) + λa(t) dt

35 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 35 Aqui, r >>, de modo que os zeros de A, B e de tb +A estejam no interior do círculo t = r, e λ deve ser escolhido de modo que tb(t) + λa(t) 0 para t no círculo t = r, ou seja, λ está no complemento do traço da curva compacta α(θ) = re θ B(re θ ) A(re θ, 0 θ 2π. Pela escolha ) de r, 0 C está numa das componentes conexas do complemento do traço de α, que é um aberto, digamos U. Agora modificamos r se necessário, para que todo o disco fechado D(0, ) U. Isto é possível pois α(θ) = r B(re θ ) A(re θ para r pois A e B tem o mesmo grau. ) Temos então a função holomorfa F : U C, com D(0, ) U. Para mostrar que F (λ) derive sob o sinal de integral: F (λ) = 2π A(t)B(t) (tb(t) + λa(t)) dt 2 t =r ( ) Agora, para λ U fixado, temos que o quociente de polinômios na variável t, A(t)B(t) G(t) = é tal que o grau do numerador é o grau do denominador menos 2. Mas (tb(t) + λa(t)) 2 temos o seguinte Lema: LEMA 2. Seja h = P Q Então Res (h, z) = 0. z C uma função racional tal que grau(q) grau(p) + 2. Demonstração: Podemos supor que P e Q são dados por P(z) = (z a ) k... (z a n ) kn e Q(z) = (z b ) m... (z b l ) m l Considere h = Q P. Sabemos que os pólos de h são os zeros de Q. Seja A = {zeros de Q}. A é finito e possui exatamente grau(q) elementos. Assim, existe R > 0 tal que A B(0, R). Considere γ(t) = Re it, t [0, 2π]. Como P e Q são funções inteiras, h é holomorfa em B(0, R + )\A. temos Então, pelo teorema dos resíduos: 2π h(z)dz = Res (h, z). γ z A ( )

36 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 36 Vamos então mostrar que γ h(z)dz = 0 γ h(z)dz = γ (z a ) k... (z a n ) kn 2π dz = (z b ) m... (z bl ) m l 0 (Re it a ) k... (Re it a n ) kn R i e it dt (Re it b ) m... (Re it b l ) m l No numerador temos que a maior potência de R é k +...+k n + e no denominador é m +...+m l. Mas grau(q) = m m l grau(p) + 2 = (k k n + ) +, e portanto, a potência de R no denominador é maior que a do numerador. Assim, lim R γ γ h(z)dz lim 2π h(z)dz (Re it a ) k... (Re it a n ) kn R i e it dt (Re it b ) m... (Re it b l ) m l R 2π 0 0 (Re it a ) k... (Re it a n ) kn R i e it dt = (Re it b ) m... (Re it b l ) m l = 2π lim 0 R (Re it a ) k... (Re it a n ) kn R i e it dt = (Re it b ) m... (Re it b l ) m l 2π 0 0 dt = 0. Logo, dado ɛ > 0 e γ = Re i θ teremos γ h(z)dz < ɛ. De ( ) conclui-se que γ h(z)dz = 0 Assim segue que Res (h, z) = z A 2π h(z)dz = 0 γ Logo podemos afirmar que a soma dos resíduos de G(t) é zero. Mas pelo teorema dos Resíduos, a integral ( ) é precisamente essa soma, potanto é nula. Consequentemente, F (λ) 0 para todo λ U e então F é constante no aberto conexo U. Como F (0) = 2π dt =, t concluímos que F (λ) = para todo λ U. Mas, novamente pelo teorema dos Resíduos, = F () = 2π B(t) t =r tb(t) + A(t) dt = ( ) B(t) Res tb(t) + A(t), p, p t =r onde a soma é sobre todos os pólos da função racional Por outro lado i qj (F (), P p ) = Res t=tj B ν (, t) P (, t) B(t) tb(t) + A(t).

37 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 37 Portanto, r i qj (F (), P p ) = j= Considere agora um ponto arbitrário p P p. Uma nova explosão π (2) no ponto p terá como divisor a linha projetiva P (2). Como no complementar de P (2) a aplicação π (2) é um difeomorfismo P () P () 3 p p π (2) 2 P (3) P () p 2 P (2) 2 P (2) podemos denotar π (2) (P () ) novamente por P (). Este será agora um mergulho diferente da linha projetiva. Seja F (2) a folheação induzida por π (2) F (). Então a soma q Sing(F (2) ) i q (F (2), P () ) é agora 2 pela proposição 2.2. Mais geralmente pode ser demonstrado que se P é uma linha projetiva mergulhada numa superfície complexa M e F é uma folheação por curvas complexas em uma vizinhança de P tal que (i) Sing(F) P = {q,, q r } P e (ii) P \ {q,, q r } é uma folha de F. então a soma c(p ) = r j= i q j (F, P ) é um inteiro que só depende do mergulho de P e coincide com o número de Euler do fibrado normal a P em M. Considere agora uma cadeia linear C(q) = (P j ) m j=0 com origem num ponto singular q P 0 da folheação F (l). Suponha que P (0) > P (m) > > P (). Pelas proposições () e (2) para j =, m, a soma C(P j ) = i p (F (l), P j ) p Sing(F (l) )

38 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 38 é um inteiro negativo definido como a classe de P j. Escrevamos C(P j ) = k j, vamos supor que a ordem de C(q) é k. Lembremos que a ordem de C(q) é o número de vezes que o ponto q foi explodido no processo de criação da cadeia linear. Temos então que a sequência k k m k é obtida da sequinte maneira. Comecemos com a sequência de dois elementos que correspondem a explodir q uma vez e ao fato de que a classe da linha projetiva criada na explosão é. Suponha agora que tenhamos a cadeia (Q) s j=0 onde Q 0 > Q s > > Q e a sequência a 0 a s a onde a 0 é o número de vezes que o ponto q = Q 0 Q s foi explodido e a j = classe de Q j, j =, s. Há portanto duas possibilidades: Na primeira, o ponto q é explodido mais uma vez e a sequência se transforma em a 0 + a s +... a. Na segunda, outra esquina, digamos Q j Q j+, com j < s é explodida e a nova sequência se transforma em a 0 a s a j+ + a j +... a. Este processo termina quando, pela primeira vez, todas as esquinas aparecem como singularidades irredutíveis. Neste caso a sequência será k k m k.

39 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 39 PROPOSIÇÃO 2.3 k = [ k m,..., k ], onde [ k m,..., k ] = k m k m k m 2... k 3 k 2 k Demonstração : Primeiro mostraremos que a fração acima está bem definida. De fato mostraremos mais que isso, ou seja, que Isto é claro para m = 2, já que [k 2.k ] = [ k m,..., k h ] > 0, se h j m e m 2 k 2 k. Agora suponha válido também para a sequência k 0 k s k s k e mostremos para as sequências que se originam desta. (i) a sequência é (k 0 + ) (k s + ) k s k. Já temos que [ k m,..., k h ] > 0, assim k s [ k s,..., k h ] > 0 k s [ k s,..., k h ] > 0 (k s + ) [ k s,..., k h ] > (k s + ) [ k s,..., k h ] < logo, [ k s +, k s,..., k h ] > 0 e ( k s + [ k s,..., k h ] ) > 0. Segue pois que [, k s +, k s,..., k h ] > 0. (ii) A sequência é k 0 k s (k i+ + ) (k i + ) k. Sabemos pelo item (i) que [ k i +, k i,, k h ] > 0 e [, k i +, k i,, k h ] > 0. Logo, k i+ [ k i, k i,, k h ] = k i+ k i [ k i,, k h ] = ( ) = k i+ + + k i [ k i,, k h ] ( )

40 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 40 agora observe que = [, k i +, k i,, k h ] = k i + [ k i,, k h ] [ k i +, k i,, k h ] = = k i + [ k i,, k h ] k i [ k i,, k h ] = + k i [ k i,, k h ] assim, de ( ) obtemos k i+ + ( ) + k i [ k i,,k h = k ] i+ + [, k i +, k i,, k h ] Donde [ k i+, k i,, k h ] = [ k i+ +,, k i +,, k h ] e portanto [ k j, k i+, k i,, k h ] = [ k j,, k i+ +,, k i +,, k h ], para i + < j m. Mostremos agora que k = [ k m,, k ]. Note que este fato é claro para a sequência. Suponha agora que seja válida para a sequência k 0 k s k s k. Temos pois dois casos a considerar: (iii) Como k 0 = [ k s,..., k ] =, temos que k s [ k s,..., k ] [, k s +, k s..., k ] = k s + [ k s,..., k ] = + k s [ k s,..., k ] = + k 0 = k s + [ k s,..., k ] k s [ k s,..., k ] (iv) Agora se tomarmos k 0 k s (k j+ + ) (k j + ) k teremos = k 0 = [ k s,..., k j+ +,, k j +,..., k ] PROPOSIÇÃO < [ k m,..., k m j ] < [ k m,..., k ], para 0 j m 2. Demonstração: Claramente temos 0 < k m = [ k m ] < [ k m,..., k ]. Agora observe que é suficiente provarmos que [ k m,..., k m j ] > [ k m,..., k m j ] para obtermos o resultado. Para isso note que

41 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 4 k m j k m j < k m j [ k m j, k m j ] > [ k m j ]. Portanto, > k m j k m j k m j k m j+ [ k m j, k m j ] < k m j+ [ k m j ] [ k m j+, k m j, k m j ] > [ k m j+, k m j ] Continuando este processo, concluímos que [ k m,..., k m j ] > [ k m,..., k m j ], j =,..., m. o que encerra a demonstração 2.4 Demonstração do Teorema Quando 0 C 2 é uma singularidade reduzida de Z, existe uma subvariedade lisa passando pela singularidade e invariante por Z, (veja exemplos 2. e 2.2). Podemos portanto, supor de agora em diante que 0 C 2 é uma singularidade redutível. A idéia é considerar a resolução (U (n), π (n), p (n), F (n) ) de Z em 0 C 2 e encontrar em P (n) uma linha projetiva P contendo uma singularidade p de F (n) que não seja uma esquina, tal que i p (F (n), P ) 0. Como π (n) é uma aplicação própria, segue do teorema da Aplicação Própria, que a imagem V = π (n) (S n ) do conjunto analítico S n é uma curva analítica, eventualmente singular em 0 C 2, invariante por Z. Afim de simplificarmos a notação escreveremos i q (P ) em vez de i q (F, P ). Suponha agora por absurdo que i p (P (n) ) = 0 para todas as singularidades de F (n) que não são esquinas de P (n). PROPOSIÇÃO 2.5 Seja l n e q P P (l) um ponto singular de F (l) na linha projetiva P. Consideremos uma cadeia linear C(q) de ordem k, com origem em q (isto é, q se expressa por τ k (q) como elemento de P (n) ). Então k i τ (q)(p ) k

42 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 42 Demonstração: A prova será dada por indução finita no conjunto de cadeias lineares necessárias para a resolução (U (n), π (n), p (n), F (n) ) de Z. Afirmação : A proposição é verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F (n ). Com efeito, seja C(q) uma destas cadeias, C(q) = (P i ) m i=0, P 0 = P, P 0 > P m > > P, e considere também k i = c(p i ), a classe de P i. Pela proposição (3), temos que k = [ k m,..., k ] Sejam q i = P i P i+, i m. Por hipótese, as singularidades de F (n) em m P i diferentes de q,..., q m e τ k (q) possuem índice relativo a P (n) nulo. i=0 Logo, i q (P ) = c(p ) = k Observação 2. Suponha p uma singularidade irredutível com autovalores λ, λ 2. Se λ λ 2 0, então se o campo está na forma normal, S = {x = 0}, S 2 = {y = 0} são subvariedades invariantes contendo p, tangentes aos auto-espaços de λ, λ 2. Logo, i p (F, S ) = λ 2 λ e i p (F, S 2 ) = λ λ 2. E note que i p (F, S ) i p (F, S 2 ) =. ( vide exemplo 2.). Assim, como q é irredutível, teremos E como i q (P 2 ) + i q2 (P 2 ) = c(p 2 ), obtemos i q (P 2 ) = k ou i q (P 2 ) = 0 mas i q2 (P 2 ) i q2 (P 3 ) = i q2 (P 3 ) = i q2 (P 2 ) = k 2 + k ou i q2 (P 2 ) = k 2 k 2 k ou i q2 (P 3 ) = k 2 ou i q2 (P 3 ) = 0 Continuando este processo, teremos que i τ (k) (q)(p ) deve ser 0 ou algum número da forma [ k m,..., k m j ], j m. E pelas proposições 2.4 e 2.5, segue que k i τ (k) (q)(p ).

43 CAPÍTULO 2. O TEOREMA DA SEPARATRIZ 43 Suponhamos que a proposição seja verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F (l), l n, que não são esquinas de P (l). Mostraremos então que ela é ainda verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F (l ). Seja C(q) = (P i ) m i=0 uma cadeia destas com P 0 > P m > > P. Como antes, escrevemos q i = P i P i+, i m. Sejam q,..., qr P, singularidades de F (l ) onde se originam cadeias lineares associadas a F (l). Temos i q (P ) + r j= onde u j é a ordem de C(q j ). Pela hipótese de indução i τ (u j ) (q j )(P ) = c(p ) r j= ordem C(q j ) r j= i τ (u j ) (q j )(P ) Logo, i q (P ) c(p ) + r j= ordem C(q j ) = c(p ) Onde c(p ) representa a classe de P antes das explosões nos pontos q j, j =,..., r. Como q é irredutível temos i q (P 2 ) c(p ) ou 0. Similarmente em P 2 obtemos i q2 (P 2 ) + i q (P 2 ) + r 2 j= i τ (v j ) (q 2 j )(P 2) = c(p 2 ) onde q 2 j, j r 2 são as singularidades de F (l ) onde se originam cadeias lineares de F (l) e v j denota a ordem de C(q 2 ). Pela hipótese de indução r 2 j= ordem C(q 2 j ) r 2 j= i τ (v j ) (q 2 j )(P 2) logo i q2 (P 2 ) + i q (P 2 ) c(p 2 ) + r 2 j= ordem C(q 2 j ) = c(p 2 ) i q2 (P 2 ) c(p 2 ) i q (P 2 ) c(p 2 ) c(p )