UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE EMMANUELLE MELEGARI ARRUDA ESTUDO E APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO JOINVILLE, SC 2012

2 EMMANUELLE MELEGARI ARRUDA ESTUDO E APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO Trabalho de conclusão de curso II apresentado ao curso de graduação em Engenharia Elétrica do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado de Santa Catarina como requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Elétrica. Orientadora: Profª Drª Mariana Santos Matos Cavalca JOINVILLE, SC 2012

3 EMMANUELLE MELEGARI ARRUDA ESTUDO E APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO Trabalho de conclusão de curso II, Engenharia Elétrica/ Centro de Ciências Tecnológicas (CCT) / Universidade do Estado de Santa Catarina, bacharelado em engenharia elétrica. Banca Examinadora: Orientadora: Profª Drª Mariana Santos Matos Cavalca DEE/CCT/UDESC Membro: Profº Drº José de Oliveira DEE/CCT/UDESC Membro: Profº Eduardo Bonci Cavalca DEM/CCT/UDESC Joinville, 06/12/2012

4 AGRADECIMENTOS À Profª Mariana, de maneira especial, pela dedicação e competência na orientação. Agradeço a todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho. Agradeço aos meus pais pelo apoio a todo instante, aos meus familiares e amigos.

5 RESUMO A aplicação de estratégias de controle preditivo vem sendo cada vez mais difundida em vários setores, principalmente devido à capacidade de tratar restrições físicas e operacionais de processos. Este trabalho dá ênfase na estratégia de controle Dinamic Matrix Control (DMC). Inicialmente é apresentada uma abordagem teórica sobre as estratégias de controle preditivo baseado em modelos, tais como: DMC, MPHC (Model Predictive Heuristic Control) e MPC (Model-based Preditive Control) aplicado a Espaço de Estados. Também é feita a análise teórica do tratamento de restrições da variação da ação de controle, excursão da ação de controle e excursão da saída. Com a modelagem de um aquecedor de água foi possível verificar as teorias DMC e MPHC através de simulações numéricas. A estratégia MPC aplicado no Espaço de Estados foi verificada realizando simulações numéricas sobre um sistema de levitador magnético. O estudo de caso experimental considerado é o processo de vazão presente na mesa didática da Festo MPS-PA. Foi analisada a influência dos parâmetros de controle, a acomodação de perturbações, a necessidade de um filtro de realimentação, e a realização do tratamento da zona morta através de restrições sobre a excursão da ação de controle. Finalmente, foram realizados ensaios de incerteza de ganho simulando perda de potência da bomba. Palavras-chave: Controle preditivo. Dinamic Matrix Control. Model Predictive Heuristic Control. Espaço de Estados.

6 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA 1 - ESTAÇÃO COMPACTA MPS-PA DA FESTO FIGURA 2 - ESQUEMA BÁSICO MPC FIGURA 3 - RESUMOS DOS HORIZONTES FIGURA 4 - ESQUEMA CONTROLE COM PERTURBAÇÃO FIGURA 5 - REPOSTA AO DEGRAU FIGURA 6 - ESQUEMA AQUECEDOR DE ÁGUA FIGURA 7 - FLUXOGRAMA CONTROLE DMC FIGURA 8 - RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO AQUECEDOR FIGURA 9 - MALHA CONTROLADA COM DMC FIGURA 10 - AÇÃO DE CONTROLE DMC FIGURA 11 - VARIAÇÃO DO HORIZONTE DE PREDIÇÃO FIGURA 12 - VARIAÇÃO DO HORIZONTE DE CONTROLE FIGURA 13 - MALHA CONTROLADA COM MPHC FIGURA 14 AÇÃO DE CONTROLE MPHC FIGURA 15 - (A) FEEDBACK MAGNETIC LEVITATION SYSTEM.(B) COMPONENTES DO SISTEMA DE CONTROLE FIGURA 16 - FLUXOGRAMA ESQUEMA MPC EM ESPAÇO DE ESTADOS FIGURA 17 - RESPOSTA DO SISTEMA FIGURA 18 - VARIAÇÕES DO HORIZONTE DE PREDIÇÃO FIGURA 19 - VARIAÇÃO DO HORIZONTE DE CONTROLE FIGURA 20 - PROCESSO DE VAZÃO FIGURA 21 - SUBSYSTEM QUE REPRESENTA A PLANTA FIGURA 22 - DADOS DO FLUIDLAB FIGURA 23 RESPOSTA AO DEGRAU RETIRADA PELA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E A OBTIDA PELO FLUIDLAB FIGURA 24 MALHA DE CONTROLE FIGURA 25 - RESULTADO CONTROLADOR DMC: (A) USANDO A SAÍDA NORMALIZADA (B) USANDO A RESPOSTA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA FIGURA 26 - AÇÃO DE CONTROLE: (A) USANDO A SAÍDA NORMALIZADA (B) USANDO A RESPOSTA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA FIGURA 27 - VARIAÇÃO DO PESO DE CONTROLE FIGURA 28 - VARIAÇÃO NO HORIZONTE DE PREDIÇÃO FIGURA 29 - VARIAÇÃO DO HORIZONTE DE CONTROLE FIGURA 30 - VAZÃO DE SAÍDA COM OCORRÊNCIA DE PERTURBAÇÕES FIGURA 31 - AÇÃO DE CONTROLE COM OCORRÊNCIA DE PERTURBAÇÕES FIGURA 32 MALHA DE CONTROLE NORMALIZADO FIGURA 33 - DIAGRAMA DE BODE FILTRO PASSA BAIXA FIGURA 34 SAÍDA FILTRADA

7 FIGURA 35 REPOSTA DA MALHA DE CONTROLE: (A) SEM UTILIZAÇÃO DE FILTRO E (B) COM UTILIZAÇÃO DE FILTRO FIGURA 36 AÇÃO DE CONTROLE: (A) SEM UTILIZAÇÃO DE FILTRO E (B) COM UTILIZAÇÃO DE FILTRO FIGURA 37 ZONA MORTA FIGURA 38 - SAÍDA DA MALHA DE CONTROLE UTILIZANDO RESTRIÇÃO SOBRE U: (A) USANDO A SAÍDA NORMALIZADA E (B) USANDO A RESPOSTA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA FIGURA 39 AÇÃO DE CONTROLE QUANDO É UTILIZADO RESTRIÇÃO SOBRE A AÇÃO DE CONTROLE: (A) USANDO A SAÍDA NORMALIZADA E (B) USANDO A RESPOSTA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA FIGURA 40 SAÍDA DA MALHA DE CONTROLE COM PERDA DE POTÊNCIA DA BOMBA FIGURA 41 AÇÃO DE CONTROLE COM PERDA DE POTÊNCIA DA BOMBA FIGURA 42 AÇÃO DE CONTROLE CALCULADA PELO CONTROLADOR DMC FIGURA 43 - AÇÃO DE CONTROLE QUANDO AS RESTRIÇÕES NÃO SÃO RESPEITADAS

8 4 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO HIPÓTESES METODOLOGIA DIVISÃO DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA: MPC CONCEITOS BÁSICOS DINAMIC MATRIX CONTROL (DMC) FUNÇÃO DE CUSTO ESTIMAÇÃO DE PERTURBAÇÃO EQUAÇÃO DE PREDIÇÃO RESOLUÇÃO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO MODEL PREDICTIVE HEURISTIC CONTROL (MPHC) ESTIMAÇÃO DE PERTURBAÇÃO EQUAÇÃO DE PREDIÇÃO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESPAÇO DE ESTADOS FORMULAÇÃO SISO SEM RESTRIÇÕES FORMULAÇÃO SISO COM RESTRIÇÕES RESTRIÇÕES SOBRE A VARIAÇÃO DA AÇÃO DE CONTROLE RESTRIÇÕES SOBRE A EXCURSÃO DO CONTROLE RESTRIÇÕES SOBRE A EXCURSÃO DA SAÍDA RESUMO DAS RESTRIÇÕES PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA SIMULAÇÕES NUMÉRICAS AQUECEDOR DE ÁGUA DMC MPHC LEVITADOR MAGNÉTICO MPC APLICADO A ESPAÇO DE ESTADOS ESTUDO DE CASO: CONTROLE DO PROCESSO DE VAZÃO DA BANCADA MPS-PA ESTAÇÃO COMPACTA FESTO... 36

9 5 4.1 DMC INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS NO CONTROLADOR DMC ACOMODAÇÃO DE PERTURBAÇÕES FILTRO DE REALIMENTAÇÃO TRATAMENTO ZONA MORTA ATRAVÉS DA RESTRIÇÃO SOBRE A AÇÃO DE CONTROLE INCERTEZA DE GANHO CONCLUSÃO CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 60

10 6 1 INTRODUÇÃO A estratégia de controle preditivo baseado em modelo, MPC (Model-based Preditive Control), consiste na condução de um problema de controle ótimo em tempo real com um horizonte de predição pré-definido. Tal estratégia foi desenvolvida originalmente na década de 70 por um grupo de pesquisadores da área petroquímica, que tratam tipicamente de processos com dinâmica lenta [1] [2]. Conforme o aumento do poder computacional, a ideia do MPC vem sendo difundida em outros setores da indústria. As principais razões para o aumento de estudos na área são [1] [2]: Facilidade de expansão para o caso MIMO (multiple input multiple output); Tratamento de restrições durante etapa de projeto; Possibilidade de tratar plantas com atraso de transporte; Permite operar perto do limite de restrição, levando assim a operação mais lucrativa. Em um esquema básico de MPC, um modelo matemático do processo é empregado para calcular predições de saída. O algoritmo de otimização do controle consiste na determinação de uma sequência de ações de controle que irá minimizar uma função de custo sujeita a restrições, tipicamente relacionada à entrada ou a saída da planta. O controle é implementado empregando horizonte retrocedente, isto é, apenas o primeiro elemento da sequência de controle ótimo é aplicado à planta, sendo a otimização repetida a cada instante de amostragem. Desse modo, as informações da realimentação são atualizadas. 1.1 HIPÓTESES Este trabalho tem por hipóteses os seguintes itens: Sistemas lineares invariantes no tempo (ou sistemas linearizados em torno de um ponto de equilíbrio); A saída e todos os estados estão disponíveis para realimentação; Caso SISO (Single Input Single Output); O sistema pode estar sujeito a limitações da variação de controle u, excursão do controle u e excursão da saída y; Técnicas de horizonte finito; Não será tratada a análise de factibilidade do problema de otimização e estabilidade da malha de controle. Observação: Um problema de otimização é dito factível se existe solução que satisfaça as restrições consideradas. Tipicamente, objetiva-se a factibilidade recursiva, ou seja, se é

11 7 factível em k 0 = 0, será factível para qualquer k > k 0. Para tal situação é possível avaliar a estabilidade [6]. 1.2 METODOLOGIA No primeiro semestre de trabalho, foram realizadas as seguintes atividades: Estudos de conceitos básicos; Estudo dirigido das técnicas de MPC: DMC, MPHC e MPC aplicado em espaço de estados; Simulação numérica de tais técnicas em um sistema aquecedor e levitador magnético. Conforme a resolução DEE nº 001/2011, a disciplina TCC-II deve conter análises práticas. Dada tal resolução, foi utilizada a mesa didática da Festo MPS-PA presente no Laboratório de Controle de Processos da UDESC, localizado na sala E-33. Tal bancada é mostrada na Figura 1. Figura 1 - Estação Compacta MPS-PA da Festo. Fonte: [4].

12 8 1.3 DIVISÃO DO TRABALHO O presente trabalho será dividido da seguinte forma. O Capítulo 2 descreve a revisão bibliográfica. O Capítulo 3 irá apresentar a discussões sobre as simulações realizadas referente aos métodos DMC, MPHC e MPC aplicado a espaço de estados sem restrições. O Capítulo 4 apresenta o estudo de caso realizado na bancada didática da Festo e o Capítulo 5 apresenta as conclusões e considerações finais.

13 9 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA: MPC 2.1 CONCEITOS BÁSICOS Model-based Preditive Control, conhecido como MPC, é um conjunto de estratégias de controle que têm por objetivo otimizar o comportamento futuro da planta, para uma dada sequência de ações de controle que minimize uma função de custo. As ações de controle futuras são atualizadas à medida que novas observações da saída se tornam disponíveis. A tarefa de otimização do comportamento da planta é repetida a cada período de amostragem, o que se denomina horizonte retrocendente. Conforme citado anteriormente, o comportamento desejado usualmente é traduzido na forma de uma função de custo que pode penalizar tanto ações de controle quanto erros de rastreamento, podendo inclusive considerar o caso multi-objetivo. Um esquema básico do MPC pode ser resumido conforme Figura 2. Figura 2 - Esquema básico MPC. Fonte: Baseado em [1]. O bloco otimizador terá como saída uma sequência ótima de controle resultante da minimização da função de custo restrita, que utiliza o modelo de predição. Tal modelo tem como entrada a variável manipulada da planta e retorna a predição da variável controlada dentro de um horizonte finito. Se o problema de otimização tiver solução, o primeiro termo da sequência ótima é aplicado à planta do sistema.

14 10 Para entender o MPC são necessários alguns conceitos básicos, tais como: horizonte de predição, horizonte de controle e horizonte retrocedente [1] [2]. Horizonte de predição (N) é o quão longe se deseja prever o comportamento da planta. O horizonte de controle (M) é o quão longe será aplicada a ação de controle e está relacionado aos graus de liberdade do problema de otimização. Usualmente M<N, pois com isso é possível diminuir a complexidade do problema de otimização, além de melhor avaliar a ação de controle na saída da planta. O horizonte retrocedente está relacionado com o fato de que se aplica somente o primeiro valor da sequência ótima de controle a cada instante k de maneira a utilizar as informações de realimentação. Os horizontes N e M são ilustrados na Figura 3. Figura 3 - Resumos dos horizontes. Fonte: Baseado em [1]. Resumidamente, os elementos típicos de um MPC são: Função de custo; Modelo de predição; Restrições; Otimizador. Existem várias maneiras de formular o modelo de predição, tais como: o modelo de convolução; função de transferência e modelo no espaço de estados.

15 11 Os principais fatores de sucesso do MPC são: tratamento de restrições, permitindo assim a planta operar em pontos economicamente adequados; e também a aplicabilidade direta em sistemas MIMO [1] [2]. 2.2 DINAMIC MATRIX CONTROL (DMC) A formulação DMC foi uma das primeiras estudadas na área de MPC sendo desenvolvida na década de 70 na indústria de refino de petróleo [1]. Para este método, a equação de predição é formulada a partir de um modelo de convolução com base na resposta ao degrau da planta. Com tal formulação é possível corrigir perturbações de saída constantes. Os próximos tópicos irão tratar da função de custo, estimação de perturbação, dedução da equação de predição e a solução do problema de otimização para tal estratégia de MPC FUNÇÃO DE CUSTO A função de custo, para o caso DMC, é do tipo quadrática. A expressão da função de custo é conforme: J ŷ k + 1 k,, ŷ(k + N k, û k k,, û(k + M 1)) N M = ŷ k + i k y ref k + i 2 + ρ û(k + i 1 k) 2 i=1 i=1 (1) No qual ρ é o peso de controle ajustado pelo projetista e u(k) é o incremento de controle. Os termos ŷ(k+n k) e û(k+m-1 k) são os valores preditos para a saída e controle, respectivamente, e y ref é o sinal de referência. Para facilitar a solução do problema de minimização, tal função de custo pode ser reescrita de forma matricial. De maneira que, Ŷ = ŷ(k + 1 k) ŷ(k + 2 k) ŷ(k + N k) Y ref = y ref (k + 1) y ref (k + 2) y ref (k + N) Û = û(k k) û(k + 1 k) û(k + M 1 k) Substituindo em (1), chega-se à, J Ŷ, Û = Ŷ Y ref T Ŷ Y ref + ρ Û T U (2)

16 12 Em que Ŷ é a matriz de predição, Y ref é a matriz de referência e Û é a matriz das ações de controle futuras. Como Ŷ e Û não são independentes, a relação depende do modelo adotado ESTIMAÇÃO DE PERTURBAÇÃO A formulação DMC prevê a existência de uma perturbação constante na saída da planta, conforme o esquema notado na Figura 4. Figura 4 - Esquema controle com perturbação. Fonte: Baseado em [2]. Baseado no modelo de convolução [1] tem-se, y k = g n u(k n) + d(k) (3) g(n) é a resposta ao degrau da planta, conforme ilustra a Figura 5. n=1 Figura 5 - Reposta ao degrau. Fonte: Baseado em [1]. Assim, é possível obter uma estimativa da perturbação como sendo, d k k = y k g n u(k n) n=1 (4)

17 EQUAÇÃO DE PREDIÇÃO Para obter a equação de predição, faz-se a dedução da equação de predição para um passo a frente e então o caso é estendido para i passos a frente. Assim, pelo modelo de convolução, sabe-se que a saída é dada pela equação (3). Para prever um passo a frente basta fazer k=k+1. Logo, y k + 1 = g n u k + 1 n + d(k + 1) (5) n =1 Como a perturbação é constante então d(k+1)=d(k). Ainda, retirando o primeiro termo do somatório tem-se que, y k + 1 = g 1 u k + g n u k + 1 n n =2 + d(k) (6) (4), Por fim, reescrevendo (6) em termos de valores preditos e substituindo d(k) estimado por ŷ k + 1 k = g 1 û k k + g n u(k + 1 n) + y m (k) g n u(k n) n =2 n=1 (7) Em (7), é imposto que a saída atual pode ser medida através de um sensor, sendo então dada por y m (k). Reunindo-se os dois somatórios em um só, chega-se a equação de predição desejada. ŷ k + 1 k = g 1 û k k + y m k + n=1 g n + 1 g n u(k n) (8) O termo y m k + n =1 g n + 1 g n u(k n) é denominado resposta livre da planta e é representado por f u (k+1). Se o sistema for estável, o somatório da resposta livre da planta pode ser truncado em N s, suficientemente grande, dado que g(n+1)-g(n) 0 quando n. Resumidamente,

18 14 ŷ k + 1 k = g 1 û k k + f u (k + 1) (9) Para obter a predição i passos a frente basta seguir a mesma linha de raciocínio feito anteriormente. E então a equação (9) passa a ser, i ŷ k + i k = g n û(k + i n k) + f u (k + i) (10) n =1 Com f u k + i = y m k + N s n =1 g n + i g n u(k n). Escrevendo em forma matricial, chega-se a equação de predição final do DMC. ŷ(k + 1 k) ŷ(k + 2 k) ŷ(k + N k) = g(1) g(2) g N 0 g(1) g N g(1) û(k k) û(k + 1 k) û(k + N 1 k) + f u (k + 1) f u (k + 2) f u (k + N) (11) Ŷ = G Û + F u (12) Para o caso mais usual, em que M<N, deve-se considerar apenas as primeiras M colunas da matriz G. Nesta mesma situação para k>m, onde k é o tempo de amostragem, a variação da ação de controle será nula e não irá interferir no resultado final. Ŷ = g(1) g(2) g(m) g N 1 g(n) 0 0 g(1) 0 g(m 1) g(1) g(n 2) g(n M) g(n 1) g(n M + 1) û(k k) û(k + 1 k) û(k + M k) û(k + M 1 k) + F u (13) Retornando ao mesmo formato da equação (12) RESOLUÇÃO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Definido o modelo da equação de predição é possível resolver o problema de otimização, ou seja, minimizar a função de custo. Para este caso, substituindo (12) em (2), chega-se a função a ser minimizada, que penaliza a variação da ação de controle.

19 15 J = 1 2 ÛT G U + f T Û + c (14) onde, G = 2 G T G + ρi, f = 2G T F u Y ref e c = F u Y ref T (F u Y ref ) (15) A resolução do problema de otimização, dado pela equação (14), se dá através da minimização do mesmo. Para determinar o ponto mínimo da equação (14) é utilizado o critério da primeira derivada para determinação dos extremos, e para averiguar se este é mesmo um ponto de mínimo é utilizado o critério da segunda derivada [1]. Para ρ > 0, G é definida positiva e simétrica. Neste caso é possível provar que a sequência ótima de controle existe e é dada por [8]: Û = G T G + ρi 1 G T (Y ref F u ) (16) Conforme horizonte retrocedente, será aplicado somente o primeiro valor desta sequência. 2.3 MODEL PREDICTIVE HEURISTIC CONTROL (MPHC) O modelo MPHC segue a mesma linha de raciocínio do DMC. Porém, nesta formulação é usada a resposta ao impulso e a função quadrática irá penalizar apenas os erros de rastreamento futuros. Os próximos tópicos irão tratar da estimação de perturbação, dedução da equação de predição, suavização da referência e a solução do problema de otimização ESTIMAÇÃO DE PERTURBAÇÃO A estimação da perturbação para o caso MPHC é similar à seção 2.2.2, porém no lugar da resposta ao degrau é usada a resposta ao impulso, de maneira que a estimação da perturbação é dada por: d k k = y m k n u(k n) n =1 Onde h(n) é a resposta ao impulso da planta. (17)

20 EQUAÇÃO DE PREDIÇÃO Para deduzir a equação de predição, basta expandir o modelo de convolução até N passos como foi feito para o caso DMC. Sendo assim, a equação de predição será a equação (10) modificada para os termos do MPHC. i y k + i k = n û(k + i n k) + f u (k + i) (18) n=1 Com resposta livre, f u k + i y m k + N s n=1 n + i n u(k n) (19) Reescrevendo a equação (18) em forma matricial. y(k + 1 k) y(k + 2 k) y(k + N k) = (1) (2) (N) 0 (1) N (1) û(k k) û(k + 1 k) û(k + N 1 k) + f u (k + 1) f u (k + 2) f u (k + N) (20) A equação de predição será dada pela equação (21), valendo notar que o modelo de predição esta em termos de Û. Y = HÛ + F u (21) PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Como o esforço de controle não é penalizado na função de custo, a solução pode envolver controles de magnitude excessivamente elevada. Para contornar tal problema, uma possível solução é utilizar uma trajetória da referência suavizada. Neste contexto o problema a ser minimizado a todo instante é dado por: min J(Y, Û) = Y W ref T (Y W ref ) (22) sujeito a equação (21) e W ref é a referência suavizada. A referência suavizada é determinada de maneira que,

21 17 w k = y(k) (23) w k + i = 1 α w k + i 1 + αy ref, i = 1,, N (24) W ref = w ref w ref w ref (25) com α [0,1]. A solução da minimização é uma sequência ótima de controle, na qual novamente será aplicado o horizonte retrocedente. Û = H T H 1 H T (W ref F u ) (26) U = H T H 1 H T (W ref F u ) (27) 2.4 ESPAÇO DE ESTADOS Neste tópico será formulado a equação de predição no modelo de espaço de estados, abordando o caso SISO. Seja o seguinte sistema linear invariante no tempo: x t = A c x t + B c u(t) (28) y t = C c x(t) (29) A partir da solução da equação de estados é possível determinar o modelo de espaço de estados discreto, conforme: x t = e A c t t o x t o + t e A c t τ B c u(τ)dτ (30) t o Mudando os limitantes da integral, t o =kt e t=(k+1)t, onde T é o período de amostragem. x k + 1 T = e A ct x kt + k+1 T e A c T(k+1) τ B c u(τ)dτ kt (31)

22 18 Considerando que u(τ) é constante entre os períodos de amostragem, ou seja um segurador de ordem zero, tal termo pode ser retirado da integral. Fazendo k + 1 T τ = ξ na equação (31), tem-se que: x k + 1 T = e A ct x kt + T e Acξ B c dξ 0 u(kt) (32) Denotando x(kt) e u(kt) simplesmente por x(k) e u(k): x k + 1 = Ax k + Bu(k) (33) Onde, B = A = e A ct (34) T e Acξ B c dξ 0 (35) O problema de otimização será o mesmo da equação (14), porém a definição das matrizes da equação (15) será modificada conforme descrito no próximo item FORMULAÇÃO SISO SEM RESTRIÇÕES Para formular a equação de predição, primeiro é necessário escrever o modelo em espaço de estados em termos de valores preditos, supondo x(k) conhecido. x k + 1 k = Ax k + Bû(k k) (36) y k + 1 k = Cx k + 1 k = CAx k + CBû(k k) (37) É possível expandir a equação de estados até N passos, como feito para o caso DMC, a fim de obter a equação de predição. x k + 2 k = Ax k + 1 k + Bû k + 1 k = A 2 x k + ABû k k + Bû(k + 1 k) (38) Para k=3. x k + 3 k = A 3 x k + A 3 Bû k k + ABû k + 1 k + Bû(k + 2 k) (39) Portanto, para N passos.

23 19 x k + N k = A N x k + A N 1 Bû k k + A N 2 Bû k + 1 k + + ABû k + N 2 k + Bû(k + N 1 k) (40) Para encontrar a equação de predição no modelo de espaço de estados basta multiplicar a equação (40) pela matriz C. y k + N k = CA N x k + CA N 1 Bû k k + CA N 2 Bû k + 1 k + + CABû k + N 2 k + CBû(k + N 1 k) (41) A equação (41) pode ser reescrita matricialmente, de forma que fique no formato da equação (21). Tal como: y(k + 1 k) y(k + 2 k) y(k + N k) = CB CAB CA N 1 B 0 CB CA N 2 B 0 0 CB û(k k) û(k + 1 k) û(k + N 1 k) + CA CA 2 x(k) (42) CA N Onde a resposta livre do sistema é dada por, F u = CA CA 2 x k = u x(k) (43) CA N Esta formulação não garante erro de regime permanente nulo na presença de perturbações de saída. Para contornar tal inconveniência é possível expandir o estado da equação (36). A partir da equação (36) e sabendo que x k = x k x(k 1), tem-se que: x k + 1 = A x k + B u(k) (49) Expandindo o vetor de estados, ξ k = x(k) y(k) Portanto a equação de estado será da forma, (50)

24 20 ξ k + 1 = x(k + 1) y(k + 1) = A x k + B u(k) Cx(k + 1) (51) Sabendo que a equação de saída é dada por, Cx k + 1 = C x k + x(k + 1) = Cx k + C x k + 1 = y k + CA x k + CB u(k) (52) Então a partir das equações (51) e (52) o modelo de espaço de estados incremental é obtido. Resumindo: Onde: ξ k + 1 = Ãξ k + B u(k) (53) y k = Cξ(k) (54) Ã = A 0 n CA 1, B = B CB e C = 0 n T 1 (55) A equação de predição continua sendo válida. Vale notar que este último modelo de equação de predição não depende das ações de controle passadas e permite erro de regime permanente nulo caso o sistema esteja sujeito a perturbações constantes de saída, assemelhando-se ao DMC. O calculo da sequência ótima de controle é da mesma forma apresentada no caso DMC, chegando à esquação (16) 2.5 FORMULAÇÃO SISO COM RESTRIÇÕES Existem três tipos de restrições básicas que serão consideradas, sendo elas: Variação da ação de controle; Excursão de controle; Excursão da saída. É importante salientar que todas essas restrições podem ser expressas em função da variação da ação de controle RESTRIÇÕES SOBRE A VARIAÇÃO DA AÇÃO DE CONTROLE A variação de controle estará em um intervalo que compreende um valor máximo e um valor mínimo. u min û k + i 1 k u max, i = 1,2,, M (56)

25 21 Com u min, u max R. Vale ressaltar que os valores de u min e u max são limites para a variação do controle por período de amostragem. Matricialmente, Reescrevendo, u min û(k k) û(k + 1 k) û(k + M 1 k) u max (57) 1 M u min Û 1 M u max (58) Separando a equação (58) em duas desigualdades, tem-se a restrição escrita em função da variação de controle. Û 1 M u max (59) Û 1 M u min (60) Matricialmente: I M Û 1 M u max I M 2M M 1 M u min 2M 1 (61) RESTRIÇÕES SOBRE A EXCURSÃO DO CONTROLE A restrição é dada por: u min û k + i 1 k u max, i = 1,2,, M (62) Com u min, u max R. Se o modelo tiver sido linearizado em torno de um ponto ū para o controle, os limites u max e u min estarão se referindo a diferenças com respeito a ū. Na forma matricial: 1 M u min Û 1 M u max (63) A restrição deve ser escrita em função de Û, portanto será deduzida uma equação que relacione Û e Û. Sabendo que û k k = û k k u(k 1), tem-se: û k k = u k 1 + û(k k) (64) û k + 1 k = u k + û k + 1 k = u k 1 + û k k + û(k + 1 k) (65)

26 22 û k + M 1 k = u k 1 + û k k + + û(k + M 1 k) (66) Matricialmente: û(k k) û(k + 1 k) û(k + M 1 k) = u(k 1) u(k 1) u(k 1) + û(k k) û k k + û(k + 1 k) û k k + û k + 1 k + + û(k + M 1 k) (67) A equação (67) pode ser escrita na forma: Û Mx 1 = 1 M u(k 1) û(k k) û(k + 1 k) û(k + M 1 k) (68) Portanto: Û = 1 M u(k 1) + T M Û (69) Substituindo a equação (69) em (63), tem-se: 1 M u min 1 M u(k 1) + T M Û 1 M u max (70) Reorganizando a equação (70), chega-se a: 1 M u min u(k 1) T M Û 1 M u max u(k 1) (71) Separando a equação (71) em duas desigualdades, tem-se a restrição escrita em função da variação de controle. T M Û 1 M u max u(k 1) (72) T M Û 1 M u k 1 u min (73) Matricialmente: T M Û 1 M u max u(k 1) T (74) M 2M M 1 M u k 1 u min 2M RESTRIÇÕES SOBRE A EXCURSÃO DA SAÍDA A restrição é dada por:

27 23 y min y k + i k y max, i = 1,2,, N (75) Se o modelo tiver sido linearizado em torno de um ponto y para a saída, os limites y max e y min estarão se referindo a diferenças com respeito à y. Na forma matricial: 1 N y min Y 1 N y max (76) Como a restrição deve ser escrita em função de Û, substituindo a equação (12) em (76), chega-se a: 1 N y min G Û + F 1 N y max (77) 1 N y min F G Û 1 N y max F (78) Separando a equação (78) em duas desigualdades, chega-se a restrição na forma matricial: G Û 1 Ny max F G 2N M F 1 N y min 2M 1 (79) RESUMO DAS RESTRIÇÕES É possível escrever todas as restrições em uma só equação. Reunindo as equações (61), (74) e (79), tem-se: I pm I pm u max N u min N I T p M u Û max u(k 1) (80) I T p u k 1 u min M y G max N F F y G min N A minimização do problema de otimização, dado pela equação (14) sujeita à equação (12) com restrições dadas pela equação (80) é um problema de programação quadrática [2] PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA O problema de otimização na presença de restrições pode ser resolvido utilizando programação quadrática. Para este trabalho será utilizado o comando quadprog do Matlab. Este comando encontra um mínimo para um problema formulado da seguinte forma: Sujeito a: 1 min x 2 xt Hx + f T x (81)

28 24 Ax b (82) Onde H, A são matrizes e f, b e x são vetores. Para o caso DMC: x = Û; H = 2(G T G + ρi); f = 2G T (F Y ref ); I pm I pm A = T M I p I T p M G G ; b = u max N u min N u max u(k 1) u k 1 u min y max N F F y min N. Sendo assim o comando retorna um vetor com as ações de controle desejadas e então é aplicado o horizonte retrocedente, ou seja, aplica-se a primeira ação ótima de tal sequência.

29 25 3 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Os próximos tópicos irão discutir algumas simulações numéricas feitas para o caso DMC, MPHC e MPC em espaço de estado sem restrições. 3.1 AQUECEDOR DE ÁGUA Considere um aquecedor mostrado na Figura 6, no qual a água é aquecida por um sistema baseado em gás. A temperatura de saída depende da energia adicionada à água através do aquecedor a gás. Portanto esta temperatura pode ser controlada pela válvula que manipula o fluxo de gás para o aquecedor [1]. Figura 6 - Esquema aquecedor de água. Fonte: Baseado em: [1]. Este sistema será considerado para as técnicas DMC e MPHC. Considerando a função de transferência da planta conforme [1]: H s = 0,3 s + 0,2 e 2s (83) DMC A simulação deve seguir o seguinte fluxograma:

30 26 Figura 7 - Fluxograma controle DMC. A partir de tal fluxograma é possível criar o controlador DMC em Matlab e ambiente Simulink. O modelo g(n) é obtido pela resposta de tal sistema para uma entrada do tipo degrau unitário com T=1s, conforme mostra a Figura 8. É válido notar que o sistema chega ao seu valor estável em 30s, caso N fosse maior que 30 o sistema seria truncado em N s =30 e os últimos valores do modelo de resposta ao degrau seriam os mesmos.

31 27 Figura 8 - Resposta ao degrau unitário do aquecedor. Os parâmetros do controlador foram ajustados empiricamente em: ρ = 0,58, N = 28 e M = 8 [8]. Para uma dada referência constante e igual a um, o resultado da planta controlada é mostrada na Figura 9. Figura 9 - Malha controlada com DMC. Fonte: Próprio autor A ação de controle está ilustrada na Figura 10.

32 28 Figura 10 - Ação de controle DMC. Nota-se que a ação de controle permanece constante assim que o sistema chega à referência desejada, isto é importante, pois mostra que u 0 fazendo a resposta livre ser igual a referência desejada e consequentemente a saída chega à referência conforme em (12). Ainda é possível analisar a influência dos horizontes no comportamento da malha de controle. A Figura 11 mostra a influência da variação do horizonte de predição para um horizonte de controle constante igual a 5. Figura 11 - Variação do horizonte de predição.

33 29 Vale notar que, salvo a distorção inicial, conforme o horizonte de predição vai diminuindo a resposta da malha de controle tende a ficar mais lenta. Isto ocorre devido ao controlador não conseguir prever o comportamento da planta tão longe. Já a Figura 12 mostra a influência da variação do horizonte de controle enquanto o horizonte de predição se mantêm constante em 28. Figura 12 - Variação do horizonte de controle. Conforme o horizonte de controle diminui, o grau de liberdade da malha de controle também reduz. Com isso, o desempenho da malha de controle reduz. Entretanto é válido notar que um maior valor de M acarreta em maior complexidade da malha de controle MPHC O fluxograma da Figura 7 também é válido para o MPHC, porém deve ser utilizada a resposta ao impulso ao invés da resposta ao degrau e determina-se diretamente u(k). A informação requerida da planta será a resposta ao impulso e serão calculadas ações de controle ao invés de incrementos da ação de controle conforme discutido no item 2.3. Ajustando os parâmetros T=1s, N=30 e M=1 [8], a resposta da malha de controle está ilustrada na Figura 13. Neste caso não foi utilizada uma referência suavizada, logo α=1 em (24).

34 30 Figura 13 - Malha controlada com MPHC. A ação de controle está ilustrada na Figura 14. Figura 14 Ação de controle MPHC. A resposta da malha de controle possui um erro de regime permanente de 0,05ºC. Tal fato ocorre pela não inclusão de uma ação integrativa em uma planta tipo 0. De fato, neste caso a

35 31 ação de controle tende a 0,63V. Se esse valor fosse considerado na função de custo, o somatório seria infinito. 3.2 LEVITADOR MAGNÉTICO O Levitador Magnético é uma tecnologia recente que possui uma ampla área de aplicações. Dentre as mais comuns, pode ser utilizado em bombas de sangue de corações artificiais, micro robôs e principalmente em sistemas de transporte de alta velocidade conhecido como MAGLEV [3]. Porém, para viabilizar estas aplicações, é necessário um sistema de controle preciso, que mantenha a levitação constante e livre de perturbações. Para isto, será estudado um levitador magnético simples ilustrado na Figura 15. Figura 15 - (a) Feedback Magnetic Levitation System.(b) Componentes do sistema de controle. Fonte: [3]. Do ponto de vista de engenharia de controle, sistemas de levitação magnética são desafiadores devido: ao seu comportamento não linear, possuir um coeficiente de amortecimento muito pequeno e as especificações de posição extremamente rigorosas [3] MPC APLICADO A ESPAÇO DE ESTADOS A simulação deve seguir o seguinte fluxograma:

36 32 Figura 16 - Fluxograma esquema MPC em Espaço de Estados. Informações requeridas sobre a planta: Matrizes A, B, C do modelo no espaço de estados Calcular a resposta livre conforme (43). Escolha dos parâmetros de projeto: Peso de controle (ρ); Horizonte de predição (N); Horizonte de controle (M). Calcular o incremento no controle conforme (16). Inicialização: Montar as matriz G conforme (42); Calcular o ganho KDMC aplicando o primeiro valor de (16); Montar o vetor de referência Yref; Fazer k=0; Atualizar o controle aplicado a planta usando horizonte retrocedente. Fazer k=k+1. Ler a saída da planta (ym). Fazer vetor de estados aumentado conforme (50) A dedução do modelo não linear pode ser encontrada em [3]. O resultado final da variável de controle u requerida para manter o sistema em um ponto de equilíbrio x = y, 0 T é dado por [3]: u = 1 ρ y y 0 γ mg K i 0 (84) Utilizando expansão de Taylor em torno do ponto de equilíbrio u, y, um modelo linearizado pode ser escrito como:

37 33 x = 0 1 α 0 x + 0 β u (85) Onde α = 2γg(y y 0 ) 1 e β = 2ργ 2 (y y 0 ) 1 m 1 Kg. Os seguintes valores para os parâmetros do modelo foram determinadas experimentalmente em [3]: m = kg, g = 9,8 m s 2, y 0 = 7.47V, γ = 328 V m, i 0 = 0.514A, ρ = A V, K = Nm 2 A 2. A planta é então discretizada considerando um segurador de ordem zero. Por ser um sistema instável, para que o mesmo siga uma referência do tipo degrau sem erro de regime permanente é necessário considerar a ação integral. Logo o vetor de estados é expandido conforme (50). A reposta da malha de controle resultante para uma entrada do tipo degrau com amplitude de 0,5V esta mostrada na Figura 17 com T=1s, N=20, M=5 e ρ=1. Figura 17 - Resposta do sistema. Para investigar a influência do horizonte de predição N sobre a planta, será fixado um custo de controle em ρ=1, e o horizonte de controle será fixo com M=5 e serão atribuídos alguns valores a N. A Figura 18 apresenta o resultado para uma entrada tipo degrau com 0,5V de amplitude.

38 34 Figura 18 - Variações do horizonte de predição. Como pode ser notado conforme o horizonte de predição diminui o amortecimento da malha de controle tende a diminuir. Com base neste resultado será adotado um N=20, pois apresenta um bom resultado entre velocidade de resposta e de amortecimento. Para obter a influência do horizonte de controle, basta fixar o horizonte de predição em N =20 e variar o horizonte de controle M. A Figura 19 descreve esta variação. Figura 19 - Variação do horizonte de controle.

39 35 O gráfico mostra que a redução no horizonte de controle não traz benefícios à planta, tornando-a mais lenta, portanto é adotado M=5.

40 36 4 ESTUDO DE CASO: CONTROLE DO PROCESSO DE VAZÃO DA BANCADA MPS-PA ESTAÇÃO COMPACTA FESTO Nesta etapa do trabalho será feita a aplicação da técnica DMC para controle do processo de vazão da mesa didática da Festo presente no Laboratório de Controle de Processos da UDESC, localizado na sala E-33. O diagrama do processo de vazão está representado na Figura 20. O controle de vazão terá como atuador o modo analógico da bomba. O fluxo de água irá da bomba P101 para a vávula V104. A leitura da vazão será dada pelo sensor de vazão B102. Figura 20 - Processo de vazão. Fonte: [7]. A mesa didática da Festo pode ser acionada de várias formas. Para este trabalho foi utilizado o software Matlab com auxílio do OPC (Object linking and embedding for Process Control) toolbox e Simulink. Através deste toolbox é possível acionar as saídas e fazer a aquisição de dados do processo. É possível conectar a bancada didática da Festo com o computador através do OPC toolbox. Esta ferramenta fornece conexão com os servidores OPC-DA (Data Access) e OPC- HDA (Historical Data Access) através de comunicação serial permitindo acesso ao histórico aos dados via Matlab e Simulink. Através do OPC-DA é possível fazer a leitura dos sensores e aquisição de dados dos atuadores. O OPC-HDA permite o acesso do histórico dos dados.

41 37 Para que haja comunicação entre o computador e o Simulink é necessário utilizar três blocos. São eles: OPC configuration: este bloco serve para configurar a conexão da mesa didática da Festo com o Simulink; OPC write: este bloco serve para escrever nas entradas dos atuadores da mesa didática; OPC read: este bloco serve para fazer a leitura das saídas da mesa didática. Os sinais analógicos de entrada são representados por números de 16 bits, que variam de 0 a Foi criado um bloco subsystem que representará o processo de vazão e será utilizado no programa que fará o controle da planta. O subsystem está representado na Figura 21. Figura 21 - Subsystem que representa a planta. Através deste subsystem também é possível fazer a leitura do nível do tanque. As constantes utilizadas servem para normalizar todos os valores analógicos da Figura 21. Os valores de entrada da bomba variam de 0 a 10V e o de nível e vazão são normalizados entre 0 e 10 com as unidades apropriadas.

42 DMC Para o projeto do controlador DMC é necessário obter a resposta ao degrau do processo. Para isso, foi utilizado o aplicativo FluidLab que permite a leitura dos sensores e controlar a bomba. Sendo assim foi aplicado um degrau com valor de 5V e esperado o sistema estabilizar. Assim que o sistema estabilizou o valor do atuador foi alterado para 6V e novamente foi esperado o sistema estabilizar, como mostra a Figura 22. Figura 22 - Dados do FluidLab. O objetivo é fazer o projeto do controlador em torno de um ponto de operação, para este caso ao redor de V = 5V e Q = 1,9L/min. Portanto é preciso tratar os dados para obter a resposta ao degrau normalizada, mostrada na Figura 23. Tal resposta ao degrau normalizada possui um nível elevado de ruído devido ao sensor de vazão. Para investigar a influência do ruído sobre o comportamento do controlador foi obtido uma função de transferência, equação (86), com auxílio do toolbox System Identification do Matlab onde é obtido 55,85% de precisão comparada com os dados reais. A reposta ao degrau obtida através da função de transferência (86) também está ilustrada na Figura 23. G(s) = 0, ,34779s (86)

43 39 Figura 23 Resposta ao degrau retirada pela função de transferência e a obtida pelo FluidLab. A malha de controle utilizada está ilustrada na Figura 24. Figura 24 Malha de controle. Usando os gráficos da Figura 23 como modelo para a malha de controle DMC mostrada na Figura 24 e utilizando como parâmetros N=20, M=5, ρ=1 e T=0,1s e tendo como referência 2L/min, chega-se ao resultado mostrado nas Figuras 25 (a) e (b).

44 40 Figura 25 - Resultado controlador DMC: (a) usando a saída normalizada (b) usando a resposta da função de transferência. (a) (b) As Figuras 26 (a) e (b) mostra a ação de controle para gerar a resposta do sistema.

45 41 Figura 26 - Ação de controle: (a) usando a saída normalizada (b) usando a resposta da função de transferência. (a) (b) Comparando as Figuras 25 (a) e (b) chega-se a conclusão que usando como modelo para o controlador DMC a função de transferência demonstra um melhor comportamento do que usando a saída normalizada, chegando a acomodar a planta quatro vezes mais rápido. O atraso presente na Figura 25 (a) pode ser decorrente da presença de uma não linearidade chamada

46 42 zona morta presente na bomba utilizada na mesa didática da Festo, que será investigado mais adiante. Analisando a Figura 26, a ação de controle converge para o mesmo valor, porém quando é usado modelo da função de transferência a ação de controle é mais brusca e leva a saída mais rapidamente do que quando usado a saída normalizada como modelo. Portanto para as próximas simulações será utilizada como modelo para o DMC a reposta ao degrau calculado através da função de transferência INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS NO CONTROLADOR DMC Para o controlador DMC existem três variáveis que podem ser alteradas para obter um melhor comportamento da malha são eles: horizonte de predição, horizonte de controle e o peso da ação de controle. Sendo assim, será feita uma análise da influência destes parâmetros na saída da malha. Para as simulações a seguir foi utilizado um período de amostragem de T=0,1s e uma referência de 2L/min iniciando em T=1s. Se variarmos o ρ entre 15 e 25 e mantendo N=10 e M=5 com valores constantes, chega-se ao resultado mostrado na Figura 27. Figura 27 - Variação do peso de controle. Como pode ser observado através da Figura 27, conforme maior o valor do peso de controle mais o sistema se comporta como um sistema de primeira ordem. Isso ocorre por que conforme o aumento do valor de ρ maior será a penalização sobre a ação de controle, não

47 43 permitindo que haja variações elevadas e consequentemente levando o sistema mais lentamente para referência. Para o caso em que são mantidos os valores de ρ=20 e M=5 constantes e é variado o valor de N, são obtidas as respostas ilustradas na Figura 28. Figura 28 - Variação no horizonte de predição. Conforme o aumento do valor do horizonte de predição o sistema tenderá a ter um maior valor de ultrapassagem e seu comportamento tenderá a ter um comportamento de um sistema de segunda ordem, pois quanto maior o valor de N mais longe se deseja prever. Quanto mais longe for essa previsão, mais rápida será a resposta do sistema para chegar à referência fazendo com que ação de controle seja elevada por isso ocorre uma ultrapassagem do sistema. Por fim variando o valor de M e mantendo constantes as demais variáveis ρ=20 e N=30 é obtida a Figura 29.

48 44 Figura 29 - Variação do horizonte de controle. Conforme mostrado através da Figura 29 a alteração do parâmetro do horizonte de controle não mostra nenhuma alteração significativa para ao sistema. Então, através de tais simulações chegou-se a conclusão que para os valores ρ=20, N=10 e M=5 havia um comportamento adequado da malha de controle ACOMODAÇÃO DE PERTURBAÇÕES Como citado anteriormente, com a formulação do controlador DMC é possível acomodar perturbações constantes. Para fazer a verificação de tal característica inicialmente será deixada a válvula V104 totalmente aberta até que o sistema estabilize, assim que a referência foi atingida a válvula V104 será levemente fechada. O resultado obtido está ilustrado na Figura 30. Quando a válvula foi levemente fechada é natural que o fluxo de água diminua, logo a medição de vazão fica abaixo do valor esperado. Portanto para o sistema voltar à referência desejada, o valor da ação de controle deve aumentar, conforme é ilustrado na Figura 31. O único cuidado a ser tomado é de que não seja fechada quase que completamente a válvula, pois caso isso ocorra o valor de ação de controle irá saturar e a referência poderá não ser obtida.

49 45 Figura 30 - Vazão de saída com ocorrência de perturbações. Figura 31 - Ação de controle com ocorrência de perturbações. Ainda no contexto de perturbações, a estratégia aplicada mostrada na Figura 24, não considera a normalização ao redor do ponto de equilíbrio. A configuração que melhor representa a normalização (linearização) ao redor do ponto de equilíbrio é mostrada na Figura 32.

50 46 Figura 32 Malha de controle normalizado. Já que o modelo normalizado relaciona Q e V. Ainda, a planta deve estar a priori no ponto de equilíbrio. Entretanto, é válido notar que as entradas V, Q e a condição inicial comportam-se como perturbações constantes [9], sendo acomodadas pelo DMC. Logo, ao desprezá-las não há prejuízo no valor em regime permanente e reduz a complexidade de implementação da malha de controle. O fato de não utilizar este modelo pode ter sido o motivo da inclusão de uma não linearidade chamada zona morta no sistema. Já que neste modelo a ação de controle começa com valores mais elevados eliminando a zona morta FILTRO DE REALIMENTAÇÃO Uma das entradas do controlador DMC é o valor medido de vazão, o qual apresenta um ruído de alta frequência. Portanto será implementado um filtro passa baixa de primeira ordem na realimentação da malha de controle. O objetivo é verificar a influência do filtro sobre a planta ou se o controlador DMC já possui a característica de filtragem. O projeto do filtro será baseado no diagrama de Bode. Um filtro de primeira ordem possui o diagrama de Bode mostrado na Figura 33. Figura 33 - Diagrama de Bode filtro passa baixa.

51 47 Fonte: [5]. A função de transferência para o filtro é apresentada na equação (87). T s = a 0 s + ω 0 (87) O ganho do filtro deve ser unitário, pois não é desejado que ocorra ganho em baixas freqüências. Portanto o ganho a 0 deve ser igual à frequência de corte ω 0. A freqüência de corte do filtro deve ser escolhida adequadamente para que não altere a dinâmica da planta. Esta freqüência não deve ser muito pequena a ponto de alterar o transiente da planta e nem muito alto para que não altere a reposta em regime permanente. Pela análise do transiente do sinal de vazão é determinado o valor de freqüência mínima para a planta, ou seja, foi analisado quanto tempo se leva para chegar ao valor em regime permanente. Para este caso, a freqüência mínima do filtro é de 0,1Hz. Devido ao decaimento de 20dB/década a freqüência máxima pode ser escolhida como sendo uma década a mais que a freqüência mínima logo, a freqüência máxima é de 1Hz. Através de alguns testes com a planta chegou-se a conclusão que ω 0 = 0,9rad/s seria adequado. Portanto a equação do filtro é: T s = 0,9 s + 0,9 (88) A saída mostrada na Figura 25 (b) filtrada é ilustrada na Figura 34. Figura 34 Saída filtrada.

52 48 Quando é adicionado o filtro, o controlador passa a perceber a malha de controle como um sistema de segunda ordem, onde a planta está em série com o filtro. Por isso é necessário recalcular o modelo da planta, o que resulta em uma resposta ao degrau de segunda ordem criticamente amortecido. Usando como parâmetros N=10, M=5, ρ=20 e T=0,1s será analisada a influência do filtro sobre a malha de controle. A Figura 35 (a) e (b) ilustram a saída da malha de controle sem filtro e com filtro respectivamente. Figura 35 Reposta da malha de controle: (a) sem utilização de filtro e (b) com utilização de filtro. (a)

53 49 (b) Vale notar que o tempo de assentamento de ambas as situações é próximo, entre 10s e 20s. Porém, quanto à saída, o overshoot cai de 35% para um de 20%, isso é uma vantagem, pois não sobrecarrega o sistema. A Figura 36 (a) e (b) ilustram o comportamento da ação de controle sem e com filtro respectivamente. Figura 36 Ação de controle: (a) sem utilização de filtro e (b) com utilização de filtro.

54 50 (a) (b) Apesar de o valor em regime permanente ser o mesmo, o filtro torna a ação de controle mais suave e com menos oscilações. O máximo valor de ação de controle sem filtro é de 5,5V e com filtro é de 4,5V. Portanto mesmo que o controlador DMC atue como um filtro e rastreie a referência desejada, ele acaba exigindo mais do atuador inicialmente. Já quando adicionado o filtro, o sistema atinge a referência mais suavemente e a ação de controle é menos exigida, evitando assim esforços sobre a bomba. Para as próximas etapas será adotado o filtro de realimentação TRATAMENTO ZONA MORTA ATRAVÉS DA RESTRIÇÃO SOBRE A AÇÃO DE CONTROLE Quando foi feita a análise sobre qual seria o modelo utilizado no controlador DMC, foi obtido como resultado a Figura 25 (a) e (b). Em ambas as respostas a saída apresenta um atraso. Tal atraso é maior na Figura 25 (a) no qual é utilizada a reposta normalizada. Em tal caso a ação de controle se mostrou mais suave com valores iniciais menores, conforme Figura 26 (a). Este atraso ocorre devido à bomba de água possuir uma zona morta, ou seja, para alguns valores de tensão a bomba não supera a ação da gravidade e consequentemente não se tem vazão. A Figura 37 ilustra o ensaio feito na mesa didática da Festo a fim de ilustrar a zona morta.

55 51 Figura 37 Zona morta. O ensaio foi realizado em malha aberta utilizando um passo de 0,25V para a tensão na bomba e sendo anotados os valores de vazão para cada tensão. Analisando a Figura 37, fica evidente que o intervalo entre 0 e 2,25V ocorre a zona morta justificando assim o atraso na Figura 25. Portanto será realizado novamente o ensaio da Figura 25 aplicando uma restrição sobre a ação de controle a fim de eliminar a influência da zona morta. Quando é utilizada uma restrição na malha de controle deve-se determinar o valor mínimo e o valor máximo para a ação de controle. Deste modo como é desejado eliminar a zona morta a restrição é dada por: 2,5V u 10V (89) Utilizando a saída normalizada, a restrição de ação de controle e como parâmetros N=10, M=5 e ρ=20 a resposta da malha de controle é ilustrada na Figura 38.

56 52 Figura 38 - Saída da malha de controle utilizando restrição sobre u: (a) usando a saída normalizada e (b) usando a resposta da função de transferência. (a) (b) Como é possível de perceber o atraso que era evidente na Figura 25 (a) foi removido do sistema, porém ainda assim o sistema chega à referência mais rapidamente quando é utilizada como modelo a função de transferência.

57 53 A ação de controle está ilustrada na Figura 39. Figura 39 Ação de controle quando é utilizado restrição sobre a ação de controle: (a) usando a saída normalizada e (b) usando a resposta da função de transferência. (a) (b) Quando é utilizada a restrição, o valor inicial da ação de controle é o valor mínimo que para este caso é 2,5V. A ação de controle em regime permanente possui valor aproximado ao

58 54 da Figura 26 (a) e (b). Porém comparando a Figura 26 (b) com a Figura 39 (b) houve um aumento do valor máximo da tensão. Mas ainda assim o modelo obtido pela função de transferência leva a malha de controle mais rapidamente para a referência. Portanto através da formulação da restrição sobre a ação de controle foi possível eliminar a zona morta permitindo que a reposta da malha de controle não tenha atrasos e alcance a referência mais rapidamente INCERTEZA DE GANHO Nesta seção será simulada uma falha no sistema. Através da formulação de restrições será simulada uma incerteza no ganho da bomba. A simulação a ser realizada é a perda de potência da bomba, ou seja, o valor aplicado a planta será multiplicado por um fator que fará com que a tensão aplicada seja menor que o valor calculado. Desta forma será considerada uma faixa de valores de tensão na qual a restrição mínima e máxima poderá variar, ou seja, a restrição terá uma faixa de tolerância. Essa faixa é dada por ε min K, ε max K, onde K é o ganho [10]. É possível verificar que, ao empregar uma sequência de controle que respeite as restrições para valores extremos dessa faixa de ganhos, as restrições também serão respeitadas para valores intermediários [1]. Sendo assim é necessário refazer a dedução da restrição sobre ação de controle considerando a incerteza ε, a partir de (70) tem-se: 1 M u min ε (1 M u(k 1) + T M Û) 1 M u max (90) Multiplicando a incerteza termo a termo e reorganizando a equação (71), chega-se a: 1 M u min ε u(k 1) ε T M Û 1 M u max ε u(k 1) (91) Sendo assim haverá uma restrição para a faixa de ganho adotado, modificando a restrição usada em (74). Logo, ε min T M ε max T M ε min T M ε max T M Û 1 M u max ε min u(k 1) 1 M u max ε max u(k 1) 1 M ε min u k 1 u min 1 M ε max u k 1 u min O objetivo é realizar a simulação de perda de potência, portanto os valores adotados para tal simulação são ε min = 0,9 e ε max = 1. Para simular a perda de potência da bomba foi considerado que a bomba estava operando a 90% do seu valor nominal. Os parâmetros do controlador são N=10, M=5, ρ=20 e T=0,1s. A (92)