Estacas sob acções horizontais estáticas

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1 Mestrado em Engenharia de Estruturas Fundações de Estruturas Estacas sob acções horizontais estáticas Jaime A. Santos (IST) Estacas sob acções horizontais Mecanismos de rotura

2 Estacas sob acções horizontais Mecanismos de rotura Fenda de tracção na zona posterior da estaca Cunha de rotura na zona frontal da estaca Mecanismos de rotura Estacas curtas rotura por insuficiente resistência do terreno H e H L Rotação L

3 Mecanismos de rotura Estacas longas rotura por flexão da estaca H e H Fractura Fractura L L Método de Broms Estacas curtas em solos incoerentes (areias) H u e B Reacção do solo DMF H Mmáx L L P 3BγLKp Mmáx 3BγLKp topo livre topo restringido (rotação nula)

4 Método de Broms Estacas curtas em solos incoerentes (areias) 3 H/K γ B u p topo restringido 2 H = 1.5K γbl u p topo livre e/l= K pγbl Hu = e + L L/B Método de Broms Estacas longas em solos incoerentes (areias) H u e Reacção do solo f DMF H u f M u M u L L M u topo livre topo restringido (rotação nula)

5 Método de Broms Estacas longas em solos incoerentes (areias) H/K γ B u p M u = topo restringido e/b=0 1 H u f topo livre M/KγB u p 4 2 Mu = Hu e + f 3 f = Hu 1.5γBK p Método de Broms Foram também desenvolvidas equações simples e ábacos para: estacas curtas em solos coesivos estacas longas em solos coesivos

6 Modelo meio contínuo versus modelo meio discreto p y M p 1/r y Modelos meio contínuo/meio discreto Soluções algébricas para casos particulares simples meio discreto (meio de Winkler) meio contínuo (soluções de Randolph e do EC7) Comparação das soluções e aferição da relação k-(e s,ν s )

7 Estacas sob acções horizontais Meio de Winkler Fundação em meio de Winkler A análise do problema de interacção solo-fundação é feita habitualmente recorrendo ao conceito do coeficiente de reacção originalmente proposto por Winkler em Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é assim caracterizada por uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada (q) e o deslocamento do solo (y), constante essa designada por coeficiente de reacção k. q y

8 O k é assim definido como sendo a pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto com as dimensões de [FL -3 ]. Define-se ainda, habitualmente, uma outra grandeza designada por módulo de reacção do solo k que é igual ao produto do coeficiente de reacção k pela dimensão transversal da fundação B. O módulo de reacção tem assim as dimensões de [FL -2 ] tal como o módulo de deformabilidade de um solo. Este modelo pode ser utilizado para a análise de fundações superficiais ou de estacas sob acções laterais. O modelo de cálculo consiste em assimilar a fundação a uma peça linear (viga) apoiada num meio elástico discreto constituído por molas infinitamente próximas, mas sem ligação entre elas. Se analisar o equilíbrio de um troço elementar da viga tem-se: V (V + dv) + p dx q dx = 0, ou seja, dv/dx = k y q ou d 2 M/dx 2 = k y q N q x M q M+dM p y V dx V+dV p

9 Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem: M = - EI d 2 y/dx 2 que substituindo na equação de equilíbrio conduz a: EI d 4 y/dx 4 + k y = q A solução geral desta equação diferencial de 4ª ordem para q=0 é da forma: y = e λx (C 1 sin λx + C 2 cos λx) + e -λx (C 3 sin λx + C 4 cos λx) com λ = (k / 4EI) 1/4 Fundações superficiais As constantes C1, C2, C3 e C4 são obtidas tendo em conta as condições de fronteira do problema. O parâmetro λ com dimensões de [L -1 ] caracteriza a rigidez relativa solofundação. O produto de λ pelo comprimento L da fundação define uma grandeza adimensional que permite classificar a fundação quanto ao seu comportamento: De acordo com Vesic: λl 0.8 ( 1) rígida 0.8 ( 1) < λl < 3.0 semi-flexível λl 3.0 flexível

10 Fundações superficiais A solução geral válida para qualquer valor de λl é bastante trabalhosa (solução correspondente ao comportamento semi-flexível): a N b x L Para as situações de comportamento rígido ou flexível as equações anteriores transformam-se em equações mais simples. Fundações superficiais Factores que afectam o coeficiente de reacção: a) O comportamento não linear do solo b) Efeito da profundidade e da dimensão transversal da fundação c) Forma da fundação d) Efeito de escala ensaio de placa vs fundação (terreno estratificado) B B p q q bolbo de tensões: z % B Solo 1 Solo 2

11 Num meio elástico e homogéneo caracterizado pelas constantes elásticas E e ν, o assentamento da fundação y induzido pela carga q é dado por: y qb 2 = ( 1 ν ) E em que I f é um factor que depende dos dados geométricos do problema. Fundações superficiais I f bolbo de tensões: z % B B y % B q Assim, k = q/y % 1/B ou seja O coeficiente de reacção é inversamente proporcional à largura B enquanto que o módulo de reacção (k=k B) não depende de B. Fundações superficiais Existem na bibliografia diversas propostas para a obtenção do valor de k. Quando se utilizam correlações deduzidas dos ensaios de placa há que ter em atenção o efeito de escala. Ensaio de placa (circular ou quadrangular) com dimensão B p Terzaghi (1955): Fundação com forma circular ou quadrangular (dimensão B) k /k p = B p /B (em solos argilosos) k /k p = [(B+B p )/2B] 2 (em solos arenosos) Fundação com forma rectangular (BxL) k /k p = (m+0.5)/1.5m, m = L/B k e k p coeficientes de reacção solo-fundação e solo-placa, respectivamente

12 Relação k-(e,ν) Comparando a solução teórica da viga em meio de Winkler com a da viga em meio elástico contínuo, Vesic (1961) propôs a seguinte correlação: k = 065. em que: k módulo de reacção E módulo de elasticidade do solo ν coeficiente de Poisson do solo Fundações superficiais 12 (EI) f módulo de flexão da viga (fundação) B largura da viga (fundação) 4 EB E ( EI) 1 ν f 2 Fundações superficiais Valores típicos de k p em MN/m 3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com B p =0.3m (1 pé) em areias Terreno Areia seca ou húmida Areia submersa Compacidade Solta Medianamente compacta Compacta Solta Medianamente compacta Compacta k 0.3 (MN/m 3 ) 6 a a a

13 Fundações superficiais Valores típicos de k p em MN/m 3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com B p =0.3m (1 pé) em argilas duras Terreno Argila Consistência Dura - q u =100 a 200kPa Muito dura - q u =200 a 400 kpa Rija q u > 400 kpa k 0.3 (MN/m 3 ) 15 a a 60 > 60 Estacas sob acções laterais Para o caso das estacas solicitadas lateralmente o procedimento de análise com base no modelo de Winkler é em tudo análogo à das fundações superficiais. Para o caso de um meio homogéneo, isto é, com módulo de reacção constante em profundidade, define-se o mesmo parâmetro λ que caracteriza a rigidez relativa solo-estaca. O produto de λ pelo comprimento L da estaca define uma grandeza adimensional que permite classificar a estaca quanto ao seu comportamento: De acordo com Santos e Gomes Correia (1992): λl 1 rígida ; 1 < λl < 3 semi-flexível ; λl 3 flexível

14 Estacas sob acções laterais Comportamento flexível e rígido das estacas As soluções podem ser equacionadas sob a forma adimensional em função de três parâmetros: λ parâmetro de rigidez relativa solo-estaca L comprimento da estaca K módulo de reacção (meio homogéneo) Estas soluções simplificam-se para os casos de comportamento flexível e rígido: flexível (λl ) λ, k semi-flexível λ, k, L rígido (λl 0) k, L Estacas sob acções laterais Soluções analíticas (existentes): Meio com rigidez constante em profundidade k constante Meio cuja rigidez aumenta linearmente em profundidade k=n h x Força horizontal no topo da estaca Momento no topo da estaca Topo livre Topo com rotação impedida

15 Estacas sob acções laterais Indicam-se, a título de exemplo, as soluções em termos dos deslocamentos laterais para um meio com r. Para as situações de comportamento flexível ou rígido as equações tornam-se mais simples: Estaca flexível λl 3: y ' 2V o λ k (e &λx cos λx) V o Estaca semi-flexível 1< λl <3: y ' 2V o λ k senh λl cosλx coshλx ) & senλl coshλx cosλx ) senh 2 λl & sen 2 λl Estaca rígida λl 1: y ' 2V o Lk (2&3 x L ) Comportamento flexível e rígido Meio com k constante Estaca flexível λl 3: Estaca rígida λl 1: M máxλ V Mm áx λ o Vo estaca flexível yok V y o k λ Vo o λ M máx V L Mm áx V L o o estaca rígida yokl V y o k L Vo o λl λl 0 M máx λ V o y o k V o λ M máx V L o y o k L V o Estaca semi-flexível 1< λl <3:

16 Limites propostos com base nos esforços máximos e nos deslocamentos Comportamento da estaca Flexível Semi-flexível Rígida k = c te λl 3 1 λl 3 λl 1 λ = (k / 4EI) 1/4 η = (n h / EI) 1/5 Meio k = n h x ηl 4 1,5 ηl 4 ηl 1,5 Comportamento flexível M o V o l c Deformada Exemplo: k=20000kpa (solo) E=29GPa (estaca) φ=1.0m L para ser flexível: L 12.3m ( 3/λ) x

17 Estacas flexíveis Influência dos parâmetros Meio com k constante Estaca sujeita à força V o k = M M 1 k V o y 0 λ1 M máx y01 k1 k2 k1 = = 4 y λ 02 2 k1 k2 = 2 4, máx k 2 1 = λ1 λ2 4 = = = 2 119, 1 2 λ1 λ máx = 2 Estacas sob acções laterais Areias: módulo de reacção k=n h x (em que x = profundidade) Proposta de Terzaghi (1955) Compacidade da areia Seca ou húmida n h (kn/m 3 ) Submersa Solta Média Compacta

18 Estacas sob acções laterais Argilas normalmente consolidadas módulo de reacção k=n h x (em que x = profundidade) Argila mole (NC) n h = 160 a 3450 kn/m 3, Reese e Matlock (1956) n h = 270 a 540 kn/m 3, Davisson e Prakash (1963) Argila orgânica (NC) n h = 110 a 270 kn/m 3, Peck e Davisson (1962) n h = 110 a 810 kn/m 3, Davisson (1970) Argilas sobreconsolidadas módulo de reacção k constante em profundidade k = 67c u, Davisson (1970) Estacas sob acções horizontais Influência do comportamento não linear

19 Influência do comportamento não linear Caso de estudo Fundações da Ponte de Alcácer do Sal Comportamento não linear devido à: L Plastificação do solo (próximo do topo da estaca) L Fendilhação (estacas de betão) Descrição do modelo: 1) Solo L Discreto L Elástico perfeitamente plástico p[fl -1] p u k 1 y[l] Parâmetros do solo: Solo Argilas Areias k E u /C u =200 a 400 (Poulos e Davis) E u, ν u k k=n h x n h em função da compacidade relativa (Reese et al.) p u p u= N c c u B γ x 05. x N min 3 c B 9 C = + + ; u (Matlock) 2 φ p u = 3tg 45º + γ xb 2 (Broms)

20 Descrição do modelo: 2) Estaca L Elemento de barra sujeito a flexão (simples ou composta) L Comportamento não linear Expressão de Branson: I I = I ( M < M ) ef II I II Mcr Ief = I + ( I I ) ( Mcr < M < Mced ) M cr Interacção solo-estaca equação diferencial de equilíbrio: 2 EI x ef 2 y + ky= x 2 0 I ef = f ( M ) I ef é função da prof. x I ef 4 y + 4 x I x I x ef y ef y x x + k y E = 0

21 Critério de convergência Em cada iteração i verificar em todos os pontos nodais e nos elementos se: 1) 2) p p u ( Ief ) ( I ) i ef i ( I ) ef i I ef = f ( M ) através da exp ressão de Branson 2.00m Ensaio 1 estaca m Caso de estudo estacas 2 e 3 B=1.00m B=1.00m 3.00m 6.40m 5.00m 2 ensaios estáticos de carga horizontal 2.00m Ensaio 2 estaca 4 estaca 5 B=1.20m B=1.20m 2.00m 6.40m 2.00m Fundações da Ponte de Alcácer do Sal

22 Lodos Areias Lodos Lodos Areias 14.0 Areias 17.0 Bed-rock Ensaio 1 Lodos Vale fóssil: aluviões sobre substrato Miocénico Turfas, cascalhos e areias Argilas 40.0 Ensaio 2 Bed-rock Terreno de fundação Modelos numéricos utilizados Modelos Modelo 1 Modelo 2 Solo Elástico e linear Elástico perfeitamente plástico Estaca Elástico e linear Não linear

23 Diagrama força-deslocamento na estaca Força horizontal (kn) Deslocamento horizontal (mm) Ensaio Modelo 1 Modelo 2 Diagrama força-momento máximo na estaca Força horizontal (kn) Mcr=267 knm Momento flector máximo (knm) Ensaio Modelo 1 Modelo 2

24 Caso de estudo Fundações da Ponte de Alcácer do Sal A confrontação dos modelos numéricos com os resultados dos ensaios de carga permite concluir o seguinte: 1) Para estimar esforços máximos: o modelo elástico e linear é aceitável 2) Para estimar deslocamentos: é necessário recorrer a modelos não lineares Estacas sob acções horizontais Efeito de grupo

25 Estacas sob acções laterais Efeito de grupo O efeito de interacção estaca-solo-estaca num grupo de estacas é vulgarmente designado por efeito de grupo. Estando as estacas inseridas num meio contínuo, elas interactuam entre si através do meio envolvente, pelo que o deslocamento de uma determinada estaca contribui para o deslocamento das restantes. Assim, a rigidez transversal do conjunto maciço-solo-estacas é inferior ao somatório das rigidezes considerando as estacas a funcionar isoladamente. Este efeito de grupo pode ser simulado de forma artificial considerando uma redução do módulo de reacção k. Estacas sob acções laterais Redução artificial da rigidez do solo para ter em conta o efeito de grupo Canadian Foundation Engineering Manual Espaçamento na direcção da carga 8D 6D 4D 3D k grupo 1.00 k 0.70 k 0.40 k 0.25 k D é o diâmetro da estaca

26 Efeito de interacção num grupo de estacas Modelo do meio contínuo - análises 3-D

27 Efeito de interacção num grupo de estacas Análise elástica 3-D (M.E.F.) Concentração de tensões na proximidade das estacas periféricas (efeito de sombra na estaca central) Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo Randolph(1981) desenvolveu soluções algébricas simples (y o, M máx ) em função dos parâmetros G c, ρ c e E p : G c módulo de distorção representativo do terreno; considera-se o valor médio de G* ao longo do comprimento crítico ( activo ) L c G*=G (1+3/4ν) L c =B(E p /G c ) 2/7 ρ c grau de homogeneidade ρ c =G*(x=L c /4)/G*(x=L c /2) E p módulo de elasticidade da estaca x - profundidade Deslocamento do topo da estaca: y o (Ep / Gc ) = ρ G c c 1/ 7 Lc 0.27H Lc + 0.3M 2

28 Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo M o V o y G* L L c Deformada L c /4 L c /2 Obs: Estaca flexível com L L c Meio homogéneo G*=cte ; ρ c =1 Meio cuja rigidez cresce linearmente em prof. G*/x=cte ; ρ c =0.5 x x Grupo de Estacas Coeficiente/Factor de influência α y i = 1 K t m j= 1 α H ij j α ij = factor de influência entre a estaca i e a estaca j (Nota: α ii = 1) m = número de estacas H j = carga aplicada na estaca j K t = rigidez transversal da estaca isolada

29 Efeito de interacção maciço-solo-estacas Método simplificado Hipóteses de cálculo: L Maciço de encabeçamento rígido L Igualdade de deslocamentos ao nível da cabeça das estacas L Equilíbrio de forças horizontais y i m y j= 1 = i H 1 K = y t j j = F m j= 1, i,j aplicada α ρ F,ij H j α ρ F Factores (coeficientes) de influência Ep = 0.6ρc G c Se α 1/7 ro 2 2 (1+ cos ψ) = 0.6ζ(1+ cos ψ) s 1 ρf > 0.5 toma se o valor 1 (4α ρ F)

30 Valores típicos de 1/ζ Tipo de solo 1/ζ ρ = 1 5 c ρ c = 0. argila : Ep G c 1/ areia : Ep G c 1/ L E p = 29GPa, s/r o =6 (3 diâmetros) L Valores correntes de G e de ν para areias e argilas Tipologias analisadas 1x2 e 1x3 estacas (força segundo o alinhamento das estacas) 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 estacas (em malha quadrada)

31 Variação de β em função de 1/ζ Variação de H máx /H méd em função de 1/ζ

32 Redução artificial do módulo k Redução artificial do módulo n h

33 Aumento dos esforços nas estacas mais solicitadas Efeito de grupo L O estudo do comportamento de grupos de estacas sob acções horizontais requer análises 3-D (habitualmente através do M.E.F). Estas análises exigem potentes recursos informáticos, o que inviabiliza a sua utilização a nível de projecto para a grande maioria das situações práticas. L O efeito de interacção pode ser analisado, de uma forma mais expedita, recorrendo ao conceito dos factores de influência (Ex:solução de Randolph para estacas flexíveis em meio elástico contínuo).

34 Efeito de grupo A aplicação dos factores de influência para analisar o efeito de interacção num grupo de estacas permite concluir o seguinte: L A interacção entre estacas conduz a uma redução da rigidez do conjunto maciço-solo-estacas, e este efeito é mais notório quando o número de estacas é superior a 4. L A concentração de carga nas estacas periféricas pode ser significativa num grupo numeroso de estacas (aspecto importante no dimensionamento).