3.80 (T21.09) Separação de cargas

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1 3.80. (T21.09) SEPARAÇÃO DE CARGAS (T21.09) Separação de cargas Duas esferas neutras condutoras estão em contato e estão presas em bastões isolantes sobre uma grande mesa de madeira. Um bastão carregado positivamente é aproximado da superfície de uma das esferas no lado oposto ao ponto de contato com a outra esfera. a. Descreva as cargas induzidas nas duas esferas condutoras e represente a distribuição de de cargas em ambas. b. As duas esferas são separadas e, então, o bastão carregado é afastado. A seguir, as esferas são afastadas por uma grande distância. Represente as distribuições da carga nas esferas depois de separadas. Gabarite:

2 120 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.81 (T21.25) Efeito fotoelétrico Durante o processo descrito pelo efeito fotoelétrico, luz ultravioleta pode ser usada para carregar eletricamente um pedaço de metal. a. Se esta luz incide em uma barra de material condutor e elétrons são ejetados com energia suficiente para escapar da superfície do metal, quanto tempo depois o metal terá uma carga resultante de de +1.5 nc se elétrons são ejetados por segundo? b. Se 1.3 ev é necessário para ejetar um elétron da superfície, qual é a potência do feixe de luz? (considere que o processo seja 100% eficiente.) Gabarite: (T21.25) a. 2.6h. b W.

3 3.82. (T21.29) LEI DE COULOMB (T21.29) Lei de Coulomb Uma carga puntiforme de 2.0 µc e uma carga puntiforme de 4.0 µc estão separadas por uma distância L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosso igual a zero? Gabarite: (T21.29) A uma distância igual a 0.41L da carga de 2.0 µc e no lado oposto ao da carga de 4.0 µc.

4 122 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.83 (T21.33) Lei de Coulomb Uma partícula puntiforme que tem uma carga de 1.0 µc está localizada na origem; uma segunda partícula puntiforme que tem carga de 2.0 µc está localizada em x = 0, y = 0.1 m; e uma terceira partícula puntiforme tem uma carga de 4.0 µc está localizada em x = 0.2 m, y = 0. Determine a força elétrica em cada uma das três cargas puntiformes. Gabarite: (T21.33) F 1 = (0.9 N)ê x + (1.8 N)ê y, F 2 = ( 1.3 N)ê x (1.2 N)ê y, F 3 = (0.4 N)ê x (6.4 N)ê y.

5 3.84. (T21.43) LEI DE COULOMB (T21.43) Lei de Coulomb Uma carga puntiforme de 5.0 µc está localizada em x = 4.0 m, y = 2.0 m, e uma segunda carga puntiforme de 12.0 µc está localizada em x = 1.0 m, y = 2.0 m. a. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em x = 1.0 m, y = 0. b. Calcule o módulo, a direção e o sentido da força elétrica em um elétron colocado em campo elétrico em x = 1.0 m, y = 0. Gabarite: (T21.43) a. 13 kn/c em 230. b N em 51.

6 124 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.85 (T21.53) Aceleração de cargas Um elétron tem uma velocidade inicial de v 0 = m/s no sentido de +x. Ele entra em uma região que tem campo elétrico uniforme E = (300 N/C) ê x. a. Determine a aceleração do elétron. b. Quanto tempo leva par que o elétron percorra s = 10.0 cm ao longo do eixo x no sentido +x na região que tem campo. c. Em que ângulo e em que direção o movimento do elétron é defletido enquanto ele percorre os 10.0 cm na direção x? Gabarite: (T21.53) a. a = ( m/s 2 )ê x. b. 50 ns. c na direção y.

7 3.86. (T21.55) ACELERAÇÃO DE CARGAS (T21.55) Aceleração de cargas Uma partícula carregada de 2.0 g é liberada a partir do repouso em uma região que tem um campo elétrico uniforme E = (300 kn/c)ê x. Depois de percorrer uma distância de 0.5 m nesta região, a partícula tem uma energia cinética de 0.12 J. Determine a carga da partícula. Gabarite: (T21.55) 800 µc

8 126 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.87 (T22.35) Fluxo atravessando um cone Um cone circular reto imaginário com ângulo de base θ e raio de base R está em uma região livre de cargas que tem um campo elétrico uniforme E (linhas de campo são verticais ao eixo do cone). Qual é a razão entre o numero de linhas de campo por unidade de área entrando na base e o número de linhas por unidade de área entrando na superfície cônica do cone. Use a lei de Gauss em sua resposta. Gabarite: (T22.35) cos θ

9 3.88. (T22.41) ESFERA CARREGADA (T22.41) Esfera carregada Uma esfera sólida não condutora de raio R = 1.0 cm tem uma densidade volumétrica uniforme de carga. A magnitude do campo elétrico a r = 2.0 cm do centro da esfera é E r = N/C. a. Qual é a densidade volumétrica de carga da esfera? b. Determine a magnitude do campo elétrico a uma distância de d = 5.0 cm do centro da esfera. Gabarite: (T22.41) a. 2.0 µc/m 3. b. 470 N/C.

10 128 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.89 (T22.53) Guia de onda A figura mostra uma porção da seção transversal de um cabo concêntrico infinitamente longo. O condutor interno tem uma densidade linear de carga de 6.0 nc/m e o condutor externo não tem carga resultante. a. Determine o campo elétrico para todos os valores de R, onde R é a distância perpendicular ao eixo comum no sistema cilíndrico. b. Quais são as densidades superficiais de carga nas superfícies do lado de dentro e do lado de fora do condutor externo? Figura 3.15: Gabarite: (T22.53) a. E R = 0 para R < 1.5 cm, E R = 4.5 cm < R < 6.5 cm, E R = b. σ dentro = 21.2 nc/m 2 e σ fora = 14.7 nc/m Nm/C R para 1.5 cm < R < 4.5 cm, E R = 0 para 156 Nm/C R para 6.5 cm < R.

11 3.90. (T22.65) DISTRIBUIÇÃO DE CARGA (T22.65) Distribuição de carga Uma fina lâmina quadrada e condutora tem bordas com d = 5.0 m de comprimento e uma carga resultante de Q = 80 µc. Considere que a carga esteja uniformemente distribuída nas faces da lâmina. a. Determine a densidade de carga em cada face da lâmina e o campo elétrico nas proximidades de uma das faces. b. A lâmina está colocada à direita de um plano infinito, não condutor e carregado, com densidade de carga igual a σ inf = 2.0 µc/m 2, com as faces da lâmina paralelas ao plano. Determine o campo elétrico em cada face da lâmina e determine a densidade de carga em cada face. Gabarite: (T22.65) a. Q esq = 15 µc e Q dir = 65 µc. b. E esq,x = 68 kn/c e E dir,x = 294 kn/c, σ esq = 0.6 µc/m 2, σ dir = 2.6 µc/m 2.

12 130 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.91 (T22.67) Distribuição de carga Uma superfície grande, plana, não-condutora e não uniformemente carregada está ao longo do plano x = 0. Na origem, a densidade de carga é de σ = 3.1 µc/m 2. A uma pequena distância da superfície no sentido positivo do eixo x, a componente x do campo elétrico é E dir = N/C. Qual é o valor de E x a uma pequena distância da superfície no sentido negativo do eixo x. Gabarite: (T22.67) -115 kn/c.

13 3.92. (T22.69) FLUXO (T22.69) Fluxo Uma fina casca esférica não-condutora, uniformemente carregada, com raio R, tem uma carga total positiva igual a Q. Um pequeno pedaço é removido da superfície. a. Quais são o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do buraco? b. O pedaço é colocado de volta no buraco. Determine a força elétrica exercida no pedaço. c. Usando a magnitude da força, calcule a pressão eletrostática que tende a expandir a esfera. Gabarite: (T22.69) a. E = Q 8πε 0, radialmente para fora. R 2 b. F = Q2 a 2 32πε 0, radialmente para fora. R 4 c. P = Q 2 32π 2 ε 0 R 4.

14 132 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.93 (T22.77) Distribuição de carga Uma lâmina plana infinita não-condutora tem uma densidade superficial de carga de σ 1 = +3.0 µc/m 2 e está no plano y 0 = 0.6 m. Uma segunda lâmina plana infinita tem densidade superficial de carga de σ 2 = 2.0 µc/m 2 e está no plano x 0 = 1.0 m. Finalmente, uma fina casca esférica não-condutora com raio de R = 1.0 m e como centro no plano z 0 = 0 na interseção dos dois planos carregados, tem uma densidade densidade superficial de carga de σ 3 = 3.0 µc/m 2. Determine a magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico no eixo x em a. x 1 = 0.4 m e b. x 2 = 2.5 m. Gabarite: (T22.77) a. E = 204 kn/c a b. E = 263 kn/c a 153

15 3.94. (T22.79) PARTÍCULA GIRANDO EM TORNO DE UM FIO CARREGADO (T22.79) Partícula girando em torno de um fio carregado Uma linha infinitamente longa uniformemente carregada com carga negativa, tem densidade de carga igual a λ e está localizada no eixo z. Uma pequena partícula carregada positivamente tem massa m e uma carga q, e está em órbita circular de raio R no plano xy centrada na linha de cargas. a. Deduza uma expressão para a rapidez da partícula. b. Obtenha uma expressão para o período da órbita da partícula. Gabarite: (T22.79) 1 a. v = b. T = 2πr λq 2πε 0 m. 2πε0 m λq.

16 134 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.95 (T23.19) Potencial elétrico entre cargas puntiformes Uma partícula puntiforme tem uma carga igual a +2.0 µc e está fixa na origem. a. Qual é o potencial elétrico V em um ponto a 4.0 m da origem, considerando que V = 0 no infinito? b. Quanto trabalho deve ser realizado para trazer uma segunda carga puntiforme que tem uma carga de +3.0 µc do infinito até uma distância de 4.0 m da carga de +2.0µC? Gabarite: (T23.19) a kv b J

17 3.96. (T23.23) ACELERADOR DE VAN DE GRAAFF (T23.23) Acelerador de Van de Graaff Prótons são liberados a partir do repouso em um sistema acelerador de Van de Graaff. Os prótons estão inicialmente localizados onde o potencial elétrico tem um valor de 5.0 MV, e então, eles viajem através do vácuo até uma região onde o potencial é zero. a. Determine a rapidez final destes elétrons. b. Determine a magnitude do campo elétrico acelerador se o potencial mudar uniformemente sobre uma distância de 2.0 m. Gabarite: (T23.23) a m/s. b. 2.5 MV/m.

18 136 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.97 (T23.29) Potencial elétrico entre cargas puntiformes Três partículas puntiformes idênticas de carga q estão nos vértices de um triângulo equilátero que está circunscrito em um círculo de raio a contido no plano z = 0 e centrado na origem. Os valores de q e a são +3.0 µc e 60 cm, respectivamente. (Considere que o potencial seja zero bem distante de todas as cargas.) a. Qual é o potencial elétrico na origem? b. Qual é o potencial elétrico no ponto do eixo z que está em z = a? c. Como mudariam suas respostas para as Partes a. e b. se as cargas ainda estivessem mais em um dos vértices do triângulo? Explique sua resposta. Gabarite: (T23.29) a. 135 kv. b kv.

19 3.98. (T23.31) POTENCIAL ELÉTRICO ENTRE CARGAS PUNTIFORMES (T23.31) Potencial elétrico entre cargas puntiformes Duas partículas puntiformes idênticas, carregadas positivamente, estão fixas no eixo x em x = +a e x = a. a. Escreva uma expressão para o potencial elétrico V (x) como uma função de x para todos os pontos no eixo x. b. Represente V (x) versus x para todos os pontos no eixo x. Gabarite: (T23.31) ( ) a. V (x) = 1 1 4πε 0 x a + 1 x+a.

20 138 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA 3.99 (T23.37) Potencial elétrico entre cargas puntiformes O campo elétrico no eixo x devido a uma carga puntiforme fixa na origem é dado por E = (b/x 2 )ê x, onde b = 6.0 kv m e x 0. a. Determine a amplitude e o sinal da carga puntiforme. b. Determine a diferencia de potencial entre os pontos no eixo x em x = 1.0 m e x = 2.0 m. Qual destes pontos esta num potencial maior? Gabarite: (T23.37) a nc. b. 3.0 kv. c. O plano em x = 2.0 m está no potencial mais elevado.

21 (T23.43) RUPTURA DIELÉTRICA DO AR (T23.43) Ruptura dielétrica do ar Determine a densidade superficial máxima de carga σ max que pode existir na superfície de qualquer condutor antes que ocorra a ruptura dielétrica do ar. Gabarite: (T23.43) C/m 2.

22 140 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA (T23.47) Potencial de cascas esféricas Duas cascas esféricas condutoras concêntricas têm cargas iguais com sinais opostos. A casca interna tem raio externo a e a carga +q; a casca externa tem raio interno b e a carga q. Determine a diferença de potencial V a V b entre as cascas. Gabarite: (T23.47) V a V b = q ( 1 4πɛ 0 a 1 ) b.

23 (T23.53) POTENCIAL ELÉTRICO DE UM DISCO (T23.53) Potencial elétrico de um disco Um disco de raio R tem uma distribuição superficial de carga dada por σ = σ 0 r 2 /R 2, onde σ 0 é uma constante e R é a distância ao centro do disco. a. Determine a carga total no disco. b. Determine a expressão para o potencial elétrico a uma distância z do centro do disco no eixo que passo pelo centro do disco e é perpendicular ao seu plano. Gabarite: (T23.53) a. Q = 1 2 πσ 0R 2, b. V = σ 0 6ɛ 0 R 2 [(R 2 2z 2 ) z 2 + R 2 + 2z 3 ].

24 142 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA (T23.55) Potencial elétrico de um bastão Um bastão de comprimento L tem uma carga total Q uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. O bastão está ao longo do eixo x com seu centro na origem. a. Qual é o potencial elétrico como função da posição ao longo do eixo x para x > L/2? b. Mostre, que para x L/2, seu resultado se reduz ao devido a uma carga puntiforme Q. Gabarite: (T23.55) a. V (x) = Q x+l/2 4πɛ 0 L ln x L/2.

25 (T23.67) ENERGIA POTENCIAL DE UMA ESFERA CARREGADA (T23.67) Energia potencial de uma esfera carregada a. Quanta carga está na superfície de um condutor esférico isolado que tem um raio de R = 10.0 cm e está carregado com 2.0 kv? b. Qual é a energia potencial eletrostática deste condutor? (Considere que o potencial é zero distante da esfera.) Gabarite: (T23.67) a nc, b µj.

26 144 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA (T23.69) Energia de uma partícula num potencial Quatro cargas puntiformes estão fixas nos vértices de um quadrado centrado na origem. O comprimento de cada lado do quadrado é 2a. As cargas estão localizadas em: +q está em ( a, +a), +2q está em (+a, +a), 3q está em (+a, a) e +6q está em ( a, a). Uma quinta partícula com massa m e carga +q é colocada na origem e liberada a partir do repouso. Determine sua rapidez quando ela estiver bem distante da origem. Gabarite: (T23.69) v = q = 2.91q 6 2k ma k ma.

27 (T23.81) ENERGIA DE UMA PARTÍCULA NUM POTENCIAL (T23.81) Energia de uma partícula num potencial Duas esferas metálicas têm raio de 10 cm cada uma. Os centros das duas esferas estão separados por 50 cm. As esferas estão inicialmente neutras, mas uma carga Q é transferida de uma esfera para outra, criando uma diferença de potencial entre elas de 100 V. Um próton é liberado do repouso na superfície da esfera carregada positivamente e viaja para a esfera carregada negativamente. a. Qual é a energia cinética assim que ele chega na esfera carregada negativamente? b. Com que rapidez ele colide na esfera? Gabarite: (T23.81) a. 100 V. b m/s.

28 146 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO E ELETROSTÁTICA (T23.83) Potencial de esferas conectadas Um condutor esférico de raio R 1 esta carregado com 20 kv. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, à um segundo condutor esférico bem distante, seu potencial cai para 12 kv. Qual é o raio da segunda esfera? Gabarite: (T23.83) R 2 = 2 3 R 1.

29 (T23.85) POTENCIAL DE UM DISCO CARREGADO (T23.85) Potencial de um disco carregado Ao longo do eixo central de um disco carregado uniformemente, em um ponto à 0.6 m do centro do disco, o potencial é 80 V e a intensidade do campo e 80 V/m. A uma distância de 1.5 m, o potencial é 40 V e a intensidade do campo elétrico é 23.5 V/m. (Considere que o potencial seja muito distante do disco). Determine a carga total do disco. Gabarite: (T23.85) 7.1 nc.

30 4.22. (T24.11) ENERGIA EM COMBINAÇÕES DE CAPACITORES (T24.11) Energia em combinações de capacitores a. Dois capacitores idênticos estão conectados em paralelo. Esta combinação é, então, conectada aos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na combinação em paralelo destes dois capacitores se compara à energia total armazenada se apenas um dos capacitores estivesse conectado aos terminais da mesma bateria? b. Dois capacitores idênticos, descarregados, estão conectados em série. Esta combinação é, então, conectada aos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na combinação em série destes dois capacitores se compara à energia total armazenada se apenas um dos capacitores estivesse conectado aos terminais da mesma bateria? Gabarite: (T24.11) a. U paralelo = 2U unico. b. U serie = 1 2 U unico

31 172 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.23 (T24.23) Capacitor de placas Um capacitor de placas contendo ar tem placas com área de 2.0 m 2 separadas por 1 mm e está carregada com 100 V. a. Qual é o campo elétrico entre as placas? b. Qual é a densidade de energia elétrica entre as placas? c. Determine a energia total multiplicando sua resposta para a parte (b) pelo volume entre as placas. d. Determine a capacitância deste arranjo. e. Calcule a energia total usando U = 1 2 CV 2 e compare sua resposta com com o resultado da parte (c). Gabarite: (T24.23) a. 100 kv/m. b mj/m 3. c µj. d nf. e µj

32 4.24. (T24.29) COMBINAÇÃO DE CAPACITORES (T24.29) Combinação de capacitores Um capacitor de 10.0 µf e um capacitor de 20.0 µf estão conectados em paralelo aos terminais de uma bateria de 6.0 V. a. Qual é a capacitância equivalente desta combinação? b. Qual é a diferença de potencial em cada capacitor? c. Determine a carga em cada capacitor. d. Determine a energia armazenada em cada capacitor. Gabarite: (T24.29) a µf. b. 6.0 V. c. Q 10 = 60 µc, Q 20 = µc. d. U 10 = 180 µj, U 20 = 360 µj.

33 174 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.25 (T24.38) Serie infinita de capacitores Qual é a capacitância equivalente (em termos de C, que é a capacitância de um dos capacitores) da escada infinita mostrada na figura. C C C C C C C C... Figura 4.13: Gabarite: (T24.38) C eq = C 2 (1 + 5).

34 4.26. (T24.53) RECONEXÃO DE CAPACITORES (T24.53) Reconexão de capacitores Um capacitor de 100 pf e um capacitor de 400 pf são, ambos, carregados a 2.0 kv. Eles são, então, desconectados da fonte de tensão e conectados juntos, placa positiva à placa positiva e placa negativa à placa negativa. a. Determine a diferença de potencial resultante em cada capacitor. b. Determine a energia dissipada quando as conexões são feitas. Gabarite: (T24.53) a. V 100 = V 400 = 1.2 kv. b. 640 µj.

35 176 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.27 (T24.55) Reconexão de capacitores Um capacitor de 1.2 µf é carregado a 30 V. Depois da carga o capacitor é desconectado da fonte de tensão e é conectado aos terminais de um segunda capacitor que havia sido previamente descarregado. A tensão final no capacitor de 1.2 µf é 10 V. a. Qual é a capacitância do segundo capacitor? b. Quanta energia foi dissipada quando a conexão foi feita? Gabarite: (T24.55) a. 2.4 µf. b. 0.4 mj.

36 182 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.33 (T25.102) Circuito com bateria e capacitor A chave mostrada na figura é fechada depois de ter permanecida aberta por um longo tempo. a. Qual é o valor inicial da corrente na bateria logo após a chave S ter sido fechada? b. Qual é a corrente na bateria depois de um longo tempo após a chave ter sido fechada? c. Quais são as cargas nas placas dos capacitores depois de um longo tempo após a chave ter sido fechada? d. A chave S é reaberta. Quais são as cargas nas placas dos capacitores depois de um longo tempo após a chave ter sido reaberta? Figura 4.17: Gabarite: (T25.102) a..

37 4.34. (T25.105) CIRCUITO COM BATERIA E CAPACITOR (T25.105) Circuito com bateria e capacitor No circuito mostrado na figura, o capacitor tem capacitância de 2.5 µf e o resistor tem resistência de 0.5 MΩ. Antes de a chave ser fechada, a queda de potencial no capacitor é 12 V, como mostrado. A chave S é fechada em t = 0. a. Qual é a corrente imediatamente depois de a chave ter sido fechada? b. Em que instante t a tensão no capacitor é 24 V? Figura 4.18: Gabarite: (T25.105) a µa. b s.

38 184 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.35 (T26.21) Força de Lorentz Um fio linear, firme e horizontal de 25 cm de comprimento, tem massa igual a 5 g e está conectado a uma fonte de fem através de fios leves e flexíveis. Um campo magnético de 1.33 T é horizontal e perpendicular ao fio. Determine a corrente necessária para fazer o fio flutuar, isto é, quando o fio é liberado a partir do repouso, ele permanece em repouso. Gabarite: (T26.21) 1.5 A.

39 4.36. (T26.25) FORÇA DE LORENTZ (T26.25) Força de Lorentz Um fio conduzindo corrente é curvado em um semicírculo fechado de raio R que está no plano xy. O fio está em um campo magnético uniforme que está na direção +z, como mostra a figura. Verifique que a força exercida no anel é zero. Figura 4.19: Gabarite: (T26.25)

40 186 CAPÍTULO 4. CONDUÇÃO DE CORRENTE 4.37 (T26.39) Espectrômetro de massa Em um espectrômetro de massa, um íon de 24 Mg monovalente tem massa igual a kg e é acelerado através de uma diferença de potencial de 2.5 kv. Ele entra, então, em uma região onde é defletido por uma campo magnético de 557 G. a. Determine o raio de curvatura das órbitas do íon. b. Qual é a diferença entre os raios das órbitas dos íons 26 Mg e 24 Mg? Considere que a razão entre as massas seja 26 : 24. Gabarite: (T26.39) a cm. b cm.

41 218 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA 5.33 (T27.17) Força de Coulomb e de Lorentz Duas cargas puntiformes iguais estão, em algum instante, localizadas em (0, 0, 0, ) e em (0, b, 0). Ambas estão se movendo com rapidez v na direção +x (considere v c). Determine a razão entre a magnitude da força magnética e a amplitude da força elétrica em cada carga. Gabarite: (T27.17) ɛ 0 µ 0 v 2.

42 5.34. (T27.22) BOBINAS DE HELMHOLTZ (T27.22) Bobinas de Helmholtz Um par de bobinas idênticas, cada com raio de 30 cm, está separado por uma distância igual aos seus raios. Denominadas bobinas de Helmholtz, elas são coaxiais e conduzem corrente iguais em sentidos tais que seus campos axiais estão na mesma direção e sentido. Uma característica das bobinas de Helmholtz é que o campo magnético resultante na região entra as bobinas é bastante uniforme. Considere que a corrente em cada uma seja 15 A e que há 250 voltas para cada bobina. Usando uma planilha eletrônica, calcule e faça um gráfico do campo magnético como função de z, a distância ao centro das bobinas ao longo do eixo comum, para 30 cm < z < +30 cm. Em que intervalo de z o campo varia menos que 20%? Gabarite: (T27.22)

43 220 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA 5.35 (T27.51) Toróide Um toróide firmemente enrolado com 1000 voltas tem raio interno de 1.0 cm, raio externo de 2.0 cm e conduz uma corrente de 1.5 A. O toróide está centrado na origem com os centros das voltas individuais no plano z = 0. No plano z = 0: a. Qual é a intensidade do campo magnético a uma distância de 1.1 cm da origem? b. Qual é a intensidade do campo magnético a uma distância de 1.5 cm da origem? Gabarite: (T27.51) a. B(1.1 cm)=27.3 mt. b. B(1.5 cm)=20.0 mt

44 5.36. (T27.89) CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA (T27.89) Campo magnético da Terra O campo magnético da Terra é aproximadamente 0.6 G nos polos magnéticos e aponta verticalmente para baixo no polo magnético no hemisfério morte. Se o campo magnético fosse devido a uma corrente elétrica circulando em um anel com raio igual ao núcleo de ferro interno da Terra (aproximadamente 1300 km), a. qual seria a magnitude da corrente necessária? b. Que sentido teria a corrente o mesmo do movimento de rotação da Terra ou o oposto? Explique sua resposta. Gabarite: (T27.89) a GA. b. Como o campo magnético da Terra aponta para baixo no pólo norte, a aplicação da regra da mão direita indica que a corrente é no sentido horário quando vista de cima do polo norte.

45 222 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTATICA 5.37 (T28.27) Fluxo magnético Um longo solenóide tem n voltas por unidade de comprimento, raio R 1 e conduz uma corrente I. Ima bobina circular de raio R 2 e com N voltas é coaxial ao solenóide e está equidistante de suas extremidades. a. Determine o fluxo magnético através da bobina se R 2 < R 1. b. Determine o fluxo magnético através da bobina se R 2 < R 1. Gabarite: (T28.27) a. φ m = µ 0 ninπr 2 1. b. φ m = µ 0 ninπr 2 2.

46 6.24. (T28.43) FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA POR MOVIMENTO (T28.43) Força eletromotriz induzida por movimento Na figura um bastão condutor de massa m e resistência desprezível está livra para deslizar sem atrito ao longo de dois trilhos paralelos que têm resistências desprezíveis, estão separados por uma distância l e conectados por uma resistência R. Os trilhos estão presos a um longo plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal. Há um campo magnético apontando para cima, como mostrado. a. Mostre que há uma força retardadora dirigida para cima no plano inclinado dada por F = (B 2 l 2 v cos 2 θ)/r. b. Mostre que a rapidez terminal do bastão é v t = mgr sin θ(b 2 l 2 cos 2 θ). Figura 6.11:

47 248 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.25 (T28.49) Indução Um fio isolado com resistência de 18.0 Ω/m e comprimento de 9.0 m será usado para construir um resistor. Primeiramente o fio é dobrado na metade e, então, o fio duplo é enrolado em um formato cilíndrico (vide figura para criar um hélice de 25 cm de comprimento e com diâmetro de 2.0 cm. Determine a resistência e a indutância deste reste resistor de fio enrolado. Figura 6.12: Gabarite: (T28.49) L = 0, R = 162 Ω.

48 6.26. (T28.66) CIRCUITO R-L (T28.66) Circuito R-L Dado o circuito mostrado na figura, o indutor tem resistência interna desprezível e a chave S esteve aberta por um longo tempo. A chave é, então, fechada. a. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor imediatamente após a chave ter sido fechada. b. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor um longo tempo depois de a chave ter sido fechada. c. Depois de estra fechada por um longo tempo, a chave é agora aberta. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor imediatamente após a chave ter sido aberta. d. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor depois de a chave ter permanecido aberta por um longo tempo. Figura 6.13: Gabarite: (T28.66)

49 250 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.27 (T28.71) Gerador ac A figura mostra um desenho esquemático de um gerador ac. O gerador básico consiste em um anel retangular de dimensões a e b e tem N voltas conectadas a anéis de deslizamento. O anel giro (movido por um motor de gasolina) a uma rapidez angular ω em campo magnético uniforme B. a. Mostre que a diferença de potencial induzida entre os dois anéis de deslizamento é dada por ENbabω sin ωt. b. Se a = 2.0 cm, b = 4.0 cm, N = 250, e B = 0.2 T, a que frequência angular ω deve a bobina girar para gerar uma fem cujo valor máximo é 100 V? Gabarite: (T28.71) b. 2.5 krad/s.

50 6.28. (T29.51) FILTRO PASSA-BAIXAS (T29.51) Filtro passa-baixas O circuito mostrado na figura é um exemplo de filtros passa-baixas. (Considere que a saída esteja conectada a uma carga que conduza uma corrente insignificante.) a. Se a tensão de entrada é dada por V ent = V ent, pico cos ωt, mostra que a tensão de saída é V saida = V L cos(ωt φ), onde V L = V ent,pico / 1 + (ωrc) 2. b. Discuta a tendência da saída nos casos limites ω 0 e ω. R V entrada C V saida Figura 6.14: Gabarite: (T29.51) b. V L 0 V ent,pico e V L 0.

51 252 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.29 (T29.55) Filtro de corte O circuito mostrado na figura é um filtro de corte. (Considere que a saída esteja conectada a uma carga que conduza uma corrente insignificante.) a. Mostre que o filtro de corte rejeita sinais em uma banda de frequências centrada em ω = 1/ LC. Como a largura de banda de frequência rejeitada depende de R? R V entrada C L V saida Figura 6.15: Gabarite: (T29.55) b. ω = R L.

52 6.30. (T29.63) POTÊNCIA EFETIVA (T29.63) Potência efetiva Mostre que a expressão P med = RE 2 rmsz 2 fornece o resultado correto para um circuito contendo apenas um gerador ac ideal e (a) um resistor R, (b) um capacitor Ce (c) um indutor L. Na dada expressão, P med é a potência média fornecida pelo gerador, E rms é valor quadrático médio da fem do gerador.

53 254 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.31 (T29.69) Circuito R-L-C No circuito mostrado na figura o gerador ideal produz uma tensão rms de 115 V quando operado a 60 Hz. Qual é a tensão rms entre os pontos a. A e B, b. B e C, c. C e D, d. A e C, e e. B e D? A 137mH B 115V 60Hz 50 D 25 F C Figura 6.16: Gabarite: (T29.69) a. 80 V, b. 78 V, c. 170 V, d. 110 V, e. 180 V.

54 6.32. (T30.41) PRESSÃO RADIATIVA (T30.41) Pressão radiativa Estime a força na Terra devido à pressão de radiação exercida pelo Sol na Terra e compare esta força à força gravitacional do Sol na Terra. (Na órbita da Terra, a intensidade da luz solar é 1.37 kw/m 2. b. Repita a parte (a) para Marte, que está a uma distância média de km do Sol e tem um raio de km. c. Qual dos planetas tem maior razão entre a pressão de radiação e a atração gravitacional? Gabarite: (T30.41) a. F rad,t erra = N, F g,t erra = F rad,t erra, b. F rad,marte = N, F g,marte = F rad,marte, c. Marte.

55 256 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.33 (T30.45) Equação de onda Mostre que qualquer função da forma y(x, t) = f(x vt) ou y(x, t) = g(x+vt) satisfaz a equação de onda. Gabarite: (T30.45)

56 6.34. (T30.51) VETOR DE POYNTING (T30.51) Vetor de Poynting Os campos elétricos de duas ondas harmônicas eletromagnéticas de frequências angulares ω 1 e ω 2 são dados por E 1 = E 10 cos(k 1 x ω 1 t)ê y e por E 2 = E 20 cos(k 2 x ω 2 t + δ)ê y. Para a resultante desta duas dondas, determine a. o vetor de Poynting instantâneo e b. a média temporal do vetor de Poynting. c. Repita as partes (a) e (b) se o sentido de propagação da segunda onda for invertido, ou seja E 2 = E 20 cos(k 2 x + ω 2 t + δ)ê y. Gabarite: (T30.51) a. S(x, t) = 1 µ 0 c [E2 10 cos2 (k 1 x ω 1 t) + 2E 10 E 20 cos(k 1 x ω 1 t) cos(k 2 x ω 2 t + δ) + E20 2 cos2 (k 2 x ω 2 t + δ)]ê x, b. S med = 1 2µ 0 c [E E2 20 ]ê x, c. S(x, t) = 1 µ 0 c [E2 10 cos2 (k 1 x ω 1 t) E20 2 cos2 (k 2 x + ω 2 t + δ)]ê x e S med = 1 2µ 0 c [E E2 20 ]ê x.

57 258 CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DE MAXWELL 6.35 (T30.59) Pressão radiativa Uma fonte pontual e intensa de luz irradia 1.0 MW isotropicamente (uniformemente em todas as direções). A fonte está localizada a 1.0 m acima de um plano infinito e perfeitamente refletor. Determine a força que a pressão de radiação exerce no plano. Gabarite: (T30.59) 3.34 mn.