Thales Cerqueira Mendes

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1 ROTEIRO PARA ABORDAGEM DE CONTEÚDOS DE FÍSICA NA EXPERIMENTAÇÃO - A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO ESTATÍSTICO DE REGRESSÃO, ATRAVÉS DE SOFTWARE, NO ENSINO MÉDIO Thales Cerqueira Mendes Produto Educacional apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física da Universidade Federal do Vale do São Francisco (UNIVASF) no Curso de Mestrado Nacional Profissional de Ensino de Física (MNPEF), como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ensino de Física. Orientador: Prof. Dr. Alessandro Pereira Moisés Juazeiro - BA Julho de 2016

2 Sumário Introdução Abordagem teórico-computacional da Regressão Sobre a Regressão Linear Simples Pré-requisitos Material utilizado Procedimentos Considerações finais dessa abordagem Experimentando com a Lei de Hooke Sobre os conteúdos abordados Lei de Hooke Erros instrumentais e propagação de erros Pré-requisitos Material utilizado Procedimentos Considerações finais para essa experimentação Outras possibilidades de abordagem Referências bibliográficas ii

3 Introdução Diante de uma proposta de Iniciação Científica para o Ensino Médio, esse Produto Educacional se configura como uma estratégia de ensino. Possui foco na experimentação e na utilização de um software para facilitar o ensino, por parte do professor, e a aprendizagem, por parte do aluno. A ideia é que ele possa ser aplicado em sala de aula, ou no laboratório didático, por outros professores. Dessa forma, o objetivo é apresentar um roteiro para abordagem de conteúdos de Física na experimentação, com a utilização do método estatístico de regressão, através de software, no Ensino Médio 1. Primeiramente, expõe-se um tratamento qualitativo do método estatístico de regressão de forma teórica, com a utilização de um software. Depois, descreve-se uma aplicação com a Lei de Hooke, proposta para aproximar o aluno com o método estatístico utilizado, dando aplicabilidade ao conteúdo exposto de forma teórica. Posteriormente, segue um breve resumo sobre outras possibilidades de aplicação, com outros conteúdos de Física. 1. Abordagem teórico-computacional da Regressão 2 Ressalta-se que a aplicação dessa atividade tem como objetivo a abordagem do método estatístico de regressão com a utilização de um software, numa abordagem qualitativa. 1.1 Sobre a Regressão Linear Simples A regressão linear simples é um modelo matemático que tenta explicar a relação entre duas variáveis. Dessa forma, através de dados (x e y) é possível criar um modelo matemático através de uma equação. Y=A.X+B (1) 3 As constantes A e B da equação 1 podem expressar funções (a exemplo das polinomiais, exponenciais, logarítmicas) que provem da solução de um sistema de 1 Esse roteiro está disponível em: 2 Um vídeo com a manipulação do Excel está disponível em: 3 Essa referência (1) será utilizada para denotar equações. Dessa forma, essa é equação 1. (2) refere-se à equação 2 e assim sucessivamente. 1

4 equações de uma combinação linear. Essa equação pode servir para fazer projeções para o futuro ou pode servir para entender a relação entre variáveis em um determinado fenômeno [1]. O coeficiente de determinação, R 2, é um indicador de medida da qualidade do ajustamento de uma linha de regressão. Ou seja, de que forma, em que proporção, a variável dependente é explicada pela variável independente. Esse coeficiente varia de zero até um [1]. A correlação (dado pelo coeficiente de correlação, R) é uma medida estatística que tem por objetivo verificar o grau de associação entre duas variáveis (uma variável independente e outra dependente), é um valor que irá oscilar entre -1 e 1. Esse valor pode dar zero quando não há correlação entre as variáveis ou quando a regressão não for linear [1]. 1.2 Pré-requisitos Manipular fórmulas, tabelas e gráficos no Microsoft Office Excel (Excel); Conteúdo de equações lineares e quadráticas. 1.3 Material utilizado Excel instalado em computador. 1.4 Procedimentos Antes de abordar o assunto com o aluno, é necessário que o professor tenha familiaridade com o programa e com o método de regressão. Segue a sequência da atividade. Insira uma tabela com 10 pares ordenados (x,y) no Excel. x y Tabela 1. Exemplo de tabela com valores, proposta ao aluno. 2

5 Os valores de x aleatórios e de y imposto por uma equação linear (exemplo: y=2x+7). Explore a utilização de fórmulas no programa; No programa copie e cole a tabela somente com valores. Esse procedimento é para que o aluno perceba que não há registro da equação utilizada para gerar os valores de y na tabela; Selecione a tabela e insira um gráfico de dispersão; Figura 1. Gráfico de dispersão com os pontos propostos (y por x). Questione o aluno a relacionar os pontos a um alinha imaginária que passe por eles (uma reta). E se fosse uma curva pouco acentuada, não levaria a pensar que é uma reta? E mesmo que fosse uma curva acentuada, ao se observar um infinitésimo dela, também pareceria uma reta? Insira uma linha tendência linear; Figura 2. Gráfico da linha de tendência linear (y por x). 3

6 Insira outras linhas de tendência como a quadrática, exponencial, logarítma. É importante o aluno perceber a distância dos pontos para as curvas e as diferenças entre elas somente algumas se ajustam; Figura 3. Gráfico da linha de tendência exponencial (y por x). Com a linha de tendência linear, insira, através da formatação de linha de tendência no programa, a equação da reta e o coeficiente de determinação, R 2. Uma primeira situação importante nesse momento é o retorno da equação inicial que foi retirada do programa. Discuta como o programa conseguiu achar a equação o papel da regressão. A outra situação, natural, se ao aluno nunca viu ou estudou o termo, é a pergunta: e o R? Não conceitue, por enquanto; Figura 4. Gráfico da regressão, equação e R 2 (y por x). Solicite uma alteração em qualquer par ordenado e observe o gráfico. Para exemplo, o par (1,9) foi trocado por (1,10) na tabela do programa. Como resultado, a equação e o R 2 muda. Mais importante o ponto desalinha da reta; 4

7 Figura 5. Gráfico com a alteração da equação e R 2 (y por x). Questione o aluno: como foi colocado uma unidade mais em y (de 9 passou a ser 10) se tirar uma unidade em algum lugar, deve votar ao normal (o que era antes)? Retire essa unidade - a exemplo o par (3,13) foi trocado por (3,12) na tabela do programa. Constata-se que o valor do R 2 diminui mais e os pontos estão mais distantes da curva; Figura 6. Gráfico com a diminuição no valor do R 2 (y por x). Permita que o aluno manipule e modifique outros números até que ele consiga relacionar o R 2 com o alinhamento dos pontos. Nesse momento, conceitue o R 2 como coeficiente de determinação e a sua representação percentual. R 2 =1=100% (2) 5

8 Significa que todos os pontos plotados se adequam a reta de tendência na regressão utilizada). Falando em variáveis, esse coeficiente dá ideia do quanto a equação encontrada representa os dados inseridos de x e y. 1.5 Considerações finais dessa abordagem Aqui foi utilizado o Excel para realizar essa exposição. Caso o professor tenha dificuldade de acesso a esse programa, poderá utilizar o LibreOffice Calc. As situações didáticas se distinguem em alguns aspectos os métodos do ensino dependem dos questionamentos dos alunos, as vezes não visualizados pelo professor. Porém, o que se tentou descrever aqui foi o padrão percebido na execução dessa atividade com alunos. De fato, o tratamento qualitativo (uma vez que não há exposição das equações da regressão) dos dados foi facilitado pelo programa (Excel). Ajudou no tempo de aplicação e na visualização, principalmente no momento da alteração dos dados na tabela, pois a mudança provoca uma animação quase que imediata no gráfico. 2. Experimentando com a Lei de Hooke O objetivo dessa experimentação é aplicar o método estatístico de regressão, numa situação real, para determinar a constante elástica de uma mola. Essa abordagem apresenta-se mais quantitativa que a anterior. Quando possível, na abordagem do conteúdo, que segue, procurou-se referências bibliográficas do Ensino Médio, já que o foco está nesse nível. 2.1 Sobre os conteúdos abordados Lei de Hooke Quando aplicamos uma força em um ponto material, o efeito que observamos se associa com a aceleração. Quando aplicamos uma força em um corpo extenso, podemos observar outro efeito além da aceleração: a deformação do corpo. Há vários fenômenos nos quais o efeito mais importante é a deformação, como no caso das molas. As molas tendem a se deformar ao receber uma força em sua extremidade [2]. Seja uma mola helicoidal, como a ilustrada na figura 7. Aplicando-se uma força à extremidade livre da mola, ela tem uma deformação x. Observa-se que, dentro de certos 6

9 limites, a deformação x é diretamente proporcional à força aplicada à extremidade livre da mola (força Peso da massa m). Figura 7. Deformação da mola. A força elástica, Fel, é de restauração e por consequência, na posição de equilíbrio (força resultante é nula) tem valor igual ao da citada força. Essa lei de proporcionalidade foi enunciada pelo cientista Robert Hooke e é analiticamente representada por: F el = k. x (3) Onde, k é a constante elástica da mola. A constante da mola depende de ela ser mais ou menos rígida, ou seja, depende de suas características físicas (19). Outra notação comum para a força elástica, em uma dimensão, é: F el = k. x (4) Para essa notação: x=0 é o ponto de equilíbrio da mola (não há deformação); x>0 são valores quando se estica a mola em relação a ponto de equilíbrio (elongação); x<0 são valores quando se comprime a mola em relação ao ponto de equilíbrio (compressão). O valor negativo da força tem significado físico e representa que a força elástica é de restauração à posição de equilíbrio. Está sempre contrária ao sentido de x [2]. 7

10 2.1.2 Erros instrumentais e propagação de erros Todas as medidas têm um erro associado. Para minimizar esse erro, pode-se realizar um número maior de medidas, diminuindo a incerteza sobre o valor da medida. Enquanto a incerteza é um parâmetro que mostras a dispersão dos valores medidos em relação ao esperado, o erro é a diferença entre o valor medido e o valor esperado. Existem erros causados pela imprecisão dos aparelhos de medição ou na metodologia utilizada pelo observador e afetam a exatidão das medidas erros sistemáticos. Outros se devem a fatores imprevisíveis e afetam a precisão das medidas - erros aleatórios [3]. Ao utilizar um instrumento de medição, deve-se associar o erro a ele vinculado: x ± Δx (5) Onde x é o valor associado a leitura e Δx o erro inerente a instrumento. Em geral, para aparelhos analógicos se utiliza como erro instrumental a metade da menor medida e para aparelhos digitais, a menor medida [3]. Ao fazer operações matemáticas com essas medidas, os erros se propagam. Em geral, utiliza-se as derivadas parciais para determinação desses erros propagados. Para uma função de variáveis independentes f(x1, x2,..., xn) (6) o valor do erro propagado é dado por n f = ( y 2 2 ). x x i i i=1 (7) e o valor encontrado expresso como f ± Δf (8) 2.2 Pré-requisitos Manipular fórmulas, tabelas, gráficos e funções de linha de tendência no Excel; 8

11 Conteúdo de erros instrumentais, propagação de erros e Gravitação. 2.3 Material utilizado Kit experimental da Olimpíada Brasileira de Física das Escolas Públicas OPFEP (figura 8) 4 : 1 mola; 5 arruelas; 1 gancho para segurar as arruelas; 1 régua; Figura 8. Kit experimental. Balança digital; Computador com software Excel. 2.4 Procedimentos Faça uma avaliação prévia com o aluno sobre a Lei de Hooke. Se necessitar, intervenha em conceitos errôneos que não possam ser dirimidos na execução da atividade; Exponha o objetivo do experimento para o aluno, antes do início da experimentação; Determine o erro instrumental da régua; Meça o comprimento inicial do conjunto mola e gancho com a régua (l0); Coloque uma massa (arruela 1) no sistema e meça com a régua o comprimento final da mola (l1). Depois, coloque outra massa (arruela 2) junto com a primeira, e meça o comprimento (l2). Repita, no mínimo, para 5 arruelas; 4 Esse aparato experimental é simples de ser montado, mesmos na ausência do Kit. Uma variação é utilizar elástico feito para segurar dinheiro no lugar da mola. Se for utilizar esse elástico, é importante esticá-lo antes, como se faz antes de soprar balões de aniversário, para diminuir a rigidez elástica. Aliás, esse é um bom ponto de discussão com os alunos. 9

12 Com um balança digital verifique as massas das arruelas e seu erro; Construa uma tabela no Excel com os dados coletados e erros; i li ± 0,05 cm mi ± 0,1 g 0 1,60-1 1,62 7,6 2 3,65 7,3 3 6,10 7,6 4 8,35 7,7 5 10,90 7,5 Tabela 2. Exemplo de tabela com os valores coletados. Para determinar a Força Elástica (que nesse caso é aproximadamente igual a força gravitacional sobre as arruelas no gancho) é necessário o valor da aceleração da gravidade local. Nesse cálculo, utilize a Lei da Gravitação de Newton 5 : g = G. M Terra (R Terra + h) 2 (9) É um bom momento para discutir a aceleração da gravidade local e sua influência com a altitude. Peça ao aluno para buscar as informações para realizar o cálculo nessa equação (a constante gravitacional, a massa e o raio da Terra e a altitude local). Calcule e discuta o valor de g encontrado; N.m2 Constante Gravitacional [3] G -11 6,67 x 10 Kg 2 Massa da Terra [3] M Terra 5,98 x Kg Raio Médio da Terra [3] R Terra 6,37 x 10 6 m Altitude local 6 h 532 m Tabela 3. Exemplo de tabela com os dados para o cálculo de g local. 5 O valor de g pode ser verificado diretamente no site do Observatório Nacional. Disponível em: < 6 Altitude para Senhor do Bonfim BA. Fonte: Instituto de Meteorologia INMET. Disponível em: < 10

13 A intensidade da força elástica será determinada pela comparação com a intensidade da força peso (Fel = P = m.g), para correspondência linear da equação 10. Nessa comparação: y = Fel, A = k, x é a própria elongação (x) e B=0. Discuta essa relação linear; (10) Retome os dados da tabela 2. A deformação da mola, x, em cada repetição, é dada pela subtração do comprimento final e inicial, a massa no gancho é dada pela soma com a massa anterior. Coloque as unidades no Sistema Internacional de Unidades (SI) e elabore uma tabela para correspondência linear da equação 10. Utilize as fórmulas do programa para fazer esses cálculos; x ± 0, (m) Fel ± 0, (N) 2, , , , , , , , , , Tabela 4. Exemplo dos dados para a regressão (Fel por x). Insira um gráfico de dispersão no programa de Fel por x. Depois, aplique as fórmulas no programa para tendência linear no gráfico e determinação do coeficiente de determinação (R 2 ); 7 O valor encontrado (2, m) é inferior ao erro propagado ( m), embora o valor da força elástica (7, N) esteja maior que seu erro (0, N). Nesse caso, é coerente coletar outra medida. Devido ao valor de x. Discuta essas questões com o aluno. 11

14 Figura 9. Gráfico do resultado da regressão de Fel por x. Faça análise qualitativa e quantitativa desses resultados. Exemplo: o R 2 significa quanto os dados coletados se adequam ao modelo de regressão escolhido e esse valor é, aproximadamente, 99,9%; o coeficiente de inclinação da equação linear é a constate elástica da mola, k = 3,19 N/m. O coeficiente de interceptação deveria ser zero e seu valor foi 0,08. Insira um outro conceito: o do coeficiente de correlação. Para determinação do coeficiente de correlação 8, R, foi calculada a raiz quadrada do R 2. Assim, esse coeficiente tem valor +0,999. Embora esse valor seja o mesmo que o coeficiente de determinação, tem significado diferente. Ele representa a correlação entre as variáveis, nesse caso a força elástica e a elongação da mola. O sinal positivo é teórico (correlação positiva), uma vez que a raiz quadrática pode ser positiva ou negativa e esse coeficiente também. 2.5 Considerações finais para essa experimentação Buscou-se mostra que embora os pontos pareçam alinhados, não estão. É importante discutir se uma outra equação, ao invés da linear utilizada, poderia gerar um resultado satisfatório para o R 2, a exemplo de uma polinomial de ordem maior que 1. Embora a prática utilizada aluda a verificação da constante elástica da mola, em primeiro olhar, o objetivo principal não é sua obtenção. Ele está nos passos necessários 8 O símbolo R é intencional e relacionado como o R 2. 12

15 para atingir seu valor em um conjunto de operações (no sentido cognitivo) que permita e facilite uma aprendizagem significativa para os alunos. De outra forma, o tema permite uma abordagem no cotidiano do aluno e juntamente com a experimentação, as idealizações e generalizações das fórmulas experimentais geram discussões quanto aplicabilidade do método científico. A ideia primordial surgiu do não acoplamento dos pontos a reta de regressão, que difere da fórmula teórica e aproxima o aluno ao mundo da real. 3. Outras possibilidades de abordagem O foco desse roteiro na Lei de Hooke é intencional. A abordagem dessa Lei é simples, tanto para o professor como para o aluno. Dessa forma, indica-se em um primeiro momento, para familiarizar esses protagonistas como o método de regressão no software. Porém, o professor deve procurar, criar e adaptar, novas possibilidades. Neste sentido, apresenta-se um resumo de outras possibilidades de aplicação da regressão, inclusive com outras tendências, além da linear 9 : Caso o professor tenha no laboratório didático de Física um dilatômetro poderá utilizá-lo para determinar o coeficiente de dilatação linear pela regressão, com tendência linear; Através de um experimento de pêndulo simples, pode determinar a aceleração da gravidade local. No tratamento dos dados, pode-se realizar uma regressão com tendência quadrática, mas se recomenda a utilização da linear, reduzindo a equação quadrática à linear; Com a utilização de um simulador de planetário para coleta de dados, poderá determinar os dias de Sol a pino entre os trópicos de Câncer e Capricórnio, com a utilização de regressão com tendência pronominal de quarta ordem; Poderia solicitar os alunos que construam um calorímetro e determinem a capacidade térmica do mesmo, aplicando uma regressão com tendência linear; Através da construção de um calorímetro de combustão indireta, compararia a eficiência energética de óleos (poder de queima), com a utilização de regressão com tendência polinomial de quarta ordem. 9 Descrição completa de outras possibilidades de abordagem. Disponível em: 13

16 Referências bibliográficas [1] J. C. LAPPONI, Estatística Usando Excel, Rio de Janeiro: Elsevier, [2] J. L. SAMPAIO e C. S. CALÇADA, Universo da Física - Mecânica, 2 ed., São Paulo: Atual Editora, [3] J. B. GONÇALVES, Sistemas de medição, erros e calibração, 1ª ed., Rio de Janeiro: Ciência Moderna, [4] D. HALLIDAY, R. RESNICK e J. WALKER, Fundamentos de Física, vol. 2, Rio de Janeiro: LTC,