Exercícios de Lógica (Resolução no Final)

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1 Exercícios de Lógica (Resolução no Final) ) Anteontem ela tinha 8 anos. No ano que vem faz. Hoje é dia n e o dia do seu aniversário é m. Então, (a) n é par e m é ímpar. (b) m é par e n é ímpar. (c) n e m são pares. (d) n e m são ímpares. (e) n e m são primos. ) (FUVEST/008) Sabendo que os anos bissextos são múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segunda feira será (a) 0 (b) 04 (c) 06 (d) 08 (e) 00 3) (UFRGS) João corre em uma pista circular, dando uma volta completa a cada 36 s. Pedro corre em sentido oposto e encontra João a cada s. O tempo que Pedro leva para dar uma volta completa é (a) 7 s (b) 36 s (c) 8 s (d) s (e) 6 s 4) (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra. A B 3 Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se esta afirmação é verdadeira (a) é necessário virar todos os cartões. (b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. (c) é suficiente virar os dois últimos cartões. (d) é suficiente virar os dois cartões do meio. (e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.

2 ) (FUVEST) Durante uma viagem choveu vezes. A chuva caia pela manhã ou pela tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuvas. Quantos dias durou a viagem? (a) (b) 6 (c) 7 (d) 9 (e) 0 6) (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página, ele escreveu 70 algarismos. Então o valor de n é (a) 99 (b) (c) 6 (d) 48 (e) 0 7) (Mottola) Pessoas esperam em uma fila para receber água. Se começarem a ser distribuídos 4 litros por pessoa, as duas últimas pessoas da fila ficam sem água. Se for reduzida à metade a quantidade por pessoa, sobram litros. O número de litros de água disponível é um número (a) ímpar (b) primo (c) múltiplo de (d) divisor de 4 (e) divisor de 8 8) Eu tenho duas vezes a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será 4 anos. Minha idade é (a) anos (b) 8 anos (c) 0 anos (d) anos (e) anos 9) (Receita Federal) Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que: (a) Marta ficou em casa. (b) Martinho foi ao shopping. (c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. (d) Márcio e Martinho foram ao shopping. (e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping.

3 0) (Receita Federal) X e Y são números tais que: Se X 4, então Y>7. Sendo assim: (a) Se Y 7, então X > 4. (b) Se Y > 7, então X 4. (c) Se X 4, então Y < 7. (d) Se Y < 7, então X 4. (e) Se X < 4, então Y 7. ) A moeda e o círculo cinza da figura têm o mesmo comprimento. A moeda irá rolar em torno do círculo, partindo do ponto de contato A. A B Se rolar uma volta completa de 360, seguindo as setas pretas, voltará à posição de partida, com a cabeça voltada para cima. Mas se rolar apenas meia volta, sobre o arco vermelho, com ponto de contato terminando em B, irá parar na posição: (a) (b) (c) (d) (e) 3

4 ) (Problema de Monty Hall) Monty Hall apresenta 3 portas a um concorrente. Atrás de uma porta há um carro e das outras duas há bodes. O concorrente escolhe a porta A. Monty abre uma das outras portas (B ou C) e mostra que há um bode. Pergunta se o concorrente quer manter a porta A ou prefere trocar pela outra porta não aberta. A B Para ter mais chances de ganhar o carro o concorrente deve: (a) manter a porta. (b) trocar de porta. (c) manter ou trocar, tanto faz. Agora as probabilidades são iguais. (d) trocar de porta apenas se mais uma informação for apresentada. (e) não trocar de porta apenas se mais uma informação for apresentada. 3) O tambor de um revolver tem 6 câmaras para balas. Após cada tiro o tambor gira automaticamente no sentido horário para colocar a próxima câmara na posição para o disparo seguinte São colocadas balas em câmeras vizinhas para a execução de um condenado, que terá a sua pena suspensa se não ocorrer o disparo em duas tentativas. Na primeira tentativa não ocorre o disparo. O que é melhor para o condenado: (a) Dar alguns giros aleatórios no tambor antes da segunda tentativa. (b) Efetuar logo a segunda tentativa, sem mexer no tambor. (c) Tanto faz girar ou não o tambor antes do próximo disparo. (d) Efetuar mais duas tentativas, sem mexer o tambor. (e) Efetuar mais duas tentativas, mas antes girando aleatoriamente o tambor. 4

5 4) (Receita Federal) A negação de Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa é: (a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. (b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. (c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. (d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. (e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa. ) (Mottola) Na caixa da figura, o comprimento do menor caminho para se ir de A até B, passando por um ponto de H, é B (a) 0 (b) (c) (d) (e) 4 7 A H 6) (Mottola)A superfície cilíndrica da figura é recortada na geratriz g e planificada. g A alternativa que contém a região mais próxima da planificação resultante é a) b) c) d) e)

6 7) (Receita Federal) Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. Consultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei: (a) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha. (b) certamente ganharia a batalha. (c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha. (d) certamente perderia a batalha. (e) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha. 8) Considere verdadeira a afirmação: O Inter ganha ou o Grêmio perde. Então é verdade que (a) Se o Inter ganha, então o Grêmio perde. (b) Se o Inter ganha, então o Grêmio não perde. (c) Se o Inter não ganha, então o Grêmio perde. (d) Se o Grêmio perde, então o Inter não ganha. (e) Se o Grêmio não perde, então o Inter não ganha. 9)Ana e Maria partem em sentidos opostos de um ponto P de uma pista circular, com velocidades de m/s e 9 m/s. Ana P Maria (a) 0 (b) 3 (c) 4 (d) 6 (e) 8 Até passarem juntas pelo ponto P, quantas vezes irão se encontrar? 6

7 0) Sabe-se que, na equipe X futebol clube - XFC, há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio capista que, às vezes fala a verdade e, às vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles declarou: "Foi empate"; o segundo disse: "Não foi empate"; o terceiro falou: "Nós perdemos". O torcedor reconheceu somente o meio campista, mas pode deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio campista e o resultado do foram, respectivamente: (a) "Foi empate" / o XFC venceu (b) "Não foi empate" / empate (c) "Nós perdemos" / o XFC perdeu (d) "Não foi empate" / o XFC perdeu (e) "Foi empate" / empate 7

8 RESOLUÇÃO ) Hoje é de janeiro e o seu aniversário é 3 de dezembro. Basta verificar. Assim, n e m são ímpares. ) Se um ano tivesse 364 dias, teria uma quantidade de dias múltipla de 7. Desta forma, uma mesma dada sempre cairia no mesmo dia da semana. Mas como um ano padrão tem 36 dias, dia a mais, se uma data cai num certo dia da semana, no ano seguinte esta mesma data avança dia da semana. Nos anos bissextos, com 366 dias, avança dias da semana. Assim, temos: de janeiro de 007: segunda-feira. de janeiro de 008: terça-feira. de janeiro de 009: quinta-feira (008 é bissexto). de janeiro de 00: sexta-feira. de janeiro de 0: sábado. de janeiro de 0: domingo. de janeiro de 03: terça (0 é bissexto). de janeiro de 04: quarta. de janeiro de 0: quinta. de janeiro de 06: sexta. de janeiro de 07: domingo (06 é bissexto). de janeiro de 08: segunda. 3) João e Pedro se encontram pela primeira vez a s da partida dos dois. Como João dá uma volta completa em 36s, este primeiro encontro se dá a um terço de volta (++=36). Neste primeiro encontro, João terá andado /3 de volta e Pedro terá andado, no mesmo tempo, /3 de volta (eles andam em sentidos contrários). Assim, a velocidade de Pedro é o dobro da velocidade de João. Se João dá uma volta completa em 36s, então Pedro dá uma volta completa em 8s. 4) Foi dito: Se tem uma vogal de um lado, então tem um número par do outro. Isto só deixaria de ocorrer se tivesse algum cartão com uma vogal de um lado e um número ímpar do outro. Isto só tem chance de ocorrer no primeiro e no último cartão. Assim, se estes forem virados, a afirmação poderá ser comprovada. A B 3 8

9 ) Observe o quadro Manhã Tarde 6) Da página à página 9: 9 números de dígito: 9 dígitos. Da página 0 à página 99: 90 números de dígitos: 80 dígitos. Então, até a página 99 já foram escritos 89 dígitos. Para 70 dígitos, faltam 70-89=8 dígitos. Da página 00 até a página 999, cada número tem 3 dígitos. Como faltam 8 dígitos, ainda devem ser escritos 8 3=7 números. A partir de 99, para 7 números serem escritos, deve-se ir até o número 6. 7) Seja n o número de pessoas. Se der 4 litros por pessoa, as duas últimas pessoas ficam sem água:... Assim, o número de litros é 4(n-) 3 n-n- n Se der litros por pessoas, sobram litros:... Assim, o número de litros é também n+. 3 n-n- n Igualando, temos: 4(n-)=n+ 4n-8=n+ n=0 n= Como o número de litros n+, sendo n=, temos litros, que é um divisor de 4. 9

10 8) x: minha idade hoje y: tua idade hoje. Vamos analisar a afirmação: a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. A nossa diferença de idade é d=x-y. Eu tinha a tua idade há d anos atrás. E há d anos atrás tu tinhas y-d anos. Ou seja, tinhas y - (x-y) = y -x +y = y - x anos. Então, eu tenho duas vezes a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens é equacionado por x = (y -x) x = 4y - x 3x = 4y Vamos analisar a afirmação quando tiveres a idade que eu tenho. Vais ter a idade x que eu tenho daqui a d = x - y anos. Então terei x + d = x + (x - y) = x - y anos. A soma da tua idade x com a minha idade x - y será 4. Equacionando, temos:x - y + x = 4. Ou seja, 3x - y = 4. Temos o sistema: 3x 4y 3x y 4 Substituindo 3x por 4y na segunda equação, temos: 4y - y = 4 3y = 4 y =. 3x = 4 3x = 60 x = 0. 9) Sejam p e q proposições: Se p, então q implica em Se não q, então não p. Por exemplo: Se é catarinense, então é brasileiro é verdade. Logo, também é verdade: Se não é brasileiro, então não é catarinense. Temos: () Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. () Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. (3) Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. (4) Mário foi ao shopping. Pela (4), Mário não ficou em casa. Pela (3), Martinho não foi ao shopping. Pela (), Marta não ficou em casa. Pela (), Márcio não foi ao shopping. Logo, Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. 0

11 0) Se X 4, então Y>7. Logo, Se é falso que Y>7, então é falso que X 4. Ou seja, Y 7, então X>4. ) Uma roda deslocando-se em um caminho reto, ao dar uma volta completa irá percorrer uma distância igual ao seu comprimento. Comprimento da circunferência A curvatura do caminho é compensada com um maior ou menor giro. Se a moeda girar sobre um caminho equivalente a meio círculo, mas em linha reta, é claro que dará meia volta, ficando com a cabeça para baixo. Mas se a moeda girar sobre meio círculo irá percorrer um caminho convexo, dando mais de uma volta. Irá percorrer exatamente duas voltas completas, voltando à posição de partida com a cabeça para cima. ) Só há três possibilidades: Porta A Porta B Porta C Porta que abriu para mostrar o bode: ª carro bode bode Pode ter aberto a B ou a C ª bode carro bode Abriu a porta C 3ª bode bode carro Abriu a porta B Na primeira possibilidade, se trocar vai perder o carro. Na segunda possibilidade, se trocar vai ganhar o carro. Na terceira possibilidade, se trocar (no caso pela C) vai ganhar o carro. Em duas das três possibilidades, se trocar vai ganhar o carro. Trocando há chances em 3 de ganhar o carro. Não trocando há chance em 3 de ganhar o carro Conclusão: Se trocar, as chances de ganhar o carro irão dobrar. Obs.:Se o problema iniciasse no momento que a porta C é descartada, então tanto faria trocar ou não de porta (0% de chances para cada uma). Mas o problema inicia antes, dando a informação que há 66,66% de chances do carro estar na B ou na C.

12 3) Há 6 possibilidades das balas serem colocadas seguidas na câmara Na primeira tentativa não ocorrerá o disparo apenas quando a posição inicial for das possibilidades,,, 3 e 4. Logo, há 4 em 6, ou seja, 66,66% chances de viver. Se não ocorreu o disparo na primeira tentativa, então a posição inicial era uma destas quatro. Em uma segunda tentativa, partindo destas quatro, não ocorrerá o disparo apenas nas possibilidades iniciais, e 3. Logo, há 3 em 4, ou seja, de 7% de chances de viver efetuando o disparo em seguida, sem girar o tambor. Se girar o tambor, volta-se a situação inicial com 66% de viver. Conclusão: Para se ter mais chances de viver é melhor NÃO girar o tambor. 4) Uma proposição p e q é falsa se e somente se p é falsa ou q é falsa. Ou seja, ~ (p e q) ~ p ou ~ q. Uma proposição p ou q é falsa se e somente se p é falsa e q é falsa. Ou seja, ~ (p ou q) ~ p e ~ q. Assim, ~ ((p ou q) e r) ~ (p ou q) ou ~ r (~ p e ~ q) ou ~ r. A negação de Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa é Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

13 ) B A B Planificando as faces assinaladas, obtemos o menor caminho. No triângulo retângulo ADB, temos: A D AB = 3 + AB = 0 6) Parte sombreada de trás: planifica Parte da frente: gira 80 para a esquerda e planifica Linha de corte Região mais próxima 3

14 7) A única possibilidade é a seguinte: Oráculo que acerta Oráculo que acerta Oráculo que erra falou que perderia falou que perderia falou que ganharia Logo certamente irá perder. Obs.: A seguinte situação não poder: Oráculo que acerta Oráculo que acerta Oráculo que erra falou que perderia falou que ganharia falou que ganharia Neste caso haveria uma contradição entre os dois primeiros oráculos. 8) Se p ou q é verdade, então não pode ocorrer que p e q sejam falsas. Assim, se p é falsa, então obrigatoriamente q tem que ser verdade. Se O Inter ganha é falsa, então obrigatoriamente O Grêmio perde tem que ser verdade. Logo, Se o Inter não ganha, então o Grêmio perde. 4

15 9) Até passarem juntas pelo ponto P, quantas vezes irão se encontrar? 9 =,8 A velocidade da Maria é,8 vezes a da Ana. No mesmo tempo, o ângulo que Maria percorre é,8 vezes o que Ana percorre. Seja de x o o ângulo que Ana percorre até o primeiro encontro. Logo, até o primeiro encontro, Maria percorre,8x o. x +,8x = 360 o,8x = 360 o x = 360 = 3600,8 8 A cada vez que Ana percorre este ângulo x ocorrerá o encontro com Maria: x, x, 3x, 4x,..., em geral, nx para n inteiro positivo. Queremos saber qual o primeiro destes ângulos que corresponderá ao ponto inicial P. Qual destes ângulos corresponderá a 360º, 360º, 3 360º,...? Para n=4, temos: nx = = 800 = Quando Ana percorrer 4 vezes este ângulo x ocorrerá o primeiro encontro no ponto de partida P. Logo, antes deste encontro ocorrerão 3 encontros. 0) Ele reconheceu o meio campista que às vezes mente e às vezes fala a verdade. Há 3 possibilidades: o meio camista falou que foi empate (), falou que não foi empate () ou falou que perderam (3). A B A B 3A 3B Foi empate V/F V/F V F V F Não foi empate V F V/F V/F F V Perdemos F V F V V/F V/F A : XFC ganhou. B : XFC perdeu e foi empate, que é impossível. A: Foi empate. B: XFC perdeu. 3A: Foi empate. 3B: Não foi empate. Nas situações e 3 o torcedor não poderia ter certeza do resultdo do jogo. Nas situações o torcedor tem certreza do resultado do jogo, ou seja, o meio campista que às vezes fala a verdade e, às vezes mente, disse que foi empate e XFC venceu.

16 Respostas ) D ) D 3) C 4) E ) C 6) C 7) D 8) C 9) C 0) A ) A ) B 3) B 4) B ) A 6) C 7) D 8) C 9) B 0) A 6