Exercicios de Reforzo: Matrices

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1 Exercicios de Reforzo: Matrices. Dadas as matrices A = ( a +, B = ( e C = (c b c a Calcula as matrices A B e B C b Calcula os valores de a,b e c que cumpren A B = B C. Dadas as matrices A = ( a, B = ( e C = ( b a Calcula a inversa de B por calquera método b Determina os valores que deben tomar a e b para que se verifique: A B + I = C t, I matriz identidade de orde e C t matriz trasposta de C. Sexan as matrices A = ( 5 x, B = ( e C = ( x a Determina o valor de x para que se verifique B = A b Calcula o valor de x para que B + C = A ( A matriz inversa de A c Calcula o valor de x para que se verifique A B + C = I, sendo I a matriz identidade de orde.. Dada A = ( a, calcula, se o hai, algún valor de a para o que se verifique que A a sexa a matriz identidade. 5. Despexar a matrix X na ecuación A XB CD = B e calcula o seu valor. Sendo A=(, B = ( C = ( e D = ( 6. Dadas as matrices A = ( B = ( a b c e C=( 5 calcula os valores de a, b e c para que se verifique a 6 ecuación matricial A B t = C onde B t denota a trasposta de B. 7. Dada a ecuación matricial X A + B t = X sendo B t a trasposta de B: A = ( B = ( a Despexar a matriz X. Calcula a matriz inversa de A I b Resolver a ecuación matricial.

2 8. Resolve a ecuación matricial A X + C = B, sendo A =, B =, C = 9. Unha empresa fabrica xoguetes de tres tipos diferentes T, T, T.Os prezos de custo de cada xoguete e os ingresos que obtén a empresa por cada xoguete vendido veñen dados na seguinte táboa: T T T Prezo de custo 6 9 Ingreso 6 O número de vendas anuais é de 5 xoguetes T, 5 xoguetest e 5 xoguetes T. Sabendo que a matriz de custos (C e a matriz de ingresos (I son matrices diagonais e que a matriz de vendas anuais (V é unha matriz fila, a Determina as matrices C, I e V. b Obter utilizando as matrices anteriores, a matriz de custos anuais, a matriz de ingresos anuais, e matriz de beneficios anuais, correspondentes aos tres tipos de xoguetes.

3 s. Dadas as matrices A = ( a +, B = ( e C = (c b c a Calcula as matrices A B e B C b Calcula os valores de a,b e c que cumpren A B = B C a a + b a A B = ( e B C = ( c b b c a + c = a a + b b A B = B C ( = ( c b b c { a + b = b + c = Resolvemos o sistema por un método axeitado, e obtemos a =, b =, c = E comprobaríamos o resultado: A B = ( ( = ( B C = ( ( = (. Dadas as matrices A = ( a, B = ( e C = ( b a Calcula a inversa de B por calquera método b Determina os valores que deben tomar a e b para que se verifique: A B + I = C t, I matriz identidade de orde e C t matriz trasposta de C a Calculamos a inversa polo método de Gauss B = ( / / b Operamos alxebricamente coas matrices dadas: I = ( e Ct = ( a a A B + = ( b + b a a A B + + I = ( b (b + Igualamos os termos e obtemos as seguintes ecuacións: a = a = b = b = Comprobamos a compatibilidade dos valores a= na outra igualdade a + = e para b (b + =

4 . Sexan as matrices A = ( 5 x, B = ( e C = ( x a Determina o valor de x para que se verifique B = A b Calcula o valor de x para que B + C = A ( A matriz inversa de A c Calcula o valor de x para que se verifique A B + C = I, sendo I a matriz identidade de orde. a Caculamos a matriz B = ( + x x x x + Resolvemos a igualdade de matrices, obtendo o valor da solución: ( + x x x x + = (5 + x = 5 { x = x = x + = A solución x=- non é válida, porque non é certa para todas as ecuacións. b Calculamos a inversa da matriz A, A = ( 5 Calculamos B + C = ( x x 5 Igualamos os termos de amabas matrices : ( x x 5 = ( 5 e obtemos x=- c Operamos alxebricamente as marices A B + C = ( x / x / x / Igualamos ( = ( x = 5/ x /. Dada A = ( a, calcula, se o hai, algún valor de a para o que se verifique que A a sexa a matriz identidade. Calculamos A = ( a a igulamos a matriz a matriz identidade e obtemos: + a ( a a + a = ( { a = a + a = Resolvemos para calcular o valor de a, sendo a única solución posible a = 5. Despexar a matrix X na ecuación A XB CD = B e calcula o seu valor. Sendo A=(, B = ( C = ( e D = ( Despexar a matriz X, A XB = B + CD X = A(B + CDB Calculamos a matriz inversa de B por o método de Gauss e obtemos: B = (

5 Calculamos B = ( 8 X = A(B + CDB X = ( 5 6. Dadas as matrices A = ( B = ( a b c e C=( 5 calcula os valores de a, b e c para que se verifique a ecuación 6 matricial A B t = C onde B t denota a trasposta de B. a Calculamos B t = ( b c a b + c Calculamos A B t = ( a b + c a + b c a b + c = Formulamos o sistema { a b + c = 5 a + b c = 6 Resolvemos por calquera método, obtendo: a = b = e c = 7. Dada a ecuación matricial X A + B t = X sendo B t a trasposta de B: A = ( B = ( a Despexar a matriz X. Calcula a matriz inversa de A I b Resolver a ecuación matricial. a Despexar a matriz X X = B t (A I Calculamos a matriz A I = ( Calculamos a inversa por calquera método (A I = ( b Resolvemos a ecuación matricial e obtemos X = ( 5

6 6 8. Resolve a ecuación matricial A X + C = B, sendo A =, B =, C = A X + C = B A X = B C A (A X = A (B C X = A (B C Calcúlase a inversa de A polo método de Gauss: F F ª ª F F ª ª : ª F Logo A = Substitúense as variables polos seus valores e opérase: X = = = = 9. Unha empresa fabrica xoguetes de tres tipos diferentes T, T, T.Os prezos de custo de cada xoguete e os ingresos que obtén a empresa por cada xoguete vendido veñen dados na seguinte táboa: T T T Prezo de custo 6 9 Ingreso 6 O número de vendas anuais é de 5 xoguetes T, 5 xoguetest e 5 xoguetes T. Sabendo que a matriz de custos (C e a matriz de ingresos (I son matrices diagonais e que a matriz de vendas anuais (V é unha matriz fila, a Determina as matrices C, I e V. b Obter utilizando as matrices anteriores, a matriz de custos anuais, a matriz de ingresos anuais, e matriz de beneficios anuais, correspondentes aos tres tipos de xoguetes. a Matriz de custos C= ( 6 9 Matriz de ingresos I=( 6

7 Matriz de vendas anuais V=(5 5 5 b Matriz e custos anuais: V C =(5 5 5( 6 =(8 5 9 Matriz de ingresos anuais: V I =(5 5 5( 6 =( Matriz de beneficios anuais: V I V C = (7 5 5 Terá logo 7 de beneficios anuais cos xoguetes tipo T ; 5 cos xoguetes tipo T ; e 5 cos xoguetes tipo T. 7