Um Problema de Controle na. Administração da Pesca

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática- UFRJ Um Problema de Controle na Administração da Pesca Felipe Galvão Puccioni 1 matematicahoje@ig.com.br 1 CNPq Edital 05/2004. Orientadora: Sandra M. C. Malta, DME-UNIRIO

2 1 Introdução Nesse trabalho estuda-se a retirada ótima de um recurso renovável, no caso, uma população de peixes, levando em conta a importância da sustentabilidade e do lucro. Para tanto, apresenta-se um modelo matemático, que descreve o problema a partir de um sistema de equações diferenciais ordinárias que é resolvido usando a teoria do controle ótimo. As questões chaves que serão analisadas são: Dado um razoável modelo de crescimento para uma população de peixes, qual é a pesca máxima sustentável? Dados certos parâmetros ecônomicos, tais como taxas, preços, despesas gerais, etc., qual é o lucro sustentável máximo? Suponha que uma frota de barcos pesca uma certa população de peixes homogênea, xt), e leva esta população a um estágio de esgotamento, o qual necessita que a pescaria cesse por um tempo, e assuma que a população recupera-se dada uma chance. Em que instante deve ser retomada a pesca para maximizar o lucro? Compara-se o lucro obtido a partir da pesca máxima sustentável com o lucro obtido levando-se em consideração certos parâmetros econômicos, e conclui-se que o segundo caso é mais prejudicial a população de peixes e o lucro que é obtido nos dois casos é quase o mesmo, ou seja, pode-se obter 1

3 um retorno relativamente satisfatório com uma menor retirada do recurso renovável em questão. Para isto o trabalho está organizado como segue. Na seção 2 introduzse os modelos matemáticos a serem estudados e apresenta-se as soluções analíticas correspondentes. Na seção 3 acha-se a pesca máxima sustentável. Na seção 4 inclui-se alguns parâmetros econômicos e acha-se o lucro máximo sustentável. E na última seção aplica-se o método de Runge-utta de quarta ordem no modelo para obtermos os resultados numéricos. Todo o trabalho aqui apresentado baseia-se nos textos de Illner et al. 2005) [1] e Boyce-DiPrima 2001) [2]. 2

4 2 O Modelo de Crescimento Logístico Inicia-se introduzindo as váriaveis e parâmetros do problema: Variáveis xt) bt) ht) Parâmetros Definição das Variáveis o tamanho da população de peixes no instante t o número de barcos operando no instante t a razão da retiradaunidades de peixes pegos por unidade de tempo) Definição dos Parâmetros c B n p w o custo de manutenção de um barco por unidade de tempo o número médio de pescadores por barco o preço de venda por unidade de peixe o salário de um pescador por unidade de tempo Suponha, por simplicidade, que p, w, n, e c B são constantes. Além disso, interessa-se principalmente por uma frota de pescaria de tamanho constante bt) = U > 0. A taxa de recolhimento ht) é usualmente tomada como ht) = qxt)bt), isto é, proporcional à população de peixes e ao número de barcos com uma proporção constante q conhecida como pescabilidade. Para uma frota de pescaria de tamanho constante, então, ht) = quxt). Fazendo a simples suposição que a população de peixes é descrita pelo modelo de crescimento logístico, então a população vive na ausência de 3

5 predadores, e a população xt) satisfaz a equação diferencial ordinária [ dx dt = Rxt) 1 xt) ], 1) onde R é a constante chamada de taxa de crescimento intrínseco, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador e é a capacidade ambiental de sustentação carryng-capacity ). Incluindo-se pescaria nesse modelo a frota de barcos de pesca volta a atividade no instante s > 0), então a equação 1) torna-se [ dx dt = Rxt) 1 xt) ] quxt), t > s, que é satisfeita para t > s. Após algumas mudanças tem-se dx dt = Rx 1 x ), se t s, Rx 1 x qu ), se t > s, R 2) onde s > 0 é o instante onde a pesca começa. A solução para equação 2) será denotada como x 1 t) ou x 2 t) se t s e t > s, respectivamente. É conveniente expressar a população inicial de peixes como uma fração de. Consequentemente escreve-se x0) = /N onde N > 1 e resolve-se, a seguir, a equação 2) para x 1 t), ou seja, dx 1 dt = R 1 x 1 ) x 1. 3) 4

6 Sendo x 1 0 e x 1, já que 0 e são os pontos críticos ou soluções de equilíbrio pois permanecem constantes quando t cresce, então pode-se reescrever a equação 3) na forma: dx 1 1 x ) = Rdt. 4) 1 x 1 Usando-se expansão em frações parciais do lado esquerdo da igualdade acima, tem-se 1 1 x ) 1 x 1 e igualando o denominador tem-se A 1 x 1 + B x 1, 5) 1 Ax 1 +B 1 x ) 1 1 Ax 1 +B x 1B 1 A B ) x 1 +B. Logo, os coeficientes do primeiro membro devem ser iguais aos coeficientes correspondentes do segundo membro. Assim, B = 1 e A B = 0 = A = 1. Substituindo esses valores em 5), obtém-se 1 1 x ) = 1 x x x 1. Volta-se à equação 4) e integrando ambos os membros da igualdade, dx 1 1 x ) = 1 x 1 5 Rdt,

7 ou ainda 1 dx1 1 x dx = Rdt. x 1 Resolvendo as integrais da equação acima, tem-se ln x 1 ln 1 x 1 = Rt + j, 6) onde j é uma constante arbitrária de integração a ser determinada pela condição inicial x0). Aplicando exponencial na equação 6), encontra-se x 1 1 x 1 = Ce Rt, 7) onde C = e j > 0. Para satisfazer a condição inicial, deve-se escolher C = x0) 1 x0). Substituindo esse valor para C na equação 7) e resolvendo para x 1, obtém-se x 1 t) = Substituindo x0) por /N, então x 1 t) = x0) x0) + x0))e Rt., 8) 1 + N 1)e Rt que é a expressão para a solução x 1 t), da equação 2), válida para t s. Por outro lado, quando a pescaria começa o objetivo é tornar a população de peixes estabilizada para todo o futuro conceito de sustentabilidade). Logo, para uma pescaria estável quando t > s, a solução de equilíbrio 6

8 x 2 t) é necessária. Para concluir esse estado de equilíbrio, x 2 t) é escolhida para satisfazer 1 x 2 qu R = 0, que produz a solução x 2 t) = 1 qu ), 9) R que é válida para t > s. Se a pescaria começa no instante s > 0, a população de peixes xt) satisfaz a equação 8) para t < s, e para t > s tem-se que xt) = x 2. Com certeza, xt) deve ser contínua para t = s e, consequentemente, x 1 s) = N 1)e = qu ) = x Rs 2 s). R Logo e Rs = 1 ) R, N 1 R qu e, tomando logaritmo de ambos os lados e resolvendo para s, tem-se s = 1 R ln [N 1) )] R qu 1, 10) que determina s como uma função da frota de pescaria U. Essa fórmula para s indica quando deve ser retomada a pesca. 7

9 3 Maximizando a Pesca Sustentável 3.1 Pesca Contínua Na seção anterior deduziu-se que um equilíbrio da população de peixes com uma frota de pescaria constante é dado pela expressão 9), ou seja, x 2 t) = 1 qu ). R Portanto, a pesca associada com esse nível de população é definida pela função HU) = qx 2 t)u = qu 1 qu ), R obtida a partir da expressão ht) = qxt)bt), com xt) = x 2 t) e bt) = U. Deseja-se então escolher U para que HU) torne-se máximo. Portanto, calcula-se a derivada H U) = q 2q2 U R, e resolve-se a equação H U) = 0. Como resultado temos U = R/2q, que determina o número ótimo de barcos. Substituindo-se este valor na equação para x 2 t) conclui-se que a população de equilíbrio é então x 2 t) = /2, e a pesca máxima é HU ) = R/4. Estas observações serão discutidas novamente na próxima seção e ilustradas na Figura 2. 8

10 3.2 Pesca Periódica A maior parte da renovação de recursos naturais é retirada em um período base, assim existe uma época tipicamente a melhor parte do ano para a renovação) onde os recursos podem crescer tranquilamente, e então existe uma temporada de retirada usualmente menor do que a outra). Seja x n a população de peixes em um ano determinado. Na ausência de pesca, o modelo discreto é escrito como x n = x n 1 + R 1 x n 1 1 x ) n 1, 11) onde x n 1 é o tamanho da população de peixes do ano anterior e a outra parte da equação representa o crescimento da população usando o modelo de crescimento logístico dado em 1). Note que agora trata-se sobre crescimento antes do que sobre taxa de crescimento, como no modelo de equações diferenciais discutido anteriormente. Efetivamente, o modelo presente segue da equação 1) via aproximação de Euler onde toma-se R 1 = R t, t o passo, ou divisão, do intervalo de tempo a ser considerado. O sistema de dinâmica discreta 11) é uma aproximação grosseira do modelo de crescimento logístico; todavia, ele oferece uma aceitável estimativa da população em uma temporada de um determinado ano. Uma estimativa que pode ser usada para prognosticar a pesca máxima sustentável, tamanho da frota ótima e etc. 9

11 O objetivo é ainda manter a população, que deve ser pescada com resultados ótimos de ano em ano; e para maximizar a pesca sustentável é apenas necessário considerar a parte do crescimento do modelo. Deste modo, a pesca sustentável será máxima para uma população x para a qual o período de crescimento é maximizado. Tem-se então [ d R 1 x 1 x )] x = 0, dx que ocorre quando x = /2. Isto é idêntico à população x 2 t) calculada na seção anterior. O máximo possível de retirada é então determinado pela substituição de x no modelo de crescimento 11), ou seja, ) R 1 x 1 x = R ) = R Parece natural que o tamanho da frota de pescaria requerida para retirar a pesca máxima sustentável seja R 1 /2q 1, consistente com o resultado obtido do modelo de equações diferenciais, equação 1). Contudo, isso não é completamente exato, por causa de um ponto sútil ignorado. O ponto é que ainda não está definido qual dos dois x n s x n ou x n 1 ) está antes ou depois da temporada de pesca. Os dois não serão exatamente os mesmos. Assumindo que a temporada de pesca é relativamente curta em relação ao período de suspensão da pesca, a diferença entre os dois justamente será igual a pesca. 10

12 Toma-se que x n é a população no ano n após a temporada de pescaria. Então pode-se escrever o modelo completo, incluindo pescaria, como x n = x n 1 + R 1 x n 1 1 x ) n 1, x n = x n q 1 Ux n, onde q 1 = q t, x n é a população de peixes no ano n antes da pescaria, e x n é a população após a pesca. Em particular, se 0 < x n 1 <, então x n > x n 1. Assim a população de peixes não está realmente estabilizada, e o tamanho da frota deve ser levado em conta. Substituindo x = /2 por x n e x n 1, calcula-se ou seja, q 1 [ x + R 1 x 1 x U = )] ) U = R 1 x 1 x, R 1 q R 1 ). Observa-se que os argumentos nesta análise dependem somente de três quantidades: o tamanho da população de peixes em algum ponto no tempo, a capacidade ambiental de sustentação, e a constante, taxa de crescimento intrínseco, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Todas as três podem ser estimadas a partir uma simples pesquisa ou de estatísticas históricas de pescaria. 11

13 4 Maximizando o Lucro Inclui-se agora alguns parâmetros econômicos tais como salários, preços e custos. Primeiro monta-se um funcional objetivo o qual representará o lucro sustentável. Lucro é rendimento menos o total dos custos, onde o rendimento por unidade de tempo, denotado como P rev t), é P rev t) = pht), e o custo total por barco, c, é dado como c = c B + nw e, além disso, o custo por unidade de tempo, cbt), é cbt) = c B bt) + nwbt). Daí define-se o lucro por unidade de tempo, denotado por P t), como P t) = pht) cbt). 12) Seja então o valor desconto) δ > 0, um valor de interesse que assume-se constante. Usando a equação 12), o presente valor do lucro para algum tempo t, EP t)), é dado por EP t)) = e δt [pht) cbt)]. Integrando EPt)), o verdadeiro retorno ou o valor do lucro total em reais, denotado como J, é expressado por J = Esse é o funcional objetivo a ser maximizado e δt [pht) cbt)]dt. 13)

14 Uma restrição deste modelo é que o valor δ é assumido para uma aplicação em geral, e c B, p, e w são considerados constantes. Na realidade, p provavelmente crescerá com ou maior rapidez do que a inflação geral, e c B e w são difíceis de prognosticar já que eles são influenciados por fatores tais como avanços tecnológicos, negociações de união e taxas. É possível incluir flutuações estocásticas em simulações numéricas para chegar a prognósticos mais realistas. De qualquer modo, para uma primeira análise, neste trabalho, procede-se com a dada suposição não realista. Como antes, toma-se a função de pesca por ht) = qxt)bt) onde q é pescabilidade. O funcional 13) fica Jb) = 0 e δt bt)[pqxt) c]dt, 14) que é um funcional da frota de tamanho b = bt) Conforme a literatura, é fácil incluir uma modificação onde o preço de venda dos peixes e o custo por barco, p e c, ambos aumentam com o tempo. Suponha, por exemplo, que ambos cresçam para o mesmo valor α tal que p = pt) = p 0 e αt, 15) c = ct) = c 0 e αt. 16) Então obtém-se um funcional objetivo Jb) = 0 e α δ)t bt)[p 0 qxt) c 0 ]dt, 13

15 que está bem definida se δ > α se δ α, o funcional não será finito sempre). Neste trabalho, considera-se p e c constantes. Pode-se responder agora a pergunta sobre qual instante t = s > 0 uma frota de tamanho constante bt) = U deverá retomar a pescaria de tal modo que Jb) seja maximizado. 4.1 Calculando o Tamanho da Frota Ótima Tendo encontrado uma fórmula para s o tempo quando a pescaria deve ser retomada), como uma função de U em 10), o funcional do lucro o qual em 14) é dado como uma função de b.), isto é, de U e s) é realmente uma função de U apenas. Substituindo xt) = x 2 t) e s, equações 9) e 10), respectivamente, o funcional em 14) torna-se JU) = U su) e δt [pq 1 qu ) ] c dt, R onde, para uma dada frota de barcos de tamanho U, todos os parâmetros são constantes. Integrando tem-se: JU) = U e após fazer a substituição β = [ pq 1 qu ) ] e δsu) c, R δ c pq, obtém-se JU) = pqu δ 1 qu R β ) e δsu). 14

16 Essa função do lucro será negativa se 1 qu R β < 0. Isso indica condições onde não será lucrativo pescar. Por outro lado, quando a função do lucro é positiva, JU) será maximizado para o ponto U. Observa-se na Figura 1 adiante uma representação gráfica dessas situações. Para determinar U, faz-se pqr 2pq J 2 ) U pqrβ pqr pq U) = e δsu) 2 ) pqrβ e δsu) δ + δr δr qu R. Colocando o exponencial em evidência e igualando J U) a zero, obtém-se [ pqr 2pq 2 U pqrβ δr pqr pq 2 ) )] U pqrβ δ + = 0. δr R qu Consequentemente, após algum algebrismo, econtra-se 2pq 3 U 2 U 2 +pq 2 Rβ pq 2 δ pq 2 R 2pq 2 R)U+pqR 2 pqrβδ = 0, e, resolvendo a equação do segundo grau em função de U, tem-se que U = R 3 β + δ ) ± 1 + 2β 2δ 4q R R 2δβ R + 8δβ R + β2 + δ2. 17) R 2 Como 1 + β δ R então pode-se substituir ) 2 = 1 + 2β 2δ R 2δβ R + β2 + δ2 R 2, 1 + β δ R ) 2 na equação??), e escolhendo o sinal negativo antes da raiz para ter-se um valor viável para U, obtém-se U = R 3 β + δ 4q R 1 + β δ ) 2 + 8βδ. 18) R R 15

17 1 Figura 1 - Lucro JU) U Figura 1: Está exposto o valor viável para soluções J U) = 0. O funcional do lucro JU) é maximizado para U = e o valor viável é 0 U 1.1. Os parâmetros utilizados nesta figura são: p = 2, q = 0.5, = 50, δ = 0.7, R = 0.55, N = 25 e c = 4. Portanto, a pesca deve recomeçar no instante s = su ), com U caculado pela expressão 18), para obter-se um lucro máximo. Na Figura 1, a 16

18 seguir, apresenta-se um exemplo da maximização do funcional JU) em um caso particular onde 0 U Quando Custos Crescem Mais Rápido Que a Inflação: Lucro Máximo Sustentável Suponha que, usando a notação anterior, e que α δ, o valor de desconto, δ, é menor do que o valor de crescimento dos preços e dos custos. O funcional objetivo definido anteriormente o valor presente do lucro total para todo o futuro com pescaria) será neste caso divergente, não fazendo sentido maximizá-lo. Todavia, pode-se ainda tentar maximizar o valor do lucro por unidade de tempo, P t) = pht) cbt), em uma situação de equilíbrio. Isso é chamado de um modelo de lucro sustentável. Neste caso toma-se bt) = U constante), assim ht) = quxt), e P t) = U[pqxt) c], com xt) = 1 qu/r) para o equilíbrio equação 9). O valor do lucro P t) será uma simples função de U, e então JU) = U [ pq 1 qu ) ] c, 19) R e para maximizar JU) fazemos J U) = 0, isto é, J U ) = pq 2pq2 U R c = 0. 17

19 Colocando U em evidência tem-se U = c pq como antes, obtém-se U = R1 β)/2q. pqr Rc 2pq 2, e substituindo β = Deste modo, o equilíbrio associado com a população de peixes torna-se x eq = 1 + β), 20) 2 e o valor da pesca é h = qx eq U = R 4 1 β)2, 21) e, ainda, o lucro sustentável P é P = U pqx eq c) = pr 4 1 β)2. 22) Calculando o valor do lucro para a maximização da pesca sustentável introduzido na Seção 2, onde custos eram ignorados, acha-se que P = pr 4 cr 2q = pr 1 2β), 23) 4 onde a definição de β foi aplicada. Este resultado é pouco menor do que o valor apresentado pela equação 22), e o equilíbrio em 20) é desprezavelmente maior do que o obtido para x anteriormente. Concluí-se, a partir desta análise, que levando em conta certos parâmetros econômicos estabiliza-se a população de peixes bem abaixo do nível achado 18

20 na maximização da pesca sustentável, ou seja, há uma diminuição do recurso natural em questão. E como viu-se, o lucro nos dis casos é quase o mesmo. com um pequeno esforço e racionalidade das autoridades e empresas de pesca, pode-se chegar a um lucro relativamente satisfatório de modo que se retire o mínimo possível de recurso do meio ambiente. 5 Resultados Numéricos Nas Figuras a seguir compara-se a solução exata com a solução numérica obtida pelo método de Runge-utta de quarta ordem que está enunciado abaixo. Sendo x = ft, U) o modelo contínuo equação diferencial) proposto e t o valor do passo uniforme da discretização do intervalo de tempo a ser considerado, a fórmula de Runge-utta envolve uma média ponderada de valores de ft, U) em pontos diferentes no intervalo t n t t n+1 e é dada por ) kn1 + 2k n2 + 2k n3 + k n4 y n+1 = y n + t, 6 onde k n1 = ft n, y n ), k n2 = ft n t, y n tk n1), k n3 = ft n t, y n tk n1), 19

21 k n4 = ft n + t, y n + tk n3 ). A soma k n1 + 2k n2 + 2k n3 + k n4 )/6 também pode ser interpretada como um coeficiente angular médio. Note que k n1 é o coeficiente angular no extremo esquerdo do intervalo, k n2 é o coeficiente angular no ponto médio usando-se a fórmula de Euler para ir de t n a t/2, k n3 é a segunda aproximação do coeficiente angular no ponto médio, e finalmente k n4 é o coeficiente angular em t n + t usando a fórmula de Euler e o coeficiente angular k n3 para ir de t n a t n + t. O erro de truncamento local 2 do método de Runge-utta é proporcional a t 5, e, para um intervalo finito, o erro de truncamento global é, no máximo, uma constante vezes t 4. Este fato torna o método de Runge-utta bastante utilizado para tratar problemas não lineares pois sua precisão é alta, como pode ser observado nos resultados numéricos apresentados. Utiliza-se nas Figuras 2 e 3 o passo t = 0.1 e as constantes iguais às empregadas na Figura 1. A linha tracejada é a solução exata e a linha contínua é a solução numérica. Se o passo fosse t = 0.01 tería-se a solução numérica quase idêntica à solução exata e não haveria diferença graficamente entre as soluções. Deste modo, observa-se que a solução numérica aproxima-se da solução exata através da diminuição do passo t. Como o método é bastante preciso, não foi necessário tomar um valor muito pequeno para o passo da 2 a ordem de aproximação em um intervalo, no caso, t i, t i+1 ) 20

22 30 Figura 2 - Maximizando a Pesca Sustentavel runge-kutta exata xt)populacao) ttempo) Figura 2: População de peixes versus o tempo para o valor U = 0.55 que maximiza a pesca sustentável 21

23 30 Figura 3 - Maximizando o Lucro Sustentavel runge-kutta exata xt)populacao) ttempo) Figura 3: População de peixes versus o tempo para o valor U = que maximiza o lucro sustentável 22

24 discretização. Referências [1] Illner, R., Sean Bohun, C., McCollum, S., van Roode, T., Mathematical Modelling: A case studies aproach, Student Mathematical Library, vol.27, MAS, USA 2005) [2] Boyce,William E.,DiPrima, Richard C., Elementary Differential and Boundary Value Problems, Seventh Edition, Copyright 2001) John Wiley and Sons, Inc. 23