Localização. Localização

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1 Localização Construção de Mapas Localização posição do robô features Extração de Informação ação Planejamento da Missão trajetória Percepção Controle de Trajetória velocidades dados brutos Sensoriamento Cognição Planejamento de Trajetórias Controle de Locomoção Atuação Ambiente do Robô software embarcado aplicação robótica 1 Localização Localização é a determinação da pose do robô no ambiente. Estratégias: Uso da odometria apenas (conhecida a pose inicial do robô). Uso de um sensor de posicionamento global como o GPS (outdoor) ou StarGazer (indoor). Uso de um do ambiente e sensores no robô. Levantamento do e localização simultâneos (SLAM: Simultaneous Localization and Mapping). 2

2 Localização com Odometria A localização com odometria apenas, ou dead reakoning, torna a pose computada pelo robô cada vez mais distante de sua pose real a medida que o robô se locomove. Isto se deve a erros oriundos dos encoders, atuadores, modelos cinemáticos, etc. Esta forma de localização é viável apenas para locomoções a curtas distâncias, baixas velocidades e, preferivelmente, com poucas rotações. Entretanto, mesmo fornecendo uma pose imprecisa, a odometria é um elemento importante nos algoritmos de localizaçao baseados em s. 3 Localização com Sensores de Posicionamento Global Localização outdoor com sensores de posicionamento global é comumente baseada em GPS ou GPS Diferencial (com correção) como o serviço OmniSTAR e WAAS (Wide Area Augmented System). Em localização indoor, é necessário a instrumentação do ambiente com landmarks ativos ou passivos. Crossbow Cricket (landmark ativo - sonar) descontinuado. StarGazer (landmark passivo - refretor de IR) 4

3 Localização com Mapas O que diferencia as duas cenas? 5 Mapas 2D Um pode apresentar diferentes formatos e informação, por exemplo: Mapa Topológico: indica a interconexão entre lugares de interesse. Mapa Métrico: apresenta o ambiente na forma de "planta baixa". Mapa de Grade: apresenta o ambiente como uma grade onde cada célula da grade possui um indicativo de livre/ocupado. Mapa de Linhas: apresenta segmentos de retas que delimitam o ambiente. Mapa de Landmarks: apresenta as posições dos landmarks no ambiente. Os s de linhas e de landmarks são os mais utilizados para localização. O de grade é o mais utilizado para planejamento de trajetória e o topológico para o planejamento da missão. O métrico é mais utilizado para simulação e visualização. 6

4 Mapas de Linhas O simulador MobileSim utiliza um de linhas para descrever o ambiente. 2D-Map MinPos: MaxPos: Cairn: RobotHome "" ICON "" LINES Mapa de Linhas Em Octave/Matlab: % % % % cada linha do contem 7 parametros pontos x,y de inicio da reta pontos x,y de fim da reta parametros da reta a, b, c (ax + b c) []; [; [; [; [; [; [; [; [; [; % limites do MinX ; MaxX 468; MinY ; MaxY 32; ]; 1 228]; 1 92]; 1 32]; 1 419]; 1 285]; 1 468]; ]; 1 ]; 8

5 Mapa de Landmarks Consiste simplesmente de uma lista de pontos considerados landmarks, no exemplo abaixo, cantos de paredes. Em Octave/Matlab: % Posicao exatas dos landmarks L.x [,,92,92,419,419,468,468,43]; % [mm] L.y [,228,228,32,32,285,285,65,]; % [mm] 9 Mapa Topológico H Sala A Sala B Sala C Sala E C Hall Corredor Sala D F Sala F O topológico é representado por um grafo. Cada nó representa um lugar. Podemos atribuir custos aos arcos (métrica de distância, esforço, etc.). A E B D C Qual o menor caminho para ir da sala A até a sala F? 1

6 Mapa de Grade Qual a sequência de células (trajetória) para ir da célula vermelha à célula azul? (path planning). O consiste de M x N células de lado L, por exemplo, uma matriz M x N de zeros (livre) e uns (ocupada). Na figura as células em cinza representam células ocupadas (obstáculos à navegação). Note a perda de resolução em função da discretização do métrico. 11 Algoritmos de Localização Baseados em Mapas Um algoritmo de localização resolve o seguinte problema: dado o do ambiente e o robô no ambiente descrito por este, determine a pose do robô neste ambiente. Estes algoritmos operam em 2 casos: Localização local: o robô tem uma estimativa inicial precisa da sua pose. Localização global: o robô não tem qualquer estimativa inicial da sua pose. Os algoritmos de localização também se diferenciam na representação da crença sobre a pose do robô: Hipótese única: o algoritmo mantém sempre uma única pose (a que julga mais provável). Múltiplas hipóteses: o algoritmo mantém várias hipóteses para a pose do robô (por exemplo, uma hipótese para cada célula de um de grade). 12

7 Algoritmos de Localização Baseados em Mapas Tipicamente um algoritmo de localização opera da seguinte maneira: 1) O robô usa seus sensores estereoceptivos para detectar landmarks ao seu redor, bem como a distância que o robô se encontra destes landmarks. 2) O robô associa os landmarks detectados com os landmarks do. 3) A diferença entre as posições dos landmarks detectada e real (do ) é utilizada na correção da pose do robô. Intuitivamente: D Landmarks detectados Aparentemente o robô está com a pose no eixo X aumentada em D. 13 Localização: Dificuldades 1. Imprecisão dos sensores Como as medidas dos sensores contém erros, a detecção de landmarks também é inerentemente imprecisa. Por esta razão, técnicas de localização devem ser baseadas em métodos estocásticos (probabilísticos). Daí a importância de estimar os erros dos sensores, bem como modelar como estes erros impactam na estimativa da pose do robô (propagação de erros). Como consequência, as técnicas fornecem uma estatística da pose do robô, por exemplo, um valor médio e um desvio padrão. 14

8 Localização: Dificuldades 2. Sensor aliasing Sensor aliasing é a situação onde os sensores do robô fornecem as mesmas leituras para locais diferentes. Isto pode causar incorreção na associação de landmarks detectados com os landmarks do. L1 L2 Pose real Pose assumida As leituras do sensor laser são as mesmas para as duas poses distintas do robô o que causa a associação incorreta dos landmarks. 15 Localização: Dificuldades 3. Correspondência de landmarks Como associar um landmark detectado ao landmark correspondente no? Os landmarks devem ser suficientemente separados. Pode-se associar uma "assinatura" aos landmarks que os diferenciam (padrões de cor ou de formas, por exemplo). Raramente usado pois requer instrumentação do ambiente. Padrões de formas 16

9 Representação da Crença (Belief) Sobre a Pose A crença do robô quanto a sua pose pode ser representada por uma função densidade de probabilidade contínua ou discreta para hipótese única (uma única pose) ou múltiplas hipóteses (múltiplas poses). P(x) Contínua, hipótese única x P(x) Contínua, múltiplas hipóteses x 17 Representação da Crença (Belief) Sobre a Pose P(x) Discreta, hipótese única x P(x) Discreta, múltiplas hipóteses x 18

10 A Teoria de Probabilidades fornece meios para quantificar eventos aleatórios, ou seja, eventos cujos resultados não podemos prever com precisão absoluta. Esta aleatoriedade se manifesta em vários componentes de um sistema: na observação (medida) de grandezas do sistema; na atuação sobre o sistema. As causas associadas à aleatoriedade podem ser oriundas de: erros não sistemático nos sensores e atuadores do sistema; fatores externos que agem sobre o sistema e sobre os quais não temos controle. Um evento aleátório é representado por uma váriável aleatória (contínua ou discreta). Um valor particular desta variável está associada a um resultado possível do evento aleatório. Exemplo: o resultado do lançamento de um dado pode ser modelado por uma variável aleatória discreta que pode assumir 6 valores, cada qual associado a uma face do dado. 19 No caso de variáveis aleatórias discretas e finitas (como no caso do lançamento do dado), denominamos espaço amostral o conjunto de valores que estas variáveis podem assumir (de 1 a 6 no caso do lançamento do dado). Para este caso, a quantificação de um evento aleatório é dado por uma função p(x) onde X é a variável aleatória associada ao evento. A função p tem as seguintes propriedades. Para todo xi, i 1,... N, pertencente ao espaço amostral de X: p(xi) denota a chance (probabilidade) da variável aleatória X assumir o valor xi quando o evento aleatório ocorrer. Para o caso do lançamento do dado: p(x1) p(x2)... p(x6) 1/6. 2

11 Revisão de Probablidades A função p para espaços amostrais finitos pode ser estabelecida em certos casos pela frequência de ocorrência de cada valor do espaço amostral para um número grande de observações do evento aleatório. Por exemplo, em 12 lançamentos de dados iremos observar um valor próximo de 2 para cada uma das faces do dado. Exemplos de espaços amostrais finitos em localização: Posição do robô (variável aleatória P) em um de células (cada célula é um valor possivel do espaço amostral). p(ci,j) é a probabilidade do robô estar posicionado sobre a célula i,j. Orientação do robô (variável aleatória θ) em um espaço discreto de possíveis orientações, por exemplo de a 359o em inteiros de grau. p(9) é a probabilidade da orientação do robô ser igual a 9o. Obviamente a função p nestes casos não pode ser estabelecida por frequência de amostragem. 21 Em muitos casos o espaço amostral é contínuo, ou seja, a variável aleatória pode assumir infinitos valores. Por exemplo, a leitura de um sensor de distância fornece um número real, ou seja, pode retornar "infinitos" valores. Neste caso, se usarmos a função p definda anteriormente temos que: Para espaços amostrais contínuos. utilizamos a função densidade de probabilidade f com as seguintes propriedades: 22

12 Média (Valor Esperado) de uma amostra Espaço amostral discreto Espaço amostral contínuo Propriedades da média: E(c.X) c.e(x), c constante E(X + Y) E(X) + E(Y) E(X.Y) E(X).E(Y), X e Y independentes 23 Variância de uma amostra A variância é uma métrica de quão espalhado é o espaço amostral em relação à média. Define-se variância como: σ é denominado desvio padrão da amostra. Propriedades da variância: Var(cX) c2.var(x), c constante Var(c + X) Var(X) Var(X + Y) Var(X) + Var(Y), se X e Y independentes 24

13 A Distribuição Normal (Gaussiana) é a mais importante função densidade de probabilidade. Esta função é definida dada uma média μ e um desvio padrão σ: f(x) x ocorre entre μ +- σ em 68,27% das amostras x ocorre entre μ +- 2σ em 95.45% das amostras x ocorre entre μ +- 3σ em 99.75% das amostras μ-σ μ μ+σ x 25 Distribuição Normal Multivariável Generalização da distribuição normal para N variáveis. Seja X [x1 x2... xn]t um vetor de variáves aleatórias com média μ [μ1 μ2... μn]t. Uma distribuição densidade de probabilidade normal multivariável é dada por Se as variáves x são independentes: 26

14 Exemplo: mu [ ]; sigma [.8 ;.8]; invsigma inv(sigma); K 1/((2*pi) * (sqrt(det(sigma)))); x linspace(mu(1) 4*sigma(1,1),mu(1)+4*sigma(1,1),1); y linspace(mu(2) 4*sigma(2,2),mu(2)+4*sigma(2,2),1); [xx, yy] meshgrid(x, y); for i1:length(x) for j1:length(y) X [x(i) y(j)]; z(i, j) K*exp(.5*(X mu)*invsigma*(x mu)'); end end surf(xx,yy,z); xlabel('x') ylabel('y') zlabel('pdf(x,y)') 27 Em algoritmos de localização local que utilizam distribuições normais, por exemplo, os baseados em Filtro de Kalman, em cada interação do algoritmo são computados: 1. A estimativa da pose do robô em termos das médias de seus componentes: 2. A matriz de covariança da pose: Sendo que: 28

15 A distribuição normal possui as seguintes propriedades: simétrica em relação à média; descrita por apenas dois parâmetros (μ e σ); a convolução de duas gaussianas f e g resulta em uma gaussiana: Por que a distribuição normal é a mais importante? 1. Pelas propriedades acima. 2. Pelo Teorema Central do Limite: dada N variáveis alatórias independentes com diferentes funções densidade de probabilidade, a média (ou a soma) de um grande número de amostras destas variáveis tende a uma distribuição normal. 29 Erros no posicionamento do espelho Erros na detecção da fase Erros na conversão A/D Erros causados por vibração mecânica Erros não Gaussianas Distância com Erro Gaussiano Teorema Central do Limite 3

16 Ilustração do Teorema Central do Limite distribuição uniforme nas linhas soma das colunas Distribuição Normal Cada posição da matriz armazena um número aleatório entre 1 e 6 gerado com distribuição uniforme (arremesso do dado). 31 Ilustração do Teorema Central do Limite em Matlab function tcl(n) for i1:n % n linhas, 1 colunas x(i,:)ceil(1 + 5*rand(1,1)); end % soma as colunas for i1:length(x(1,:)) y(i) sum(x(:,i)); end hist(y,1); % Plota histograma title('teorema do Limite Central'); xlabel('soma das Colunas'); ylabel('frequencia'); end 32

17 n 1 n2 n 5 n 1 33 Probabilidade Condicional Probabilidade condicional determina a probabilidade de uma variável aleatória assumir certo valor dado que obtivemos certa informação a priori (antes do evento aleatório ocorrer) que pode aumentar a acurácia da previsão. Exemplo: Qual a probabilidade da bolsa de valores subir? Qual a probabilidade da bolsa de valores subir dado que a taxa de juros está diminuindo? Em localização robótica, o "dado que" são as leituras dos sensores do robô. Em resumo: se agregarmos mais informações podemos aumentar a acurácia das nossas previsões. Mas precisamos de modelos para incorporar estas informações. 34

18 Probabilidade Condicional Normalmente o cálculo (inferência) da probabilidade do robô estar em certa pose/posição é realizado em intervalos de tempo discreto (por exemplo, a cada 5 ms). Em localização local assume-se que a pose/posição é conhecida precisamente no instante t (t). Num instante arbitrário k > temos uma estatística da pose/posição do robô, ou seja não a conhecemos precisamente. Esta estatística é denominada "a priori" no sentido que a é conhecida antes de obtermos as leituras dos sensores. No instante k+1 realizamos a leitura dos sensores, tipicamente odometria e distâncias. Procedemos também a extração de informações destas leituras, por exemplo, landmarks. Com base nas medidas dos sensores e na estatística da pose/posição no instante k, determinamos a estatística da pose/posição para o instante k+1. Esta estatística é denominada "a posteriori", ou seja, após a leitura dos sensores. 35 Probabilidade Condicional Denotamos uma probabilidade condicional como P(X Z) - probabilidade de X ocorrer dado que Z ocorreu (foi observado). A base para o cômputo de probabilidades condicionais é a Regra (ou Teorema) de Bayes. P(X Z) : Probabilidade a posteriori de X conhecendo-se que Z ocorreu. P(Z X) : Probabilidade de observarmos Z caso a variável aleatória assuma o valor X. P(X) : Probabilidade a priori de X (o que conhecemos até então sobre X). P(Z) : Probabilidade a priori de Z. Usada para normalizar a função densidade de probabilidade P(X Z). 36

19 Probabilidade Condicional Exemplo da aplicação da Regra de Bayes em localização: Xt : Pose ou posição do robô estimada no instante t. Zt : Leitura dos sensores estereoceptivos realizada no instante t. Se o robô estiver realmente em X, qual a probabilidade das leituras dos sensores serem Z? Probabilidade do robô estar na pose X estimada no passo anterior. Qual a probabilidade do robô estar na pose X dado que as leituras dos sensores foram Z Normalização: 37 Probabilidade Condicional Além do Teorema de Bayes, outro resultado importante no cálculo de probabilidade condicional é o Teorema da Probabilidade Total. Dado um espaço amostral Ω tal que e que Seja um evento B1 B2 Ω B3 Bn A 38